Χρονική Απόκριση

ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
ΚΕΣ 01 – Αυτόµατος Έλεγχος
Εισαγωγή στην Ανάλυση
Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου:
Χρονική Απόκριση και Απόκριση
Συχνότητας
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
Στόχοι Ανάλυσης

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
Βιβλιογραφία Ενότητας
◊
Παρασκευόπουλος [2005]: Κεφάλαιο 4
◊
Παρασκευόπουλος [2005]: Εφαρµογές, Κεφάλαιο 4
◊
DiStefano [1995]: Chapters 9 & 10
◊
Tewari [2005]: Chapter 2: Sections 2.3, 2.5-2.7
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
1
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
Στόχοι Ανάλυσης

Εισαγωγή - Στόχοι Ανάλυσης
Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
◊
Με τον όρο ανάλυση Σ.Α.Ε εννοούµε τον προσδιορισµό της εξόδου µε
δεδοµένα τη µαθηµατική περιγραφή του συστήµατος (µοντέλο) και την
είσοδο.
◊
◊
Η ανάλυση ενός συστήµατος µας δίνει τη δυνατότητα να προβλέψουµε (θεωρητικά)
τη συµπεριφορά του σε κάθε είδος εισόδου
Στόχοι της ανάλυσης ενός Σ.Α.Ε είναι:
◊
Ο προσδιορισµός του βαθµού ευστάθειας του συστήµατος
◊
Για ευσταθή συστήµατα ο προσδιορισµός της ευρωστίας τους (δηλαδή η διερεύνηση
του πόσο κοντά είναι στο να περιπέσουν σε αστάθεια)
◊
Την εύρεση της συµπεριφοράς του συστήµατος στη µόνιµη κατάσταση (µετά την
απόσβεση των µεταβατικών φαινοµένων)
◊
Την εύρεση της συµπεριφοράς του συστήµατος κατά τη διάρκεια του µεταβατικού
φαινοµένου
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
Στόχοι Ανάλυσης

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
Παράδειγµα: Μορφές βηµατικής
απόκρισης
◊
Step R esponse
2.5
Το διπλανό σχήµα δίνει την
βηµατική απόκριση ορισµένων
συστηµάτων
2
◊
Με πράσινο εµφαίνεται ένα
ασταθές, ταλαντούµενο
σύστηµα
◊
Με µπλε εµφαίνεται ένα
ασταθές, µη ταλαντούµενο
σύστηµα
◊
Με κόκκινο εµφαίνεται ένα
ευσταθές, ταλαντούµενο
σύστηµα
◊
Με κυανό εµφαίνεται ένα
ευσταθές, µη ταλαντούµενο
σύστηµα
Amplitude
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Time (sec )
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
2
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
Μέθοδοι Ανάλυσης
◊
Οι µέθοδοι ανάλυσης που εφαρµόζονται στα Σ.Α.Ε σχετίζονται µε τον τρόπο
περιγραφής τους (µαθηµατικό µοντέλο).
◊
Οι κλασικές µέθοδοι ανάλυσης είναι κυρίως γραφικές (διαγράµµατα) και
διαιρούνται σε µεθόδους στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο της συχνότητας:
◊
Γεωµετρικός τόπος ριζών (πεδίο χρόνου)
◊
∆ιαγράµµατα Bode (πεδίο συχνότητας)
◊
∆ιαγράµµατα Nyquist (πεδίο συχνότητας)
◊
◊
∆ιαγράµµατα Nichols (πεδίο συχνότητας)
Οι σύγχρονες µέθοδοι ανάλυσης είναι αναλυτικές (όχι διαγραµµατικές) και
εφαρµόζονται κυρίως σε συστήµατα αυτοµάτου ελέγχου τα οποία
περιγράφονται (κυρίως) µε εξισώσεις κατάστασης και οολκληρωδιαφορικές
εξισώσεις
◊
Πρέπει να σηµειωθεί ότι σε πολλές περιπτώσεις η εύρεση της χρονικής απόκρισης
ενός συστήµατος για ειδικές µορφές εισόδου (βηµατική, κρουστική, ράµπας,
ηµιτονοειδή) µας παρέχει σχεδόν όλες τις απαιτούµενες πληροφορίες για την
ανάλυση Σ.Α.Ε.
◊
Επειδή η εύρεση της χρονικής απόκρισης µε αναλυτικό τρόπο δεν είναι εύκολη για
Σ.Α.Ε µε τάξη µεγαλύτερη από δύο (2) οι διαγραµµατικές τεχνικές ανάλυσης
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
διατηρούν την αξία του
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
◊
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Η γενική δοµή ενός κλειστού συστήµατος αυτοµάτου ελέγχου εµφαίνεται στο
επόµενο σχήµα.
◊
G(s) είναι η συνάρτηση µεταφοράς του ανοικτού συστήµατος (συνήθως του προς
έλεγχο συστήµατος)
◊
F(s) είναι η συνάρτηση µεταφοράς του κλάδου ανατροφοδότησης (συνήθως του
αντισταθµιστή που σχεδιάζεται έτσι ώστε να προσδώσει στο σύστηµα την είσοδο
U(s))
◊
Η έξοδος του ανοικτού συστήµατος (ο µετασχηµατισµός Laplace της εξόδου) δίνεται
από τη σχέση: Υο(s) = G(s)Ω(s)
◊
Η έξοδος του κλειστού συστήµατος δίνεται από τη σχέση:
Y ( s) =
G( s)
Ω( s )
1 + G( s) F ( s)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
3
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;

Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
(ΙΙ)
Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
◊
Οι διαγραµµατικές τεχνικές ανάλυσης Σ.Α.Ε εξετάζουν (απεικονίζουν) τη
συµπεριφορά της συνάρτησης G(s)Ω(s) η οποία είναι γνωστή και ως
συνάρτηση µεταφοράς βρόχου
◊
Αποδεικνύεται ότι το κλειστό σύστηµα είναι:
◊
Λιγότερο ευαίσθητο στην ακρίβεια µοντελοποίησης του προς έλεγχο συστήµατος
(δηλαδή στη µεταβολή του G(s))
◊
Λιγότερο ευαίσθητο στην επίδραση αθροιστικού θορύβου
◊
Περισσότερο ευαίσθητο στις µεταβολές του κλάδου ανατροφοδότησης (δηλαδή στις
µεταβολές της F(s)). Με βάση αυτή τη παρατήρηση προκύπτει ότι η σχεδίαση του
αντισταθµιστή πρέπει να γίνεται πολύ προσεκτικά
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
Παράδειγµα
◊
Στο κλειστό σύστηµα του σχήµατος έχουµε
G( s) =
◊
Step R esponse
H (s) =
1.8
◊
2
s + 2s + 2
2
Παρατηρούµε ότι το κλειστό σύστηµα
(πράσινη καµπύλη) προσεγγίζει τη τιµή
της εισόδου στη µόνιµη κατάσταση σε
αντίθεση µε το ανοικτό (µπλε καµπύλη)
1.4
1.2
A mplitude
F ( s) = s
Η συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού
συστήµατος είναι
2
1.6
2
s2 + 2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
Time (sec )
25
30
35
40
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
4
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
Παράδειγµα (ΙΙ)
◊
Η γενικότερη δοµή ενός κλειστού συστήµατος
φαίνεται στο διπλανό σχήµα
◊
Η ύπαρξη του ρυθµιστή R(s) είναι πολλές φορές
απαραίτητη για τη ρύθµιση της συµπεριφοράς
του συστήµατος στη µόνιµη κατάσταση (για
παράδειγµα το R(s) µπορεί να είναι απλά ένας
ενισχυτής για τη ρύθµιση του κέρδους
◊
Έστω το σύστηµα µοναδιαίας ανατροφοδότησης
(F(s)=1):
1
Step R esponse
3.5
3
G( s) =
2.5
◊
Amplitude
F ( s) = 1
H ( s) =
1.5
◊
1
5
10
15
20
1
s + 9s + 1
2
Παρατηρούµε ότι το κλειστό σύστηµα (πράσινη
καµπύλη) προσεγγίζει τη τιµή της εισόδου στη
µόνιµη κατάσταση σε αντίθεση µε το ανοικτό
(µπλε καµπύλη) το οποίο είναι ασταθές
0.5
0
R( s ) = 1
Η συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού
συστήµατος είναι:
2
0
s 2 + 9s
25
30
Time (sec )
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;

Τύποι Συστηµάτων
Αυτοµάτου Ελέγχου
Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
◊
Η συµπεριφορά των κλειστών Σ.Α.Ε στη µόνιµη κατάσταση (µετά την
απόσβεση του µεταβατικού φαινοµένου) προσδιορίζεται από τον τύπο τους.
◊
Ένα κλειστό σύστηµα ονοµάζεται σύστηµα τύπου j όταν η συνάρτηση
µεταφοράς βρόχου G(s)F(s) έχει j πόλους στο σηµείο s=0, δηλαδή η G(s)F(s)
m
έχει τη γενική µορφή:
∏ (s + z )
i
G( s) F ( s) = K
sj
i =1
q
∏ (s + p )
j
i =1
◊
Το κλειστό σύστηµα του προηγούµενου παραδείγµατος µε:
G( s) =
1
s 2 + 9s
F ( s) = 1
είναι τύπου 1 γιατί
G( s) F ( s) =
1
s ( s + 9)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
5
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
◊
Παράδειγµα
Να βρεθεί ο τύπος των πιο κάτω κλειστών συστηµάτων
ΑΠ: Τύπου 2,0,1 αντίστοιχα
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;
;

Χρονική Απόκριση
Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
◊
Όπως έχει ήδη αναφερθεί τα ΓΧΑ Σ.Α.Ε περιγράφονται από σχέσεις της
m
n
µορφής:
d i y (t )
d j u (t )
∑a
i
i =0
◊
=
dt i
∑b
j
dtj
j =0
Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµό Laplace στην παραπάνω σχέση (βλέπε
Ιδιότητα 2) προκύπτει:
n
⎧⎪ ⎛
i −1
∑ ⎨⎪a ⎜⎜ s Y ( s) − ∑ s
i
i =0
i
⎩ ⎝
i −1− k
d k y (t )
dt
k =0
k
⎞ ⎫⎪
⎟⎬ =
⎟
t =0 ⎠ ⎪
⎭
m
⎧ ⎛
⎪
j−q
∑ ⎨⎪b ⎜⎜ s U ( s) − ∑ s
j
j =0 ⎩
j
⎝
j −1− q
d q u (t )
dt
q =0
q
⎞ ⎫⎪
⎟
⎟⎬
t =0 ⎠ ⎪
⎭
από την οποία λύνοντας ως προς Y(s) παίρνουµε:
⎡
⎢
⎢
Y (s) = ⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
bjs j ⎥
⎥
j =0
⎥U ( s ) −
n
ai s i ⎥
⎥
i =0
⎦
m
∑
∑
m
⎧⎪ j − q
∑ ⎨⎪∑ s
d q u (t )
j −1− q
dt q
j = 0 ⎩ q =0
n
∑a s
i
i =0
i
⎫⎪
⎬
t =0 ⎪
⎭−
n
⎧⎪ i −1
∑ ⎨⎪∑ s
i =0
i −1−k
d k y (t )
dt
⎩ k =0
n
∑a s
i
k
⎫⎪
⎬
t =0 ⎪
⎭
i
i =0
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
6
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση (ΙΙ)
◊
Η έξοδος y(t) λαµβάνεται υπολογίζοντας τον αντίστροφο µετασχηµατισµό
Laplace της Y(s).
◊
Ο πρώτος και δεύτερος όρος στην παραπάνω σχέση αντιστοιχούν στη
διεγερµένη απόκριση του συστήµατος (forced response) ενώ ο τρίτος στην
ελεύθερη απόκριση (free response).
◊
Είναι φανερό ότι η διεγερµένη απόκριση εξαρτάται από την είσοδο που επιβάλλεται
στο σύστηµα (προφανώς και από τα χαρακτηριστικά του συστήµατος) ενώ η
ελεύθερη απόκριση εξαρτάται από την αρχική (εσωτερική) κατάσταση του
συστήµατος (προφανώς και από τα χαρακτηριστικά του συστήµατος).
◊
Το τµήµα εκείνο της εξόδου το οποίο φθίνει µε το χρόνο ονοµάζεται
µεταβατική απόκριση ή µεταβατικό φαινόµενο.
◊
Το τµήµα της εξόδου που παραµένει σε µια σταθερή µορφή µετά την πάροδο
αρκετά µεγάλου χρονικού διαστήµατος ονοµάζεται µόνιµη απόκριση.
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
◊
Χαρακτηριστικά Χρονικής
Απόκρισης
Τα χαρακτηριστικά της χρονικής απόκρισης ενός συστήµατος τα οποία
εξετάζουµε σε αυτή την ενότητα αφορούν κυρίως τη συµπεριφορά του
συστήµατος στη µεταβατική κατάσταση και µπορούν να υπολογιστούν µε
γραφικό τρόπο µετά από απεικόνιση της βηµατικής απόκρισης του
συστήµατος:
◊
Μέγιστη υπερύψωση (overshoot) – Είναι η διαφορά της µέγιστης τιµής ym από την
τελική τιµήyf της εξόδου y(t). Συνήθως ορίζεται ως ποσοστό:
⎛ ym − y f
v (%) = 100 ⋅ ⎜
⎜ yf
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
◊
Χρόνος καθυστέρησης Td – Είναι ο χρόνος που χρειάζεται η έξοδος y(t) για να
φτάσει στο µισό της τελικής της τιµής
◊
Χρόνος ανύψωσης Tr - Είναι ο χρόνος που χρειάζεται η έξοδος y(t) για να φτάσει
από το 10% στο 90% της τελικής της τιµής
◊
Χρόνος αποκατάστασης Ts - Είναι ο χρόνος που χρειάζεται η έξοδος y(t) για να
φτάσει και να παραµείνει σε ένα δεδοµένο όριο τιµών (π.χ σε ένα διάστηµα 2-5%
της τελικής της τιµής
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
7
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
Χαρακτηριστικά Χρονικής
Απόκρισης (II)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
Μέγιστη ανύψωση
Step Res pons e
◊
0.7
Μέγιστη υπερύψωση
(overshoot) =>
v=100*(0.582-0.5) =
8.2%
System: h
Time (sec): 1.82
Amplitude: 0. 582
0.6
0.5
0.4
Amp litude
;
;
;

0.3
0.2
0.1
0
0
0. 5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time (s ec)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
8
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
Χρόνος καθυστέρησης
Step Res pons e
0.7
0.6
0.5
Amp litude
0.4
Syst em: h
Time (sec ): 0.648
Amplitude: 0.25
0.3
0.2
0.1
0
0
0. 5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time (s ec)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;
;
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
Απόκριση Συχνότητας
◊
Απόκριση συχνότητας ονοµάζουµε την απόκριση του συστήµατος σε
ηµιτονοειδής διεγέρσεις.
◊
Η απόκριση συχνότητας ενός συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς H(s)
δίνεται από τη σχέση Η(jω) και είναι µια µιγαδική συνάρτηση, µε πλάτος
|Η(ω)| και φάση Α(ω).
H ( jω ) = H (ω ) e jA(ω ) = H (ω ) ⋅ {cos( A(ω ) ) + j sin ( A(ω ) )}
◊
Η απόκριση συχνότητας δεν εξετάζει τα µεταβατικά φαινόµενα. Αφορά την
έξοδο του συστήµατος στη µόνιµη κατάσταση
◊
Χαρακτηριστικά Απόκρισης Συχνότητας:
◊
Περιθώριο κέρδους Gm (Gain Margin), είναι το πλάτος |Η(ω)| της απόκρισης
συχνότητας όταν η φάση Α(ω) είναι ίση µε -180ο (-π)
◊
Περιθώριο φάσης ΦPM (Phase Margin)
◊
Η µέση καθυστέρηση φάσης PD
◊
Το εύρος ζώνης BW
◊
Η τιµή συντονισµού Μp
◊
Η συχνότητα συντονισµού ωp
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
9
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;
;
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
Magnitude
10
10
10
Απόκριση Συχνότητας (ΙΙ)
0
-1
-2
-1
0
10
1
10
Frequency (rad/s)
10
Phase (degrees)
0
-50
-100
-150
-200 -1
10
0
1
10
Frequency (rad/s)
10
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;
;
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
Frequency Response - Amplitude
1.8
1.6
-20
1.4
-40
1.2
-60
1
0.8
-80
-100
0.6
-120
0.4
-140
0.2
-160
0
0
20
40
60
80
100
120
frequency - rad/sec-
140
Frequency Response - Phase
0
Phase (in degrees)
Magnitude
Παράδειγµα Απόκρισης
Συχνότητας
160
180
200
-180
0
20
40
60
80
100
120
frequency - rad/sec-
140
160
180
200
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
10
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;
;
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
Χαρακτηριστικά Απόκρισης
Συχνότητας
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;
;
;
;

Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
◊
Έστω το κλειστό σύστηµα Σ.Α.Ε του σχήµατος. Το σήµα e(t) ονοµάζεται
σφάλµα και δίνεται από τη σχέση e(t)=ω(t)-b(t)
◊
Όταν ο αντισταθµιστής F(s) είναι ίσος µε τη µονάδα (µοναδιαία ανατροφοδότηση)
τότε το σφάλµα είναι ίσο µε τη διαφορά της εισόδου από την έξοδο e(t)=ω(t)-y(t)
◊
Ο αντισταθµιστής τις περισσότερες φορές είναι µια συνάρτηση του s έτσι ώστε η
έξοδος να µετασχηµατίζεται σε µορφή τέτοια που µπορεί να συγκριθεί µε την είσοδο
(η είσοδος µπορεί να είναι τάση και η έξοδος ταχύτητα)
◊
Το σφάλµα e(t) στη µόνιµη κατάσταση eµον(t) ορίζεται ως
eµον (t ) = lim e(t ) = lim ω (t ) − lim b(t )
t →∞
◊
t →∞
Ο µετασχηµατισµός Laplace του σφάλµατος δίνεται από τη σχέση
E ( s) =
◊
t →∞
1
Ω( s )
1 + G( s) F ( s)
Σύµφωνα µε το θεώρηµα τελικής τιµής του µετασχηµατισµού Laplace ισχύει:
eµον (t ) = lim e(t ) = lim sE ( s ) = lim
t →∞
s →0
sΩ( s )
s →0 1 + G ( s ) F ( s )
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
11
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;
;
;
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
◊
Σταθερές σφάλµατος
Η σταθερά σφάλµατος θέσης Kp ενός κλειστού Σ.Α.Ε
ορίζεται ως:
K p = lim G ( s ) F ( s )
s →0
m
K p = lim G ( s ) F ( s ) = K
s →0
s
∏( z
sj
i =1
q
∏
i =1
◊
+ 1)
⎧ K όταν
⎪
=⎨
s
( + 1) ⎪⎩ ∞ όταν
pj
j=0
i
j>0
Η σταθερά σφάλµατος ταχύτητας Kv ενός κλειστού Σ.Α.Ε ορίζεται ως
K v = lim sG ( s ) F ( s )
s →0
m
K v = lim sG ( s ) F ( s ) = K
s →0
s
∏( z
s
i =1
q
j −1
∏
i =1
+ 1)
⎧ 0 όταν
⎪
= ⎨ K όταν
s
( + 1) ⎪⎩ ∞ όταν
pj
i
j=0
j =1
j >1
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;
;
;
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
◊
Σταθερές σφάλµατος (II)
Η σταθερά σφάλµατος επιτάχυνσης Kα ενός κλειστού Σ.Α.Ε
ορίζεται ως:
K a = lim s 2G ( s ) F ( s )
s →0
m
K p = lim s G ( s ) F ( s ) = K
2
s →0
s
∏( z
i =1
s j −2
q
∏
i =1
+ 1)
⎧0 όταν j = 0 ,1
⎪
= ⎨ K όταν j = 2
s
( + 1) ⎪⎩ ∞ όταν j > 2
pj
i
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
12
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;
;
;
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
◊
Σφάλµα θέσης
Σφάλµα θέσης ep ενός κλειστού Σ.Α.Ε ονοµάζουµε το σφάλµα στη µόνιµη
κατάσταση eµον(t) όταν η είσοδος είναι σταθερή, δηλαδή ω(t)=P, η
ισοδύναµα ω(t)=Pus(t).
P
◊
Επειδή σε αυτή τη περίπτωση έχουµε Ω( s ) =
το σφάλµα θέσης δίνεται από
s
τη σχέση:
P
Ω( s )
s
E (s) =
=
1 + G( s) F ( s) 1 + G( s) F ( s)
◊
Οπότε το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση θα είναι, υπό την προϋπόθεση ότι
sE(s) είναι ευσταθής, (όπου Kp η σταθερά σφάλµατος θέσης):
sΩ ( s )
P
P
eµον (t ) = lim e(t ) = lim sE ( s ) = lim
= lim
=
t →∞
s →0
s →0 1 + G ( s ) F ( s )
s →0 1 + G ( s ) F ( s )
1 + lim (G ( s ) F ( s ) )
s →0
P
=
1+ K p
◊
Το τελικό συµπέρασµα είναι ότι το σφάλµα θέσης εξαρτάται από τον τύπο του
κλειστού Σ.Α.Ε
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;
;
;
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
◊
Σφάλµα Ταχύτητας
Σφάλµα ταχύτητας ev ενός κλειστού Σ.Α.Ε ονοµάζουµε το σφάλµα στη
µόνιµη κατάσταση eµον(t) όταν η είσοδος αυξάνεται σταθερά ανάλογα µε το
χρόνο, δηλαδή ω(t)=Pt, η ισοδύναµα ω(t)=Pr (t), όπου r(t) η συνάρτηση
ράµπας.
P
◊
Επειδή σε αυτή τη περίπτωση έχουµε Ω( s ) = 2 το σφάλµα ταχύτητας δίνεται
s
από τη σχέση:
P
Ω( s )
s2
E ( s) =
=
1 + G( s) F ( s) 1 + G( s) F ( s)
◊
Οπότε το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση θα είναι , υπό την προϋπόθεση ότι
sE(s) είναι ευσταθής, (όπου Kv η σταθερά σφάλµατος ταχύτητας):
eµον (t ) = lim e(t ) = lim sE ( s ) = lim
t →∞
◊
s →0
sΩ ( s )
s →0 1 + G ( s ) F ( s )
= lim
s →0
P
P
P
=
=
s + sG ( s ) F ( s ) lim (sG ( s ) F ( s ) ) K v
s →0
Το τελικό συµπέρασµα είναι ότι και το σφάλµα ταχύτητας εξαρτάται από τον
τύπο του κλειστού Σ.Α.Ε
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
13
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;
;
;
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
◊
Σφάλµα Επιτάχυνσης
Σφάλµα επιτάχυνσης eα ενός κλειστού Σ.Α.Ε ονοµάζουµε το σφάλµα στη
µόνιµη κατάσταση eµον(t) όταν η είσοδος αυξάνεται σταθερά ανάλογα µε το
τετράγωνο του χρόνου, δηλαδή
ω (t ) =
Pt 2
2
P
◊
Επειδή σε αυτή τη περίπτωση έχουµε Ω( s ) = 3 το σφάλµα επιτάχυνσης
s
δίνεται από τη σχέση:
P
3
Ω( s )
s
E ( s) =
=
1 + G( s) F ( s) 1 + G( s) F ( s)
◊
Οπότε το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση θα είναι , υπό την προϋπόθεση ότι
sE(s) είναι ευσταθής, (όπου Kα η σταθερά σφάλµατος επιτάχυνσης):
eµον (t ) = lim e(t ) = lim sE ( s ) = lim
t →∞
◊
s →0
sΩ ( s )
s →0 1 + G ( s ) F ( s )
= lim
s →0
P
P
P
=
=
s 2 + s 2G ( s ) F ( s ) lim s 2 G ( s ) F ( s ) K a
s →0
(
)
Το τελικό συµπέρασµα είναι ότι και το σφάλµα επιτάχυνσης εξαρτάται από
τον τύπο του κλειστού Σ.Α.Ε
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;
;
;
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
◊
Παράδειγµα Ι
Για το κλειστό Σ.Α.Ε του σχήµατος να υπολογίσετε τα σφάλµατα στη µόνιµη
κατάσταση για τις εισόδους us(t), r(t) = t, και γ(t) = t2/2.
◊
ΑΠ.
◊
Η συνάρτηση βρόχου είναι G ( s ) F ( s ) =
2
εποµένως το σύστηµα είναι τύπου 1.
s ( s + 2)
Κατά συνέπεια οι σταθερές σφάλµατος θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης θα είναι
1
s
=∞
K v = lim sG ( s ) F ( s ) = lim
=1
s
s
s →0
s →0
s( + 1)
s( + 1)
2
2
s2
s
K a = lim s 2G ( s ) F ( s ) = lim
= lim
=0
s
s →0
s →0
s →0 s
s( + 1)
( + 1)
2
2
K p = lim G ( s ) F ( s ) = lim
s →0
s →0
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
14
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;
;
;
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
◊
Παράδειγµα Ι (συν)
Οπότε τα σφάλµατα στη µόνιµη κατάσταση θα είναι:
◊
Για είσοδο us(t) (βηµατική) θα έχουµε eµον(t) = ep(t)= σφάλµα θέσης µε P=1
eµον (t ) =
◊
P
1
1
=
=
=0
1+ K p 1+ K p 1+ ∞
Για είσοδο r(t)=t (ράµπα) θα έχουµε eµον(t) = ev(t)= σφάλµα ταχύτητας µε P=1
eµον (t ) =
1
P
=
=1
Kv K v
Για είσοδο γ(t)=t2/2 (παραβολή) θα έχουµε eµον(t) = eα(t)= σφάλµα επιτάχυνσης µε
◊
P=1
eµον (t ) =
P
1
=
=∞
Ka K a
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;
;
;
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
◊
Παράδειγµα ΙΙ
Για το κλειστό Σ.Α.Ε του σχήµατος να προσδιορισθούν οι περιοχές τιµών των
σταθερών a,b ώστε η επίδραση της διαταραχής ξ(t)=Αδ(t) στην έξοδο του
συστήµατος στη µόνιµη κατάσταση να εξουδετερώνεται και επιπλέον η
έξοδος του συστήµατος να ακολουθεί το σήµα εισόδου us(t) δηλαδή
lim ( y (t ) − us (t ) ) = 0
t →∞
◊
AΠ: α>0, b=1
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
15
ΚΕΣ
ΚΕΣ 01:
01: Αυτόµατος
Αυτόµατος Έλεγχος
Έλεγχος
; Στόχοι Ανάλυσης
;
;
;
;
;

Μέθοδοι Ανάλυσης
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε
Τύποι Σ.Α.Ε
Χρονική Απόκριση
Απόκριση Συχνότητας
Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε
◊
Παράδειγµα ΙΙI
Έστω µια τηλεφωνική γραµµή µετάδοσης ηχητικών σηµάτων στη λειτουργία
της οποίας υπεισέρχεται θόρυβος σύµφωνα µε τη συνδεσµολογία του
επόµενου σχήµατος. Να κατασκευαστεί φίλτρο F(s) (F(s) ρητή συνάρτηση
του s) στο βρόχο αναµετάδοσης έτσι ώστε για το κλειστό σύστηµα στη
µόνιµη κατάσταση να ισχύουν ταυτόχρονα:
◊
(α) Η επίδραση των θορύβων d1(t) και d2(t) στην έξοδο να εξουδετερώνεται
◊
(β) Η ακρόαση του δέκτη y(t) να ταυτίζεται µε οποιοδήποτε σήµα του ποµπού.
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
16

Download Report