ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ΚΕΣ 01 – Αυτόµατος Έλεγχος Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύγχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος Εισαγωγή Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο Βιβλιογραφία Ενότητας ◊ Παρασκευόπουλος [2005]: Κεφάλαιο 10: Ενότητες 10.110.3 ◊ Παρασκευόπουλος [2005]: Εφαρµογές, Κεφάλαιο 10: Ενότητες 10.1-10.5 ◊ DiStefano [1995]: Chapter 20, Sections 20.1 - 20.3 ◊ Tewari [2005]: Chapters 5: Sections 5.1-5.4 © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 1 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος Εισαγωγή Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο ◊ Εισαγωγή Οι σύγχρονες µέθοδοι σχεδίασης συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου βασίζονται σε περιγραφές των συστηµάτων αυτών στο πεδίο του χρόνου και συγκεκριµένα υπό τη µορφή εξισώσεων κατάστασης. Οι τεχνικές αυτές µπορούν να διαιρεθούν σε δύο κατηγορίες: ◊ Αλγεβρικές Τεχνικές Ελέγχου ◊ Η δοµή του αντισταθµιστή είναι εκ των προτέρων προσδιορισµένη και ζητείται η εύρεση των παραµέτρων. ∆ιακρίνουµε τρεις µεθοδολογίες: ◊ Μετατόπιση Ιδιοτιµών ◊ Αποσύζευξη Εισόδων – Εξόδων ◊ ◊ Τέλειο ταίριασµα σε πρότυπο Τεχνικές Βέλτιστου Ελέγχου ◊ Ζητείται η εύρεση της βέλτιστης στρατηγικής (οποιασδήποτε δοµής) ελέγχου του T Σ.Α.Ε η οποία ελαχιστοποιεί το κριτήριο κόστους: J = lim T →∞ 1 T ∫e T (t )e(t )dt 0 όπου e(t)=y(t)-ym(t) είναι η διαφορά ανάµεσα στην επιθυµητή συµπεριφορά (έξοδο) ym(t) και στην πραγµατική συµπεριφορά y(t) του υπό έλεγχο συστήµατος ◊ Στο πλαίσιο του µαθήµατος θα εξεταστούν οι Αλγεβρικές Τεχνικές Ελέγχου © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο ◊ Γραµµικός νόµος ανατροφοδότησης κατάστασης Στη σχεδίαση Σ.Α.Ε µε αλγεβρικές τεχνικές χρησιµοποιούνται συνήθως αντιστασθµιστές-ρυθµιστές οι οποίοι είναι γραµµικοί είτε ως προς το διάνυσµα κατάστασης (αντισταθµιστές µε ανατροφοδότηση κατάστασης) είτε ως προς το διάνυσµα εξόδου (αντισταθµιστές µε ανατροφοδότηση εξόδου). ◊ Αντισταθµιστές µε ανατροφοδότηση κατάστασης ◊ Η µορφή ενός αντισταθµιστή µε ανατροφοδότηση κατάστασης δίνεται στο επόµενο σχήµα. Το υπό έλεγχο σύστηµα (Γ.Χ.Α.) περιγράφεται από τις εξισώσεις κατάστασης: x& (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) y (t ) = Cx (t ) n m p όπου x ∈ ℜ , u ∈ ℜ , y ∈ ℜ και οι πίνακες A,B,C έχουν τις κατάλληλες διαστάσεις ώστε να ικανοποιούνται οι εξισώσεις κατάστασης ⎡ u1 (t ) ⎤ ⎡ y1 (t ) ⎤ ⎢ u (t ) ⎥ ⎢ y (t ) ⎥ 2 ⎥ u( t ) = ⎢ 2 ⎥ y (t ) = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ y t u t ( ) ( ) ⎣ m ⎦ ⎣⎢ p ⎦⎥ ⎡ x1 (t ) ⎤ ⎢ x (t ) ⎥ x(t ) = ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x t ( ) ⎣ n ⎦ © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 2 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο Νόµος ανατροφοδότησης κατάστασης (ΙΙ) Ο αντισταθµιστής είναι της µορφής: u(t ) = Fx(t ) + Gω(t ) ◊ m* όπου ω ∈ ℜ είναι ένα νέο διάνυσµα εισόδου µε m* εισόδους και F,G είναι οι άγνωστοι πίνακες του αντισταθµιστή, διαστάσεων mxn, mxm* αντίστοιχα οι οποίοι και πρέπει να προσδιοριστούν κατά τη διαδικασία σχεδίασης ώστε το αντισταθµισµένο σύστηµα να έχει τα επιθυµητά χαρακτηριστικά. ◊ ◊ Τα επιθυµητά χαρακτηριστικά µας προσδιορίζουν συνήθως και τη µεθοδολογία σχεδίασης που πρέπει να ακολουθηθεί Το αντισταθµισµένο σύστηµα περιγράφεται από τις σχέσεις: x& (t ) = (A + BF )x(t ) + BGω(t ) y (t ) = Cx (t ) ⎡ y1 (t ) ⎤ ⎡ u1 (t ) ⎤ ⎢ u (t ) ⎥ ⎢ y (t ) ⎥ 2 ⎥ u( t ) = ⎢ 2 ⎥ y (t ) = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ y p (t )⎥⎦ ⎣u m ( t ) ⎦ ⎡ x1 (t ) ⎤ ⎢ x (t ) ⎥ x(t ) = ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn (t )⎦ © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο ◊ ◊ Γραµµικός νόµος ανατροφοδότησης εξόδου Στο επόµενο σχήµα εµφαίνεται η µορφή ενός αντισταθµιστή µε ανατροφοδότηση εξόδου. Ο αντισταθµιστής είναι της µορφής: u(t ) = Ky (t ) + Nω(t ) όπου Κ,Ν είναι οι άγνωστοι πίνακες του αντισταθµιστή, διαστάσεων mxp, mxm* αντίστοιχα οι οποίοι και πρέπει να προσδιοριστούν κατά τη διαδικασία σχεδίασης ώστε το αντισταθµισµένο σύστηµα να έχει τα επιθυµητά χαρακτηριστικά. ◊ Το αντισταθµισµένο σύστηµα περιγράφεται από τις σχέσεις: x& (t ) = (A + BKC)x(t ) + BNω(t ) y (t ) = Cx(t ) © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 3 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο ◊ Συσχετισµός ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Από την περιγραφή των αντισταθµισµένων συστηµάτων µε ανατροφοδότηση κατάστασης και εξόδου προκύπτει ότι: F = KC G=N δηλαδή η ύπαρξη λύσης στο πρόβληµα σχεδίασης µε ανατροφοδότηση κατάστασης συνεπάγεται και λύση στο πρόβληµα σχεδίασης µε ανατροφοδότηση εξόδου. ◊ Οι κύριες διαφορές ανάµεσα στις δύο ανωτέρω µεθόδους είναι: ◊ Η σχεδίαση µε ανατροφοδότηση κατάστασης παρέχει µεγαλύτερο βαθµό ελευθερίας όσον αφορά την επιλογή των παραµέτρων του αντισταθµιστή δεδοµένου ότι ο πίνακας F έχει m*n στοιχεία ενώ ο πίνακας Κ έχει m*p<m*n στοιχεία. ◊ Από πρακτική άποψη η σχεδίαση µε ανατροφοδότηση εξόδου είναι ευκολότερη γιατί το διάνυσµα εξόδου είναι σχεδόν πάντοτε γνωστό και µετρήσιµο σε αντίθεση µε το διάνυσµα κατάστασης το οποίο συνήθως εκτιµάται µε χρήση παρατηρητών κατάστασης. © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο ◊ Μετατόπιση Ιδιοτιµών Επειδή οι ιδιοτιµές ενός συστήµατος µε περιγραφή στο χώρο κατάστασης ταυτίζονται µε τους πόλους του συστήµατος και επειδή οι πόλοι του συστήµατος καθορίζουν και τη συµπεριφορά του η µετατόπιση ιδιοτιµών είναι µια προσφιλής τεχνική σχεδίασης Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης. ◊ ◊ Το πρόβληµα διατυπώνεται ως εξής: ∆ίνεται το Γ.Χ.Α x& (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) y (t ) = Cx (t ) ζητείται να προσδιορισθεί ο πίνακας F (ή Κ) ώστε το αντισταθµισµένο σύστηµα να έχει ιδιοτιµές τις λ1,λ2,...,λn, δηλαδή: n sI − A − BF = ∏ (s − λ ) i αν έχουµε ανατροφοδότηση κατάστασης i =1 n sI − A − BKC = ∏ ( s − λ ) αν έχουµε ανατροφοδότηση εξόδου i i =1 © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 4 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο Μετατόπιση Ιδιοτιµών (ΙΙ) Θεώρηµα: ◊ Οι ιδιοτιµές του συστήµατος x& (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) y (t ) = Cx (t ) µπορούν να µετατοπιστούν σε οποιεσδήποτε αυθαίρετες θέσεις λ1,λ2,...,λn, τότε και µόνο τότε το σύστηµα είναι ελέγξιµο, δηλαδή η τάξη του πίνακα S (διαστάσεων nxnm) είναι ίση µε n (υπάρχουν δηλαδή n ανεξάρτητες στήλες στον πίνακα S) [ S = B | AB | A 2 B | ... | A n −1B ] αν µια από τις ιδιοτιµές λi είναι µιγαδική τότε πρέπει να συµπεριληφθεί και η συζυγής της. © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο ◊ Μετατόπιση Ιδιοτιµών (ΙΙΙ) Στη περίπτωση στην οποία το σύστηµα µας είναι µιας εισόδου (m=1) και ευρίσκεται (ή µπορεί να µετατραπεί) σε κανονική µορφή φάσης, δηλαδή οι πίνακες A και b έχουν τη µορφή: ⎡0⎤ 1 0 ... 0 ⎤ ⎡ 0 ⎢0⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 1 ... 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ b = ⎢...⎥ A = ⎢ ... ... ... ... ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 ... 1 ⎥ ⎢0⎥ ⎢ 0 ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ − a0 − a1 − a2 ... − an −1 ⎥⎦ τότε ο πίνακας Α+bfT του αντισταθµισµένου συστήµατος έχει τη µορφή: 0 1 0 ⎡ ⎢ 0 0 1 ⎢ ... ... ... A + bf T = ⎢ ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎢⎣ − ( a0 − f1 ) − ( a1 − f 2 ) − ( a2 − f 3 ) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ... − ( an −1 − f n )⎥⎦ ... ... ... ... 0 0 ... 1 © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 5 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο ◊ Μετατόπιση Ιδιοτιµών (ΙV) O υπολογισµός των τιµών του διανύσµατος f δίνεται από τις σχέσεις: ⎡ f1 ⎤ ⎡ a 0 ⎤ ⎡ γ 0 ⎤ ⎢ f ⎥ ⎢ a ⎥ ⎢ γ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 1 ⎥ f = ⎢ ... ⎥ = ⎢ ... ⎥ − ⎢ ... ⎥ = a − γ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ f n −1 ⎥ ⎢an −2 ⎥ ⎢γ n −2 ⎥ ⎢⎣ f n ⎥⎦ ⎢⎣ a n −1 ⎥⎦ ⎢⎣γ n −1 ⎥⎦ όπου n ∏ (s − λ ) = s i n + γ n −1s n −1 + ... + γ 1s + γ 0 i =1 sI − A − bf T = s n + ( an −1 − f n ) s n −1 + ... + ( a1 − f 2 )s + ( a0 − f1 ) © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο ◊ Μετατόπιση Ιδιοτιµών (V) Στη περίπτωση που το σύστηµα µιας εισόδου δεν είναι σε κανονική µορφή φάσης ο υπολογισµός των τιµών του διανύσµατος f δίνεται από τις σχέσεις: ( f = W T ST ) −1 (α~ − ~γ ) ⎡ 1 − an −1 ⎢0 1 ⎢ W = ⎢... ... ⎢ 0 ⎢0 ⎢⎣ 0 0 − an −2 − an −1 ... 0 0 ... − a1 ⎤ ... − a2 ⎥⎥ ... ... ⎥ ⎥ ... − an −1 ⎥ ... 1 ⎥⎦ ⎡ an −1 ⎤ ⎢a ⎥ ⎢ n −2 ⎥ ~ = ⎢ ... ⎥ α ⎥ ⎢ ⎢ a1 ⎥ ⎢⎣ a0 ⎥⎦ ⎡ γ n −1 ⎤ ⎢γ ⎥ ⎢ n −2 ⎥ ~ γ = ⎢ ... ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ γ1 ⎥ ⎢⎣ γ 0 ⎥⎦ © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 6 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο ◊ Παράδειγµα Έστω το σύστηµα µιας εισόδου x& (t ) = Ax (t ) + bu (t ) µε: ⎡ 0 1⎤ A=⎢ ⎥ ⎣ − 1 0⎦ ⎡0⎤ b=⎢ ⎥ ⎣1⎦ Να βρεθεί το διάνυσµα ανατροφοδότησης κατάστασης f ώστε το αντισταθµισµένο σύστηµα να έχει πόλους (ιδιοτιµές) τους -1,-2. ◊ Λύση: ◊ Το σύστηµα είναι κανονική µορφή φάσης άρα είναι ελέγξιµο, εποµένως το πρόβληµα σχεδίασης έχει λύση η οποία δίνεται από τη σχέση: ⎡f ⎤ f = ⎢ 1⎥= ⎣ f2 ⎦ ⎡a0 ⎤ ⎡γ 0 ⎤ ⎢ a ⎥ − ⎢γ ⎥ = ⎣ 1⎦ ⎣ 1⎦ ⎡1 ⎤ ⎡2 ⎤ ⎡ − 1⎤ ⎢0 ⎥ − ⎢3 ⎥ = ⎢− 3⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ όπου: 2 ∏ ( s − λ ) = ( s + 1)( s + 2) = s i 2 + 3 s + 2 = s 2 + γ 1s + γ 0 i =1 © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο ◊ Παράδειγµα (συν.) Σηµειώνεται ότι το αρχικό σύστηµα ήταν ασταθές (για την ακρίβεια ταλαντούµενο) αφού οι ιδιοτιµές του πίνακα A (βλέπε και εντολή eig στη Matlab) είναι: ρ1,2=±j ◊ Η ελεγξιµότητα ενός συστήµατος στο χώρο κατάστασης µπορεί να διαπιστωθεί χρησιµοποιώντας τις εντολές ctrb και rank της Matlab. Η πρώτη σχηµατίζει τον πίνακα ελεγξιµότητας S ενώ η δεύτερη ελέγχει την τάξη ενός πίνακα © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 7 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο ◊ Παράδειγµα ΙΙ Έστω το σύστηµα µιας εισόδου x& (t ) = Ax (t ) + bu (t ) µε: ⎡ − 1 1⎤ A=⎢ ⎥ ⎣ − 1 0⎦ ⎡0⎤ b=⎢ ⎥ ⎣1⎦ Να βρεθεί το διάνυσµα ανατροφοδότησης κατάστασης f ώστε το αντισταθµισµένο σύστηµα να έχει πόλους (ιδιοτιµές) τους -1+j, -1-j. ◊ Λύση: ◊ Το σύστηµα δεν είναι σε κανονική µορφή φάσης άρα χρειάζεται να διερευνήσουµε πρώτα την ελεγξιµότητα του: ⎡0 1⎤ S = [b | Ab ] = ⎢ ⎥ ⎣1 0 ⎦ ο πίνακας S είναι τάξης 2 (=n), άρα το σύστηµα είναι ελέγξιµο. © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο ◊ Παράδειγµα ΙΙ (συν.) Το σύστηµα δεν είναι σε κανονική µορφή φάσης αλλά ελέγξιµο, εποµένως το πρόβληµα σχεδίασης έχει λύση η οποία δίνεται από τις σχέσεις: ( f = W T ST ) −1 (α~ − ~γ ) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο a(s) του συστήµατος δίνεται από τη σχέση: a ( s ) = sI − A = s n + a n −1s n −1 + ... + a1s + a0 οπότε: sI − A = s +1 −1 = s2 + s + 1 1 s το επιθυµητό πολυώνυµο γ(s) είναι: 2 ∏ ( s − λ ) = ( s + 1 + j )( s + 1 − j) = s i 2 + 2 s + 2 = s 2 + γ 1s + γ 0 i =1 Ο πίνακας W είναι: ⎡1 − a1 ⎤ ⎡1 − 1⎤ W=⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣0 1 ⎦ ⎣0 1 ⎦ © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 8 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο ◊ Παράδειγµα ΙΙ (συν.) Οπότε τελικά έχουµε: ( f = W T ST ◊ ) −1 (α~ − ~γ ) = ⎡⎢ 0 1⎤ ⎥ 1 ⎣ 1⎦ −1 ⎛ ⎡1⎤ ⎡2⎤ ⎞ ⎡ − 1 1⎤ ⎡− 1⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎜ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎟ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎣ ⎦ ⎣2⎦ ⎠ ⎣ 1 0⎦ ⎣− 1⎦ ⎣− 1⎦ Σηµειώνεται η µετατόπιση ιδιοτιµών υλοποιείται στη Matlab µε τη συνάρτηση place, η οποία συντάσσεται ως: f=place(A,b,p); όπου p είναι το διάνυσµα των επιθυµητών ιδιοτιµών. ◊ Η συνάρτηση αυτή επιλύει το πρόβληµα της µετατόπισης ιδιοτιµών και για συστήµατα πολλών εισόδων © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο Παράδειγµα ΙΙΙ Έστω το Γ.Χ.Α σύστηµα: x& (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) µε ◊ ⎡ − 1 1⎤ A=⎢ ⎥ ⎣ − 1 0⎦ 1. ⎡0 − 1⎤ B=⎢ ⎥ ⎣1 0 ⎦ ⎡ f11 ⎣ f 21 Να βρεθεί αν υπάρχει πίνακας ανατροφοδότησης κατάστασης F = ⎢ f12 ⎤ f 22 ⎥⎦ ώστε το αντισταθµισµένο σύστηµα να έχει πόλους (ιδιοτιµές) οπουδήποτε επιθυµούµε. 2. Να βρεθεί αν υπάρχει πίνακας ανατροφοδότησης κατάστασης της µορφής ⎡f F=⎢ 1 ⎣0 f2 ⎤ f1 ⎥⎦ ώστε το αντισταθµισµένο σύστηµα να έχει πόλους (ιδιοτιµές) τους -1+j, -1-j © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 9 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο ◊ Παράδειγµα ΙΙΙ (συν.) Λύση: ◊ Το πρόβληµα της µετατόπισης ιδιοτιµών έχει λύση αν το σύστηµα είναι ελέγξιµο. Για το σκοπό αυτό σχηµατίζουµε το πίνακα S: ⎡0 − 1 1 1⎤ S = [B | AB ] = ⎢ ⎥ ⎣1 0 0 1⎦ ο πίνακας S είναι τάξης 2 (=n), άρα το σύστηµα είναι ελέγξιµο. ◊ Για το δεύτερο ερώτηµα χρειάζεται να ελέγξουµε αν υπάρχει πίνακας ⎡f F = ⎢ 11 ⎣ f 21 f12 ⎤ f 22 ⎥⎦ µε τους περιορισµούς f21=0, f11=f22. Το ζητούµενο πολυώνυµο γ(s) είναι: 2 ∏ ( s − λ ) = ( s + 1 + j)( s + 1 − j) = s i 2 + 2s + 2 i =1 Για να υπάρχει λύση στο πρόβληµα χρειάζεται: sI − A − BF = γ (s ) => s 2 + (1 − f 2 ) s + ( f1 − 1)2 − f 2 = s 2 + 2 s + 2 => f 2 = −1, f1 = 2 © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου ; Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο Αποσύζευξη Εισόδων Εξόδων ◊ Η µελέτη αλλά και ο έλεγχος Σ.Α.Ε πολλών εισόδων - πολλών εξόδων διευκολύνεται αν κάθε είσοδος επηρεάζει µία και µόνο έξοδο, και κάθε έξοδος επηρεάζεται από µια και µόνο είσοδο. Η µετατροπή σε τέτοια µορφή καθιστά ένα Σ.Α.Ε πολλών εισόδων - πολλών εξόδων ισοδύναµο µε πολλαπλά Σ.Α.Ε µίας εισόδου-µίας εξόδου τα οποία είναι σαφώς πιο εύκολα στη µελέτη. ◊ Το πρόβληµα της αποσύζευξης εισόδων – εξόδων ορίζεται ως εξής: ∆ίνεται το Γ.Χ.Α σύστηµα x& (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) ◊ y (t ) = Cx (t ) για το οποίο έχουµε ίσο αριθµό εισόδων και εξόδων (δηλαδή m=p). Ζητείται να προσδιορισθούν οι πίνακες F και G του νόµου ανατροφοδότησης κατάστασης έτσι ώστε κάθε είσοδος (ωi) του κλειστού συστήµατος να επηρεάζει µια και µόνο έξοδο του, και αντίστροφα, δηλαδή να ισχύει η σχέση: yi=f(ωi) x& (t ) = (A + BF )x(t ) + BGω(t ) y (t ) = Cx (t ) © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 10 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου ; Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο ◊ Αποσύζευξη Εισόδων – Εξόδων (ΙΙ) Ο πίνακας των συναρτήσεων µεταφοράς του κλειστού συστήµατος x& (t ) = (A + BF )x(t ) + BGω(t ) y (t ) = Cx (t ) δίνεται από τη σχέση (έγινε χρήση του µετασχηµατισµού Laplace): H( s ) = C(sI − A − BF )−1 BG ∆εδοµένου ότι Υ(s)=H(s)Ω(s) ένας ισοδύναµος ορισµός του προβλήµατος της αποσύζευξης εισόδων-εξόδων είναι ο προσδιορισµός των πινάκων F και G έτσι ώστε ο πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς H(s) να είναι οµαλός και διαγώνιος, να έχει δηλαδή τη µορφή: 0 ⎡h11 ( s ) ⎢ 0 h22 ( s ) ⎢ H( s ) = ⎢ ... ... ⎢ 0 0 ⎢ ⎢⎣ 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ... hm −1m −1 ( s ) 0 ⎥ ... 0 hmm ( s )⎥⎦ ... 0 0 ... ... 0 ... 0 ... © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου ; Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο Αποσύζευξη Εισόδων – Εξόδων (ΙΙΙ) Θεώρηµα: ◊ Το Γ.Χ.Α x& (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) y (t ) = Cx (t ) είναι αποσυξεύξιµο µε το νόµο ανατροφοδότησης κατάστασης u(t ) = Fx(t ) + Gω(t ) τότε και µόνο τότε ο πίνακας ⎡ c1A d1 B ⎤ ⎢ ⎥ d2 ⎢ c2A B ⎥ + ⎥ B =⎢ ... ⎢ d m −1 ⎥ c A B ⎢ m −1 ⎥ ⎢ c A dm B ⎥ ⎣ m ⎦ είναι οµαλός δηλαδή ισχύει B + ≠ 0. ci είναι η i- οστή γραµµή του πίνακα C και d1, d2, …, dm είναι ακέραιοι αριθµοί οι οποίοι υπολογίζονται ως εξής: ⎧ min j : ci A j B ≠ 0 j = 0,1,...,n −1 ⎪ di = ⎨ ⎪n −1 αν c A j B = 0 για όλα i ⎩ τα j © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 11 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου ; Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο ◊ Αποσύζευξη Εισόδων – Εξόδων (IV) Αν το σύστηµα είναι αποσυζεύξιµο ένα ζεύγος πινάκων που καθιστούν την αποσύζευξη εφικτή δίνεται από τις σχέσεις: ( ) G = (B ) F = − B+ −1 A+ + −1 όπου: ⎡ c1A d1 +1 ⎤ ⎢ d 2 +1 ⎥ ⎥ ⎢ c2A ⎥ A+ = ⎢ ... ⎢ d m −1 +1 ⎥ ⎥ ⎢c m −1A ⎢ c A d m +1 ⎥ ⎦ ⎣ m ⎡ 1 ⎢ s d1 +1 ⎢ ⎢ 0 ο πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς H(s) ⎢ έχει τη µορφή H( s ) = ⎢ ... ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ ( ) 0 ... 0 0 (s ) ... 0 0 ... ... ... ... 1 ... 0 0 ... 1 d 2 +1 (s d m −1 +1 0 ) 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (s ) d m +1 © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου ; Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο Παράδειγµα Ι Έστω το Γ.Χ.Α σύστηµα x& (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) ◊ y (t ) = Cx (t ) µε: ⎡ − 1 1⎤ A=⎢ ⎥ ⎣ − 1 0⎦ ⎡0 1 ⎤ B=⎢ ⎥ ⎣1 − 2⎦ ⎡ 1 0⎤ C=⎢ ⎥ ⎣ − 1 1⎦ 1. Να βρεθεί αν το σύστηµα είναι αποσυζεύξιµο και στην περίπτωση που είναι να υπολογιστούν οι πίνακες F και G του νόµου ανατροφοδότησης κατάστασης. 2. Να υπολογιστεί ο πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς του αρχικού αλλά και του αποσυζευγµένου συστήµατος. © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 12 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου ; Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο Παράδειγµα Ι (συν.) Λύση: ◊ Σχηµατίζουµε τον πίνακα B+ για να ελέγξουµε αν το σύστηµα είναι αποσυζεύξιµο ⎡0 1 ⎤ => d1 = 0 c1A 0 B = [1 0 ]⎢ ⎥ = [0 1] ≠ 0 ⎡ c A d1 B ⎤ ⎡ c B ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎣1 − 2 ⎦ B + = ⎢ 1 d ⎥ = ⎢ 1 ⎥ = CB = ⎢ ⎥ ⎢⎣c 2 A 2 B⎥⎦ ⎣c 2 B⎦ ⎣1 − 3⎦ 0 1 ⎡ ⎤ => d 2 = 0 c 2 A 0 B = [ − 1 1]⎢ ⎥ = [1 − 3] ≠ 0 ⎣1 − 2 ⎦ Αφού B + = −1 ≠ 0 το σύστηµα είναι αποσυζεύξιµο. Για να βρούµε τους πίνακες F και G σχηµατίζουµε τον πίνακα Α+ ⎡ c A d1 +1 ⎤ ⎡ c A ⎤ ⎡− 1 1 ⎤ A + = ⎢ 1 d +1 ⎥ = ⎢ 1 ⎥ = CA = ⎢ ⎥ ⎢⎣c 2 A 2 ⎥⎦ ⎣c 2 A ⎦ ⎣ 0 − 1⎦ οπότε ( ) G = B+ −1 ⎡0 1 ⎤ =⎢ ⎥ ⎣1 − 3⎦ −1 ⎡ 3 1⎤ =⎢ ⎥ ⎣1 0⎦ ( ) F = − B+ −1 ⎡3 1⎤ ⎡ − 1 1 ⎤ ⎡ 3 − 2⎤ A + = −GA + = − ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣1 0⎦ ⎣ 0 − 1⎦ ⎣1 − 1⎦ © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου ; Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο Παράδειγµα Ι (συν.) Λύση (συν.): ◊ Ο πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς του αντισταθµισµένου συστήµατος δίνεται από τη σχέση: ⎡ 1 ⎢ s d1 +1 H( s ) = ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣ ( ) 0 1 ⎤ ⎡1 ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢s ⎥ ⎢0 ⎥⎦ ⎣ (s ) d 2 +1 ⎤ 0⎥ 1⎥ ⎥ s⎦ © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 13 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου ; Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο Παράδειγµα ΙΙ Έστω το Γ.Χ.Α σύστηµα x& (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) ◊ µε: ⎡ 1 0 2⎤ A = ⎢⎢ 0 1 1⎥⎥ ⎢⎣− 1 2 0⎥⎦ y (t ) = Cx (t ) 0⎤ ⎡1 ⎡1 0 0⎤ B = ⎢⎢ 1 − 2⎥⎥ C=⎢ ⎥ ⎢⎣ − 1 2 ⎥⎦ ⎣0 1 1⎦ 1. Να βρεθεί αν το σύστηµα είναι αποσυζεύξιµο και στην περίπτωση που είναι να υπολογιστούν οι πίνακες F και G του νόµου ανατροφοδότησης κατάστασης. 2. Να υπολογιστεί ο πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς του αρχικού αλλά και του αποσυζευγµένου συστήµατος. © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου ; Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο Παράδειγµα ΙΙ (συν.) Λύση: ◊ Σχηµατίζουµε τον πίνακα B+ για να ελέγξουµε αν το σύστηµα είναι αποσυζεύξιµο 0⎤ ⎡1 c1A 0 B = [1 0 0 ]⎢⎢ 1 − 2⎥⎥ = [1 0 ] ≠ 0 => d1 = 0 ⎢⎣ − 1 2 ⎥⎦ ⎡1 c 2 A 0 B = [0 1 1]⎢⎢ 1 ⎢⎣ − 1 ⎡1 c 2 A1B = [0 1 1]⎢⎢ 0 ⎣⎢ − 1 0⎤ − 2⎥⎥ = [0 0 ] = 0 2 ⎥⎦ 0 2⎤ ⎡ 1 0⎤ 1 1⎥⎥ ⎢⎢ 1 − 2⎥⎥ = [1 − 4 ] ≠ 0 2 0⎦⎥ ⎢⎣ − 1 2 ⎥⎦ => d 2 = 1 ⎡ c A d1 B ⎤ ⎡ c B ⎤ ⎡1 0 ⎤ B+ = ⎢ 1 d ⎥ = ⎢ 1 ⎥ = ⎢ ⎥ 2 ⎣⎢c 2 A B⎦⎥ ⎣c 2 AB⎦ ⎣1 − 4⎦ © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 14 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου ; Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο Παράδειγµα ΙΙ (συν.) Λύση (συν.): ◊ + Αφού B = −4 ≠ 0 το σύστηµα είναι αποσυζεύξιµο. Για να βρούµε τους πίνακες F και G σχηµατίζουµε τον πίνακα Α+ ⎡ c A d1 +1 ⎤ ⎡ c A ⎤ ⎡ 1 0 2⎤ A + = ⎢ 1 d +1 ⎥ = ⎢ 1 2 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢⎣c 2 A 2 ⎥⎦ ⎣c 2 A ⎦ ⎣ − 2 5 1⎦ οπότε ( ) G = B+ −1 ( ) F = − B+ ⎡1 0 ⎤ =⎢ ⎥ ⎣1 − 4 ⎦ −1 = 1 ⎡4 0 ⎤ 4 ⎢⎣1 − 1⎥⎦ 1 ⎡4 0 ⎤ ⎡ 1 0 2⎤ 1 ⎡ 4 0 8⎤ =− ⎢ A + = −GA + = − ⎢ 4 ⎣1 − 1⎥⎦ ⎢⎣ − 2 5 1⎥⎦ 4 ⎣ 3 − 5 1⎥⎦ ⎡ 1 ⎢ s d1 +1 H( s ) = ⎢ ⎢ 0 ⎣⎢ ( −1 ) 0 1 ⎤ ⎡1 ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢s ⎥ ⎢0 ⎦⎥ ⎣ (s ) d 2 +1 ⎤ 0⎥ 1⎥ ⎥ s2 ⎦ © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου ; Μετατόπιση Ιδιοτιµών ; Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο H( s ) = C(sI − A − BKC)−1 BN ◊ Στο πρόβληµα του τέλειου ταιριάσµατος προς πρότυπο αναζητείται αντισταθµιστής τέτοιος ώστε το κλειστό (αντισταθµισµένο) σύστηµα να ακολουθεί όσο πιο πιστά γίνεται τη συµπεριφορά του προτύπου. ◊ Το πρόβληµα του τέλειου ταιριάσµατος προς πρότυπο ορίζεται ως εξής: ◊ ∆ίνεται το Γ.Χ.Α σύστηµα x& (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) y (t ) = Cx (t ) H( s ) = C(sI − A − BF )−1 BG και το πρότυπο σύστηµα µε πίνακα συναρτήσεων µεταφοράς Hm(s). Ζητείται να προσδιορισθούν οι πίνακες F και G του νόµου ανατροφοδότησης κατάστασης (ή οι πίνακες Κ και Ν του νόµου ανατροφοδότησης εξόδου) έτσι ώστε ο πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς H (s) του αντισταθµισµένου συστήµατος να ταυτίζεται µε τον Hm(s) δηλαδή να ισχύει: H( s ) = C(sI − A − BF )−1 BG = Hm ( s ) © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 15 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Νόµοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου ; Μετατόπιση Ιδιοτιµών ; Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο Παράδειγµα Ι Έστω το Γ.Χ.Α σύστηµα x& (t ) = Ax (t ) + bu (t ) ◊ y (t ) = Cx (t ) µε: ⎡ 0 1⎤ A=⎢ ⎥ ⎣ − 1 0⎦ 1. ⎡ 0⎤ b=⎢ ⎥ ⎣1 ⎦ ⎡1 1⎤ C=⎢ ⎥ ⎣0 1⎦ Να υπολογιστούν τα διανύσµατα f=[f1 f2]T και G=g του νόµου ανατροφοδότησης κατάστασης ώστε το αντισταθµισµένο σύστηµα να έχει πίνακα συναρτήσεων µεταφοράς: ⎡ 2 ⎤ ⎡2( s + 1)⎤ ⎢ s ⎥ ⎥ ⎥= 1 ⎢ Hm ( s) = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ s2 + s ⎢ 2 ⎢⎣ 2 s ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎣⎢ s + 1 ⎦⎥ © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 16