Συνέχεια συνάρτησης - Θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων

΢ΤΝΕΧΕΙΑ
΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢ - ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΢ΤΝΕΧΩΝ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΩΝ
Α.
9Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙ΢ΣΕΡΙΟΤ
ΘΕΩΡΙΑ
΄Εστω μια συνάρτηση f και x 0 ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της. Θα
λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 0 , όταν
lim f ( x)
x
x0
f ( x0 )
Για παράδειγμα, η συνάρτηση f ( x) | x | είναι συνεχής στο 0, αφού
f (0) .
lim f ( x) lim | x | 0
x
0
x
0
Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο x 0 του
πεδίου ορισμού της όταν:
α) Δεν υπάρχει το όριό της στο x 0 ή
β) Υπάρχει το όριό της στο x 0 , αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, f ( x 0 ) , στο σημείο x 0 .
Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται,
απλά, συνεχής συνάρτηση.
— Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής, αφού για κάθε x0 R ισχύει
lim P( x)
x
x
x0
P( x)
Q( x)
P( x 0 ) .
P
είναι συνεχής, αφού για κάθε
Q
— Κάθε ρητή συνάρτηση
lim
x0
x 0 του πεδίου ορισμού της ισχύει
P( x 0 )
Q( x 0 )
— Οι συναρτήσεις f ( x )
ημx και g ( x )
lim ημx
ημx 0
και
και
g( x )
log α x , 0 α
x
— Οι συναρτήσεις f ( x ) α x
συνx είναι συνεχείς, αφού για κάθε x 0
x0
lim συνx
x
x0
R ισχύει
συνx 0 .
1 είναι συνεχείς.
Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις
Από τον ορισμό της συνέχειας στο x0 και τις ιδιότητες των ορίων προκύπτει το παρακάτω
θεώρημα:
ΘΕΩΡΗΜΑ
Αν οι συναρτήσεις
συναρτήσεις:
f
f
g,
και g είναι συνεχείς στο x0 , τότε είναι συνεχείς στο x0 και οι
c f,
όπου
c R,
f g,
f
,
g
|f |
και
ν
f
με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το x 0 .
Για παράδειγμα οι συναρτήσεις f ( x) εφx και g( x) σφx είναι συνεχείς ως πηλίκα συνεχών
συναρτήσεων.
ΘΕΩΡΗΜΑ Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο
f ( x 0 ) , τότε η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο x 0 .
Για παράδειγμα, η συνάρτηση
συν( x 2
4) είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου
ορισμού της ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων f ( x ) x 2 4 και g ( x ) συνx .
ΚΩΣΤΑΣ
(x)
ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
18
΢ΤΝΕΧΕΙΑ
΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢ - ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΢ΤΝΕΧΩΝ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΩΝ
9Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙ΢ΣΕΡΙΟΤ
΢υνέχεια συνάρτησης σε διάστημα και βασικά θεωρήματα
ΟΡΙ΢ΜΟ΢
Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε
ένα ανοικτό διάστημα (α, β ) , όταν είναι συνεχής
σε κάθε σημείο του (α, β ) . (Σχ.α)
Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε
ένα κλειστό διάστημα [α, β ] , όταν είναι συνεχής
σε κάθε σημείο του (α, β ) και επιπλέον
lim f ( x)
x
και
f (α )
α
y=x 2 4
gf
g
Φ(x)=συνy=συν(x 2 4)
f ( β ) (Σχ.β)
lim f ( x)
x
f
x
β
y
y
(
a
O
(α)
)
β
x
O
[
a
]
β
(β)
x
y
Θεώρημα του Bolzano
Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση
μιας συνεχούς συνάρτησης f στο [α, β ] . Επειδή τα
σημεία A(α, f (α)) και B( β, f ( β )) βρίσκονται εκατέρωθεν
του άξονα x x , η γραφική παράσταση της f τέμνει τον
άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο.
Συγκεκριμένα ισχύει το παρακάτω θεώρημα.
f (β)
B(β, f (β))
a
O
x0
x0
x0
β
x
Α(α, f (α))
f (a)
ΘΕΩΡΗΜΑ
Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β ] . Αν:
η f είναι συνεχής στο [α, β ] και, επιπλέον, ισχύει
f (α ) f ( β )
0,
τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x 0
(α, β ) τέτοιο, ώστε f ( x 0 )
0.
Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης f (x) 0 στο ανοικτό διάστημα (α, β ) .
΢ΧΟΛΙΟ
Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι:
— Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή
ή είναι θετική για κάθε x Δ ή είναι αρνητική για κάθε x Δ , δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο
διάστημα Δ.
— Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι
διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.
ΚΩΣΤΑΣ
ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
19
΢ΤΝΕΧΕΙΑ
΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢ - ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΢ΤΝΕΧΩΝ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΩΝ
9Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙ΢ΣΕΡΙΟΤ
y
ρ1
+
ρ2
ρ3
+
+
ρ5 x
ρ4
Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της f για τις διάφορες τιμές του x.
Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής:
α) Βρίσκουμε τις ρίζες της f.
β) Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγο υμε έναν αριθμό
και βρίσκουμε το πρόσημο της f στον αριθμό αυτό. Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο
της f στο αντίστοιχο διάστημα.
Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών
Το επόμενο θεώρημα αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος του Bolzano και ε ίναι γνωστό ως
θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.
ΘΕΩΡΗΜΑ
Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β ] . Αν η f είναι
συνεχής στο [α, β ] και f (α ) f ( β )
τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f (α ) και f (β ) υπάρχει ένας, τουλάχιστον x 0
ώστε f ( x 0 ) η .
(α, β ) τέτοιος,
΢ΧΟΛΙΟ
Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο διάστημα [α, β ] , τότε δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες
τις ενδιάμεσες τιμές.
Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι:
Η εικόνα f (Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι
διάστημα.
ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέγιστης και ελάχιστης τιμής)
Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α, β ] , τότε η f παίρνει στο [α, β ] μια μέγιστη τιμή Μ και
μια ελάχιστη τιμή m.
Δηλαδή, υπάρχουν x1 , x 2 [α, β ] τέτοια, ώστε,
y
Μ
αν m
f ( x1 ) και M
f ( x 2 ) , να ισχύει
Μ
m
f ( x)
M,
για κάθε
x [α, β] .
m
m
O
ΚΩΣΤΑΣ
ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
[
a
x2
x1
]
β
x
20
΢ΤΝΕΧΕΙΑ
΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢ - ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΢ΤΝΕΧΩΝ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΩΝ
9Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙ΢ΣΕΡΙΟΤ
΢ΧΟΛΙΟ
Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών
μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [α, β] είναι το κλειστό διάστημα [m, M ] ,
όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της.
Κατά συνέπεια :
Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα κλειστό
διάστημα [α,β], τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το
διάστημα [f(α),f(β)].
Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό
διάστημα (α , β ) , τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το
διάστημα ( lim f (x) , lim f ( x ) ).
x
α
x
Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα κλειστό
διάστημα [α,β], τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το
διάστημα [f(β),f(α)].
Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό
διάστημα (α , β ) , τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το
διάστημα ( lim f ( x ) , lim f (x) ).
x
β
α
x
Β. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢
1. Να μελετηθούν ως προς την συνέχεια στο χ0=0 οι συναρτήσεις:
x x 1
i) f(x)=
x
,
x
1,
0
x
1
0
1
iii) f(x)=
-2
ii) f(x)=
1 - συν2χ
,
ημχ
ημχ
2
,
,
x
0
x
0
,
9
5
4
2. Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο
,
2
f(x)=
αχ - 1
,
,
x
x
0
x
0
0
0
με τις ιδιότητες : Είναι συνεχής στο χ0=0 και για κάθε χ1,χ2
ισχύει f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) Nα δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο
3. Να προσδιορίσετε το α
,
iv) f(x)=
x
.
, ώστε η συνάρτηση f με
x
x
π
να είναι συνεχής στο χ0=π.
π
4. Να εξετασθει αν είναι συνεχεις στο χ0=1 οι συναρτησεις
ΚΩΣΤΑΣ
ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
21
΢ΤΝΕΧΕΙΑ
΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢ - ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΢ΤΝΕΧΩΝ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΩΝ
2
ι) f ( x)
x
x2
1
,
2
3x 2
, x 1
4x 3
ιι) f ( x)
x 1
3
x2 1
, x 1
x 1
2,
x 1
3
ιιι)
f ( x)
x 1
,x 1
x 1
9Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙ΢ΣΕΡΙΟΤ
x
x
x 1
2
,x 1
5
,
x 1
6
5 (1 x 2 )
, 0 x 1
12 ( x)
5. Να μελετηθουν ως προς την συνεχεια οι συναρτησεις
x4
ι) f ( x)
x
x 3 3 x 7
,x 1
x 1
1
x,x
(
x
0
1,
,0)
(0, ) ιι) f ( x)
1
,
6
( x)
12
(
x) 1
x
ιιι) f ( x)
, x
0,
7
x
3x
7
x 1
,
x
2
,
0
x 1
0
x
0
x
0
6. Αν η συνάρτηση f ορισμένη στο
είναι συνεχής στο x0=0 και f(0)=0, να δείξετε ότι η
1
f ( x )ημ , x 0
συνάρτηση g(x)=
είναι συνεχής στο x0=0.
x
0,
x 0
7. Να μελετηθουν ως προς την συνεχεια οι συναρτησεις
1
x
ι) f ( x)
2
x
1,
x
ιιι)
2x
1
x
,x
x
x)
(
x
( x)
,
2x
f ( x)
x2
2x
8. Για την συνάρτηση f :
ιι) f ( x)
0
0
x
0
3, 0
x
f (χ) ημ2χ
ΚΩΣΤΑΣ
x)
,x
x
2
2
4
ισχύει f5(x)+f(x)=x για κάθε x
9. Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο
ημ2χ - χ 2
(
2x
2
,x
4
2
0
. Δείξτε ότι η f είναι συνεχή ς στο x0=0
.Αν για κάθε χ R ισχύει
χ 2 και η f είναι συνεχής στο χ0=0,να βρεθεί το f(0).
ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
22
΢ΤΝΕΧΕΙΑ
΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢ - ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΢ΤΝΕΧΩΝ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΩΝ
x3
10. Να βρεθουν οι α,β,γ
R ώστε να είναι συνεχης η f ( x)
2,
9Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙ΢ΣΕΡΙΟΤ
x2 x 1
,x 1
( x 1) 2
x 1
11. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0=1 και ισχύει 3x-x2-2 (x-1)f(x) x2-x για κάθε
x
να υπολογίσετε την τιμή f(1).
12.Δίνεται η συνάρτηση f:
x f(x)+ ημχ
που είναι συνεχής στο x0=0 και για την οποία ισχύει
x ,για κάθε x
. Να υπολογίσετε την τιμή f(0).
13.Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο
f (x)
0 x
f(0)=0 και lim
x
. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο x0=0.
, 
14.Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο
f (x) 3
x
2
0
x x
f(0)=3 και lim
x
f (x) 3
0
x
15. Δίνεται η περιττή συνάρτηση f:
i) Να υπολογίσετε την τιμή f(1).
iii) Να βρείτε το όριο lim
x
1
για την οποία ισχύουν:
5 . i) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο x0=0.
ii) Να βρείτε τα όρια: α) lim
x
για την οποία ισχύουν:
και β) lim
x
2f ( x ) 3 3
x
0
.
f (x) 5
10 .
1
x 1
που είναι συνεχής στο x0=1 με lim
x
ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο x1=-1.
f (x) 5
.
x 1
16. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 2 με f(3)=10 και για κάθε x
τότε: i) Nα προσδιορίσετε την τιμή f(2),
ισχύει f(5-x)=f(x),
ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο x0=3.
17. Να βρεθει ο τυπος της συνεχους συναρτησης f : R
R που ικανοποιει τη σχεση
xf(x)-(x-2)(x-3)=ημ(3χ)-6 , x R.
18. Αν f ( x) 1
2
x f ( x)
π
4
x και η f συνεχης στο R να βρεθει το f ( )
19. Η συναρτηση f είναι συνεχης στο R και lim
x 1
20. Αν η συνεχης συναρτηση f : R
ΚΩΣΤΑΣ
f ( x)
x 8
x 1
7 να
βρεθει το
lim
x 1
f ( x) 3
x 1
R ικανοποιει τη σχεση
ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
23
΢ΤΝΕΧΕΙΑ
x2
΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢ - ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΢ΤΝΕΧΩΝ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΩΝ
1
x
x 1 1 x2
x
21. Aν lim
x
0
g ( x)
f ( x)
x
x
,x
2x
f ( x)
να βρεθει το f(0).
R
3, να βρεθει ο πραγματικος αριθμος α ώστε η συναρτηση
xf (3x) f ( x) ( x)
,x 0
2
να είναι συνεχης στο 0.
4x 2
x
7
, x 0
3
22. Αν η για τη συναρτηση f ισχυει f (2 k )
f ( x)
2 x 2
lim
x
9Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙ΢ΣΕΡΙΟΤ
23. Aν x 3 1
R
και
f ( x) 3
, να βρεθει το f(3) αν η f είναι συνεχης στο x0=3.
x 3
lim
x
k , k
3
f ( x) kx
x2
x,
f (1) 1 να βρεθουν οι κ, λ R ώστε η
f ( x) 1
, x 1
x 1
, x 1
συναρτηση g ( x)
24. Δινεται η συναρτηση f : R
να είναι συνεχης στο x0=1
R για την οποια ισχυει η σχεση
f(
)
f( )
f ( ),
,
R.
Aν η f είναι συνεχης στο x0=1 να δειχθει ότι είναι συνεχης στο R.
25. Η συναρτηση f : R
R , ικανοποιει τη σχεση f(αβ)=f(β)f(α). Αν ειναι συνεχης
στο x0=2 να δειχθει ότι είναι συνεχης στο R
ΟΡΙΑ ΜΕ ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΣΑΒΛΗΣΗ΢
Ι) Αν f(a+β) =f(a)+ f(β) και lim f ( x)
x
Αποδειξη. Αν x
h
Aρα
lim f ( x)
x
lim f (h
x0
f ( x0
x 0 τοτε χ - x 0
x0 )
h
0)
¨lim f ( x)
x
x0
x
lim f (
h
x
0 , τοτε χ - x 0
lim f ( x 0 )
f (h
h
x0
f ( x0 ).
, θετω h= x – x0 + a, Και εχω
)
lim f (h
)
h
f ( x0 )
f (0)
f ( x0 )
f ( x0 )
ΙΙ) Αν f(a.β) = f(a)+ f(β) και
Αποδειξη. Αν
f (a) να δειξετε ότι lim f ( x)
x 0 τοτε
x0 h
)
lim f ( x)
x
x0
lim f ( x0 )
h
ΚΩΣΤΑΣ
f (a) να δειξετε ότι
x
x0
1 τοτε
h
f( )
h
lim f ( )
h
ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
lim f ( x)
x
f ( x0 )
x0
. Θετω h =
x
x0
f ( x0 )
f( )
f (1)
και εχω
f( )
24
΢ΤΝΕΧΕΙΑ
΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢ - ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΢ΤΝΕΧΩΝ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΩΝ
3
26. Αν η f είναι συνεχης στο R και lim
f ( x)
27. Αν η f είναι συνεχης στο 3 και lim
f ( x 3)
x
x
x
28. Αν για κάθε χ , ψ
R ισχυει
f ( x)
2
0
f( )
3x 2
x 2
5
να βρεθει το
6
5 να
βρεθει το
να δειχθει ότι η
x
29. Αν για την ορισμενη στο R συναρτηση f ισχυει
9Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙ΢ΣΕΡΙΟΤ
lim
x
lim
x
3
2
f ( x) f (2)
x 2
f ( x) f (3)
x 3
f είναι συνεχης στο R
f 3 ( x) 3 f ( x) 1 x να
δειξετε ότι είναι 1-1 και συνεχης
30. Αν η f είναι περιττη και συνεχης στο
31. Να βρεθει ο τυπος
xf ( x)
1
x
1
της συνεχους
συναρτησης
34. Αν
f
στο R.
f ( x) 2
6
x 4
είναι συνεχης στο 1 να δειχθει ότι είναι συνεχης και στο 3 .
f (4 x 3)
4x 5
να
f ( x), x
R
και lim
x 1
και
δειχθει ότι η f είναι συνεχης στο 2.
(α ,β) ώστε f (ξ)=0 Να δειχθει ότι για κάθε x
υπολογισθουν τα ορια
και υπαρχει μοναδικο
[α ,β ] είναι f ( x) f ( ) 0.
f( )f( )
36. Να μελετηθει ως προς τη συνεχεια η συναρτηση
να
x0
f στο R όταν ισχυει
35. Η συναρτηση f είναι συνεχης στο [α ,β ] ισχυει
ξ
και στο
να δειχθει ότι οι συναρτησεις f, g είναι
x
33. Aν για τη συναρτηση f ισχυουν f (4 x)
η
0 να δειχθει ότι είναι συνεχης
x
32. Αν f 2 ( x) g 2 ( x) x2 2x f ( x) x g ( x)
συνεχης
x0
f ( x)
0
1
,x 0
1 7x
και
2 x 3x
,x 0
1 7x
lim f ( x)
x
37. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση
f x
1
x 2 ημ , x 0
x
0,
x 0
38. Θεωρούμε συνάρτηση f για την οποία ισχύουν τα: ι) f ( x y ) f ( x ) f ( y ) x, y R
ιι)
f ( 0)
0
α. Να βρείτε την τιμή f ( 0) .
β.
Αν η f είναι συνεχής στο xo = 0 τότε να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο R.
39. Αν η f είναι συνεχής στο [0,1] και 0
f(x)
1
0,1 , να δειχθεί ότι υπάρχει, ένα
τουλάχιστον ξ [0,1), ώστε να ισχύει:f 2005(ξ) + ξ = f(ξ)
ΚΩΣΤΑΣ
ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
25
΢ΤΝΕΧΕΙΑ
΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢ - ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΢ΤΝΕΧΩΝ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΩΝ
9Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙ΢ΣΕΡΙΟΤ
40. Έστω f συνεχής στο Δ = [α, β]. Να δειχθεί ότι: Η συνάρτηση f (α+β-χ) είναι συνεχής στο Δ.
Υπάρχει, ένα τουλάχιστον ξ Δ, ώστε να ισχύει: f (α+β-ξ) = f(ξ).
41. Έστω f συνεχής στο Δ = [α, β] και γ >0. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον ξ Δ,
ώστε να ισχύει: f(ξ) =
f( )
f( )
.
1
42. Αν για τον μιγαδικό αριθμό z = α+βi ισχύει: z
i) Re(z2) =
z
1
, να αποδείξετε ότι:
z
1
2
ii) Με δεδομένη τη σχέση του ερωτήματος (i), αν επιπλέον f(2)=α>0, f(3)=β και α>β, να
iii) αποδείξετε ότι: υπάρχει x0
(2,3) τέτοιο ώστε f(x0)=0.
43. Αν η f είναι συνεχής στο [0,4] και f(0)= f(4), να αποδειχθεί ότι υπάρχουν α,β
[0,4]
με β - α = 2 τέτοια, ώστε f(α)= f(β).
44. Έστω f:
συνεχής συνάρτηση με f(1) + f(2) + f(3) = 0. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση
f(χ) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα.
45. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2 + βx + γ και g(x) = - x2 + βx + γ με γ 0. Αν ρ1 είναι ρίζα της
f και ρ2 είναι ρίζα της g με ρ1<ρ2, να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(χ) +2g(x) έχει μια τουλάχιστον
ρίζα στο (ρ1, ρ2).
46. Έστω α,β
, με α < β. Να αποδειχθεί ότι για κάθε γ (α,β) υπάρχει μοναδικό ξ
(0,1),
ώστε γ = ξ β + (1-ξ)α.
47. Έστω f,g συναρτήσεις με Π.Ο. το Δ. Εάν για κάθε χ Δ η f είναι συνεχής και f(x)-g(x) = cx,
c
τότε ν.δ.ο: Αν ρ1, ρ2 δύο ετερόσημες ρίζες της f(x) = 0 η εξίσωση g(x) = 0 έχει μια
τουλάχιστον ρίζα στο [ρ1, ρ2].
48. Έστω f(x) = x3 + συν(πx) – 1 και g(x) = ln(x-1). Να αποδειχθεί ότι υπάρχει α (1,2) ώστε
f(α)= g(κ),
e 1 8
,e 1 .
e
49. Οι αριθμοί α1 α2……α1994 ανήκουν στο διάστημα [0,1]. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει, ένα
τουλάχιστον ξ
0,1 ωστε
ΚΩΣΤΑΣ
1
2
.....
ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
1994
997.
26
΢ΤΝΕΧΕΙΑ
΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢ - ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΢ΤΝΕΧΩΝ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΩΝ
50. Αν α,β,γ
, να αποδειχθεί ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον ξ
ημ2(ξ+α)+ +ημ2(ξ+β)+ ημ2(ξ+γ)=
51. Οι συναρτήσεις f,g : [0,1]
ξ
0,
2
9Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙ΢ΣΕΡΙΟΤ
ώστε:
3
.
2
[0,1] είναι συνεχείς. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον
(fog gof )( ), 2 και v 2
0,1 ώστε τα διανύσματα v1
( ,1)
να είναι
παράλληλα
52. Να αποδείξτε ότι :
2000
i) η εξίσωση
ii) η εξίσωση
2004
1
1
6
2
0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (-1,1).
1
0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( , ) .
6 4
4
3
53. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex-α -1και g(x) = ln(αx+1) + α, όπου α (0, ).
4
i) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(χ) = αχ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [α,α+1].
ii) Αν ξ είναι μια ρίζα της εξίσωσης f(χ) = αχ στο διάστημα [α,α+1], τότε να δείξετε ότι:
limg(x)
.
x
54. Αν f,g είναι συνεχεις στο R ώστε f(1)+f(2)+…+f(2004)= g(1)+g(2)+…+g(2004).,
να δειχθει ότι υπαρχει ξ ( α,β) τετοιο ώστε f(ξ) =g(ξ)
55. .
Οι συναρτησεις f ,g εχουν πεδιο ορισμου και τιμων το [0 ,α] ειναι συνεχεις
σε αυτό .Αν f είναι φθινουσα και f  g
g  f να δειχθει ότι υπαρχει ξ [0,α] τετοιο
ώστε f(ξ )=g( ξ)= ξ
56. Εστω συναρτηση f συνεχης στο [α,β] και οι μιγαδικοι αριθμοι z= a2+ if(a),
w= f(β )+ i β2 με αβ 0. Αν w2 + z2 = w-z 2, δειξτε ότι η εξισωση f(x)=0 εχει μια τουλαχιστον
ριζα στο [α,β].
57. Αν f συνεχης στο [ α,β] , χ1 , χ2,…,χν [α,β] και κ1 , κ2,…,κν
ότι
υπαρχει ξ (α,β) ώστε
R+ να δειξετε
k1 f ( x1 ) k 2 f ( x 2 ) ... k f ( x )
k1 k 2 ... k
f( )
58. Για μια συνεχή συνάρτηση f στο [0,1] ισχύει f(0) = 2 και f(1) = 4. Αν η συνάρτηση f είναι
γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ που ανήκει στο (0,1) ώστε:
f
f(ξ) =
1
5
f
2
5
f
3
5
4
ΚΩΣΤΑΣ
f
4
5
.
ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
27
΢ΤΝΕΧΕΙΑ
΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢ - ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΢ΤΝΕΧΩΝ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΩΝ
59. Αν η συνάρτηση f : [α,β]
ξ [α,β],ώστε :
f( )
9Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙ΢ΣΕΡΙΟΤ
[α,β] είναι συνεχής και αβ> 0, να αποδείξετε ότι υπάρχει
.
60. Αν η συνάρτηση f : [α,β]
είναι συνεχής και f 2(α) + f(α) f(β) = 0, να αποδείξετε ότι
υπάρχει ξ [α,β],ώστε f(ξ) = 0.
61. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0,1] με f(0) = f(1), να αποδείξετε ότι η εξίσωση
f(χ) = f( χ+
1
) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [0,1].
3
62. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,5] με f(1) = 3 και f(5) = 2, να αποδείξετε ότι η γραφική
παράσταση της f έχει τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με την ευθεία
63. Οι συναρτήσεις f,g [0,1]
(ε): ψ-χ=0.
είναι συνεχείς και ισχύει fog = gof για κάθε χ
0,1 .Έστω
επίσης ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,1] και 0 f ( ) 1 και 0 g(x) 1 x
0,1 ωστε f(ξ) = ξ και g(ξ) = ξ.
Να αποδειχθεί ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον ξ
64. Για μια συνεχή συνάρτηση f, ισχύει ότι:
i) Να δειχθεί ότι f (0)
3
2x 8
x 4
65. Για μια συνάρτηση f συνεχή στο
x
1
xf (x)
x
6
x6
x
4.
1
6
(0,1] ωστε f(k) =
ii) Να δειχθεί ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον k
lim
0,1 .
k
6
k6 .
, ισχύει ότι:
f (x)
4 και 4ημ(x-2) (x-2)f(x) x 2
x 1
4
x
.
Να δειχθεί ότι η Cf τέμνει τη γραφική παράσταση της παραβολής ψ = x2 - x + 1 σε σημείο με
τετμημένη που ανήκει στο διάστημα (1,2).
66. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,2] με f(2) 6, και ακόμη f(1) + f(2) = 8, να αποδείξετε
ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον ξ (1,2) που f(ξ) = ξ +ξ2.
67. Έστω f:
,
συνεχής συνάρτηση. Αν α,β είναι ρίζες της εξίσωσης
ΚΩΣΤΑΣ
ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
28
΢ΤΝΕΧΕΙΑ
΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢ - ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΢ΤΝΕΧΩΝ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΩΝ
9Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙ΢ΣΕΡΙΟΤ
3χ2-4000χ+2001 = 0, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ [α,β] τέτοιο ώστε να
ισχύει: f
68. Έστω f:
2
,
3
2
f
2
f
2
.
2000f
3
συνεχής συνάρτηση και οι μιγαδικοί αριθμοί z = α+βi, z1 = α+if(α),
z2 = β+if(β).Αν ισχύει 3 z2
z2
4izz
4i Re z1z2 , να δειχθεί ότι η Cf έχει ένα
τουλάχιστον κοινό σημείο με τον άξονα χ΄χ.
69. Δίνεται η συνάρτηση f(χ) = λχ4 – (3λ-4)χ3 + 3(λ-3)χ2 – 3(λ-2)χ + 2λ - 3 , όπου λ
.Να
αποδείξετε ότι:
I) Η Cf διέρχεται από δύο σταθερά σημεία, για κάθε τιμή του λ
.
II) Η εξίσωση (3λ-4)χ3 - 3(λ-3)χ2 + 3(λ-2)χ =λχ4 - 2λ + 3 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο
70. Έστω f:
συνάρτηση, ώστε f 2(x) + ημ2χ = χ2
x
(1,2).
.
i) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0.
ii) Αν η f είναι συνεχής και ισχύει f(α)f(β)‹0, να αποδείξετε ότι αβ‹0.
71. Δίνεται η «1-1» συνάρτηση f(x) = αχ3 + 2χ2 + βχ – 4 με α >0.
i) Να δείξετε ότι: αβ>1.
ii) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(χ) = 0 έχει μια μόνο ρίζα στο διάστημα (0,1).
72. Έστω συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει f 2(x) + χ2= 5χ για κάθε χ Δ = (0,5).
a) Να αποδείξετε ότι η f:
i) Δεν έχει ρίζες στο Δ.
ii) Έχει σταθερό πρόσημο στο Δ.
b) Να βρεθεί ο τύπος της f στο Δ, αν επιπλέον είναι γνωστό ότι f(1) = -2.
73. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g :
και
x
ισχύει f(x).(g(x)+1) 1 .
Να δείξετε ότι η f είναι σταθερή
74. Έστω συνεχής συνάρτηση f : [α,β]
όπου α,β
με α β. Να δείξετε ότι η f είναι
σταθερή.
ΚΩΣΤΑΣ
ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
29
΢ΤΝΕΧΕΙΑ
75.
΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢ - ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΢ΤΝΕΧΩΝ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΩΝ
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f :
με την ιδιότητα f 2(x) = 2exf(x),
76. Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f :
(f (x) – 1) (f (x) – 3) = 0,
9Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙ΢ΣΕΡΙΟΤ
x
με την ιδιότητα:
.
x
77. Έστω συνεχής συνάρτηση f στο διάστημα Δ = (α,β), γνησίως φθίνουσα στο (α,γ] και γνησίως
αύξουσα στο [γ,β) όπου γ (α,β).Αν f(γ) = -1 και lim f (x)
x
2 και lim f (x) 3, να βρεθεί:
x
β
i) Το σύνολο τιμών της f.
ii) Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (x)=0, x Δ.
78. Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f :
f 2(x) – 2(f (x)ημx = 1,
x
με την ιδιότητα:
.
79. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex +x +1. Να δείξετε ότι:
i)
η f είναι γνησίως αύξουσα.
ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
iii) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(χ) = 0 έχει μια μόνο ρίζα.
80. Οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο διάστημα [-α,α] και ισχύουν:
Ι) Η f είναι περιττή,
ιι) Η g είναι γνησίως φθίνουσα,
Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα χ0
ιιι) g(α) = -α και g(-α) = α.
(-α,α) τέτοιο ώστε:
f(g(χ0)) + f (χ0) + g(χ0) = 0.
Σε ποιο σημείο χρησιμοποιήθηκε η υπόθεση ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα;
81. Αν για τον μιγαδικό αριθμό z = x + i f(x) ισχύει z = 1 για κάθε χ Df, να αποδείξετε ότι:
i) Το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f είναι υποσύνολο του διαστήματος [-1,1],
ii) η f διατηρεί συαθερό πρόσημο, αν Df = (-1,1).
82. Δίνεται η συνάρτηση f(x) =
4 x
2 x.
i) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως μονότονη.
ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
iii) Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 0.
ΚΩΣΤΑΣ
ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
30
΢ΤΝΕΧΕΙΑ
83.
΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢ - ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΢ΤΝΕΧΩΝ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΩΝ
Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g: [0,
)
9Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙ΢ΣΕΡΙΟΤ
με g(0) = 1 και
x[f(x)-g(x)] = x [ 3f(x)+g(x)].
α) Να βρείτε το f(0).
β) Αν για κάθε χ [0,4] είναι f(x)≠0, να δείξετε ότι:
i) Η εξίσωση (x-2)f(x) +x f(x+2) = x(x-2) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0,2).
ii) g(x) > 0 για κάθε χ [0,4].
84. Έστω συνεχής συνάρτηση f στο [1,4] για την οποία ισχύουν:
Ι) f(x)≠0 για κάθε χ [1,4].
Να αποδείξετε ότι:
Ιι) f(1) > 0
ιιι)
f(1) f(2) = f(3) f(4)
α) f(x) > 0 για κάθε χ [1,4],
β) Η συνάρτηση g(x) = f 2(x) - f(1) f(2) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (1,2).
γ) Η συνάρτηση f δεν είναι αντιστρέψιμη.
85. Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g :
Nα δείξετε ότι :
με f(x)g(x)=ex , για κάθε x
α) f(x)>0, για κάθε x
β) Υπάρχει x0
με f(1)>3 και g(2)>2.
(1,2) τέτοιο ώστε g(x0)=x0
86. Για την συνεχή συνάρτηση f ισχύει ότι: f3(x)+βf2(x)+γf(x)=x3-2x2+6x-1, για κάθε x
β2<4γ. Αν η f είναι γνησίως στο
, με β,γ
και
αύξουσα να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης f(x)=0
στο διάστημα (0,1)
ΘΕΜΑΣΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ΢
1. Έστω f:IR
IR με 5f5(x)+3f3(x)+x=0, για κάθε x IR.
Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης της.
2. Έστω g(x)=x2+αx+β, α περιττός ακέραιος. Αν για μια συνάρτηση f ισχύει (fog)(x)=(gof)(x) για κάθε
x IR και η εξίσωση f(x)=x έχει μοναδική ρίζα, δείξτε ότι ο αριθμός β είναι τετράγωνο ακεραίου.
3. α) Έστω οι 1-1 συναρτήσεις f, g:IR
IR . Να αποδείξετε ότι η fog είναι 1-1.
β) Αν f(g(x))=g(x)+g(1-x) για κάθε x IR, δείξτε ότι μία τουλάχιστον από τις f, g δεν αντιστρέφεται.
4. Έστω f:IR
IR περιττή και αντιστρέψιμη. Να δείξετε ότι η f -1 είναι περιττή.
5. Έστω η 1-1 συνάρτηση f:IR
α) f(0)=0,
IR με f(IR)=IR. Αν f(3x+2y)=3f(x)+2f(y) για κάθε x, y IR, να δείξετε ότι:
β) f περιττή,
γ) f –1(3α+2β)=3f –1(α)+2f –1(β), α, β IR.
6. Έστω η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : IR
IR.
Αν τα σημεία Α(1, 2) και Β( -1, 3) βρίσκονται στη γραφική παράσταση της f :
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα,
β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται,
ΚΩΣΤΑΣ
ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
31
΢ΤΝΕΧΕΙΑ
΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢ - ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΢ΤΝΕΧΩΝ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΩΝ
γ) Να βρείτε το λ IR ώστε f
-1(
2+f
-1 (
eλ-1 )
9Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙ΢ΣΕΡΙΟΤ
) = -1.
7. Έστω f:IR
IR με f(IR)=(1, + ) και ισχύει f2(x)-2f(x)=e2x-1, για κάθε x IR.
α) Να βρείτε την f.
β) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 και να βρείτε την αντίστροφη της.
8. Έστω f:IR
IR με (fof)(x)=x-1, x IR. Δείξτε ότι:
α) η f είναι 1-1,
β) f-1(x)=1+f(x), x IR, γ) η Cf δεν έχει κοινά σημεία με τη διχοτόμο της xOy .
9. Έστω f:IR
IR με f(f(x))=x+2006, x IR. Δείξτε ότι:
i) η f αντιστρέφεται και βρείτε τον τύπο της f-1 συναρτήσει του τύπου της f,
ii)f(x+2006)=f(x)+2006,
iii) η Cf δεν έχει κοινά σημεία με την ε: y=x.
10. Έστω f:IR
IR συνεχής με ef(x)+g(x)=1-x, x IR. Αν η Cf τέμνει τον x΄x σε δύο σημεία Α, Β εκατέρωθεν
της αρχής των αξόνων, αποδείξτε ότι η Cg τέμνει τον x΄x σε ένα τουλάχιστον σημείο μεταξύ των Α και Β.
11. Έστω f:IR
IR περιττή και συνεχής με lim f ( x)
x 1
2 .Δείξτε ότι υπάρχει σημείο της Cf με τεταγμένη 1.
12. Έστω f, g συνεχείς στο [α, β]. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, β] και g(A)=[α, β], αποδείξτε ότι
υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 [α, β] τέτοιο ώστε f(x0)+ x0=f(g(x0))+g(x0).
13. A. Έστω f ορισμένη και συνεχής στο [α, β]. Αν f(α)(2005+ex)+f(β)(2006+ημ2x)=0,
αποδείξτε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο [α, β].
B. Aν f(-x)+2f(x)=
x 3,
x 1
, να βρεθεί η f.
x 3,
x 1
f ( x) x 1
4x
IR με lim
x 0
x2 9 3
14. Έστω f:IR
15. Έστω f, g:IR
f ( x) 2
x
IR με lim
x
2
1 , lim
x
2
54 . Να υπολογίσετε το lim
x 0
g ( x) 4
x
f ( x)
.
x
2 . Να υπολογίσετε το lim
x
2
f ( x) g ( x) 8
.
x
16. Έστω f(x)>0 για κάθε x IR και lim f ( x) = lim g ( x) =0 όπου g(x)>0 για κάθε x IR.
x
2
Αν h( x)
17. Έστω f:IR
f ( x)
2
x g ( x)
f ( x) g ( x)
IR άρτια και lim
x
2
x
x0
x
x0
, x IR, να βρείτε το lim h( x).
x
x2
x 1
f ( x)
x0
. Να βρείτε το lim f ( x) .
x
2
18. Έστω f πολυωνυμική συνάρτηση δευτέρου βαθμού και η Cf διέρχεται από το Ο(0, 0) και
f ( f ( x))
1
lim
1, lim ( f ( x) x) 2 . Να βρεθεί ο τύπος της f.
4
x
x
x 1
x
19. Έστω f:IR
IR περιττή και lim ( f ( x)
20. Έστω f:IR
IR με 3f(x)+2f(1-x)=x, x IR.
x
ΚΩΣΤΑΣ
x2 x 1 x
ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
1
)
x
7
. Να βρείτε το lim f ( x) .
x
2
32
΢ΤΝΕΧΕΙΑ
΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢ - ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΢ΤΝΕΧΩΝ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΩΝ
β) Να βρείτε το lim
α) Να βρείτε τον τύπο της f,
x 0
9Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙ΢ΣΕΡΙΟΤ
x 2 f (2 x) f ( f ( x))
2
x2
x
2
x
.
21. α) Έστω f:IR
IR, γνησίως αύξουσα και f(f(x))=x, για κάθε x IR. Να δείξετε ότι η f είναι ταυτοτική.
β) Έστω f(f(x))=x για κάθε x IR και f συνεχής στο IR. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον
ένα ξ IR τέτοιο ώστε f(ξ)=ξ.
22. Έστω f(x)=x+lnx.
α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.
γ) Να βρείτε τις τιμές του λ IR ώστε ln
23. Έστω f:IR
β) Να βρείτε την τιμή f-1(e+1).
2
2
2
1
5
4
2
.
IR με f3(x)+2x2f(x)=3ημ3x, για κάθε x IR. Αν lim
x 0
f ( x)
=α, τότε:
x
α) να δείξετε ότι α=1,
f ( f ( x))
,
x 0
x 0
x
x
f ( x)
24. Έστω f:IR IR γνησίως αύξουσα και συνεχής. Αν lim
1:
x 1 x 1
f ( x)
α) να βρείτε το lim
.
β) να δείξετε ότι f(1)=0.
x
x
β) να βρείτε τα όρια
lim
f(
x)
lim
,
lim
x 1
f ( x 2 x)
.
x 2 3x 2
2
f ( x)
, x 1
γ) να βρείτε το κ IR ώστε η g(x)= x 1
να είναι συνεχής στο IR.
, x 1
δ) για κ=1, να αποδείξετε ότι η Cg τέμνει την ευθεία y=2x σε ένα τουλάχιστον σημείο με
τετμημένη x0 (0, 1).
25. Έστω f συνεχής στο [0, 4] με f(0)=f(4). Έστω h(x)=f(x)-f(x+2), x [0, 2].
Να αποδείξετε ότι:
α) η h είναι συνεχής,
β) η εξίσωση f(x)=f(x+2) έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο [0, 2].
26. Έστω Δ=[α, β], α>0 και μια συνεχής συνάρτηση f:Δ
f( )
Δ.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει γ Δ τέτοιο ώστε
.
27. Έστω οι συναρτήσεις f, g:IR
IR με g(x)=(fof)(x) για κάθε x IR. Αν η Cg τέμνει την ευθεία με
εξίσωση y=x σε ένα μόνο σημείο με τετμημένη α, να αποδείξετε ότι η Cf διέρχεται απ’ το σημείο αυτό.
28. Έστω f:IR
IR με f3(x)+2f(x)=3ex, για κάθε x IR.
α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. β) Να λυθεί η ανίσωση f(f(x)-1) 1.
29. Δίνεται ότι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο IR και έχουν την ίδια μέγιστη τιμή σε διαφορετικά
σημεία. Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις τους έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο.
30. Έστω ότι οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο IR. Αν η σύνθεση της g με την f είναι 1-1 και ισχύει
f2(0)+f2(1)+4=4f(0), να αποδείξετε ότι:
α) η g είναι 1-1
β) f(1)=0 , f(0)=2
γ) η εξίσωση g(f(x)-x)=g(1-x2) έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (0, 1).
31. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (0,2] με f(2)= -7 και
ισχύει 1 4 x f ( x) 1 x 2 για κάθε x 0,2
ΚΩΣΤΑΣ
ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
33
΢ΤΝΕΧΕΙΑ
΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢ - ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΢ΤΝΕΧΩΝ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΩΝ
α. Να εξετάσετε αν η f είναι αντιστρέψιμη. β. Να λύσετε την εξίσωση f
γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μία ακριβώς ρίζα στο (0,2).
32. Έστω f:IR
9Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙ΢ΣΕΡΙΟΤ
1
( x 8)
2.
IR με f3(x)+3f(x)=e2x-1, για κάθε x IR.
α) Να βρείτε το f(0).
β) Να δείξετε ότι f ( x)
e2x 1 , για κάθε x IR.
γ) Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο x0=0.
33. Έστω f:IR IR με x2(fof)(x)=1, για κάθε x IR*.
Αν lim f(x)=2 , να αποδείξετε ότι η f είναι ασυνεχής στο x0=1.
x 1
34. Έστω f:IR
IR+ με f(x)-
35. Έστω f:IR
IR, γνησίως αύξουσα και ισχύει lim (f(x0-h)-f(x0+h))=0. Να αποδείξετε ότι η f
f (x) =x, για κάθε x IR. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο x0=2.
h 0
είναι συνεχής στο IR.
ΚΩΣΤΑΣ
ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
34

Download Report