1 EΞΙΣΩΣΕΙΣ Παραδειγμα 1. Να λυθει η εξισωση: x - 1 2x - 1 5x - 1 + = 2 3 6 x - 1 2x - 1 5x - 1 x -1 2x - 1 5x - 1 + =  6 +6 =6  3(x - 1) + 2(2x - 1) = 5x - 1  2 3 6 2 3 6 2x 4 3x - 3 + 4x - 2 = 5x - 1  3x + 4x - 5x = -1 + 3 + 2  2x = 4  = x =2 2 2 2. Να λυθει η εξισωση : λ 2 (x - 1) = 4x(λ - 1) - 3λ + 2 • λ2 (x - 1) = 4x(λ - 1) - 3λ + 2  λ 2x - λ 2 = 4λx - 4x - 3λ + 2  λ 2x - 4λx + 4x = λ 2 - 3λ + 2  (λ 2 - 4λ + 4)x = λ 2 - 3λ + 2  (λ - 2) 2 x = (λ - 1)(λ - 2) (Ι) • Για (λ - 2)2  0, δηλαδη για λ  2, η (Ι) εχει την μοναδικη λυση : λ- 1 (λ - 1)(λ - 2) x = x= 2 λ- 2 (λ - 2) • Για (λ - 2)2 = 0, δηλαδη για λ = 2, η (Ι) γινεται : 0  x = (2 - 1)(2 - 2)  0  x = 1  0  0  x = 0, οποτε η εξισωση ειναι αοριστη . Η Εξισωση α α=0 α>0 xv = a ν αρτιος η περιττος λυσεις της εξισωσης xν=α x=0 αρτιος x= ± ν α >0 περιττος Hα Εννοια του διανυσματος x= ν α α<0 αρτιος αδυνατη α<0 περιττος x=- ν | α | Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ Εξισωση 1ου βαθμου 3. Να δειχτει οτι α 2 + 110  20α. Ποτε ισχυει το ισον; Εστω η εξισωση: αx+β=0 (1) 2. Aν β θετικοιλεγεται , να συγκρινεται αριθμους Α =αριθμου α 3 + β 3 , x, Β =που α 2 βεπα+ αβ 2 . • Λυση η ριζα της α, εξισωσης κάθε τιμητους του πραγματικου ληθευει την (1). • Συντελεστης του αγνωστου λεγεται ο αριθμος α. • Σταθερος ορος λεγεται ο αριθμος β. Διερευνηση β • Αν α ≠ 0 τοτε η (1) εχει μοναδικη λυση, την: x = α • Αν α = 0 και β ≠ 0 τοτε η (1) δεν εχει λυση (αδυνατη) • Αν α = 0 = β τοτε η (1) εχει απειρες λυσεις (αοριστη η ταυτοτητα) Παρατηρηση • Αν ο συντελεστης του αγνωστου η o σταθερος ορος εκφραζεται με τη βοηθεια γραμματων, τοτε η εξισωση λεγεται παραμετρικη. • Ισοδυναμες λεγονται οι εξισωσεις που εχουν ακριβως τις ιδιες ριζες. EΞΙΣΩΣΕΙΣ Mεθοδος (Λυση εξισωσης κλασματικης) x+1 2 -x Να λυθει η εξισωση : 2 - = x + x x (x + 1) 2 1ο Βημα : Παραγοντοποιουμε ολους τους παρονομαστες. x +1 2 -x • - = x(x + 1) x (x + 1)2 2ο Βημα : Βρισκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστων. • Ε.Κ.Π. = x(x + 1)2 3ο Βημα : Θετουμε περιορισμους, με την προυποθεση οτι Ε.Κ.Π.  0. • Πρεπει : x(x + 1)2  0  x  0 και (x + 1)2  0, δηλαδη x  0 και x  -1. 4ο Βημα : Κανουμε απαλοιφη παρονομαστων και λυνουμε . x +1 2 -x • x(x + 1)2  - x(x + 1)2  = x(x + 1)2   (x + 1)2 - 2(x + 1)2 = -x2  2 x(x + 1) x (x + 1) - (x + 1)2 = -x2  (x + 1)2 = x2  x2 + 2x + 1 = x2  2x + 1 = 0  2x = -1  1 x = - (δεκτη). 2 Στη περιπτωση που η λυση ηταν ιδια με καποια απ'τις τιμες που μηδενιζουν τον παρο νομαστη (δες περιορισμους), τοτε δεν θα την δεχομαστε. Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ Mεθοδος (Λυση εξισωσης 1ου βαθμου) x + 1 2x + 1 5x + 1 Να λυθει η εξισωση : + = 2 3 6 1ο Βημα : Πολλαπλασιαζουμε ολους τους ορους με το Ε.Κ.Π. (απαλοιφη παρονομαστων). x +1 2x + 1 5x + 1  3.(x + 1) + 2.(2x + 1) = 5x + 1 • 6. + 6. = 6. 6 2 3 2ο Βημα : Απαλοιφουμε τις παρενθεσεις (επιμεριστικη ιδιοτητα). • 3x + 3 + 4x + 2 = 5x + 1 3ο Βημα : Xωριζουμε γνωστους απο αγνωστους (στο πρωτο μελος οι αγνωστοι). • 3x + 4x - 5x = 1 - 3 - 2 4ο Βημα : Κανουμε πραξεις σε καθε μελος. • 2x = -4 5ο Βημα : Διαιρουμε με τον συντελεστη του αγνωστου (και το προσημο του). 2x -4 =  x = -2 • 2 2 2 EΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 Mεθοδος (Λυση εξισωσης παραμετρικης) Να λυθει η εξισωση : λ 2 (x - 1) = x(2λ - 1) - 3λ + 2 1ο Βημα : Με πραξεις, φερνουμε την εξισωση σε μορφη Α.x = B, με Α, Β παραγοντο ποιημενα. • λ 2 (x - 1) = x(2λ - 1) - 3λ + 2  λ 2x - λ 2 = 2λx - x - 3λ + 2  λ2x - 2λx + x = λ 2 - 3λ + 2  (λ 2 - 2λ + 1)x = λ 2 - 3λ + 2  3ο Βημα : Υποθετουμε οτι ο συντελεστης του αγνωστου ειναι ισος με μηδεν και βρι σκουμε ποιες τιμες μηδενιζουν την παραμετρο. Στη συνεχεια, για καθεμια απο τις τιμες αυτες, ελεγχουμε αν η εξισωση ειναι αδυνατη η αοριστη. • Για (λ - 1)2 = 0, δηλαδη για λ = 1, η (Ι) γινεται : 0  x = 0, οποτε η εξισωση ειναι αο ριστη. Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ (λ - 1)2 x = (λ - 1)(λ - 2) (Ι) 2ο Βημα : Υποθετουμε οτι ο συντελεστης του αγνωστου ειναι διαφορος του μηδενος, B οποτε εχουμε μοναδικη λυση, την : x = . A 2 • Για (λ - 1)  0, δηλαδη για λ  1, η (Ι) εχει μοναδικη λυση : (λ - 1)(λ - 2) λ -2 x= x= 2 λ -1 (λ - 1) 4 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να λυθουν οι εξισωσεις : x+3 x+1 15 - x • = 2x 2 4 3 • x(x - 3)(2 - x) = 0 • x 2 - 3x + 2 = 0 • Eιναι x +3 x +1 15 - x ΕΚΠ=12 x+3 x +1 15 - x  12.  = 2x - 12. = 12.2x - 12. 2 4 3 2 4 3 6(x + 3) - 3(x + 1) = 24x - 4(15 - x)  6x + 18 - 3x - 3 = 24x - 60 + 4x  -75 x =3 -25 Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ 6x - 3x - 24x - 4x = -60 - 18 + 3  -25x = -75  x = x = 0 x = 0   • x(x - 3)(2 - x) = 0   x - 3 = 0   x = 3 2 - x = 0 x = 2   2 2 • x - 3x + 2 = 0  x - 2x - x + 2 = 0  x(x - 2) - (x - 2) = 0  (x - 2)(x - 1) = 0  x - 2 = 0 x = 2   x - 1 = 0 x = 1 Να λυθουν οι εξισωσεις : x+1 x 2 • 2 + = 2 x x + x (x + 1) • (x + 1) 2 + (5 - x) 2 = 0 • Eιναι x +1 x 2 x +1 x 2 + =  + = (1) 2 2 2 x x(x + 1) (x + 1) x x + x (x + 1) Για να εχει νοημα η (1), πρεπει οι παρονομαστες να ειναι διαφοροι του μηδενος. Δηλαδη x  0  x(x + 1)  0  και , oποτε η (1) :  x  -1  x +1 x 2 x(x + 1)2  + x(x + 1)2  = x(x + 1)2   (x + 1)2 + x2 = 2(x + 1)2  2 x(x + 1) x (x + 1) 2 (x + 1)2 - x2 = 0  (x + 1 + x)(x + 1 - x) = 0  (2x + 1)  1 = 0  2x + 1 = 0  x = (δεκτη, συμφωνα με τους περιορισμους) x + 1 = 0 x = 1   • (x + 1) + (5 - x) = 0  και  και 5 - x = 0 x = 5   2 2 1 2 5 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να λυθει η εξισωση : λ 2 (x - 1) - 2 = 3λ + x Ειναι λ1 =-1 λ (x - 1) - 2 = 3λ + x  λ x - λ - 2 = 3λ + x  λ x - x = λ + 3λ + 2  2 2 2 2 2 λ2 =-2 (λ 2 - 1)x = (λ + 1)(λ + 2)  (λ - 1)(λ + 1)x = (λ + 1)(λ + 2) (Ι) • Για (λ - 1)(λ + 1)  0, δηλαδη για λ  1 και λ  -1, η (Ι) εχει τη μοναδικη λυση : x = (λ + 1) (λ + 2) (λ - 1) (λ + 1) = λ +2 λ -1 • Αν λ = 1 η (Ι) γινεται : 0.x = (1 + 1)(1 + 2)  0.x = 6, αδυνατη • Αν λ = -1 η (Ι) γινεται : 0.x = (-1 + 1)(-1 + 2)  0.x = 0, ταυτοτητα (απειρες λυσεις). Εστω η εξισωση : λ(x - μ) = 3(x - 2). Να βρεθουν οι πραγματικοι αριθμοι λ και μ, ωστε η εξισωση να αληθευει για καθε x   . Ειναι λ(x - μ) = 3(x - 2)  λx - λμ = 3x - 6  λx - 3x = λμ - 6  (λ - 3)x = λμ - 6 Προκειμενου η (Ι) να αληθευει για καθε x  , πρεπει : (1) λ - 3 = 0 λ = 3 λ = 3     λμ - 6 = 0 3μ = 6 μ = 2 Να βρεθουν τα λ, μ ωστε η εξισωση (2λ - 4)x = 0, να ειναι ταυτοτητα και η εξισωση (μ - 3)x = λ 2 + 3 να ειναι αδυνατη. Ειναι  "η εξισωση (2λ - 4)x = 0 ειναι ταυτοτητα" σημαινει οτι : 2λ - 4 = 0  2λ = 4  λ = 2  "η εξισωση (μ - 3)x = λ 2 + 3 ειναι αδυνατη" σημαινει οτι : μ - 3 = 0  μ-3 = 0  μ = 3  2  λ + 3  0, που αληθευει, για καθε λ   Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ • Για (λ - 1)(λ + 1) = 0, δηλαδη για λ = 1 η λ = -1, τοτε 6 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Προκειμενου καποιος ποτεμπορος να νοθεψει μια φιαλη ουισκυ περιεκτικοτητας σε οινοπνευμα 40%, απο λαθος προσθετει 300 ml οινοπνευμα και το ουισκυ αποκτα πε ριεκτικοτητα 58%. Ποιος ηταν ο αρχικος ογκος του ποτου; 40 x ml. Μετα την 100 58 αναμειξη ο γκος του ουισκυ εγινε x + 300 ml και του οινοπνευματος (x + 300) ml. 100 Επομενως, εξισωνοντας τους ογκους του οινοπνευματος μετα την αναμειξη, προκυ Αρχικα ο ογκος του ουισκυ ηταν x ml και του οινοπνευματος ηταν 40 58 x + 300 = (x + 300)  40x + 30000 = 58x + 17400  18x = 12600  100 100 x = 700 Δηλαδη, ο αρχικος ογκος του ουσκυ ηταν 700 ml. Η μπαταρια του φορητου μου υπολογιστη , γεμιζει οταν ειναι στη παροχη ηλεκτρικου ρευματος σε 2 ωρες (χωρις να λειτουργει). Οταν ο υπολογιστης ειναι σε λειτουργια (εκτος παροχης ηλεκτρικου ρευματος) απο φορτιζεται σε 4 ωρες. Ανοιγω τον υπολογιστη μου, με αδεια τελειως τη μπαταρια, και τον συνδεω με τη παρο χη του ρευματος. Σε ποσες ωρες θα γεμισει η μπαταρια, ενω θα εργαζομαι; Εστω x οι ωρες που θα χρειαστει η μπαταρια να γεμισει, ενω εργαζομαι. • Αφου η μπαταρια φορτιζεται σε 2 ωρες, σε μια ωρα θα εχει φορτιστει κατα το x ωρες θα εχει φορτιστει κατα x . 2 1 και σε 2 • Αφου η μπαταρια αποφορτιζεται σε 4 ωρες, σε μια ωρα θα εχει αποφορτιστει κατα το και σε x ωρες θα εχει φορτιστει κατα x . 4 Επομενως x x 2x x x - =1  - =1  =1  x = 4 2 4 4 4 4 Δηλαδη, η μπαταρια θα φορτιστει πληρως σε 4 ωρες. 1 4 Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ πτει : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 • Να λυθουν οι εξισωσεις : • (2x - 4) 2 = 3 • x 7 = 64x • Ειναι Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ 7  x =  2x - 4 = 3 2x = 7 2    2 • (2x - 4) = 3  | 2x - 4 |= 3   η  η  η 2x - 4 = -3 2x = 1  1   x = 2  x = 0  7 7 6 • x = 64x  x - 64x = 0  x(x - 64) = 0   η   x 6 - 64 = 0  x = 0 x = 0 x = 0 x = 0      η  η  η  η  x6 = 64   x = ± 2 6 6 6    x = ± 64 x = 2 8 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να λυθουν οι εξισωσεις : 5x - 1 x + 4 1 - 4x • + = 2x 2 5 3 2 • x (x + 1)(5 - x) = 0 • x2 - x - 12 = 0 Να λυθουν οι εξισωσεις : x 1 4x + = 2 x +3 x -3 x -9 • (x2 - 2x + 1) + (-6 + 5x - x2 ) = 0 • • λ 2x - 2 = λ + 4x • λ 2 (x - 1) = x - λ ● Απαλοιφη παρονομαστων , περιορισμοι και ... ● Παραγοντοποιηση το πρωτο μελος και ... Τις μετασχηματιζω σε μορφη Α.x = Β, κανω διερευνηση και ... • λ 2 (x - 1) = 3(x - λ) + 2(1 - λx) Αν η εξισωση α2 (x - 1) = x(2 - α) - 1 ειναι ταυτοτητα, Η εξισωση: Α.x = Β, ειναι : τοτε να δειξετε οτι η εξισωση α2x - 1 = α(x + 1) ειναι ● ταυτοτητα αν Α = 0 και Β = 0 αδυνατη. ● αδυνατη αν Α = 0 και Β ≠ 0 Nα λυθουν και διερευνηθουν οι εξισωσεις x -2 x + 2  + =1 λ -2 λ + 2 λ λ2  (λx +3) = + λx +2 2 4 2x +1  = λ (λ   ) x-λ Να βρεθουν τα λ, μ ωστε η εξισωση λ(λx -1) + μ = x + 3 να ισχυει για καθε x   . Να λυθει η εξισωση x -1 x -2 x - 4 x -5 = x -2 x -3 x -5 x - 6 Αν 4λ-7=-λ+3 να δειξετε οτι η εξισωση (λ-2)x = λ2+1 ειναι αδυνατη. Τις μετασχηματιζω σε μορφη Α.x = Β. Η εξισωση: Α.x = Β, ειναι : ● ταυτοτητα αν Α = 0 και Β = 0 ● αδυνατη αν Α = 0 και Β ≠ 0 Η εξισωση: Α.x = Β,ισχυει για καθε x  αν Α = 0 και Β = 0 x -1 x -2+1 1 = =1+ ... x-2 x-2 x -2 Η εξισωση: Α.x = Β, ειναι αδυνατη αν Α = 0 και Β ≠ 0 Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ Να λυθουν οι εξισωσεις : ● Απαλοιφη παρονομαστων και ... ● Αν Α.Β.Γ=0 τοτε: Α=0 η Β=0 η Γ=0 9 AΛYTΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ενας ποτεμπορος, προκειμενου να νοθεψει , προ σθετει σε μια φιαλη ουισκυ περιεκτικοτητας σε οι νοπνευμα 40%, 300 ml νερο και το ουισκυ αποκτα περιεκτικοτητα 28%. Ποιος ηταν ο αρχικος ογκος του ποτου; Σε μια δεξαμενη υπαρχουν τρεις βρυσες Α, Β και Γ. Η βρυση Α γεμιζει μονη της τη δεξαμενη σε 8 ωρες, η βρυση Β γεμιζει μονη της τη δεξαμενη σε 4 ωρες, Αν οι τρεις βρυσες ειναι ανοικτες ταυτοχρονα, σε ποσες ωρες θα γεμισει η δεξαμενη; Αν ο Α εκτελει ενα εργο σε α ωρες και ο Β σε β ωρες, τοτε αν συνεργαστουν και εκτελε σουν το εργο σε x ωρες, η εξι σωση που αποδιδει το προβλη x x μα ειναι : + = 1 α β Σε εναν διψηφιο αριθμο το ψηφιο των μοναδων ειναι αριθμος μεγαλυτερος κατα 2 απο το ψηφιο των δεκαδων. Αν διαιρεσουμε τον διψηφιο αυτον αριθμο με το αθροισμα των ψηφιων δεκαδων και μοναδων βρίσκουμε πηλικο 4 και υπολοιπο 6. Να βρεθει ο διψηφιος αυτος αριθμος Ενας διψηφιος αριθμος γραφεται : xy=10x+y Aν τωρα y=x+2 τοτε .... Σε μια ταξη Λυκειου διοργανωθηκε πρωταθλημα σκακιου. Την πρωτη μερα εγιναν μονο καποιοι αγωνες στους οποιους οι δυο αντιπαλοι ηταν ενα αγορι και ενα κοριτσι. Στους αγωνες αυτους της πρωτης μερας πηραν μερος τα 2/3 του αριθμου των κοριτσιων της ταξης και τα 3/4 του αριθμου των αγοριων της τάξης. Αν η ταξη εχει συνολικα 34 παιδια να βρειτε: ● ποσα αγορια και ποσα κοριτσια εχει η ταξη ● ποσα παιδια δεν πηραν μερος την πρωτη μερα στους αγώνες. Αν x κοριτσια τοτε 34 - x τα αγορια. Αρα τη πρωτη μερα πηραν μερος : 2 3  x κοριτσια και  (34 - x) 3 4 αγορια και ... Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ ενω η βρυση Γ αδειαζει τη δεξαμενη σε 16 ωρες. Εστω x ο αρχικος ογκος του ποτου οποτε x+300 .... Διαλυμενη ουσια ισουται με την περιεκτικοτητα επι την ποσοτητα του διαλυματος. 10 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Mεθοδος (Λυση εξισωσης με ιδια απολυτα ) | x-1 | | 1-x | Να λυθει η εξισωση : + =| -2x + 2 | -7 3 2 1ο Βημα : Μετατρεπουμε ολα τα απολυτα, ωστε να γινουν ιδια ( εχουμε το δικαιωμα να αλ λαξουμε τα προσημα ενος απολυτου καθως και να βγαλουμε κοινο παραγοντα). | x -1| |x -1| + = 2. | x - 1 | -7 3 2 2ο Βημα : Λυνουμε σαν εξισωση 1ου βαθμου με αγνωστο το απολυτο. • α. | f(x) |= θ > 0, τοτε f(x) = ± θ β. | f(x) |= α < 0, τοτε η εξισωση ειναι αδυνατη, λυνουμε τις δυο εξισωσεις που προκυπτουν η αναφερουμε οτι η εξισωση ειναι αδυνατη. x - 1 = 6 x = 6 + 1 x = 7 •      x - 1 = -6  x = -6 + 1  x = -5 Mεθοδος (Λυση εξισωσης με διαφορετικα απολυτα ) Να λυθει η εξισωση :| x - 1 | + | 2x - 4 |= 1 1ο Βημα : Βρισκουμε τις τιμες που μηδενιζουν καθε απολυτο και σχηματιζουμε πινακα προσημων των απολυτων, για το καθε διαστημα που δημιουργηθηκε. ● |x-1| μηδενιζει για x=1 ● |2x-4| μηδενιζει για x=2 x -∞ 1 2 +∞ |x-1| -x-1 x+1 x+1 |2x-4| -2x-4 -2x-4 2x+4 2ο Βημα : Λυνουμε την εξισωση ξεχωριστα σε καθε διαστημα που δημιουργηθηκε. • Για x < 1, η εξισωση γινεται : - x + 1 - 2x + 4 = 1  -x - 2x = 1 - 1 - 4  -3x = - 4  x = • Για 1  x < 2, η εξισωση γινεται : 4 (απορριπτεται, x < 1). 3 x - 1 - 2x + 4 = 1  x - 2x = 1 + 1 - 4  -x = - 2  x = 2 (απορριπτεται, 1  x < 2). • Για x  2, η εξισωση γινεται : x - 1 + 2x - 4 = 1  x + 2x = 1 + 1 + 4  3x = 6  x = 2 (δεκτη). Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ |x -1| | x -1| +6 = 6  2 | x - 1 | -6  7  2 | x - 1 | +3 | x - 1 |= 12 | x - 1 | - 42 3 2  2 | x - 1 | +3 | x - 1 | -12 | x - 1 | = - 42  -7 | x - 1 | = - 42  | x - 1 | = 6 3ο Βημα : Εχοντας υποψιν οτι, αν : •6  11 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να λυθουν οι εξισωσεις : • | x - 4 |= 6 • | x - 4 |= 0 | x - 4 | | 4 - x | | 2x - 8 | • + = 3 2 4 • | x - 4 |= -3 • 3 | x - 4 |=| 2x - 3 | Ειναι x - 4 = 6  • | x - 4 |= 6   η   x - 4 = -6  x = 10   η  x = -2  • | x - 4 |= 0  x - 4 = 0  x = 4 • | x - 4 |= -3 ειναι αδυνατη αφου - 3 < 0 3x - 2x = 12 - 3    η 3x + 2x = 12 + 3  x = 9 x = 9    η  η 5x = 15 x = 3   | x - 4 | | 4 - x | | 2x - 8 | | x - 4 | | -(x - 4) | | 2(x - 4) | |α|=|-α| • + = + =   3 2 4 3 2 4 |x - 4| |x - 4| |x - 4| |x - 4| |x - 4| |x - 4|  + =2 + 6.  6. = 6. 3 2 4 3 2 2 2 | x - 4 | +3 | x - 4 |= 3 | x - 4 |  2 | x - 4 |= 0  x - 4 = 0  x = 4 Να λυθουν οι εξισωσεις : • | x - 1 |= 3x + 5 • || x - 3 | +1 |= 2 Ειναι • Aν 3x + 5 < 0 τοτε η εξισωση ειναι αδυνατη. 5 , τοτε | x - 1 |= 3x + 5  3  x - 1 = 3x + 5 -2x = 6     4x = -4  x - 1 = -3x - 5 Aν 3x + 5 > 0, δηλαδη x > - 5 {x = -3 (απορριπτεται αφου - 3 < - ) 3 |x-3|+1> 0 5 x = -1 (δεκτη αφου - 1 > - )} 3 • || x - 3 | +1 |= 2  | x - 3 | +1 = 2 | x - 3 |= 1  x - 3 = 1 x = 4     x - 3 = -1 x = 2 Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ 3x - 12 = 2x - 3  • 3 | x - 4 |=| 2x - 3 |  | 3x - 12 |=| 2x - 3 |   η  3x - 12 = -2x + 3  12 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να λυθουν οι εξισωσεις : • || x | -x |= 4 - 3 | x | • x 2 - 3 | x | +2 = 0 • Ισχυει : | x |  x  | x | - x  0, οποτε η εξισωση : || x | -x |= 4 - 3 | x |  | x | -x = 4 - 3 | x |  4 | x |= 4 + x |x|=x, αν x  0  |x|=-x, αν x <0 4  x = , αν x  0   4x = 4 + x, αν x  0 3x = 4, αν x  0  3    -4x = 4 + x, αν x < 0 -5x = 4, αν x < 0  x = - 4 , αν x < 0  5 | x | (| x | -1) - 2(| x | -1) = 0  (| x | -1)(| x | -2) = 0  | x |= 1 | x | -1 = 0 x = ±1     x = ±2 | x | -2 = 0 | x |= 2 Να λυθει η εξισωση : 3 | x - 1 | + 2 | x - 2 | - | x - 3 |= 0 Τα απολυτα μηδενιζουν για x = 1, x = 2 και x = 3. Οποτε θα εξετασουμε την εξισωση στα διαστηματα : (-, 1), [1, 2), [2, 3) και [3, +). • Στο : (-, 1) ειναι : | x - 1 |= -x + 1, | x - 2 |= -x + 2,| x - 3 |= -x + 3 και η εξισωση γινεται : 3(-x + 1) + 2(-x + 2) - (-x + 3) = 0  -3x + 3 - 2x + 4 + x - 3 = 0  - 4x + 4 = 0  x = 1 (απορριπτεται αφου 1  (-, 1)). • Στο : [1, 2) ειναι : | x - 1 |= x - 1, | x - 2 |= -x + 2,| x - 3 |= -x + 3 και η εξισωση γινεται : 3(x - 1) + 2(-x + 2) - (-x + 3) = 0  3x - 3 - 2x + 4 + x - 3 = 0  2x - 2 = 0  x = 1 (δεκτη αφου 1  [1, 2)). • Στο : [2, 3) ειναι : | x - 1 |= x - 1, | x - 2 |= x - 2, | x - 3 |= -x + 3 και η εξισωση γινεται : 3(x - 1) + 2(x - 2) - (-x + 3) = 0  3x - 3 + 2x - 4 + x - 3 = 0  6x - 10 = 0  x = 5 3 5  [2, 3)). 3 • Στο : [3, +) ειναι : | x - 1 |= x - 1, | x - 2 |= x - 2,| x - 3 |= x - 3 και η εξισωση γινεται : (απορριπτεται αφου 3(x - 1) + 2(x - 2) - (x - 3) = 0  3x - 3 + 2x - 4 - x + 3 = 0  4x - 4 = 0  x = 1 (απορριπτεται αφου 1  [3, +)). Αρα η εξισωση εχει μια λυση, την x = 1. Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ |x|2 =x2 • x - 3 | x | +2 = 0  | x |2 -3 | x | +2 = 0 | x |2 - | x | -2 | x | +2 = 0  2 13 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να λυθουν οι εξισωσεις : • | x - 1 |= 5 • | x + 7 |= 0 • - 2 | x + 3 | +3 | x - 6 |= 0 |x -2| | 4 - 2x | +1 = 2 3 3 | 2x - 6 | +1 4 | 2x - 6 | -3 | 2x - 6 | +1 • = 2 2 3 2 2 2 | x - 1 | -1 | x - 1 | +1 • =3 3 2 • • | x + 3 |= -x + 2 • | 2x - 1 |= -x + 3 • || 2x - 4 | +2 |= 6 • || 2x | -x |= 6- | x | • (3 - x)2 + | x - 3 | -20 = 0 x = θ  • Αν | x |= θ, θ > 0 τοτε  η x = -θ  x = α  • Αν | x |=| α | τοτε  η x = -α  Ισχυει : x = θ  • Αν | x |= θ, θ > 0 τοτε  η x = -θ  x = α  • Αν | x |=| α | τοτε  η x = -α  • | α |2= α2 Να λυθουν οι εξισωσεις : • | x + 2 | - | x - 2 |= 5 • | x + 1 | - 3 | x - 2 | + | x - 3 |= 0 • | 2x - 1 | - 3 | x + 2 | + 2 | x - 4 |= 3 - 5x Bρισκουμε τις τιμες του x που μηδενιζουν τα απολυτα και ε ξεταζουμε την εξισωση στα δι αστηματα που σχηματιζονται απ'αυτες τις τιμες. Ελεγχουμε αν η λυση που βρισκουμε καθε φορα, ανηκει στο διαστημα που εξεταζουμε την εξισωση. Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ Να λυθουν οι εξισωσεις : Ισχυει : 14 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυση Εξισωσης 2ου βαθμου Εξισωση 2ου βαθμου μ’εναν αγνωστο, ειναι η εξισωση με :αx²+βx+γ=0 με α,β,γ   και α≠0. ● Διακρινουσα της εξισωσης δευτερου βαθμου, λεγεται η αλγεβρικη παρασταση: Δ=β2-4αγ. ● Λυση της εξισωσης δευτερου βαθμου: ● Αν Δ > 0 τοτε η εξισωση εχει δυο ριζες ανισες στο  τις ρ₁‚₂ = ● Αν Δ = 0 τοτε η εξισωση εχει διπλη ριζα ρ = -β . 2α -β ± Δ . 2α Απ ο δ ε ι ξ η 2 2  β   β  γ β γ β αx + βx + γ = 0  x + x + = 0  x2 + 2 x +   -   + = 0  α α 2α  2α   2α  α 2 2 2 2   β  β2 γ β  β2 - 4αγ  x + = x +     = 2α  2α  4α2 4α2 α   Δ =β2 -4αγ 2  β  Δ  x +  = 2 (1) 2α  4α  2  β  Δ β Δ -β ± Δ x= • Αν Δ > 0 :  x + =±  = 2 x+ 2α  2α 2α 2α 4α  2  β  β β • Αν Δ = 0 :  x + = x =  =0x+ 2α 2α 2α   • Αν Δ < 0 : Η (1) ειναι αδυνατη στο , οποτε η εξισωση δεν εχει ριζες στο . Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ ● Αν Δ < 0 τοτε η εξισωση δεν εχει ριζα στο  , δηλαδη ειναι αδυνατη στο  . Παρατηρηση 1. Η εξισωση δευτερου βαθμου εχει πραγματικες ριζες αν και μονο αν: Δ ≥ 0. 2. Η εξισωση δευτερου βαθμου εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες αν οι α και γ ειναι ετεροσημοι. 3. H εξισωση της μορφης: αx4+βx2+γ=0 με α,β,γ   και α≠0, λεγεται διτετραγωνη και η λυση της γινεται με την αντικατασταση: x2=y, οποτε αx4+βx2+γ=0  αy2+βy+γ=0. 15 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Απ ο δ ε ι ξ η -β + Δ -β - Δ και x2 = . Τοτε 2α 2α -β + Δ -β - Δ -β + Δ - β - Δ -2β β • S = x1 + x2 = + = = =2α 2α 2α α 2α 2 2 -β + Δ -β - Δ (-β + Δ)(-β - Δ ) (-β) - ( Δ )2 β2 - Δ Δ=β -4αγ • Ρ = x1 .x2 = . = = = = 2α 2α 4α2 4α2 4α2 β2 - β2 + 4αγ 4αγ γ = = 2 = α 4α2 4α Oι ριζες της : αx2 + βx + γ = 0 ειναι : x1 = Mεθοδος (Λυση εξισωσης 2ου βαθμου ) Να λυθει η εξισωση : (x - 1) 2 - 2(x + 3) = x - 11 1ο Βημα : Κανουμε πραξεις και τη φερνουμε στη μορφη : αx2 + βx + γ = 0. • (x - 1)2 - 2(x + 3) = x - 11  ...  x2 - 5x + 6 = 0 με α = 1, β = -5 και γ = 6. 2ο Βρισκουμε την διακρινουσα που ειναι ιση με : Δ = β2 - 4.α.γ. • Δ = (-5)2 - 4  1  6 = 25 - 24 = 1 3ο Βημα : Βρισκουμε τις ριζες της, με τη βοηθεια του τυπου : x1,2 = 5+1 6    x1 = 2  x1 = 2  x1 = 3 -(-5) ± 1 5 ± 1 • x1,2 = =    21 2  x2 = 2 x = 5 - 1 x = 4 2 2   2 2 Στη περιπτωση που : β • Δ = 0, τοτε η εξισωση εχει διπλη ριζα, την : x = . 2α • Δ < 0, τοτε η εξισωση δεν εχει πραγματικες ριζες. -β ± Δ . 2α Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ Αθροισμα - Γινομενο Ριζων Εξισωσης 2ου βαθμου Εστω η εξισωση: αx2+βx+γ=0 με α≠0, Δ ≥ 0 και ριζες x1, x2. ● To αθροισμα των ριζων x1, x2 της εξιςωσης: αx2+βx+γ=0 δινεται απο: β S = x1 + x2 = (1) α ● To γινομενο των ριζων x1,x2 της εξιςωσης: αx2+βx+γ=0 δινεται απο: γ Ρ = x1 . x 2 = (2) α Οι πιο πανω τυποι λεγονται τυποι του Vietta. ● Συμφωνα με τα πιο πανω η εξισωση: αx2+βx+γ=0 μετασχηματιζεται: (1) αx2 βx γ β γ αx2 + βx + γ = 0  + + = 0  x2 - (- )x + = 0  x 2 - Sx + P = 0 (2) α α α α α 16 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σ η μ αντ ικο 01. Δυο ριζες πραγματικες και ανισες 02. Δυο ριζες ισες 03. Καμμια πραγματικη ριζα 10. Μια ριζα θετικη και η αλλη μηδεν 11. Δυο ριζες αρνητικες 12. Δυο ριζες αρνητικες και ανισες 13. Δυο ριζες αρνητικες και ισες 14. Μια ριζα αρνητικη και η αλλη μηδεν 15. Μια ριζα το μηδεν 16. Δυο ριζες ισες με μηδεν 17. Δυο ριζες αντιστροφες 18. Δυο ριζες αντιθετες 19. Δυο ριζες ομοσημες 20. Δυο ριζες ομοσημες και διαφορετικες 21. Δυο ριζες ομοσημες και ισες 13. Δ = 0 και S < 0 14. P = 0 και S < 0 15. P = 0 16. Δ = 0 και P = 0 17. Δ  0 και P = 1 18. P < 0 και S = 0 19. Δ  0 και P > 0 20. Δ > 0 και P > 0 21. Δ = 0 και P > 0 Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ 04. Δυο ριζες ετεροσημες 05. Δυο ριζες ετεροσημες ("θετικη" μεγαλυτερη) 06. Δυο ριζες ετεροσημες ("αρνητικη" μεγαλυτερη) 07. Δυο ριζες θετικες 08. Δυο ριζες θετικες και ανισες 09. Δυο ριζες θετικες και ισες 01. Δ > 0 και α  0 02. Δ = 0 και α  0 03. Δ < 0 04. Ρ < 0 05. Ρ < 0 και S > 0 06. Ρ < 0 και S < 0 07. Δ  0 και Ρ > 0 και S > 0 08. Δ > 0 και Ρ > 0 και S > 0 09. Δ = 0 και S > 0 10. P = 0 και S > 0 11. Δ  0 και Ρ > 0 και S < 0 12. Δ > 0 και Ρ > 0 και S < 0 17 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ • Δινεται η εξισωση x 2 + (1 - λ)x - λ = 0 (Ι). • Αν η μια ριζα της ειναι το - 1, να δειξετε οτι ο λ ισουται με την αλλη ριζα. • Aν η εξισωση (Ι) εχει διπλη ριζα, τοτε να δειξετε οτι ο λ ισουται με τη ριζα αυτη. • Αφου το - 3 ειναι ριζα της εξισωσης, τοτε την επαληθευει. Δηλαδη (-3)2 + (1 - λ)(-3) - λ = 0  9 - 3 + 3λ - λ = 0  2λ = 6  λ = 3 Οποτε η (Ι) γινεται : 2 3  -1 Δ = 0  (1 - λ)2 - 4.1.(-λ) = 0  1 - 2λ + λ 2 + 4λ = 0  λ 2 + 2λ + 1 = 0  (λ + 1)2 = 0  λ + 1 = 0  λ = -1. Επισης x= -(1 - λ) -1 + λ -1 + (-1) -1 - 1 -2 = = = = = -1. 2.1 2 2 2 2 Αρα ο λ ισουται με τη διπλη ριζα. Δινεται η εξισωση (λ - 2)x 2 + 2λx + λ - 1 = 0 (Ι). Να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε η (Ι) : • να εχει μονο μια ριζα, την οποια να βρειτε. • να εχει μια διπλη ριζα, που θα βρειτε. • να εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες. • να μην εχει πραγματικη ριζα. • Αφου η (Ι) εχει μονο μια ριζα, τοτε δεν ειναι εξισωση δευτερου βαθμου. Οποτε πρεπει, λ - 2 = 0  λ = 2 1 4 • Η εξισωση (Ι) προκειμενου να εχει διπλη ριζα πρεπει : Για λ = 2 η (Ι) γινεται : 4x + 1 = 0  x = - Δ = 0  (2λ)2 - 4.(λ - 2).(λ - 1) = 0  4λ 2 - 4λ2 + 4λ + 8λ - 8 = 0  12λ = 8  λ = Επισης, η διπλη ριζα ειναι : 2 . 3 4 2 4 4 -2λ 1 -2λ 3 3 = 3 = 3 = = x0 = = = 2 4 12 8 2.(λ - 2) 2λ - 4  4 2 2. - 4 2. -  3 3 3 3  3 • Η εξισωση (Ι), προκειμενου να εχει δυο ριζες πραγματικες ανισες, πρεπει : -2. Δ > 0  (2λ)2 - 4.(λ - 2).(λ - 1) > 0  4λ 2 - 4λ2 + 4λ + 8λ - 8 > 0  12λ > 8  λ > • Η εξισωση (Ι), προκειμενου να μην εχει ριζες πραγματικες, πρεπει : Δ < 0  (2λ)2 - 4.(λ - 2).(λ - 1) < 0  4λ 2 - 4λ2 + 4λ + 8λ - 8 < 0  12λ < 8  λ < 2 . 3 2 . 3 Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ Δ = 4 + 12 = 16  x + (1 - 3)x - 3 = 0  x - 2x - 3 = 0   2±4 x = 2 = 1 ± 2 =  Oποτε η αλλη ριζα ειναι το 3 και λ = 3. • Η εξισωση (Ι) προκειμενου να εχει διπλη ριζα πρεπει : 2 18 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δινεται η εξισωση x 2 - 2λx + λ - Αν οι αριθμοι 3, ρ1 , ρ2 ειναι πλευρες τριγωνου, να δειξετε οτι : λ ∈ 1 = 0 (Ι) με ριζες ρ1 και ρ2 . 4 ( 3 , 2). 2 1 ) = 4λ2 - 4λ + 1 = (2λ - 1)2 4 2λ + (2λ - 1) 2λ + 2λ - 1 4λ - 1  = =  x1 = 2λ ± (2λ - 1) 2 2 2  x1,2 = 2  x = 2λ - (2λ - 1) = 2λ - 2λ + 1 = 1  2 2 2 2 4λ - 1 1 Eπειδη 3, , αποτελουν μηκη πλευρων τριγωνου ισχυει η τριγωνικη ανισοτητα. 2 2 Δηλαδη Δ = (-2λ)2 - 4.1.(λ - (+1) 1 4λ - 1 1 5 4λ - 1 7 < <3+  < <  5 < 4λ - 1 < 7  2 2 2 2 2 2 (:4) 5 + 1 < 4λ - 1 + 1 < 7 + 1  6 < 4λ < 8  6 8 3 3 < λ <  < λ < 2. Αρα λ  ( , 2). 4 4 2 2 • Δινεται η εξισωση x 2 + x - 6 = 0 με ριζες τις x1 και x2 . Χωρις να λυσετε, να υπολογισετε τις παραστασεις : • Α = x12 + x22 • B = x13 + x23 • Γ = (x1 - x2 ) 2 • Δ = 1 1 + x1 + 2 x2 + 2 • Δινεται η εξισωση x 2 + (λ - 2)x - 2λ = 0 με ριζες τις x1 και x2 . Να υπολογισετε το λ ωστε : x12 + x22 = 13. S = x1 + x2 = - β 1 = - = -1 (1) α 1 Ρ = x1 .x2 = γ -6 = = -6 (2) α 1 (1) • Α = x12 + x22 = (x1 + x2 )2 - 2x1 .x2 =(-1)2 - 2(-6) = 1 + 12 = 13 (2) (1,2) • B = x13 + x23 = (x1 + x2 )(x12 - x1 .x2 + x22 ) = (x1 + x2 )[(x12 + x22 ) - x1 .x2 ] = Α=13 = (-1)[13 - (-6)] = -19 (2) • Γ = (x1 - x2 )2 = x12 - 2x1 .x2 + x22 = (x12 + x22 ) - 2x1 .x2 = 13 - 2(-6) = 25 Α=13 •Δ = (1) x + 2 + x1 + 2 (x1 + x2 ) + 4 1 1 = + = 2 = x1 + 2 x2 + 2 (x1 + 2)(x2 + 2) 2(x1 + x2 ) + x1x2 + 4 (2) -1 + 4 3 3 = =2(-1) + (-6) + 4 -2 - 6 + 4 4 β λ -2 γ -2λ • S = x1 + x2 = - = = -λ + 2 (3) Ρ = x1 .x2 = = = -2λ (4) α 1 α 1 = (1) x12 + x22 = 13  (x1 + x2 )2 - 2x1 .x2 = 13  (-λ + 2)2 - (-2λ) = 13  λ 2 - 4λ + 4 + 4λ - 13 = 0  (2) λ 2 - 9 = 0  λ 2 = 9  λ = ± 9  λ = ±3 Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ 3- 19 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δινεται η εξισωση x 2 - λx + λ - 1 = 0 . Για ποιες τιμες του λ η εξισωση εχει : • Δυο ριζες ετεροσημες. • Δυο ριζες θετικες ανισες. • Δυο ριζες αντιστροφες. • Δυο ριζες αντιθετες. Ειναι β -λ γ λ -1 Δ = (-λ)2 - 4.1.(λ - 1) = (λ - 2)2 S = x1 + x2 = - = = λ Ρ = x1 .x2 = = = λ -1 α 1 α 1 • Η εξισωση εχει δυο ριζες ετεροσημες, αν : Ρ < 0  λ - 1 < 0  λ < 1 • Η εξισωση εχει δυο ριζες θετικες ανισες, αν : (λ - 2)2  0 Δ  0 λ      λ =2   λ = 2 λ 1 = 1 Ρ = 1   • Η εξισωση εχει δυο ριζες αντιθετες, αν : (λ - 2)2 > 0 Δ > 0 λ  2   λ=0  S = 0 λ = 0 λ = 0 Δινεται η εξισωση x 2 - 3x + λ = 0 με ριζες τις x1 και x2 . • Να βρεθει ο λ ωστε η εξισωση να εχει δυο ριζες που η μια ειναι διπλασια της αλλης. • Για την πιο πανω τιμη του λ, να κατασκευασετε εξισωση που εχει ριζες : x1 x και 2 . x2 x1 β -3 γ λ == 3 (1) x1 .x2 = = = λ (2) α 1 α 1 Αν x1 = 2x2 , τοτε οι (1) και (2) γινονται : Ειναι : x1 + x2 = - 3x2 = 3  x2 = 1  2  λ =2  2 2.1 = λ 2x2 = λ η οποια ειναι δεκτη γιατι, για λ = 2 η διακρινουσα ειναι : Δ = (-3)2 - 4.1.2 = 9 - 8 = 1 > 0 2x2 + x2 = 3   2x2 .x2 = λ που σημαινει οτι η εξισωση εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες. • Για λ - 2 η εξισωση γινεται : x2 - 3x + 2 = 0 και x1 + x2 = 3, x1 .x2 = 2. Oποτε, αν ρ1 = • ρ1 + ρ2 = x1 x και ρ2 = 2 , τοτε x2 x1 x1 x2 x12 + x22 (x1 + x2 )2 - 2x1 .x2 32 - 2.2 5 + = = = = x2 x1 x1 .x2 x1 .x2 2 2 Αρα η ζητουμενη εξισωση ειναι : x2 - (ρ1 + ρ2 )x + ρ1 .ρ2 = 0  x2 - 5 x + 1 = 0  2x 2 - 5x + 2 = 0 2 • ρ1 .ρ2 = x1 x2 . =1 x2 x1 Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ (λ - 2)2 > 0 Δ > 0 λ  2 λ  2     λ > 0    λ  (1, 2)U(2, +) S > 0   λ > 0 λ > 1 Ρ > 0 λ - 1 > 0 λ > 1    • Η εξισωση εχει δυο ριζες αντιστροφες, αν : 20 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν οι ριζες της εξισωσης x 2 - (α - 2β)x - αβ = 0 ειναι αντιθετες και οι ριζες της ε ξισωσης αx 2 + 5x + 2α 2 - 3αβ = 0 ειναι αντιστροφες τοτε : • να βρεθουν οι τιμες των πραγματικων αριθμων α και β. • να λυσετε την πρωτη εξισωση, για τις τιμες των α και β που βρηκατε πιο πανω. • Αφου οι ριζες της εξισωσης x2 - (α - 2β)x - αβ = 0 ειναι αντιθετες, τοτε :  α2 + 4β2 > 0 (α - 2β)2 + 4αβ > 0  α2 - 4αβ + 4β2 + 4αβ > 0 Δ1 > 0  α = 2β (1)         α = 2β  α - 2β = 0  α = 2β S1 = 0 Αφου οι ριζες της εξισωσης αx2 + 5x + 2α2 - 3αβ = 0 ειναι αντιστροφες τοτε : • Για α = 2 και β = 1 η πρωτη εξισωση γινεται : x2 - (2 - 2.1)x - 2.1 = 0  x2 - 2 = 0  x2 = 2  x = ± 2. Να λυθουν οι εξισωσεις : • (1) : x 4 + x 2 - 2 = 0 • (2) : x 4 + 2x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = 0 • Θετουμε x2 = y, οποτε η (1) γινεται : y2 + y - 2 = 0  y2 - y + 2y - 2 = 0  y(y - 1) + 3(y - 1) = 0  (y - 1)(y + 3) = 0  y - 1 = 0 y = 1 • Για y = 1 τοτε x2 = 1  x = ±1   • Για y = -3 τοτε x2 = -3 αδυνατη.  y = -3 y + 3 = 0 Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-1, 1}. 1 1 1 1 • Για x + = y τοτε (x + )2 = y2  x2 + 2 + 2 = y2  x2 + 2 = y2 - 2. x x x x 2 Για x  0, διαιρουμε την (2) με x , οποτε προκυπτει : 1 x+ =y x 2 1 1  1   x + 2x + 2 + + 2 = 0   x2 + 2  + 2  x +  + 2 = 0  1 x x x x  x2 + 2 =y2 -2   2 x y = 0 y = 0 y2 - 2 + 2y + 2 = 0  y2 + 2y = 0  y(y + 2) = 0    y + 2 = 0  y = -2 x0 1 • Για y = 0 τοτε x + = 0  x2 + 1 = 0, αδυνατη x 1 • Για y = -2 τοτε x - = -2  x2 - 1 = -2x  x2 + 2x - 1 = 0  (x + 1)2 = 0  x + 1 = 0  x x = -1. Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-1}. Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ 52 - 4α(2α2 - 3αβ) > 0 25 - 4α.α > 0  2 25 25 - 4α2 > 0 Δ2  0  2  α <   2α - 3αβ   α(2α - 3β)    4  =1 =1 2α - 3β = 1 Ρ2 = 1    α 2α - 3β = 1 α  25 (1)  25 25 25  25  25 < 2β < <β < <α< 4  4 4  8 8  β = 1 (δεκτη), οποτε α = 2.  4 2α - 3β = 1 2.2β - 3β = 1 β = 1 21 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να λυθουν οι εξισωσεις : • (1) : (x 2 - 2x + 2) 2 - 6(x 2 - 2x + 2) + 5 = 0 • (2) : (x - 1) 2 - 8 | x - 1 | +15 = 0 • Θετουμε x2 - 2x + 2 = y, οποτε η (1) γινεται : y2 - 6y + 5 = 0  y2 - y - 5y + 5 = 0  y - 1 = 0 y = 1  y(y - 1) - 5(y - 1) = 0  (y - 1)(y - 5) = 0   y - 5 = 0 y = 5 2 2 2 • Για y = 1 τοτε x - 2x + 2 = 1  x - 2x + 1 = 0  (x - 1) = 0  x = 1 • Για y = 5 τοτε x2 - 2x + 2 = 5  x2 - 2x - 3 = 0  x2 - 3x + x - 3 = 0  Θετουμε • Eιναι, (x - 1)2 - 8 | x - 1 | +15 = 0  | x - 1 |2 -8 | x - 1 | +15 = 0  ω2 - 8ω + 15 = 0  |x-1|=ω ω = 3 ω2 - 3ω - 5ω + 15 = 0  ω(ω - 3) - 5(ω - 3) = 0  (ω - 3)(ω - 5) = 0   ω = 5 x - 1 = 3 x = 4  Για ω = 3 τοτε | x - 1 |= 3    x - 1 = -3 x = -2 Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-4, -2, 4, 6} x - 1 = 5 x = 6 Για ω = 5 τοτε | x - 1 |= 5     x - 1 = -5 x = -4 Να λυθουν οι εξισωσεις : • (1) : x 2 - 3 | x - 1 | -1 = 0 • Για x - 1  0  x  1 η (1) γινεται : • (2) : x - x - 1 - 3 = 0 x2 - 3(x - 1) - 1 = 0  x2 - 3x + 3 - 1 = 0  x2 - 3x + 2 = 0  x2 - x - 2x + 2 = 0  x - 1 = 0 x = 1 x(x - 1) - 2(x - 1) = 0  (x - 1)(x - 2) = 0    x - 2 = 0 x = 2 Για x - 1 < 0  x < 1 η (1) γινεται : x2 - 3(-x + 1) - 1 = 0  x2 + 3x - 3 - 1 = 0  x2 + 3x - 4 = 0  x2 + 4x - x - 4 = 0  x + 4 = 0  x = -4  x(x + 4) - (x + 4) = 0  (x + 4)(x - 1) = 0   x - 1 = 0  x = 1 απορριπτεται αφου x < 1 Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-4, 1, 2}. x - 3  0 x  3    x  1  • x - x - 1 - 3 = 0  x - 3 = x - 1  x - 1  0   x2 - 6x + 9 =| x - 1 | 2 2  (x - 3) = ( x - 1) x  3 x  3 x  3  2  2   2  x - 6x + 9 = x - 1  x - 7x + 10 = 0  x - 2x - 5x + 10 = 0 x  3 x  3 x  3 x  3      x - 2 = 0   x = 2 απορριπτεται   x(x - 2) - 5(x - 2) = 0 (x - 2)(x - 5) = 0 x - 5 = 0 x = 5   Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {5}. Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ x + 1 = 0 x = -1 x(x - 3) + (x - 3) = 0  (x + 1)(x - 3) = 0    x - 3 = 0 x = 3 Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-1, 1, 3}. 22 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ • Δινεται η εξισωση x2 - (λ + 3)x + λ + 4 = 0 (Ι). Αν η μια ριζα της ειναι το 2, να δειξετε οτι ο λ ι σουται με την αλλη ριζα. • Να δειξετε οτι η εξισωση x2 - (α + β + γ)x + αβ + βγ + γα = 0 (ΙΙ) εχει δι πλη ριζα, μονο αν α = β = γ. • Να δειξετε οτι η εξισωση αx2 + βx + γ = 0 (ΙΙΙ) εχει ριζα τον αριθμο - 1, μονο αν β = α + γ. (λ - 3λ + 2)x + (λ - 2)x + 3 = 0 (Ι). Να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε η (Ι) : • να εχει μονο μια ριζα, την οποια να βρειτε. 2 2 • να εχει μια διπλη ριζα, την οποια να βρειτε. • να εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες. • να μην εχει πραγματικη ριζα. Δινεται η εξισωση x2 - (λ + 1)x + λ = 0 (Ι) με ριζες ρ1 και ρ2 . Αν οι αριθμοι 2, ρ1 , ρ2 ειναι πλευρες τριγωνου, να δειξετε οτι : λ  (1, 3). • Δινεται η εξισωση x2 + 2x - 3 = 0 με ριζες τις x1 Η εξισωση αx 2 + βx + γ = 0 εχει : • δυο πραγματικες ανισες ριζες, αν Δ > 0. • μια διπλη ριζα, αν Δ = 0. • καμμια πραγματικη ριζα, αν Δ < 0. Αν α, β , γ ειναι πλευρες τριγω νου, τοτε : • | β - γ |< α < β + γ • | α - γ |< β < α + γ • | β - α |< γ < β + α • Για την εξισωση αx 2 + βx + γ = 0, το αθροισμα και το γινομενο των ριζων της x 2 x2 • Α = x12x2 + x22x1 • B = 1 + 2 δινεται απο : x2 x1 β γ • Γ = (1 - x1 )(1 - x2 ) •S =και • Ρ = α α • Δινεται η εξισωση x2 + (λ + 1)x - 2 - λ = 0 με ριζες • Ισχυει : τις x1 και x2 . • x12 + x22 = (x1 + x2 ) 2 - 2x1 .x2 1 1 2 Να υπολογισετε το λ ωστε : + = . • x13 ± x23 = (x1 ± x2 )(x12  x1 . x1 x2 3 .x2 + x22 ) • Αν α και β ειναι ριζες της εξισωσης - x2 + 2x + 3 = 0, τοτε να λυθει το συστημα : και x2 . Χωρις να λυσετε, υπολογιστε τις :   2α 2β  2 + y = α2β + αβ2 (α - β) x +   α   β  (α3 - β3 )x - (1 - 2α)(1 - 2β)y = 4  Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ Δινεται η εξισωση Η εξισωση αx 2 + βx + γ = 0 εχει : • δυο πραγματικες ανισες ριζες, αν Δ > 0. • μια διπλη ριζα, αν Δ = 0. • καμμια πραγματικη ριζα, αν Δ < 0. 23 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δινεται η εξισωση x2 - λx + 3 = 0 με ριζες τις x1 και x2 . • Να βρεθει ο λ ωστε η εξισωση να εχει δυο ριζες που η μια ειναι τριπλασια της αλλης. • Για τις πιο πανω τιμες του λ, να κατασκευασετε εξισωση που εχει ριζες : 2x1 - 1, 2x2 - 1. Δινεται η εξισωση 4x2 + 4(3λ + 2)x + 9λ 2 - 36 = 0 . • Δυο ριζες ετεροσημες. • Δυο ριζες oμοσημες. • Δυο ριζες αντιστροφες. • Δυο ριζες αντιθετες. Αν οι ριζες της εξισωσης x2 - (5λ - 6μ)x - 1 = 0 ει ναι αντιθετες και οι ριζες της εξισωσης λx2 + 13x - λμ + λ 2 = 0 ειναι αντιστροφες, τοτε : • να βρεθουν οι τιμες των πραγματικων αριθμων λ και μ. x 2 - (α + β)x + αβ = 0 β γ και και χρησι α α μοποιησε τον δοσμενο πινακα. Βρες : Δ, - β γ και και χρησι α α μοποιησε τον δοσμενο πινακα. Βρες : Δ, - • να λυσετε τις εξισωσεις, για τις τιμες των λ και μ που βρηκατε. Να λυθουν οι εξισωσεις : • x - 3α x - 4α = 0 4 2 2 2 • γ 4 x 4 + (α2 γ2 - β2 γ2 )x2 - α2β2 = 0 • x 4 + 5x3 + 4x2 - 5x + 1 = 0 • Γ ια εξισω σεις της μορφης : αx 4 + βx 2 + γ = 0, αντικαθιστο υμε y = x 2 . • Για εξισω σεις της μορφης : αx 4 + βx 3 + γx 2 + βx + α = 0 : • Δ ιαιρουμε με x 2 • αντικαθιστουμε : 1 1 •y = x+ οποτε : x 2 + 2 = y 2 - 2 x x 1 1 •y = xοποτε : x 2 + 2 = y 2 + 2 x x Να λυθουν οι εξισωσεις : • (x + 2x - 3) + (x + 2x + 4) - 9 = 0 2 2 2 • (x - 1)2 = 3 | x - 1 | +4 Να λυθουν οι εξισωσεις : • x - 2 | x - 2 | -4 = 0 2 •x + x -1 = 7 Αντικαθιστουμε τις ιδιες παρεν θεσεις η τα ιδια απολυτα με y και λυνουμε τις δευτεροβαθμιες ... • Λυνουμε σε δυο διαστηματα, λογω του απολυτου. • Βαζουμε περιορισμους, λογω του ριζικου. Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ Για ποιες τιμες του λ η εξισωση εχει : β γ και • Ρ = α α • Αν α και β ειναι ριζες εξισω σης δευτερου βαθμου, τοτε αυ τη εχει μορφη : •S =-