Επαναληπτικές ασκήσεις 2012

ΜΑΘΗΜΑ
ΤΑΞΗ
: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
: Β’ Λυκείου κατ.
ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
1) Να βρεθεί το Π.Ο. των συναρτήσεων :
α) f ( x ) =
2x + 5
2
x + x−6
γ) f ( x ) =
x2 − 2 x
x −1
β) f ( x ) =
ln( x + 1)
x−3
δ) f ( x) =
2− x
x−4
2) Να βρεθεί το Π.Ο. και το Π.Τ. των συναρτήσεων :
x+2
3x − 1
β) f ( x ) = x2 − 4x + 3
α) f ( x ) =
γ) f ( x ) =
x
, x≥3
x −1
3) ∆ίνεται η συνάρτηση ψ =
χ
να εξετάσετε αν ορίζεται η αντίστροφη της. Αν ορίζεται να
χ −1
βρείτε το τύπο της.
ΟΡΙΑ
1) Να υπολογίσετε τα όρια:
α) lim
x →0
δ) lim
x →2
συν 2x
x −1
β) lim
(
ε) lim
x →∞
−2χ 2 + 3χ
3χ 2 − 5
x →+∞
x 2 − 5x + 6
(x − 2) x
2
x ( x + 3) − x
)
ημ 2 χ
x →0 χ 2
ζ) lim
⎧ x3 − 1
, x ≠1
⎪
2) Αν f(x) = ⎨ x − 1
να υπολογίσετε το όριο lim f(x) .
x →1
⎪3
, x=1
⎩
Λύκειο Αγίας Φυλάξεως
1
γ) lim
x2 − 9
x −3
στ) lim
x →4
3− 5+ x
x +1 −1
x →3
ΠΡΟΟ∆ΟΙ
1) Να βρείτε το λόγο γεωμετρικής προόδου της οποίας ο πέμπτος όρος είναι 4 και ο όγδοος
όρος είναι − 256 .
ο
2) Να βρείτε το άθροισμα των 7 πρώτων όρων Γ.Π. που έχει 7 όρο 64 και 4 όρο 8.
ο
3) Το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων φθίνουσας Γ.Π. είναι 69, ενώ το άθροισμα των
απείρων όρων της είναι 81. Να βρεθεί η πρόοδος.
4) Αν χ είναι η ρίζα της εξίσωσης 4 − 2 − 2 = 0 , ψ είναι η ρίζα της log 3 ψ = 2 και χ, ψ, ω
είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να υπολογιστεί το ω.
x
x
5) Σε φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο ο πρώτος όρος, το άθροισμα των δύο πρώτων όρων και
το άθροισμα των απείρων όρων της είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Να βρείτε
το λόγο της γεωμετρικής προόδου.
6) Αν ημχ, ημψ, συνψ, συνχ, είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π. να δειχτεί ότι ημ(χ+ψ)=1.
2
4
6
7) Να λυθεί η εξίσωση 5 .5 .5 ...5
2x
= (0,04) −28 .
8) ∆ίνεται η Γ.Π. log 2 x,log 4 x,log16 x,... .Αφού διαπιστώσετε ότι είναι φθίνουσα Γ.Π. να λύσετε
την εξίσωση log 2 x + log 4 x + log16 x + ... = 2 .
9) Πόσους όρους πρέπει να πάρουμε από την Γ.Π. 2,4,8,16,... έτσι ώστε το άθροισμα τους να
είναι Σ ν = 2v + 62 .
10) Να βρεθούν τέσσερις διαδοχικοί αριθμοί σε Γ.Π. αν το άθροισμα των δύο ακραίων είναι 27
και το γινόμενο των δύο μεσαίων 72.
11) Σε Γ.Π. με λόγο, λ, λ < 1 , ο πρώτος όρος της είναι το μισό του αθροίσματος των απείρων
όρων της, και το άθροισμα των δύο πρώτων όρων της είναι 20. Να βρεθεί η πρόοδος.
12) Να υπολογιστεί το άθροισμα Σ ∞ =
Λύκειο Αγίας Φυλάξεως
1 1 1 1 1 1
− + − + −
+ ...
2 3 4 9 8 27
2
ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ
1) Να υπολογίσετε το χ στα πιο κάτω:
3
2
α) logχ 27=
β) log
3
9 3=χ
γ) 3 X+1 − 2 X = 3 X −1 + 2 X +3
(
)
(
)
log 7 11 − 6 2 + 2 log 7 3 + 2 = 2
2) Να δείξετε ότι:
3) Να λυθούν οι πιο κάτω εξισώσεις:
α) 3
χ+1
− 4 ⋅ 3χ−1 = 81 + 6 ⋅ 3χ−2
β) logχ 4 − 2log2 χ = 3
(
η) 2logx 9 + 32 = 12.2logx 3
1+ημχ
θ) 4
)⎦
2
γ) log ⎡log χ + χ + 4 ⎤ = 0
⎣
δ) 4
χ2 + 2
− 9 ⋅ 2χ
2
+2
ι) 10.xlog x = x 5
+8 =0
κ) 1 + logx
+ 52χ+1 = 7 ⋅ 10χ
χ+1
στ) log3 4 + 2 = 2 + χ log3 2
ε) 2
2 χ+1
(
χ
2χ
= 4.9χ − 22 χ
4−x
= (log x 2 − 1).logx 10
10
λ) 2συν 2χ = 2
)
ζ) 3.4 − 5.3
− 9.2ημχ + 2 = 0
μ) 24
συνχ
= 42
−2 συνχ +1
4) Να υπολογιστεί το άθροισμα log3 + log32 + log33 + ... + log350 .
5) Αν log2 = α , log 5 = β να αποδειχτεί ότι log8 125 =
β
.
2α
6) Να υπολογιστεί η βάση χ του λογαρίθμου logx 256 = (logx 4)2 + 3 .
7) Να λυθεί η εξίσωση logημχ (συνχ) + logσυνχ (ημχ) = 2 .
Λύκειο Αγίας Φυλάξεως
3
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
1) Να βρείτε τις παραγώγους των πιο κάτω συναρτήσεων:
(Η απάντηση να δοθεί στην πιο απλή μορφή)
α.
δ.
ψ = χ3 + 2χ2 −
ψ=
5
χ
χ +5
eχ
ψ = συν 5 4 χ
γ.
ψ=
ε.
⎛ χ3 − 5⎞
⎟
ψ = ln⎜⎜
⎟
ημ
χ
⎝
⎠
στ .
ψ = χ2 + 3
2) Να βρείτε τις παραγώγους στις πιο κάτω συναρτήσεις:
5
⎛ χ
⎞
ψ = ⎜ ημ + 4 ⎟
⎝ 5
⎠
2
ψ = χ 4 + − 5 χ 3 − 2 εφχ
χ
α.
ψ = χ ( χ + 5χ )
β.
γ.
ψ=
e2χ + 3
συν6χ
δ.
ε.
ψ = χ ⋅ 3χ
στ.
ζ.
ψ = eχσυνχ ⋅ ln χ
η.
ημ5χ
e4χ
ψ3 = ημψ + 2χ2ψ + 8χ − 4
θ.
ψ = ln ( ln ( ln3χ ) )
ι.
ψ = χημχ
κ.
ψ = x.e x .ln x
λ.
ψ = x3 .ln(ημ2 x)
2
3
ψ = ln
3) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του διαγράμματος της καμπύλης
ψ 2 + 3 ψχ = 2 χ 2 − 1 για χ = 2 και ψ 〉 0 .
4) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης και της κάθετης της καμπύλης
χ 2 − 3χψ + ψ 2 − 2ψ − 4 χ + 7 = 0 στο σημείο (1,1).
5) Αν ψ = 2.ημ 2 χ + χ να λυθεί η εξίσωση ψ ' = 0 στο διάστημα 0o ≤ χ ≤ 360o .
6) Αν ψ = eχ + 4.e −χ να λυθεί η εξίσωση ψ ' = 0 .
d2 y
dy
.εφ2ψ = 2( )2 .
7) Αν εφψ = e να δείξετε ότι
2
dx
dx
x
d2 y dy 2
+ ( ) + 36 = 0 .
dx 2
dx
2
dy
dy
− 6. + 25ψ = 0 .
9) Αν ψ = e3x .ημ 4χ να αποδείξετε ότι
2
dx
dx
8) Αν ψ = ln(ημ3 2x) να δείξετε ότι 3
Λύκειο Αγίας Φυλάξεως
( χ )e 2 χ + εφχ
β.
4
(
)χ
10) ∆ίνεται η καμπύλη f(χ) = χ2 − 3χ + 2 , Α είναι το σημείο όπου η γραφική παράσταση της
f(χ) τέμνει τον άξονα των ψ, ενώ Β και Γ τα σημεία στα οποία τέμνει τον άξονα των χ, να
βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων στα Α, Β και Γ καθώς και οι συντεταγμένες των
κορυφών και το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζουν οι εφαπτομένες.
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
1) Να αναλύσετε τα πιο κάτω κλάσματα σε άθροισμα απλών κλασμάτων:
χ 2 + 2χ + 3
α.
β.
χ 2 (χ + 1)
(χ
χ3
2
γ.
)
−1
3
δ.
χ3 +1
χ 2 + 4χ + 7
ε.
(χ + 3)3
2χ + 5
(χ + 2)(χ + 3)
ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
∆ιανύσματα
→
→
→
→
→
→
→
α = 2 i + 3 j και
1) ∆ίνονται τα διανύσματα
→
→
β = − i + 4 j . Να βρείτε
τα μέτρα των
→
διανυσμάτων α , β και α+ β .
→
2) Το ΑΒΓ∆ είναι τραπέζιο με ΑΒ//Γ∆ και ∆Γ=3ΑΒ. Αν το Μ είναι το μέσο της Γ∆, ΑΒ = α και
→
→
→
→
→
ΒΓ = β , να βρείτε τα διανύσματα ΑΜ , ΒΔ , ΜΒ και ΔΑ συναρτήσει των α, β.
→
→
→
3) Να βρείτε τις τιμές του λ έτσι ώστε τα διανύσματα α = i + 3 j
σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 60o .
→
→
→
→
→
→
και β = i + λ j να
→
→
→
4) Να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων α και β αν | α |= 4 , | β |= 4 και | α− β |= 7 .
→
→
→
→
→
→
5) ∆ίνονται τα διανύσματα ΟΑ = 2t i + 10 j και OB = 3t i + 2t j . Να βρείτε α) το μέτρο του
→
d| AB |2
διανύσματος AB β) Την παράγωγο του | AB | γ) την τιμή του t όταν
= 0.
dt
→
→
2
Ευθεία
1) Τρίγωνο ΑΒΓ έχει κορυφές Α(-3,2), Β(2,4) και Γ(4,0). Να βρεθεί το μήκος της διαμέσου ΑΜ.
2) Τρίγωνο ΑΒΓ έχει κορυφές Α(-3,-2), Β(0,5) και Γ(2,0). Να υπολογίσετε :
α) το εμβαδόν του τριγώνου.
β) το μέτρο της γωνίας ΒΑΓ.
γ) την εξίσωση της ευθείας ΑΒ.
δ) της συντεταγμένες του μέσου του ΑΒ.
ε) το μήκος του ΒΓ.
Λύκειο Αγίας Φυλάξεως
5
3) ∆ίνονται τα σημεία Α(8,-2) και Β(0,6). Να βρείτε :
α) την εξίσωση της ΑΒ.
β) τις συντεταγμένες ενός σημείου Γ πάνω στον άξονα ΟΧ ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι
ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ.
4) Να βρεθούν οι εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες 3χ-5ψ=6
και –5χ+3ψ=6.
5) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη με την ευθεία (ε):3χ-ψ=10 και απέχει
εξίσου από την αρχή των αξόνων και την ευθεία (ε).
6) ∆ίνεται η κορυφή Α(-1,-3) τετραγώνου ΑΒΓ∆ και η διαγώνιος του (Β∆):χ-2ψ+5=0. Να
βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του.
7) Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνεται η εξίσωση της πλευράς (ΑΒ):3χ-4ψ-3=0 και της διαμέσου
(ΑΜ):ψ=χ-1. Αν το ίχνος του ύψους Α∆ είναι ∆(4,2) να βρεθούν οι εξισώσεις των κορυφών
του.
8) Αν ΟΑΒΓ είναι τετράγωνο με Β(κ,κ) και Ο η αρχή των αξόνων να βρείτε τις συντεταγμένες
του Β όταν η ευθεία ψ=-(κ-3)χ+λ περνά από την κορυφή Β και τέμνει τους άξονες στα
σημεία Ε και Ζ ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΕΖ να είναι διπλάσιο του εμβαδού του
τετραγώνου ΟΑΒΓ.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
1) Οι πλευρές α, β, γ τριγώνου ΑΒΓ αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμιτικής προόδου. Να
αποδείξετε ότι:
2ημ
2) Αν
Β
Α−Γ
= συν
2
2
ημ( Α − Β) 2
= , να δείξετε ότι εφΑ.σφΒ=5.
ημ( Α + Β) 3
3) Να δείξετε ότι
ημ5ω συν5ω
−
= 8.συν 2ω − 4 .
ημω
συνω
4) Αν συν(α-β)=0, να δείξετε ότι ημ(2α-β)=-ημβ.
5) Να δείξετε ότι
σφω − εφω
= συν 2ω
σφω + εφω
6) Αν οι γωνίες α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. με διαφορά ω, να δείξετε ότι :
2.εφβ.(1 + εφ2ω)
εφα + εφγ =
1 − εφ2β.εφ2ω
Λύκειο Αγίας Φυλάξεως
6
7) Να δείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει η σχέση
ημ 2 Α + ημ 2Β
εφΓ
=
ημ 2 Α − ημ 2Β εφ(Β − Α)
8) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση συνΒ + συνΓ = 2.συν
Β−Γ
να δείξετε ότι το ΑΒΓ είναι
2
∧
ορθογώνιο ( Α = 90o ) . Επιπλέον αν ισχύει 2.ημΒ.συνΓ = 1 να δείξετε ότι είναι ισοσκελές.
∧
1
9) Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με Α = 90o να δείξετε ότι συνΒ.συνΓ = .συν(Β − Γ ) .
2
10) Να δείξετε ότι ημ (χ +
2
π
π
) − συν 2 (χ + ) = ημ 2χ
4
4
11) Να λύσετε τις εξισώσεις:
α) ημ2χ+συνχ=0
β) σφχ.συνχ+2ημχ-2=0
χ
χ
γ) ημ2χ = συν 4 − ημ 4
2
2
δ) ημ3 χ.συνχ − συν3 χ.ημχ =
2
8
ε) ημχ + συνχ = ημ18o + συν18o
στ) 1 + συνχ = 2.συν
χ
2
ζ) 4ημ2 χ(1 + συν2χ ) = 1 − συν2χ
η) ημ 6 χ + συν 6 χ =
5
8
0
0
12) Να βρείτε τις ειδικές λύσεις της εξίσωσης ημ5χ-ημ3χ=ημχ στο διάστημα [0 ,360 ] .
13) Να λυθεί η εξίσωση ημ χ.(2
2
Λύκειο Αγίας Φυλάξεως
7 − ημχ
− 2ημχ+1 ) = 25−ημχ − 2ημχ−1 .
7
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Στερεά
1) Κανονική τετραγωνική πυραμίδα ΚΑΒΓ∆ έχει βάση τετράγωνο ΑΒΓ∆ με πλευρά 4cm. Αν οι
0
παράπλευρες έδρες της σχηματίζουν με τη βάση της γωνία 45 να υπολογίσετε τον όγκο
της.
4) Σε κώνο είναι εγγεγραμμένη κανονική τριγωνική πυραμίδα. Η ακμή της βάσης της
πυραμίδας είναι α και το ύψος της 3α. Να βρείτε τη διαφορά των όγκων των δύο στερεών.
∧
5) Ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ (ΑΒ//Γ∆) με ΑΒ=ΒΓ=Α∆=α και Γ = 60 περιστρέφεται γύρω από
την ευθεία χΓψ κάθετη στην Γ∆ στο σημείο Γ. Να βρείτε: α) τον όγκο και την επιφάνεια του
0
στερεού που παράγεται συναρτήσει του α και β) για ποια τιμή του α ισχύει V = 96π 3 cm
.
3
6) ∆ίνεται συμπαγής πλάκα μολύβδου, σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, του οποίου
το μήκος είναι α=30cm, το πλάτος β=20cm και το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας
Eολ. = 2200 cm 2 .Λιώνουμε τη πλάκα αυτή και σχηματίζουμε 750 συμπαγείς ίσους κύβους.
Να βρείτε το μήκος της ακμής των κύβων.
7) Κυλινδρικό δοχείο με ακτίνα βάσης 7 cm περιέχει νερό. Στο δοχείο ρίχνουμε μεταλλικούς
κύβους ακμής 2 cm μέχρις ότου η στάθμη του νερού ανέβει κατά 8 cm (οι κύβοι καλύπτονται
22
πλήρως από το νερό). Να βρείτε πόσους κύβους ρίξαμε στο δοχείο ( π =
).
7
∧
∧
8) Στο σχήμα το ΑΒΓ∆ είναι ορθογώνιο τραπέζιο (A = Δ = 90 ) με βάσεις ΑΒ=3 cm, ∆Γ=7 cm
και ΑΒ=Α∆. Το σκιασμένο τρίγωνο ΒΓ∆ περιστρέφεται πλήρως γύρω από την ΑΒ. Να βρείτε
το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο του στερεού που παράγεται.
Α
0
∆
3 cm
Β
7 cm
Γ
Λύκειο Αγίας Φυλάξεως
8
9) Μεταξύ της ακτίνας R και του ύψους υ ενός κυλίνδρου ισχύει η σχέση
1 1
+ = 3 . Αν V
R υ
είναι ο όγκος του κυλίνδρου και Εολ. το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας, να δείξετε ότι
ισχύει
Εολ.
= 6.
V
10) Κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας 4 5 cm2 και
παράπλευρο ύψος 5 cm . Να βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.
11) Ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα έχει όγκο ίσο με 240 cm3 και εμβαδόν παράπλευρης
επιφάνειας ίσο με 240 3 cm2 . Να βρείτε το μήκος της ακμής της βάσης του και το ύψος
του.
Λύκειο Αγίας Φυλάξεως
9

Download Report