1. 1.1. Polje realnih brojeva Aksiomatika skupa realnih brojeva Realni brojevi Definicija 1..1. Skup realnih brojeva, u oznaci R, je skup u kome važe slijede´ci aksiomi: (SO) U skupu R definisana je i zatvorena operacija sabiranja, tj. bilo kom paru elemenata (x, y) ∈ R odgovara jedinstven element x + y ∈ R (S1) (∀x, y ∈ R) : x+y =y+x (S2) (∀x, y, z ∈ R) : (x + y) + z = x + (y + z) (S3) (∃0 ∈ R) (∀x ∈ R) : (S4) (∀x ∈ R) (∃x∗ ∈ R) : x+0=x x + x∗ = 0 (x∗ = −x) (MO) U skupu R definisana je i zatvorena operacija množenja, tj. bilo kom paru elemenata (x, y) ∈ R odgovara jedinstven element x · y ∈ R (M1) (∀x, y ∈ R) : x·y =y·x (M2) (∀x, y, z ∈ R) : (x · y) · z = x · (y · z) (M3) (∃1 ∈ R \ {0}) (∀x ∈ R) : x·1=x (M4) (∀x ∈ R \ {0}) (∃x−1 ∈ R) : x · x−1 = 1 (x∗ = −x) (MS) Množenje je distributivno prema sabiranju (∀x, y, z ∈ R) : x · (y + z) = x · y + x · z. Iz definicije 1..1 zakljuˇcujemo, da R ima strukturu polja. Medutim, skup R jos nije ¯ definisan u potpunosti. Skup R je ureden, ¯ tj. u R je definisana relacija ≤, tako da za proizvoljne x, y ∈ R važi x ≤ y ili y ≤ x. Relacija ≤ ima slijede´ca svojstva: (P1) (∀x ∈ X) : x≤x (P2) (∀x, y ∈ X) : (P3) (∀x, y, z ∈ X) : (x ≤ y ∧ y ≤ x) ⇒ x = y (x ≤ y ∧ y ≤ z) ⇒ x ≤ z (P4) (∀a ∈ R) : x≤y ⇒x+a≤y+a (P5) (∀x, y ∈ R) : (0 ≤ x ∧ 0 ≤ y) ⇒ 0 ≤ x · y Iz svojstava relacije poretka u skupu R, primje´cujemo da je sabiranje kompatibilno sa reiacijom ≤ ((P4)). Isto tako je množenje kompatibilno sa reiacijom ≤ ((P5)). Iz dosadašnjeg spiska aksioma u skupu R, zakljuˇcujemo aa je (R, +, ·, ≤) uredeno ¯ polje. Za neprazni podskup A skupa R, re´ci cemo da je ograniˇcen sa gornje (donje) strane, ako postoji b ∈ R (majoranta) skupa A ⊂ R (odnosno minoranta a ∈ R) tako da za svako x ∈ A važi x ≤ b (a ≤ x). Definicija 1..2. Tacka M ∈ R naziva se supremum skupa A ⊂ R ako ima slijede´ca svojstva: ∀x ∈ A : 1. Taˇcka M je majoranta skupa A, tj. 2. ∀x∗ < M, x≤M ∃x ∈ A, tako da je x > x∗ . Supremum se oznaˇcava sa sup A = M . Definicija 1..3. Tacka m ∈ R naziva se infimum skupa A ⊂ R ako ima slijede´ca svojstva: ∀x ∈ A : 1. Taˇcka m je minoranta skupa A, tj. 2. ∀˜ x > m, m≤x ∃x ∈ A, tako da je x < x ˜. Infimum se oznaˇcava sa inf A = m. Primjer 1..4. Uvidjeti infimum i supremum skupa 1 1 1 A = 1, , , , . . . 2 3 4 . Aksiom potpunosti Svaki naprazan podskup A skupa realnih brojeva R ograniˇcen sa gornje strane ima supremum i on pripada skupu R. Stavovi - bez dokaza, za vježbu! 1. Za svako a, b ∈ R, jednaˇcina a + x = b ima jedinstveno rješenje u R dato sa b + (−a), koje po dogovoru oznaˇcavamo sa b − a. 2. Ako su a i b bilo koji realni brojevi (a 6= 0), tada jednaˇcina a · x = b ima jedinstveno rješenje u R oblika a−1 · b, koje c´ emo po dogovou oznaˇciti sa ab . 3. Za svako a ∈ R važi a · 0 = 0 - (nema dijeljenja s nulom!) 2 4. Neka su a, b ∈ R. Ako je a · b = 0, tada je bar jedan element a ili b nula. 5. Neka su a, b ∈ R . Ako je a ≤ bm tada je −b ≤ −a. 6. Ako je neprazni skup A ⊂ R ograniˇcen sa donje strane, tada postoji inf A koji pripada skupu R. Teorema 1..5 (Arhimedov aksiom). Ako su a, b ∈ R bilo koji realni brojevi (a > 0), tada postoji prirodan broj n sa svojstvom n · a > b. (1) Tvdrnja ove teoreme može uzeti za aksiom i aksiom potpunosti izostaviti, a njegov iskaz dokazati u obliku teoreme. Neposredna posljedica ove teoreme je cˇ injenica da skup R nije ograniˇcen skup. Arhimed - Sirakuza, 287.-212. god.p.n.e Arhimed je bio helenistiˇcki matematiˇcar, fiziˇcar, inžinjer, izumitelj i astronom. Smatra se jednim od vode´cih nauˇcnika u klasici. Medu ¯ njegovim doprinosima nauci su osnove hidrostatike, statike i objašnjenje principa poluge. Arhimed se smatra najboljim matematiˇcarom klasiˇcnog doba i jednim od najboljih matematiˇcara svih vremena. Proširenje skupa realnih brojeva Ako se skupu R dodaju dva simbola, −∞ i +∞, tada se skup R ∪ {−∞, +∞} naziva prošireni skup realnih brojeva i oznaˇcava se sa R. Sve operacije iz R važe i u R, ali se moraju još definisati operacije na dvoˇclanom skupu {−∞, +∞} Definicija 1..6. 1. (+∞) + (+∞) = +∞ 2. (−∞) + (−∞) = −∞ 3. (+∞) · (+∞) = +∞ 4. (−∞) · (−∞) = +∞ 5. (+∞) · (−∞) = (−∞) · (+∞) = −∞ 3 6. (∀a ∈ R) : a + (+∞) = (+∞) + a = +∞ 7. (∀a ∈ R) : a + (−∞) = (−∞) + a = −∞ + 8. (∀a ∈ R ) : a · (+∞) = (+∞) · a = +∞ 9. (∀a ∈ R+ ) : a · (−∞) = (−∞) · a = −∞ 10. (∀a ∈ R− ) : a · (+∞) = (+∞) · a = −∞ − 11. (∀a ∈ R ) : a · (−∞) = (−∞) · a = +∞ Prema tome, u skupu R ostaje nedefinisano: +∞ −∞ , . +∞ −∞ Sa druge strane, u skupu R nije definisano dijeljenje sa nulom, pa takoder ¯ u R ostaje nedefinisano 00 . 0 · (+∞), 0 · (−∞), (+∞) − (+∞), (−∞) − (−∞), 1.2. Apsolutna vrijednost realnog broja Apsolutna vrijednost realnog broja Definicija 1..7. Apsolutna vrijednost (modul ili norma) realnog broja x (u oznaci |x|) je preslikavanje R 7→ R+ ∪ {0} definisano pomo´cu ako je x > 0 x, 0, ako je x = 0 (2) |x| := −x, ako je x < 0 Ekvivalentno: |x| := max{x, −x}, √ √ |x| := x · x = x2 . (3) (4) Stav 1 Neka su a, x ∈ R ∧ a > 0. Tada je |x| < a ⇐⇒ −a < x < a. Stav 2 Neka su a, b ∈ R. Tada važi |a · b| = |a| · |b| Stav 3 - nejednakost trougla Neka su a, b ∈ R. Tada važi |a + b| ≤ |a| + |b|. Pomo´cu stava 3, slijede´ca važna nejednakost (obrnuta nejednakost trougla) se lako dokazuje ||a| − |b|| ≤ |a − b|. 4 2. Skup prirodnih i cijelih brojeva Skup prirodnih brojeva Skup prirodnih brojeva N je podskup skupa R sa svojstvima: Peanovi aksiomi 1. 1 je prirodni broj, tj 1 ∈ N. 2. Svaki prirodni broj n ima svog sljedbenika n0 = n + 1, koji je takoder ¯ prirodan broj, tj. n ∈ N ⇒ n + 1 ∈ N. 3. 1 nije sljedbenik nijednog prirodnog broja. 4. Ako je m0 = n0 , tada je m = n, tj. svaki prirodni broj je sljedbenik najviše jednog prirodnog broja. 5. Ako je M ⊆ N i ako u M važe svojstva (1) i (2), tada je M = N. Princip potpune matematiˇcke indukcije Iskaz P (n), n ∈ N istinit je za svaki prirodan broj n ako je 1. P (1) istinito; 2. Iz pretpostavke da je P (n) istinit slijedi da je P (n + 1) istinit. ˇ Ovo je dakle ekvivalentno 5. Peanovom aksiomu. Cesto se dešava da izraz P (n) nije taˇcan za n = 1, 2, 3, . . . , n0 , ali je taˇcan ∀n > n0 . tada se koristi poopšteni princip potpune matematiˇcke indukcije, gdje samo taˇcku jedan zamijenimo sa P (n0 ) je istinito (n0 ≥ 1). Primjer 2..1 (Bernoulijeva nejednakost). Dokazati indukcijom (1 + α)n ≥ 1 + nα, (α > −1, α ∈ R ∧ n ∈ N). Primjer 2..2. Dokazati indukcijom n X k=1 k2 = 1 n(n + 1)(2n + 1) 6 Primjer 2..3 (Goldbachova konjektura). Svaki parni prirodni broj se može napisati u obliku 2n = p + q, gdje su p i q prosti brojevi. Goldbachova konjektura Pruski matematiˇcar Christian Goldbach je 12. juna 1742. pisao Leonhardu Euleru (Pismo XLIII) i predložio pretpostavku: Svaki cio broj ve´ci 2 od je mogu´ce napisati kao zbir tri prosta broja. Euler se zainteresovao za ovu temu i predložio da se ova pretpostavka izrazi na slede´ci naˇcin: Svaki paran broj ve´ci od 2 se može predstaviti kao zbir dva prosta broja. Euler je cˇ ak naglasio kako mu ova teorema izgleda priliˇcno oˇcigledna! 5 Skup cijelih brojeva Oznaˇcimo sa Z = {Zα |α ∈ A}, gdje je A indeksni skup, tj. skup svih podgrupa grupe (R, +) koje sadrže broj 1 ∈ Z. Ako stavimo Z = ∩α∈A Zα , odmah je uoˇcljivo da je Z podgrupa od (R, +) i 1 ∈ Z, pa je prema tome Z ∈ Z. Skup Z zovemo skupom cijelih brojeva a elemente tog skupa cijelim brojevima. Pokazuje se da je Z = (−N) ∪ {0} ∪ N, gdje je −N = {−n|n ∈ N}. Skup racionalnih i iracionalnih brojeva Neka je P = {Qβ |β ∈ B} skup svih potpolja Qβ polja (R, +, ·) i neka je Q = ∩β∈B Qβ . Oˇcito je takoder ¯ Q ∈ P, tj. Q je potpolje polja R. Skup Q zovemo skup racionalnih brojeva. Stav 1. Q= p |p ∈ Z ∧ q ∈ N . q Stav 2. Ako su r0 , s0 ∈ Q i r0 < s0 , tada postoji beskonaˇcno mnogo racionalnih brojev koji su ve´ci od r0 a manji od s0 . Aksiom Svakom realnom broju odgovara jedna i samo jedna taˇcka na brojnoj pravoj i obrnuto, svakoj taˇcki na brojnoj pravoj odgovara jedan i samo jedan realan broj. Definicija 2..4. Podskup realnih brojeva koji ne pripadaju skupu racionalnih brojeva naziva se skupom iracionalnih brojeva i oznaˇcava se sa I = R \ Q. Stav 3. neka su x, y ∈ R. Tada postoji racionalan broj r ∈ Q sa svojstvom x < r < y. Primjer 2..5. Realni broj √ 2∈ / Q. 6 Intervali i segmenti Definicija 2..6. Skup {x ∈ R|a < x < b, a, b ∈ R ∧ a < b} nazivamo otvoreni interval i oznaˇcavamo ga sa (a, b). Specijalno, skup (−a, +a) = {x ∈ R| − a < x < a, a ∈ R} = {x ∈ R| |x| < a} nazivamo simetriˇcni interval. Skup {x ∈ R|a ≤ x ≤ b, a, b ∈ R ∧ a < b} nazivamo zatvoreni interval i oznaˇcavamo ga sa [a, b]. Skupovi oblika [a, b) i (a, b] se nazivaju poluintervali ili polusegmenti. Definicija 2..7. Skup x ∈ R takvih da je x ≤ a zove se beskonaˇcni interval i oznaˇcava sa [a, +∞) = {x ∈ R|a ≤ x < +∞}. Sliˇcno se definišu i skupovi (a, +∞), (−∞, a], (−∞, a). Otvoreni i zatvoreni skupovi Definicija 2..8. Neka je a ∈ R i ε proizvoljno mali pozitivan realni broj. Skup V (a, ε) = {x ∈ R||x − a| < ε} naziva se ε-okolina taˇcke a. Vidimo da je ε-okolina taˇcke a u stvari otvoreni interval (a − ε, a + ε), cˇ ije je središte taˇcka a, a dužina 2ε. Definicija 2..9. Okolina taˇcke a ∈ R je svaki skup koji sadrži taˇcku a zajedno sa nekom ε-okolinom te taˇcke. Definicija 2..10. Neka je A ⊂ R. Za taˇcku a ∈ R kažemo da je unutrašnja taˇcka skupa A ako postoji ε-okolina taˇcke a sadržana u skupu A. Definicija 2..11. Za skup A kažemo da je otvoren skup ako su sve njegove taˇcke unutrašnje taˇcke. Teorema 2..12. Osnovna svojstva otvorenih skupova u R: 1. Skupovi ∅ i R su otvoreni skupovi u R. 2. Presjek konaˇcnog broja otvorenih skupova iz R je otovren skup u R. 3. Unija beskonaˇcno mnogo otvorenih skupova u R je otvoren skup u R. Definicija 2..13. Za skup F ⊂ R kažemo da je zatvoren skup ako i samo ako je R \ F otvoren skup u R. 7 Taˇcka nagomilavanja Definicija 2..14. Neka je A ⊆ R- Za taˇcki a ∈ R kažemo da je taˇcka nagomilavanja skupa A ako i samo ako svaka okolina taˇcke a sadrži bar jednu taˇcku skupa A razliˇcitu od a. Ako taˇcka nije taˇcka nagomilavanja, onda se naziva izolovanom taˇckom skupa A. 3. Polje kompleksnih brojeva Kompleksni brojevi Ve´c veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak cˇ ak i za neke od najosnovnijih jednaˇcina. Primjer toga je xn + m = 0. Pokazat c´ emo da postoji logiˇcno proširenje skupa R tako da gornja jednaˇcina ima rješenje za svako m, n ∈ R. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odriˇcemo relacije poretka - no ne možemo imati sve... 3.1. Definicija i oblici kompleksnog broja Definicija 3..1. Skup kompleksnih brojeva C je skup svih uredenih parova (x, y) real¯ nih brojeva u kome su definisane operacije sabiranja i množenja : (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ), (5) (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 − x2 y1 ). (6) Kompleksni broj generalno oznaˇcavamo sa z. Stavovi 1. Operacija sabiranja u skupu C je komutativna i asocijativna. 2. Operacija množenja u skupu C je komutativna i asocijativna. 3. Operacija množenja je distributivna prema operaciji sabiranja. 4. Za svaki kompleksan broj z = (x, y) vrijedi (x, y) + (0, 0) = (x, y) i (x, y) · (1, 0) = (x, y). Definicija 3..2. Suprotan broj kompleksnog broja z, u oznaci −z je kompleksan broj koji zadovoljava uslov z + (−z) = (0, 0) = 0. Za svaki kompleksan broj z = (x, y) postoji samo jedan suprotan kompleksni broj −z = (−x, −y). 8 Definicija 3..3. Reciproˇcni broj kompleksnog broja z = (x, y) 6= (0, 0) u oznaci kompleksan broj koji zadovoljava uslov z · z1 = 1. On je takoder ¯ jedinstven. 1 z je Definicija 3..4. Kompleksan broj (0, 1) naziva se imaginarna jedinica i oznaˇcava se sa i. Imaginarna jedinica ima svojstvo da je i2 = −1, jer je i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1. Svaki kompleksan broj možemo napisati u obliku z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) · (y, 0), što predstavlja algebarski ili Gaussov oblik kompleksnog broja z = x + iy. Broj x naziva se realni dio, a broj y imaginarni dio kompleksnog broja i oznaˇcavaju se sa: x = Re(z) i y = Im(z). Definicija 3..5. Za broj z = x − iy kažemo da je konjugovano-kompleksan broju z = x + iy. Sabiranjem, odnosno oduzimanjem z i z dobivamo Re(z) = 1 (z + z), 2 Im(z) = 1 (z − z). 2i Primjer 3..6. Jednaˇcina x2 + 1 = 0 ima dva rješenja u skupu C. Stav U skupu C važe jednakosti 1. z1 ± z2 = z 1 ± z 2 . 2. z1 · z2 = z 1 · z 2 . 3. z = z. 4. z1 z2 = z1 z2 , z2 6= 0. Svaki kompleksan broj z = (x, y) se može geometrijski predstaviti taˇckom M u ravni R × R pri cˇ emu je Re(z) apscisa taˇcke M , a Im(z) ordinata taˇcke M . Ova ravan se naziva Gaussova ili kompleksna ravan. Definicija 3..7. Modul kompleksnog broja z u oznaci |z| je nenegativan realan broj p |z| = Re(z)2 + Im(z)2 . Zakljuˇcujemo da modul nije ništa drugo do rastojanje kompleksnog broja u kompleksnoj ravni od broja 0 = (0, 0). Za njega vrijede relacije: |z| = |z|, |z|2 = z · z. 9 3.2. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja Sa slike i iz znanja trigonometrijskih funkcija, nalazimo x = |z| cos θ, y = |z| sin θ, gdje je θ = ∠(Ox, Oz). Ovaj ugao se naziva argument kompleksnog broja i oznaˇcava sa arg(z). Iz gornjih jednakosti je jasno da je y y tg θ = ⇒ θ = arc tg . x x y arc tg x − π, ako je x < 0 ∧ y < 0, arc tg xy , ako je x > 0 ∧ (y < 0 ∨ y > 0), argz = ako je x < 0 ∧ y ≥ 0, arctg xy + π, Koriste´ci se gornjim, dobivamo novi oblik kompleksnog broja z = |z|(cos θ + i sin θ) takozvani trigonometrijski oblik kompleksnog broja. 3.3. Operacije na kompleksnim brojevima Operacije na kompleksnim brojevima Ako su kompleksni brojevi z1 i z2 dati u trigonometrijskom obliku z1 = |z1 |(cos θ1 + i sin θ1 ), z2 = |z2 |(cos θ2 + i sin θ2 ), imamo da je njihov proizvod z1 · z2 = |z1 ||z2 |(cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )). Generalnije n Y k=1 zk = n Y k=1 cos n X θk + i sin k=1 n X ! θk . k=1 Iz gornje formule direktno slijedi poznata formula za stepen kompleksnog broja, tzv. Moivre-ova formula: z n = [|z|(cos θ + i sin θ)]n = |z|n (cos nθ + i sin nθ), n ∈ Z. Primjenom formule za množenje na brojeve z1 i dva kompleksna broja 1 z2 , dobivamo formulu za dijeljenje z1 |z1 | = [cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 )]. z2 |z2 | Nejednakost trougla. 10 Korjenovanje kompleksnog broja √ U skupu komplesnih brojeva definiše se n-ti korijen broja z ∈ C u oznaci n z, kao broj w ∈ C sa svojstvom da √ n z = w ⇐⇒ wn = z. Ako predemo na trigonometrijske oblike ¯ z = r(cos θ + i sin θ) i w = ρ(cos ϕ + i sin ϕ), te iskoristimo Moivreovu formulu za stepen, dobijemo ρn (cos nϕ + i sin ϕ) = r(cos θ + i sin θ), odakle je na osnovu jednakosti kompleksih brojeva, ρ= √ n r, ϕ= θ + 2kπ , (k = 0, ±1, ±2, . . .). n Prema tome, ako je z = r(cos θ + i sin θ), tada je √ √ θ + 2kπ θ + 2kπ n z = n r cos + i sin , k = 0, ±1, ±2, . . . n n Moglo bi se pomisliti da je ovih korjena beskonaˇcno mnogo no to nije sluˇcaj. Formula daje taˇcno n vrijednosti n-tog korjena broja z. √ Primjer 3..8. Odrediti sve vrijednosti 3 1. Logaritam kompleksnog broja Neka je z = r(cos θ + i sin θ) proizvoljan komplesan broj. Eulerov oblik kompleksnog broja je dat sa z = r(cos θ + i sin θ) = reiθ . Na osnovu jednakosti dva kompleksna broja, dobijamo da je z = rei(θ+2kπ) , k ∈ Z. Definicija 3..9. Prirodni logaritam kompleksnog broja z u oznaci Lnz, definiše se kao i u skupu R, tj. w = Lnz ⇐⇒ z = ew , (w ∈ C). Iz gornjih relacija, dobivamo Lnz = ln r + i(θ + 2kπ), k ∈ Z. Dakle, Ln je višeznaˇcna funkcija, a izrazom Lnz = ln r + iπ, −π < θ < π je definisana tzv. principalna ili glavna vrijednost prirodnog logaritma kompleksnog broja. 11 3.4. Polinomi kompleksne promjenljive Definicija 3..10. Polinom P kompleksne promjenljive z = x + iy definiše se kao P (z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an = n X ak z n−k , k=0 gdje je n ∈ N ∪ {0}, a0 , a1 , . . . , an kompleksni brojevi koji se zovu koeficijenti polinoma kompleksne promjenljive P (z) Ako je a0 6= 0, n je stepen polinoma, u oznaci n = deg P . Oˇcito je da su polinomi zatvoreni pod sabiranjem i množenjem, a takoder ¯ imamo da je deg(P + Q) ≤ max degP, dqgQ, deg(P · Q) = degP + degQ. za polinom kažemo da je realan ako su svi njegovi koeficijenti realni brojevi. Neke operacije sa polinomima Osobinu da je polinom P (z) djeljiv polinomom Q(z), tj. da je Q(z) djelilac polinom P (z) oznaˇcavamo sa Q(z)/P (Z). Definicija 3..11. Ako su P i Q dva polinoma i ako vrijedi R/P i R/Q, kažemo da je R zajedniˇcki sadržilac polinoma P i Q. Definicija 3..12. Polinom d(z) je najve´ci zajedniˇcki djelilac (NZD) polinoma P (z) i Q(z) ako je d(z)/P (z) i d(z)/Q(z) i ako za svaki zajedniˇcki djelilac R(z) polinoma P i Q važi R(z)/d(z). Jasno je da ako je d(z) NZD polinoma P i Q, tada je i αd(z) takoder ¯ NZD polinoma P i Q. Stav Za bilo koja dva ne-nula polinoma P (z) i Q(z) postoji NZD. On je jedinstvan sa taˇcnoš´cu do multiplikativne konstante. Dokaz. Koristimo se Euclidovim algoritmom: 1. Podijelimo P (z) sa Q(z). Neka je koliˇcnik Q1 (z) a ostatak R1 (z), tj. P (z) = Q(z) · Q1 (z) + R1 (z). Ako je R1 (z) = 0, onda je NZD polinom Q(z). Ako nije, onda 2. Podijelimo Q(z) sa R1 (z) i neka je koliˇcnik Q2 (z) a ostatak R2 (z), tj. Q(z) = R1 (z) · Q2 (z) + R2 (z). Ako je R2 (z) = 0, onda je R1 (z) NZD. Inaˇce nastavljamo dalje dijeliti R1 (z) sa R2 (z)... 12 Algebarske jednaˇcine Definicija 3..13. Pod algebarskom jednaˇcinom n-tog stepena po z podrazumjevamo jednaˇcinu P (z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an = 0. (7) Pod nulom ili korijenom jednaˇcine (7) ili polinoma P (z) podrazumjeva se kompleksni broj z0 za koji je ispunjeno P (z0 ) = 0. Fundamentalni stav algebre Svaka algebarska jednaˇcina stepena n (n ≥ 1) ima barem jednu nulu realnu ili kompleksnu. Algebarska jednaˇcina n-tog stepena c´ e imati n rješenja u kompleksnim brojevima! Definicija 3..14. Ako je z1 nula polinoma Pn (z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an , linearni binom z − z1 se zove korjeni cˇ inilac polinoma Pn (z). Stav Svaki polinom Pn (z) djeljiv je svakim od svojih korjenih cˇ inilaca. Stav Za svaki polinom Pn (z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an , postoje kompleksni brojevi z1 , z2 , . . . , zn takvi da je Pn (z) = a0 (z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zn ). Posljedica Polinom stepena n ne može se anulirati sa više od n razliˇcitih vrijednosti! Racionalne funkcije Racionalna funkcija je funkcija oblika: R(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 Pn (x) = Qm (x) bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0 Ako je 1. n ≥ m tada je funkcija R(x) neprava racionalna funkcija; 2. n < m tada je funkcija R(x) prava racionalna funkcija. 13 U prvom sluˇcaju, prvo polinome Pn (x) i Qn (x) podijelimo, tj. Pn (x) R1 (x) = Λn−m (x) + . Qn (x) Qm (x) R(x) = Drugi dio desne strane ove jednakosti je onda prava racionalna funkcija. Primjer 3..15. 2x3 − x2 + x + 5 27x − 2 = 2x + 7 + 2 . x2 − 4x + 1 x − 4x + 1 Rastavljanje prave racionalne funkcije Prostim racionalnim funkcijama zovemo racionalne funkcije oblika A (x − α)k (k ∈ N ) (8) gdje su A ia realni brojevi, odnosno Mx + N (x2 k ∈ N ; p2 − 4 q < 0 , k + px + q) (2.26∗ ) gdje su M, N, p i q realni brojevi. Stav Svaka nesvodljiva prava racionalna funkcija može se razložiti u zbir od konaˇcno mnogo parcijalnih razlomaka. Dakle svaku pravu racionalnu funkciju možemo predstaviti u obliku : Pn (x) Pn (x) = , k, l ∈ N. k Qm (x) (x − a) (x2 + px + q)l Pri tome je p2 − 4q < 0, tj. x2 + px + q se ne može dalje rastaviti na proste realne faktore (nema nula u R). Tada racionalnu funkciju možemo izraziti kao: (x − Pn (x) k a) (x2 + px + + q)l = A1 A2 Ak + + ... + + 2 x − a (x − a) (x − a)k M1 x + N1 M 2 x + N2 Ml x + Nl + + ... + 2 x2 + px + q (x2 + px + q)2 (x + px + q)l . A1 , A2 , . . . , An , M1 , M2 , . . . , Ml , N1 , N2 , . . . , Nl su nepoznati koeficijenti koje treba odrediti. 14
© Copyright 2024 Paperzz