1 Kompleksni brojevi

1 Kompleksni brojevi
Kompleksni brojevi
Već veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak cˇ ak i za neke od najosnovnijih jednaˇcina. Primjer toga je
xn + m = 0.
Pokazat c´ emo da postoji logiˇcno proširenje skupa R tako da gornja jednaˇcina ima rješenje za svako m, n ∈ R.
Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odriˇcemo relacije poretka - no ne možemo
imati sve...
1.1 Definicija i oblici kompleksnog broja
Definicija 1.1. Skup kompleksnih brojeva C je skup svih uredenih parova (x, y) realnih
brojeva u kome su definisane operacije sabiranja i množenja :
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) =
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) =
(x1 + x2 , y1 + y2 ),
(x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 − x2 y1 ).
(1)
(2)
Kompleksni broj generalno oznaˇcavamo sa z.
Stavovi
1. Operacija sabiranja u skupu C je komutativna i asocijativna.
2. Operacija množenja u skupu C je komutativna i asocijativna.
3. Operacija množenja je distributivna prema operaciji sabiranja.
Definicija 1.2. Suprotan broj kompleksnog broja z, u oznaci −z je kompleksan broj
koji zadovoljava uslov
z + (−z) = 0.
Za svaki kompleksan broj z = (x, y) postoji samo jedan suprotan kompleksni broj
−z = (−x − iy).
Definicija 1.3. Reciproˇcni broj kompleksnog broja z u oznaci
koji zadovoljava uslov z · 1z = 1. On je takoder jedinstven.
1
z
je kompleksan broj
Definicija 1.4. Kompleksan broj (0, 1) naziva se imaginarna jedinica i oznaˇcava se sa
i.
1
Imaginarna jedinica ima svojstvo da je i2 = −1, jer je
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1.
Svaki kompleksan broj možemo napisati u obliku
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) · (y, 0),
što predstavlja algebarski ili Gaussov oblik kompleksnog broja
z = x + iy.
Broj x naziva se realni dio, a broj y imaginarni dio kompleksnog broja i oznaˇcavaju se
sa:
x = Re(z) i y = Im(z).
Definicija 1.5. Za broj z = x − iy kažemo da je konjugovano-kompleksan broju
z = x + iy.
Sabiranjem, odnosno oduzimanjem z i z dobivamo
Re(z) =
1
(z + z),
2
Im(z) =
1
(z − z).
2i
Primjer. Jednaˇcina x2 + 1 = 0 ima dva rješenja u skupu C.
Stav
U skupu C važe jednakosti
1. z1 ± z2 = z 1 ± z 2 .
2. z1 · z2 = z 1 · z 2 .
3. z = z.
4.
z1
z2
=
z1
z2 ,
z2 6= 0.
Svaki kompleksan broj z = (x, y) se može geometrijski predstaviti taˇckom M u ravni
R × R pri cˇ emu je Re(z) apscisa taˇcke M , a Im(z) ordinata taˇcke M .
Ova ravan se naziva Gaussova ili kompleksna ravan.
Definicija 1.6. Modul kompleksnog broja z u oznaci |z| je nenegativan realan broj
p
|z| = Re(z)2 + Im(z)2 .
Zakljuˇcujemo da modul nije ništa drugo do rastojanje kompleksnog broja u kompleksnoj ravni od broja 0 = (0, 0). Za njega vrijede relacije:
|z| = |z|, |z|2 = z · z.
2
1.2 Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Sa slike i iz znanja trigonometrijskih funkcija, nalazimo
x = |z| cos θ, y = |z| sin θ,
gdje je θ = ∠(Ox, Oz).
Ovaj ugao se naziva argument kompleksnog broja i oznaˇcava sa arg(z). Iz gornjih
jednakosti je jasno da je
y
y
tg θ = ⇒ θ = arc tg .
x
x

y
 arc tg x − π, ako je x < 0 ∧ y < 0,
arc tg xy ,
ako je x > 0 ∧ (y < 0 ∨ y > 0),
argz =

arctg xy + π,
ako je x < 0 ∧ y ≥ 0,
Koristeći se gornjim, dobivamo novi oblik kompleksnog broja
z = |z|(cos θ + i sin θ)
takozvani trigonometrijski oblik kompleksnog broja.
1.3 Operacije na kompleksnim brojevima
Operacije na kompleksnim brojevima
Ako su kompleksni brojevi z1 i z2 dati u trigonometrijskom obliku
z1 = |z1 |(cos θ1 + i sin θ1 ), z2 = |z2 |(cos θ2 + i sin θ2 ),
imamo da je njihov proizvod
z1 · z2 = |z1 ||z2 |(cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )).
Generalnije
n
Y
k=1
zk =
n
Y
k=1
cos
n
X
θk + i sin
k=1
n
X
k=1
θk
!
.
Iz gornje formule direktno slijedi poznata formula za stepen kompleksnog broja, tzv.
Moivre-ova formula:
z n = [|z|(cos θ + i sin θ)]n = |z|n (cos nθ + i sin nθ), n ∈ Z.
Primjenom formule za množenje na brojeve z1 i
dva kompleksna broja
1
z2 ,
dobivamo formulu za dijeljenje
z1
|z1 |
=
[cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 )].
z2
|z2 |
Nejednakost trougla.
3
Korjenovanje kompleksnog broja
U skupu komplesnih brojeva definiše se n-ti korijen broja z ∈ C u oznaci
w ∈ C sa svojstvom da
√
n
z = w ⇐⇒ wn = z.
√
n
z, kao broj
Ako predemo na trigonometrijske oblike
z = r(cos θ + i sin θ) i w = ρ(cos ϕ + i sin ϕ),
te iskoristimo Moivreovu formulu za stepen, dobijemo
ρn (cos nϕ + i sin ϕ) = r(cos θ + i sin θ),
odakle je na osnovu jednakosti kompleksih brojeva,
ρ=
√
n
r,
ϕ=
θ + 2kπ
, (k = 0, ±1, ±2, . . .).
n
Prema tome, ako je z = r(cos θ + i sin θ), tada je
√
√
θ + 2kπ
θ + 2kπ
n
z = n r cos
+ i sin
, k = 0, ±1, ±2, . . .
n
n
Moglo bi se pomisliti da je ovih korjena beskonaˇcno mnogo no to nije sluˇcaj. Formula
daje taˇcno n vrijednosti n-tog korjena broja z.
√
Primjer. Odrediti sve vrijednosti 3 1.
Logaritam kompleksnog broja
Neka je z = r(cos θ + i sin θ) proizvoljan komplesan broj. Eulerov oblik kompleksnog
broja je dat sa
z = r(cos θ + i sin θ) = reiθ .
Na osnovu jednakosti dva kompleksna broja, dobijamo da je
z = rei(θ+2kπ) , k ∈ Z.
Definicija 1.7. Prirodni logaritam kompleksnog broja z u oznaci Lnz, definiše se kao
i u skupu R, tj.
w = Lnz ⇐⇒ z = ew , (w ∈ C).
Iz gornjih relacija, dobivamo
Lnz = ln r + i(θ + 2kπ),
k ∈ Z.
Dakle, Ln je višeznaˇcna funkcija, a izrazom
Lnz = ln r + iπ,
4
−π < θ < π
je definisana tzv. principalna ili glavna vrijednost prirodnog logaritma kompleksnog
broja. Ralika izmedu trigonometrijskih funkcija i hiperboliˇcnih funkcija pretežno
nestaje ako dozvolimo da se koristimo kompleksnim brojevima, umjesto samo realnih.
Koristeći se Eulerovim oblikom kompleksnog broja,
cosh(ix) = cos x,
cos(ix) = cosh x
sinh(ix) = i sin x,
sin(ix) = i sinh x
5

Download Report