Ερώτηση: Δύο ευθείες που ταυτίζονται θεωρούνται παράλληλες

Ερώτηση:
Δύο ευθείες που ταυτίζονται θεωρούνται παράλληλες;
Απάντηση:
Στο γυμνάσιο και στο λύκειο, η έννοια της παραλληλίας δύο ευθειών στην Ευκλείδεια Γεωμετρία ορίζεται για διακεκριμένες ευθείες. Αυτό σημαίνει ότι δύο ευθείες
που ταυτίζονται δε θεωρούνται παράλληλες.
Στη Β΄ Λυκείου, όμως, στα Μαθηματικά της Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
η έννοια της παραλληλίας επεκτείνεται και στην περίπτωση που οι ευθείες ταυτίζονται. Χαρακτηριστικά αναφέρω την άσκηση 1 της Α΄ ομάδας στη σελίδα 69, όπου
ζητούνται οι τιμές της παραμέτρου μ ώστε η ευθεία:
(μ – 1)x + μy +μ2 = 0
να είναι παράλληλη στον άξονα y΄y και δίνεται ως λύση η τιμή μ = 0, η οποία οδηγεί στον ίδιο τον άξονα y΄y.
Το ίδιο πνεύμα ακολουθείται και στη Γ΄ Λυκείου, αν κρίνουμε από την άσκηση 3 της
Β΄ ομάδας στη σελίδα 38 του βιβλίου της Γενικής Παιδείας, όπου ζητούνται τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης:
x
f ( x) =
x +1
στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στη διχοτόμο της πρώτης και τρίτης γωνίας και δίνεται ως μία λύση το σημείο Ο(0, 0) στο οποίο η εφαπτομένη είναι η ίδια η
η διχοτόμος, δηλαδή η ευθεία y = x.
Για ενημέρωση αναφέρω ότι για τη θεμελίωση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προκειμένου να βελτιωθεί το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη, το οποίο παρουσιάζει κάποια κενά, έχουν προταθεί διάφορα αξιωματικά συστήματα, όπως του Peano, του Hilbert, του H. Weyl και άλλων, χωρίς βέβαια να αμφισβητείται η μεγάλη προσφορά του
Ευκλείδη. Στο αξιωματικό σύστημα του H. Weyl η έννοια του διανύσματος θεωρείται
πρωταρχική και η σχέση της παραλληλίας δύο ευθειών επεκτείνεται και στις ευθείες
που ταυτίζονται!
Κατά τη διδασκαλία τώρα των αντίστοιχων ενοτήτων στους μαθητές της Κατεύθυνσης στη Β΄ Λυκείου ίσως δημιουργηθεί κάποιο επιστημολογικό εμπόδιο, διότι οι μαθητές έως και την Α΄ Λυκείου είχαν διδαχθεί ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες όταν
δεν έχουν κοινό σημείο. Για την υπερπήδηση του εμποδίου αυτού θα πρέπει να τονίζουμε στους μαθητές ότι γίνεται επέκταση της έννοιας της παραλληλίας επισημαίνοντας ταυτόχρονα ότι στο Διανυσματικό Λογισμό και στην Αναλυτική Γεωμετρία1 η
παραλληλία ερμηνεύεται με τον όρο: «ίδια διεύθυνση».
Τέλος, εκφράζοντας την προσωπική μου άποψη αναφέρω ότι στην Αναλυτική Γεωμετρία, στην οποία υπεισέρχεται η έννοια της διεύθυνσης μιας ευθείας, η παραπάνω επέκταση μάλλον επιβάλλεται. Με αυτόν τον τρόπο η παραλληλία στο σύνολο των
ευθειών του επιπέδου είναι σχέση ισοδυναμίας και διαμερίζει το σύνολο των ευθειών
σε κλάσεις ισοδυναμίας όπου κάθε κλάση ορίζει και μία διεύθυνση.
1
Η Αναλυτική Γεωμετρία σε επίπεδο θεωρίας είναι «Ευκλείδεια Γεωμετρία». Απλώς η προσέγγιση
γίνεται με αλγεβρικό τρόπο. Επομένως με τους όρους Ευκλείδεια Γεωμετρία και Αναλυτική Γεωμετρία
εδώ εννοούμε τον τρόπο προσέγγισης και όχι το σύνολο των αξιωμάτων και θεωρημάτων (θεωρία).
www.p-theodoropoulos.gr

Download Report