f(x, y)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΙΙΙ
ΦΥΛΛΑ∆ΙΟ 3
΄Ασκηση 1. ΄Εστω
g(r, θ) = f (x, y)
όπου
x = r cos θ, y = r sin θ
να δείξετε ότι
1 ∂2g
∂2f
∂2f
∂ 2 g 1 ∂g
+
+
=
+
∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ2
∂x2
∂y 2
΄Ασκηση 2. ΄Εστω f (t), g(t) δύο συναρτήσεις µίας µεταβλητής. Θέτουµε
h(x, y) = f (x + y) − g(x − y)
Να δείξετε ότι
∂2h
∂2h
=
= f ′′ (x + y) − g ′′(x − y)
2
2
2
2
∂ x
∂ y
΄Ασκηση 3. ΄Εστω f (u, v) µια συνάρτηση δύο µεταβλητών. Θέτουµε
u = x + y και v = x − y . Να δείξετε ότι
∂2f
∂2f
∂2f
=
−
∂x∂y
∂u2
∂v 2
΄Ασκηση 4. ΄Εστω
f (x, t) = sin(x + 5t) + cos(2x + 10t)
Να δείξετε ότι
∂2f
∂2f
= 25 2
∂2t
∂ x
΄Ασκηση 5. Αν f (x, y, z) = sin(xyz) να υπολογίσετε τις
D1 D2 D1 D3 f,
D12 D2 D3 f,
1
D3 D 1 D 2 D 1 f
2
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΙΙΙ ΦΥΛΛΑ∆ΙΟ 3
΄Ασκηση 6. Αν f (x, y, z) = xy + yz + zx να υπολογίσετε τις
D12 f,
D22 f,
D1 D2 f,
(D1 + D2 )2 f,
(2D1 − 3D2 )3 f
΄Ασκηση 7 (Τύπος του Euler- µέρος ΙΙ). ΄Εστω f : R2 → R µια διαφοϱίσιµη συνάρτηση τέτοια ώστε υπάρχει κάποιος ακέραιος k ≥ 1 ώστε για
κάθε t και (x, y) ∈ R2 ισχύει
f (tx, ty) = tn f (x, y)
∆είξτε ότι
∂f
∂f
+y
= nf (x, y)
∂x
∂y
∂2f
∂2f
∂f 2
(2) x2 2 + 2xy
+ y 2 2 = n(n − 1)f (x, y)
∂x
∂x∂y
∂y
(1) x
΄Ασκηση 8. ΄Εστω f (x, y) = xn y m ∆είξτε ότι
D1n D2m f (0, 0) = n!m!
΄Ασκηση 9.
΄Εστω f (x, y) = xn y m ∆είξτε ότι αν s 6= n είτε αν t 6= m τότε
D1s D2t f (0, 0) = 0
΄Ασκηση 10. ΄Εστω f (x, y), g(x, y) να είναι δύο συναρτήσεις δύο µεταϐλητών που ικανοποιούν τις συνθήκες
∂f
∂g
=− ,
∂x
∂y
∂f
∂g
=−
∂y
∂x
Να δείξετε ότι
∂2f
∂2f
+
=0
∂x2
∂y
΄Ασκηση 11. Αν z = f (x − y, y − x) να δείξετε ότι
∂z
∂z
+
=0
∂x ∂x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΙΙΙ
ΦΥΛΛΑ∆ΙΟ 3
3
΄Ασκηση 12. Αν
Να υπολογίσετε τα
f (x, y) = x4 y 4 − 3x3 y 2 − 7x9 y 5
D14 D24 f (0, 0), D13D22 f (0, 0), D17 D29 f (0, 0), D1 D211 f (0, 0)
΄Ασκηση 13. Αν
f (x, y) = 1 + xy + x2 y 2 + x3 y 3 + x4 y 5
Να υπολογίσετε το
(D1 + D2 )4 f (0, 0)
΄Ασκηση 14. Αν f (~
x) είναι η συνάρτηση τριών µεταβλητών που δίνεται
από τον τύπο
f (~x) =
1
k~xk
να δείξετε ότι και z = f (x, y) να δείξετε ότι
∂2f
∂2f
∂2f
+
+
=0
∂x2
∂y 2
∂z 2
΄Ασκηση 15. Θα λέµε ότι µία συνάρτηση f (x, y, z) ικανοποιεί την εξίσωση
του Laplace αν
∂2f
∂2f
∂2f
+
+
=0
∂x2
∂y 2
∂z 2
Να ελέγξετε ποιές από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν την εξίσωση του Laplace
(1) x2 + y 2 − 2z 2
(2) x2 + y 2 + z 2
(3)
»
x2 + y 2 + z 2
(4) √
(5) ln
x2
√
1
+ y2 + z2
x2 + y 2
(6) e3x+4y cos 5z

Download Report