Διανύσματα - ηλιασκος φροντιστηρια

ΗΛΙΑΣΚΟΣ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ
ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ
Θετικής - Τεχνολογικής
Κατεύθυνσης
Μαθηματικά Β΄Λυκείου
Διανύσματα
Επιμέλεια: ΜΑΧΗ ΣΚΟΥΦΑ
ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ
e-mail: [email protected]
www.iliaskos.gr
ΗΛ
1.
2.
:
:
3.
,
Φ
ΟΣ
ΣΚ
ΙΑ
.
4.
.
,
, ,
.
.
5.
i)
.
:
.
ii)
,
:
6.
, , , , .
7.
, , , ,
.
:
,
8.
.
:
.
.
.
.N
.
.
ΗΡ
ΙΣΤ
ΝΤ
ΡΟ
9.
, ,
,
:
.
10.
:
.
11.
,
.
,
.
12.
.
13.
.
14.
.
.
.
,
,
.
,
, ,
.
,
, ,
ΙΑ
15.
16.
, , .
.
ΗΛ
17.
.
,
.
18.
,
.
Φ
ΟΣ
ΣΚ
ΙΑ
,
.
:
19.
:
.
.
20.
.
.
.
21.
,
,
.
(i)
.
(ii)
22.
.
.
:
.
(i)
:
(ii)
,
:
24.
.
,
.
:
25.
.
.
:
26.
,
ΗΡ
ΙΣΤ
ΝΤ
ΡΟ
23.
.
.
.
27.
28.
:
.
:
.
.
,
ΙΑ
29.
, , ,
=
= .
x
,
.
ΗΛ
30.
,
,
.
.
31.
x.
Φ
ΟΣ
ΣΚ
ΙΑ
,
32.
,
:
i.
ii.
,
:
,
, ,
.
33.
,
.
.
(i)
.
(ii)
34.
,
.
, , ,
, ,
.
35.
, ,
(i)
(ii)
,
ΗΡ
ΙΣΤ
ΝΤ
ΡΟ
:
:
,
.
,
36.
.
.
, ,
.
37.
, ,
.
38.
39.
, ,
:
.
,
,
.
.
40.
.
,
.
,
.
41.
, ,
,
42.
:
.
,
,
,
,
.
ΙΑ
.
(i)
(ii)
, ,
43.
,
ΗΛ
.
44.
,
,
,
.
45.
,
Φ
ΟΣ
ΣΚ
ΙΑ
,
,
,
.
,
46.
,
,
,
.
47.
,
,
.
(i)
:
)
) ,
) ,
.
(ii)
,
.
48.
)
)
,
.
,
:
ΗΡ
ΙΣΤ
ΝΤ
ΡΟ
(i)
,
:
.
(ii)
,
49.
.
, ,
,
.
,
.
.
50.
, ,
.
,
,
,
.
(i)
,
,
.
(ii)
51.
,
.
.
:
.
ΙΑ
(i)
(ii)
,
.
,
.
52.
ΗΛ
.
53.
, ,
.
.
54.
,
,
,
,
Φ
ΟΣ
ΣΚ
ΙΑ
.
:
G
)
)
)
55.
56.
G
G
,
:
)
, ,
.
)
,
,
ΗΡ
ΙΣΤ
ΝΤ
ΡΟ
57.
,
,
.
58.
,
.
59.
,
+ + =0,
.
60.
,
.
,
, , ,
.
ΙΑ
.
,
61.
ΗΛ
.
62.
,
.
,
,
63.
.
,
Φ
ΟΣ
ΣΚ
ΙΑ
.
64.
.
:
.
( +2)
65.
.
:
)
,
.
)
.
66.
67.
.
68.
.
.
ΗΡ
ΙΣΤ
ΝΤ
ΡΟ
,
:
.
.
.
69.
,
,
.
, , ,
70.
.
.
71.
,
.
72.
.
:
.
73.
.
.
, ,
,
:
.
.
.
ΙΑ
74.
75.
, ,
.
ΗΛ
76.
.
, ,
.
77.
,
.
Φ
ΟΣ
ΣΚ
ΙΑ
78.
)
+ + =0
.
, ,
)
, ,
(1-
+(2
2 )
.
2
)
-2
= ,
.
79.
:
80.
)
)
- =1.
,
,
=1.
.
, ,
.
81.
,
,
.
, ,
.
ΗΡ
ΙΣΤ
ΝΤ
ΡΟ
82.
,
.
83.
.
, ,
.
.
84.
, ,
,
.
.
85.
, ,
,
.
.
86.
,
:
.
.
87.
,
,
.
:
,
ΙΑ
88.
,
.
89.
.
ΗΛ
)
)
.
90.
,
.
.
Φ
ΟΣ
ΣΚ
ΙΑ
91.
:
.
x
.
92.
, ,
,
.
93.
.
,
94.
,
.
.
.
:
95.
,
96.
(i)
(ii)
.
.
,
,
.
ΗΡ
ΙΣΤ
ΝΤ
ΡΟ
97.
,
,
.
.
98.
, ,
.
99.
2(
, ,
)+(
)=(
.
),
,
.
100.
,
.
.
101.
.
:
.
102.
103.
.
ΙΑ
.
104.
2 .
:
ΗΛ
)
)
:
105.
.
Φ
ΟΣ
ΣΚ
ΙΑ
.
106.
.
:
107.
108.
.
:
.
.
109.
:
.
:
.
110.
.
,
ΗΡ
ΙΣΤ
ΝΤ
ΡΟ
111.
:
.
(2- , +1).
.
,yy .
(-4,-2), (-1,3)
, ,
)
)
)
:
,
2
112.
.
R,
2
=( + -2, +5 +6).
) = ,
)
113.
,
y
:
)
(2,0)
(3,2).
.
114.
(-1,2)
y
(-3,0).
.
115.
.
:
)
,
116.
)
, )
.
.
)
x R,
)
x R
.
ΙΑ
.
)
,
.
(8,-4).
(2,6)
118.
(-2,-2), (3,0), (-1,3).
ΗΛ
117.
,
.
(4,0), (6,2)
Φ
ΟΣ
ΣΚ
ΙΑ
119.
,
(3,5)
,
,
.
(2,3), (- ,3), (- ,1), (1,0), (3,1)
120.
,
,
,
,
.
121.
(2,5)
)
)
)
yy
122.
(-1,-1).
, .
, .
:
, .
(2,0), (3,2).
, ,
.
123.
(3,2), (5,-4).
: )
, )
.
ΗΡ
ΙΣΤ
ΝΤ
ΡΟ
.
124.
(5,1), (1,-3)
(9,-7).
,
,
.
(4,1).
125.
126.
)
)
127.
(-1,2), (2,3)
,
(0,2), (1,1), ( ,2- )
( ,-6) (3,2) (- ,-10)
, .
.
.
=(2x-y,x+2y-4), =(x-3y+2,-3x+2y-2), =(3,-2),
=(-3,4)
)
)
128.
.
x,y
.
x,y
=(-1,2), =(-2,5)
)
)
.
=( -2,1)
)
.
=(-8,4-2 ).
ΙΑ
129.
=(0,-1).
)
=5,
.
ΗΛ
130.
(-3,1), ( ,3), (-5,1- )
.
131.
=(-1,2)
)
:
)
Φ
ΟΣ
ΣΚ
ΙΑ
)
132.
133.
=(3,1).
(1,-3)
: 2(
-3 =
(-2,1)
=(1,-2), =(-3,0)
.
,
,
134.
=( -1, -2)
=( ,2 -1) .
,
:
)
)
.
)
135.
.
.
=( -1,-2),
=( -2, ),
,
:
)
)3
.
136.
(-2,3).
,
,
(0,1)
ΗΡ
ΙΣΤ
ΝΤ
ΡΟ
) ,
) ,
:
(-1,0).
137.
x2-( 3-2)x-2=0.
3.
138.
(-2,1), (3,-2)
,
2
.
139.
(1,2), (-1,0)
(0,3)
, .
140.
(1,-2), (2,2).
xx
141.
yy
=(-1,2)
)
)
142.
143.
=(3,-2)
:
:
145.
.
.
:
:
ΙΑ
144.
,
(-1,3), (-2,-3)
(2,4),
)
ΗΛ
)
146.
(1,2), ( ,0)
(0,- ).
.
147.
=(3,-1), =(-2,1)
=(12,-5)
Φ
ΟΣ
ΣΚ
ΙΑ
)
)
148.
=( -1, ), =( ,2-2 )
)
)
=(1,5).
,
=-1
=2
.
.
149.
150.
=(1,4)
( -1,-2), (-1,0), ( -3,2 )
,
, ,
)
)
=-1,
xy
151.
)
)
,
152.
:
.
.
(1,3), (5,1).
, ,
ΗΡ
ΙΣΤ
ΝΤ
ΡΟ
)
.
i) A(-1,3),B(2,-3) ii)A(3,1),B(-5,1) iii)A(-2,3),B(-2,7)
153.
xx ,
i) = ii) =120 iii) = iv) =0.
154.
xx
:
i) A(3,0),B(0,-
ii)A(0,3),B(2,3)
155.
=(2,2)
)
xx
=(1,-
.
156.
( -3,2), (3 , -3).
xx
.
).
)
ΙΑ
)
iii)A(2,1),B(1,1+
:
157.
( -1,2)
(2,3 ).
xx
ΗΛ
.
158.
(3x,y)
B(4x+3y,2y).
x,y
xx
135
2
.
Φ
ΟΣ
ΣΚ
ΙΑ
159.
x2-2( -1)x- +1=0.
.
.
160.
161.
.
162.
.
xx
(1,2)
(3,6)
(-1,2), (1,-2)
166.
yy
.
(2,3).
d=
.
167.
,
.
.
ΗΡ
ΙΣΤ
ΝΤ
ΡΟ
168.
,
,
,
,
,
.
(i)
(ii)
(iv)
,
:
(iii)
(v)
169.
170.
.
5.
171.
,
.
172.
(4,3),
.
173.
(1,2)
2,
.
,
.
174.
,
.
.
,
ΙΑ
,
175.
(6,7).
.
=
,
ΗΛ
176.
.
= ,
177.
.
.
178.
.
: i)
Φ
ΟΣ
ΣΚ
ΙΑ
ii) (
179.
,
,
.
:i)
, ii)
180.
,(
181.
.
=(10,5)
,
=(3,4)
.
182.
,
,
,
183.
184.
, ,
,
,
,
ΗΡ
ΙΣΤ
ΝΤ
ΡΟ
.
185.
.
.
186.
(
(
2
) =2(
)(
).
187.
=
)
.
(
.
=
)
.
,
188.
.
.
189.
(1,2), (2,2+
:
, (-2
).
.
190.
.
191.
.
ΙΑ
,
192.
,
.
ΗΛ
193.
:
:
i)
ii)
Φ
ΟΣ
ΣΚ
ΙΑ
194.
,
i)
:
ii)
:
.
195.
.
:
.
196.
197.
.
:
,
:
ii)(
iii)(
198.
,
ΗΡ
ΙΣΤ
ΝΤ
ΡΟ
199.
=1
.
200.
,
i)
ii)
,
201.
=
ii)
202.
i)
2
,
203.
204.
,
.
.
i)
ΙΑ
205.
:
206.
,
ΗΛ
207.
,
,
Φ
ΟΣ
ΣΚ
ΙΑ
208.
.
,
209.
.
,
210.
(4,1),
.
(8,2)
.
(1,3),
211.
.
,
.
212.
(1,-2),
(2,3)
(0,1).
:
,
:
i)
,
ii)
,
iii)
,
.
213.
,
214.
:
ΗΡ
ΙΣΤ
ΝΤ
ΡΟ
i)
,
ii)
.
:
.
215.
,
:
.
216.
x
.
217.
,
,
,
.
218.
,
,
.
219.
220.
.
i)
ii)
(3,2),
.
222.
,
.
.
ΙΑ
221.
:
:
(7,-4).
.
5.
.
223.
,
.
ΗΛ
.
224.
.
.
225.
, ,
:
Φ
ΟΣ
ΣΚ
ΙΑ
.
226.
,
.
,
:
.
227.
,
:
,
,
.
228.
:
,
,
, .
229.
,
i)
,
,
ii)
230. i)
:
.
:
,
.
231.
,
ΗΡ
ΙΣΤ
ΝΤ
ΡΟ
ii)
.
,
.
232.
,
,
.
233.
,
234.
.
235.
,
236.
,
.
237.
:
,
:
.
,
(2,-1), (-1,4), (3,-2)
(
)=3,
.
=4,
=
.
ΙΑ
.
239.
.
,
.
238.
.
.
240.
.
ΗΛ
241.
.
242.
.
Φ
ΟΣ
ΣΚ
ΙΑ
.
243.
.
.
244.
:
.
:
.
245.
:
.
246.
.
247.
248. i)
ii)
:
.
249.
:
,
ΗΡ
ΙΣΤ
ΝΤ
ΡΟ
.
250.
:
251.
i)
ii)
ii)
.
.
252.
x R,
=1
i)
i)
ii)
:
iii)
253.
x
.
x
.
.
254.
:
(
:
ΙΑ
i)
ii)
255.
ΗΛ
(
.
256.
i)
,
,
:
ii)
257.
=2
,
:
Φ
ΟΣ
ΣΚ
ΙΑ
(3
i)
ii)
258.
.
259.
260.
261.
.
:
,
.
,
,
(
.
)=2.
=5
:
.
:
ΙΑ
ΗΡ
ΙΣΤ
ΝΤ
ΡΟ

Download Report