SADRŽAJ:
6. UPRAVLJANJE KRETANJEM
6.1 Problem upravljanja
6.2 Upravljanje u prostoru zglobova
6.3 Tehnika neovisnog upravljanja zglobovima
6.3.1 Upravljanje sa povratnom spregom
6.3.2 Decentralizovana kompenzacija direktne
veze
6.4 Upravljanje u zatvorenoj povratnoj petlji sa
momentom kao vektorom upravljanja
6.5 Centralizovano upravljanje
6.5.1 PD upravljanje sa gravitacijskom
kompenzacijom
6.5.2 Inverzno dinami ko upravljanje
6.5.3 Robusno upravljanje
6.5.4. Adaptivno upravljanje
6.6 Upravljanje u radnom prostoru
6.6.1 Generalne šeme
6.6.2 PD kontrola sa kompenzacijom gravitacije
6.6.3 Inverzna dinami ka kontrola
6.7 Pore enje izme u razli itih upravlja kih šema
Dodatak
3
3
5
8
9
20
24
27
29
32
35
42
47
48
49
51
53
63
6. UPRAVLJANJE KRETANJEM
U prethodnom poglavlju su prezentirane tehnike planiranja trajektorije koje
dozvoljavaju generisanje referentnih ulaza u upravalj ki sistem kretanja. U opštem
slu aju, problem upravljanja manipulatora se svodi na odre ivanje vremenske promjene
generaliziranih sila (sila ili obrtnih momenata) koje moraju posti i aktuatori zglobova,
kako bi se izvršio komandni zadatak uz zadovoljavanje zadatih zahtijeva tranzijentnog i
stacionarnog stanja. Zadatak se može odnositi na izvršavanje specifi nog kretanja za
manipulator u slobodnom operacijskom prostoru ili izvo enje specifi nog kretanja za
manipulator pred koga se postavljaju zahtjevi o iznosu kontaktne sile dodira kojom
prihvatnica djeluje na okolinu. Zbog kompleksnosti problema, bit e posebno razmatrana
dva aspekta; prvo, upravljanje kretanjem u slobodnom prostoru, te zatim upravljanje
interakcijom u prostoru uz postavljena ograni enja. Tema ovog poglavlja je problem
upravljanja kretanjem manipulatora. Predstavljene su brojne tehnike upravljanja u
prostoru zglobova. Ove tehnike se mogu podijeliti u dvije kategorije: decentralizovane
šeme upravljanja, na primjer, kada se upravlja jednim zglobom manipulatora nezavisno
od ostalih, te centralizovane šeme upravljanja, na primjer, kada se uzimaju u obzir efekti
dinami ke interakcije izme u zglobova. Najzad, ilustrovane su osnovne karakteristike
šema upravljanja u radnom prostoru kao premisa na problem upravljanja interakcijom.
6.1 Problem upravljanja
Prilikom upravljanja manipulatorom može se koristiti nekoliko tehnika. Tehnika
koja slijedi, kao i na in na koji je implementirana, može imati zna ajan uticaj na
performanse manipulatora, te zbog toga i na mogu i opseg aplikacija. Na primjer, potreba
za kontrolom pra enja trajektorije u operacijskom prostoru može voditi do
hardverskih/softverskih implemantacija koje se razlikuju od onih koje omogu avaju
upravljanje od ta ke do ta ke gdje je jedino od interesa dostizanje kona ne pozicije.
S druge strane, mehani ki dizajn manipulatora ima uticaj na vrstu iskorištene
upravlja ke šeme. Na primjer, problem upravljanja Kartezijevog manipulatora je
suštinski razli it u odnosu na antropomorfisti ki manipulator.
Pokretni sistem zglobova ima, tako e, uticaj na tip korištene strategije upravljanja.
Primjena elektri nih motora sa visokim redukcionim faktorima za pokretanje zglobova
robota, te prisustvo zup anika, omogu uju linearizaciju dinami kog sistema, odnosno
dekuplovanje zglobova u pogledu redukcije nelinearnih efekata. Me utim, s druge strane,
prisustvo trenja u zglobovima, elasti nosti i zazora mogu umanjiti performanse sistema i
dovesti do Coriolis-ovih sila, konfiguracijski ovisnih inercijalnih efekata, i sl. S druge
strane, direktno osnaživanje robota bez prenosnika eliminira elasti nost, zazor i trenje, ali
i nelinearnost, te sprezanje me u zglobovima postaju relevantno. Posljedica toga je
2
nužnost razmatranja razli itih strategija upravljanja u cilju postizanja visokih performansi
robotskih sistema.
Slika 6.1
Opšta šema upravljanja u prostoru zglobova
Bez ikakvog razmatranja specifi nih tipova mehani kih manipulatora, vrijedno je
pomenuti da se specifikacija zadatka (kretanja prihvatnice i sila) obi no vrši u
operacionom prostoru, pošto se upravlja ke akcije (zglobni aktuator generaliziranih sila)
izvode u prostoru zgloba. Ova injenica vodi do razmatranja dva tipa opštih upravlja kih
strategija: upravljanje u prostoru zgloba (Slika 6.1) i upravljanje u radnom prostoru (Slika
6.2). U objema strategijama, upravlja ka struktura ima zatvorenu petlju da bi iskoristila
dobre karakteristike povratne sprege, na primjer, robusnost prema modeliranju neta nosti
i reduciranje efekata smetnji. U opštem slu aju, provest e se sljede a razmatranja.
Problem upravljanja prostora zglobova se izražava preko dva podproblema. Prvi,
inverzna kinematika manipulatora se rješava transformisanjem zahtijeva kretanja iz
radnog prostora u prostor zgloba. Potom se dizajnira šema za upravljanje u prostoru
zglobova koja omogu ava pra enje referentnih ulaza. Me utim, ovo rješenje ima
nedostatak, jer šema upravljanja u prostoru zglobova ne uti e na varijable u prostoru
zadatka koje se upravljaju u otvorenoj petlji mehani ke strukture manipulatora. Tada je
jasno da sve neta nosti strukture (tolerancija konstrukcije, nedostatak kalibrisanja, zazor
kod zup anika, trenje) ili bilo kakva nepreciznost pozicije prihvatnice koja se odnosi na
objekat koji se manipuliše izaziva gubitak ta nosti varijabli u radnom prostoru.
Problem upravljanja u radnom prostoru slijedi globalni pristup koji zahtijeva
izvo enje aritmeti ki kompleksnijih operacija; treba uo iti da je inverzna kinematika
ugra ena u povratnu spregu. Konceptualna prednost ovog pristupa odnosi se na
mogu nost pra enja varijabli operacijskog prostora; ovo je samo potencijalna prednost,
jer se mjerenje varijabli operacionog prostora esto ne izvodi direktno, ve kroz procjenu
funkcija direktne kinematike po evši od mjerenja varijabli prostora zglobova.
3
Slika 6.2
Opšta šema upravljanja u radnom prostoru
Na osnovu gornjih premisa, prvo su prezentovane šeme upravljanje u prostoru
zglobova za kretanje manipulatora u slobodnom prostoru. U nastavku e biti ilustrovane
šeme za upravljanje u radnom prostoru koje su logi ka osnova upravljanja interakcijom
ograni enog kretanja manipulatora.
6.2 Upravljanje u prostoru zglobova
U Poglavlju 4 prikazano je da se jedna ine kretanja manipulatora u odsustvu
vanjskih sila prihvatnice i stati kog trenja (teško je precizno modelovati) mogu opisati sa:
..
.
.
.
B(q ) q + C (q, q ) q + Fv q + g (q) = τ ,
(6.1)
sa jasnim zna enjem simbola. Upravljanje kretanjem manipulatora u slobodnom prostoru
svodi se na odre ivanje n komponenti generaliziranih sila – momenata za rotacione
zglobove, sila za translacijske zglobove – koje omogu avaju izvršavanje kretanja q(t)
tako da vrijedi da je q(t ) = q d (t ) , gdje q d (t ) ozna ava vektor varijabli željene
trajektorije zgloba.
Aktuatori obezbje uju generalizirane sile preko odgovaraju ih prenosnika u cilju
transformisanja karakteristika kretanja. Neka qm ozna ava vektor pomjeranja zglobnog
aktuatora; uz pretpostavku da u prenosnicima nema mrtve zone i uz zanemarivanje
elasti nosti, vrijedi jedna ina:
K r q = qm ,
(6.2)
gdje je Kr (n×n) dimneziona matrica redukcionih koeficjenata prenosnika kretanja.
4
Naj eš e je to dijagonalna matrica, uz pretpostavku da nema induciranih kretanja,
iji su elementi mnogo ve i od jedan. Imaju i u vidu (6.2), vektor momenata kojeg na
izlaznim osovinama razvijaju motori može biti prikazan jedna inom:
τ m = K r−1τ .
(6.3)
Slika 6.3
Blok šema upravljanja manipulatora sa motorima
Uo avaju i da se dijagonalni elementi matrice inercije B(q) sastoje iz konstantnih i
konfiguracijski zavisnih izraza (sinusne i kosinusne funkcije za rotacijske zglobove), to
se matrica inercije može prikazati sumom dviju matrica:
B ( q ) = B + ∆B ( q ) ,
(6.4)
gdje je B dijagonalana matrica iji konstantni elementi predstavljaju rezultuju e srednje
vrijednosti inercije svakog zgloba. Uvode i izraze (6.2) – (6.4) u (6.1) dobija se:
τ m = K r−1 B K r−1 q m + Fm q m + d ,
(6.5)
gdje:
5
F m = K r−1 Fv K r−1 ,
(6.6)
predstavlja matricu koeficijenata viskoznog trenja oko osa motora, i
d = K r−1 ∆B(q ) K r−1 q m + K r−1C (q, q) K r−1 q m + K r−1 g (q ) ,
(6.7)
što predstavlja doprinos momentu koji je ovisan o konfiguraciji.
Kao što ilustruje blok šema na Slici 6.3, manipulator sa motorima se satoji od dva
podsistema. Kod jednog podsistema τ m je ulazni vektor, a qm je izlazni vektor. Drugi
sistem ima qm, q m i q m kao vektore ulaza, a d je vektor izlaza. Prvi podsistem je linearan,
jer svaka komponenta vektora τ m uti e samo na odgovaraju u komponentu qm. Drugi
podsistem je nelineran, jer obuhvata sve nelinearne i spregnute izraze dinamike zgloba
manipulatora.
Gornja blok šema može poslužiti kao osnova za izvo enje nekoliko upravlja kih
strategija koja upu uju na detaljno poznavanje dinami kog modela. Najjednostavniji
pristup koji se može slijediti, u slu aju visokih redukcionih faktora i/ili ograni enja
postavljenih radi postizanja željenih brzina i ubrzanja, je da se razmatra komponenta
nelineranog interaktivnog izraza d kao poreme aj koji djeluje na servosistem pojedinog
zgloba.
Dizajn upravlja ke strategije vodi do decentralizirane upravlja ke strukture, jer se
svaki zglob može promatrati odvojeno od drugog. Upravlja ka jedinica zgloba mora
garantovati dobre performanse u smislu otklanjanja djelovanja velikih poreme aja i
pove enja mogu nosti pra enja trajektorije. Rezultuju a upravlja ka struktura je suštinski
bazirana na grešci izme u željenog i stvarnog izlaza, dok ulazni upravlja ki moment na itom aktuatoru zavisi samo od greške na i-tom izlazu.
S druge strane, kada manipulator sa motorima djeluje velikim brzinama (Kr = I),
nelinearni spregnuti izrazi znatno uti u na preformanse sistema. Stoga, promatranje
efekata komponenti izraza d kao poreme aja može dovesti do odstupanja pri pra enju
trajektorije. U ovom slu aju, preporu uje se primjena upravlja kog algoritma koji se
temelji na detaljnom poznavanju dinamike manipulatora radi kompenzacije nelineranih
spregnutih izraza modela. Drugim rije ima, neophodno je eliminisati uzroke, prije nego
reducirati efekte koji su njihova posljedica; to zna i generisati kompenzacioni moment za
nelinearne izraze u (6.7). To name e nužnost primjene centralizirane upravlja ke šeme
koja se bazira na (djelimi nom ili cjelokupnom) znanju dinami kog modela
manipulatora.
Ipak, treba ukazati na injenicu da sve ove tehnike još uvijek zahtijevaju pra enje
greške izme u postignute i željene trajektorije, bez obzira da li su implementirane u
povratnoj sprezi ili direktnoj vezi. Ovo je posljedica injenice da razmatrani dinami ki
model, ma koliko bio kompleksan, je u svakom slu aju idealiziranje realnosti koja ne
uklju uje efekte kao što su: Coulomb-ovo trenje, labavost prenosnika, tolerancija
6
dimenzija, i nedovoljno ta ne pretpostavke, na primjer, potpuno kruti lanci manipulatora
i dr.
Kao što je prethodno pomenuto, uloga sistema sa motorima je relevantna za
izabrani tip upravljanja. U slu aju decentralizovanog upravljanja, aktuator se opisuje
preko izraza valastitog modela kao brzinom upravljan generator. U slu aju
cetralizovanog upravljanja, aktuator mora generisati dodatni moment na bazi cjelokupnog
ili reduciranog dinami kog modela manipulatora; tada se razmatra kao momentom
upravljani generator koji je predstavnik aktuatora/sistema za poja anje snage koji
zadovoljava gornje zahtjeve.
6.3 Tehnika neovisnog upravljanja zglobovima
Najjednostavnija upravlja ka strategija koja se može razmatrati je ona koja se
odnosi na manipulator koji se sastoji od n nezavisnih sistema (n zglobova) i upravljanje
svakom od osa zglobova kao sistemom tipa jedan ulaz/jedan izlaz. Uticaj efekata
pojedinih zglobova na druge zglobove usljed mijenjanja konfiguracije tokom kretanja
prikazuje se kroz poreme aje ulaza.
Slika 6.4
Blok šema upravaljanja osnaženog zgloba
Sistem koji se upravlja je motor i-tog zgloba koji odgovara sistemu tipa jedan
ulaz/jedan izlaz prikazan kao dio linearne šeme na Slici 6.3. Interakcija sa drugim
zglobovima je opisana komponentom i vektora d izrazu (6.7).
Bez gubitka opštosti, aktuator je uzet kao rotacioni DC motor. Stoga se blok šema
zgloba i može predstaviti u domenu kompleksne varijable s kao na Slici 6.41. Na ovoj
šemi θ je ugaona varijabla motora, I je prosje na vrijednost inercije na osovini motora
I i = bii / k ri2 , Ra je armaturni otpor (samoinduktivnost se zanemaruje), kt i kv su
momentna i naponska konstanta. Dalje, Gv ozna ava naponsko poja anje poja ala snage,
tako da referentni ulaz nije armaturni napon Va, nego ulazni napon Vc poja ala; uo iti da
pretpostavljeni propusni opseg mnogo ve i od propusnog opsega upravljanog sistema. Na
šemi sa Slike 6.4, tako e je pretpostavljeno da je:
(
)
1
Indeks i je izostavljen radi notacijeske kompaktnosti. Tako e, Laplace-ova transformacija vremenski
ovisnih funkcija je predstavljena velikim slovima bez specificiranja ovisnosti od s.
7
Fm <<
kv kt
,
Ra
na primjer, koeficijent mehani kog viskoznog trenja se zanemaruje uz uvažavanje
koeficijenta elektri nog trenja.2
Ulazno/izlazna prenosna funkcija motora se može pisati kao:
M (s) =
km
,
s (1 + sTm )
(6.8)
gdje su:
km =
1
,
kv
Tm =
Ra I
,
kv kt
naponsko poja anje i vremenska konstanta motora, respektivno.
6.3.1 Upravljanje sa povratnom spregom
Pri odabiru upravlja ke strukture treba uo iti da se efektivno otklanjanje smetnje d na
izlaz θ osigurava sa:
•
•
velikim faktorom poja anja prije ta ke djelovanja poreme aja,
primjenom integralnog djelovanja u upravlja koj jedinici da bi se poništili efekti
djelovanja gravitacijske komponente na izlazu u stacionarnom stanju
(konstanta θ ).
Slika 6.5
Blok šema nezavisnog upravljanja zglobom
2
Cjelokupan postupak vezan za aktuatore je opisan u Poglavlju 8.
8
Ove potrebe name u nužnost upotrebe proporcionalno-integralnog
upravlja kog djelovanja u direktnoj stazi ija je prenosna funkcija data sa:
C ( s) = K c
1 + sTc
;
s
(PI)
(6.9)
Pri djelovanju konstantnih poreme aja na sistem greška stacionarnog stanja postaje
nula, a postojanje realne nule s = −1 / Tc ukazuje na stabilizaciju procesa. Da bi se
poboljšale dinami ke performanse, kontroler se predstavlja kao kaskada elementarnih
djelovanja u lokalnim povratnim petljama zatvorenim u okolini porema aja.
Pored zatvaranja povratne petlje po poziciji, najopštije rješenje se postiže
zatvaranjem unutrašnjih petlji i po brzini i po To dovodi do šeme koja je prikazana na
Slici 6.5, gdje CP(s), CV(s) i CA(s), respektivno, predstavljaju prenosne funkcije PI
regulatora za poziciju, brzinu i ubrzanje, prema izrazu (6.9), da bi se postigla nulta greška
u stacionarnom stanju pri konstantnoj smetnji. Dalje, kTP, kTV i kTA su, respektivno,
konstante transduktora. Na šemi sa Slike 6.5 treba uo iti da je momentni poreme aj D
pomo u faktora Ra / k t preveden u naponski oblik.
U nastavku je prikazan veliki broj mogu ih rješenja koja se izvode iz opšte šeme sa
Slike 6.5; na ovom stepenu nisu razmatrani slu ajevi koji nastaju usljed nemogu nosti
mjerenja pojedinih fizi kih varijabli. Razmatrana su tri slu aja koja se razlikuju u broju
aktivnih povratnih petlji.
Slika 6.6
Blok šema upravljanja zglobom sa zatvorenom povratnom petljom po poziciji
9
Zatvorena povratna petlja po poziciji. U ovom slu aju, upravlja ko djelovanje je
okarakterisano sa:
C P ( s) = K P
1 + sT p
s
,
CV ( s ) = 1 ,
C A ( s) = 1 ,
kTV = kTA = 0 .
Šema sa Slike 6.6 pokazuje da je prenosna funkcija direktne staze data sa:
P( s) =
k m K P (1 + sTP )
,
s 2 (1 + sTm )
dok je prenosna funkcija povratne grane data sa:
H ( s ) = kTP .
Na temelju poja anja pozicijske petlje koje je dato sa:
k m K P k TPTP
Tm
mogu e je izvršiti analizu regulacijskog kruga primjenom metode geometrijskog mjesta
korijena. Ilustrovane su tri situacije za polove sistema sa zatvorenom petljom koje se
odnose na vezu izme u TP i Tm .Stabilnost sistema u zatvorenoj povratnoj petlji name e
neka ograni enja vezana za izbor parametara PI regulatora. Ako je TP < Tm , sistem je
nestabilan (Slika 6.7a). Zbog toga mora biti Tm < TP (Slika 6.7b). Kako se TP pove ava,
pove ava se i apsolutna vrijednost realnog dijela dva korijena, te sistem ima brže
vrijeme odziva. Dakle, dobro je ostvariti da je Tm << TP (Slika 6.7c). U svakom slu aju,
realni dio dominantnih polova ne može biti manji od − 1 / 2Tm .
10
Slika 6.7
Geometrijsko mjesto korijena za pozicionu povratnu upravlja ku šemu
Prenosna funkcija zatvorene petlje data kao odnos ulaz/izlaz:
1
k TP
Θ( s )
=
,
2
Θ r (s)
s (1 + sTm )
1+
k m K P kTP (1 + sTP )
(6.10)
može se predstaviti u obliku:
1
(1 + sTP )
k TP
,
W ( s) =
2ζs s 2
(1 +
+ 2 )(1 + sτ )
ωn
ωn
gdje su ω n i ζ prirodna frekvencija i faktor prigušenja para kompleksnih polova,
respektivno i − 1 / τ locira realne polove. Ove vrijednosti se dodjeljuju da bi se definisala
dinamika osnaženog zgloba kao funkcija od TP; ako je Tm < TP , tada je 1 / ζω n TP τ
11
Tm << TP (Slika 6.7c), za velike vrijednosti poja anja, tada je
i nula u − 1 / TP u prenosnoj funkciji W(s) teže ka poništenju efekta
(Slika 6.7b); ako je
ζω n 1 / τ ≈ 1 / TP
realnog pola.
Prenosna funkcija zatvorene petlje data kao odnos smetnja/izlaz:
θ ( s)
D(s)
=−
sRa
k t K P k TP (1 + sT p )
s 2 (1 + sTm )
1+
k m K P kTP (1 + sT p )
,
(6.11)
pokazuje da vrijedi pove ati KP da bi se reducirao efekat poreme aja na izlaz tokom
trazijentnog stanja. Funkcija u izrazu (6.11) ima dva kompleksna pola
(− ζω ,± j
)
1 − ζ 2ω n , realni pol ( − 1 / τ ) i nulu u ishodištu koordinatnog sistema. Nula je
posljedica PI regulatora i dozvoljava poništavanje efekata gravitacije u ugaonoj poziciji
kada je θ konstantno.
U jedna ini (6.11), može se uo iti da izraz K P k TP faktor redukcije amplitude
poreme aja.
n
Slika 6.8
Blok šema pozicije i brzine regulatora sa povratnom spregom
12
Veli ina
XR=KPkTP
(6.12)
može biti interpretirana kao faktor potiskivanja smetnje,koji je odre en poja anjem KP.
Kako god, nije preporu ljivo mnogo pove avati KP zato što mali nivoi prigušenja mogu
rezultirati neprihvatljive oscilacije na izlazu. Vrijeme oporavka izlaza TR koje je
potrebno sistemu da eliminiše efekte smetnje može se prora unati analizom kretanja
TP to je TR izraženo kao:
(6.11). Kako je
TR=max{ TP ,1/
n}
(6.13)
Upravljanje sa zatvorenom petljom po poziciji i brzini. U ovom slu aju,
upravlja ko dijelovanje je okarakterizovana kao:
CP(s)=KP
CV(s)=KV(1+sTV)/s
CA(s)=1
kTA=0
Za izvo enje geometrijskog mjesta korijena kao funkcije poja anja brzine povratne
sprege potrebno je reducirati brzinsku petlju paralelno pozicionoj petlji slijede i
uobi ajena pravila pomjeranja blokova. Sa Slike 6.8 prenosna funkcija prethodnog
dijela je:
P( s) =
k m K P K V (1 + sTV )
s 2 (1 + sTm )
dok je
H ( s ) = kTP (1 + s
k TV
)
K P kTP
Slika 6.9
Geometrijsko mjesto korjena pozicije i brzine regulatora sa povratnom petljom
13
Nula regulatora na s =
s=
−1
može se izabrati tako da poništi efekt realnog pola motora na
TV
−1
. Zatim postavljanjem:
Tm
TV = Tm ,
polovi sistema sa zatvorenom petljom se pomijeraju na geometrijskom mjestu korijena
kao funkcija porasta petlje kmKvkTV, kao što je prikazano na Slici 6.9. Pove avanjem
koeficijenta priraštaja Kp, mogu e je ograni iti polove zatvorene petlje na podru je
kompleksne ravni sa velikim apsolutnim vrijednostma realnog dijela. Zatim, stvarna
lokacija može biti uspostavljena pogodnim izborom Kv.
Ulazno/izlazna prenosna funkcija zatvorene petlje je:
θ ( s)
=
θ r ( s)
1
k TP
sk TV
s2
1+
+
K P k TP k m K P k TP K V
(6.14)
koja se može uporediti sa obi nom prenosnom funkcijom sistema drugog reda.
1
kTP
W ( s) =
2ζ s s 2
1+
+ 2
ωn
(6.15)
ωn
Može se primijetiti da je pogodnim izborom poja anja mogu e posti i bilo koju
vrijednost prirodne frekvencije n i koeficijenta prigušenja . Ukoliko su n i poznate
vrijednosti, mogu e je odrediti slijede e relacije:
K V k TV =
2ζω n
km
K P kTP K V =
ωn 2
km
(6.16)
(6.17)
14
Slika 6.10
Blok šema regulatora pozicije, brzine i ubrzanja sa povratnom petljom
Kada se za date konstante pretvara a kTP i kTV, jednom odabere Kv, tako da
zadovolji jedna inu (6.16), vrijednost koeficijenta Kp se odre uje iz jedna ine (6.17).
Prenosna funkcija smetnja/izlaz sa povratnom spregom je:
sRa
k t K P k TP K V (1 + sTm )
θ ( s)
=−
skTV
D( s)
s2
1+
+
K P kTP k m K P kTP K V
(6.18)
i pokazuje da je faktor potiskivanja smetnje:
X R = K P k TP K V
(6.19)
koji je fiksan kada se koeficijenti Kp i Kv odrede jedna inama (6.16) i (6.17). Procjena
vremena oporavka izlaza (regeneracije izlaza) data je vremenskom konstantom:
TR = max Tm ,
1
ξω n
(6.20)
što predstavlja napredak u odnosu na prethodni slu aj u (6.13), kada je Tm<<Tp i kada
1
nejednakost ξω n <
ne uti e na realni dio dominantnih polova .
2Tm
15
Upravljanje sa zatvorenom povratnom petljom po poziciji, brzini i ubrzanju.
U ovom slu aju akcija regulatora je okarakterizirana sa:
CV ( s ) = K V
C P (s) = K P
C A (s) = K A
1 + sTA
s
Slika 6.11
Geometrijsko mjesto korjena regulatora pozicije, brzine i ubrzanja sa povratnom
petljom.
Poslije odre enih manipulacija, blok šema sa Slike 6.5 može se reducirati na blok šemu
sa Slike 6.10, gdje G'(s) predstavlja slijede u prenosnu funkciju:
km
G ′( s ) =
(1 + k m K A kTA ) 1 +
sTm 1 + k m K A kTA
TA
Tm
(1 + k m K A kTA )
Prenosna funkcija direktne staze je:
P( s) =
K P K V K A (1 + sT A )
G ′( s ) ,
s2
dok je prenosna funkcija povratne petlje
H ( s ) = kTP 1 +
skTV
.
K P kTP
16
Tako er, u ovom slu aju pogodno poništavanje polova je dovoljno, a može se
posti i postavljanjem:
T A = Tm
ili podešavanjem:
k m K A kTAT A >> Tm
k m K A k TA >> 1
Oba rješenja su ekvivalentna i odnose se na dinami ke perfomanse sistema
upravljanja. U oba slu aja, polovi sistema sa zatvorenom petljom su prisiljeni da se
pomijeraju na root-locus-u kao funkcija porasta funkcije k m K P K V K A / (1 + k m K A kTA )
(Slika 6.11). Može se raspoznati sli na analogija sa prethodnom šemom, a rezultuju i
sistem sa zatvorenom petljom je ponovno sistem drugog reda.
Ulazno/izlazna prenosna funkcija sa zatvorenom petljom je:
θ ( s)
=
θ r ( s)
skTV
1+
K P k TP
1
kTP
s 2 (1 + k m K A kTA )
+
k m K P kTP K V K A
(6.21)
dok je prenosna funkcija smetnja/izlaz sa zatvorenom petljom:
sRa
k t K P k TP K V K A (1 + sT A )
θ (s )
=−
D (s )
skTV
s 2 (1 + k m K A k TA )
1+
+
K P k TP k m K P kTP K V K A
(6.22)
Rezultuju i faktor potiskivanja smetnje dat je kao:
X R = K P kTP K V K A
(6.23)
dok je vrijeme oporavka izlaza dato vremenskom konstantom:
(6.24)
17
TR = max T A ,
1
(6.24)
ξω n
gdje TA može biti manje od Tm kako je prethodno nazna eno.
S obzirom na prenosnu funkciju u (6.15), kada su , n i XR poznate vrijednosti, mogu e
je za svrhe dizajniranja uspostaviti slijede e relacije:
2 K P kTP ωn
=
kTV
ξ
k m K A kTA =
(6.25)
km X R
ωn
2
−1
K P kTP K V K A = X R
(6.26)
(6.27)
Za date kTP, kTV i kTA, Kp se bira tako da zadovolji relaciju (6.25), KA se bira da
zadovolji relaciju (6.26), a zatim se iz relacije (6.27) odre uje KV. Mora se zapaziti kako
prihvatljiva rješenja za kontroler obi no zahtijevaju velike vrijednosti faktora
potiskivanja XR. U principu, povratna petlja ubrzanja ne omogu ava samo postizanje bilo
kakvog dinami kog ponašanja, nego s obzirom na prethodni slu aj, tako er omogu ava
2
odre ivanje faktora potiskivanja smetnje sve dok je k m X R / ω n > 1 .
U izvo enju gornjih šema upravljanja, na in mjerenja varijabli povratne petlje, nije
eksplicitno odre en. S obzirom na tipi ne servo-regulatore pozicije, koji su prakti no
implementirani u industriji, nema problema pri mjerenju pozicije i brzine, dok je direktno
mjerenje ubrzanja, u opštem slu aju, ili nemogu e ili preskupo za obaviti. Stoga, za šemu
na Slici (6.10) indirektno mjerenje se može ostvariti rekonstruisanjem ubrzanja iz
direktnog mjerenja brzine kroz filter prvog reda (Slika 6.12). Filter je okarakterisan
propusnim opsegom ω 3 f = k f . Izborom dovoljno velikog propusnog opsega, efekti zbog
kašnjenja u mjerenju nisu znatni i izvodljivo je odvesti izlaz filtera ubrzanja kao
vrijednost povratne petlje. Odre eni problemi se mogu javiti s obzirom na šum koji se
superponira sa filtriranim signalom ubrzanja.
18
Slika 6.12
Blok šema filtera prvog reda
Posezanje za tehnikom filtriranja može biti korisno samo u slu aju kada je mogu e
direktno mjerenje. U ovom slu aju, korištenjem filtera drugog reda, mogu e je
rekonstruisati brzinu i ubrzanje. Tako er, velika kašnjenja prouzrokovana korištenjem
filtera drugog reda, obi no umanjuju perfomanse u odnosu na filter prvog reda, što je
rezultat ograni enja propusnog opsega filtera koji je rezultat numeri ke implementacije
kontrolera i filtera.
Mora se zapaziti da je gornja izvedba bazirana na idealnom dinami kom modelu,
kada su efekti prenosne elasti nosti i vremenske konstante motora zanemareni. Ovo
povla i da zadovoljenje dizajnerskih zahtjeva traži velike vrijednosti poja anja povratne
sprege koje se u praksi ne mogu ostvariti, dok postojanje nemodeliranih dinami nosti
( kao što su elektri na, elasti na zbog nesavršeno krutog prenosa) mogu dovesti do
degradacije sistema i eventualno ga dovesti u nestabilnost.
6.3.2 Decentralizovana kompenzacija direktne veze
Gornje šeme su izvedene u svrhu postizanja dobrog potiskivanja smetnje. Kada su
potrebni zajedni ki upravlja ki servoi u svrhu održanja referentne trajektorije sa velikim
vrijednostima brzine i ubrzanja, upravlja ke sposobnosti šeme na Slici 6.5 su
neprihvatljivo umanjene.
Usvajanje decentralizovane kompenzacije direktne veze omogu ava smanjenje
grešaka pra enja trajektorije. Ukoliko su referentni ulazi u tri kontrolne strukture, koji su
analizirani u prethodnoj sekciji, respektivno promijenjeni u:
θ r ′ (s ) = kTP +
s 2 (1 + sTm )
θ d (s)
k m K P (1 + sTP )
(6.28)
19
Slika 6.13
Blok šema regulatora pozicije sa decentralizovanom kompenzacijom direktne veze
Slika 6.14
Blok šema regulatora pozicije i brzine sa decentralizovanom kompenzacijom direktne
veze
θ r ′ ( s ) = kTP +
sk TV
s2
+
θ d (s)
K P k m K P KV
θ r ′ ( s ) = kTP +
sk TV (1 + k m K A kTA )s 2
+
θ d (s)
KP
k m K P KV K A
(6.29)
(6.30)
postiže se željena trajektorija zajedni ke pozicije. Zapazimo da izvod prora unatog
vremena željene trajektorije ne predstavlja problem, jer je d(t) analiti ki poznato. Šeme
upravljanja, koje su rezultat malih izmjena relacija (6.28), (6.29) i (6.30) predstavljene su
20
na slikama 6.13, 6.14 i 6.15 respektivno, gdje M(s) predstavlja prenosnu funkciju motora
u (6.8).
Slika 6.15
Blok šema regulatora pozicije, brzine i ubrzanja kontrole u direktnoj vezi sa
decenralizovanom kompenzacijom direktne veze
Sva rješenja dozvoljavaju kretanje ulazne trajektorije unutar opsega validnosti i
linearnosti modela. Vrijedno je ista i da je pove anjem broja ugniježdenih povratnih
petlji, potrebno manje poznavanje modela sistema za izvedbu kompenzacije direktne
veze. U stvari, Tm i km su potrebni za šemu na Slici 6.13, za šemu na Slici 6.14 potreban
je samo km, a za šemu na slici 6.15 potrebno je km, ali sa smanjenom težinom.
Zna ajno je prisjetiti se da se savršeno kretanje po trajektoriji može ostvariti samo
ukoliko se parametri kontrolera i kompenzacije direktne veze poklapaju sa parametrima
procesa. Odstupanja od idealnih vrijednosti prouzrokuju smanjenje perfomansi, što e biti
analizirano slu aj po slu aj.
Prisustvo separacijskih blokova u šemama na slikama 6.13, 6.14 i 6.15 predstavlja
namjerne nelinearnosti ija je funkcija ograni avanje odre enih fizi kih vrijednosti u
toku tranzijentnog perioda; što je ve i broj povratnih petlji, ve i je broj vrijednosti koje
mogu biti ograni ene (brzina, ubrzanje i napon motora). Zbog tog razloga, obi no se
kretanje po trajektoriji gubi kada se bilo koja od ovih veli ina razdvoji. Ova situacija se
obi no javlja kod industrijskih manipulatora ija je namjena izvršavanje kretanja od ta ke
do ta ke; u ovom slu aju manja je briga pra enje stvarne trajektorije, a aktuatori su
namjerno uzeti da rade na trenutnim granicama da bi ostvarili najbrže mogu e kretnje.
21
Slika 6.16
Ekvivalentna šema upravljanja PI tipa
Slika 6.17
Ekvivalentna šema upravljanja PID tipa
Poslije jednostavnog smanjenja prethodnih šema, mogu e je odrediti ekvivalentne
kontrolne strukture koje ostvaruju samo povratnu petlju brzine i regulatore sa
standardnim akcijama. Potrebno je naglasiti da su dva rješenja ekvivalentna u smislu
potiskivanja smetnje i držanja trajektorije. Podešavanje parametara regulatora je manje
jednostavno, a eliminacija unutrašnje povratne petlje štiti od mogu nosti zasi enja brzine
i/ili ubrzanja. Kontrolne strukture ekvivalentne onima na slikama 6.13, 6.14 i 6.15
predstavljene su na slikama 6.16, 6.17 i 6.18 respektivno; kontrolne akcije tipova PI, PID
i PIDD2 predstavljene su i ekvivalentne su slu ajevima: povratne petlje brzine, povratne
petlje pozicije i brzine i povratne petlje ubrzanja. Gornje šeme predstavljaju tipi nu
strukturu kontrolera implementiranih u kontrolnoj arhitekturi industrijskih robota. Kod
ovih sistema važno je izabrati najve e mogu e poja anje tako da nepreciznost modela i
ta ke interakcije nemaju zna ajnog uticaja na pozicije pojedinih spojeva. Kako je ranije
spomenuto, gornja granica poja anja je nametnuta od strane svih faktora koji nisu
modelirani, kao što su implementacija diskretnih vremenskih kontrolera, prisutnost
kona nog vremena uzorkovanja, zanemareni dinami ki efekti i šum senzora. Ustvari,
22
uticaj ovih faktora u implementaciji gornjih kontrolera može prouzrokovati zna ajnu
degradaciju perfomansi sistema za prevelike vrijednosti poja anja povratne sprege.
Slika 6.18
Ekvivalentna šema upravljanja PIDD 2 tipa
6.4 Upravljanje u zatvorenoj povratnoj petlji sa momentom kao
vektorom upravljanja
Definišimo pozicionu grešku e(t) = d(t) – (t). Pozivaju i se na najopštiju šemu
(Slika 6.18), izlaz PIDD2 regulatora može se napisati kao
t
a 2 e + a1e + a0 e + a −1 e(ξ )dξ
što opisuje vrijeme evolucije greške. Konstantni koeficijenti a2, a1, a0, a-1 su odre eni
usvajanjem partikularnih rješenja. Sumiranjem rezultata akcija u otvorenoj povratnoj
petlji i smetnji dobija se:
1
T
R
θd + m θd − a d ,
km
km
kt
gdje je:
Tm IRa
=
km
kt
km =
1
kv
Ulaz u motor (Slika 6.5), zatim, mora zadovoljavati slijede u jedna inu:
t
a 2 e + a1e + a0 e + a −1 e(ξ )dξ +
Tm
1
R
T
1
θd + θd − a d = m θ + θ
km
km
kt
km
km
.
23
Sa odgovaraju om promjenom koeficijenata može se pisati:
t
a 2′ e + a1′e + a0′ e + a −′ 1 e(ξ )dξ =
Ra
d
kt
Ova jedna ina opisuje dinamiku greške i pokazuje da bilo koja, fizi ki izvršiva
trajektorija je asimptotski pra ena samo ako je dio smetnje d(t)=0. Termin fizi ki izvršiv
zna i da granice zasi enja fizi kih vrijednosti, na primjer napona i struja elektri kih
motora, nisu narušene u izvršavanju željene trajektorije.
Prisutnost dijela d(t) prouzrokuje grešku kretanja ija je veli ina smanjena onoliko
koliko je frekvencija smetnje pomjerena ka lijevoj donjoj granici propusnog opsega
greške sistema. Prenosna funkcija smetnja/greška je data kao:
Ra
s
E ( s)
kt
=
D (s ) a2′ s 3 + a1′s 2 + a0′ s + a ′−1
ak i kada je dio d(t) predstavljen kao smetnja, njegov izraz je dat sa (6.7). Tada je
mogu e dodati još jedan dio prethodnim pred-akcijama, koji je u stanju da kompenzira
samu smetnju bolje nego njene efekte.
Neka je q(t) željena trajektorija i qmd(t) odgovaraju a aktuatorska trajektorija kao u
(6.2). Usvajaju i strategiju inverznog modela, pred-akcija RaKt-1dd može se predstaviti sa:
d d = K r ∆B ( qd ) K r qmd + K r C (qd , qd )K r qmd + K r g ( qd )
−1
−1
−1
−1
−1
(6.31)
gdje Ra i kt predstavljaju dijagonalne matrice armaturnog otpora i konstantu sile obrtanja
aktuatora. Ova akcija ima namjeru da kompenzira stvarnu smetnju izraženu sa (6.7) i
omogu ava sistemu upravaljanja da radi u boljim uslovima.
Ovo rješenje predstavljeno je na slici 6.19 i konceptualno opisuje sistem
upravljanja manipulatora sa upravljanjem sa izra unatom silom obrtanja. Sistem
upravljanja sa povratnom petljom predstavljen je sa n nezavisnih upravlja kih servo-a;
decentralizovan je, dok kontroler i obra uje reference i mjerenja koje odgovaraju dijelu i.
Interakcije izme u razli itih dijelova, izražene sa d, se kompenziraju centralizovanom
akcijom ija funkcija je generisanje pred-akcije koja zavisi od dinamike modela
manipulatora. Ova akcija kompenzira nelinearnosti koje su posljedica inercije, Coriolisove sile, centrifugalne sile i gravitacione sile, a koje zavise od strukture te imaju razli ite
vrijednosti u toku kretanja manipulatora.
24
Slika 6.19
Ekvivalentna šema upravljanja momentom u direktnoj vezi
~
Iako preostali dio smetnje d = d d − d nestaje samo u idealnom slu aju savršenog
držanja trajektorije (q=qd) i ta nog dinami kog modeliranja, d predstavlja interakciju
smetnji prili no smanjenih vrijednosti u ovisnosti od d. Tehnika izra unavanja momenta
ima prednost pri smanjenju potiskivanja smetnje za strukturu upravljanja sa povratnom
petljom i dozvoljava ograni ena poja anja.
Dok se stvarni kontroler implementira na ra unaru sa kona nim vremenom
uzorkovanja, mora se obratiti pažnja pri izra unavanju momenta u ovom vremenskom
intervalu. Da ne bi umanjili perfomanse dinami kog sistema, vremena uzorkovanja
moraju biti reda milisekundi.
Zbog toga, vrijedilo bi izvršiti samo djelimi nu akciju u otvorenoj povratnoj petlji,
da bi se kompenzirali uslovi u (6.13) koji daju najzna ajniji doprinos u toku kretanja
manipulatora. Obzirom da inercioni i gravitacioni uslovi dominiraju uslovima ovisnim o
brzini (kao operativne brzine zglobova koje nisu ve e od nekoliko radijana u sekundi),
djelimi na kompenzacija se može dosti i prora unavaju i samo gravitacione i inercione
obrtne momente zbog dijagonalne Lemensove inercione matrice. U ovom slu aju samo
uslovi koji zavise od globalne konfiguracije manipulatora su kompenzirani dok oni koji
su izvedeni iz interakcije kretanja sa drugim zglobovima nisu.
25
6.5 Centarlizovano upravljanje
U prethodnim poglavljima razmatrano je projektovanje upravlja kih struktura koje
pojedinim zglobovima pristupaju neovisno. One su temeljene na pristupu jedan
ulaz/jedan izlaz, kod kojeg se ne uzima u obzir interakcija i me usobna povezanost
zglobova robota. Ovi uticaji obuhva eni su kroz poreme ajne ulaze koji djeluju
pojedina no na zglob. Me utim, kao što je pokazano dinami kim modelom (6.1)
manipulator nije skup n neovisnih upravlja kih sistema ve je multivarijabilan sistem sa
n ulaza (momenti motora) i n izlaza (pozicije zglobova) me usobno spregnutih izrazito
nelinearnim izrazima.
Ukoliko se slijedi metodološki pristup koji je u skladu sa upravlja kim, neophodno
je razmatrati problem upravljanja u kontekstu nelinearnih multivarijabilnih sistema. Ovaj
pristup bi o igledno dao odgovaraju e objašnjenje za dinami ki model manipulatora i
vodio bi pronalaženju pravila o nelinearnom centralizovanom upravljanju ija
implementacija je potrebna za visoke dinami ke performanse manipulatora. U drugu
ruku, upravljanje prora unatim momentom može biti interpretirano u ovoj cjelini pošto
osigurava nelinearno upravlja ko djelovanje zasnovano na modelu s ciljem poboljšanja
performansi pra enja trajektorije. Primjetno je, me utim, da se ovaj postupak suštinski
izvršava «off line» pošto se izra unava na osnovu vremenskog dijagrama željene
trajektorije, ne stvarne. Dinami ki model manipulatora sa motorima može se napisati u
pogodnijem obliku. Manipulator je opisan jedna inom (6.1):
B(q )q + C (q, q )q + Fv q + g (q) = τ
dok su prenosnici opisani jedna inom (6.2):
K r q = qm
Ako se pozovemo na jedna inu (6.3) i blok šemu sa Slike 6.4, mogu e je dinami ki
model n aktuatora koji osnažuju svih n upravljanih koordinata napisati u kompaktnoj
matri noj formi jedna inama:
K r −1τ = K t ia
(6.32)
va = Ra ia + K v qm
(6.33)
va = Gv vc
(6.34)
U jedna ini (6.32), Kt je dijagonalna matrica momentnih konstanti, a ia je vektor
armaturnih struja n motora; u jedna ini (6.33) va je vektor armaturnih napona, Ra je
dijagonalna matrica armaturnih otpora a K v je dijagonalna matrica naponskih konstanti n
motora; u jedna ini (6.34) Gv je dijagonalna matrica poja anja n poja ala a vc je vektor
kontrolnih napona n servomotora.
26
Redukcijom jedna ina (6.1),(6.2),(6.32),(6.33) i (6.34), ukupan dinami ki model
manipulatora i motora dat je kao
B(q )q + C (q, q )q + Fq + g (q ) = u
(6.35)
gdje je:
F = Fv + K r K t Ra −1 K v K r
(6.36)
u = K r K t Ra−1Gv vc
(6.37)
Slika 6.20
Blok šema upravljanja robotom sa naponom kao vektorom upravljanja
U jedna ini (6.36), F je dijagonalna matrica koja uzima u obzir mehani ka i
elektri na prigušna djelovanja , a u jedna ini (6.37) u je vektor upravlja kih ulaznih
varijabli sistema. Primjetimo da stvarni momenti koji odre uju kretanje sistema
manipulatora sa motorima mogu se dobiti oduzimanjem utjecaja elktri nog trenja
K r Kt Ra −1 K v K r q .
Cjelokupni sistem je , onda ,naponski –kontrolisan a odgovaraju a blok šema je
ilustrirana na slici 6.20. Ako aktuatori treba da obezbijede doprinose momenta
prora unate na bazi kompletnog ili reduciranog modela manipulatora tada dizajniranje
vektora u zavisi od matrica Kt , K v i Ra motora. Da bi se smanjio uticaj parametara datih
navedenim matricama umjesto napona kao vektora upravlja kih varijabli sistema odabira
se moment. U tom slu aju, aktuatori se ponašaju kao momentno-upravljani generatori.
Jedna ina (6.33) postaje nepotrebna ,dok se jedna ina (6.34) zamjenjuje sa:
ia = Gi vc
(6.34')
27
koja prikazuje srazmjernu ovisnost vektora struje armature ( a ujedno i momenata) o
vektoru upravlja kih napona n servo motora datih konstantnom matricom Gi . Na taj
na in jedna ine (6.36) i (6.37) postaju:
F = Fv
(6.36')
u = KrKtGi vc = τ
(6.37')
koje pokazuju reduciranu ovisnost vektora u o parametrima motora. Cjelokupni sistem,
sada je momentno-kontrolisan sistem a ruzultuju a blok šema takvog sistema ilustrirana
je na Slici 6.21.
U nastavku emo razmotriti problem nalaženja pravila upravljanja vektorom u, koji
garantiraju date performanse za sistem manipulatorima sa motorima. Kako jedna ina
(6.37') može biti razmatrana kao konstantan proprcionalni odnos izme u vc i u,
algoritmi centralizovanog upravljanja koji e biti dati u nastavku pripadaju generaciji
upravljanja momentom u .
Slika 6.21
Blok šema upravljanja robotom sa momentom kao vektorom upravljanja
6.5.1 PD upravljanje sa gravitacijskom kompenzacijom
Neka je ravnotežno stanje sistema ozna eno vektorom željenih varijabli zgloba
qd . Cilj je prona i strukturu regulatora koja garantuje globalnu asimptotsku stabilnost
ravnotežnog stanja manipulatora. Za utvr ivanje ponašanja sistema oko ravnotežnog
položaja osnovu je pružila Lyapunova direktna metoda.
Neka vektor qT qT
T
opisuje stanje sistema , gdje
q = qd − q
(6.38)
predstavlja razliku izme u planirane i ostvarene kinematike.
28
Neka je pozitivno definitna funkcija V definirana kao:
V ( q, q ) =
1 T
1
q B ( q )q + qT K p q > 0
2
2
∀q, q ≠ 0
(6.39)
odabrana za Lyapunovu funkciju, gdje je K p (n × n) pozitivno definitna matrica, tako da,
sa energetskog aspekta, prvi izraz sa desne strane jednadžbe (6.39) predstavlja kineti ku,
a drugi potencijalnu energiju sistema.
Uz pretpostavku da je vektor qd konstantan, diferenciranjem jedna ine (6.39)
dobija se:
1
V = q T ( B ( q )q + qT B ( q ) q − qT K p q
2
Ako se izraz za Bq iz jedna ine (6.35) uvede u jedna inu (6.39), dobije se:
1
V = qT ( B(q )q − 2C (q, q ))q − qT Fq + qT (u − g (q ) − K p q )
2
(6.40)
(6.41)
Prvi izraz na desnoj strani jedna ine je nula jer matrica N=2B-C zadovoljava
jedna inu (4.48), dok je drugi izraz negativno definitan. Odabirom regulatora sa
proporcionalnim djelovanjem i gravitacijskom kompenzacijom ije je upravlja ko
djelovanje dato sa:
u = g (q) + K p q
(6.42)
funkcija V bit e negativno poludefinitna jer je:
V =0
q = 0, ∀q
Slika 6.22
Blok šema PD upravljanja sa gravitacijskom kompenzacijom u prostoru zgloba.
29
Isti rezultat bi e postignut odabirom regulatora sa PD djelovanjem i gravitacijskom
kompenzacijom:
u = g (q) + K p q − K D q ,
(6.43)
gdje je K D pozitivno definitna matrica.
Uvo enjem jedna ine (6.43) u (6.41) dobija se:
V = − qT ( F + K D ) q
(6.44)
Jedna ina (6.44) pokazuje da se dodavanjem derivacijskog lana uzrokuje porast
apsolutnog iznosa funkcije V duž trajektorije i da to pozitivno uti e na vrijeme odziva
sistema. Uvo enje derivacijskog lana naro ito dolazi do izražaja kada se radi o
manipulatorima kod kojih se osnaživanje zglobova ostvaruje direktno bez reduktora
kretanja, jer je mehani ko viskozno prigušenje prakti no nula. Prema gore navedenom,
funkcija V se pove ava sve dok je q ≠ 0 duž svih trajektorija sistema. Za pronalaženje
ravnotežnog položaja potrebno je postaviti uslov da je V ≡ 0 samo ako je q ≡ 0 .
Primjenjuju i upravljanje (6.43) na dinami ki model robota dobija se:
B(q )q + C (q, q )q + Fq + g (q ) = g (q) + K p q − K D q
(6.45)
U ravnotežnom položaju vrijedi ( q ≡ 0, q ≡ 0 ) , pa je:
K pq = 0
(6.46)
odnosno q = qd − q ≡ 0 predstavlja traženo ravnotežno stanje.
Iz izvedenog se vidi da je bilo koje ravnotežno stanje manipulatora upravljanog PD
regulatorom sa gravitacijskom kompenzacijom globalno asimptotski stabilno. Stabilnost
sistema je obezbije ena pri bilo kojem K p i K d , sve dok su to pozitivno definitne
matrice. Rezultuju a blok šema prikazana je na Slici 6.22.
Primjena ovog upravlja kog pravila zahtijeva on-line izra unavanje vektora
gravitacijskog djelovanja g(q). Ako je kompenzacija nepotpuna, gore pomenuta diskusija
ne vodi uvijek do istih rezultata, što e biti pojašnjeno u narednim poglavljima kada e
biti rije i o robusnosti regulatora sa nelinearnom kompenzacijom.
30
6.5.2 Inverzno dinami ko upravljanje
Razmotrimo sada problem pra enja trajektorije u prostoru zgloba. Za po etak
uzmimo upravljanje
nelinearnim multivarijabilnim sistemima. Dinami ki model
manipulatora sa n zglobova je dat jedna inom (6.35) koja se može napisati i u slijede em
obliku:
B ( q ) q + n( q ) q = u ,
(6.47)
gdje je, zbog jednostavnosti stavljeno:
n(q, q) = C (q, q )q + Fq + g (q)
(6.48)
Pristup koji slijedi u nastavku zasniva se na ideji da se prona e vektor upravljanja
u, kao funkcija stanja sistema, koji bi ostvario ulaz/izlaz vezu linearnog tipa; drugim
rije ima želi se izvršiti globalna linearizacija dinamike sistema dobivena iz nelinarnih
stanja povratne sprege. Mogu nost nalaženja lineariziranog regulatora je garantovana
specifi nom formom dinamike sistema. Jedna ina (6.47) je zapravo linearna u smislu
upravljanja vektorom u i ima matricu B(q) koja može biti invertovana za bilo koju
konfiguraciju manipulatora.
Ako se uzme upravlja ki vektor u kao funkcija stanja manipulatora u obliku:
u = B (q ) y + n( q, q )
(6.49)
tada e sistem biti opisan sa q = y , gdje y predstavlja novi ulazni vektor ije
objašnjenje tek treba da bude razjašnjeno. Rezultuju a blok šema prikazana je na Slici
(6.23). Nelinearno pravilo upravljanja u jedna ini (6.49) predstavlja inverzno dinami ko
upravljanje jer je ono zasnovano na izra unavanju inverzne dinamike manipulatora.
Sistem na koji se primjeni pravilo upravljanja dato jedna inom (6.49) je linearan i
neovisan i ima novi ulaz y. Drugim rije ima, komponenta yi sa dvostrukim integratorom
uti e samo na varijable qi zgloba, neovisno o kretanju ostalih zglobova.
Ako pogledamo izraz (6.49) problem upravljanja manipulatorom je sveden na
nalaženje stabiliziraju eg pravila upravljanja vektorom y. U tu svrhu izbor vektora y u
obliku:
y = −K pq − KDq + r
(6.50)
dovodi do sistema jedna ina drugog reda:
q + KDq + K pq = r
(6.51)
31
koji je, uz pretpostavku da su K p i K d pozitivno definitne matrice, asimptotski stabilan.
Slika 6.23
Globalna linearizacija pri inverznom dinami kom upravljanju
Ako izaberemo da su K p i K d dijagonalne matrice tipa:
K p = diag {ωn12 ,...., ωnn 2 }
K D = diag {2ξ1ωn1,.......... , 2ξ nωnn } ,
onda dobijamo neovisan sistem.
Data komponenta ri sa ulaz/izlaz vezom drugog reda koja je okarakterisana
prirodnom frekvencijom ωni i koeficijentom prigušenja ξi uti e samo na varijablu
zgloba qi . Bilo koja željena trajektorija qd (t ) , odnosno pra enje ove trajektorije za izlaz
q(t ) je osigurano izborom r u obliku:
r = qd + K D qd + K p qd
(6.52)
Ustvari, uvrštavanjem (6.52) u (6.51) dobija se homogena diferencijalna jedna ina
drugog reda:
q + KDq + K pq = 0
(6.53)
koja izražava pozicionu grešku pri pra enju željene trajektorije (6.38). Ovakva greška
nastupa samo ako je q (0) i/ili q(0) razli ito od nule i konvergira nuli sa brzinom
konvergencije koja ovisi o izabranim matricama K p i K d .
Rezultuju a blok šema je data na Slici 6.24 . Na slici su predstavljene dvije
povratne petlje; unutarnja petlja je na bazi dinami kog modela manipulatora a vanjska
petlja uti e na grešku odstupanja postignute od željene pozicije. Funkcija unutrašnje
32
petlje je da se dobije linearna i nezavisna ulaz/izlaz veza, a zadatak vanjske petlje da
stabilizuje cjelokupan sistem. Upravljanje regulatorom u vanjskoj petlji je
pojednostavljeno jer se operira nad linearnim vremenski-invarijantnim sistemima.
Primjetimo da implementacija ove šeme upravljanja zahtijeva izra unavanje
inverzne matrice B(q) i vektora Coriolisovih, centrifugalnih, gravitacionih i prigušnih
djelovanja n(q, q ) (6.48). Za razliku od izra unavanja kod upravljanja momentom, ova
djelovanja moraju biti izra unata on-line ,jer upravljanje je sada bazirano na nelinearnoj
povratnoj sprezi trenutnog stanja sistema, pa je nemogu e prera unati gore pomenuta
djelovanja off-line.
Opisana tehnika podrazumijeva neovisnost i nelinearnu kompenzaciju, što je vrlo
atraktivno sa aspekta upravljanja jer je dinamika manipulatora, koja podrazumijeva
nelinearnost i zavisnost, predstavljena sa n linearnih i nezavisnih podsistema drugog
reda. Pored toga, ova tehnika je bazirana na pretpostavci savršenog poništavanja
dinami kih djelovanja a onda je sasvim prirodno zapitati se o problemima osjetljivosti i
robusnosti tada neizbježno ne tako savršene kompenzacije.
Slika 6.24
Blok šema inverznog dinami kog upravljanja u prostoru zgloba
Implementacija pravila inverznog dinami kog upravljanja, doista zahtijeva da su
parametri dinami kog modela poznati i da su jedna ine kretanja prora unate u realnom
vremenu. Ove uslove je teško ostvariti u praksi. U jednu ruku, model je obi no poznat ali
sa odre enim stepenom nesavršenosti uslijed nepoznavanja mehani kih parametra
manipulatora, zatim evidentno je postojanje nemodelirane dinamike te ovisnost modela o
prihvatnici nije ta no poznata, pa prema tome kompenzacija nije savršena. U drugu
ruku, izra unavanje inverzne dinamike se izvršava sa vremenima uzorkovanja reda
milisekunde, tako da to garantuje da je pretpostavka rada u kontinualnom vremenskom
domenu realisti na. Ovo može izazvati ozbiljnja ograni enja u pogledu hardver/softver
arhitekture sistema upravljanja. U takvim slu ajevima preporu ljivo je olakšati ra unanje
inverzne dinamike tako da se izra unavaju samo dominantna djelovanja.
33
Osnova gore pomenutih napomena, sa aspekta implementacije, je da kompenzacija
može biti nesavršena kako za nepreciznost modela tako i za aproksimacije koje se vrše u
on-line ra unanju inverzne dinamike. U narednom izlaganju predstavljene su dvije
tehnike upravljanja koje imaju za cilj suprotstaviti se efektima nesavršene kompenzacije.
Prva tehnika podrazumijeva uvo enje dopunskog djelovanja inverznoj dinamici
regulatora koja treba da obezbijedi robusnost sistema upravljanja pri dejstvovanju efekata
koji nastaju prilikom aproksimacija koje se vrše u on-line ra unanju inverzne dinamike.
Druga tehnika prilago ava parametre modela korištene za ra unanje inverzne dinamike
stvarnim parametrima dinami kog modela manipulatora.
6.5.3 Robusno upravljanje
U slu aju nesavršene kompenzacije, razumljivo je pretpostaviti da je u jedna ini
(6.47) vektor upravljanja izražen kao :
u = Bˆ (q ) y + nˆ (q, q)
(6.54)
gdje Bˆ i nˆ predstavljaju usvojeni prora unati model procjene djelovanja u dinami kom
modelu.Greška procjene, na primjer, nepreciznost je data kao:
B = Bˆ − B
n = nˆ − n
(6.55)
i podesna je za nesavršen model kompenzacije kao i za namjerno pojednostavljenje
ra unanja inverzne dinamike. Primjetno je da postavljanjem uslova Bˆ = B (gdje je B
dijagonalna matrica prosje ne inercije osa zgloba) i nˆ = 0 , imamo šemu upravljanja
gdje upravlja ka akcija y može biti PID tipa, prora unata na osnovu greške.
Koriste i jedna inu (6.54) kao nelinearno pravilo upravljanja dobija se:
ˆ + nˆ
Bq + n = By
(6.56)
gdje je funkcionalna ovisnost izostavljena. Pošto je matrica B invertibilna vrijedi:
q = y + ( B −1 Bˆ − I ) y + B −1n = y − η
(6.57)
gdje je:
η = ( I − B −1 Bˆ ) y − B −1n
(6.58)
Uzimaju i da je
y = qd + K D (qd − q) + K p (qd − q )
34
dobija se:
q + KDq + K pq = η
(6.59)
Sistem opisan jedna inom (6.59) je još uvijek nelinearan i zavisan, pošto je η
nelinearna funkcija od q i q ; greška konvergencije jednaka nuli nije garantovana samo
djelovanjima sa lijeve strane jedna ine. Da bi se pronašlo pravilo upravljanja koji bi
garantovao da greška konvergencije bude nula, prilikom pra enja željene trajektorije, nije
dovoljno linearno PD upravljanje.
U ovu svrhu, Lyapun-ov direktni metod je ponovo iskoristiv za dizajniranje
vanjske povratne petlje na osnovu greške koja e biti robusna na nepreciznost η .
Neka je željena trajektorija qd (t ) odre ena u prostoru zgloba i neka je q = qd − q
poziciona greška. Njen prvi izvod po vremenu je q = qd − q , dok je njen drugi izvod s
obzirom na (6.57) :
q = qd − y + η
(6.60)
Ako se uzme
ξ=
q
(6.61)
q
kao stanje sistema, dobija se slijede a diferencijalna matri na jedna ina prvog reda:
ζ = H ζ + D(qd − y + η )
(6.62)
gdje su H i D blok matrice dimenzija (2n × 2n) i (2n × n) respektivno:
H=
0 I
0 0
D=
0
I
(6.63)
Sada, problem pra enja željene trajektorije može biti smatran kao problem
nalaženja pravila upravljanja vektorom y koje e stabilizirati grešku nelineranog
vremenski-varijantnog sistema.
Dizajniranje upravljanja zasnovano je na pretpostavci da ak iako je nepreciznost η
nepoznata, mogu a je procjena njenog opsega varijacije. Traženo pravilo upravljanja
vektorom y treba da garantira asimptotsku stabilnost za bilo koju varijaciju nepreciznosti
η koja je u datom opsegu.
35
Pozivanjem na jedna inu (6.58) odakle se vidi da je η funkcija od q , q i qd date
su slijede e pretpostavke:
∀qd
(6.64)
I − B −1 (q ) Bˆ (q ) ≤ α ≤ 1
∀q
(6.65)
n ≤Φ<∞
∀q, q
(6.66)
sup qd < QM < ∞
t ≥0
Pretpostavka (6.64) je prakti no zadovoljena pošto bilo koja željena trajektorija ne
može zahtijevati beskona na ubrzanja. S obzirom na pretpostavku (6.65) i pošto je B
pozitivno definitna matrica sa gornjim i donjim ograni enim normama, slijede a
nejednakost sadrži:
0 < Bm ≤ B −1 (q) ≤ BM < ∞
∀q
(6.67)
i tada uvijek postoji izbor za Bˆ koji zadovoljava pretpostavku (6.65). Ustvari, ako se Bˆ
postavi u obliku:
Bˆ =
2
I
BM + Bm
nejednakost (6.65) postaje:
B −1Bˆ − I ≤
BM − Bm
=α <1
BM + Bm
(6.68)
Ako je Bˆ ta nije procijenjeno od inverzne matrice, nejednakost je zadovoljena sa
vrijednostima α koje mogu biti proizvoljno male (grani ni slu aj je za Bˆ = B i α = 0 ).
Kona no, što se ti e pretpostavke (6.66), primjetno je da je n funkcija od q i q . Za
rotacione zglobove dobijena je periodi na ovisnost dok je za translatorne postignuta
linearna ovisnost. U drugu ruku, ako se pogleda ovisnost o q , za nestabilan sistem
brzine se mogu pove avati neograni eno, ali u stvarnosti postoji zasi enje koje je
uvjetovano maksimalnim brzinama motora. Zaklju no, pretpostavka (6,57) tako e može
realno biti zadovoljena.
S obzirom na jedna inu (6.57) i ako se izabere:
y = qd + K D q + K p q + ω
(6.69)
36
gdje PD djelovanja osiguravaju stabilizaciju dinami ke greške sistema, qd obezbje uje
djelovanje u direktnoj vezi a ω djelovanja su izabrana da bi garantirala robusnost
efektima nepreciznosti koja je ozna ena kao η (6.58).
Koriste i (6.69) i postavljaju i K = K p K D
dobija se:
ζ = H ζ + D(η − ω ),
(6.70)
gdje je:
H = ( H − DK ) =
0
−K p
I
−KD
matrica ije karakteristi ne vrijednosti sve imaju negativne realne dijelove. K p i K D su
pozitivno definitne što dozvoljava odre ivanje željene greške dinamike sistema. Ustvari,
2
i K D = diag {2ζ 1ωn1 ,..., 2ζ nωnn } n dobijenih
ako se izabere K P = diag ωn21 ,..., ωnn
{
}
nezavisnih jedna ina smatraju se linearnim dijelom. Ako djelovanje nepreciznosti
is ezava, o igledno je ω = 0 i prethodni rezultat sa egzaktnom inverznom dinamikom
kontrolera je obnovljen.( Bˆ = B i nˆ = n ).
Da bi se odredilo ω , razmatra se slijde a pozitivno definitna kvadratna forma koja
je izabrana za Lyapunovu funkciju:
V (ξ ) = ξ T Qξ
∀ξ ≠ 0
(6.71)
gdje je Q pozitivno definitna matrica reda (2n × 2n) . Izvod od V duž trajektorija greške
sistema (6.70) je:
V = ξ T Qξ + ξ T Qξ = ξ T ( H T Q + QH )ξ + 2ξ T QD(η − ω )
(6.72)
Pošto H ima svojstvenu vrijednost sa negativnim realnim dijelom, onda vrijedi da
za svaku simetri nu pozitivno definitnu matricu P, jedna ina:
H T Q + QH = − P
(6.73)
ima jedinstveno rješenje Q koje je tako e simetri na pozitivno definitna matrica. S
obzirom na ovu injenicu, jedna ina (6.72) postaje:
V = −ξ T Pξ + 2ξ T QD(η − ω )
(6.74)
Prvi lan na desnoj strani jedna ine (6.74) je negativno definitan i tada rješenja
konvergiraju ako ξ ∈ N ( DT Q) .U suprotnom ,tj ako ξ ∉ N ( DT Q) ,tada ω mora biti
izabrano tako da drugi lan u jedna ini (6.74) bude manji ili jednak nuli. Ako se postavi :
37
z = DT Qξ , tada drugi lan jedna ine (6.74) može biti napisan kao : z T (η − ω ) .
Usvajanjem slijede eg pravila upravljanja:
ω=
ρ
z
z
ρ >0
(6.75)
dobija se:
z T (η − ω ) = z Tη −
ρ
z
zT z ≤ z η − ρ z = z ( η − ρ )
(6.76)
Tada, ako se ρ izabere kao:
ρ≥ η
∀q, q, qd
(6.77)
onda upravljanje (6.75) garantira da e V biti manje od nule duž svih trajektorija greške
sistema.
Da bi nejednakost (6.77) bila zadovoljena, s obzirom na definiciju nepreciznosti η (6.58)
i pretpostavki (6.64)-(6.66) i ako je ω = ρ , mora vrijediti:
η ≤ I − B −1Bˆ ( qd + K ξ + ω ) + B −1 n ≤ α Qm + α K ξ + αρ + BM Φ
(6.78)
Prema tome, ako se postavi:
ρ≥
1
(α QM + α K ξ + BM Φ)
1−α
(6.79)
dobije se:
V = −ξ T Pξ + 2 z T (η −
ρ
z
z) < 0
∀ξ ≠ 0
(6.80)
Rezultuju a blok šema ilustrirana je na Slici (6.25).
Da sumiramo, prezentirani pristupi vodili su do pronalaženja pravila upravljanja
koja su formirani od tri razli ite vrste djelovanja:
ˆ + nˆ osigurava aproksimativnu kompenzaciju nelinearnih efekata i
- Izraz By
zavisnosti izme u zglobova
38
- Izraz qd + K D q + K p q unosi linearnu akciju direktne veze ( qd + K D qd + K p qd ) i
linearnu akciju povratne veze ( − K D q − K p q ) koja stabilizuje grešku dinamike sistema.
- Izraz ω = ( ρ / z ) z predstavlja udio robusnosti koja se suprotstavlja nepreciznosti
B i n u ra unanju nelinearnih izraza koji zavise od stanja manipulatora .
Rezultuju e pravilo upravljanja je tipa jedini nog vektora, pošto je opisano vektorom ρ
koji je podešen sa jedini nim vektorom z = DT Qξ , ∀ξ .
Slika 6.25
Blok šema robusnog upravljanja u prostoru zgloba
Slika 6.26
Trajektorija greške pri robusnom upravljanju
39
Sve
rezultuju e
trajektorije
pri
robusnom
upravljanju
dosežu
podprostor z = DT Qξ = 0 koji ovisi o matrici Q u Lyapun-ovoj funkciji V. U ovom
podprostoru, nazvanom pokretni podprostor,idealno je da se ω zamijeni sa beskona nom
frekvencijom i tada sve komponente greške teže u nulu sa tranzijentnom ovisnoš u o
matricama Q, K p , K D . Karakterizacija trajektorije greške u dvodimenzionalnom slu aju
data je na slici (6.26).
Slika 6.27
Trajektorija greške sa robusnom kontrolom i eliminacijom smetnji
Eliminacija ovih visoko frekventnih komponenata smetnji može biti postignuta
usvajanjem robusnog upravlja kog pravila koje, ak i ako ne garantuje konvergenciju
greške prema nuli, osigurava ograni enu normu grešaka. Upravlja ko pravilo ovog tipa
kontrole je :
ρ
w=
z
z
ρ
z
ε
for z ≥ ε
(6.81)
for z < ε .
U slu aju da se koristi intuitivna interpretacija ovog pravila, primjetimo da
jedna ina (6.81) daje nulu na kontrolnom ulazu kada je greška u prostoru nula matrice
D T Q . Sa druge strane, jedna ina (6.75) ima ekvivalentan rast prema beskona nosti kada
z teži prema nula vektoru, što dovodi do ulaza sa ograni enom veli inom. Kako ovi
ulazi zamjenjuju beskona nu frekvenciju, oni prisiljavaju grešku dinami nog sistema da
ostane u pokretnom podprostoru. Pozivaju i se na gore navedeni primjer, pravilo (6.81)
daje rast prema hiper-ravni z = 0 i greška se mijenja unutar granica sloja ija debljina
zavisi od ε (Slika 6.27).
40
Upoznavanje doprinosa temeljenog na ra unanju odgovaraju e linearne
kombinacije generalizovane greške potvr uje robusnost upravlja ke šeme temeljene na
nelinearnim kompenzacijama. ak i ako je manipulator precizno modelovan, egzaktna
nelinearna kompezacija može zahtijevati mnogo ra unanja, i prema tome može
zahtijevati ili sofisticiranu hardversku arhitekturu ili pove anje vremena uzorkovanja
potrebnog za izra unavanje upravlja kog pravila. Rješenje tada postaje slabo sa
inžinjerske ta ke gledišta; o ekivati je ili pove anje troškova arhitekture kontrolera ili
slabe performanse zbog smanjenja brzina uzorkovanja. Dakle, razmatranje djelimi nog
znanja o dinami kom modelu manipulatora sa preciznom, ponderisanom procjenom
nepreciznosti može navesti na robusnija rješenja kontrolera od tipova koji su gore
navedeni. Razumljivo je da e procjena nepreciznosti biti zasnovana tako da nametne
upravlja ke ulaze koje mehani ka struktura može podnijeti.
6.5.4. Adaptivno upravljanje
Ra unarski model upotrijebljen za ra unanje inverzne dinamike obi no ima istu
strukturu kao i pravi dinami ki model manipulatora, ali procjena parametara
nepreciznosti ipak postoji. U ovom slu aju, postoji mogu nost za rješenja koja dopuštaju
online adaptaciju ra unarskog modela na dinami ki model. Ovo izvršava upravlja ka
šema inverznog dinami kog modela.
Mogu nost nalaženja adaptivnih upravlja kih pravila je osiguran osobinama
linearnosti parametara dinami kog modela manipulatora.
Ustvari, uvijek je mogu e izraziti nelinearne jedna ine kretanja u linearnoj formi
sa poštivanjem odgovaraju eg skupa konstantnih dinami kih parametara kao u (4.80).
Jedna ina (6.35) može biti napisana kao:
B(q )q + C (q, q)q + Fq + g (q ) = Y (q, q, q )π = u ,
(6.82)
gdje su: π ( p × 1) vektor konstantnih parametara i Y (n × p) matrica koja je funkcija
od pozicija zgloba, brzine i ubrzanja. Ova osobina linearnosti dinami kih parametara je
fundamentalna za izvo enje adaptivnih upravlja kih pravila. Jedno od najjednostavnijih
pravila je iliustrirano ispod:
u = B(q )qr + C (q, q)qr + Fqr + g (q) + K Dσ ,
(6.83)
41
Ako se izabere:
q r = q d + Λq~
q r = q d + Λq~,
gdje je Λ pozitivno definitna (obi no dijagonalna) matrica, omogu ava se izražavanje
nelinearne kompenzacije i razdvajanje lanova kao funkcije željene brzine i ubrzanja,
korigovanih sa trenutnim stanjima manipulatora ( q i q ). Ustvari, primjetno je da lan
q r = q d + Λq~ odre uje doprinos koji zavisi od brzine i to ne samo na osnovu željene
brzine nego tako e i na osnovu pozicije greške pra enja. Sli ni argumenti važe tako er i
za doprinos ubrzanja, gdje uslov zavisnosti brzine greške pra enja je uzet u obzir
naspram željenog ubrzanja.
Uslov K Dσ je ekvivalentan sa PD dejstvom na grešku ako je σ uzeto kao:
σ = qr − q = q + Λq.
(6.85)
Zamjenjuju i (6.83) u (6.82) i uvrštavaju i u (6.85) dobija se:
B(q )σ + C (q, q)σ + Fσ + K Dσ = 0.
(6.86)
Uzimaju i u obzir Lyapunov-u funkciju vrijedi:
1
1
V (σ , q~ ) = σ T B(q )σ + q~ T Mq~ > 0 ∀σ , q~ ≠ 0,
2
2
(6.87)
gdje je M (n × n) simetri na pozitivno definitna matrica; uvo enje drugog uslova u
(6.87) je potrebno kako bi se dobila Lyapunov-u funkciju cijelog stanja sistema (poziciju
greške q~ i brzinu greške σ ). Vremenska derivacija od V duž trajektorija sistema (6.86)
je:
1
V = σ T B(q )σ + σ T B(q )σ + q~ T Mq~
2
T
= −σ ( F + K D )σ + q~ T Mq~,
(6.88)
gdje je iskorištena simetri na osobina (4.47) matrice N = B − 2C . S obzirom na izraz za
σ u (6.85), pogodno je izabrati M = 2ΛK D , što dovodi do:
V = −σ T Fσ − q~ T K D q~ − q~ T ΒΛK D Λq~.
(6.89)
42
Jedna ina (6.89) pokazuje da je vremenska derivacija negativno definitna samo ako
T
~
je q ≡ 0 i q~ ≡ 0 ; prema tome , slijedi da je izvor prostora stanja q~ T σ T = 0 globalno
asimptoti ki stabilan. Zna ajno je primjetiti da, za razliku od slu aja robusnog
upravljanja, greška trajektorije je prirodno ograni ena na podprostor σ = 0 bez potrebe
za visoko frekventnim upravljanjem. Na bazi ovih zna ajnih rezultata, upravlja ko
pravilo može biti adaptivno uspostavljeno sa uvažavanjem vektora parametara π .
[
]
Ako se pretpostavi da prora unati model ima istu strukturu kao i dinami ki model
manipulatora, ali da njegovi parametri nisu ta no poznati, upravlja ko pravilo (6.83) je
tada modifikovano u:
u = Bˆ (q)q r + Cˆ (q, q )q r + Fˆq r + gˆ + K Dσ
= Y (q, q, q r , q r )πˆ + K Dσ ,
(6.90)
gdje π
predstavlja raspoložive estimacije parametara i. Prema tome,
B, C , F i g ozna avaju estimirane lanove u dinami kom modelu. Zamjenjuju i pravilo
(6.90) u (6.82) dobija se:
~
~
~
B(q )σ + C (q, q )σ + Fσ + K Dσ = − B (q )q r − C (q, q )q r + Fq r − g~ (q )
= −Y (q, q, q ,q )π~,
r
(6.91)
r
gdje je osobina linearnosti vektora parametara greške u:
π~ = π − π
(6.92)
uspješno iskorištena. U pogledu jedna ine (6.55) modeliraju a greška je predstavljena
sa:
~
B = B−B
~
C = C −C
~
F =F−F
g~ = g − g
(6.93)
Zna ajno je primjetiti da, sa aspekta pozicije (6.84), matrica Y ne zavisi od
trenutnog ubrzanja zgloba nego samo od njihovih željenih vrijednosti što rješava
probleme vezane za direktno mjerenje ubrzanja.
U ovoj slu aju, modifikovana Lyapunov-a funkcija prestavljena jedna inom (6.87)
prelazi u oblik:
1
1
V (σ , q~, π~ ) = σ T B(q )σ + q~ T ΛK D q~ + π~ T K π π~ >0
2
2
∀σ , q~,π~ ≠ 0,
(6.94)
koji isti e dodatni lan izra unat za parametar greške(6.92), gdje je K π simetri no
pozitivno definitno.
43
Vremenska derivacija od V duž trajektorija sistema (6.91) je:
V = −σ T Fσ − q~ T K D q~ − q~ T ΛK D Λq~ + π~ T ( K π π~ − Y T (q, q, q r , q r )σ ).
(6.95)
Ako je estimacija parametara vektora ažurirana kao u adaptivnom pravilu:
π = K π −1 y T (q, q, qr , q r )σ ,
(6.96)
jedna ina (6.95) postaje:
V = −σ T Fσ − q~ T K D q~ − q~ T ΛK D Λq~
pošto je π = π~ (π je konstanta).
Prema argumentima koji su sli ni gore navedenim, nije teško pokazati da
trajektorije manipulatora opisane sa modelom:
B(q )q + C (q, q )q + Fq + g (q ) = u ,
i ako se koriste upravlja ka pravila:
u = Y (q, q, q r , q r )π + K D (q~ + Λq~ )
i parametri adaptivnog pravila:
π = K π −1Y T (q, q, q r , q r )(q~ + Λq~ ),
globalno asimptoti ki konvergiraju prema σ = 0 i q~ = 0 , koji impliciraju konvergenciju
prema nuli od q~, q~ , i nezavisnost od π . Jedna ina (6.91) pokazuje asimptoti nost:
Y (q, q, q r q r )(π − π ) = 0
(6.97)
Jedna ina (6.97) ne implicira da π teži prema π ; ustvari, konvergencija
parametara prema njihovim stvarnim vrijednostima zavisi od strukture matrice
Y (q, q, q r q r ) i od željenih i stvarnih trajektorija. Pored toga, prate i pristup je usmjeren
rješavanju problema direktnog adaptivnog upravljanja, tj. pronalaženju upravlja kog
pravila koje osigurava ograni enje grešaka pra enja, i ne odre uje trenutne parametre
sistema (kao u problemu indirektnog adaptivnog upravljanja). Rezultiraju a blok šema je
predstavljena na Slici 6.28. Da rezimiramo, gore navedeno upravlja ko pravilo je
formirano prema tri razlli ita dijela :
44
Slika 6.28
Blok šema zgloba spoja prostora adaptivne kontrole.
•
•
•
lan Yπ opisuje upravlja ku akciju tipa inverzne dinamike koji obezbje uje
aproksimativnu kompenzaciju nelinearnih efekata i razdvajanje zglobova.
lan K Dσ uvodi stabiliziraju u linearnu kontrolnu akciju PD tipa na grešku
pra enja.
Vektor parametara estimacije π je ažuriran po adaptivnom zakonu gradijentnog
tipa tako da obezbjedi asimptoti ku kompenzaciju lanova u dinami kom
modelu manipulatora; matrica K π determinira brzinu konvergencije parametara
prema njihovim asimptoti kim vrijednostima.
Primjetimo da, sa σ ≈ 0 , upravlja ko pravilo (6.90) je ekvivalentno istoj inverznoj
dinami koj kompenzaciji izra unatog momenta na bazi željenih brzina i ubrzanja; ovo je
mogu e samo pri injenici da je Yπ ≈ Yπ .
Upravlja ko pravilo sa adaptacijom parametara zahtjeva raspoloživost kompletnog
prora unatog modela i ne isti e bilo koju akciju usmjerenu na reduciranje efekata
vanjskih smetnji. Stoga, u inak degradacije je o ekivan svaki put kada se pojave
nemodelovani dinami ki efekti, na primjer, kada je korišten reducirani ra unarski model
ili vanjske smetnje. U oba slu aja, efekti izazvani na izlaznim varijablama se pripisuju
kontroleru radi procjene nepoklapanja parmetara. Kao posljedica, upravlja ko pravilo
pokušava da poništi te efekte djeluju i na dobijene iznose koji nisu izvorno izazvani.
Sa druge strane, tehnike robusnog upravljanja obezbje uju prirodno otklanjanje
vanjskih smetnji, premda su osjetljive na nemodelovanu dinamiku; ovo otklanjanje je
obezbije eno od strane visoko frekventnog upravlja kog djelovanja koje ograni ava
grešku trajektorije da ostane u pokretnom podprostoru. Rezultuju i ulazi u mehani ku
strukturu mogu biti neprihvatljivi. Ove smetnje se generalno ne posmatraju sa usvojenim
tehnikama adaptivnog upravljanja ije akcije imaju prirodno glatku vremensku
karakteristiku.
45
6.6 Upravljanje u radnom prostoru
U svim prije pomenutim upravlja kim šemama, uvijek je pretpostavljeno da je
željena trajektorija raspoloživa u smislu vremenskih sekvenci pozicija, brzine i ubrzanja
zgloba. Prema tome, greška upravlja kih šema je bila izražena u prostoru zgloba.
Kao što je prethodno pomenuto, specifikacije kretanja su obi no nazna ene u
radnom prostoru, gdje su onda trebali da se iskoriste inverzni kinemati ki algoritmi da
transformišu karakteristike radnog prostora u odgovaraju e karakteristikee prostora
zgloba. Proces inverzne kinematike pove ava ra unanje kada, osim inverzije direktne
kinematike, vrši i inverziju diferencijalne kinematike prvog i drugog reda što se zahtjeva
pri transformaciji željenog vremenskog dijagrama pozicije prihvatnice, brzine i ubrzanja
u odgovaraju em iznosima na nivou zgloba. Zbog ovog razloga današnji industrijski
sistemi robotskog upravljanja ra unaju pozicije zgloba preko inverzne kinematike, i onda
izvršavaju numeri ko diferenciranje kako bi izra unali brzinu i ubrzanje.
Drugi pristup se sastoji u razmatranju upravlja kih šema razvijenih direktno u
radnom prostoru. Ako je kretanje specificirano u smislu varijabli radnog prostora,
izmjerene varijable prostora zgloba mogu biti transformirane u odgovaraju e varijable
radnog prostora preko direktnih kinemati kih relacija. Upore uju i željeni ulaz sa
rekonstruisanim varijablama mogu e je dizajniranje kontrolnih petlji sa povratnom
vezom gdje je inverzija trajektorije zamijenjena sa odgovaraju im trasformacijskim
kordinatama ugra enim u petlju povratne veze.
Sve upravlja ke šeme za radni prostor predstavljaju znatne ra unarske zahtjeve, u
pogledu potreba da izvrše broj ra unanja u petlji povratne veze koji je nešto zastupniji od
inverznih kinemati kih funkcija. Sa referencama na numeri ku implementaciju, prisustvo
prora unatih zahtijevanih optere enja zahtijeva vremena uzorkovanja što može dovesti
do degradacije performansi cijelog upravlja kog sistema.
U pogledu gore navedenih ograni enja, zna ajno je predstaviti šeme upravljanja u
radnom prostoru ije korištenje postaje neophodno kada problem upravljanja
interakcijom izme u manipulatora i okoline postane od interesa. Ustvari, upravlja ke
šeme prostora zgloba su dovoljne samo za upravljanje kretanjem u slobodnom prostoru.
Kada su manipulatorski prihvatnici ograni eni od strane okoline, naprimjer, u
slu aju da je prihvatnica u kontaktu sa elasti nom okolinom, neophodno je kontrolirati
obje pozicije i silu dodira i pogodno je koristiti šeme za upravljanje u radnom prostoru.
Stoga su u nastavku predstavljena neka rješenja; ona su se koristila za vanjsku kontrolu
kretanja, ali ona konstituišu premise za interakciju upravlja kih strategija koje e biti
ilustrirane u sljede em poglavlju.
46
6.6.1 Generalne šeme
Kao što je prethodno istaknuto, šeme za upravljanje u radnom prostoru su bazirane
na direktnom pore enju ulaza, specificiraju i trajektorije radnog prostora , sa mjerenjem
odgovaraju ih izlaza manipulatora.
Slika 6.29
Blok šema Jacobian inverzne kontrole
Iz ovog slijedi da e upravlja ki sistem pretvoriti neke akcije koje dozvoljavaju
prelazak iz radnog prostora, u kojima je greška specificirana, u prostor zgloba, u kojima
je razvijeno upravljanje generalizovanih sila.
Mogu a upravlja ka šema koja može biti izvedena je tzv. Jacobian inverzno
upravljanje (Slika 6.29). U ovoj šemi lokacija prihvatnice u radnom prostoru je
upore ena sa odgovaraju im željenim iznosom, i nakon toga devijacija ∆x radnog
prostora može biti izra unata. Pretpostavimo da je za dobar upravlja ki sistem ova
devijacija dovoljno mala. ∆x može biti transformirano u odgovaraju u devijaciju ∆q
prostora zgloba posredstvom inverzije Jacobian-a manipulatora. Tada, upravljanje
ulaznih generalizovanih sila može biti izra unato na bazi ove devijacije posredstvom
pogodnog matri nog poja anja povratne veze. Rezultat je vjerovatna redukcija ∆q na
ra un ∆x . Druga ije re eno, Jacobian inverzno upravljanje vodi do globalnog sistema
koji se intuitivno ponaša sli no mehani kom sistemu sa generalizovanom n
dimenzionalnom oprugom u prostoru zgloba, ija je konstantna krutost odre ena sa
matricom poja anja povratne veze. Uloga ovakvog sistema je da dovede devijaciju ∆q na
nulu. Ako je matri no poja anje dijagonalno, generalizovane opruge odgovaraju n
nezavisnim elasti nim elementima, po jedan za svaki zglob.
Konceptualna analogna šema je tzv. Jacobian trasponovana kontrola (slika 6.30).
U ovom slu aju greška radnog prostora je razmatrana preko matri nog poja anja. Izlaz iz
ovog bloka može biti razmatran kao elasti na sila izazvana od strane generalisane opruge
ija je funkcija u radnom prostoru da reducira ili uprosti položaj devijacije ∆x . Drugim
rije ima, rezultuju a sila pokre e prihvatnicu duž pravca tako da reducira ∆x . Ova sila
radnog prostora može onda biti transformirana u generalizovane sile prostora zgloba,
posredstvom transponovanja Jacobiana, tako da realizuje opisano ponašanje.
47
Obje Jacobian upravlja ke šeme, inverzna i transponovana, su bile izvedene u
intuitivnom obliku. Dakle, nema garancije da su takve šeme efikasne u uslovima
stabilnosti i preciznog pra enja trajektorije. Ovi problemi mogu biti prevazi eni koriste i
dva matemati ka rješenja , koja su navedena u nastavku i koja e pokazati da su suštinski
jednaka gornjim šemama.
6.6.2 PD kontrola sa kompenzacijom gravitacije
Prema analogiji sa analizom stabilnosti prostora zgloba, sa datom lokacijom prihvatnice
xd , želja je da na emo upravlja ku strukturu tako da greška radnog prostora
~
x = xd − x
(6.98)
asimptoti ki teži prema nuli.
Slika 6.30
Blok šema Jacobian transponovanog upravljana
Treba izabrati sljede u pozitivno definitnu kvadratnu formu kao što prikazuje
Lyapunov-a funkcija:
1
1 T ~
V ( q, ~
x ) = q T B(q )q + ~
x K P x >0 ∀q, ~
x ≠0
2
2
(6.99)
gdje je K P simetri na pozitivno definitna matrica. Diferenciraju i (6.99) po vremenu
dobija se:
1
V = q T B(q )q + q T B(q )q + ~
xT KP~
x.
2
Kako je xd = 0, s obzirom na (3.37) vrijedi da je:
~
x = − J A (q)q
48
i onda je:
1
V = q T B(q )q + q T B (q)q − q T J TA (q ) K P ~
x.
2
(6.100)
Pozivaju i se na izraz za prostor zgloba dinami kog modela manipulatora (6.35) i
osobinu (4.48), jedna ina (6.100) postaje:
V = −q T Fq + q T (u − g (q ) − J TA (q ) K P ~
x ).
(6.101)
Ova jedna ina navodi strukturu kontrolera; ustvari, biraju i upravlja ko pravilo:
u = g (q) + J TA (q ) K P ~
x − J TA K D J A (q)q,
(6.102)
gdje je K D pozitivno definitna matrica, jedna ina (6.101) postaje:
V = −q T Fq − q T J TA (q ) K D J A (q )q.
(6.103)
Kao što se vidi sa slike 6.31, rezultiraju a blok šema otkriva analogiju sa šemom na
Slici 6.30. Upravlja ko pravilo (6.102) izvršava nelinearno kompenzacijsko djelovanje
gravitacionih sila u prostora zgloba i akciju linearnog PD upravljanja u radnom
prostoru.
Slika 6.31
Blok šema PD upravljanja radnim prostorom sa kompenzacijom gravitacije.
Posljednji izraz je uveden da pove a prigušenje sistema; posebno ako je mjerenje
x deducirano od strane q . Može se jednostavno izabrati derivativni lan kao − K D q.
Jedna ina (6.103) pokazuje da se, za bilo koju trajektoriju sistema, Lyapunov-a
funkcija pove ava sve dok je q ≠ 0 .
49
Sistem tada dostiže ravnotežno stanje. Pri argumentu sli nom onom u prostoru
zgloba (jedna ine (6.44)-(6.46)), ovo stanje je odre eno za:
J AT (q) K P ~
x = 0.
(6.104)
Iz (6.104) može se primjetiti pretpostavka o punom rangu Jacobiana, te je:
~
x = xd − x = 0,
što predstavlja traženi rezultat.
Ako je mjerenje x i x vršeno direktno u radnom prostoru, k (q) i J A (q) u šemi na
Slici (6.31) su nagovještaj direktne kinemati ke funkcije; te je, ipak, potrebno mjeriti q
kako bi se ažurirale J AT (q ) i g (q ) on-line. Ako su mjerenja radnog prostora indirektna,
kontroler tako e treba da ra una i direktne kinemati ke funkcije.
6.6.3 Inverzna dinami ka kontrola
Razmotrimo sada problem pra enja trajektorije radnog prostora. Ovdje se poziva na
dinami ki problem manipulatora koji je dat u formi (6.47)
B ( q ) q + n( q, q ) = u
gdje je n dato sa (6.48). Kao i u (6.49), izbor inverznog dinami ki lineariziranog
upravljanja:
u = B ( q ) y + n( q , q )
dovodi do sistema dvostrukih integratora:
q = y.
(6.105)
50
Slika 6.32
Blok šema inverznog dinami kog upravljanja radnog prostora.
Novi upravlja ki ulaz y je dizajniran tako da dozvoljava pra enje trajektorije
specificirane prema xd (t ) . U ovu svrhu, diferencijalna jedna ina drugog reda u oblliku
(4.117):
x = J A ( q ) q + J A ( q, q ) q
sugerira, za neredundantni manipulator, izbor upravlja kog pravila:
y = J A−1 (q )( xd + K D ~
x + KP~
x − J A ( q, q ) q )
(6.106)
gdje su K P i K D pozitivno definitne dijagonalne matrice. Ustvari, zamjenjuju i (6.106) u
(6.105) dobija se jedna ina:
~
x + KD~
x + KP~
x =0
(6.107)
koja opisuje grešku dinamike radnog prostora, sa K P i K D koji determinišu brzinu
greške konvergencije na nulu. Rezultuju a inverzna dinami ka upravlja ka šema je
predstavljena na Slici 6.32, koja potvr uje pretpostavljenu analogiju sa šemom na Slici
6.29. Ponovo, u ovom slu aju, osim x i x potrebno je mjeriti i q i q . Ako su mjerenja
x i x indirektna, kontroler mora da ra una direktne kinemati ke funkcije k (q) i J A (q )
online.
Kriti ka analiza šema na slikama 6.31 i 6.32 otkriva da dizajn kontrolera radnog
prostora uvijek zahtijeva ra unanje Jacobian-a manipulatora. Kao posljedica, upravljanje
manipulatora u radnom prostoru je kompleksnije nego upravljanje u prostoru zgloba.
Ustvari, prisustvo singulariteta i/ili redundantnih uticaja Jacobian-a, i indukovanih
efekata otežavaju rukovanje sa kontrolerom radnog prostora. Na primjer, ako se pojavi
singularitet u šemi na Slici 6.31 i ako greška u e u nul prostor Jacobian-a, manipulator
51
može da završi u druga ijoj konfiguraciji od željene. Ovaj problem je još više kriti an za
šemu na Slici 6.32, jer zahtijeva ra unanje DLS-inverzije Jacobian-a. Ipak, za
redundantni manipulator, upravlja ka šema prostora zgloba je svakako transparentna za
ovu situaciju, pošto je redundancija ve bila riješena sa inverznom kinematikom, obzirom
na injenicu da upravlja ka šema radnog prostora treba da inkorporira tehnike za
rukovanje redundancijom unutar petlje povratne veze.
6.7 Pore enje izme u razli itih upravlja kih šema
U želji da se napravi komparacija izme u razli itih upravlja kih šema, razmatra se
planarna ruka sa dva segmenta sa istim podacima koji su dati u primjeru 4.2:
a1 = a 2 = 1 m
k r1 = k r2 = 100
l1 = l 2 = 0.5 m
ml1 = ml2 = 50 kg I l1 = I l2 = 10 kg ⋅ m 2
mm1 = mm2 = 5 kg
I m1 = I m2 = 0.01 kg ⋅ m 2
Pretpostavljeno je da je ruka pokretana sa dva jednaka aktuatora sa slijede im podacima:
Fm1 = Fm2 = 0.01 N ⋅ m ⋅ s rad
kt1 = k t2 = 2 N ⋅ m A
Ra1 = Ra 2 = 10 ohm
k v1 = k v2 = 2 V ⋅ s rad
Ovo može biti provjereno tako da je Fmi << k vi k ti Rai za i = 1,2.
Željeni nagib trajektorija ima tipi ni trapezoidni profil brzine, i prema tome, za
o ekivati je da e oštre varijacije obrtnog momenta biti inducirane. Nagib putanje je
kretanje za 1.6m duž horizontalne ose, kao u putanji u primjeru 4.2. U prvom slu aju
(brza trajektorija), vremensko ubrzanje je 0.6s a maksimalna brzina je 1m/s. U drugom
slu aju (spora trjektorija), vremensko ubrzanje je 0.6s a maksimalna brzina je 0.25m/s.
Kretanje upravljane ruke je simulirano na kompjuteru usvajanjem diskretne vremenske
implementacije kontrolera sa vremenom uzorkovanja od 1ms.
Upotrijebljene su slijede e upravlja ke šeme u prostoru zgloba i u radnom prostoru:
A. Nezavisno upravljanje zgloba sa pozicionom i brzinskom povratnom vezom (Slika
6.8) sa slijede im podacima za svaki servo ure aj zgloba:
KP = 5
KV = 10
kTP = k tv = 1,
koji su korespondentni sa ω n = 5 rad s i ξ = 0.5.
52
B. Nezavisno upravljanje zgloba sa pozicionom, brzinskom i akceleracijskom
povratnom vezom (Slika 6.10) sa slijede im podacima za svaki servo ure aj zgloba:
K P = 5 KV = 10 K A = 2 kTP = k tv = kTA = 1,
koji su korespondentni sa ω n = 5 rad s , ξ = 0.5 i X R = 100.
Za rekonstrukciju ubrzanja, iskorišten je filter prvog reda (Slika 6.12) koji je
okarakterisan sa ω 3 f = 100 rad s .
C. Kao u šemi A sa dodavanjem decentralizovane direktne veze (Slika 6.14).
D. Kao u šemi B sa dodavanjem decentralizovane direktne veze (Slika 6.15).
E. Upravljanje prora unatim momentom prostora zgloba (Slika 6.19) sa direktnom
kompenzacijom dijagonalnih lanova u inercionoj matrici i gravitacionih lanova, te
decenralizovanom povratnom vezom kontrolera kao u šemi A.
F. PD upravljanje prostorom zgoba sa kompenzacijom gravitacije (Slika 6.22),
modifikovan sa dodavanjem direktne veze brzinskog lana K D q d , sa slijede im
podacima:
K P = 3750I
K D = 750I
G. Inverzno dinami ko upravljanje prostora zgloba (Slika 6.24) sa slijede im podacima:
K P = 25I
K D = 5I
H. Robusno upravljanje prostora zgloba (Slika 6.25), pretpostavljaju i konstantnu
inerciju ( B = B ) i
kompenzaciju trenja i gravitacije (n = Fv q + g ) , sa slijede im
podacima:
K P = 25I
K D = 5I
P=I
ρ = 70 ε = 0.004.
I. Kao u slu aju H sa ε = 0.01.
J. Adaptivno upravljanje prostora zgloba (Slika 6.28) sa parametrizacijom dinami kog
modela ruke (4.81) kao i (4.82) i (4.83). Inicijalna estimacija vektora π je ra unata na
bazi nominalnih parametara. Ruka je predvi ena da nosi teret što uzrokuje slijede e
varijacije u parametrima drugog segmenta:
∆m2 = 10 kg
∆m2 lC2 = 11 kg ⋅ m
∆Iˆ2 = 12.12 kg ⋅ m 2.
53
Ove informacije su iskorištene samo da ažuriraju simulirani model ruke. Dalje su
korišteni slijede i podaci:
Λ = 5I
K D = 750I
Kπ = 0.01I
K. PD upravljanje radnog prostora sa kompenzacijom gravitacije (Slika 6.31),
modifikovana sa dodavanjem direktne veze brzinskog lana K D xd , sa slijede im
podacima:
K P = 16250 I
K D = 3250 I
L. Inverzno dinami ko upravljanje radnog prostora (Slika 6.32) sa slijede im podacima:
K P = 25I
K D = 5I
Slika 6.33
Vremenski dijagram pozicija i obrtnh momenata zgloba i nagib pozicija grešaka za brzu
trajektoriju sa upravlja kom šemom A.
Zna ajno je primjetiti da je usvojeni model dinami kog sistema ruke sa pogonima
opisan prema jedna ini (6.35). U decentralizovanim upravlja kim šemama (A-E)
zglobovi su naponsko kontrolirani kao u blok šemi na Slici 6.20, sa jedini nim
poja anjem (Gv = I ). Sa druge strane, u centralizovanim upravlja kim šemama (F-L),
54
zglobovi su strujno kontrolirani kao u blok šemi na Slici 6.21, sa jedini nim
poja ava em (Gi = I ).
Gledaju i parametre razli itih kontrolera, ovi su izabrani tako da obezbijede
zna ajano pore enje performansi svake šeme sa podudaraju im upravlja kim akcijama.
Može se primjetiti:
•
•
Dinami ko ponašanje zglobova je isto za šeme A-E.
Poja anja PD djelovanja u šemama F, J i K su podešena tako da se dobija
vremenski odziv sli an onom u šemama A-E.
• Poja anja PD djelovanja u šemama G, H, I i L su izabrana tako da se dobija ista
prirodna frekvencija i prigušenje kao oni u šemama A-E.
Rezultati dobijeni sa razli itim upravlja kim šemama su ilustrirani na slikama 6.336.41 za brzu trajektoriju i slikama 6.42-6.50 za sporu trajektoriju, respektivno. U slu aju
dvaju veli ina prikazanih u istom dijagramu može se primjetiti da:
•
Za trajektorije zgloba, isprekidana linija pokazuje referentnu trajektoriju dobijenu iz
nagiba trajektorije preko inverzne kinematike, dok puna linija pokazuje trenutnu
trajektoriju koju ruka sljedi.
•
Za obrtne momente zgloba, puna linija se odnosi na zglob 1 dok se isprekidana linija
odnosi na zglob 2.
•
Za nagib greške pozicije puna linija pokazuje komponentu greške duž horizontalne
ose, dok isprekidana linija pokazuje komponentu greške duž vertikalne ose.
Slika 6.34
Vremnski dijagram obrtnih momenata zgloba i norma nagiba pozicije greške za brzu
trajektoriju; lijevo-sa upravlja kom šemom C, desno – sa kontrolnom šemom D.
55
Slika 6.35
Vremenski dijagram obrtnih momenata zgloba i norma nagiba pozicije greške za brzu
trajektoriju sa upravlja kom šemom E.
Slika 6.36
Vremenski dijagram pozicija i momenata zgloba i norma nagiba greške pozicije za brzu
trajektoriju sa upravlja kom šemom F.
56
Slika 6.37
Vremenski dijagram momenata zgloba i norma nagiba greške pozicije za brzu
trajektoriju sa upravlja kom šemom G.
Kona no, predstavljanje brojnih sistema je napravljeno sa ciljem da se omogu i
više direktnih pore enja rezultata. U pogledu performansi razli itih upravlja kih šema za
brzu trajektoriju, dobijeni rezultati dopuštaju crtanje slijede a razmatranja.
Slika 6.38
Vremenski dijagram obrtnih momenata zgloba i norma nagiba greške pozicije za brzu
trajektoriju; lijevo –sa upravlja kom šemom H, desno – sa upravlja kom šemom I.
57
Slika 6.39
Vremenski dijagram norme nagiba pozicije greške i norma parametara greške za brzu
trajektoriju sa upravlja kom šemom J.
Devijacija trajektorija aktualnog zgloba od željenih trajektorija pokazuju da je
pra enje performansi šeme A dosta slabo (Slika 6.33). Treba primjetiti, da je, ipak,
najve i uticaj na grešku uzrokovan vremenskim zaostajanjem trenutne trajektorije iza
željene, dok je distanca nagiba od geometrijske putanje prili no zadržana. Sli ni rezultati
se dobijaju sa šemom B, ali oni nisu prikazani.
Slika 6.40
Vremenski dijagram obrtnih momenata zgloba i norma nagiba greške pozicije za brzu
trajektoriju sa upravlja kom šemom K.
Slika 6.41
Vremenski dijagram obrtnih momenata zgloba i norma nagiba greške pozicije za brzu
trajektoriju sa upravlja kom šemom L.
58
Sa šemama C i D je mogu e procijeniti ta nost pra enja poboljšanja (Slika 6.34), sa
boljim performansama za drugu šemu, zahvaljuju i vanjskoj akceleracijskoj petlji
povratne veze koja dozvoljava otklanjanje faktora smetnje dvostruko brže nego u slu aju
prve šeme. Primjetimo da direktna veza dozvoljava upotrebu skupa momenata koji su
bliži zahtjevanim nominalnim vrijednostima kako bi dobili željenu trajektoriju.
Vremenski dijagram obrtnog momenta ima diskontinuitete u predstavljanju ponašanja
ubrzanja i smanjenja brzine.
Greška pra enja je još više smanjena sa šemom E (Slika 6.35), na osnovu dodatih
nelinearnih kompenzacija sa direktnom vezom.
Šema F garantuje stabilnu konvergenciju kona nog položaja ruke sa boljim
performansama pra enja nego u slu aju šema A i B, zahvaljuju i prisustvu brzinske
direktne veze, ali gore nego u slu aju šema C-E, s obzirom na nedostatak dejstva
ubrzanja direktne veze (Slika 6.36).
Slika 6.42
Vremenski dijagram pozicija i obrtnih momenata zgloba i norma nagiba greške pozicije
za sporu trajektoriju sa upravlja kom šemom A.
Logi no bi bilo o ekivati najbolje rezultate posmatranja sa šemom G gdje je greška
pra enja prakti no nula, i to je glavni doprinos numeri ke diskretizacije kontrolera (Slika
6.37).
Zna ajno je spomenuti pore enje performansi šema H i I (Slika 6.38). Ustvari,
izbor male vrijednosti praga za ε (šema H) izaziva visoko frekventne komponente u
momentu zlgoba 1 (vidjeti podebljani dio šeme za momenat) kao prednost veoma
limitirane greške pra enja. Kada je vrijednost praga pove ana (šema I), moment
podrazumjeva bolju glatkost na ra un udvostru ene norme greške pra enja.
59
Za šemu J je primjetna niža greška pra enja nego za šemu F, zahvaljuju i
efektivnom adaptivnom dejstvu parametara dinami kog modela. Pored toga, parametri ne
konvergiraju prema njihovim nominalnim vrijednostima, kao kod vremenskog dijagrama
norme parametra vektora greške koji doseže ne nultu vrijednost kona nog stanja (Slika
6.39).
Na kraju, performanse šema K i L su suštinski uporedive u odnosu na
odgovaraju e šeme F i G (Slika 6.40 i 6.41).
Slika 6.43
Vremenski dijagram obrtnih momenata zgloba i norma nagiba pozicije greške za sporu
trajektoriju; lijevo – sa upravlja kom šemom C, desno - sa upravlja kom šemom D.
Slika 6.44
Vremenski dijagram obrtnih momenata zgloba i norma nagiba pozicije greške za sporu
trajektoriju sa upravlja kom šemom E.
60
Performanse razli itih upravlja kih šema za sporu trajektoriju su u cijelosti bolje
nego za brzu trajektoriju. Takvo poboljšanje je naro ito evidentno za decentralizovane
upravlja ke šeme (slike 6.42 – 6.44), s obzirom na injenicu da je redukcija za
centralizovane upravlja ke šeme manje složena (slike 6.45 – 6.50)i s obzirom da je mali
red veli ine grešaka ve dobijen za brzu trajektoriju. U svakom slu aju, za ocjene
performasi svake pojedina ne šeme, mogu e je napraviti veliki broj opažanja analognih
sa onim koji su prethodno napravljeni.
Slika 6.45
Vremenski dijagram pozicija i obrtnih momenata zgloba i norma nagiba pozicije greške
za sporu trajektoriju sa upravlja kom šemom F.
Slika 6.46
Vremenski dijagram obrtnih momenata zgloba i norma nagiba pozicije greške za sporu
trajektoriju sa upravlja kom šemom G.
61

CJENIK ORTOPEDSKIH USLUGA - Ortopedija Bilić Vision u Zagrebu

izvješće o troškovima (rashodima) izborne promidžbe

PITANJA_I_ODGOVORI_KG_2014.pdf

Cijeli članak - Stomatološki vjesnik

Rame Koljeno Artroskopija i toaleta zgloba 8.000 kn Stopalo i gležanj

LIJEČENJE AKUPUNKTUROM Mr.sci. Miljković dr Siniša

"ISPITIVANJE DRUMSKOG MOSTA PREKO

Šta je reumatoidni artritis

INforMATIoN PAck for cHIlDrEN AND YoUNG PEoPlE

Zdjelica sa kukom