null

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1:
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ: ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ
Σκοπός
Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε την έννοια του κύµατος και τα βασικά
χαρακτηριστικά των κυµάτων καθώς επίσης και µε τη κυµατική εξίσωση.
Προσδοκώµενα Αποτελέσµατα
Η ολοκλήρωση της µελέτης του κεφαλαίου αυτού θα σας επιτρέψει:
• να εξοικειωθείτε µε την έννοια της κυµατικής διαταραχής και τη µαθηµατική
περιγραφή της
• να κατανοήσετε τη φυσική σηµασία των χαρακτηριστικών µεγεθών των κυµάτων
• να κατανοήσετε τις έννοιες της εγκάρσιας ταχύτητας, της φασικής ταχύτητας και
της οµαδικής ταχύτητας
Έννοιες Κλειδιά
• Το κύµα
• Φασική ταχύτητα
•
• Εγκάρσια ταχύτητα
Η κυµατική εξίσωση
• Η κυµατοσυνάρτηση
• Αρχή της επαλληλίας
• Το αρµονικό Κύµα
• Οδεύον κύµα
• Μήκος κύµατος
• Στάσιµο κύµα
• Συχνότητα- Κυκλική συχνότητα
• Μέτωπο κύµατος
• Κυµαταριθµός
• Εγκάρσια και ∆ιαµήκη κύµατα
• Φάση Κύµατος
• Ταχύτητα οµάδας
Σύντοµη ανασκόπιση της θεωρίας
Από πλευράς φυσικής περιγραφής, θα µπορούσε κανείς να ορίσει σαν κύµα
µία διαταραχή που µεταδίδεται µε πεπερασµένη ταχύτητα µέσα σε ένα µέσο (ή το
κενό) και η οποία µεταφέρει ενέργεια και ορµή. Από µαθηµατικής σκοπιάς, κάλλιστα
7
θα µπορούσε κανείς να ορίσει σαν κύµα την λύση της διαφορικής εξίσωσης:
1 ∂ 2Ψ
∂ 2Ψ
, την συνάρτηση Ψ.
=
∂x 2 υ 2 ∂ t 2
Προσοχή: κατά τη διαδικασία διάδοσης ενός κύµατος, δεν είναι απαραίτητη
προυπόθεση το µέσο να µετακινείται το ίδιο.
Η µελέτη των κυµάτων γενικά, περιλαµβάνει: την εύρεση της ταχύτητας
διάδοσης τους καθώς επίσης και την εξάρτηση της από διάφορες φυσικές ποσότητες
και παραµέτρους, όπως για παράδειγµα η οµοιογένεια/ανοµοιογένεια και η
ισοτροπία/ανισοτροπία του µέσου διάδοσης, η ύπαρξη εµποδίων (διαφόρων µεγεθών)
εντός του µέσου διάδοσης, κ.α.
Φαινόµενα που σχετίζονται µε τη διάδοση της κυµατικής διαταραχής και τα
οποία αποτελούν αντικείµενα µελέτης της Κυµατικής είναι: η ανάκλαση, η
διάθλαση, η πόλωση, η διασπορά, η περίθλαση, η σκέδαση και η συµβολή των
κυµάτων. Τα φαινόµενα αυτά τα συναντά κανείς σε διάφορους κλάδους της Φυσικής,
όπως για παράδειγµα στην Μηχανική, στην Οπτική, στην Ακουστική, στον
Ηλεκτροµαγνητισµό, στη Φυσική Πλάσµατος, κ.α.
Η µαθηµατική διατύπωση της διάδοσης της κυµατικής διαταραχής σε ένα
µέσο παρέχεται από την κυµατική εξίσωση, της οποίας η λύση είναι η
κυµατοσυνάρτηση Ψ ή συνάρτηση του κύµατος, η οποία πληροί την κυµατική
εξίσωση και τους διάφορους περιορισµούς που επιβάλλει η φυσική πραγµατικότητα
(π.χ. οριακές συνθήκες).
Η υπέρθεση δύο κυµάτων που διαδίδονται στο χώρο έχει ως αποτέλεσµα τη
συµβολή τους, η οποία µπορεί να είναι είτε ενισχυτική είτε καταστροφική. Το
φαινόµενο της συµβολής βασίζεται στην αρχή της επαλληλίας η οποία απλώς
αντανακλά την γραµµικότητα της διαφορικής εξίσωσης του κύµατος, η οποία λέει ότι
αν δύο κύµατα είναι λύσεις της εξίσωσης του κύµατος τότε και κάθε γραµµικός
συνδυασµός τους είναι επίσης λύση.
Όσον αφορά την διάδοση των κυµάτων, αυτά διακρίνονται σε οδεύοντα
κύµατα και σε στάσιµα κύµατα. Τα πρώτα θεωρούµε ότι έρχονται από το άπειρο και
κατευθύνονται προς το άπειρο, ενώ τα δεύτερα είναι εγκλωβισµένα µεταξύ δύο
φραγών και µοιάζουν µε κύµατα σταθερής συχνότητας, που έχουν όµως διαφορετικά
πλάτη για τις διαφορετικές θέσεις κατά τον άξονα διάδοσης τους. Αν τώρα οι
διαταραχές που προκαλούνται στο µέσο κατά τη διάδοση ενός κύµατος είναι κάθετες
8
(εγκάρσιες) προς τη διεύθυνση διάδοσης, τα κύµατα λέγονται εγκάρσια. Αν οι
διαταραχές είναι παράλληλες προς την διεύθυνση διάδοσης, τότε τα κύµατα
ονοµάζονται διαµήκη και αποτελούνται από µια σειρά πυκνώµατα και αραιώµατα.
Για τη µαθηµατική περιγραφή ενός κύµατος, χρήσιµο είναι σε πρώτη φάση να
περιορισθούµε σε µονοδιάστατα κύµατα, τα οποία έστω ότι διαδίδονται στην
κατεύθυνση του άξονα των x. Τότε η κυµατοσυνάρτηση Ψ(x, t) που είναι η λύση της
εξίσωσης του κύµατος, θα εξαρτάται µόνο από τη θέση x και τον χρόνο t, σύµφωνα
µε τη σχέση:
Ψ ( x, t ) = A sin 2π [
x t
− ]
λ T
(1.1)
Η σχέση αυτή περιγράφει ένα αρµονικό κύµα που διαδίδεται από αριστερά προς τα
δεξιά, µε πλάτος Α, µήκος κύµατος λ και περίοδο Τ και το οποίο την χρονική
στιγµή t βρίσκεται στη θέση t. Μερικές χρήσιµες θεµελιώδεις σχέσεις που συνδέουν
τα ανωτέρω µεγέθη είναι: ν ≡
1
λ
(ν η συχνότητα), υ = (υ η ταχύτητα διάδοσης
T
T
του κύµατος), και ν λ = υ .
Η κυµατοσυνάρτηση Ψ(x,t) έχει µια σειρά από ενδιαφέρουσες µαθηµατικές
ιδιότητες, οι οποίες είναι πολύ χρήσιµες για τη µαθηµατική περιγραφή όχι µόνο του
µονοδιάστατου κύµατος αλλά και κυµάτων άλλων τύπων (π.χ. κυµάτων που
διαδίδονται σε δύο ή και τρεις διαστάσεις) όπως επίσης και κυµάτων που δεν είναι
αρµονικά (δηλ. στη περίπτωση όπου η Ψ(x,t) δεν είναι ηµιτονοειδούς ή
συνηµιτονοειδούς µορφής). Οι ιδιότητες αυτές είναι:
1η) Η συνάρτηση Ψ παρουσιάζει χρονική και χωρική περιοδικότητα. ∆ηλαδή,
επαναλαµβάνεται ακριβώς η ίδια σε ένα δοσµένο σηµείο x µετά από χρόνο Τ και για
µια δεδοµένη χρονική στιγµή t, µετά από απόσταση λ. Η µαθηµατική έκφραση της
διατύπωσης αυτής είναι: Ψ ( x + λ , t ) = Ψ ( x, t ) = Ψ ( x, t + T ) , και γενικότερα:
όπου:
Ψ ( x + nλ , t ) = Ψ ( x , t )
(1.2)
Ψ ( x, t ) = Ψ ( x, t + mT )
(1.3)
όπου: n=1,2,3,…και m=1,2,3,…
2η) Η Ψ δεν εξαρτάται χωριστά από τον χρόνο t και χωριστά από τη θέση x, αλλά
εξαρτάται από τον συνδυασµό:
x
λ
−
t 1
λ
1
= ( x − t ) = ( x − υt ) , δηλαδή από την
λ
T λ
T
9
ποσότητα: x–υt, η οποία είναι ένας «γραµµικός συνδυασµός» των δύο µεγεθών. Έτσι,
η σχέση:
Ψ ( x, t ) = f ( x − υ t )
(1.4)
δηλώνει ότι η διαταραχή Ψ, που οδεύει προς τα δεξιά, είναι συνάρτηση της
ποσότητας ξ=x–υt, η οποία ονοµάζεται φάση του κύµατος. Η ιδιότητα αυτή αποτελεί
µια γενική ιδιότητα των κυµάτων. Αξίζει δε να σηµειωθεί εδώ, ότι αυτό που
αντιλαµβανόµαστε ως κυµατική διάδοση δεν είναι τίποτα άλλο παρά η µεταβολή της
φάσης µε την πάροδο του χρόνου. Ειδικότερα για αρµονικά κύµατα που
περιγράφονται από τη σχέση (1.4), αν η f(x) είναι της µορφής:
f ( x ) = A sin kx
όπου: k ≡
2π
λ
(1.5)
(1.5′)
Η αντίστοιχη κυµατοσυνάρτηση γράφεται:
Ψ ( x, t ) = A sin[k ( x − υ t )] = A sin kξ
(1.6)
η οποία είναι ισοδύναµη µε την (1.1).
Η σταθερά k, όπως ορίζεται από την (1.5) ονοµάζεται κυµαταριθµός του αρµονικού
κύµατος. Μπορούµε επιπλέον να εισάγουµε και τη κυκλική συχνότητα ω, αντί της
γνωστής µας συχνότητας ν, από τη σχέση:
ω=
2π
= 2πν
T
(1.7)
και να γράψουµε την (1.6) ισοδύναµα ως:
Ψ ( x, t ) = A sin(kx − ωt )
(1.8)
Το όρισµα φ του ηµίτονου στις σχέσεις (1.6) και (1.8):
φ ≡ k ( x − υt ) = kx − ωt
(1.9)
ονοµάζεται γωνία φάσης ή απλά φάση του αρµονικού κύµατος.
Στην περίπτωση που η αρχή µετρήσεως του χρόνου ή της θέσης δεν συµπίπτει µε την
χρονική ή χωρική αρχή της διαταραχής, στον ορισµό της φάσης (1.9), καθώς επίσης
και στα αντίστοιχα ορίσµατα της ηµιτονοειδούς συνάρτησης (δηλ. στις σχέσεις (1.1),
(1.6), (1.8)) προστίθεται µια σταθερά διαφορά φάσης θ, η οποία καθορίζεται από το
χρόνο (και τόπο) της διαταραχής. Σ’ αυτή την περίπτωση η φάση φ γράφεται:
φ ≡ k ( x − υt ) + θ = kx − ωt + θ
(1.9΄)
10
Από τη σχέση 1.9 (ή 1.9΄) εύκολα διαπιστώνουµε ότι ο κυµατάριθµος k ισούται µε τη
βαθµίδα µεταβολής της φάσης. ∆ηλαδή, παραγωγίζοντας ως προς τη µεταβλητή x, και
θεωρώντας σταθερό το χρόνο t, έχουµε ότι:
⎛ ∂φ ⎞
k =⎜ ⎟
⎝ ∂x ⎠ t
(1.10)
Όµοια βρίσκουµε ότι ο ρυθµός µεταβολής της φάσης µε το χρόνο, για µια σταθερή
θέση ισούται µε το αντίθετο της γωνιακής συχνότητας ω, δηλαδή:
⎛ ∂φ ⎞
⎟
⎝ ∂t ⎠ x
ω = −⎜
(1.11)
3η) H σχέση (1.4) εκφράζει το γεγονός ότι τα αρµονικά κύµατα διατηρούν τη µορφή
τους αµετάβλητη καθώς διαδίδονται. Αυτή την ιδιότητα, εκτός από τα αρµονικά
κύµατα παρουσιάζουν όλα τα συνήθη κύµατα που διαδίδονται σε οµογενή και
ισότροπα µέσα.
4η) Η εγκάρσια ταχύτητα υσ µε την οποία κινούνται τα υλικά σηµεία ενός µέσου,
στο οποίο διαδίδεται ένα εγκάρσιο κύµα, δεν έχει καµία απολύτως σχέση µε την
ταχύτητα διάδοσης υ του κύµατος. Η µεν υσ προκύπτει µε απλή παραγώγηση ως
προς τον χρόνο της σχέσης (1.1), η οποία περιγράφει την εγκάρσια µετατόπιση σε
κάθε θέση x) και δεν είναι σταθερή:
υσ = −
ενώ η υ δίνεται από την σχέση υ =
2πA
x t
cos 2π [ − ]
T
λ T
(1.12)
λ
και είναι σταθερή για τα αρµονικά κύµατα.
T
Αυτή η σταθερή ταχύτητα διάδοσης υ ισούται µε την φασική ταχύτητα υφ, µε την
οποία κινείται η φάση φ από σηµείο σε σηµείο. Άλλωστε, όπως είδαµε νωρίτερα,
αυτό είναι που αναγνωρίσαµε στην πράξη σαν κυµατική κίνηση, δηλ. τη κίνηση της
φάσης ή αλλιώς τη κίνηση των σηµείων που έχουν την ίδια φάση. Το σύνολο των
σηµείων, που έχουν την ίδια φάση σε µια δεδοµένη χρονική στιγµή, ορίζει
γεωµετρικά (στις τρεις διαστάσεις) µια επιφάνεια η οποία ονοµάζεται ισοφασική
επιφάνεια. Η ισοφασική επιφάνεια είναι γνωστή και σαν µέτωπο κύµατος. Στις δύο
διαστάσεις οι ισοφασικές επιφάνειες εκφυλίζονται σε ισοφασικές γραµµές ή
ισοφασικές καµπύλες, οι οποίες (όπως και οι ισοφασικές επιφάνειες) περιγράφονται
µαθηµατικά ως ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του χώρου που έχουν την ίδια φάση.
11
Θεωρώντας την γενική περίπτωση όπου οι µεταβλητές x και υ είναι (τρι-, δι-, ή µονοδιάστατα) διανύσµατα, τα µέτωπα κύµατος ορίζονται από τη σχέση:
x ∓ υ t = σταθερά
(1.13)
Τα πρόσηµα ‘+’ και ‘-’, αφορούν διάδοση προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά
αντίστοιχα (στη µονοδιάστατη περίπτωση).
5η) Εκτός της ταχύτητας ταλάντωσης των υλικών σηµείων του µέσου και την
ταχύτητα διάδοσης του κύµατος (η οποία ταυτίζεται µε την φασική ταχύτητα) στην
πραγµατικότητα έχουµε ταυτόχρονα περισσότερα από ένα κύµατα, µε διαφορετικά
µήκη κύµατος, τα οποία συνδυάζονται και σχηµατίζουν µια οµάδα κυµάτων, η οποία
κινείται αυτοτελώς µε τη δική της ταχύτητα, την ταχύτητα της οµάδας.
Για να γενικεύσουµε τώρα τη µαθηµατική περιγραφή της διάδοσης των
κυµάτων θα διατυπώσουµε τις εξισώσεις που περιγράφουν τη διάδοση κυµάτων από
αριστερά προς τα δεξιά και από δεξιά προς τα αριστερά:
∂ Ψ ( x, t )
∂ Ψ ( x, t )
=υ
(εξισ. κύµατος οδεύοντος προς τα δεξιά)
∂t
∂x
(1.14)
∂ Ψ ( x, t )
∂ Ψ ( x, t )
= −υ
(εξισ. κύµατος που οδεύει προς τα αριστερά)(1.15)
∂t
∂x
Εύκολα µπορούµε τώρα να διαπιστώσουµε (λ.χ. µε αντικατάσταση), ότι τα αρµονικά
κύµατα των σχέσεων (1.1) ή (1.8) ικανοποιούν την (1.14) αρκεί η ταχύτητα υ να
ικανοποιεί την σχέση: υ =
λ
T
=
ω
k
. Αντίστοιχα, εύκολα διαπιστώνεται ότι η
αντίστοιχη προς την (1.8) µορφή αρµονικού κύµατος, που οδεύει προς τα αριστερά
και ικανοποιεί την (1.15) είναι της µορφής: Ψ ( x, t ) = A sin(k x + ω t )
Η γενικότερη µορφή της διαφορικής εξίσωση, η οποία περιλαµβάνει διάδοση
και προς τις δύο κατευθύνσεις, προκύπτει από τον ρυθµό µεταβολής των δύο
κυµατικών εξισώσεων µετά από µερικές απλές πράξεις και έχει τη παρακάτω µορφή:
∂ 2 Ψ ( x, t ) 1 ∂ 2 Ψ ( x , t )
− 2
=0
∂ x2
υ
∂ t2
(1.16)
(Χαρακτηριστική εξίσωση κύµατος ή Κυµατική εξίσωση)
Η (1.16) είναι µια γραµµική διαφορική εξίσωση µε µερικές παραγώγους, της οποίας η
γενική λύση µπορεί να γραφεί σαν συνδυασµός ως εξής:
Ψ ( x, t ) = c1 f ( x − υ t ) + c 2 g ( x + υ t )
(1.17)
12
όπου οι σταθερές c1, c2 καθορίζονται από τις αρχικές ή/και τις συνοριακές συνθήκες.
Γενικότερα, εάν έχουµε n λύσεις: ψ1, ψ2, … ψn, οι οποίες ικανοποιούν την κυµατική
εξίσωση, η γενική της λύση Ψ, γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός αυτών των
λύσεων:
n
Ψ ( x, t ) = ∑ cnψ n ( x, t )
(1.18)
i =1
Αν θεωρήσουµε τώρα, τα αρµονικά κύµατα:
Ψ ( x, t ) = A sin(kx − ωt ) και Ψ ( x, t ) = A sin(k x + ω t )
µε ίδια πλάτη, συχνότητες και κυµαταριθµούς να διαδίδονται στον ίδιο χώρο, τότε,
όπως γίνεται εύκολα αντιληπτό, το µέσο θα υπόκειται στη συνδιασµένη διαταρακτική
τους δράση σύµφωνα µε τη σχέση:
Ψ ( x, t ) = A sin(k x − ω t ) + A sin(k x + ω t ) = 2 A sin k x cos ω t ≡ y ( x)ϕ (t ) (1.19)
∆ηλαδή, η κυµατοσυνάρτηση Ψ(x,t) έχει χωριστεί σε γινόµενο ενός καθαρά χωρικού
µέρους, του y ( x ) = 2 A sin kx , και ενός καθαρά χρονικού µέρους, του φ (t ) = cos ω t .
Η κυµατική διαταραχή της µορφής της σχέσης (1.19) ονοµάζεται στάσιµο κύµα. Με
άλλα λόγια, το στάσιµο κύµα από φυσικής σκοπιάς δεν είναι τίποτα άλλο παρά η
συµβολή (επαλληλία) δύο κυµάτων, ενός κινούµενου προς τα αριστερά και ενός που
έχει ανακλασθεί και κινείται προς τα δεξιά ή και αντίθετα.
Στη συνέχεια θα παραθέσουµε τη µορφή που λαµβάνει η εξίσωση κύµατος για
ορισµένες περιπτώσεις κυµατικής διάδοσης για τις οποίες έχουµε εµπειρία από τον
περιβάλλοντα φυσικό κόσµο. Ειδικότερα, για την περίπτωση της διάδοσης διαµηκών
ελαστικών κυµάτων µέσα σ’ ένα στερεό σώµα (λ.χ. µια οµογενή στερεά ράβδο)
πυκνότητας ρ και µέτρου ελαστικότητας του Young Υ, η κυµατική εξίσωση που
συνδέει την ταχύτητα διάδοσης υ του κύµατος συναρτήσει των ελαστικών και
αδρανειακών παραµέτρων του µέσου αποδεικνύεται ότι έχει τη µορφή:
∂ 2ξ ρ ∂ 2ξ
=
∂x 2 Y ∂t 2
Θέτοντας: υ 2 =
Υ
, ή υ=
ρ
(1.20)
Υ
προκύπτει και πάλι η γνωστή µας εξίσωση κύµατος
ρ
(1.16).
Αντίστοιχα, η εξίσωση που περιγράφει τη διάδοση ελαστικών κυµάτων σ’ ένα αέριο
λόγω µεταβολών πίεσης είναι:
13
∂ 2ξ ρ ∂ 2ξ
=
∂x 2 k ∂t 2
(1.21)
Όπου ρ είναι η πυκνότητα του αερίου και k το µέτρο ελαστικότητας όγκου, µε
⎛d p⎞
k
⎟⎟ . Θέτοντας: υ 2 = , ή υ =
k = ρ 0 ⎜⎜
ρ
⎝ dρ ⎠ 0
k
προκύπτει και πάλι η γνωστή µας
ρ
εξίσωση κύµατος (1.16). Αν επιπλέον ληφθεί υπόψη ότι η κυµατική κίνηση στα αέρια
είναι µια αδιαβατική διαδικασία (δηλ. δεν έχουµε ανταλλαγή ενέργειας υπό µορφή
θερµότητας), τότε προκύπτει ότι: υ = γ p ρ , όπου γ =
cp
cv
= 1.4 για τα
περισσότερα διατοµικά αέρια.
Θα πρέπει να σηµειωθεί, ότι οι εξισώσεις (1.20) και (1.21) ισχύουν για µικρές
µηχανικές παραµορφώσεις της ράβδου και µικρές µεταβολές της πίεσης αντίστοιχα.
Επίσης ότι περιγράφουν διαµήκη κύµατα.
Αντίθετα, στη περίπτωση µιας µονοδιάστατης χορδής γραµµικής πυκνότητας
m, που υφίσταται µια τάση Τ, αποδεικνυεται ότι η κυµατική εξίσωση γράφεται:
∂ 2ξ m ∂ 2ξ
=
∂x 2 T ∂t 2
(1.22)
από τη οποία προκύπτει και πάλι η γνωστή κυµατική εξίσωση, αν θέσουµε:
υ = Τ m . Η παραπάνω εξίσωση ισχύει για µικρά πλάτη (δηλ. µικρές τάσεις Τ) και
περιγράφει εγκάρσια κύµατα.
Για επιφανειακά κύµατα σε υγρά, αποδεικνύεται ότι η ταχύτητα διάδοσης του
κύµατος όταν το βάθος είναι πολύ µεγάλο σε σχέση µε το µήκος κύµατος λ,
περιγράφεται από τη σχέση: υ =
g λ 2π T
+
2π
ρλ
(1.23)
όπου ρ η πυκνότητα του υγρού, Τ η επιφανειακή τάση και g η επιτάχυνση της
βαρύτητας. Αν το λ είναι αρκετά µεγάλο, τότε η σχέση (1.23) γίνεται: υ =
Όταν το λ είναι πολύ µικρό, τότε η ταχύτητα διάδοσης είναι: υ =
2π T
ρλ
gλ
.
2π
. Σηµειώστε,
ότι όταν η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος εξαρτάται από το µήκος κύµατος ή τη
συχνότητα, λέµε ότι υπάρχει διασπορά. Στο θέµα αυτό θα επανέλθουµε αργότερα
γιατί είναι πολύ µεγάλης σηµασίας για πολλά φυσικά φαινόµενα που λαµβάνει χώρα
κάποια κυµατική διάδοση.
14
Στον παρακάτω πίνακα, συνοψίζονται οι διάφορες κατηγορίες κυµάτων που
συζητήθηκαν προηγούµενα.
Μέσο
Κυµατο-
Ταχύτητα
Μεταφορά
συνάρτηση
διάδοσης
ενέργειας
Παλλόµενη χορδή
Μετατόπιση
της χορδής
(T m )
Υγρό-αέριο (ήχος)
Μετατόπιση
ή πίεση
⎞
⎛⎜ k
ρ ⎟⎠
⎝
Στερεό σώµα (ήχος)
Μετατόπιση
ή πίεση
⎛⎜ Υ ⎞⎟
⎝ ρ⎠
Ωκεάνεια
επιφανειακά
κύµατα (µεγάλου λ)
Ωκεάνεια
επιφανειακά
κύµατα (µικρού λ)
Μετατόπιση
των µορίων
του νερού
Μετατόπιση
των µορίων
του νερού
⎛gλ
⎞
⎜
2 π ⎟⎠
⎝
Κενό
Ηλεκτροµαγ
νητικό πεδίο
1
2
1
2
∆ιάσταση
Εγκάρσιο/
∆ιαµήκες
1 m cω 2Α2
2
(W)
1
Ε
1 ρ cω 2Α2
2
3
∆
1 ρ cω 2Α2
2
3
Ε&∆
1 ρ c gΑ 2
4
2
Ε&∆
⎛32π 2 cT ⎞ 2
⎜
⎟Α
2λ2 ⎠
⎝
2
Ε&∆
1 ε 0 c E 02
2
1
Ε
(W/m2)
1
2
(W/m2)
1
2
⎛ 2π T
⎞
⎜
⎟
ρ
λ
⎝
⎠
(1 ε 0 µ 0 )1 2
(W/m2)
1
2
(W/m2)
(W/m2)
15
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
Παράδειγµα 1ο: Ηµιτονοειδές κύµα οδεύει προς τη θετική κατεύθυνση x, έχοντας
πλάτος 15 cm, µήκος κύµατος 40 cm και συχνότητα 8 Hz. Η µετατόπιση y της
κυµατικής διαταραχής στο σηµείο x=0 κατά τη στιγµή t=0 είναι 15 cm. α) Βρείτε τον
κυµαταριθµό, την περίοδο, τη κυκλική συχνότητα και την ταχύτητα φάσης του
κύµατος. β) Προσδιορίστε τη σταθερά φάσης φ (ή αρχική φάση) και διατυπώστε µια
γενική έκφραση για την κυµατοσυνάρτηση.
Λύση
α) Από τον ορισµό του κυµαταριθµού: κ=2π/λ για λ=40 cm, έχουµε:
κ=2π/40cm=0.157 cm-1
Για την περίοδο Τ ισχύει: Τ=1/f=1/8 s-1=0.125 s
Για την κυκλική συχνότητα ω ισχύει: ω=2πf=2π(8 s-1)=50.3 rad/s
Η φασική ταχύτητα του κύµατος ορίζεται σαν: υ=f λ=(8 s-1) 40 cm=320 cm/s
β) Μια κυµατική διαταραχή που οδεύει από τα αριστερά προς τα δεξιά περιγράφεται
από τη σχέση: y=A sin(kx-ωt) όταν για t=0, x=0 και y=0. Αυτό όµως δεν είναι πάντα
απαραίτητο. Στη προκειµένη περίπτωση: κατά τη στιγµή t=0, στο σηµείο x=0 ισχύει
y=15 cm. Τότε η κυµατοσυνάρτηση γράφεται: y=A sin(kx-ωt-φ), όπου φ η αρχική
φάση. Συγκεκριµένα: 15=15 sin(-φ) ή sin(-φ)=1 ή φ=-π/2.
∆ηλαδή, η κυµατοσυνάρτηση έχει τη µορφή: y=A sin(kx-ωt+π/2)=A cos(kx-ωt) ή
y=(15cm) cos(0.157x-50.3t)
Παράδειγµα 2ο: Η εξίσωση ενός κυµατικού παλµού που κινείται προς τα αριστερά
είναι της µορφής:
+5
5
=
, όπου τα x και y εκφράζονται σε
2
(3x − 4t ) + 2 (3x + 4t − 6)2 + 2
cm και το t σε s. α) Υπολογίστε την ταχύτητα αυτού του κύµατος. β) Σχεδιάστε τον
παλµό σε δύο διαφορετικές χρονικές στιγµές και αποδείξτε ότι αυτός διαδίδεται προς
τα αριστερά.
Λύση
α) Επειδή κάθε κυµατοσυνάρτηση πρέπει να είναι της µορφής: y=f(x-υt), εύκολα
συνάγεται ότι: υ=-2 cm/s
β) Αφήνεται στον αναγνώστη.
16
Παράδειγµα 3ο: ∆ύο αρµονικά κύµατα, που περιγράφονται από τις συναρτήσεις:
y1=2cm sin(20x-30t) και y2=2cm sin(25x-40t), διαδίδονται κατά µήκος ενός
σύρµατος. Τα y, x δίνονται σε cm και το t σε s. α) Ποια είναι η διαφορά φάσης
µεταξύ των δύο κυµάτων στο σηµείο x=5 cm και σε χρόνο t=2 s; β) Ποια είναι η
πλησιέστερη προς την αρχή των συντεταγµένων τιµή του θετικού x, για την οποία οι
δύο φάσεις θα διαφέρουν κατά ±π κατά τη χρονική στιγµή t=2 s; (Το άθροισµα των
δύο κυµάτων στη θέση αυτή είναι µηδέν).
Λύση
α) φ1=20(5)-30(2)=40 rad φ2=25(5)-40(2)=45 rad
Εποµένως: ∆φ=5 rad=2860=-740
β) ∆φ=⏐20x-30t-[25x-40t]⏐=⏐-5x+10t⏐=⏐-5x+20⏐=±5π
Για x<4:-5x+20=±5π ⇒ 5x=20±5π ⇒ x=4±π=7.14 ⇒ η θέση x=0.858
Παράδειγµα 4ο: ∆ύο κύµατα σε µια χορδή περιγράφονται από τις εξισώσεις:
y1 =
5
(3x − 4t )
2
+2
και y 2 =
−5
(3x + 4t − 6)2 + 2
. α) Βρείτε κατά ποια κατεύθυνση
διαδίδεται καθένα από τα κύµατα. β) Ποια χρονική στιγµή τα δύο κύµατα
αλληλοεξουδετερώνονται σε όλα τα σηµεία; γ) Σε ποιο σηµείο της χορδής τα δύο
κύµατα αλληλοεξουδετερώνονται σε κάθε χρονική στιγµή;
Λύση
α) Το κύµα y1 είναι της µορφής: y1=f(x-υt), εποµένως ταξιδεύει στην +x κατεύθυνση.
Το κύµα y2 είναι της µορφής: y2=f(x+υt), εποµένως ταξιδεύει στην -x κατεύθυνση.
β) Για να αλληλοεξουδετερώνονται σε όλα τα σηµεία τα δύο κύµατα, θα πρέπει:
y1+y2=0.
∆ηλαδή:
5
+5
2
2
=
⇒ (3x − 4t ) = (3 x + 4t − 6) ⇒
2
2
(3x − 4t ) + 2 (3x + 4t − 6) + 2
3 x − 4t = ±(3 x + 4t − 6 ) ⇒
σε
t=0.75
s
(για
τη
θετική
ρίζα)
τα
κύµατα
αλληλοεξουδετερώνονται παντού, ενώ για t=1 s (για την αρνητική ρίζα) τα κύµατα
αλληλοεξουδετερώνονται πάντοτε.
Παράδειγµα 5ο: Η εξίσωση
Ψ ( x, t ) = A sin(k x − ω t )
δίνει τη µορφή µιας
κυµατοσυνάρτησης ενός αρµονικού κύµατος. Η αποµάκρυνση Ψ εκφράζεται ως
συνάρτηση των x και t µε τη βοήθεια του κυµατάριθµου k και της κυκλικής
17
συχνότητας ω. Γράψτε ισοδύναµες εξισώσεις στις οποίες το Ψ να εκφράζεται ως
συνάρτηση των x και t µε τη βοήθεια των: α) k και υ, β) λ και υ, γ) λ και f και δ) f και
υ.
Λύση
α) Επειδή: υ=k/υ ⇒ Ψ=Α sink(x-υt)
β) επειδή: k=2π/λ ⇒ Ψ=Α sin[2π/λ(k-υt)]
γ) επειδή: ω=2πf ⇒ Ψ=Α sin[2π(x/λ)-f t]
δ) επειδή: υ=ω/k=2πf/k ⇒ Ψ=Α sin[2π f x/(υ-t)]
Παράδειγµα 6ο: Ένα αρµονικό κύµα περιγράφεται από τη συνάρτηση y=(0.25
m)×sin(0.3x-40t), όπου τα x και y είναι σε m και το t σε s. Προσδιορίστε τα
παρακάτω µεγέθη του κύµατος: α) πλάτος, β) κυκλική συχνότητα, γ) κυµαταριθµό, δ)
µήκος κύµατος, ε) ταχύτητα, στ) κατεύθυνση της κίνησης.
Λύση
y=(0.25 m) sin(0.3x-40t)
Η γενική έκφραση του κύµατος είναι: y=A sin(kx-ωt).
Εποµένως: α) Α=0.25 m, β) ω=40 rad/s, γ) k=0.3 m-1, δ) λ=2π/k=2π/0.3=20.9 m,
ε) υ=f λ=ω/2π λ=(40/2π)(20.9)=133 m/s, στ) το κύµα κινείται προς τα δεξιά, κατά την
φορά +x.
Παράδειγµα 7ο: Αποδείξτε ότι η κυµατική εξίσωση y = e
A⎛⎜⎝ x − υ t ⎞⎟⎠
είναι µια λύση
της κυµατικής εξίσωσης (Α=σταθερά).
Λύση
Η χαρακτηριστική εξίσωση κύµατος είναι:
Αν y = e
A ⎛⎜⎝ x − υ t ⎞⎟⎠
∂ 2 Ψ ( x, t ) 1 ∂ 2 Ψ ( x , t )
− 2
=0.
∂ x2
υ
∂ t2
τότε µε αντικατάσταση προκύπτει:
A⎛⎜ x − υ t ⎞⎟⎠
A⎛⎜ x − υ t ⎞⎟⎠
∂y
∂y
= − Aυ e ⎝
= Ae ⎝
και
∂t
∂x
A( x − υ t )
∂2 y
∂2 y
2 A( x − υ t )
= A2υ e
και
= A2υ 2 e
∂ t2
∂ x2
18
A⎛⎜⎝ x − υ t ⎞⎟⎠
∂ 2 Ψ ( x, t ) 1 ∂ 2 Ψ ( x , t )
y
=
e
0
Εποµένως ισχύει ότι:
−
=
και
η
είναι λύση
∂ x2
υ2 ∂ t2
της κυµατικής εξίσωσης.
Παράδειγµα 8ο: Εξετάστε αν η συνάρτηση: y = A sin (kx − ω t ) + B cos (kx − ω t ) είναι
λύση της κυµατικής εξίσωσης. Το ίδιο για τη συνάρτηση: y = A sin (kx ) ⋅ B cos(ω t ) .
Λύση
α) y = A sin (kx − ω t ) + B cos (kx − ω t )
∂2 y
= −ω 2 A sin (kx − ω t ) − ω 2 B cos(kx − ω t )
∂t 2
∂2 y
= − k 2 A sin (kx − ω t ) − k 2 B cos(kx − ω t )
∂x 2
Με αντικατάσταση των παραπάνω στην εξίσωση κύµατος εύκολα προκύπτει ότι η y
είναι λύση.
β) y = A sin (kx ) ⋅ B cos(ω t )
∂2 y
= −ω 2 AB sin (kx )cos(ω t )
2
∂t
∂2 y
= − k 2 AB sin (kx )cos(ω t )
2
∂x
Με αντικατάσταση των παραπάνω στην εξίσωση κύµατος εύκολα προκύπτει ότι η y
είναι λύση.
Παράδειγµα 9ο: Εγκάρσιο κύµα διαδίδεται κατά µήκος του θετικού άξονα x και έχει
τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: ymax=6 cm, λ=8π cm, υ=48 m/s και η αποµάκρυνση
του κύµατος είναι όταν t=0 και x=0 είναι –2 cm. Προσδιορίστε: α) τον κυµαταριθµό,
β) την κυκλική συχνότητα, γ) την αρχική φάση του κύµατος, δ) Ποια είναι η πρώτη
θετική τιµή του t για την οποία η αποµάκρυνση στο x=0 θα είναι +2 cm; ε) Γι’ αυτήν
την αρχική συνθήκη, βρείτε την τετµηµένη του σωµατίου στη θετική κατεύθυνση του
άξονα x που είναι πλησιέστερο στην αρχή και έχει y=0.
Λύση
ymax=6 cm, λ=8π cm, υ=48 m/s
α) k=2π/λ=0.25 cm-1
β) ω=2πυ/λ=12 s-1
19
γ) y = A sin (kx − ω t − φ )
Για x=0, t=0, y=(6 cm)sin(-φ)=-2 cm ⇒ φ=sin-1(1/3)=0.34 rads
δ) y=(6 cm)sin(0.25x-12t-0.34)
y=2 cm για x=0, ;όταν 1/3=sin(-12t-0.34) και –1/3=sin(12t+0.34) ⇒ t=0.262 s
ε) y=0 , όταν (0.25x-12(0.262)-0.34)=0 ⇒ x=1.39 cm
Παράδειγµα 10ο: Η κυµατοσυνάρτηση ενός γραµµικά πολωµένου κύµατος σε ένα
τεταµένο νήµα σε µονάδες SI είναι: y(x,t)=(0.35 m)sin(10πt-3πx+π/4). α) Ποια είναι η
ταχύτητα του κύµατος κατά µέτρο και διεύθυνση; β) Ποια είναι η αποµάκρυνση στο
σηµείο x=0.1 m όταν t=0; γ) Ποιο είναι το µήκος κύµατος και η συχνότητα του
κύµατος; δ) Ποιο είναι το µέγιστο µέτρο της εγκάρσιας ταχύτητας του νήµατος;
Λύση
α) Έστω u=10πt –3πx+π/4 ⇒ du/dt=10π-3π (dx/dt) και dx/dt=10/3=3.33 m/s
Άρα, η ταχύτητα είναι στη κατεύθυνση των θετικών x.
β) y(0.10,0)=(0.35 m)sin(-0.3π+π/4)=-0.0548 m=-5.48 cm
γ) k=2π/λ=3π
λ=0.667 m
ω=2πf=10π
f=5 Hz
δ) υy=dυ/dt=(0.35)(10π)cos(10πt-3πt+π/4) ⇒ υymax=(10π)(0.35)=11 m/s
20

Download Report