(t).

Σεραφείµ Καραµπογιάς
Στοιχεία ενός Συστήµατος Ηλεκτρικής Επικοινωνίας
Ο σκοπός του συστήµατος επικοινωνίας είναι να µεταδώσει πληροφορία (transmission of
information) από ένα σηµείο του χώρου, που λέγεται πηγή, σε ένα άλλο σηµείο, που είναι ο
προορισµός χρήσης.
Κατά κανόνα, το µήνυµα που παράγεται από µια πηγή δεν είναι ηλεκτρικό. Ένας µετατροπέας
είναι συνήθως αναγκαίος για να µετατρέψει την έξοδο της πηγής σε ηλεκτρικό σήµα
κατάλληλο για µετάδοση. Για παράδειγµα, για πηγή ακουστικού σήµατος χρησιµοποιείται το
µικρόφωνο για µετατροπή σε ηλεκτρικό σήµα, ενώ για πηγή εικόνας χρησιµοποιείται µια
video-camera.
Στον προορισµό χρειάζεται µια αντίστοιχη αντίστροφη µετατροπή των ηλεκτρικών σηµάτων σε
κατάλληλη µορφή, για παράδειγµα ήχο, εικόνα κ.τ.λ.
Το κανάλι επικοινωνίας είναι το φυσικό µέσο που χρησιµεύει για να στέλνεται το σήµα από
την πηγή στον προορισµό χρήσης.
Μικρόφωνο
Ακουστικό
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Φυσικό µέσο
i1 ( t )
Ενσύρµατες γραµµές (χάλκινα σύρµατα),
καλώδια οπτικών ινών, η ατµόσφαιρα (ελεύθερος χώρος)
Παρόλο που σε µερικές περιπτώσεις είναι δυνατή η απ΄ευθείας ζεύξη του µετατροπέα εισόδου
µε το κανάλι, είναι συχνά αναγκαίο να µετατραπεί το ηλεκτρικό σήµα σε µία µορφή κατάλληλη
για µετάδοση µέσα από το φυσικό κανάλι ή µέσο διάδοσης.
κεραία εκποµπής
κεραία λήψης
ΠΟΜΠΟΣ
Ηλεκτροµαγνητικό
Ηλεκτροµαγνητικό
κύµα
κύµα
Ηλεκτρικό
σήµα
Ακουστικό
σήµα
∆ΕΚΤΗΣ
Ακουστικό
σήµα
i (t )
i1 ( t )
Ηλεκτρικό
σήµα
CM
+
Ποµπός διαµορφωµένου κύµατος (αρχή)
∆έκτης µε κρυσταλλοτρίοδο (αρχή)
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων
7-2
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Πηγή πληροφορίας
και µετατροπέας
εισόδου
Ποµπός
Κανάλι
∆έκτης
Μετατροπέας
εισόδου
Σήµα
Εξόδου
Σύστηµα Επικοινωνίας
∆ιάγραµµα λειτουργικών βαθµίδων ενός συστήµατος επικοινωνίας
Ο ποµπός µετατρέπει το ηλεκτρικό σήµα σε µια µορφή κατάλληλη για µετάδοση µέσα από το
φυσικό κανάλι ή µέσο µετάδοσης, δηλαδή, ο ποµπός πραγµατοποιεί τη ζεύξη του σήµατος
µηνύµατος µε το κανάλι.
Ο δέκτης ανακτά το σήµα µηνύµατος από το λαµβανόµενο σήµα.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων
7-3
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Ενγένει ο ποµπός επιτυγχάνει την προσαρµοσµένη σύζευξη του σήµατος του µηνύµατος µε το
κανάλι µε µια διαδικασία που λέγεται διαµόρφωση (modulation).
Συνήθως, η διαµόρφωση χρησιµοποιεί το σήµα πληροφορίας για να µεταβάλλει κατά τρόπο
συστηµατικό το πλάτος, τη συχνότητα, ή τη φάση ενός ηµιτονοειδούς φέροντος.
Έτσι, µέσω της διαδικασίας της διαµόρφωσης, το σήµα πληροφορίας µεταφέρεται σε
συχνότητα κατάλληλη προκειµένου να προσαρµόζεται στη παραχωρηµένη στο κανάλι ζώνη.
Σε κάθε περίπτωση, η διαδικασία της διαµόρφωσης µας δίδει τη δυνατότητα να διευθετήσουµε
τη µετάδοση πολλών µηνυµάτων από διαφορετικούς χρήστες µέσα από το ίδιο φυσικό κανάλι
Για παράδειγµα στην ραδιοφωνία και στην τηλεοπτική εκποµπή ο ποµπός µετατρέπει το σήµα
πληροφορίας που πρόκειται να εκπέµψει στην κατάλληλη περιοχή για να µη παρεµβάλλεται µε
κάποιον άλλον.
Ανάλογες λειτουργίες εκτελούνται από τα συστήµατα τηλεφωνικών επικοινωνιών όταν
ηλεκτρικά σήµατα οµιλίας από πολλούς χρήστες µεταδίδονται ταυτόχρονα, αλλά σε
διαφορετική για το καθένα φασµατική περιοχή, µέσα από το ίδιο σύρµα.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων
7-4
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Τύποι Αναλογικής CW ∆ιαµόρφωσης
Στη διαµόρφωση συνεχούς φέροντος κύµατος (CW: Continuous Wave) µία παράµετρος (όπως
το πλάτος ή η συχνότητα ή η φάση) ενός φέροντος υψηλής συχνότητας µεταβάλλεται ανάλογα
µε το σήµα χαµηλής συχνότητας του µηνύµατος.
u ( t ) = Ac ( t ) cos [2 π f c t + φ c ( t ) ]
Ac(t) είναι το στιγµιαίο πλάτος του φέροντος fc είναι η φέρουσα συχνότητα και φc(t) είναι η
στιγµιαία απόκλιση φάσης του φέροντος
Αν το Ac(t) συνδέεται γραµµικά µε το σήµα µηνύµατος m(t), τότε έχουµε γραµµική
διαµόρφωση. Αν η φc(t) ή χρονικές παράγωγοί της συνδέονται γραµµικά µε το m(t) τότε έχουµε
διαµόρφωση φάσης ή συχνότητας (γωνιακή διαµόρφωση)
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων
7-5
Σεραφείµ Καραµπογιάς
∆ιαµόρφωση πλάτους
Στη διαµόρφωση πλάτους το σήµα µηνύµατος m(t) αποτυπώνεται στο πλάτος του φέροντος
σήµατος c(t).
x (t )
t
Ηµιτονικό σήµα µηνύµατος
x AM (t )
Περιβάλλουσα Α(t)
t
∆ιαµορφωµένο κατά πλάτος σήµα (AM)
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων
7-6
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Ηλεκτροµαγνητικό
κύµα
κεραία εκποµπής
x (t )
κεραία λήψης
x AM (t )
CM
+
Ποµπός διαµορφωµένου κύµατος (αρχή)
∆έκτης µε κρυσταλλοτρίοδο (αρχή)
x (t )
t
x AM (t )
Ηµιτονικό σήµα
µηνύµατος
Περιβάλλουσα Α(t)
t
∆ιαµορφωµένο
κατά πλάτος
σήµα (AM)
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων
7-7
Σεραφείµ Καραµπογιάς
κεραία λήψης
x (t )
t
Ηµιτονικό σήµα µηνύµατος
x AM (t )
Περιβάλλουσα Α(t)
t
∆ιαµορφωµένο κατά πλάτος σήµα (AM)
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων
7-8
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Γωνιακή διαµόρφωση
Στην διαµόρφωση φάσης (PM), η στιγµιαία απόκλιση φάσης του φέροντος είναι ανάλογη προς
το σήµα µηνύµατος
φ (t ) = k p ⋅ m (t )
όπου kp η σταθερά απόκλισης φάσης (µε µονάδα 1rad/volt)
Για τα διαµορφωµένα κατά συχνότητα σήµατα, η απόκλιση συχνότητας του φέροντος είναι
ανάλογη προς το σήµα µηνύµατος.
f i (t ) − f c = k f ⋅ m(t )
d φ ( t ) = 2π k ⋅ m ( t )
f
dt
t
ή
φ ( t ) = 2π k f ⋅ ∫ m (τ ) dτ
−∞
όπου kf η σταθερά απόκλισης συχνότητας (µε µονάδα rad/sec)
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων
7-9
Σεραφείµ Καραµπογιάς
m (t )
m (t )
t
t
Σήµα µηνύµατος
ΑΜ
FM
PM
∆ιαµορφωµένα σήµατα
Κυµατοµορφές ΑΜ, FM και PM για δύο διαφορετικές κυµατοµορφές µηνυµάτων.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-10
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων
Τα σύγχρονα συστήµατα επικοινωνίας σε πολύ µεγάλο ποσοστό διαχειρίζονται σήµατα
ψηφιακής µορφής, δηλαδή, σήµατα που δηµιουργούνται από ακολουθίες δυαδικών ψηφίων.
Τα περισσότερα σήµατα στην πράξη είναι αναλογικά. Η µετάδοση των σηµάτων αυτών σε
ψηφιακή µορφή απαιτεί τα αναλογικά αυτά σήµατα να µετατραπούν σε ψηφιακά.
Η διαδικασία της µετατροπής αναλογικών σηµάτων σε ψηφιακά ονοµάζεται αναλογική σε
ψηφιακή µετατροπή (A/D analog to digital conversion) ή κωδικοποιήσης κυµατοµορφής.
Υπάρχουν δύο βασικές τεχνικές κωδικοποιήσης κυµατοµορφής, παλµοκωδική διαµόρφωση
και η διαµόρφωση δέλτα.
Παλµοκωδική ∆ιαµόρφωση (PCM)
Η Παλµοκωδική διαµόρφωση (Pulse Code Modulation (PCM)) είναι το απλού-στερο
σχήµα κωδικοποιήσης κυµατοµορφής. Ένας παλµοκωδικός διαµορφωτής παλµών
αποτελείται από τρία βασικά µέρη: ένα δειγµατολήπτη, έναν κβαντιστή και ένα
κωδικοποιητή.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-11
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Παλµοκωδική ∆ιαµόρφωση (PCM)
Η παλµοκωδική διαµόρφωση (Pulse Code Modulation (PCM)) είναι το απλούστερο σχήµα
κωδικοποιήσης κυµατοµορφής. Ένας παλµοκωδικός διαµορφωτής παλµών αποτελείται από
τρία βασικά µέρη: ένα δειγµατολήπτη, έναν κβαντιστή και ένα κωδικοποιητή.
PC M
ΣΥΣΤΗΜΑ
∆ειγµατολήπτης
x (t )
Κβαντιστής
x (n)
Κωδικοποιητής
x (n)
111
110
0
t
0
4 5 6 7 8 9 10
1 2 3
11 12 13
n
0
011
4 5 6 7 8 9
1 2 3
10 11 12 13
n
111 111 110 011⋯
001
000
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-12
Σεραφείµ Καραµπογιάς
∆ειγµατολήπτης
Σε πολλές εφαρµογές είναι αναγκαίο να µεταδίδουµε ή να αποθηκεύουµε ένα αναλογικό σήµα
από τις τιµές των δειγµάτων του παρµένες κατά κατάλληλα χρονικά διαστήµατα.
x a (t )
∆ειγµατολήπτης
x ( n ) ≡ x a ( nT )
Το θεώρηµα της δειγµατοληψίας αναφέρει ότι ένα αναλογικό σήµα µπορεί να αναπαραχθεί
από ένα κατάλληλο σύνολο δειγµάτων του και εποµένως χρειάζεται να µεταδίδουµε µόνο τις
τιµές των δειγµάτων µόλις εµφανίζονται και όχι το ίδιο το αναλογικό σήµα.
Το ζητούµενο είναι πόσο µεγάλη ή µικρή πρέπει να είναι η περίοδος δειγµατοληψίας Τ ώστε να
µη χαθεί η πληροφορία, δηλαδή, να είναι δυνατή η ανακατασκευή του αναλογικού σήµατος
xa(t) από τα δείγµατα x(n).
Το θεώρηµα της δειγµατοληψίας προσδιορίζει ότι συχνότητα δειγµατοληψίας fs πρέπει να
είναι µεγαλύτερη ή ίση µε το εύρος-ζώνης του φάσµατος του αναλογικού σήµατος W.
fs ≥ W
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-13
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Θεωρία ∆ειγµατοληψίας
Η αρχή της δειγµατοληψίας µπορεί να παρουσιασθεί µε τη χρήση ενός δειγµατολήπτη µε
διακόπτη.
Ο διακόπτης µετάγεται περιοδικά µεταξύ δύο επαφών µ` ένα ρυθµό δειγµατοληψίας ή
συχνότητα δειγµατοληψίας
fS = 1 .
TS
s (t )
1
0τ
t
TS
Ηλεκτρονικός
διακόπτης
xa (t )
t
x a (t )
x δ (t )
xδ ( t )
τ
TS
t
∆ειγµατολήπτης µε διακόπτη
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-14
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Η έξοδος του δειγµατολήπτη µπορεί να παρασταθεί
xδ ( t ) = x a ( t ) ⋅ s ( t )
όπου s(t) είναι η συνάρτηση δειγµατοληψίας.
Έξοδος
Είσοδος
x a (t )
x δ ( t ) = x a ( t ) ⋅s ( t )
s (t )
Εξήγηση της δειγµατοληψίας µε πολλαπλασιασµό.
Ο τύπος αυτός δειγµατοληψίας λέγεται συχνά φυσική δειγµατοληψία.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-15
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Όταν η διάρκεια του παλµού τ → 0 η δειγµατοληψία ονοµάζεται ιδανική δειγµατοληψία
∞
s (t ) =
Η συνάρτηση δειγµατοληψίας έχει τη µορφή
∑ δ ( t − nT s )
n = −∞
xδ ( t ) = xα (t ) ⋅
και το δειγµατοληπτιµένο σήµα xδ(t) είναι
∞
∑ δ ( t − nT s )
n = −∞
x a (t )
t
xδ ( t )
0
TS
2TS 3TS
4TS
5TS
6TS
7TS
8TS
9TS
t
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-16
Σεραφείµ Καραµπογιάς
∆ειγµατοληψία αναλογικών σηµάτων
περιορισµένου εύρους-ζώνης
x a (t )
−T S
0
TS
2T S 3T S
4T S
5T S
6T S
7T S
8T S
t
Τώρα το σήµα xα(t) είναι ένα σήµα µε
γρήγορες µεταβολές οι οποίες οφείλονται
στην παρουσία συνιστωσών σε υψηλές
συχνότητες, δηλαδή, το εύρος-ζώνης W2
είναι µεγάλο.
x a (t )
−T S
Το σήµα xα(t) είναι ένα αργά
µεταβαλλόµενο σήµα, και το κύριο
φασµατικό περιεχόµενό του βρίσκεται
στις χαµηλές συχνότητες, δηλαδή, το
εύρος-ζώνης W1 είναι µικρό.
0
TS
2T S 3T S
4T S
5T S
6T S
7T S
8T S
t
W1 < W2
Είναι προφανές ότι η περίοδος δειγµατοληψίας για το δεύτερο σήµα πρέπει να είναι σηµαντικά
µικρότερη.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-17
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Έστω xs(n) είναι η ακολουθία η οποία προέρχεται από τη δειγµατοληψία του συνηµιτονοειδούς αναλογικού σήµατος xα(t) = A cos(ωt + θ) µε περίοδο δειγµατοληψίας Ts.
x s ( n ) = x a ( nT s ) = A cos (ω nT s + θ ) = A cos (ω T s n + θ )
Αν Ω0 είναι η ψηφιακή κυκλική συχνότητα τότε xs(n) = A cos(Ω n + θ). Συγκρίνοντας τις δύο
εκφράσεις του xs(n) έχουµε τις σχέσεις µεταξύ αναλογικών και ψηφιακών συχνοτήτων
Ω = ω ⋅ Ts
και
F =
f
fs
Παρατηρούµε ότι η συχνότητα F είναι µία κανονικοποιηµέµη ή σχετική συχνότητα.
Η αναλογική συχνότητα f έχει µονάδα µέτρησης Hz ή c/sec ενώ η διακριτή F δεν έχει
διαστάσεις. Επίσης η αναλογική κυκλική συχνότητα ω έχει µονάδα µέτρησης rad/sec ενώ η
διακριτή Ω έχει µονάδα µέτρησης rad.
Για να προσδιοριστεί η ψηφιακή συχνότητα F όταν δίνεται η αναλογική συχνότητα f πρέπει να
είναι γνωστή η συχνότητα δειγµατοληψίας fs.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-18
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Η απεικόνιση της απείρου εύρους περιοχής αναλογικών συχνοτήτων
στην πεπερασµένου εύρους περιοχή ψηφιακών συχνοτήτων
Για τα συνηµιτονοειδή σήµατα συνεχούς χρόνου η περιοχή συχνοτήτων είναι
0≤ω < ∞
και
0≤ f <∞
Για τα συνηµιτονοειδή σήµατα διακριτού χρόνου η περιοχή συχνοτήτων είναι
−π ≤ Ω < π
και
−
1
1
≤F <
2
2
Παρατηρούµε ότι η συχνότητα του συνηµιτονοειδούς σήµατος το οποίο δειγµατοληπτούµε
πρέπει να βρίσκεται στην περιοχή
π
π
− = −π f s ≤ ω < π f s =
Ts
Ts
και
fs
fs
1
1
−
=−
≤ f <
=
2T s
2
2
2T s
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-19
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Η περιοδική δειγµατοληψία ενός αναλογικού σήµατος συνεχούς χρόνου οδηγεί στην
απεικόνιση της απείρου εύρους περιοχής των αναλογικών συχνοτήτων στην πεπερασµένη
εύρους περιοχή ψηφιακών συχνοτήτων.
Η µέγιστη αναλογική συχνότητα που µπορεί να δειγµατοληπτηθεί µε συχνότητα
δειγµατοληψίας fs είναι
ωmax < π
Ts
και
f max <
fs
2
Θεώρηµα δειγµατοληψίας ή Θεώρηµα του Shannon
Η συχνότητα fs µε την οποία λαµβάνονται τα δείγµατα ενός αναλογικού σήµατος, πρέπει να
είναι τουλάχιστον διπλάσια από τη υψηλότερη αναλογική συχνότητα fmax που περιέχεται στο
σήµα, δηλαδή,
f s ≥ 2 ⋅ f max
Για να µη χαθεί πληροφορία θα πρέπει να παίρνουµε τουλάχιστον δύο δείγµατα ανά περίοδο
της µεγαλύτερης συχνότητας του αναλογικού σήµατος.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-20
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Ο συνεχούς χρόνου µετασχηµατισµός Fourier (CTFT), Xα( f ), ή το φάσµα ενός αναλογικού
σήµατος xα(t) είναι
Xa ( f )=
+∞
− j 2π f t
x
(
t
)
e
dt
∫ a
−∞
όπου f είναι η αναλογική συχνότητα σε Hz.
Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier είναι
x a (t ) =
+∞
∫Xa(f
) e j 2π f t df
−∞
Το αναλογικό σήµα είναι σήµα µε περιορισµένο εύρος-ζώνης χαµηλών συχνοτήτων, δηλαδή,
X( f ) = 0 για | f | ≥ W.
Το σήµα xα(t) δειγµατοληπτείται σε πολλαπλάσια ενός βασικού διαστήµατος δειγµατοληψίας
Ts, όπου Ts ≤ 1 / 2W, και λαµβάνεται η ακολουθία
{x ( nTs )}∞n=−∞
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-21
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Ο µετασχηµατισµός Fourier Xδ( f ), του δειγµατοληπτηµένου σήµατος είναι
XS ( f ) = Xa( f )
∗ T1
s
∞
∑δ ( f − )
n=−∞
n
Ts
= T1
s
∞
∑ X a ( f − Tn )
n=−∞
s
παρατηρούµε ότι ο µετασχηµατισµός Fourier του δειγµατοληπτηµένου σήµατος είναι ένα
άθροισµα αντιγράφων του µετασχηµατισµού Fourier του αρχικού σήµατος µετατοπισµένων
κατά πολλαπλάσια του 1 / Ts.
Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου Xs(Ω) του δειγµατοληπτηµένου xs(n) σήµατος
διακριτού χρόνου είναι ένα άθροισµα αντιγράφων του µετασχηµατισµού Fourier Xa(ω) του
αρχικού αναλογικού σήµατος xa(t) µετατοπισµένων κατά 1/Ts και πολλαπλασιασµένων επίσης
µε 1/Ts, δηλαδή,
∞
1
Ω
2π 
X S (Ω ) =
Xa + k

∑
TS k =−∞  TS
TS 
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-22
Σεραφείµ Καραµπογιάς
∆ειγµατοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σηµάτων
στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο συχνοτήτων
∞
1
2π 
Ω
X S ( Ω) =
Xa + k

∑
TS k =−∞  TS
TS 
∞
∞
1
2π 

X S (ωTS ) =
X a ω + k

∑
TS k =−∞ 
TS 
1
n 

XS ( f )=
Xa f + 
∑
TS n=−∞ 
TS 
X a (ω )
1
x a (t )
ω0
t
2
1
Ts
s
1
Ts
ω0
0
ω
ω0
2
2 Ts
Το περιορισµένου εύρους φάσµα
του αναλογικού σήµατος
Το αναλογικό σήµα xa(t).
Xa ω
T
0
ω0
ω
2 Ts
Ο όρος του φάσµατος του
δειγµατοληπτηµένου σήµατος για k = 0
X s (Ω )
x s (n )
1
Ts
0
Ts <
2π
ω max
Το διακριτό σήµα xs(n).
n
2π
−π
ω0
2 Ts
0
ω0
2 Ts
π
2π
2π
ω
Το φάσµας του δειγµατοληπτηµένου σήµατος για fs > 2 fmax
Το φάσµα του αναλογικού σήµατος διατηρείται στο φάσµα του δειγµατοληπτηµένου σήµατος
εποµένως είναι δυνατή η ακριβής ανακατασκευή του αρχικού αναλογικού σήµατος από τα
δείγµατά του.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-23
Σεραφείµ Καραµπογιάς
∆ειγµατοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σηµάτων
στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο συχνοτήτων
xa (t )
1
Ts
X a (ω )
1
ω0
t
2
Το αναλογικό σήµα xa(t).
Xa ω
T
s
1
Ts
ω0
0
ω
ω0
2 Ts
2
Το περιορισµένου εύρους φάσµα
του αναλογικού σήµατος
0
ω0
2 Ts
ω
Ο όρος του φάσµατος του
δειγµατοληπτηµένου σήµατος για k = 0
X s (Ω )
xs (n)
1
Ts
0
Ts < ω2 π
max
Το διακριτό σήµα xs(n).
n
− 4π
− 2π
ω0
−π
2 Ts
0
π 2π
ω0
4π
6π
ω
2 Ts
Το φάσµα του δειγµατοληπτηµένου σήµατος για fs < 2 fmax
Έχουµε το φαινόµενο της φασµατικής επικάλυψης ή του χαµηλού ρυθµού δειγµατοληψίας
Το φάσµα του αναλογικού σήµατος δε διατηρείται στο φάσµα του δειγµατοληπτηµένου
σήµατος εποµένως δεν είναι δυνατή η ακριβής ανακατασκευή του αρχικού αναλογικού
σήµατος από τα δείγµατά του.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-24
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Με τη βοήθεια ενός ιδανικού χαµηλοπερατού φίλτρου µε απόκριση συχνότητας
H ( f ) = TS Π
( ) όπου
f
2W
'
H(f
W ≤ W′ <
1
TS
−W
)
TS
− T1 +W −W ' −W
S
0
W W
'
1
TS
−W
f
είναι δυνατή η ανάκτηση του αρχικού σήµατος. Πράγµατι,
X ( f )= Xδ
( f )⋅ TS Π (2W
x (t ) =
f
'
)
F-1
(
x ( t ) = x δ ( t ) ∗ T S 2W ' sinc 2W ' t
)
∞
∑ x α ( nT s )δ ( t − nT s ) ∗ 2W 'T S sinc (2W ' t )
n = −∞
∞
x (t ) =
(
'
'
2
W
T
x
(
nT
)
sinc
2
W
( t − nT S )
∑
S α
s
)
n = −∞
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-25
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Αν η δειγµατοληψία γίνει στη συχνότητα Nyquist, τότε ένα ιδανικό χαµηλοπερατό φίλτρο
αποτελεί τη µοναδική επιλογή.
x (t ) =
∞
∑ 2W 'T S x α ( nT s ) sinc (2W ' ( t − nT S ) )
n = −∞
W ' = W = 2 T1
=
S
∑ x α ( nT s ) sinc (Tt
∞
n = −∞
S
− n)
)
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-26
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Γραφική ερµηνεία της ανακατασκευής του
αναλογικού σήµατος από τα δείγµατά του
x (t ) =
∑ x a ( nT S ) sinc (Tt
∞
TS
2TS
(
t
TS
∑ x a ( 2nW )sinc (2W (t − 2nW ))
−n =
S
n = −∞
x (t ) = x a (T S )sinc
)
∞
n = −∞
)
−1 + x a ( 2 T S )sinc
3T S
4TS
5T S
(
t
TS
6TS
)
− 2 + x a ( 3 T S )sinc
7TS
8T S
(
t
TS
−3
) +…
9TS
Παρατηρούµε ότι για t ακέραιο πολλαπλάσιο του nTs, n = 0, ±1, ±2, … µόνο µία sinc
συνεισφέρει µε πλάτος xa(nTs), ενώ για t ≠ nTs σεινεισφέρουν όλες.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-27
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Παράδειγµα
Το αναλογικό σήµα x(t) = cos(4π t) δειγµατοληπτείται µε περίοδο δειγµατοληψίας Ts = 0,2 sec.
x (t )
X (ω )
π δ (ω + 4π )
π δ (ω − 4π )
•••
− ω0
0
ω0 = 4π
•••
ω
0
Ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος x(t) = cos (ω0 t).
T0
2T0
Το σήµα x(t) = cos (ω0 t).
x (t )
XX(Ω
((ωω)))
X
•••
−ω s −ω0
−ω s
− ω0
0
t
3T0
ω0
ωs
2
ω s =10π
ω s +ω0
= 5π
Ο µετασχηµατισµός Fourier του δειγµατοληπτηµένου σήµατος.
ω
•••
0
T0
2T0
3T0
t
Το δειγµατοληπτηµένο σήµα.
Παρατηρούµε ότι η ωs είναι
2
µεγαλύτερη από την ω0
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-28
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Παράδειγµα
Το αναλογικό σήµα x(t) = cos(4π t) δειγµατοληπτείται µε περίοδο δειγµατοληψίας Ts = 1/3 sec.
x (t )
X (ω )
π δ (ω + 4π )
π δ (ω − 4π )
•••
− ω0
ω0 = 4π
0
•••
ω
0
Ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος x(t) = cos (ω0 t).
T0
2T0
Το σήµα x(t) = cos (ω0 t).
x(t ) = A cos(2π f t )
x (t )
XXX′ (Ω
(ω
(ω))
•••
−ω s −ω0
−ω s
− ω0
0
ωs
2
ω0 ω s =6π
ω s +ω0
t
3T0
ω
•••
0
T0
2T0
3T0
t
= 3π
Ο µετασχηµατισµός Fourier του δειγµατοληπτηµένου σήµατος.
Παρατηρούµε ότι η ωs είναι
2
µικρότερη από την ω0
Το δειγµατοληπτηµένο σήµα.
x′(t ) = A cos[2π ( Fs − f )t ]
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-29
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Συστήµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών
Η έξοδος µιας αναλογικής πηγής µπορεί να µετατραπεί σε ψηφιακή µορφή και το µήνυµα να µεταδοθεί µε
ψηφιακή διαµόρφωση και να αποδιαµορφωθεί ως ψηφιακό σήµα στο δέκτη
Πλεονεκτήµατα µετάδοσης αναλογικού σήµατος µε ψηφιακή διαµόρφωση
Ο πιο σηµαντικός λόγος είναι ότι η πιστότητας του σήµατος ελέγχεται καλύτερα µέσω ψηφιακής
µετάδοσης παρά µε αναλογική µετάδοση. Ειδικότερα, η ψηφιακή µετάδοση µας επιτρέπει την αναγέννηση
του ψηφιακού σήµατος µετά από µεγάλες αποστάσεις µετάδοσης εξαλείφοντας πρακτικά σε κάθε σηµείο
αναγέννησης τις επιδράσεις του θορύβου. Αντίθετα, ο θόρυβος που προστίθεται στην αναλογική µετάδοση
ενισχύεται µαζί µε το σήµα όταν χρησιµοποιούµε περιοδικά ενισχυτές για την ανύψωση της στάθµης του
σήµατος κατά τη µετάδοση σε µεγάλες αποστάσεις.
Ένας άλλος λόγος για να προτιµάµε την ψηφιακή µετάδοση αντί της αναλογικής είναι ότι το
αναλογικό σήµα µηνύµατος µπορεί να περιέχει ένα υψηλό “πλεονασµό”. Με τη ψηφιακή επεξεργασία ο
πλεονασµός θα µπορούσε να αποµακρυνθεί πριν τη διαµόρφωση, µετριάζοντας έτσι το απαιτούµενο εύροςζώνης του καναλιού.
Ένας τρίτος πρόσθετος λόγος είναι ότι η κατασκευή των ψηφιακών συστηµάτων κοστίζει συχνά
λιγότερο.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-30
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Βασικά στοιχεία ενός συστήµατος ψηφιακής επικοινωνίας
Πηγή πληροφορίας
και µετατροπέας
εισόδου
Κωδικοποιητής
πηγής
Π Ο Μ Π Ο Σ
Κανάλι
Σήµα
Εξόδου
Μετατροπέας
εξόδου
∆ Ε Κ Τ Η Σ
Σε ένα ψηφιακό σύστηµα επικοινωνίας τα µηνύµατα που
παράγονται από την πηγή, σύµβολα ή επιτρεπόµενες
στάθµες, µετατρέπονται συνήθως σε µια ακολουθία
δυαδικών ψηφίων. Η διαδικασία της αποδοτικής
µετατροπής της εξόδου µίας αναλογικής ή ψηφιακής
πηγής, σε ακολουθία δυαδικών ψηφίων καλείται
κωδικοποίηση πηγής ή συµπίεση δεδοµένων.
Στον κώδικα Morse τα γράµµατα του αγγλικού
αλφαβήτου τα αναπαράστησε µε µία ακολουθία από
τελείες και παύλες (δηλαδή από κωδικές λέξεις).
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
⋅−
− ⋅⋅⋅
−⋅−⋅
− ⋅⋅
⋅
⋅⋅ − ⋅
− −⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
⋅− − −
−⋅−
⋅ − ⋅⋅
−−
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
−⋅
−−−
⋅− −⋅
− −⋅−
⋅−⋅
⋅⋅⋅
−
⋅⋅ −
⋅⋅⋅ −
⋅− −
− ⋅⋅ −
−⋅− −
− − ⋅⋅
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
⋅− − − −
⋅⋅ − − −
⋅⋅⋅ − −
⋅⋅⋅⋅ −
⋅⋅⋅⋅⋅
− ⋅⋅⋅⋅
− − ⋅⋅⋅
− − − ⋅⋅
− − − −⋅
−−−−−
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-31
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Βασικά στοιχεία ενός συστήµατος ψηφιακής επικοινωνίας
Πηγή πληροφορίας
και µετατροπέας
εισόδου
Κωδικοποιητής
πηγής
Κωδικοποιητής
καναλιού
Π Ο Μ Π Ο Σ
Κανάλι
Σήµα
Εξόδου
Μετατροπέας
εξόδου
∆ Ε Κ Τ Η Σ
Ο ρόλος του κωδικοποιητή καναλιού είναι να εισάγει, κατά έναν ελεγχόµενο τρόπο, κάποιο πλεονασµό
στη δυαδική ακολουθία πληροφορίας ο οποίος να µπορεί να χρησιµοποιηθεί στο δέκτη για να κατανικήσει
τις επιδράσεις του θορύβου. Έτσι αυξάνεται η αξιοπιστία των λαµβανοµένων δεδοµένων.
Ένας (τετριµµένος) τρόπος κωδικοποίησης µίας δυαδικής ακολουθίας πληροφορίας είναι απλώς η
επανάληψη κάθε δυαδικού ψηφίου m φορές, όπου m θετικός ακέραιος
1
0
1 1
Κωδικοποιητής
καναλιού
111 000 111 111
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-32
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Βασικά στοιχεία ενός συστήµατος ψηφιακής επικοινωνίας
Πηγή πληροφορίας
και µετατροπέας
εισόδου
Κωδικοποιητής
πηγής
Κωδικοποιητής
καναλιού
Π Ο Μ Π Ο Σ
Κανάλι
Σήµα
Εξόδου
Μετατροπέας
εξόδου
∆ Ε Κ Τ Η Σ
Ο ρόλος του κωδικοποιητή καναλιού είναι να εισάγει, κατά έναν ελεγχόµενο τρόπο, κάποιο πλεονασµό
στη δυαδική ακολουθία πληροφορίας ο οποίος να µπορεί να χρησιµοποιηθεί στο δέκτη για να κατανικήσει
τις επιδράσεις του θορύβου. Έτσι αυξάνεται η αξιοπιστία των λαµβανοµένων δεδοµένων.
Ένας πιο σύνθετος κωδικοποιητής λαµβάνει k bits πληροφορίας κάθε φορά και απεικονίζει κάθε ακολουθία
των k-bits σε µία ενιαία ακολουθία n-bits (n > k), καλούµενη κωδική λέξη.
Μπλοκ από k bits
1
2
3
⋯
k bits πληροφορίας
Κωδικές λέξεις των n bits
k
Κωδικοποιητής
καναλιού
1
2
3
⋯
k bits πληροφορίας
k k +1
⋯
n
n-k bits ελέγχου
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-33
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Βασικά στοιχεία ενός συστήµατος ψηφιακής επικοινωνίας
Πηγή πληροφορίας
και µετατροπέας
εισόδου
Κωδικοποιητής
πηγής
Κωδικοποιητής
καναλιού
Αναλογικό
σήµα
Ψηφιακός
διαµορφωτής
Π Ο Μ Π Ο Σ
∆υαδική
ακολουθία
Σήµα
Εξόδου
Κανάλι
Μετατροπέας
εξόδου
∆ Ε Κ Τ Η Σ
g T (t)
Επειδή
σχεδόν
όλα
τα
κανάλια
επικοινωνίας που συναντάµε στην πράξη
είναι ικανά να µεταδίδουν ηλεκτρικά
σήµατα (κυµατοµορφές), ο πρωταρχικός
ρόλος του ψηφιακού διαµορφωτή είναι να
απεικονίζει τις δυαδικές ακολουθίες σε
κυµατο-µορφές σήµατος. Ο ψηφιακός διαµορφωτής απεικονίζει το δυαδικό ψηφίο
0 στην κυµατοµορφή s0(t) και το δυαδικό
ψηφίο 1 στην κυµατοµορφή s1(t).
A
1
Ψηφιακός
διαµορφωτής
0
Tb
t
Tb
t
− g T (t )
0
Ψηφιακός
διαµορφωτής
0
−A
u (t )
A
110
Ψηφιακός
διαµορφωτής
0
Tb
2Tb
3Tb t
−A
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-34
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Βασικά στοιχεία ενός συστήµατος ψηφιακής επικοινωνίας
Πηγή πληροφορίας
και µετατροπέας
εισόδου
Κωδικοποιητής
καναλιού
Κωδικοποιητής
πηγής
Ψηφιακός
διαµορφωτής
u (t )
Π Ο Μ Π Ο Σ
Κανάλι
Σήµα
Εξόδου
r (t )
Μετατροπέας
εξόδου
∆ Ε Κ Τ Η Σ
Οποιοδήποτε και αν είναι το φυσικό µέσο για τη µετάδοση του σήµατος, το κύριο χαρακτηριστικό είναι ότι
το µεταδιδόµενο σήµα αλλοιώνεται κατά τυχαίο τρόπο από µία ποικιλία πιθανών µηχανισµών. Η πιο
συνήθης µορφή υποβάθµισης του σήµατος προέρχεται από έναν προσθετικό θόρυβο ο οποίος συχνά
καλείται θερµικός θόρυβος.
u (t )
r (t )
1
1
0
−1
Tb
2Tb
3Tb
t
Κανάλι
0
Tb
2 Tb
3Tb
t
−1
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-35
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Βασικά στοιχεία ενός συστήµατος ψηφιακής επικοινωνίας
Πηγή πληροφορίας
και µετατροπέας
εισόδου
Κωδικοποιητής
πηγής
Κωδικοποιητής
καναλιού
Ψηφιακός
διαµορφωτής
u (t )
Π Ο Μ Π Ο Σ
Κανάλι
Σήµα
Εξόδου
Μετατροπέας
εξόδου
Ψηφιακός
αποδιαµορφωτής
r (t )
∆ Ε Κ Τ Η Σ
Στο άλλο άκρο της λήψης ενός ψηφιακού συστήµατος επικοινωνίας, ο ψηφιακός αποδιαµορφωτής
επεξεργάζεται τις αλλοιωµένες από το κανάλι διαβιβασµένες κυµατοµορφές και εκτιµά το διαβιβασµένο
δυαδικό ψηφίο.
r (t )
1
0
Tb
2Tb
3Tb
t
Ψηφιακός
αποδιαµορφωτής
11 0
−1
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-36
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Βασικά στοιχεία ενός συστήµατος ψηφιακής επικοινωνίας
Πηγή πληροφορίας
και µετατροπέας
εισόδου
Κωδικοποιητής
πηγής
Κωδικοποιητής
καναλιού
Π Ο Μ Π Ο Σ
110
Σήµα
Εξόδου
Ψηφιακός
διαµορφωτής
Μετατροπέας
εξόδου
111 111 000
Αποκωδικοποιητής
καναλιού
∆ Ε Κ Τ Η Σ
110
Κανάλι
Ψηφιακός
αποδιαµορφωτής
111 111 000
Ο προστιθέµενος πλεονασµός στην ακολουθία πληροφορίας χρησιµοποιείται από τον αποκωδικοποιητή
καναλιού στην αποκωδικοποίηση της επιθυµητής ακολουθίας πληροφορίας.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-37
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Βασικά στοιχεία ενός συστήµατος ψηφιακής επικοινωνίας
Πηγή πληροφορίας
και µετατροπέας
εισόδου
Κωδικοποιητής
πηγής
Κωδικοποιητής
καναλιού
Ψηφιακός
διαµορφωτής
Π Ο Μ Π Ο Σ
110
Σήµα
Εξόδου
Μετατροπέας
εξόδου
111 111 000
Αποκωδικοποιητής
καναλιού
∆ Ε Κ Τ Η Σ
Αποκωδικοποιητής
πηγής
110
Κανάλι
Ψηφιακός
αποδιαµορφωτής
111 101 000
Σφάλµα στη µετάδοση
Ο προστιθέµενος πλεονασµός στην ακολουθία πληροφορίας χρησιµοποιείται από τον αποκωδικοποιητή
καναλιού στην αποκωδικοποίηση της επιθυµητής ακολουθίας πληροφορίας. Έτσι, ο προστιθέµενος
πλεονασµός χρησιµεύει στο να αυξήσει την αξιοπιστία των λαµβανόµενων δεδοµένων και να βελτιώνει
την πιστότητα του λαµβανόµενου σήµατος.
Ο αποκωδικοποιητής της πηγής δέχεται την ακολουθία εξόδου του αποκωδικοποιητή καναλιού και
γνωρίζοντας την µέθοδο που χρησιµοποιείται για την κωδικοποίηση της πηγής προσπαθεί να
ανακατασκευάσει όσο γίνεται πιστότερα το αρχικό αναλογικό σήµα της πηγής.
Τα συστήµατα ψηφιακής επικοινωνίας µπορούν να µεταδώσουν δεδοµένα µε διαφορετικούς ρυθµούς
µετάδοσης (transmission rate). Ο ρυθµός µετάδοσης µιας ζεύξης µετρείται σε bits/sec.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-38
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Πηγή πληροφορίας
και µετατροπέας
εισόδου
Ποµπός
Κανάλι
∆έκτης
Μετατροπέας
εισόδου
Σήµα
Εξόδου
Σύστηµα Επικοινωνίας
Τα περισσότερα συστήµατα επικοινωνίας, όπως το διαδίκτυο και τα συστήµατα κινητής
τηλεφωνίας, περιλαµβάνουν µεγάλο αριθµό ποµπών και δεκτών, οι οποίοι πρέπει να
χρησιµοποιούν από κοινού το ίδιο φυσικό µέσο. Τα επίπεδα δικτύου και ελέγχου (network and
control layers) εξασφαλίζουν την αξιόπιστη και αποτελεσµατική χρησιµοποίηση του ίδιου
φυσικού µέσου από πολλά τερµατικά.
Πηγή πληροφορίας
και µετατροπέας
εισόδου
Επίπεδα
δικτύου και
ελέγχου
Ποµπός
Κανάλι
Σήµα
Εξόδου
Μετατροπέας
εξόδου
Επίπεδα
δικτύου και
ελέγχου
∆έκτης
Σύστηµα Επικοινωνίας
∆ιάγραµµα λειτουργικών βαθµίδων ενός συστήµατος επικοινωνίας
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-39
Σεραφείµ Καραµπογιάς
∆ιαδικασία Ορθογωνιοποίησης Gram-Schmidt
Για ένα σύνολο Μ κυµατοµορφών σήµατος sm(t), 1 ≤ m ≤ M κατασκευάζεται µια
ορθοκανονική βάση. Η πρώτη κυµατοµορφή κατασκευάζεται ως
ψ1(t) =
s1(t)
E1
το ψ1(t) είναι το s1(t) κανονικοποιηµένο σε µοναδιαία ενέργεια.
Η προβολή του s2(t) στο ψ1(t) είναι c21 ψ1(t) όπου c21 =
∞
∫− ∞ s2(t)ψ1(t) dt
Το ορθογώνιο σήµα στο ψ1(t) σήµα είναι d 2(t) = s2(t) − c21ψ 1(t) µε ενέργεια E2 =
∞
∫− ∞
d22(t) dt
Έτσι η δεύτερη κανονικοποιηµένη ως προς την ενέργεια κυµατοµορφή που είναι ορθογώνια
στην ψ1(t) είναι η
ψ 2(t) =
d 2(t)
E2
Η διαδικασία ορθογωνοποίησης συνεχίζεται έως ότου εξαντληθούν όλες οι Μ κυµατο-µορφές
σήµατος και κατασκευαστούν Ν ≤ Μ ορθοκανονικές κυµατοµορφές οι οποίες σχηµατίζουν µια
βάση στο Ν-διάστατο χώρο σηµάτων.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-40
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Από τη στιγµή που έχουµε κατασκευάσει το σύνολο των Ν ορθογώνιων κυµατοµορφών
{ψn(t)}, µπορούµε να εκφράσουµε τα Μ σήµατα {sm(t)} ως γραµµικούς συνδυασµούς των
{ψn(t)}.
N
sm(t) = ∑ smn ψ n(t), m = 1, 2, … , M
n =1
όπου
smn =
και
Em =
∫
∞
s m2
−∞
∞
∫− ∞ sm(t)ψ n(t) dt
N
2
( t ) dt = ∑ s mn
, m = 1, 2 , … , M
n =1
Κάθε κυµατοµορφή µπορεί να αναπαρασταθεί από ένα διάνυσµα
sm = (sm1, sm2, … smN ),
m = 1, 2, … , M
ή ισοδύναµα, ως ένα σηµείο στο Ν-διάστατο χώρο σηµάτων, ο οποίος καλύπτεται από τις Ν
ορθοκανονικές κυµατοµορφές {ψn(t)}, µε συντεταγµένες {smi, i=1, 2, …, N}
Η ενέργεια της m-στης κυµατοµορφής σήµατος είναι απλά το τετράγωνο του µήκους του
διανύσµατος ή, ισοδύναµα, το τετράγωνο της Ευκλείδειας απόστασης από την αρχή των
αξόνων στο σηµείο του Ν-διάστατου χώρου.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-41
Σεραφείµ Καραµπογιάς
∆ιαµόρφωση παλµών κατά πλάτος (Pulse Amplitude Modulation – (PAM))
Η πληροφορία µεταφέρεται από το πλάτος του µεταδιδόµενου σήµατος
Σήµατα βασικής ζώνης
Στο δυαδικό PAM, το bit πληροφορίας 1 αντιπροσωπεύεται από ένα παλµό πλάτους Α και το
bit πληροφορίας 0 αντιπροσωπεύεται από το παλµό –Α.
s 1(t)
s 2(t)
A
Tb
0
Tb
t
0
−A
t
Σήµατα δυαδικού PAM.
Ο τύπος αυτός της σηµατοδοσίας καλείται επίσης και δυαδική αντίποδη σηµατο-δοσία.
Οι παλµοί εκπέµπονται µε ρυθµό R b = 1/ Tb bits/sec όπου Tb καλείται διάρκεια του bit.
Το σχήµα του παλµού καθορίζει τα φασµατικά χαρακτηριστικά του εκπεµπόµενου σήµατος.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-42
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Στο Μ-αδικό PAM αντί να εκπέµπεται ένα bit τη φορά, η δυαδική ακολουθία πληροφορίας
χωρίζεται σε µπλοκ των k bits, τα οποία καλούνται σύµβολα, και κάθε µπλοκ, ή σύµβολο,
αντιπροσωπεύεται από µία εκ των M = 2k τιµών παλµούς παλµού.
s 2(t)
s 1(t)
3A
0
T
t
s 3(t)
0
−A
A
0
t
T
s 4(t)
T
t
0
T
t
− 3A
M=4 κυµατοµορφές σήµατος PAM.
Σηµειώστε ότι όταν ο ρυθµός των bits, Rb, είναι σταθερός, η διάρκεια συµβόλου είναι
T =
T
0
Tb
2 Tb
k Tb
k
= k Tb
Rb
Σχέση µεταξύ διάρκειας συµβόλου και
διάρκειας bit.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-43
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Οι M-αδικές κυµατοµορφές σήµατος PAM µπορούν να εκφραστούν ως
s m(t) = A m g T (t),
m = 1, 2, … , M ,
0≤t ≤T
g T (t)
1
0
T
t
Παλµός σήµατος για PAM.
Παρατηρούµε ότι το χαρακτηριστικό που διαφοροποιεί τα Μ σήµατα είναι το πλάτος του
παλµού και ότι όλα τα Μ σήµατα έχουν το ίδιο σχήµα παλµού.
Τα σήµατα έχουν διαφορετικές ενέργειες, πράγµατι,
Em =
T
∫0
s m2 (t) dt
=
A m2
T
2
2
g
(
t
)
dt
=
A
m E g , m = 1, 2, … , M
∫ T
0
όπου Eg είναι η ενέργεια του παλµού gT (t).
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-44
Σεραφείµ Καραµπογιάς
∆ιαµόρφωσης Παλµών κατά Πλάτος (Pulse Amplitude Modulation (PAM))
g T (t)
1
1
Ψηφιακός
διαµορφωτής
0
Tb
t
Tb
t
− g T (t )
0
Ψηφιακός
διαµορφωτής
0
−1
u (t )
1
1 10
Ψηφιακός
διαµορφωτής
0
Tb
2 Tb
3T b t
−1
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-45
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Ζωνοπερατά Σήµατα.
Για να µεταδώσουµε τις κυµατοµορφές σήµατος µέσα από ένα ζωνοπερατό κανάλι είναι δυνατό
να χρησιµοποιηθεί διαµόρφωση κατά πλάτος. Πράγµατι
u m(t) = A m g T (t) cos (2π fc t), m = 1, 2, … , M
Σήµα βασικής ζώνης
Ζωνοπερατό σήµα
sm(t) cos (2π fc t )
sm(t)
Φέρον
cos (2π fc t )
∆ιαµόρφωση κατά πλάτος ενός ηµιτονοειδούς φέροντος από σήµα βασικής-ζώνης.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-46
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Περιγραφή στο χρονικό πεδίο
∞
s (t ) = ∑ n = −∞ a n g T (t − nT ) όπου
s (t )
g T (t − T )
g T (t )
b1 = 1
 a n = 1 όταν bn = 1

 a n = − 1 όταν bn = 0
b2 = 1
0
T
2T
b2 = 0
3T
t
− g T (t − 2T )
∆ιαµόρφωση παλµών κατά πλάτος - Το σήµα βασικής ζώνης
u (t )
0
u (t ) = s (t ) cos( 2π f c t )
c (t ) = cos( 2π f c t )
s (t )
T
Αλλαγή φάσης
3T
2T
t
∆ιαµόρφωση παλµών κατά πλάτος - Το ζωνοπερατό σήµα
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-47
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Περιγραφή στο πεδίο συχνότητας
Η διαµόρφωση κατά πλάτος του φέροντος από τις κυµατοµορφές βασικής ζώνης ολισθαίνει το
φάσµα του σήµατος βασικής ζώνης κατά fc
Am
[GT ( f − fc) + GT ( f + fc)]
U m( f ) =
2
GT ( f )
1
−W
0
(a)
f
W
U m( f )
2W
− fc −W
− fc
2W
1
2
− fc +W
0
fc −W
fc
fc +W
f
(β)
Φάσµατα σηµάτων (α) βασικής ζώνης και (β) διαµόρφωµένου κατά πλάτος.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-48
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Το διαµορφωµένο κατά πλάτος DSB-SC σήµα καταλαµβάνει ένα εύρος-ζώνης καναλιού ίσο µε
2W, το οποίο είναι διπλάσιο του εύρους ζώνης που απαιτείται για τη µετάδοση του σήµατος
βασικής-ζώνης.
Η ενέργεια των ζωνοπερατών κυµατοµορφών σήµατος um(t), m=1, 2, …, M είναι
∞
Es =
∞
∫
u m2 (t ) dt
−∞
A m2
=
2
A m2
=
2
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
=
2
2
2
(2 π f c t ) dt
A
g
(
t
)
cos
m
T
∫
g T2 (t ) cos( 4π f c t )
g T2 (t )
−∞
2
A
m
g T2 (t ) dt +
2
∞
∫
g T2 (t ) cos (4 π f c t ) dt
−∞
2
A
m
g T2 (t ) dt =
E
2 g
0
cos( 4π f c t )
1
2 fc
t
Όπου Εs δηλώνει την ενέργεια ανά σήµα ή ανά σύµβολο.
Η ενέργεια του ζωνοπερατού σήµατος είναι το µισό της ενέργειας του σήµατος βασικής ζώνης.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-49
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Όταν το σήµα του παλµού gT(t) είναι ορθογώνιο, δηλαδή,
 Eg , 0 ≤ t ≤ T
g T (t) =  T
 0,
αλλιώς
Το διαµορφωµένο κατά πλάτος σήµα συνήθως καλείται µεταλλαγή ολίσθησης (µετατόπισης)
πλάτους (Amplitude-Shift Keying (ASK)).
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-50
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Γεωµετρική Αναπαράσταση Σηµάτων PAM
Οι M-αδικές κυµατοµορφές σήµατος PAM µπορούν να εκφραστούν ως
s m(t) = A m g T (t),
m = 1, 2, … , M = 2k ,
0≤t ≤T
Οι κυµατοµορφές M-αδικού PAM είναι µονοδιάστατα σήµατα, τα οποία µπορούν να
εκφραστούν ως
s m(t) = s m ψ (t),
m = 1, 2, … , M = 2k
Όπου η συνάρτηση βάσης ψ(t) ορίζεται ως
ψ (t) =
1
g (t),
Eg T
0≤t ≤T
Eg είναι η ενέργεια του παλµού σήµατος gT(t) και οι συντελεστές σήµατος (µονοδιάστατα
διανύσµατα) είναι απλά
s m = Eg Am,
m = 1, 2, … , M = 2k
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-51
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Μία σηµαντική παράµετρος είναι η Ευκλείδεια απόσταση µεταξύ δύο σηµάτων σήµατος
dmn = | sm − sn |2 =
d
d
Eg (Am − An)
2
d
d
d
0
Σηµεία σήµατος (αστερισµός) για συµµετρικό PAM
Έχουµε υποθέσει ότι τα πλάτη των σηµάτων είναι συµµετρικά ως προς την αρχή των αξόνων
και ισαπέχοντα, δηλαδή,
Am = (2 m − 1 − M ), m = 1, 2, … , M
Παρατηρούµε ότι τα σήµατα PAM έχουν διαφορετικές ενέργειες.
Em = sm2 = Eg Am2 , m = 1, 2, … , M
Για ισοπίθανα σήµατα, η µέση ενέργεια είναι
Eaυ
1
=
M
M
Eg
∑ Em = M
m =1
M
∑
m =1
Am2
Am = (2m −1− M )
=
Eg
M
M
∑ (2m − 1 −
m =1
M )2m
M 2 −1
= Eg
3
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-52
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Όταν τα PAM σήµατα βασικής ζώνης διαµορφώνουν ένα φέρον οι ζωνοπερατές κυµατοµορφές
σήµατος um(t) µπορούν να εκφραστούν ως
u m(t) = s m ψ (t),
m = 1, 2, … , M = 2k
Όπου η κυµατοµορφή ψ(t) ορίζεται ως
ψ (t) =
2
g (t) cos( 2 π fc t)
Eg T
και
sm =
Eg
A , m = 1, 2, … , M
2 m
Η µόνη αλλαγή στη γεωµετρική αναπαράσταση των ζωνοπερατών PAM σηµάτων, συγκριτικά
µ' αυτή των σηµάτων βασικής ζώνης, είναι ο παράγοντας √2 ο οποίος εµφανίζεται στις
εξισώσεις
ψ (t ) =
1
g (t )
Eg T
sm =
E g Am , m = 1, 2, … , M
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-53
Σεραφείµ Καραµπογιάς
∆ισδιάστατες Κυµατοµορφές Σήµατος
∆ύο κυµατοµορφές σήµατος s1(t) και s2(t) είναι ορθογώνιες στο διάστηµα (0,T) όταν
T
∫0 s1(t) s 2(t) dt = 0
s1′(t)
2A
s 1(t)
A
0
T
t
A
−A
T
2
T
t
T
2
T
t
s2′ (t)
2A
s 2(t)
0
0
T
T
2
t
0
∆ύο σύνολα ορθογωνίων σηµάτων.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-54
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Και τα δύο ζεύγη σηµάτων ικανοποιούν την ιδιότητα ορθογωνιότητας και επίσης έχουν την
ίδια ενέργεια, δηλαδή,
T
E=∫
0
s12(t) dt
T
=∫
0
s22(t) dt
T
T
= ∫ [s1′] (t) dt = ∫ [s2′ ]2(t) dt = A2 T
0
2
0
Οποιοδήποτε ζεύγος από αυτά τα σήµατα µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη µετάδοση δυαδικής
πληροφορίας µε µία κυµατοµορφή να αντιστοιχεί στο bit 1 και την άλλη κυµατοµορφή στο bit
0.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-55
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Αν επιλέξουµε ως συναρτήσεις βάσης τις ορθογωνίου σχήµατος συναρτήσεις µοναδιαίας
ενέργειας
 2 T, 0 ≤ t ≤ T 2
ψ 1(t) = 
αλλιώς
 0,
 2 T, T 2 ≤ t ≤ T
ψ 2(t) = 
αλλιώς
 0,
Οι δύο κυµατοµορφές σήµατος s1(t) και s2(t) µπορούν να εκφραστούν ως
s 1(t) = s11 ψ 1(t) + s12 ψ 2(t)
s 2(t) = s21 ψ 1(t) + s22 ψ 2(t)
ή µε διανυσµατική αναπαράσταση
s 1 = (s 11, s12 ) = (A T 2 , A T 2 )
s 2 = (s 21, s22 ) = (A T 2 , − A T 2 )
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-56
Σεραφείµ Καραµπογιάς
s1
450
− 450
s2
Τα δύο διανύσµατα σήµατος που αντιστοιχούν στις
κυµατοµορφές s1(t) και s2(t).
Το τετράγωνο του µήκους κάθε διανύσµατος δίνει την ενέργεια του αντίστοιχου σήµατος,
δηλαδή,
E1 = || s 1 ||2= A2T
E2 = || s 2 ||2= A2T
Η Ευκλείδεια απόσταση µεταξύ των δύο σηµάτων είναι
d 12 =
|| s 1 − s 2 ||2 = A 2 T = 2 A2 T =
2E
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-57
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Με τέσσερες κυµατοµορφές σήµατος µπορούν να µεταδωθούν δύο bits πληροφορίας σε ένα
χρονικό διάστηµα σηµατοδοσίας διάρκειας Τ.
Αν στα διανύσµατα s1 και s2 προσαρτήσουµε δύο επιπλέον διανύσµατα, τα -s1 και -s2,
παίρνουµε τα τέσσερα σηµεία του αστερισµού σήµατος του Σχήµατος, τα οποία αντιστοιχούν
στις αναλογικές κυµατοµορφές s1(t), s2(t), -s1(t) και -s2(t). Το σύνολο των σηµάτων αυτών
ονοµάζεται σύνολο διορθογωνίων σηµάτων.
− s2
s1
450
− 450
− s1
s2
Αστερισµός σήµατος για M=4 διορθογώνια σήµατα.
Η διαδικασία κατασκευής ενός µεγαλύτερου συνόλου κυµατοµορφών σήµατος είναι σχετικά
άµεση.
E
Αστερισµός σήµατος Μ = 8 σηµείων που αντιστοιχεί
στις ορθογώνιες κυµατοµορφές s1(t), s2(t), s1΄(t), s2΄(t),
–s1(t), –s2(t), –s1΄(t) και –s1΄(t).
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-58
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Αν αφαιρέσουµε τον περιορισµό της ίσης ενέργειας των κυµατοµορφών, έχουµε τους
αστερισµούς
E1
E1
E2
E2
∆ύο δισδιάστατοι αστερισµοί σήµατος Μ = 8 σηµείων, που αντιστοιχούν σε υπέρθεση δύο συνόλων
διορθογώνιων κυµατοµορφών µε διαφορετικές ενέργειες.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-59
Σεραφείµ Καραµπογιάς
∆ισδιάστατα Ζωνοπερατά Σήµατα
– ∆ιαµόρφωση Φέροντος κατά Φάση
Οι ζωνοπερατές κυµατοµορφές σήµατος οι οποίες είναι κατάλληλες για µετάδοση
u m(t) = s m(t) cos (2π fc t), m = 1, 2, … , M , 0 ≤ t ≤ T
Στην ειδική περίπτωση M δισδιάστατων κυµατοµορφών µε την ίδια ενέργεια έχουµε
T
T
0
0
E s = ∫ u m2 (t ) dt = ∫ s m2 (t ) cos 2 (2 π f c t ) dt
T
T
0
0
1
1
= ∫ s m2 (t ) dt + ∫ s m2 (t ) cos (4 π f c t ) dt
2
2
T
1
= ∫ s m2 (t ) dt
2
0
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-60
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Με άλλα λόγια, ένα ζωνοπερατό σήµα της µορφής s(t)cos(2π fc t + π m/2), m=1, 2, 3, 4, έχει
την ίδια γεωµετρική αναπαράσταση µε ένα σύνολο Μ = 4 διορθογώνιων σηµάτων.
Εποµένως, ένας απλός τρόπος για τη δηµιουργία Μ ζωνοπερατών σηµάτων µε την ίδια
ενέργεια είναι να αποτυπώσουµε την πληροφορία στη φάση του φέροντος. Έτσι έχουµε ένα
διαµορφωµένο κατά φάση-φέροντος σήµα.
Η γενική αναπαράσταση ενός συνόλου Μ διαµορφωµένων
κυµατοµορφών είναι
κατά φάση-φέροντος
2π m 

u m (t ) = g T (t ) cos  2 π f c t +
 , m = 0, 1, … , M −1, 0 ≤ t ≤ T
M


Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-61
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Όταν ο gT(t) είναι ένας ορθογώνιος παλµός ο οποίος ορίζεται ως
 2 Es

g T (t ) =  T , 0 ≤ t ≤ T
 0,
αλλιώς
Οι αντίστοιχες µεταδιδόµενες κυµατοµορφές σήµατος είναι
u m(t) =
2 Es
2π m 
cos  2 π fc t +
 , m = 0, 1, … , M −1, 0 ≤ t ≤ T
T
M


Παρατηρούµε ότι έχουν σταθερή περιβάλλουσα και η φάση του φέροντος αλλάζει απότοµα
στην αρχή κάθε διαστήµατος σήµατος.
Αυτός ο τύπος ψηφιακής διαµόρφωσης κατά-φάση καλείται µεταλλαγή ολίσθησης φάσης
(Phase Shift Keying - PSK).
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-62
Σεραφείµ Καραµπογιάς
∆υαδική-Μεταλλαγή Ολίσθησης Φάσης (2-Phase Shift Keying (2-PSK))
u1 ( t )
2Es
T
1
Ψηφιακός
διαµορφωτής
u1 ( t )
0
−
Tb
t
2Es
T

u1 (t ) = 

2 Es
T
cos(2π f c t ), 0 ≤ t ≤ Tb
0,
αλλιώς

u2 (t ) = 

2Es
T
cos(2π f c t + π ), 0 ≤ t ≤ Tb
0,
αλλιώς
u 2 (t )
2Es
T
0
Ψηφιακός
διαµορφωτής
u 2 (t )
0
−
Tb t
2Es
T
Ολίσθηση
φάσης 1800
u (t )
2Es
T
110
Ψηφιακός
διαµορφωτής
u (t )
0
−
2Es
T
t
Tb
2 Tb
3T b
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-63
Σεραφείµ Καραµπογιάς
1800-ολίσθηση
φάσης
00-ολίσθηση
φάσης
-900-ολίσθηση
φάσης
0
0
t
T
2T
3T
Παράδειγµα
σήµατος.
ενός
τετραδικού
PSK
4T
Ένα PSK σήµα τεσσάρων φάσεων (Μ = 4), καλείται συνήθως ορθογώνιο PSK (Quadrature
Phase Shift Keying – (QPSK)) σήµα.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-64
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Η γενική αναπαράσταση ενός συνόλου Μ διαµορφωµένων
κυµατοµορφών µπορεί να γραφεί και ως
κατά φάση-φέροντος
2π m 
u m (t ) = g T (t ) cos  2 π f c t +
M 

= g T (t ) cos ( 2 πMm )cos (2 π f c t ) − g T (t ) sin ( 2 πMm )sin (2 π f c t )
= g T (t ) A mc cos (2 π f c t ) − g T (t ) A ms sin (2 π f c t )
Εποµένως ένα σήµα διαµορφωµένο κατά φάση µπορεί να θεωρηθεί ως δύο ορθογώνια
φέροντα µε πλάτη gT(t)Amc και gT(t)Ams, τα οποία εξαρτώνται από τη φάση του φέροντος σε
κάθε διάστηµα σήµατος.
− sin( 2 π fc t)
Ams gT (t)
Amc = cos ( 2Μπ m )
Ams = sin ( 2Μπ m )
Amc gT (t) cos (2 π fc t)
Ψηφιακή διαµόρφωση κατά φάση ως δύο
διαµορφωµένων κατά πλάτος ορθογώνιων
φερόντων.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-65
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Επίσης, τα ψηφιακά διαµορφωµένα κατά φάση σήµατα µπορούν να αναπαρασταθούν γεωµετρικά από δισδιάστατα διανύσµατα µε συνιστώσες √Es cos(2πm/M) και √Es cos(2πm/M), δηλαδή
sm = ( Es cos (2 πm / M )
Es sin (2 πm / M ))
Οι ορθοκανονικές συναρτήσεις βάσης είναι
2
g (t) cos( 2 π fc t)
Eg T
ψ 1(t) =
ψ 2(t) = −
2
g (t) sin (2 π fc t)
Eg T
011
11
001
00
010
0
1
Es
000
Es
Es
Es
110
100
10
11
101
111
M =2
M =4
M =8
Οι κυµατοµορφές σήµατος διαµόρφωσης κατά φάση-φέροντος περιορίζονται να έχουν την ίδια
ενέργεια Εs πράγµα το οποίο σηµαίνει ότι τα σηµεία σήµατος, στην γεωµετρική αναπαράσταση
των κυµατοµορφών, ανήκουν σε κύκλο.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-66
Σεραφείµ Καραµπογιάς
2π m π 
u m (t ) = g T (t ) cos  2 π f c t +
+  , m = 0,1, 2, 3
M
4

u 2 (t ) = g T (t ) cos (2 π f c t +
3π
4
)
u1 (t ) = g T (t ) cos (2 π f c t +
u 2 (t ) = g T (t ) cos ( 34π ) cos (2 π f c t )
ψ 2 (t ) = −
2
Eg
g T (t ) sin ( 2 π f c t )
− g T (t ) sin ( 34π ) sin (2 π f c t )
01
π
4
)
u1 (t ) = g T (t ) cos ( π4 ) cos (2 π f c t )
− g T (t ) sin ( π4 ) sin (2 π f c t )
00
E s sin (π4 )
s1 =
(
)
E s cos (π4 ) E s sin (π4 )
Es
E s cos (π4 )
u 3 (t ) = g T (t ) cos (2 π f c t +
5π
4
)
u 3 (t ) = g T (t ) cos (
2
Eg
u 4 (t ) = g T (t ) cos (2 π f c t +
11
) cos (2 π f c t )
− g T (t ) sin ( 54π ) sin (2 π f c t )
5π
4
ψ 1 (t ) =
10
g T (t ) cos ( 2 π f c t )
7π
4
)
u 4 (t ) = g T (t ) cos ( 74π ) cos (2 π f c t )
− g T (t ) sin ( 74π ) sin (2 π f c t )
Αστερισµός σήµατος 4-PSK.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-67
Σεραφείµ Καραµπογιάς
∆ισδιάστατα Ζωνοπερατά Σήµατα –
Ορθογώνια ∆ιαµόρφωση κατά Πλάτος
Κατά τη διαµόρφωση κατά φάση-φέροντος οι ζωνοπερατές κυµατοµορφές αναπαρίστανται
από την
u m ( t ) = A mc g T ( t ) cos ( 2 π f c t ) − A ms g T ( t ) sin ( 2 π f c t ), m = 1, 2 , … , M
Αν καταργήσουµε τον περιορισµό της ίσης ενέργειας έχουµε την Ορθογώνια ∆ιαµόρφωση
κατά Πλάτος (Quadrature Amplitude Modulation-QAM)
Όπου {Αmc} και {Ams} είναι τα σύνολα των τιµών πλάτους που λαµβάνονται από την
αντιστοίχιση των ακολουθιών των k bits σε πλάτη σήµατος.
Αστερισµός σήµατος ενός 16-QAM.
Γενικά οι τετράγωνοι αστερισµοί σήµατος είναι αποτέλεσµα της διαµόρφωσης των δύο
ορθογώνιων φερουσών από PAM.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-68
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Το QAM µπορεί να θεωρηθεί ως µια µορφή συνδυασµού ψηφιακής διαµόρφωσης κατά πλάτος
και ψηφιακής διαµόρφωσης κατά φάση.
u mn(t) = Am g T (t) cos (2 π fc t + θn), m = 1, 2,… , M1
n = 1, 2,…, M 2
Εάν M 1 = 2k1 και M 2 = 2k2, η µέθοδος συνδυασµού διαµόρφωσης κατά πλάτος και φάση έχει ως
αποτέλεσµα την ταυτόχρονη διαβίβαση k1+k2=log2M1M2 δυαδικών ψηφίων, η οποία
επιτυγχάνεται µε ρυθµό Rb/(k1+k2).
Amc
Φίλτρο
εκποµπής
gT(t)
Ισοσταθµισµένος
διαµορφωτής
Ταλαντωτής
∆υαδικά
δεδοµένα
Μετατροπέας
σειριακής σε
παράλληλη
cos (2πfct)
900 ολίσθηση
φάσης
Εκπεµπόµενο
QAM
σήµα
sin (2πfct)
Ams
Φίλτρο
εκποµπής
gT(t)
Ισοσταθµισµένος
διαµορφωτής
Λειτουργικό διάγραµµα βαθµίδων διαµορφωτή QAM.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-69
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Η γεωµετρική αναπαράσταση των σηµάτων um(t) και umn(t) γίνεται µε τη βοήθεια δισδιάστατων
σηµάτων της µορφής
sm = ( Es Amc ,
Es Ams ),
m = 1, 2, … , M
Για ισοπίθανα σήµατα η µέση ενέργεια/σύµβολο είναι
Eaυ
1
=
M
M
|| si ||2
∑
i =1
Η Ευκλείδεια απόσταση µεταξύ δύο σηµείων του αστερισµού είναι
d mn =
|| sm − sn ||2
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-70
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Μ = 64
Μ = 32
Μ = 16
M=8
Μ=8
Μ=4
Τετράγωνοι αστερισµοί σήµατος QAM
M = 16
Παραδείγµατα αστερισµών σήµατος
συνδυασµού PAM-PSK
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-71
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Οι κυµατοµορφές σήµατος στην 4-QAM
u1 ( t )
u1 (t ) = g T (t ) cos (2 π f c t +
Es
00
Ψηφιακός
διαµορφωτής
u1 ( t )
0
u 2 (t )
u 2 (t ) = g T (t ) cos (2 π f c t +
Es
Ψηφιακός
διαµορφωτής
u 2 (t )
0
T
t
− Es
u 3 (t )
Ψηφιακός
διαµορφωτής
u 3 (t )
0
T
t
− Es
u 4 (t )
10
Ψηφιακός
διαµορφωτής
u 4 (t )
0
− Es
T
t
)
− g T (t ) sin ( 34π ) sin (2 π f c t )
5π
4
)
u 3 (t ) = g T (t ) cos ( 54π ) cos (2 π f c t )
− g T (t ) sin ( 54π ) sin (2 π f c t )
u 4 (t ) = g T (t ) cos (2 π f c t +
Es
3π
4
u 2 (t ) = g T (t ) cos ( 34π ) cos (2 π f c t )
u 3 (t ) = g T (t ) cos (2 π f c t +
Es
11
)
− g T (t ) sin ( π4 ) sin (2 π f c t )
− Es
01
4
u1 (t ) = g T (t ) cos ( π4 ) cos (2 π f c t )
t
T
π
7π
4
)
u 4 (t ) = g T (t ) cos ( 74π ) cos (2 π f c t )
− g T (t ) sin ( 74π ) sin (2 π f c t )
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-72
Σεραφείµ Καραµπογιάς
ΠΟΛΥ∆ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΕΣ ΣΗΜΑΤΟΣ
Έχουµε µελετήσει τον τρόπο µε τον οποίο µπορεί να κατασκευαστεί στις δύο διαστάσεις ένας
αριθµός M = 2k κυµατοµορφών σήµατος.
Στη συνέχεια θα µελετήσουµε το σχεδιασµό ενός συνόλου M = 2k κυµατοµορφές σήµατος, οι
οποίες έχουν περισσότερες από δύο διαστάσεις και θα δείξουµε τα πλεονεκτήµατα της χρήσης
των στη διαβίβαση πληροφορίας.
Με άλλα λόγια θα θεωρήσουµε M = 2k κυµατοµορφές σήµατος, οι οποίες περιγράφονται από
ορθοκανονικές βάσεις µε διάσταση µεγαλύτερη του δύο.
Πρώτα εξετάζουµε την κατασκευή ορθογώνιων σηµάτων βασικής ζώνης και στη συνέχεια
θεωρούµε το σχεδιασµό ζωνοπερατών σηµάτων.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-73
Σεραφείµ Καραµπογιάς
s 1(t)
Οι κυµατοµορφές si(t), i = 1, 2, 3, 4, επικαλύπτονται
πλήρως στο διάστηµα (0,T),
A
0
T t
s 2(t)
A
0
T
t
−A
Για παράδειγµα, ένα σύνολο από M = 2k επικαλυπτόµενες ορθογώνιες κυµατοµορφές µπορεί να
κατασκευασθεί από ακολουθίες Hadamard, οι
οποίες καλούνται επίσης και ακολουθίες WalshHadamard
s 3(t)
A
0
T
t
−A
s 4(t)
A
0
−A
T
t
Σύνολο από Μ = 4 επικαλυπτόµενες ορθογώνιες κυµατοµορφές
σήµατος
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-74
Σεραφείµ Καραµπογιάς
s1 (t )
A
0
T
t
s 2 (t )
A
0
T
t
T
t
T
t
−A
Οι κυµατοµορφές si(t), i = 1, 2, 3, 4, επικαλύπτονται
πλήρως στο διάστηµα (0,T),
Η διαβιβαζόµενη ψηφιακή πληροφορία αποτυπώνεται
από τη συχνότητα. Ο τύπος αυτός σηµατοδοσίας
καλείται διαµόρφωση παλµών κατά συχνότητα
(FSK).
s3 (t )
A
−A
s 4 (t )
T 2 3T 4
A
−A
Σύνολο από Μ = 4 επικαλυπτόµενες ορθογώνιες κυµατοµορφές
σήµατος FSK.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-75
Σεραφείµ Καραµπογιάς
s′1(t)
Οι κυµατοµορφές si(t), i = 1, 2, 3, 4, δεν έχουν χρονική
επικάλυψη
2A
0
s′2(t)
Η διαβιβαζόµενη ψηφιακή πληροφορία αποτυπώνεται
από τη χρονική θέση στην οποία τοποθετείται ο
παλµός. Ο τύπος αυτός σηµατοδοσίας καλείται
διαµόρφωση παλµών κατά θέση (Pulse Posision
Modulation – PPM).
t
T 4
2A
0
s′3(t)
Οι Μ κυµατοµορφές
εκφράζονται ως
T 4
σήµατος
βασικής
ζώνης
t
T 2
sm(t) = A gT (t − (m − 1) MT ), m = 1, 2, … , M
2A
(m − 1) MT ≤ t ≤ m
0
s′4(t)
t
T 2 3T 4
2A
0
3T 4
T
t
T
M
Όπου gT(t) είναι παλµός διάρκειας T/M και αυθαίρετου
σχήµατος.
Σύνολο από Μ = 4 µη επικαλυπτόµενες ορθογώνιες κυµατοµορφές
σήµατος PSK.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-76
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Αν στην περίπτωση των Μ PPM σηµάτων (µη επικαλυπτόµενοι παλµοί διάρκειας T/M), όλες
οι κυµατοµορφές έχουν το ίδιο πλάτος A τότε έχουν και την ίδια ενέργεια
Es =
T
∫0
=A
sm2 (t) dt
2
T M
∫0
=A
2
mT M
∫(m −1) T M
gT2 (t − (m − 1) MT ) dt
gT2 (t) dt , για όλα τα m
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-77
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Ορίζουµε τις Μ συναρτήσεις βάσης οι

ψ m (t ) = 

1
Es
gT (t − (m − 1) MT ), (m − 1) MT ≤ t ≤ m MT
αλλιώς
0,
Για m = 1, 2, …, M. Εποµένως οι Μ-αδικές PPM κυµατοµορφές παριστάνονται γεωµετρικά
από τα Μ-διάστατα διανύσµατα
s1 = ( Es , 0, 0, … , 0)
s2 = (0, Es , 0, … , 0)
⋮
s M = (0, 0, 0, … ,
ψ 2(t)
s2
2 E s = d 23
Es )
Είναι προφανές ότι τα διανύσµατα αυτά είναι
ορθογώνια, δηλαδή, si·sj = 0, όταν i ≠ j.
Εs
2 E s = d 12
s1
s3
ψ 3(t)
ψ 1(t)
2 E s = d 13
Ορθογώνια σήµατα PPM για M = N = 3.
Τα Μ διανύσµατα ισαπέχουν στο χώρο σηµάτων, δηλαδή,
d mn = || sm − sn ||2 = 2 Es , για όλα τα m ≠ n
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-78
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Ζωνοπερατά Σήµατα
Από ένα σύνολο ορθογώνιων κυµατοµορφών βασικής ζώνης sm(t),
κατασκευάζουµε Μ ζωνοπερατά σήµατα ως
m = 1, 2, …, M,
um(t) = sm(t) cos (2 π fc t ), m = 1, 2, … , M 0 ≤ t ≤ T
Σήµα βασικής
ζώνης
Ζωνοπερατό
σήµα
sm(t)
u m (t )
Φέρον
cos (2π f c t )
∆ιαµόρφωση κατά πλάτος ενός ηµιτονοειδούς
φέροντος από σήµα βασικής-ζώνης.
Η ενέργεια της κάθε µιας από τις ζωνοπερατές κυµατοµορφές είναι το µισό της ενέργειας της
αντίστοιχης κυµατοµορφής βασικής ζώνης.
Οι ζωνοπερατές κυµατοµορφές είναι ορθογώνιες. Πράγµατι, αν m ≠ n
T
∫0
um(t) un(t) dt =
=
T
∫0
sm(t) sn(t) cos 2(2 π fc t ) dt
T
1
2 0 sm (t) sn(t) dt
∫
+
T
1
2 0 sm (t) sn(t) cos
∫
(4 π fc t )dt
=0
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-79
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Μεταλλαγή ολίσθησης συχνότητας (Frequency Shift Keying – FSK)
Τα Μ-αδικά PPM σήµατα επιτυγχάνουν την ορθογωνιότητα στο πεδίο του χρόνου µε τη χρήση
µη επικαλυπτόµενων παλµών.
Τα Μ σήµατα διαµορφωµένου φέροντος επιτυγχάνουν την ορθογωνιότητα στο πεδίο
συχνοτήτων. Ο τύπος αυτός διαµόρφωσης καλείται ενγένει διαµόρφωση κατά συχνότητα
φέροντος. Η απλούστερη µορφή αυτής της διαµόρφωσης είναι η µεταλλαγή ολίσθησης
συχνότητα (Frequency Shift Keying - FSK).
Η απλούστερη µορφή ψηφιακής διαµόρφωσης κατά συχνότητα είναι το δυαδικό FSK. Στο
δυαδικό FSK χρησιµοποιούµε δύο συχνότητες, έστω f1 και f2 = f1 + ∆f, για τη διαβίβαση της
δυαδικής πληροφορίας. Οι δύο κυµατοµορφές σήµατος µπορούν να εκφρασθούν ως
u1 ( t ) =
2 Eb
cos (2 π f1 t ), 0 ≤ t ≤ Tb
Tb
u 2 (t ) =
2 Eb
cos (2 π f 2 t ) , 0 ≤ t ≤ Tb
Tb
Όπου Eb είναι η ενέργεια ανά bit και Tb η διάρκεια του bit.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-80
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Γενικότερα, το Μ-αδικό FSK µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να µεταδίδουµε ένα µπλοκ από
k = log2M bits ανά κυµατοµορφή σήµατος. Σ' αυτή την περίπτωση οι Μ κυµατοµορφές σήµατος
µπορούν να εκφρασθούν ως
u m (t ) =
2 Es
cos (2 π f m t ) =
T
2 Es
cos (2 π f c t + 2 π m ∆ f t )
T
m = 1, 2, … , M 0 ≤ t ≤ T
Όπου Es = k Eb είναι η ενέργεια ανά σύµβολο, T = Ts = k Tb η διάρκεια συµβόλου και ∆f η
συχνοτική απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών συχνοτήτων, δηλαδή, ∆f = fm – f (m-1) όπου
fm = fc + m ∆f .
∆f
f1
f2
f3
fM
Οι M FSK κυµατοµορφές έχουν την ίδια ενέργεια Εs
Το Μ-αδικό FSK µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να µεταδώσουµε ένα µπλοκ από k = log2
M bits ανά κυµατοµορφή σήµατος.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-81
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Η απόσταση συχνότητας ∆f καθορίζει το βαθµό στον οποίο µπορούµε να διακρίνουµε µεταξύ
τους τα M πιθανά µεταδιδόµενα σήµατα. Ο συντελεστής διασυσχέτισης αποτελεί ένα µέτρο
οµοιότητας δύο κυµατοµορφών σήµατος.
1 Ts
γ mn =
um (t ) un (t ) dt
0
Es
Αποδεικνύεται ότι
∫
γ mn =
sin (2 π (m − n) ∆ f T )
2 π (m − n) ∆ f T
γ mn (∆ f )
1
0,715
0
γ mn
min
= − 0 , 217
1
2T
1
T
1
T
3
2T
2
T
∆f
Συντελεστής διασυσχέτισης συναρτήσει της
συχνοτικής απόστασης ∆f µεταξύ διαδοχικών
FSK σηµάτων
Η ελάχιστη συχνοτική απόσταση µεταξύ διαδοχικών συχνοτήτων ώστε να επιτύχουµε
ορθογωνιότητα είναι 1/2Τ. Επίσης η ελάχιστη τιµή του συντελεστή διασυσχέτισης είναι
γmn|min = -0,217, η οποία επιτυγχάνεται για ∆f = 0,715/T.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-82
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Οι Μ-αδικές ορθογώνιες FSK κυµατοµορφές αναπαριστώνται γεωµετρικά από τα Μ-διάστατα
ορθογώνια διανύσµατα
s1 = ( Es , 0, 0, … , 0)
s2 = (0, Es , 0, … , 0)
⋮
sM = (0, 0, 0, … , Es )
Οι συναρτήσεις βάσης είναι
ψ m(t) =
2
T
cos (2 π ( fc + m ∆ f ) t )
Η απόσταση µεταξύ δύο διανυσµάτων είναι
d=
2 Es
για όλα τα m και n, που είναι η ελάχιστη απόσταση µεταξύ των Μ σηµάτων.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-83
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Μεταλλαγή Ολίσθησης Συχνότητας (Frequency Shift Keying (FSK))
u1 ( t )
2Es
T
1
Ψηφιακός
διαµορφωτής
u1 ( t )
0
−
Tb t
 A cos(2π ( f c + f d )t ), 0 ≤ t ≤ Tb
u1 (t ) = 
0,
αλλιώς

Tb t
 A cos(2π ( f c − f d )t ), 0 ≤ t ≤ Tb
u2 (t ) = 
0,
αλλιώς

2Es
T
u 2 (t )
2Es
T
0
Ψηφιακός
διαµορφωτής
u 2 (t )
0
−
2Es
T
u (t )
2Es
T
110
Ψηφιακός
διαµορφωτής
u (t )
0
−
2Es
T
t
Tb
2 Tb
3T b
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-84
Σεραφείµ Καραµπογιάς
∆ιορθογώνιες κυµατοµορφές σήµατος (Πολυδιάστατα σήµατα)
Γενικά ένα σύνολο Μ διορθογώνιων σηµάτων µπορεί να κατασκευαστεί από ένα σύνολο Μ/2
ορθογώνιων σηµάτων si(t), i = 1, 2, …, M/2 και των αρνητικών τους -si(t), i = 1, 2, …, M/2.
Σε πολλές εφαρµογές τα διορθογώνια σήµατα προτιµώνται από τα ορθογώνια σήµατα
δεδοµένου ότι το εύρος-ζώνης καναλιού που απαιτείται για τη διαβίβαση της πληροφορίας
είναι µόλις το µισό από αυτό που απαιτείται για τη µετάδοση Μ ορθογώνιων σηµάτων
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-85
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Για να σχηµατιστεί η γεωµετρική αναπαράσταση Μ - αδικών διορθογώνιων σηµάτων
si(t), i = 1, 2, …, M/2, -sm-M/2(t), M/2 + 1 ≤ m ≤ M αρχίζουµε µε Μ/2 ορθογώνια διανύσµατα
σε Ν = Μ/2 διαστάσεις και προσαρτούµε τα αρνητικά τους.
( Es , 0, 0, …, 0)
s 2 = (0, Es , 0, … , 0 )
s1 =
− s2
s1
450
⋮
(
Es )
s = (− Es , 0, 0, … , 0 )
s +1 = (0, − Es , 0, … , 0 )
s M2 = 0, 0, 0, … ,
− 450
− s1
s2
M
2
M
2
(
⋮
s M = 0, 0, 0, … , − Es
Αστερισµός σήµατος για
M=4 διορθογώνια σήµατα.
)
Παρατηρούµε ότι ο αστερισµός σήµατος είναι ίδιος µε αυτόν µε αυτόν για το ορθογώνιο
(τεσσάρων φάσεων) PSK.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-86
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Ζωνοπερατά σήµατα.
Από ένα σύνολο Μ διορθογώνιων κυµατοµορφών σηµάτων βασική ζώνης {sm(t)},
σχηµατίζεται το αντίστοιχο σύνολο Μ ζωνοπερατών σηµάτων {um(t)} διαµορφώνοντας το
φέρων cos(2π fc t) µε τις κυµατοµορφές σήµατος βασικής ζώνης, δηλαδή,
um (t ) = sm (t ) cos(2 π f c t ), m = 1, 2, ..., M , 0 ≤ t ≤ T
Η γεωµετρική αναπαράσταση των ζωνοπερατών σηµάτων είναι ίδια µε αυτήν των αντιστοίχων
σηµάτων βασικής ζώνης, µε τη διαφορά ότι η ενέργεια των ζωνοπερατών σηµάτων είναι ίση το
µισό της ενέργειας των αντίστοιχων κυµατοµορφών βασικής ζώνης.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-87
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Simplex κυµατοµορφές σήµατος
Από ένα σύνολο Μ ορθογώνιων κυµατοµορφών σηµάτων sm(t) κατασκευάζεται ένα σύνολο Μ
Simlex κυµατοµορφές σήµατος sm(t) αν από κάθε µία από τις ορθογώνιες κυµατοµορφές
σήµατος αφαιρέσουµε τη µέση τιµή των Μ ορθογώνιων σηµάτων.
1
sm′ (t ) = sm (t ) −
M
M
∑ sk (t )
k =1
Η ενέργεια των simplex σηµάτων είναι
T
και
1
Es′ = ∫ | sm (t ) |2 dt = 1 −  Es
 M
0
T
s′ms′n =
∫ sm′ (t )sn′ (t ) dt = −
0
1
E′ , m ≠ n
M −1 s
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-88
Σεραφείµ Καραµπογιάς
1) Οι κυµατοµορφές στο σύνολο των simplex σηµάτων έχουν µικρότερη ενέργεια από τις
κυµατοµορφές στο σύνολο των ορθογώνιων σηµάτων.
2) Οι simplex κυµατοµορφές σήµατος δεν είναι ορθογώνιες. Αντίθετα έχουν αρνητική
διασυσχέτιση η οποία είναι η ίδια για όλα τα ζεύγη κυµατοµορφών.
3) Εικάζεται ότι µεταξύ όλων των δυνατών Μ-αδικών σηµάτων µε ίση ενέργεια Εs το σύνολο
των simlex σηµάτων οδηγεί στη µικρότερη πιθανότητα σφάλµατος σε περιβάλλον AWGN.
Η γεωµετρική αναπαράσταση ενός συνόλου M simplex σηµάτων λαµβάνεται αφαιρώντας το
µέσο διάνυσµα σήµατος από ένα σύνολο Μ ορθογώνιων διανυσµάτων
Το αποτέλεσµα της αφαίρεσης του µέσου όρου είναι η µετατόπιση της αρχής των Μ
ορθογώνιων σηµάτων στο σηµείο s, και η ελαχιστοποίηση της ενέργεια των σηµάτων {sm}.
Η απόσταση µεταξύ δύο οποιωνδήποτε σηµείων σήµατος δεν άλλαξε από τη µετατόπιση της
αρχής των αξόνων και παραµένει d =√ Es
Εάν η ενέργεια ανά σήµα για τα ορθογώνια σήµατα είναι Es = ||sm ||2, τότε η ενέργεια των
simplex σηµάτων είναι
Es = s′m
2
1
= s m − s = 1 −  Es
 M
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-89
Σεραφείµ Καραµπογιάς
Ο συντελεστής διασυσχέτισης (κανονικοποιηµένη διασυσχέτιση) µεταξύ του m-στου και του
n-οστου σήµατος είναι
γ mn
− M1
s ′m ⋅ s ′n
1
=
=
=
−
M −1
s ′m ⋅ s ′n
1 − M1
Εποµένως όλα τα σήµατα ανά δύο έχουν την ίδια διασυσχέτιση.
s2
1
s′m = s m −
M
M
∑ sk ,
m = 1, 2, ..., M
s
k =1
1
s=
M
M
∑ sk
k =1
s3
s1
s4
Αστερισµός σήµατος για M = 4 simplex σήµατα
∆ιαµορφώνοντας ένα φέρον cos(2π fc t) µε ένα σύνολο M simplex κυµατοµορφών σήµατος
βασικής ζώνης, λαµβάνεται ένα σύνολο M ζωνοπερατών κυµατοµορφών που ικανοποιούν τις
ιδιότητες των simplex ζωνοπερατών σηµάτων.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-90

Download Report