ΘΕΟΔΩΡΟΣ Σ. ΚΑΡΑΚΩΣΤΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Τομέας Μετεωρολογίας και Κλιματολογίας Τμήμα Γεωλογίας, Σχολή Θετικών Επιστημών Αριστοτέλειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονίκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΑΣ Θεσσαλονίκη, 2012 2 3 1 Εισαγωγή στη Συνοπτική και ∆υναµική Μετεωρολογία Πιστεύεται ότι η ιστορία της Μετεωρολογίας µπορεί να χωριστεί σε τρεις περιόδους. Η πρώτη αρχίζει από το 600 π.Χ. και τελειώνει το 1600 µ.Χ. και χαρακτηρίζεται ως «Η περίοδος των Εικασιών - The Period of Speculation», όπου κυριαρχεί η µετεωρολογική αυθεντία της εποχής εκείνης, ο φιλόσοφος Αριστοτέλης µε τα «Μετεωρολογικά» του. Η δεύτερη περίοδος χρονολογείται από το 1600 µ.Χ. ως το 1800 µ.Χ. και χαρακτηρίζεται ως «Η Αρχή της Επιστηµονικής Μετεωρολογίας (The Dawn of Scientific Meteorology)». Η ιστορία της Συνοπτικής και ∆υναµικής Μετεωρολογίας δεν έχει τις ρίζες της στις δύο αυτές περιόδους. Για τη ∆υναµική Μετεωρολογία χρειάστηκε να περάσουν ακριβώς πενήντα (50) χρόνια από το τέλος της περιόδου της Αρχής της Επιστηµονικής Μετεωρολογίας, για να κάνει την εµφάνισή της µε µια εργασία του Ferrel. Η εργασία αυτή του Ferrel που πραγµατευόταν τον άνεµο και την γενική κυκλοφορία της ατµόσφαιρας αποτέλεσε τον θεµέλιο λίθο για την απαρχή της θεωρητικής, ή όπως θεσπίστηκε ακόµη και τότε, ∆υναµικής Μετεωρολογίας. Η ∆υναµική Μετεωρολογία δεν ήταν δυνατόν να αναπτυχθεί ενωρίτερα, διότι έλειπε η εφαρµογή του µαθηµατικού µέσου. Ο D’ Alembert, ακολουθώντας τα βήµατα των γνωστών µετεωρολόγων Halley και Hadley, επιχείρησε για πρώτη φορά να εκφράσει, µε τη βοήθεια του µαθηµατικού µέσου, την κίνηση στην ατµόσφαιρα. Όµως, ο Euler ήταν αυτός, που βασιζόµενος στην Νευτώνια Μηχανική, και δανειζόµενος τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων των µερικών παραγώγων, κατόρθωσε να εκφράσει τις εξισώσεις κινήσεως στην ατµόσφαιρα, σε µια µορφή χρήσιµη και εφαρµόσιµη ακόµη και σήµερα. Τις εξισώσεις κινήσεως στην ατµόσφαιρα έλυσε για πρώτη φορά ο L. F. Richardson, µε τη βοήθεια αριθµητικών προτύπων και όχι µε αναλυτική µέθοδο. Αν και λύσεις αυτές απεδείχθησαν αργότερα λανθασµένες, παρ’ όλα αυτά η µεθοδολογία που χρησιµοποιείται ακόµη και σήµερα. Σηµαντικός σταθµός στην ιστορία της Συνοπτικής Μετεωρολογίας αποτέλεσε η κατασκευή των πρώτων συνοπτικών χαρτών από τον Γερµανό µετεωρολόγο Brandes το 1820. Στην εµπέδωση όµως του κλάδου αυτού βοήθησε σηµαντικά και ένα τυχαίο γεγονός. Την 14η Νοεµβρίου του 1954 µια σφοδρή καταιγίδα προξένησε σοβαρές ζηµίες στον Άγγλο-Γαλλικό στόλο που βρισκόταν στον Εύξεινο Πόντο. Το γεγονός αυτό προβληµάτισε τη Γαλλική κυβέρνηση, η οποία και ανάθεσε στον τότε διευθυντή του Αστεροσκοπείου του Παρισιού Le Verrier να εξακριβώσει αν η επιστήµη της Μετεωρολογίας ήταν σε θέση να προβλέψει την κακοκαιρία αυτή. Ο Le Verrier αφού συγκέντρωσε παρατηρήσεις από 200 και πλέον µετεωρολογικούς σταθµούς της Ευρώπης, κατέληξε στο συµπέρασµα ότι η µεγάλη αυτή κακοκαιρία έφτασε στον Εύξεινο Πόντο αφού πρώτα διέσχισε την Ευρώπη. Επίσης διαπιστώθηκε ότι η πρόοδος της Επιστήµης της Μετεωρολογίας και ιδιαίτερα του αντικειµένου της Πρόγνωσης του καιρού, είχαν στενή σχέση µε τον αριθµό των ταυτόχρονων µετεωρολογικών παρατηρήσεων, σε όσο το δυνατό περισσότερες θέσεις, και την άµεση αποστολή τους σε ειδικά Μετεωρολογικά Κέντρα Έρευνας. Έτσι λοιπόν ο Le Verrier θεωρείται ο θεµελιωτής των δικτύων των µετεωρολογικών σταθµών και των µετεωρολογικών υπηρεσιών και πατέρας της Συνοπτικής Μετεωρολογίας. 4 2 Ορισµός της Συνοπτικής και ∆υναµικής Μετεωρολογίας Ως Συνοπτική Μετεωρολογία ορίζεται ο κλάδος της επιστήµης της Μετεωρολογίας που πραγµατεύεται την ανάλυση και µελέτη µετεωρολογικών στοιχείων, που συγχρόνως λαµβάνονται σε µεγάλη έκταση, µε απώτερο σκοπό την παρουσίαση µιας ολοκληρωµένης και σχεδόν στιγµιαίας εικόνας της κατάστασης της ατµόσφαιρας. Ενώ, ως ∆υναµική Μετεωρολογία ορίζεται ο κλάδος της επιστήµης της Μετεωρολογίας που µελετά τις κινήσεις της ατµόσφαιρας ως λύσεις των βασικών εξισώσεων της Υδροδυναµικής, ή άλλων ειδικευµένων συστηµάτων εξισώσεων, όπως π.χ. της Στατιστικής Θεωρίας της Τυρβώδους Ροής. Ο αντικειµενικός σκοπός της Συνοπτικής και ∆υναµικής Μετεωρολογίας είναι: 1. Η παρουσίαση µιας αντιπροσωπευτικής και ολοκληρωµένης στιγµιαίας εικόνας των καιρικών φαινοµένων της περιοχής ενδιαφέροντος. 2. Η πλήρη κατανόηση των ατµοσφαιρικών κινήσεων που σχετίζονται άµεσα µε τα καιρικά φαινόµενα, ή αποτελούν σηµαντικά στοιχεία της γενικής κυκλοφορίας. 3. Η εφαρµογή γνωστών θεωρητικών και /ή ιδεατών µοντέλων ή προτύπων. 4. Η δηµιουργία θεωρητικών προτύπων της ατµόσφαιρας, µε απώτερο σκοπό την ανάλυση, µελέτη, πλήρη κατανόηση, και τέλος τη σωστή πρόγνωση του καιρού. 3 Μετεωρολογικά συστήµατα συντεταγµένων Λόγω της περιστροφικότητας της Γης, το πιο θεωρητικά κατάλληλο Μετεωρολογικό σύστηµα αναφοράς θα ήταν το Σφαιρικό Πολικό Σύστηµα Συντεταγµένων. Οι ανεξάρτητες µεταβλητές του συστήµατος αυτού είναι: το γεωγραφικό πλάτος φ, το γεωγραφικό µήκος λ, και η απόσταση του σηµείου από το κέντρο της Γης r. Αν και το σύστηµα αυτό χρησιµοποιήθηκε για µερικά µετεωρολογικά φαινόµενα µεγάλης κλίµακας όπως οι ατµοσφαιρικές παλίρροιες, παρ’ όλα αυτά, δεν θεωρείται σαν ένα αρκετά εύχρηστο σύστηµα συντεταγµένων. 3.1 Το Προσανατολισµένο Τοπικό Σύστηµα Συντεταγµένων Επειδή τα µετεωρολογικά φαινόµενα συµβαίνουν σε αποστάσεις σχετικά πάρα πολύ µεγάλες από το κέντρο της Γης, η καµπυλότητα της Γης µπορεί να παραληφθεί χωρίς µεγάλο υπολογιστικό σφάλµα. Αυτό συνεπάγεται ότι, το σφαιρικό πολικό σύστηµα συντεταγµένων µπορεί να αντικατασταθεί µε ένα άλλο σύστηµα συντεταγµένων, που έχει την αρχή του στην επιφάνεια της Γης και καλείται “Προσανατολισµένο Τοπικό Σύστηµα Συντεταγµένων”. Στο τοπικό αυτό σύστηµα συντεταγµένων, ο κατακόρυφος ηµιάξονας Οz έχει φορά προς το ζενίθ του τόπου (αντίθετος προς τη φορά βαρύτητας), ο οριζόντιος ηµιάξονας Οx έχει φορά προς την ανατολή, δηλαδή εφάπτεται του παραλλήλου που περνά από το σηµείο αναφοράς, ενώ ο άλλος οριζόντιος ηµιάξονας Οy έχει φορά προς το βορρά, και εφάπτεται του µεσηµβρινού που περνά από το σηµείο αναφοράς. Έτσι, οι τέσσερις ανεξάρτητες µεταβλητές για τον πλήρη προσδιορισµό ενός σηµείου στον χώρο και χρόνο είναι οι χ, y, z, και t. Αν τα µοναδιαία διανύσµατα, i , j και k, λαµβάνονται µε διευθύνσεις προς Ανατολάς, προς Βορρά και προς το ζενίθ τυχόντος σηµείου, αντίστοιχα, τότε η ολική ταχύτητα δίνεται από τη σχέση (3.1.). 5 V = u ( x )i + v ( y )j + w(z )k (3.1) Οι συνιστώσες του διανύσµατος της ταχύτητας: u(x), v(y), και w(z), σχετίζονται µε τις συνιστώσες του σφαιρικού πολικού συστήµατος συντεταγµένων µέσω των εξισώσεων: u (x ) = rσυνφ dλ / dt (ζωνική ταχύτητα) (3.2α) v ( y ) = rdφ / dt (µεσηµβρινή ταχύτητα) (3.2β) w(z ) = dz / dt (κατακόρυφη ταχύτητα) (3.2γ) Αν η ακτίνα της Γης συµβολιστεί µε R (R=6378,39 Km στον ισηµερινό, και R=6356,91 Km στους πόλους), και z η απόσταση τυχόντος σηµείου από την επιφάνεια της Γης, τότε r = R+z. Συνήθως η µεταβλητή r αντικαθίσταται µε R. Αυτή η αντικατάσταση µπορεί να θεωρηθεί σαν µια πολύ καλή προσέγγιση, διότι στο τµήµα της τροπόσφαιρας όπου συγκεντρώνεται το ενδιαφέρον της Μετεωρολογίας, το z είναι κατά πολύ µικρότερο του R (z<<R), και εποµένως το σφάλµα είναι µικρότερο και του 0.2%. Το προσανατολισµένο αυτό τοπικό σύστηµα συντεταγµένων που καθορίζεται µε αυτό τον τρόπο δεν είναι ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων, διότι οι διευθύνσεις δεν είναι σταθερές, αλλά είναι συναρτήσεις της θέσης στη σφαιρική Γη. Αυτή η εξάρτηση από τη θέση των µοναδιαίων διανυσµάτων είναι εµφανής, και πρέπει να λαµβάνονται υπ’ όψη, όταν το διάνυσµα της επιτάχυνσης αναφέρεται στις σφαιρικές συντεταγµένες. 3.2 Το Φυσικό Σύστηµα Συντεταγµένων Στο τοπικό σύστηµα συντεταγµένων δεν είναι πάντοτε υποχρεωτικός ο γεωγραφικός προσανατολισµός του οριζόντιου πεδίου. Πολλές φορές, χρήσιµα συµπεράσµατα µπορούν να εξαχθούν από την περιστροφή του συστήµατος περί τον κατακόρυφο άξονα z, έτσι ώστε ο οριζόντιος ηµιάξονας Οx να καταστεί παράλληλος των ισοβαρών ή του διανυσµατικού ανέµου, ενώ ο ηµιάξονας Οy να είναι κάθετος σ’ αυτούς. Ενα τέτοιο σύστηµα συντεταγµένων, εφαρµοσµένο όµως µόνο στο οριζόντιο επίπεδο, και όχι στον τρισδιάστατο χώρο, καλείται Φυσικό Σύστηµα συντεταγµένων. Το σύστηµα αυτό έχει µοναδιαία διανύσµατα συνήθως s και n, που αντιπροσωπεύουν αντίστοιχα: τις διευθύνσεις της ροής του προς µελέτη ρευστού, και της καθέτου της διεύθυνσης της ροής µε φορά προς τα δεξιά της. Το φυσικό σύστηµα συντεταγµένων συνήθως συµβολίζεται σαν O(s,n) και είναι ένα πολύ πρακτικό και εύχρηστο σύστηµα, που χρησιµοποιείται αρκετά σε µελέτη θεµάτων Συνοπτικής και ∆υναµικής Μετεωρολογίας. 3.3 Το Ισοβαρικό και Ισεντροπικό Σύστηµα Συντεταγµένων Ιδιάζουσες καταστάσεις στην επιστήµη της Μετεωρολογίας επέβαλαν τη χρήση και άλλων συστηµάτων συντεταγµένων. Παρατηρήθηκε ότι οι βασικές εξισώσεις της ∆υναµικής Μετεωρολογίας απλοποιούνται δραστικά, αν η ανεξάρτητη µεταβλητή z 6 αντικατασταθεί µε την εξαρτηµένη µεταβλητή της ατµοσφαιρικής πίεσης, P=f(x,y,z,t), ή της δυνητικής (δυναµικής) θερµοκρασίας, Θ=g(x,y,z,t). Κατ’ αυτόν τον τρόπο ορίζονται δυο νέα συστήµατα συντεταγµένων, πάρα πολύ εύχρηστα κυρίως στους κλάδους της Συνοπτικής και ∆υναµικής Μετεωρολογίας, το Ρ-σύστηµα ή Ισοβαρικό Σύστηµα Συντεταγµένων 0(x,y,P,t), και το Θ-σύστηµα ή Ισεντροπικό Σύστηµα Συντεταγµένων 0(x,y,Θ,t). Τα δύο παραπάνω συστήµατα, δηλαδή το Ισοβαρικό και το Ισεντροπικό σύστηµα συντεταγµένων, έχουν µεγάλη εφαρµογή στη Μετεωρολογία. Αυτό αποδεικνύεται και από το ότι οι συνοπτικοί χάρτες καιρού συντάσσονταν στο Ισεντροπικό σύστηµα πριν το 1945, ενώ από το 1946 και µετά συντάσσονται στο Ισοβαρικό. Η µετατροπή από το Τοπικό σύστηµα συντεταγµένων 0(x,y,z,t) στο Ισοβαρικό σύστηµα συντεταγµένων 0(x,y,P,t) είναι σχετικά εύκολη, διότι: • Οι µεγάλης κλίµακας κινήσεις ακολουθούν την υδροστατική εξίσωση, έτσι υπάρχει µονότονη και απλή σχέση µεταξύ πίεσης και ύψους, και • Οι ισοβαρικές επιφάνειες είναι σχεδόν επίπεδες, έτσι ώστε οι οριζόντιες κατανοµές του ανέµου και της θερµοκρασίας να είναι σχεδόν οι ίδιες στις ισοβαρικές και στις ισοϋψείς επιφάνειες. Θα πρέπει να αναφερθεί ότι στο Ισοβαρικό σύστηµα συντεταγµένων η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα του µετρούµενου ανέµου δεν είναι ορθογώνιες µεταξύ των. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο οριζόντιος διανυσµατικός άνεµος ορίζεται σε επίπεδα σταθερού γεωδυναµικού ύψους και όχι σε ισοβαρικές επιφάνειες. Η κατακόρυφη ταχύτητα του ανέµου σ’ ένα ισοβαρικό σύστηµα συντεταγµένων ορίζεται από τη σχέση (3.4), όπου το ω συνήθως εκφράζεται σε mb/day. ω ≡ dP/dt (3.4) Πρέπει να τονιστεί ότι οι θετικές τιµές του ω αντιστοιχούν σε καθοδικές κινήσεις, (w<0), ενώ αρνητικές τιµές του ω σε ανοδικές κινήσεις, (w>0). Μπορεί επίσης να δειχτεί ότι οι δύο κατακόρυφες ταχύτητες, ω και w σχετίζονται µεταξύ τους µέσω της σχέσης (3.5). Όπου ρ η πυκνότητα του ρευστού. ω ≈ - ρgw (3.5) Επειδή µερικές φορές (κυρίως σε ορεινές περιοχές), τόσο οι ισοϋψείς όσο και οι ισοβαρικές επιφάνειες, τέµνουν την επιφάνεια της Γης, επινοήθηκε ένα άλλο σύστηµα συντεταγµένων το 0(x,y,σ,t). Στο νέο αυτό σύστηµα, το σ ορίζεται από τη σχέση (3.6), όπου Ps η πίεση στην επιφάνεια. Το σύστηµα συντεταγµένων 0(x,y,σ,t ) χρησιµοποιείται κυρίως σε θεωρητικά µοντέλα. στην κορυφήτης ατµόσφαιρας 0, σ = Ρ / Ps , οπουδήποτε αλλού 1, στην επιφάνεια της γης (3.6) 7 4 Μαθηµατικές Έννοιες 4.1 Σχέση ολικής και µερικής παραγώγου ως προς το χρόνο. Η ροή ενός ρευστού ακολουθεί το δεύτερο νόµο του Newton, ο οποίος µαθηµατικά εκφράζεται µε την παρακάτω εξίσωση: r d r F= mV dt Η παράγωγος ενός πεδίου ως προς το χρόνο µπορεί να εκφραστεί είτε κατά Lagrange είτε κατά Euler. Έτσι για το πεδίο των ταχυτήτων, ισχύουν: r r r r r r dV ∂V κατά Lagrange: , όπου V = f ( r0 , t ) και κατά Euler: , όπου V = f ( r , t ) dt ∂t r dV , εκφράζει την ολική µεταβολή του πεδίου της Η παράγωγος κατά Lagrange, dt ταχύτητας ως προς το χρόνο κατά την κίνηση στην ατµόσφαιρα, ενώ η παράγωγος κατά r ∂V , εκφράζει τη µεταβολή του πεδίου της ταχύτητας στη µονάδα του χρόνου, σε Euler, ∂t ένα συγκεκριµένο σηµείο στο χώρο. ( ) Θα ερευνηθεί η σχέση µε την οποία συνδέονται οι παραπάνω δύο παράγωγοι. Είναι γνωστό ότι το διαφορικό µίας συνάρτησης είναι ίσο µε: ∂T ∂T ∂T ∂T dx + dy + dz + dt ⇒ ∂x ∂y ∂z ∂t ∂T ∂T ∂T dT ∂T = u+ υ+ w+ ⇒ dt ∂x ∂y ∂z ∂t dT ∂T r r = + V∇T dt ∂t dT = (4.1) Η σχέση (4.1) ισχύει για οποιοδήποτε βαθµωτό ή διανυσµατικό πεδίο. ∆ιερεύνηση της σχέσης (4.1). • r Πεδίο ταχύτητας V Η σχέση (4.1) γράφεται: r r dV ∂V r r r = + V∇ V dt ∂t r r ∂V dV r r r =0⇒ = V∇V (µεταφορά). Σε αυτήν την περίπτωση η ροή χαρακτηρίζεται Αν ∂t dt στρωτή (steady) και η ολική µεταβολή της ταχύτητας οφείλεται στη µεταφορά της ταχύτητας στη µονάδα του χρόνου. 8 • Πεδίο θερµοκρασίας Τ. Η σχέση (4.1) γράφεται: dT ∂T r r + V ∇T = ∂t dt r r 1) Εάν V ⋅ ∇T > 0 έχουµε µεταφορά θερµής αέριας µάζας (Warm Air Advection –WAA) r r 2) Εάν V ⋅ ∇T < 0 έχουµε µεταφορά ψυχρής αέριας µάζας (Cold Air Advection –CAA) • Πεδίο πίεσης P. Η σχέση (4.1) γράφεται: dP ∂P r r = + V∇ P dt ∂t Γενικό συµπέρασµα: Για οποιοδήποτε βαθµωτό ή διανυσµατικό πεδίο Q ισχύει: dQ ∂Q r r + V∇ Q = ∂t dt dQ = 0 , τότε Q = σταθερό και εποµένως το πεδίο διατηρείται και απλώς dt r r ∂Q = −V ⋅ ∇Q παρακολουθεί την κίνηση: ∂t Εάν Οι ποσότητες αυτές Q, που έχουν τη χαρακτηριστική ιδιότητα της διατήρησης του πεδίου τους είναι χρησιµότατες στους υπολογισµούς της ∆υναµικής Μετεωρολογίας. 4.2 Οι εξισώσεις της κίνησης στην ατµόσφαιρα. Σκοπός: Εφαρµογή του 2ου νόµου του Newton στην ατµόσφαιρα. r r r r n r F = m a αν m=1gr, θα έχουµε : a = ∑ Fi , όπου Fi είναι: ∑ i n Από τη σχέση i =1 • • • i =1 r ∆υνάµεις τριβής FT r ∆υνάµεις βαροβαθµίδας FB r ∆υνάµεις βαρύτητας g Άρα η παραπάνω σχέση γίνεται: r r r r a = FT + FB + g (4.12 9 Ο 2ος νόµος του Newton ισχύει σε απόλυτα συστήµατα ή συστήµατα αδρανείας (µη επιταχυνόµενα συστήµατα). Έτσι, η σχέση 4.2 γράφεται ως: r 3 r r r dVa r = FT + FB + gr = ∑ Fi a a = i =1 dt a 4.2.1 Ευθύγραµµη κίνηση. Στην ευθύγραµµη κίνηση, η ταχύτητα µπορεί να οριστεί µε τους παρακάτω τρόπους: r r r ∆S dS V ≡ lim = ∆t → 0 ∆t dt 2 2 2 r r r r r dy dx dz V = ui + υj + wk , ενώ V = + + dt dt dt ενώ η επιτάχυνση είναι ίση µε: r r r r ∆V dV d 2 S a ≡ lim = = 2 ∆ t → 0 ∆t dt dt 4.2.2 Καµπυλόγραµµη κίνηση. r a ε : Επιτρόχιος επιτάχυνση. r a r : Ακτινική ή κεντροµόλος επιτάχυνση. r r d V r r dV aε = = ε0 r dV r V 2 r dt dt a = ε0 + r0 ⇒ dt r r V2 r ar = r0 r 4.2.3 Περιστροφική κίνηση. r r r V = ω × r ⇒ V = ωr sin 90° = ωr Αλλά: V = ωR sin θ , διότι r = R sin θ r r r Άρα: V = ω × R r r Όταν το V είναι σταθερό, τότε a ε = 0 r V2 r V 2 r ω 2 R 2 sin 2 θ r ar = r0 = r0 = r0 ⇒ a r = ω 2 R sin θ = ω (ωR sin θ ) ⇒ r R sin θ R sin θ 10 ( r r r r ar = ω × ω × R ) 4.2.4 Απόλυτη και σχετική κίνηση. Ισχύει: r r r V a = Vσ + V 0 όπου: r Va : Ταχύτητα σηµείου στην επιφάνεια της γης, ως προς αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. r Vσ : Ταχύτητα του σχετικού συστήµατος, ως προς το απόλυτο σύστηµα. r V0 : Ταχύτητα του σηµείου ως προς το σχετικό σύστηµα αναφοράς. Γενική µορφή: r dV a dt r r dS dS r r = +ω ×S dt a dt σ r r dV a r r = + ω × V a dV a ⇒ ra r dt σ r r dt V a = Vσ + ω × R r dV a r r r r = + ω × Vσ + ω × R ⇒ a dt σ ( r dVa ⇒ dt r r r r = d Vσ + ωr × R + ωr × Vσ + ωr × R ⇒ a dt r dVa ⇒ dt r r r r r r r r r r d V d d R ω = + × R + ω × + ω ×V + ω × ω × R ⇒ dt dt a dt r dVa ⇒ dt r r r r r r d V = + 2 ω × V + ω × ω×R a dt ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ) Στην παραπάνω σχέση, ο πρώτος όρος είναι η απόλυτη επιτάχυνση, ο δεύτερος η σχετική επιτάχυνση, ο τρίτος η Coriolis επιτάχυνση και ο τέταρτος η κεντροµόλος επιτάχυνση. r dV a Όµως: dt r r r = FB + FT + g , και η παραπάνω σχέση γίνεται: a r r r r r r r r r dV = −2 ω × V − ω × ω × R + FB + g + FT dt ( ) ( ) Θα µελετήσουµε τώρα κάθε όρο της εξίσωσης (4.3) ξεχωριστά: (4.3) 11 r dV du r dυ r dw r 1) i + j+ = k dt dt dt dt Αν όµως συµπεριλάβουµε τους όρους της καµπυλότητας της γης, θα έχουµε: r dV du uυ tan ϕ uw r dυ u 2 tan ϕ uw r dw u 2 + υ 2 j + = − + + + − i + dt dt R R dt R R R dt r k r r r r r r r 2) Fc = −2 ω × V : ω = 0i + ω cos ϕj + ω sin ϕk Άρα: ( ) r r i j r Fc = −2ω 0 cos ϕ u r k r r r sin ϕ = −2ω (w cos ϕ − υ sin ϕ )i + u sin ϕj − u cos ϕk ⇒ υ [ ] w r r r r ⇒ Fc = (υ 2ω sin ϕ − w2ω cos ϕ )i − u 2ω sin ϕj + u 2ω cos ϕk ⇒ r r r r Fc = ( fυ − ew)i − fuj + euk όπου f = 2ω sin ϕ και e = 2ω cos ϕ ( ) ( ) r r r r r r 3) ω × ω × R = −ω 2 R ⇒ max ω × ω × R = 0,03m sec −2 g = 9,80616 m sec-2 (φ=45°, MSL) ( ) r r r r r Λόγω της παραπάνω διαφοράς, µπορούµε να γράψουµε: g − ω × ω × R ≅ g r 1 r 1 ∂P r 1 ∂P r 1 ∂P r 4) FB = − ∇P = − i − j− k ρ ρ ∂x ρ ∂y ρ ∂z και αν παραγωγίσουµε ως προς λ, φ και ζ: 1 ∂P r 1 ∂P r 1 ∂P r i − j− k ρ R cos ϕ ∂λ ρR ∂ϕ ρ ∂ζ r 1 FB = − r r r r 5) FT = Fx i + Fy j + Fz k Με αυτόν τον τρόπο, µπορέσαµε να χωρίσουµε όλες τις µεταβλητές στις τρεις τους συνιστώσες. Έτσι η εξίσωση (4.3) γράφεται: 12 1 ∂P du =− + fυ − ew + Fx dt ρ ∂x dυ 1 ∂P =− − fu + F y dt ρ ∂y 1 ∂P dw =− + eu − g + Fz dt ρ ∂z (4.4) Οι εξισώσεις (4.4) ονοµάζονται Εξισώσεις κίνησης ως προς σχετικό σύστηµα συντεταγµένων. Αν συµπεριληφθούν οι όροι λόγω της καµπυλότητας της γης, οι (4.4) γράφονται: du uυ tan ϕ uw 1 ∂P + fυ − ew + Fx − + =− dt R R ρ ∂x dυ u 2 tan ϕ υw 1 ∂P + + =− − fu + F y dt R R ρ ∂y (4.5) dw u 2 + υ 2 1 ∂P − =− + eu − g + Fz dt R ρ ∂z 4.2.5 Γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της γης r r r r Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της γης γράφεται: ω = ω x i + ω y j + ω z k , όπου σε ένα τοπικό προσανατολισµένο σύστηµα ισχύει: ωx = 0 ω y = ω cos ϕ ω z = ω sin ϕ r r r r Άρα: ω = 0i + ω cos ϕj + ω sin ϕk , φ το γεωγραφικό πλάτος. Το µέτρο ω της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της γης υπολογίζεται ως εξής: 366,25 Αστρικές ηµέρες 2π 366,25 = 2π Ηλ. ηµ. = 1 Αστρική ηµέρα 365,25 Ηλιακές ηµέρες 365,25 2π 366.25 = = 7.292 × 10 −5 sec −1 86400 sec 365.25 ω= 4.2.6 Coriolis επιτάχυνση • ( ) r r 2 ω ×V . Οφείλεται στην τρισδιάστατη σχετική ταχύτητα του αέρα. 13 • • • • Εξαρτάται από τη σχετική ταχύτητα και από την ταχύτητα περιστροφής της γης. Εάν η ταχύτητα είναι 0, δεν υπάρχει Coriolis επιτάχυνση. Είναι διάνυσµα κάθετο στον τρισδιάστατο άνεµο και έχει διεύθυνση προς τα δεξιά του διανύσµατος του ανέµου στο Βόρειο Ηµισφαίριο, και προς τα αριστερά στο Νότιο. Έχει αµελητέα επίδραση σε φαινόµενα µε περίοδο πολύ µικρότερη από την περίοδο περιστροφής της γης. (ωr × ωr × R). r 4.2.7 Κεντροµόλος επιτάχυνση • • • Οφείλεται στην περιστροφή της γης περί τον άξονά της και δεν προϋποθέτει την κίνηση του αέρα. Εποµένως υπάρχει πάντα. Είναι διάνυσµα µε διεύθυνση προς τον άξονα της γης. r2 Το µέτρο της είναι ω r , όπου r η απόσταση του σηµείου από τον άξονα της γης. Άρα εξαρτάται µόνο από το γεωγραφικό πλάτος και δεν έχει καµία σχέση µε τις διάφορες ιδιότητες του αέρα. Μέγιστη τιµή της κεντροµόλου επιτάχυνσης: π r r r ω × ω × R = ω 2 R sin θ = ω 2 R cos ϕ διότι θ = − ϕ , 2 2 ω = 7.29×10-5 sec-1, και R = × 10 7 m . φ είναι το γεωγραφικό πλάτος, π Άρα: a r = (7.29 × 10 −5 sec −1 ) × 2 2 π × 10 7 m = 0.03m sec − 2 4.3 Ανάλυση κλίµακας. 4.3.1 Τάξεις µεγέθους Συνοπτικής κλίµακας µέσων γεωγραφικών πλατών. • • • • • • • Οριζόντια ταχύτητα: Κατακόρυφη ταχύτητα: Μήκος συνοπτικής κλίµακας: Ύψος συνοπτικής κλίµακας: Οριζόντια µεταβολή πίεσης: Μέση πυκνότητα: Coriolis παράµετρος U ≈ 10 m⋅sec−1 W ≈ 1 cm⋅sec−1 L ≈ 1000 km H ≈ 10 km ∆P ≈ 10 hPa ρ ≈ 10-3 gr⋅cm−3 f0 ≈ 10−4 sec−1 = 103 cm⋅sec−1 = 100 cm⋅sec−1 = 108 cm = 106 cm = 104 dyn⋅cm−3 = 10−3 gr⋅cm−3 = 10−4 sec−1 14 4.3.2 Οριζόντιες συνιστώσες. Συνιστώσα x Α du dt Β uυ tan ϕ − R Γ uw R Συνιστώσα y dυ dt u 2 tan ϕ R υw Μονάδες U2 L U2 [R] UW [R] ∆P ρL f 0U f 0W Τάξεις µεγέθους 10−2 10−3 10−6 10−1 10−1 10−4 R ∆ 1 ∂P − ρ ∂x − 1 ∂P ρ ∂y Ε 2ωυ sin ϕ ( fυ ) Ζ 2ωw cos ϕ (ew) − 2ωu sin ϕ ( fu ) 4.3.3 Κατακόρυφη συνιστώσα. Α dw dt Β u +υ2 − R Γ 1 ∂P − ρ ∂z ∆ 2ωu cos ϕ (eυ ) Ε −g Μονάδες UW L U2 [R] P0 ρH f 0U g Τάξεις µεγέθους 10−5 10−3 103 10−1 103 Συνιστώσα z 2 4.3.4 Συµπεράσµατα. 1. Γεωστροφική προσέγγιση. Η γεωστροφική προσέγγιση προκύπτει αν στην οριζόντια συνιστώσα εξισώσουµε τους δύο πιο σηµαντικούς όρους, δηλαδή τους όρους ∆ και Ε. Τότε θα πάρουµε τις εξισώσεις: 1 ∂P fυ = (4.6) ρ ∂x 1 ∂P fu = − (4.7) ρ ∂y Χαρακτηριστικά: i) ∆ιαγνωστική σχέση. ii) Σχετίζει το πεδίο πίεσης µε το πεδίο ταχυτήτων σε φαινόµενα Συνοπτικής και Υποσυνοπτικής (Meso-α) κλίµακας. iii) Εκφράζει το γεωστροφικό άνεµο. Το σφάλµα προσέγγισης είναι 10%, επειδή παραλείπουµε τον όρο που είναι µία iv) τάξη µεγέθους µικρότερος στην ανάλυση κλίµακας. 15 2. Προσέγγιση προγνωστικών εξισώσεων. Αν στη γεωστροφική προσέγγιση προσθέσουµε τον αµέσως σηµαντικότερο όρο κατά την ανάλυση κλίµακας (τον όρο Α) καταλήγουµε στις σχέσεις: du 1 ∂P = fυ − dt ρ ∂x dυ 1 ∂P = − fu − dt ρ ∂y (4.8) (4.9) Χαρακτηριστικά: i) Προγνωστική σχέση. ii) Σχετίζει τη σχέση της γεωστροφικής προσέγγισης µε το πεδίο της επιτάχυνσης. iii) Το σφάλµα υπολογισµού της επιτάχυνσης είναι µεγάλο. iv) ∆ιερεύνηση σφάλµατος µε τον αριθµό Rossby (R0). 3. Υδροστατική προσέγγιση. Αυτή προσέγγιση προκύπτει από την ανάλυση κλίµακας κατά την κατακόρυφη συνιστώσα και σχετίζει τους δύο πιο σηµαντικούς όρους. ∂P = − ρg ∂z και ∂P ′ = − ρ ′g ∂z (4.10) Το σφάλµα υπολογισµού των κατακόρυφων ταχυτήτων (w) είναι πάρα πολύ µεγάλο. Καθαροί αριθµοί. 1. Αριθµός Rossby: R0 = ∆υνάµεις αδρανείας U = Coriolis δύναµη fL 2. Αριθµός Reynolds: Re = ∆υνάµεις αδρανείας LU = Μοριακές δυνάµεις ν 3. Αριθµός Richardson: ∂Θ ∆υνάµεις άνωσης g ∂z Ri = = ∆υνάµεις αδρανείας Θ ∂V 2 ∂z 16 5 Εξισορροπούµενες κινήσεις. 5.1 Ορισµός. Εξισσοροπούµενη κίνηση είναι εκείνη η κίνηση στην οποία η συνισταµένη των δυνάµεων που επενεργούν σε ένα µερίδιο της ατµόσφαιρας, σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή, είναι πάντοτε µηδέν. Αιτία των εξισσοροπούµενων κινήσεων είναι οι δυνάµεις βαροβαθµίδας και βαρύτητας. 5.2 Γεωστροφικός άνεµος. Γεωστροφική ισοδυναµία: Μαθηµατική έκφραση: Χαρακτηρίζεται η κατάσταση εκείνη του ρευστού (αέρα) κατά την οποία η οριζόντια συνιστώσα της Coriolis δύναµης και η οριζόντια συνιστώσα της δύναµης της βαροβαθµίδας, βρίσκονται σε πλήρη ισορροπία. r r 1 r 2ω × V g = − ∇ 2 P ρ 5.2.1 Τοπικό προσανατολισµένο σύστηµα. Σε τοπικό προσανατολισµένο σύστηµα, η σχέση (5.2.1) γράφεται: 1 ∂P 1 ∂P fυ g = υg = ρ ∂x ρf ∂x ⇒ 1 ∂P 1 ∂P ug = − fu g = − ρf ∂y ρ ∂y r r 1 r f Vg × k = ∇ 2 P Άρα: ( ) ρ 5.2.2 ∆ιανυσµατική µορφή. Από τις σχέσεις (5.2.2) έχουµε: r r 1 r r 1 ∂P r ∂P r Vg = k × ∇2P − Vg = i + j ⇒ ρf ρf ∂y ∂x (5.2.1) (5.2.2) (5.2.3) (5.2.4) 5.2.3 Φυσικό σύστηµα συντεταγµένων (σε σταθερό ύψος). Η γεωστροφική ισοδυναµία µας λέει ότι η δύναµη βαροβαθµίδας και η δύναµη Coriolis r r 1 δP ισορροπούν. Έτσι, έχουµε: FB = Fc ⇒ = 2ωV g sin ϕ ⇒ ρ δn 1 δP Vg = (5.2.5) ρf δn Από τη σχέση (5.2.5) βγαίνουν τα παρακάτω συµπεράσµατα: 1. Όσο πυκνότερες είναι οι ισοβαρείς, τόσο δυνατότερος είναι ο γεωστροφικός άνεµος. 2. Όσο µεγαλύτερο είναι το γεωγραφικό πλάτος, τόσο ασθενέστερος είναι ο γεωστροφικός άνεµος. 3. Στον Ισηµερινό, ο γεωστροφικός άνεµος δεν έχει έννοια. 17 5.2.4 Ισοβαρικό σύστηµα συντεταγµένων. Είναι γνωστό ότι: ∂P ∂P ∂P ∂P δz δP = δx + δz = 0 ⇒ =− ∂z δx ∂x ∂z ∂x Από την υδροστατική εξίσωση όµως: ∂P = − ρg ∂z Άρα τελικά: 1 ∂P ∂P ∂z ∂z = ρg ⇒ = g ∂x ρ ∂x ∂x P ∂x P Οµοίως και για την y συνιστώσα. Άρα, από τις σχέσεις (5.2.2) έχουµε τελικά: g ∂z υg = f ∂x P ∂z ∂y P Οι σχέσεις (5.2.6) γράφονται σε διανυσµατική µορφή ως εξής: r g r r Vg = k × ∇ P z f ή r r g r Vg × k = ∇ P z f g ug = − f (5.2.6) (5.2.7) (5.2.8) 5.2.5 Φυσικό σύστηµα συντεταγµένων (σε σταθερή πίεση). Σε φυσικό σύστηµα συντεταγµένων υπό σταθερή πίεση, ο γεωστροφικός άνεµος ισούται µε: g δz Vg = (5.2.9) f δn P δz όπου είναι η κλίση της ισοβαρικής επιφάνειας. δn Είναι αξιοσηµείωτο το γεγονός ότι στη σχέση (5.2.9) δεν περιέχεται η πυκνότητα και έτσι η σχέση είναι άµεσα αξιοποιήσιµη σε ισοβαρικούς χάρτες για τον υπολογισµό του γεωστροφικού ανέµου. Θα προσπαθήσουµε τώρα να εισάγουµε το γεωδυναµικό στον τύπο του γεωστροφικού ανέµου. Το γεωδυναµικό ισούται µε: dΦ = g ⋅ dz Αν θεωρήσουµε το g σταθερό, από τη σχέση (5.2.7) έχουµε: r g r r 1 r r V g = k × ∇ P z = k × ∇ P ( gz ) ⇒ f f r r r 1 Vg = k × ∇ P Φ (5.2.10) f 5.2.6 Ισεντροπικό σύστηµα συντεταγµένων. Σε ισεντροπικό σύστηµα συντεταγµένων, ο γεωστροφικός άνεµος δίνεται από τη σχέση: 18 r 1 r r V g = k × ∇ θ (c P T + Φ ) f Η σχέση (5.2.11) είναι διανυσµατική και αναλύεται ως εξής: 1 ∂ (c p T + Φ )θ υg = f ∂x 1 ∂ (c p T + Φ )θ ug = − f ∂y (5.2.11) (5.2.12) Η ποσότητα Ψ = c P T + Φ λέγεται ∆υναµική Επιτάχυνσης ή Ρευµατογραµµή Montgomery. 5.2.7 Γεωστροφικός και πραγµατικός άνεµος. 1. Υπολογισµός. Ο υπολογισµός του γεωστροφικού ανέµου γίνεται: i) Σε ισοβαρικές επιφάνειες. Σε γεωδυναµικό πεδίο. ii) 2. Περιορισµοί. Για να υπολογιστεί ο γεωστροφικός άνεµος µε ακρίβεια, πρέπει να ικανοποιούνται οι παρακάτω περιορισµοί: i) Να έχουµε οριζόντια κίνηση, χωρίς επιτάχυνση. Οι ισοϋψείς να είναι ευθύγραµµες σε ισοβαρικές επιφάνειες, ή οι ισοβαρείς να ii) είναι ευθύγραµµες σε οριζόντιες επιφάνειες. 3. Αριθµητικά συµπεράσµατα. Συγκρίνοντας το γεωστροφικό µε τον πραγµατικό άνεµο, έχουµε: i) V g > V σε ροές µε ισχυρή κυκλωνική καµπυλότητα. ii) V g ≅ V σε αντικυκλωνική ροή. 4. Στοιχεία. Στοιχεία για τον υπολογισµό του γεωστροφικού ανέµου µπορούµε να πάρουµε από ραδιοβολίσεις (RAOBs). 5. Εφαρµογή. ∆ύο κριτήρια για την ικανοποιητική εφαρµογή του γεωστροφικού ανέµου είναι: V να είναι µικρός. i) Ο αριθµός Rossby Ro = fL VL Ο αριθµός Reynolds Re = να είναι µεγάλος. ν 6. Μη ύπαρξη. Ο γεωστροφικός άνεµος δεν έχει έννοια: i) Όταν το γεωγραφικό πλάτος είναι 0. ii) Σε κλίµακα τυρβώδους ροής. ii) 19 5.3 Άνεµος βαροβαθµίδας. Ορισµός: Σε µία ισοταχή και καµπυλόγραµµη κίνηση, ο άνεµος βαροβαθµίδας χαρακτηρίζεται σαν το αποτέλεσµα της τέλειας ισορροπίας µεταξύ της δύναµης της πίεσης (βαροβαθµίδας), της Coriolis δύναµης και της φυγόκεντρης δύναµης. Μαθηµατική έκφραση: r r r r r r VV2 × k + f V2 × k = f V g ×k (5.3.1) r r r r 1 r dV 2 = f Vg × k − ∇ 2 P (5.3.2) dt ρ ( ) ( ( ) ) 5.3.1 Κυκλωνική και αντικυκλωνική κίνηση. A) Κυκλωνική κίνηση. Από τη σχέση (5.3.1) έχουµε: r r r r VV2 × k 1 r + fV2 × k = − ∇ 2 P r ρ Με τη βοήθεια του σχήµατος, η παραπάνω σχέση γίνεται: V2 1 δP + fV = ⇒ r ρ δr r δP V L2 + rfV L − =0 ρ δr B) Αντικυκλωνική κίνηση. Από τη σχέση (5.3.1) έχουµε: r r r r VV2 × k 1 r fV2 × k = − ∇2P ρ r Με τη βοήθεια του σχήµατος, η παραπάνω σχέση γίνεται: V 2 1 δP fV = + ⇒ r ρ δr r δP V H2 − rfV H + =0 ρ δr Λύνοντας τις σχέσεις (5.3.3) και (5.3.4), θα καταλήξουµε στις: rf VL = − ± 2 VH = rf ± 2 r2 f 4 r2 f 4 2 + 2 − r δP ρ δr r δP ρ δr (5.3.3) (5.3.4) (5.3.5) (5.3.6) 5.3.2 ∆ιερεύνηση. δP 1) Εάν = 0 τότε δεν υπάρχει καµπυλότητα, άρα υπάρχει δύναµη και άρα έχουµε δr επιταχυνόµενη κίνηση. Εποµένως, ο άνεµος βαροβαθµίδας είναι 0. Από τη σχέση (3.3.5) λοιπόν, αντικαθιστώντας τις τιµές από την παραπάνω υπόθεση, έχουµε: 20 rf rf ± . 2 2 Άρα ισχύει το ‘+’. Άρα η σχέση (5.3.5) γίνεται: 0=− rf VL = − + 2 Οµοίως από την (5.3.6) έχουµε: r2 f 4 2 + r δP ρ δr (5.3.7) rf rf ± 2 2 Άρα ισχύει το ‘−’ και η σχέση (3.3.6) γίνεται: 0= rf r 2 f 2 r δP − − (5.3.8) 2 4 ρ δr Οι σχέσεις (5.3.7) και (5.3.8) είναι αυτές από τις οποίες µπορούµε να υπολογίσουµε τον άνεµο βαροβαθµίδας σε κυκλωνικά και αντικυκλωνικά συστήµατα. VH = 2) Η σχέση (5.3.3) πρέπει να έχει διακρίνουσα µεγαλύτερη ή ίση µε το 0 για να έχουµε πραγµατικές και παραδεκτές λύσεις. Οµοίως για τη σχέση (5.3.4). Ειδικότερα για τη σχέση (5.3.4), αφού η διακρίνουσα πρέπει να είναι θετική ή µηδέν, θα έχουµε ότι: r 2 f 2 r δP − ≥0⇒ ρ δr 4 δP rf 2 ρ ≤ δr 4 (5.3.9) 3) Συµπεράσµατα. δP = f (ϕ , r ) i) δr δP ii) Το ελαττώνεται γραµµικά προς την κατεύθυνση του κέντρου του δr αντικυκλώνα. iii) Οι άνεµοι στο κέντρο του αντικυκλώνα είναι ασθενείς. 5.3.3 Συγκρίσεις τιµών Vg και VL, VH. A) Σύγκριση Vg και VL. 1 ∂P 1 ∂P 1 δP = = fρ ∂n ρf ∂r fρ δ r Από την (5.3.3) και την (5.3.10) έχουµε: V2 V L2 + rfV L − rfV g = 0 ⇒ L = V g − V L rf Vg = Άρα, επειδή (5.3.10) V L2 > 0 , τελικά: rf V g > VL (5.3.11) 21 Άρα στην περίπτωση κυκλωνικού συστήµατος, ο γεωστροφικός άνεµος υπερεκτιµά τον πραγµατικό άνεµο. B) Σύγκριση Vg και VH. C) Από τις σχέσεις (5.3.4) και (5.3.10), έχουµε: V H2 − rfV H + rfV g = 0 ⇒ και επειδή V H2 = VH − Vg rf V H2 > 0 , τελικά: rf VH > V g (5.3.12) Άρα στην περίπτωση αντικυκλωνικού συστήµατος, ο γεωστροφικός άνεµος υποεκτιµά τον πραγµατικό άνεµο. Από την παραπάνω διαδικασία, µπορούµε να υπολογίσουµε τον άνεµο βαροβαθµίδας σαν συνάρτηση του γεωστροφικού ανέµου. Οι σχέσεις υπολογισµού είναι: 2 VL = − rf rf + + rfV g 2 2 2 VH = (5.3.13) rf rf − − rfV g 2 2 5.3.4 Σχέση Vg και VH. Από τις σχέσεις (5.3.8) και (5.3.10) έχουµε: 4V rf rf 4V g 1 − g = − 1 − ⇒ 2 rf 2 rf 4V g rf (5.3.14) ⇒ V H = 1 − 1 − 2 rf Το VH παίρνει τη µεγαλύτερη τιµή του αν η τετραγωνική ρίζα της παραπάνω σχέσης πάρει την ελάχιστη τιµή της, δηλαδή 0. Άρα το VΗ γίνεται µέγιστο αν 4V g 4V g rf 1− = 0 ⇒1− = 0 ⇒ Vg = . (5.3.15) rf rf 4 Αντικαθιστώντας την τιµή αυτή στην (5.3.14), έχουµε: rf V H max = 2 και από την (5.3.15) V H max = 2V g rf VH = − 2 r2 f 4 2 rf − rfV g ⇒ V H = − 2 r2 f 4 2 22 5.4 Κυκλοστροφικός άνεµος. Ορισµός: Σε µία ισοταχή και καµπυλόγραµµη κίνηση, ο κυκλοστροφικός άνεµος χαρακτηρίζεται σαν το αποτέλεσµα της τέλειας ισορροπίας µεταξύ της δύναµης της πίεσης και της φυγόκεντρης δύναµης. Μαθηµατική έκφραση: r r r VV2 × k dV2 1 r = − ∇2P = r ρ dt Από το σχήµα, έχουµε: V 2 1 ∂P = (3.4.1) r ρ ∂r Προϋποθέσεις ύπαρξης: Ο αριθµός Rossby πρέπει να είναι σχετικά µεγάλος, δηλαδή: Ro ≥ 103. Άρα πρέπει να ισχύουν τα εξής: 1) Μικρή οριζόντια κλίµακα (r~100m) (Μήκος Συνοπτικής Κλίµακας: L~1000m) 2) Μικρό γεωγραφικό πλάτος (f~10−5sec−1 // φ~10°) (f~10−4sec−1 // φ~40°) 3) Μεγαλύτερη οριζόντια ταχύτητα (V~30ms−1) (V~10ms−1) 4) Μεγαλύτερη οριζόντια µεταβολή πίεσης (∆P~40hPa) (∆P~10hPa) Αν αντικαταστήσουµε τις παραπάνω τιµές, θα βγάλουµε για τον αριθµό Rossby: V 3 ⋅ 10 3 Ro = ≅ −5 4 = 3 ⋅ 10 4 fr 10 10 Φαινόµενα εφαρµογής. • Σίφωνες ξηράς (tornadoes) • Σίφωνες θάλασσας (water spouts) • Ανεµοστρόβιλοι (dust devils) • Κυκλωνική ή αντικυκλωνική ροή (P.C. Sinclair, 1965) Ανάλυση κλίµακας σίφωνα. r = 100m V = 30ms−1 ∆P = 40hPa f = 2⋅7.29⋅10−5sin(12°) ρ = 10−3gr⋅cm−3 = 104cm = 3⋅103cm⋅s−1 = 4⋅104dyn⋅cm−2 = 3⋅10-5s−1 = 10−3gr⋅cm−3 Με τις παραπάνω τιµές, οι τυπικές τιµές των δυνάµεων είναι: Φυγόκεντρος: Coriolis: Πίεσης: ( ) 2 V2 3 ⋅ 10 3 ≈ = 900 r 10 4 fV ≈ 3 ⋅ 10 −5 ⋅ 3 ⋅ 10 3 = 0.09 1 ∂P 1 4 × 10 4 ≈ −3 = 4000 ρ ∂r 10 10 4 23 5.5 Θερµικός άνεµος. Ορισµός: Σαν θερµικός άνεµος ορίζεται η διανυσµατική διαφορά των γεωστροφικών ανέµων δύο ισοβαρικών επιφανειών. Μαθηµατική έκφραση: Ο γεωστροφικός άνεµος µίας ισοβαρικής επιφάνειας, δίνεται από τη σχέση (5.2.7): r g r r Vg = k × ∇ P z f Από τον ορισµό, ο θερµικός άνεµος ισούται µε: r r r r Vθ = V g 5 − V g10 = ∆V g 5 −10 r r όπου V g 5 ο γεωστροφικός άνεµος της υψηλότερης επιφάνειας, και Vg10 ο γεωστροφικός άνεµος της χαµηλότερης επιφάνειας. Ο συµβολισµός 5 και 10 επιλέχθηκε επειδή συνήθως χρησιµοποιούµε τις ισοβαρικές επιφάνειες των 500hPa και 1000hPa. Αυτό όµως δεν είναι απαραίτητο. Άρα: r g r r g r r g r r g r r Vθ = k × ∇ P z 5 − k × ∇ P z10 = k × ∇ P ( z 5 − z10 ) = k × ∇ P (∆z ) (5.5.1) f f f f Από την υψοµετρική εξίσωση όµως: RT P ∆z = a ln 10 (5.5.2) g P5 Από τις (5.5.1) και (5.5.2) παίρνουµε: r r P g r r R T g R a P10 r r Vθ = k × ∇ P a ln 10 ⇒ Vθ = ln k × ∇ PT ⇒ f P5 f g P5 g r R P r r Vθ = a ln 10 k × ∇ P T (5.5.3) f P5 Άρα R P ∂T uθ = − a ln 10 f P5 ∂y P (5.5.4) R a P10 ∂T υθ = ln f P5 ∂x P 5.5.1 Υδροστατική εξίσωση. Η υδροστατική εξίσωση είναι γνωστή ως εξής: ∂P = − ρg ∂z Η καταστατική εξίσωση δίνεται από τη σχέση: P = ρRT Το γεωδυναµικό δίνεται από τη σχέση: ∂Φ = g∂z Από τις (5.5.5) και (5.5.6) έχουµε: (5.5.5) (5.5.6) (5.5.7) 24 gP ∂P =− ∂z RT (5.5.8) Από τις (5.5.8) και (5.5.7) έχουµε: ∂Φ RT =− ∂P P Η (5.5.9) είναι η υδροστατική εξίσωση µε το γεωδυναµικό. (5.5.9) Από την (5.5.9) παίρνουµε: Φ10 P10 P ∂P ∂P ∂Φ = − RT ⇒ ∫ ∂Φ = − R ∫ T ⇒ Φ 10 − Φ 5 = − R ln 10 T ⇒ P P P5 Φ5 P5 P10 P5 T (5.5.10) Ο γεωστροφικός άνεµος δίνεται από τη σχέση (5.2.10): r 1 r r Vg = k × ∇ P Φ f Άρα, ο θερµικός άνεµος ισούται µε: r 1 r r Vθ = k × ∇(δΦ ) f Όµως: R a P10 r r r r r r ln k × ∇ PT ∆V g ∂V g Vθ Vθ f P5 g 1 r r = lim = ⇒ = = k × ∇ PT ⇒ Ra P10 ∆z ∆z →0 ∆z ∂z ∆z f T T ln g P5 δΦ = − R ln r ∂V g r Vθ g r r = = k × ∇ PT ∂z ∆z fT Από τη σχέση (5.5.11) παίρνουµε: ∂V g Vθ g ∂T ⇒ = = ∂z ∆ζ fT ∂n P Vθ = g fT ∂T ∆z ∂n P (5.5.11) (5.5.12) και ∂u g ∂z ∂υ g =− g fT g = ∂z fT ∂T ∂y ∂T ∂x P P (5.5.13) 25 5.6 Η εξίσωση της συνέχειας Ορισµός: Η εξίσωση της συνέχειας είναι µια υδροδυναµική εξίσωση που εκφράζει την αρχή διατήρησης της µάζας στα ρευστά, και µας πληροφορεί ότι πουθενά στην ατµόσφαιρα δεν υπάρχουν πηγές ή απώλειες µάζας. Ορισµός συνέχειας: Η συνέχεια είναι µία ιδιότητα ενός πεδίου, τέτοια ώστε η τιµή µιας παραµέτρου να διαφέρει κατά ένα πολύ µικρό ποσό σε δύο διαφορετικές, αλλά πολύ κοντινές, θέσεις ή χρονικές στιγµές, αυτής της ίδιας παραµέτρου. Αν θεωρήσουµε το παραλληλεπίπεδο Oxyz του σχήµατος, θα έχουµε: m = ρδxδyδz Για την πλευρά ΑΒΓ∆: ∂x ∂m ∂m (5.6.1) = ρ (δyδz ) ⇒ = ρuδyδz ∂t ∂t x1 ∂t x1 Για την πλευρά ΕΖΗΘ: ∂ ( ρu ) ∂m = ρu + δx δyδz ⇒ ∂x ∂t x1 +δx ∂( ρu ) ∂m = ρuδyδz + δxδyδz ∂x ∂t x1 +δx (5.6.2) ∂ ( ρu ) ∂m ∂m ∂m ∂m ⇒ δxδyδz = − =− ∂x ∂t x ∂t x1 ∂t x1 +δx ∂t x Οµοίως: και: ∂ ( ρυ ) ∂m δxδyδz =− ∂y ∂t y ∂ ( ρυ ) ∂m δxδyδz =− ∂z ∂t z Άρα: ∂( ρu ) ∂ ( ρυ ) ∂( ρw) ∂m = − + + δxδyδz (5.6.3) ∂t ∂y ∂z ∂x ∂ρ ∂m ∂ ∂V ∂V Όµως , και επειδή = (Vρ ) = ρ +V = 0 (V όγκος), η (5.6.3) γίνεται: ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂ρ ∂m (5.6.4) =V ∂t ∂t Από τις (5.6.3) και (5.6.4), προκύπτει: ∂ ( ρu ) ∂ ( ρυ ) ∂( ρw) ∂ρ = − + + (5.6.5) ∂t ∂y ∂z ∂x ή r r ∂ρ = −∇ ρV (5.6.6) ∂t Η εξίσωση (5.6.6) είναι η εξίσωση της συνέχειας. Αν χωρίσουµε την οριζόντια από την κατακόρυφη συνιστώσα, η εξίσωση της συνέχειας γράφεται: ( ) 26 r r ∂ ( ρw ) ∂ρ = −∇ 2 ρV − ∂z ∂t ( ) (5.6.7) Αν εισάγουµε και την καµπυλότητα της γης, η εξίσωση της συνέχειας γράφεται: ∂ ( ρu ) ∂( ρυ ) ∂ ( ρw) ρυ ∂ρ = − + + − tan ϕ ∂t ∂y ∂z R ∂x (5.6.8) 5.6.1 Άλλες µορφές της εξίσωσης της συνέχειας. Από τη σχέση (5.6.6) έχουµε: r r r r rr ∂ρ ∂ρ = −∇ ρV ⇒ = − ρ∇V − V∇ρ ∂t ∂t Όµως: dρ ∂ρ r r ∂ρ dρ r r = + V∇ρ ⇒ = − V∇ ρ dt ∂t ∂t dt Από τις (5.6.9) και (5.6.10) προκύπτει: r r 1 dρ = −∇V ρ dt Η (5.6.11) αποτελεί την εναλλακτική µορφή της εξίσωσης της συνέχειας. ( ) Η εξίσωση (5.6.11) γράφεται πιο αναλυτικά: 1 dρ r r ∂w + ∇ 2V = − ρ dt ∂z r r ∂w ∇ 2V ≅ − ∂z ∂u ∂υ ∂w 1 dρ = − + + ρ dt ∂x ∂y ∂z και αν συµπεριλάβουµε την καµπυλότητα της γης: ∂u ∂υ ∂w υ 1 dρ 2w = − + + − tan ϕ + ρ dt R ∂x ∂y ∂z R 5.6.2 Εξίσωση της συνέχειας σε ισοβαρικές συντεταγµένες. Από το σχήµα έχουµε: δm = ρδxδyδz αφού όµως (υδροστατική εξίσωση): δP = ρgδz άρα: δm = δxδyδP g (5.6.9) (5.6.10) (5.6.11) (5.6.12) (5.6.13) (5.6.14) (5.6.15) 27 Λόγω της αρχής διατήρησης της µάζας: 1 d (δm) = 0 ⇒ g d δxδyδP = 0 ⇒ δm dt δxδyδP dt g 1 dx 1 dy 1 dP ⇒ δ + δ + δ =0⇒ δx dt δy dt δP dt δu δυ δω ⇒ + + =0 δx δy δP dP όπου ω = . dt Εάν lim(δx) = lim(δy)=lim(dP)=0, καταλήγουµε: ∂u ∂υ ∂ω + + =0 ∂x ∂y P ∂P r r ∂ω ∇ 2V + =0 (5.6.16) ∂P r r ∇V P = 0 Οι (5.6.16) είναι οι τρεις µορφές της εξίσωσης της συνέχειας σε ισοβαρικές συντεταγµένες. Επειδή η πυκνότητα ρ δεν υπάρχει, οι εξισώσεις αυτές χρησιµοποιούνται κυρίως σε συµπιεστά ρευστά. ( ) 5.6.3 Εφαρµογές. 1. Προσδιορισµός κατακόρυφης ταχύτητας (w,ω): 2. Α. Ασυµπίεστα. Σε ασυµπίεστα ρευστά ισχύει: dρ =0 dt Αν κάνουµε αυτήν την υπόθεση για την ατµόσφαιρα (ότι δηλαδή είναι ασυµπίεστο ρευστό), υπεισέρχεται ένα σφάλµα 10% στους υπολογισµούς. Λόγω της παραπάνω σχέσης, από την (5.6.11) έχουµε: h r r r r ∂u ∂υ ∂w dz ⇒ ∇V = 0 ⇒ ∇ 2V = − ⇒ w(h ) − w(0 ) = − ∫ + ∂z ∂x ∂y 0 ∂ < u > ∂ <υ > w(h ) − w(0 ) = − h + ∂y ∂x (5.6.17) Β. Συµπιεστά. Από την (5.6.16) έχουµε: P ∂u ∂υ ∂u ∂υ ∂ω ⇒ ω ( P ) − ω ( P0 ) = − ∫ dP ⇒ = − + + ∂P ∂y ∂x ∂y P P0 ∂x ∂ < u > ∂ <υ > + ∂y ∂x ω (P ) − ω (P0 ) = −(P − P0 ) (5.6.18) 28 2. Σχέση µεταξύ w και ω. Ισχύει: dP ∂P r r ∂P (5.6.19) = + V 2 ∇P + w dt ∂z ∂t r Ο οριζόντιος άνεµος V2 είναι το άθροισµα του γεωστροφικού και του µη γεωστροφικού ανέµου. Άρα: r r r V2 = V g + V ′ ω= Όµως για το γεωστροφικό άνεµο ισχύει: r 1 r r Vg = k × ∇P ρf Από αυτή τη σχέση φαίνεται ότι ο γεωστροφικός άνεµος είναι κάθετος στην κλίση του r r πεδίου της πίεσης. Άρα V g ∇P = 0 Έτσι, η σχέση (5.6.19) γίνεται: ∂P r ′ r ∂P (5.6.20) ω= + V 2 ∇P + w ∂z ∂t Θα κάνουµε τώρα ανάλυση κλίµακας για να δούµε ποιοι όροι είναι οι σηµαντικότεροι στην παραπάνω σχέση: 10hPa 10 4 ∂P 1. ≅ = 8 = 10 −1 ∂t 1000km 10 10m / sec 10 3 r ′r 10hPa 10 4 = 100 8 = 10 − 2 2. V2 ∇P ≅ 1m / sec 1000km 10 1000hPa 10 310 3 ∂P 3. w ≅ 1cm / sec =1 = 10 0 6 10km 10 ∂z Έτσι λοιπόν, εισάγοντας ένα σφάλµα της τάξης του 10%, η σχέση (5.6.20) γράφεται: ∂P ω=w ∂z και επειδή ∂P = − ρg ∂z τελικά: ω ≅ − ρgw (5.6.21) Αν τώρα εκφράσουµε τη σχέση (5.6.18) ως προς w, µε τη βοήθεια της (5.6.21) θα έχουµε: w(P ) = ρ 0 w(P0 ) 1 ∂ < u > ∂ < υ > ( P − P0 ) + + ρ ρg ∂x ∂y 3. Κατακόρυφη ταχύτητα και κατανοµή απόκλισης µάζας. Από την (5.6.7) έχουµε: r ∂ρ r ∂ ( ρw ) + ∇ 2 ρV = − ∂t ∂z ( ) (5.6.22) 29 ∂ρ =0 ∂t Άρα, αν ολοκληρώσουµε από την επιφάνεια έως ένα επίπεδο L, θα έχουµε: L r r wL ρ L − wS ρ S = − ∫ ∇ 2 ρV dz Με ένα σφάλµα 1% περίπου, υποθέτουµε ότι ( ( )) S Επειδή η κατακόρυφη ταχύτητα στην επιφάνεια είναι 0, η παραπάνω σχέση γίνεται: L r r 1 wL = − (5.6.22) ∫ ∇ 2 ρV dz ρL ( ( )) S Όµοια, αν ολοκληρώσουµε από L έως το άπειρο έχουµε: ∞ r r 1 wL = ∇ ρ V dz ∫ 2 ( ( )) ρL L Από τις σχέσεις (5.6.22) και (5.6.23) προκύπτει: ∞ ∫ (∇ (ρV ))dz = −∫ (∇ (ρV ))dz L r r 2 r r 2 S L 5.6.4 Άλλες µορφές της εξίσωσης συνέχειας. 1. Στο σύστηµα συντεταγµένων Ο (x, y, θ, t) ∂ ∂P r ∂P r ∂ ∂P dθ + ∇θ V + =0 ∂t ∂θ ∂θ ∂θ ∂θ dt 2. Σε συντεταγµένες Lagrange. ( ) r r d ln ζ ξx = ∇V dt 3. Σε τυρβώδη ροή. U i ,i = 0 και u i′,i = 0 4. Σε συνθήκες υγρού αέρα. r r dρ m ρ dσ + ρ m ∇V = m dt 1 − σ dt 5. Στην κατώτερη ιονόσφαιρα. r r ∂N e = q − L − ∇ N eV ∂t ( ) (5.6.23) 30 5.7 Η εξίσωση της βαροµετρικής τάσης. Τάση: Ο λόγος της τοπικής µεταβολής ενός διανυσµατικού ή βαθµωτού µεγέθους ως προς το χρόνο, σε ένα καθορισµένο σηµείο στο χώρο. Βαροµετρική τάση: Είναι η ‘διεύθυνση’ και το ‘µέτρο’ της µεταβολής της ατµοσφαιρικής πίεσης, συνήθως σε διάστηµα 3 ωρών. Εξίσωση της βαροµετρικής τάσης: Είναι η εξίσωση που αναφέρεται στην τοπική µεταβολή της πίεσης σε οποιοδήποτε σηµείο της ατµόσφαιρας. Από την υδροστατική εξίσωση έχουµε: ∂P (5.7.1) dp = − ρgdz ⇒ = − ρg ∂z Από την εξίσωση της συνέχειας: r r ∂ ( ρw ) ∂ρ (5.7.2) = −∇ 2 ρV − ∂t ∂z Αν ολοκληρώσουµε την (5.7.1) από ένα επίπεδο L έως το άπειρο, θα έχουµε: ∞ ∞ ∞ ∞ ∂ρ ∂P ∫L dP = −∫L ρgdz ⇒ PL − 0 = g ∫L ρdz ⇒ ∂t L = g ∫L ∂t dz ⇒ ∞ r ∞ r ∂ ( ρw) ∂P ⇒ = − g ∫ ∇ 2 ρV dz − g ∫ dz ⇒ ∂z ∂t L L L ∞ r r ∂P = − g ∇ 2 ρV dz + ( ρgw) L ⇒ (5.7.3) ∫ ∂t L L ∞ rr ∞ r r ∂P (5.7.4) = − g ∫ V∇ 2 ρ dz − g ∫ ρ∇ 2V dz + ( ρgw) L ∂t L L L ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) Η εξίσωση (5.7.4) είναι η εξίσωση βαροµετρικής τάσης. Αν το επίπεδο L είναι η επιφάνεια, οπότε w=0, τότε η (5.7.4) γίνεται: ∞ rr ∞ r r ∂P = − g ∫ V∇ 2 ρ dz − g ∫ ρ∇ 2V dz ∂t S S S ( ) ( ) (5.7.5) 5.7.1 Εφαρµογές - Παρατηρήσεις. 1. Προγνωστική εξίσωση. Η εξίσωση της βαροµετρικής τάσης είναι προγνωστική επειδή περιέχει το χρόνο, και συνδέει την τοπική µεταβολή της πίεσης (τάση) µε τις ποσότητες: • Οριζόντια µεταφορά µάζας • Οριζόντια απόκλιση ταχύτητας • Κατακόρυφη ταχύτητα Όλα τα µεγέθη εκφράζονται από τους αντίστοιχους όρους στην εξίσωση (5.7.4) 2. Γεωστροφική ροή (Θεώρηµα Jeffrey). Αν έχουµε γεωστροφική ροή, δηλαδή ο άνεµος ισούται µε το γεωστροφικό άνεµο, τότε: 2 2 r r r r ∂ ∂ (ρυ g ) = − 1 ∂ P + 1 ∂ P = 0 ⇒ ∇ 2 ρV = 0 (5.7.6) ∇ 2 ρV = (ρu g ) + ∂x ∂y f ∂y∂x f ∂x∂y ( ) ( ) 31 Από τις (5.7.3) και (5.7.6) έχουµε: ∂P = ( ρgw) L για γεωστροφική ροή. ∂t L Αν βρισκόµαστε στην επιφάνεια (L=S), τότε η κατακόρυφη ταχύτητα θα είναι 0 και θα ∂P έχουµε: = 0 ⇒ P0 = σταθ . Εποµένως, οι παρατηρούµενες αλλαγές στην P0 δεν ∂t S οφείλονται στη γεωστροφική ροή. 3. Αδιαβατική εξίσωση βαροµετρικής τάσης. rr PL PL γ −γ V∇ 2T ∂P dP + ∫ d wdP =∫ T ∂t L 0 T 0 4. Κίνηση βαροµετρικών συστηµάτων. Υποθέσεις: i) Έχουµε γεωστροφικό άνεµο και άνεµο βαροβαθµίδας ii) Ηµιτονοειδής κύµανση. Γνωστά: r r V g < V H από την παράγραφο 5.3.3 i) r r V g > V L από την παράγραφο 5.3.3 ii) iii) iv) v) Παροχή = Επιφάνεια × Ταχύτητα g ∂z 1 ∂P Vg = ή Vg = fρ ∂n f ∂n f=2ωsinφ 5.8 Βαροτροπική ατµόσφαιρα. Ορισµός: Είναι η ατµόσφαιρα της οποίας η πυκνότητα του αέρα ρ σε κάθε σηµείο είναι µονοσήµαντη συνάρτηση της πίεσης P στο ίδιο σηµείο. ρ=ρ(P). Μαθηµατική έκφραση: r r ∇ρ = B∇P όπου Β: συντελεστής βαροτροπίας. Ο συντελεστής βαροτροπίας παίρνει τις παρακάτω τιµές: • Οµογενής ατµόσφαιρα: Β=0 C • Αδιαβατική ατµόσφαιρα: B = V RT CP 1 • Ισόθερµη ατµόσφαιρα: B= RT 5.9 Βαροκλινική ατµόσφαιρα. Ορισµός: Είναι η ατµόσφαιρα στην οποία οι ισοβαρικές και ισόπυκνες επιφάνειες τέµνονται. 32 6 Κυκλοφορία και Στροβιλισµός. 6.1 Κυκλοφορία. Γενικός ορισµός: Ειδικός ορισµός: Σαν κυκλοφορία ορίζεται η µακροσκοπική µελέτη και µήτρηση της περιστροφής µιας πεπερασµένης επιφάνειας του ρευστού. Εκφράζεται σε µορφή επικαµπύλιου ολοκληρώµατος. Σαν κυκλοφορία ορίζεται το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα της εφαπτοµενικής συνιστώσας της ταχύτητας, κατά µήκος µιας κλειστής καµπύλης. Εάν το τµήµα της κλειστής προς ολοκλήρωση r καµπύλης ορίζεται από το διάνυσµα l , τότε η κυκλοφορία ορίζεται δια της σχέσης: r r r r C ≡ ∫ Vd l = ∫ V cos αd l (6.1.1) r l r r όπου το Vd l µέσα στο ολοκλήρωµα, εκφράζει τη ροή. Σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων, η σχέση (4.1) γίνεται ως εξής: • Τρεις διαστάσεις: C = ∫ (udx + υdy + wdz ) • ∆ύο διαστάσεις: C = ∫ (udx + υdy ) Σε Μετεωρολογικό σύστηµα συντεταγµένων, η σχέση (6.1.1) γίνεται ως εξής: r r C = ∫ Vg dl Στην πράξη, η κυκλοφορία εκφράζει το µέτρο της περιστροφικής κίνησης. 6.2 Θεώρηµα του Kelvin. Σαν κυκλοφορία ενός µεγέθους µπορούµε να ορίσουµε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα του µεγέθους κατά µήκος µίας κλειστής διαδροµής. dC Η επιτάχυνση της κυκλοφορίας ορίζεται σαν , ενώ σύµφωνα µε τα παραπάνω, η dt r dV r κυκλοφορία της επιτάχυνσης είναι το: C ar = ∫ dl . dt Το θεώρηµα του Kelvin διατυπώνεται ως εξής: Η κυκλοφορία της επιτάχυνσης ισούται µε την επιτάχυνση της κυκλοφορίας. dC (6.2.1) C ar = dt Απόδειξη: Αν παραγωγίσουµε τη ροή ως προς το χρόνο, θα πάρουµε: r d r r dV r r d r Vd l = dl + V dl dt dt dt r r dl Όµως, V = και η παραπάνω σχέση γίνεται: dt r r d r r dV r r r d r r dV r 1 r r Vd l = d l + VdV ⇒ Vd l = dl + d V ⋅V dt dt dt dt 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33 Αν ολοκληρώσουµε την παραπάνω σχέση, θα πάρουµε: r r r r r d dV r 1 Vd l = ∫ dl + ∫ d V ⋅V ∫ dt dt 2 Το δεύτερο ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους της παραπάνω σχέσης είναι µηδέν, και άρα η σχέση γίνεται: r r r dV r d ∫ dt d l = dt ∫ Vd l ⇒ dC C ar = dt ( ) ( ) ( ) 6.3 Θεώρηµα της κυκλοφορίας ή θεώρηµα του Bjerkness. Το θεώρηµα της κυκλοφορίας συσχετίζει τη µεταβολή της κυκλοφορίας στο χρόνο µε τα αίτια που την προκαλούν. Η Μαθηµατική του διατύπωση είναι η εξής: r r r dC dP (6.3.1) = −∫ − 2∫ ω × V d l ρ dt ( ) Απόδειξη: Από την εξίσωση της κίνησης, αν θεωρήσουµε την τριβή αµελητέα, έχουµε: r r r r dV 1 r = − ∇P − 2ω × V + g dt ρ Αν ολοκληρώσουµε την παραπάνω, θα πάρουµε: r r r r r r dV r 1 r r d l = − ∇ Pd l − 2 ω × V d l + g ∫ dt ∫ρ ∫ ∫ dl Από το θεώρηµα του Kelvin όµως ισχύει: r dV r dC ∫ dt d l = dt Επίσης ισχύει: 1 r r dP ∫ ρ ∇Pdl = ∫ ρ r r και επειδή g⊥d l , r r g ∫ dl = 0 ( ) Με τη βοήθεια των (6.3.3), (6.3.4) και (6.3.5), η (6.3.2) γίνεται: ( ) r r r dC dP = −∫ − 2∫ ω × V d l dt ρ (6.3.2) (6.3.3) (6.3.4) (6.3.5) 34 6.4 Στροβιλισµός. Ορισµός: Στροβιλισµός ορίζεται η µικροσκοπική µελέτη και µέτρηση της περιστροφικής κίνησης ενός σηµείου του ρευστού. Είναι ένα διανυσµατικό µέγεθος που ορίζεται από τη σχέση: r r r Στροβιλισµός = rotV = ∇ × V (6.4.1) καθώς επίσης και από τη σχέση: r r V ∫ d l = lim C Στροβιλισµός = lim A→ 0 A→ 0 A A Σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων, η (4.8) γίνεται ως εξής: r r r i j k r ∂ ∂ ∂ ∂w ∂υ r ∂u ∂w r ∂υ ∂u r rotV = = − − ⋅ k ⋅i + − ⋅ j + ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y u υ w Ο συντελεστής της κατακόρυφης συνιστώσας του στροβιλισµού ονοµάζεται οριζόντιος στροβιλισµός ή ακόµα και ισοβαρικός στροβιλισµός και σε καρτεσιανές συντεταγµένες ισούται µε: r r r ∂υ ∂u (6.4.2) ζ = k ∇ ×V = − ∂x ∂y Σε Μετεωρολογικό (τοπικό) σύστηµα συντεταγµένων, ο οριζόντιος στροβιλισµός δίνεται από τη σχέση: ∂υ ∂u u ζ = − + tan φ (6.4.3) ∂x ∂y R Σε φυσικό σύστηµα συντεταγµένων, ο οριζόντιος στροβιλισµός δίνεται από τη σχέση: V ∂V (6.4.4) ζ = − R ∂n και σε πολικό σύστηµα συντεταγµένων, V ∂V (6.4.5) ζ = + r ∂r Στα συνοπτικά συστήµατα ισχύουν τα παρακάτω: ( ) • Κυκλωνικό σύστηµα. 1) r>0 2) Οι ρευµατογραµµές είναι κοίλες επιφάνειες. ∂V >0 ∂r ∂V 4) Ο άνεµος ελαττώνεται από το κέντρο προς την περιφέρεια. Άρα <0 ∂r V ∂V 5) > , άρα r ∂r 3) Ο άνεµος αυξάνει από το κέντρο προς την περιφέρεια. Άρα ζ>0 35 • Αντικυκλωνικό σύστηµα. 1) r<0 2) Οι ρευµατογραµµές είναι κυρτές επιφάνειες. 3) Ο άνεµος αυξάνει από το κέντρο προς την περιφέρεια. Άρα Εποµένως ∂V >0 ∂r V ∂V <0∧ >0⇒ r ∂r ζ<0 Συµπεράσµατα. 1) Ο στροβιλισµός ζ είναι αποτέλεσµα: (α) της καµπυλότητας του συστήµατος (curvature vorticity) και (β) της µεταβολής της έντασης του ανέµου κατά διεύθυνση κάθετη προς τις ρευµατογραµµές (shear vorticity). 2) Ελάττωση του ζ συνεπάγεται έναρξη αντικυκλωνικής κυκλοφορίας. Αύξηση του ζ συνεπάγεται έναρξη κυκλωνικής κυκλοφορίας. Απόλυτος και σχετικός στροβιλισµός. Όπως είδαµε, ο στροβιλισµός ορίζεται σαν το διάνυσµα της στροφής της ταχύτητας του ανέµου. Η ταχύτητα που θεωρήθηκε είναι η σχετική ταχύτητα του ανέµου ως προς την κίνηση της γης, δηλαδή η ταχύτητα που παρατηρούµε από το έδαφος. Αν αντί αυτής της ταχύτητας θεωρήσουµε την απόλυτη ταχύτητα, δηλαδή την ταχύτητα του ανέµου ως προς αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, θα πάρουµε τον απόλυτο στροβιλισµό. Άρα: r r r r ∇ × Vα ∇ ×V = r r ∇ × Vσ Με ξ συµβολίζουµε τον απόλυτο στροβιλισµό. Έτσι: r r r Vα = Vσ + V0 ⇒ ξ = ζ + f ∆ιερεύνηση: 1) Συνήθως ζ < f ⇒ ξ > 0 είτε ζ>0 είτε ζ<0. Άρα είτε έχουµε κυκλωνική είτε αντικυκλωνική κίνηση, ξ>0 2) Στην πράξη το ξ δεν χρησιµοποιείται. 6.5 Η εξίσωση του στροβιλισµού. Θεωρούµε τις εξισώσεις της κίνησης σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων: ∂ ∂u ∂u ∂u ∂u 1 ∂P du 1 ∂P +υ +w − fυ = − =− + fυ +u ρ ∂x ∂y ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x dt ⇒ dυ 1 ∂P ∂ ∂υ ∂υ ∂υ ∂υ 1 ∂P =− − fu +u +υ +w + fu = − ρ ∂y dt ∂x ∂y ∂z ρ ∂y ∂x ∂t Από την πρώτη από τις παραπάνω εξισώσεις, παίρνουµε: ∂f ∂ 2 u ∂u ∂u ∂ 2 u ∂υ ∂u ∂ 2 u ∂w ∂u ∂ 2u ∂υ 1 ∂P ∂P + +u + +υ 2 + + w 2 −υ − f = 2 ∂y∂t ∂y ∂x ∂x∂y ∂y ∂y ∂y ∂z ∂y ∂y ρ ∂x ∂y ∂y ∂z ενώ από τη δεύτερη, έχουµε: ∂f ∂ 2υ ∂υ ∂υ ∂ 2υ ∂υ ∂υ ∂ 2υ ∂w ∂υ ∂ 2u ∂u 1 ∂P ∂P + +u 2 + +υ + +w +u + f = 2 2 ∂x∂t ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x∂y ∂x ∂z ∂x ∂x ρ ∂x ∂y ∂x ∂x∂z 36 Από τις δύο παραπάνω εξισώσεις, αν αφαιρέσουµε την πρώτη από τη δεύτερη, θα πάρουµε: ∂ ∂υ ∂u ∂ ∂υ ∂u ∂ ∂υ ∂u ∂ ∂υ ∂u ∂u ∂υ ∂u − +u − +υ − +w − + − + ∂t ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y + ∂υ ∂y ∂υ ∂u ∂u ∂υ ∂w ∂υ ∂w ∂u ∂f ∂x − ∂y + f ∂x + ∂y + ∂x ∂z − ∂y ∂z + υ ∂y = ∂ζ ∂ζ ∂ζ ∂ζ ∂u ∂υ ⇒ +u +υ +w + ζ + + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y 1 ∂ρ ρ 2 ∂x ∂u f + ∂x ∂P ∂ρ ∂P − ⇒ ∂y ∂y ∂x ∂υ + ∂y 1 ∂ρ ∂P ∂ρ ∂P ∂w ∂υ ∂w ∂u ∂f − + υ = 2 − ⇒ ∂y ρ ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂z ∂y ∂z ∂ζ ∂ζ ∂ζ ∂ζ ∂u ∂υ ∂f +u +υ +w + (ζ + f ) + = + υ ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x ∂y (6.5.1) ∂w ∂υ ∂w ∂u 1 ∂ρ ∂P ∂ρ ∂P = − − + 2 − ∂x ∂y ∂y ∂z ρ ∂x ∂y ∂y ∂x df ∂f . Όµως f = f ( y ) ⇒ =υ dt ∂y Άρα: dζ df ∂u ∂υ ∂w ∂υ ∂w ∂u 1 ∂ρ ∂P ∂ρ ∂P + + (ζ + f ) + − − = − + 2 dt dt ∂x ∂y ∂x ∂z ∂y ∂z ρ ∂x ∂y ∂y ∂x 1 ∂ρ ∂P ∂ρ ∂P ∂u ∂υ ∂w ∂υ ∂w ∂u − + − Θέτουµε: D ≡ , K≡ και S ≡ 2 ∂x ∂z ∂y ∂z ∂x ∂y ρ ∂x ∂y ∂y ∂x Έτσι, η (6.5.1) γίνεται: d (ζ + f ) = −(ζ + f )D − K + S ⇒ dξ = −ξD − K + S dt dt (6.5.2) Η (6.5.2) ονοµάζεται εξίσωση του στροβιλισµού. Θα διερευνήσουµε τώρα τον καθένα από τους όρους K, S και D ξεχωριστά. ∂w ∂υ ∂w ∂u − • K≡ όρος κλίσης ή συστροφής (tilding or twisting term). ∂x ∂z ∂y ∂z Ο όρος αυτός συµβάλλει στη µεταβολή του ξ, λόγω της µεταβολής της κατεύθυνσης του r r διανύσµατος ∇ × V , που δεν είναι κατά την κατακόρυφο. 1 ∂ρ ∂P ∂ρ ∂P − σωληνοειδής όρος (solenoidal term). • S ≡ 2 ρ ∂x ∂y ∂y ∂x Συµβάλλει στη µεταβολή του ξ µε την έννοια της κυκλοφορίας, και αποτελεί µέτρο της βαροκλινικότητας της ατµόσφαιρας. Επίσης µέτρο της βαροκλινικότητας της ατµόσφαιρας αποτελεί και ο όρος της κλίσης. ∂u ∂υ + • D≡ όρος της απόκλισης (divergence). ∂x ∂y 37 i) ii) dξ < 0 , άρα απόκλιση συνεπάγεται αντικυκλωνική ροή. dt dξ > 0 , άρα σύγκλιση συνεπάγεται κυκλωνική ροή. Όταν D < 0 ⇒ dt Όταν D > 0 ⇒ 6.6 Ανάλυση κλίµακας. Θα κάνουµε τώρα µία ανάλυση κλίµακας για να δούµε τις τυπικές τιµές των παραµέτρων που αναφέρθηκαν. Οι τυπικές τιµές των ανεξάρτητων µεταβλητών είναι: • Οριζόντια ταχύτητα: υ ≈ 103 cm⋅sec-1 • Κατακόρυφη ταχύτητα: w ≈ 1 cm⋅sec-1 • Μήκος συνοπτικής κλίµακας: L ≈ 108 cm • Ύψος κλίµακας: h ≈ 106 cm • Οριζόντια µεταβολή πίεσης: δP ≈ 104 dyn⋅cm-2 • Κλασµατική µεταβολή πυκνότητας: δρ/ρ ≈ 10-2 • Κλίµακα χρόνου: L/υ ≈ 105 sec • Coriolis παράµετρος: f ≈ 10-4 sec-1 df • Παράµετρος β: ≈ 10-13 cm⋅sec-1 β= dy Με τις παραπάνω τυπικές τιµές, θα πάρουµε για τις εξαρτηµένες µεταβλητές. ∂υ ∂u U 10 3 • ζ = − ≤ ≈ 8 = 10 −5 sec −1 ∂x ∂y L 10 ζ 10 −5 • ≈ = 10 −1 ⇒ ζ < f ⇒ (ζ + f )D ≈ fD f 10 − 4 ∂ζ ∂ζ ∂ζ U 2 (10 3 ) ,u ,υ ≈ ≈ = 10 −10 sec − 2 ∂t ∂x ∂y L2 (10 8 )2 2 • • • • • • • ∂ζ U w 10 9 1 w ≈ ≈ 8 6 = 10 −11 sec − 2 ∂z L h 10 10 df υ ≈ Uβ ≈ 10 310 −13 = 10 −10 sec − 2 dy U 10 3 fD ≤ f ≈ 10 − 4 8 = 10 − 9 sec − 2 L 10 ∂u ∂υ 10 3 D= + ≤ 8 = 10 − 5 sec −1 ∂x ∂y 10 ∂w ∂υ ∂w ∂u w U 1 10 3 K= − ≤ ≈ 8 6 = 10 −11 sec − 2 ∂x ∂z ∂y ∂z L h 10 10 1 ∂ρ ∂P ∂ρ ∂P δρ δP 10 −2 10 4 S = 2 − ≤ 2 2 ≈ − 3 = 10 −11 sec − 2 2 8 ρ ∂x ∂y ∂y ∂x ρ L 10 (10 ) d h (ζ + f ) ∂u ∂υ ≅ − f + dt ∂x ∂y 38 d h (ζ + f ) ∂u ∂υ = − (ζ + f ) + dt ∂x ∂y (6.6.1) 6.7 Εφαρµογές του θεωρήµατος του στροβιλισµού. 1. Μετωπικές περιοχές. Στις µετωπικές περιοχές ισχύει: L0 ≈ 1000km ⇒ L f = 100km. Άρα οι όροι K και S είναι σηµαντικοί µε τάξη µεγέθους: ϑ (K , S ) ≈ 10 −10 ,10 −9 2. Ασυµπίεστα ρευστά. Σε ασυµπίεστα ρευστά ισχύει το θεώρηµα της συνέχειας της µάζας µε τη µορφή: ∂u ∂υ ∂w (6.7.1) + =− ∂x ∂y ∂z Από τις (6.6.1) και (6.7.1) παίρνουµε: d h (ζ + f ) ∂w = (ζ + f ) dt ∂z Θεωρούµε τώρα την προσέγγιση ζ ζg και ολοκληρώνουµε: D2 ( z ) w ( D2 ) d h (ζ g + f ) d h (ζ g + f ) ( ) ( ) δ z = ζ + f δ w ⇒ D − D = (ζ g + f )[w(D 2 ) − w(D1 )] g 2 1 ∫ ∫ dt dt D1 ( z ) w ( D1) dD και εάν H=D2−D1 τότε θα πάρουµε: dt d h (ζ g + f ) d h (ζ g + f ) 1 d h H d 1 H = (ζ g + f ) (D2 − D1 )h ⇒ (ζ g + f ) dt = H dt ⇒ dt dt όµως: w( D ) = d h ζ g + f =0 dt H (6.7.2) Η (6.7.2) αποτελεί την έκφραση του θεωρήµατος του δυναµικού στροβιλισµού και βρίσκει εφαρµογή σε βαροτροπικό σύστηµα. Εάν τώρα θεωρήσουµε: • Αδιαβατική µεταβολή. • Ισεντροπικό σύστηµα. • Ισεντροπική επιφάνεια. θα έχουµε: d ∂Θ (ζ + f )g = 0 (6.7.3) dt ∂P Η διατηρούµενη ποσότητα − ∂Θ (ζ + f )g ∂P ονοµάζεται δυνητικός (δυναµικός) στροβιλισµός. Η (6.7.3) εκφράζει την Αρχή της διατήρησης του δυναµικού στροβιλισµού. 39 Εξίσωση του στροβιλισµού σε ισοβαρικό σύστηµα συντεταγµένων. Σε ισοβαρικό σύστηµα συντεταγµένων, η εξίσωση του στροβιλισµού γράφεται ως εξής: ∂u ∂υ 2Ω cos ϕ ∂ω ∂u ∂ω ∂υ dζ υ + − = −(ζ + f ) + − dt R ∂x ∂y ∂y ∂P ∂x ∂P 3. Επίπεδο της µηδενικής απόκλισης ( ≈500-600hPa). Αν θεωρήσουµε την απόκλιση µηδέν, από την (4.15) παίρνουµε: dh (ζ + f ) = 0 ⇒ ζ + f = c ⇒ ξ = c dt Η σχέση αυτή αποτελεί την αρχή της διατήρησης του απόλυτου στροβιλισµού. Η αρχή αυτή έχει εφαρµογές στις εξής περιπτώσεις: • Κύµατα Rossby. • Σχηµατισµός “ράχης” και “αυλώνα”. • Τροχιές σταθερού απόλυτου στροβιλισµού. 6.8 Θεώρηµα της απόκλισης. Θεωρούµε τις εξισώσεις της κίνησης σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων και τις παραγωγίζουµε: ∂ du 1 ∂P + fυ =− ρ ∂x ∂x dt ∂ dυ 1 ∂P =− − fu ∂y dt ρ ∂y Αν προσθέσουµε τις παραπάνω εξισώσεις και κάνουµε τις πράξεις καταλήγουµε στην: ∂w ∂u ∂w ∂υ ∂D ∂D ∂D ∂D ∂f +u +υ +w +u = ( fζ − D 2 ) − + − ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x ∂z ∂y ∂z ∂2P ∂2P ∂α ∂P ∂α ∂P − + − α 2 + 2 + ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂u ∂υ ∂u ∂υ 2 − ∂x ∂y ∂y ∂x όπου: D = ∂u ∂υ + ∂x ∂y και α = 1 ρ Η παραπάνω εξίσωση είναι διαγνωστική και σχετίζει την απόκλιση µε τα παραπάνω µεγέθη ως εξής: r 2 D = F ζ , f , K , S , ∇ 2 P, def . ( ) 40 41 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ∆ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΑΣ 1. Να υπολογιστεί η γωνία κλίσης ισόθερµου επιφάνειας, εάν η κατακόρυφη θερµοβαθµίδα είναι -4ºC/Κm, ενώ η οριζόντια θερµοβαθµίδα είναι 2 ºC/10 Km. 2. Να υπολογιστεί η απόσταση µεταξύ δύο ισόθερµων, όταν κατά την πτήση µετεωρολογικού µπαλονιού σταθερού ύψους, καταγράφεται γενικά αύξηση της θερµοκρασίας κατά 0,8ºC/hr, ενώ όταν διατηρείται ακίνητο παρατηρείται αύξηση 0,4º C/hr. Ο άνεµος έχει µέτρο 8 m/sec, η δε γωνία µεταξύ του διανυσµατικού ανέµου και της κλίσης του πεδίου της θερµοκρασίας είναι 60º. 3. Ποσότητα µάζας αέρα µεταφέρεται από την περιοχή της Φλώρινας στην περιοχή της Θεσσαλονίκης, δηλαδή µια απόσταση 200 Km, υπό την επίδραση σταθερού βορειοδυτικού ανέµου έντασης 20 Km/hr. Εάν η θερµοκρασία στη Φλώρινα και στη Θεσσαλονίκη είναι -5ºC και +5ºC αντίστοιχα, η δε θερµοκρασιακή µεταβολή κατά τη διάρκεια της µεταφοράς είναι 1ºC/2ώρες, ποιος είναι ο ρυθµός µεταβολής της θερµοκρασίας στη Θεσσαλονίκη; 4. Υπολογίστε την τάξη µεγέθους των όρων των εξισώσεων κινήσεως στις ακόλουθες περιπτώσεις: (α) Σίφουνας µε διαστάσεις: U≈100 m/sec, w≈10 m/sec, L≈100 m, H≈10 Km, ∆P≈10 hPa (β) Τυφώνας µε διαστάσεις: U≈50 m/sec, w≈1 m/sec, L≈100 Κm, H≈10 Km, ∆P≈40 hPa 5. Πύραυλος µέσου βεληνεκούς, που βρίσκεται σε γεωγραφικό πλάτος 45ºΒ, βάλλεται προς ανατολάς µε ταχύτητα 1000 m/sec. Εάν ο πύραυλος ταξιδεύει µια απόσταση 1000 Km, κατά πόσο θα παρεκκλίνει από την πορεία του λόγω της επίδρασης της Coriolis δύναµης και της καµπυλότητας της γης; 6. Να υπολογιστεί ο άνεµος βαροβαθµίδας σε σηµείο που βρίσκεται σε γεωγραφικό πλάτος 60ºΒ και απέχει 700 Km από το κέντρο αντικυκλωνικού συστήµατος. Η απόσταση µεταξύ ισοϋψών στην ισοβαρική στάθµη είναι 2,5 cm και η κλίµακα του χάρτη είναι 1:2x107 (η χάραξη των ισοϋψών γίνεται ανά 40 γεωδυναµικά µέτρα). 7. Να υπολογιστεί ο γεωστροφικός άνεµος και ο άνεµος βαροβαθµίδας σε µια περιοχή που απέχει 70 Km από το κέντρο ισχυρού τυφώνα. Παρατηρείται ότι η ακτινική βαροβαθµίδα είναι 40 hPa/100 Km, και ο τυφώνας βρίσκεται σε γεωγραφικό πλάτος 20ºΒ. 8. Ένας σίφουνας ξηράς περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. ∆είξτε ότι η επιφανειακή πίεση στο κέντρο του σίφουνα δίνεται από τη σχέση P=Poexp(-ω2ro2/2RT) Όπου, Ρο η επιφανειακή πίεση σε απόσταση ro από το κέντρο του σίφουνα, και Τ η θερµοκρασία που θεωρείται σταθερά. Εάν η θερµοκρασία είναι 15ºC, ενώ η ατµο- 42 σφαιρική πίεση και η ταχύτητα, σε απόσταση 100 m από το κέντρο, είναι 1000 hPa και 100 m.sec -1, αντίστοιχα, ποια είναι η ατµοσφαιρική πίεση στο κέντρο του σίφουνα; 9. Να υπολογιστεί το µέτρο της ταχύτητας του θερµικού ανέµου σε στρώµα ατµόσφαιρας 2,5 Km που βρίσκεται στο γεωγραφικό πλάτος 41ºΒ. ∆ίδεται ότι η οριζόντια θερµοβαθµίδα είναι 2ºC/150Km και η µέση θερµοκρασία του στρώµατος είναι 2ºC. 10. Να συγκριθεί το µέτρο της ταχύτητας του θερµικού ανέµου στον Βόρειο Πόλο, µε εκείνη στο γεωγραφικό πλάτος φ, όταν οι υπόλοιποι παράµετροι παραµένουν αµετάβλητοι. 11. H οριζόντια θερµοβαθµίδα της µέσης θερµοκρασίας µεταξύ των ισοβαρικών επιφανειών 850 hPa και 500 hPa ελαττώνεται κατά 3ºC σε 100 Km απόσταση προς την ανατολική διεύθυνση. Εάν ο γεωστροφικός άνεµος στα 850 hPa είναι νοτιοανατολικός εντάσεως 20 m.sec-1, ποιο είναι το µέτρο του γεωστροφικού ανέµου στα 500 hPa. ∆ίδεται, f=10-4 sec-1. Υπολογίστε επίσης τη µέση µεταφορά της θερµοκρασίας στο στρώµα της ατµόσφαιρας µεταξύ των 850 και 500 hPa ισοβαρικών επιφανειών. 12. Θεωρείται ότι η κατακόρυφη δοµή της ατµόσφαιρας από τα 900 έως και τα 500 hPa αρχικά είναι ισόθερµος. Ο γεωστροφικός άνεµος στα 900 hPa είναι νότιος εντάσεως 10 m.sec-1, ενώ στα 700 hPa είναι της ίδιας εντάσεως αλλά δυτικός. O άνεµος στα 500 hPa είναι δυτικός και αυτός εντάσεως 20 m.sec-1. Υπολογίστε τη µέση οριζόντια θερµοβαθµίδα στα δύο στρώµατα αερίων µαζών, δηλαδή στα 900-700 hPa και 700-500 hPa. Υπολογίστε το ρυθµό µεταβολής της µεταφερόµενης θερµοκρασίας στο καθένα από τα δύο στρώµατα. Ποια είναι η θερµοκρασιακή διαφορά των δύο αυτών στρωµάτων; 13. Τα ακόλουθα στοιχεία του διανυσµατικού ανέµου µετρήθηκαν σε απόσταση 50 Km από το σταθµό και στα: ανατολικά, βόρεια, δυτικά και νότια από αυτόν, και βρέθηκαν να είναι αντίστοιχα: 90ο και 10 m/sec, 120ο και 4 m/sec, 90ο και 8 m/sec, 60ο και 4 m/sec. Υπολογίστε µε κάθε δυνατή προσέγγιση την οριζόντια απόκλιση στο σταθµό. Εάν υποτεθεί ότι οι ταχύτητες του ανέµου µετρήθηκαν µ’ ένα σφάλµα ±10%, ποιο θα ήταν το ποσοστιαίο σφάλµα της οριζόντιας απόκλισης που υπολογίσθηκε, κατά τη χειρότερη δυνατή περίπτωση. 14. Οι τιµές της οριζόντιας απόκλισης στα διάφορα επίπεδα της ανώτερης ατµόσφαιρας µετρήθηκαν και είναι: Πίεση (hPa) Οριζόντια απόκλιση (x10-5 sec-1) 1000 +0,9 850 +0,6 700 +0,3 500 0,0 300 - 0,6 100 - 1,0 Υπολογίστε τις κατακόρυφες ταχύτητες σε κάθε ύψος της ανώτερης ατµόσφαιρας. Υποθέστε ότι η ατµόσφαιρα είναι ισόθερµος, µε µέση θερµοκρασία 260ºΚ, και ότι w=0 m/sec στα 1000 hPa. 43 15. Να υπολογιστεί η επιτάχυνση της κυκλοφορίας της κίνησης, κατά τη µακροσκοπική µελέτη της θαλάσσιας αύρας, σ’ ένα στρώµα αέριας µάζας οριζόντιας έκτασης 20 Κm και πάχος 1 Κm, µεταξύ 1000 και 900 hPa. Αν υποτεθεί ότι η θερµοκρασιακή διαφορά είναι 10οC. 16. Θεωρήστε ένα τυφώνα του οποίου η µέση ταχύτητα ανέµου είναι συνάρτηση της απόστασης από το «µάτι» του τυφώνα, και εκφράζεται από τη σχέση, V=KR-1/2, όπου Κ είναι σταθερά. Υπολογίστε τον στροβιλισµό του συστήµατος αυτού. Ποιος είναι ο επικρατέστερος όρος; Μπορεί ο στροβιλισµός να αναφερθεί στο µάτι του τυφώνα; 17. ∆ίδεται ένα τετράγωνο πλευράς 100 Km. Οι άνεµοι που επικρατούν είναι ανατολικής διεύθυνσης και παρουσιάζουν µόνο ως προς το µέγεθός τους µια µεταβολή της τάξης των 10 µέτρων το δευτερόλεπτο σε απόσταση 500 Km προς τη διεύθυνση του Βορά. Υπολογίστε τον σχετικό στροβιλισµό εντός του τετραγώνου, καθώς και την κυκλοφορία στο τετράγωνο. 18. Υπολογίστε τον γεωστροφικό σχετικό στροβιλισµό στο κέντρο ενός ρόµβου, όταν οι κορυφές του αντιπροσωπεύουν γνωστά γεωδυναµικά ύψη, και οι αποστάσεις από το κέντρο είναι γνωστές. 19. Ποσότης ατµοσφαιρικού αέρα κινείται από γεωγραφικό πλάτος 30ºΒ µε κατεύθυνση προς το Βορά, διατηρώντας σταθερό τον απόλυτο στροβιλισµό του. Εάν ο αρχικός σχετικός στροβιλισµός είναι 5x10-5 sec-1, ποιος είναι ο σχετικός στροβιλισµός του ατµοσφαιρικού αυτού αέρα όταν βρεθεί στο γεωγραφικό πλάτος των 90ºΒ; 20. Ποσότης ατµοσφαιρικού αέρα, που βρίσκεται στις 60ºΒ και έχει µηδενικό στροβιλισµό, εκτείνεται από την επιφάνεια µέχρι τη σταθερή ύψους τροπόπαυση που βρίσκεται στα 10 Km. Εάν η ποσότητα αυτή του ατµοσφαιρικού αέρα µεταφερθεί στην περιοχή µιας οροσειράς ύψους 2.5 Κm και γεωγραφικό πλάτος 45ºΒ, ποιος θα είναι ο απόλυτος και ποιος ο σχετικός στροβιλισµός;
© Copyright 2024 Paperzz
