Ανώτατο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυµα Θεσσαλονίκης Σχολή Τεχνολογικών Εφαρµογών Τµήµα Έργων Υποδοµής ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Υ∆ΡΑΥΛΙΚΗΣ I Παναγιώτης Β. Ψώνης ∆ιπλωµατούχος Πολιτικός Μηχανικός Καθηγητής Α.Τ.Ε.Ι Θεσσαλονίκης --- Θεσσαλονίκη 1989 --- ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ (d) , ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ (ρ) ΚΑΙ ΕΙ∆ΙΚΟΥ ΒΑΡΟΥΣ (γ) ΤΩΝ ΥΓΡΩΝ Α. ΘΕΩΡΙΑ 1.Πυκνότητα Πυκνότητα στο σηµείο Μ(x,y,z) του συνεχούς υλικού (σχ.1) κατά τη χρονική στιγµή t, θεωρούµε τη συνάρτηση ρ(Μ,t) , η οποία ισούται µε το πηλίκο της µάζας dm απειροστού όγκου dV= dxdydz , που περιβάλλει το σηµείο Μ διά του απειροστού όγκου dV. . ∆ηλαδή ρ(Μ,t)= dm (dV → dVc) , dV όπου dVc είναι ο µικρότερος όγκος για τον οποίο ισχύει η ιδέα της συνέχειας. Απλούστερα µπορούµε να πούµε ότι πυκνότητα ενός σώµατος είναι η µάζα στη µονάδα του όγκου. “Σχήµα 1” 2. Ειδικό βάρος Ειδικό βάρος στο σηµείο Μ(x,y,z) του συνεχούς υλικού (σχ.1) κατά τη χρονική στιγµή t, θεωρούµε τη συνάρτηση γ(m,t) η οποία ισούται µε το πηλίκο του βάρους dB του απειροστού όγκου dV , διά του όγκου dV. ∆ηλαδή γ(Μ,t)= dB dV ή γ(Μ,t)= dm * g = ρ(Μ,t)*g dV Και εδώ απλούστερα µπορούµε να πούµε ότι ειδικό βάρος των υγρών µεταβάλλεται µε την πίεση και ιδιαίτερα µε τη θερµοκρασία . Ειδικότερα µειώνονται µε την αύξηση της θερµοκρασίας. Οι µεταβολές αυτές είναι τόσο µικρές, ώστε η πυκνότητα και το ειδικό βάρος των υγρών να λαµβάνονται σταθερά. Πράγµατι η πυκνότητα και το ειδικό βάρος ενός υγρού παραµένουν σχεδόν σταθερά , επειδή ο όγκος που καταλαµβάνει µια ορισµένη µάζα υγρού είναι σχεδόν αµετάβλητος. Αντίθετα η 2 πυκνότητα και το ειδικό βάρος ενός αερίου είναι µεταβλητά , επειδή ο όγκος που καταλαµβάνει µια ορισµένη µάζα αερίου µεταβάλλεται. Άρα τα υγρά θεωρούνται πρακτικά ασυµπίεστα και τα αέρια συµπιεστά. Η πυκνότητα και το ειδικό βάρος του νερού λαµβάνονται : 10 −3 Kgr Kp * sec 2 3 ρ= 1 gr/cm = 1* −6 * 3 = 1000 Kgr/m = 100 ή 100 Kp*sec2*m-4 4 10 m m 3 dyn gr cm 10 −5 N γ= ρ*g = 1 3 *1000 2 = 1000 3 =1000 −6 * 3 = sec cm m 10 cm N 10 −1 Kp =10000 3 =10000 =1000Kp/m3 3 m m 3. Σχετική πυκνότητα Σχετική πυκνότητα (dλ) ενός συνεχούς υλικού (λ) είναι το πηλίκο της µάζας ενός όγκου V του υλικού διά της µάζας ίσου όγκου νερού. dλ = Μ άζα _ ορισµένου _ όγκου _ υλικού Μ ΄V = Μάζα _ ίσου _ όγκου _ νερο ύ ΜV dλ = ή Μ ΄V ρ λ * V ρ λ ρ λ * g γ λ = = = = ρν * V ρν ρν * g γ ν MV Η σχετική πυκνότητα λέγεται και ειδική βαρύτητα και φυσικά είναι αδιάστατος αριθµός. Β. ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ Για τη µέτρηση της σχετικής πυκνότητας των υγρών χρησιµοποιούµε τα υδρόµετρα τα οποία αποτελούνται από ένα διαβαθµισµένο πλωτήρα, του οποίου η βύθιση µέσα στο υγρό (λ) µας δίνει τη σχετική πυκνότητα (dλ) αυτού. Ύστερα από τις γνωστές σχέσεις : dλ = ρλ γ λ = ρν γ ν και ότι : ρν =1000 Kgr/m3 γν =1000 Kgr/ m3 * 9,81 m/sec2 =9810 N/m3 3 υπολογίζουµε την πυκνότητα ρλ και το ειδικό βάρος γλ. Η κατασκευή των υδροµέτρων ( πιο γνωστό στη Φυσική ως αραιόµετρο) έγινε ως εξής: Παίρνουµε ένα γυάλινο σωλήνα διατοµής Α κλειστό στο ένα άκρο και τοποθετούµε ένα πρόσθετο βάρος (υδράργυρο ή µεταλλικές σφαίρες) , ώστε να επιπλέει κατακόρυφα µέσα στο υγρό. Βυθίζουµε το σωλήνα µέσα σ’ένα υγρό (λ) και σε νερό. (Σχ. 2) “Σχήµα 2” Σύµφωνα µε την αρχή του Αρχιµήδη το βάρος Β του σωλήνα και στις δύο περιπτώσεις θα ισούται µε το βάρος του εκτοπιζόµενου υγρού. Β= Αλ = γλ*Vλ = γλ*Α*lλ ⇒ γλ*Α*lλ= γν*Α*lν ⇒ γ λ lν = ⇒ γ ν lλ dλ = lν lλ Β= Αν = γν*Vν = γν*Α*lν ∆ηλαδή ο λόγος των µηκών βύθισης του σωλήνα µας δίνει τη σχετική πυκνότητα του υγρού. Άρα βυθίζουµε το σωλήνα µέσα σε νερό και σε διάφορα υγρά λ1,λ2,……… και παίρνουµε τα αντίστοιχα µήκη βύθισης lν και l1, l2, ………. . Στη θέση του lν σηµειώνουµε την ένδειξη 1 , στη θέση του l1 σηµειώνουµε την αριθµητική τιµή του 4 λόγου lν δηλαδή την τιµή της σχετικής lλ 1 πυκνότητας dλ1 , στη θέση l2 την τιµή του lν δηλαδή την τιµή της σχετικής lλ 2 πυκνότητας dλ2 και ούτω καθεξής. Πράγµατι το όργανο που κατασκευάσαµε είναι ένα υδρόµετρο , γιατί αν το βυθίσουµε σε κάποιο υγρό σχετικής πυκνότητας dλ2 θα βυθιστεί σε αυτό µέχρι τη στάθµη lλ2 στην οποία έχουµε σηµειώσει τη σχετική πυκνότητα dλ2 = lν . lλ 2 “Σχήµα 3” Γ. ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ Στο εργαστήριο υπάρχουν τα απαραίτητα όργανα (υδρόµετρο, µεταλλικές σφαίρες κλπ.) και υλικά (λάδι, ξύδι , κλπ.) για τις µετρήσεις. Βυθίζουµε το σωλήνα στο νερό, λάδι, ξύδι και σηµειώνουµε το µήκος βύθισης του σωλήνα για κάθε υγρό. Κατόπιν υπολογίζουµε τις ποσότητες: dλ = lν lλ , ρλ = dλ * ρν , γλ = dλ * γν Στη συνέχεια βυθίζουµε στα ίδια υγρά ένα υδρόµετρο και σηµειώνουµε τις σχετικές πυκνότητες dλ που διαβάζουµε απ’ευθείας. ΣΩΛΗΝΑΣ l d ρ(Κgr/m3) Υ∆ΡΟΜΕΤΡΟ γ(N/m3) d ρ(Κgr/m3) γ(N/m3) Νερό Λάδι Ξύδι 5 ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ∆ΙΑΜΕΤΡΩΝ ΤΡΙΧΟΕΙ∆ΩΝ ΣΩΛΗΝΩΝ Α. ΘΕΩΡΙΑ 1. Επιφανειακή τάση Η επιφανειακή τάση είναι µια χαρακτηριστική ιδιότητα των ρευστών , µε κύρια συνέπεια την εµφάνιση τριχοειδών δυνάµεων σε λεπτούς σωλήνες. Έχει διαστάσεις F*L-1 (δύναµη ανά µονάδα µήκους) , τιµή σταθερή και ανεξάρτητη της διεύθυνσης ενεργείας της. (Κείται πάντοτε πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια.) Συνεπώς επιφανειακή τάση ονοµάζουµε τη δύναµη ανά µονάδα µήκους , η οποία εφαρµόζεται κάθετα σε µια τυχαίας διεύθυνσης νοητή γραµµή πάνω στην επιφάνεια του ρευστού. Ένα µόριο υφίσταται δυνάµεις µοριακής φύσης από τα µόρια που το περιβάλλουν. Αν το µόριο περιβάλλεται συµµετρικά από µόρια της ίδιας φύσης , η συνισταµένη των µοριακών δυνάµεων θα είναι ίση µε µηδέν. Αν το µόριο όµως βρίσκεται στην ελεύθερη επιφάνεια ενός ρευστού ή γενικότερα στην επιφάνεια επαφής δύο ρευστών , υγρού-στερεού κλπ. , δεν υφίσταται την επιρροή συµµετρικών µοριακών δυνάµεων , διότι δεν περιβάλλεται συµµετρικά από µόρια της ίδιας φύσης . Έτσι η συνισταµένη των µοριακών δυνάµεων είναι διάφορη του µηδενός , µε αποτέλεσµα τη δηµιουργία της επιφανειακής τάσης σ. Συνεπώς η διαχωριστική επιφάνεια µεταξύ υγρού-αερίου, αερίου-στερεού και υγρούστερεού συµπεριφέρεται σαν µια εφελκυόµενη µεµβράνη. Η επιφανειακή τάση των υγρών , που εξαρτάται και από τη θερµοκρασία, δίνεται συνήθως από πίνακες. Η επιφανειακή τάση του νερού είναι : σ = 0,0077 Κp/m στους 0ο C σ = 0,0076 Κp/m στους 10ο C σ = 0,0074 Κp/m στους 20ο C σ = 0,0073 Κp/m στους 30ο C 6 2. Τριχοειδή φαινόµενα Όταν ένας σωλήνας µε πολύ µικρή διάµετρο, καλούµενος τριχοειδής, βυθιστεί µέσα σ δοχείο που περιέχει υγρό, η στάθµη του υγρού µέσα στο σωλήνα θα ανέβει ή θα κατέβει σε σχέση µε την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. (Σχ.1) Η συµπεριφορά αυτή του υγρού εξαρτάται από τη γωνία θ , δηλαδή τη γωνία επαφής του υγρού και τα τοιχώµατα του σωλήνα που βρέχονται από το υγρό. Η ανύψωση της στάθµης παρατηρείται στα υγρά που διαβρέχουν το σωλήνα (θ<90ο ), δηλαδή όταν η έλξη του στερεού (συνάφεια του υγρού) υπερνικά τη συνοχή του υγρού (Σχ.1α) και η πτώση της στάθµης παρατηρείται στα υγρά τα οποία δε διαβρέχουν το σωλήνα (θ>90ο ) , δηλαδή όταν η έλξη του στερεού (συνάφεια του υγρού) δεν υπερνικά τη συνοχή του υγρού (Σχ.1β). Στην πρώτη περίπτωση η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού είναι κοίλη , ενώ στη δεύτερη κυρτή. (α) (β) “Σχήµα 1” Για να υπάρχει ισορροπία κατά τον κατακόρυφο άξονα, πρέπει το βάρος της στήλης του υγρού που ανυψώθηκε να εξουδετερώνεται από την κατακόρυφη συνιστώσα της επιφανειακής τάσης , που ενεργεί γύρω από την εσωτερική παρειά του σωλήνα. Άρα : Βυγρ = Fσ*συνθ h= 4σ συνθ γ *d ή γ*h*π*d2/4 = π*d*σ*συνθ ή (1) 7 Από την (1) έχουµε : Κ = h*d = 4σ γ h*d = συνθ 4σ γ συνθ ή (2) Παρατηρούµε δηλαδή ότι το γινόµενο Κ = h*d παραµένει σταθερό για δεδοµένο υγρό και υλικό κατασκευής του σωλήνα. Φυσικά το Κ µεταβάλλεται µε τη θερµοκρασία διότι µεταβάλλεται η επιφανειακή τάση σ . Η (2) γράφεται : h = K/d (3) Η οποία εκφράζει το νόµο του JURIN και δείχνει ότι η µεταβολή της στάθµης είναι αντιστρόφως ανάλογη της διαµέτρου του σωλήνα. ΣΤΑΘΕΡΑ (Κ) ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ JURIN (h και d σε mm) α. Νερό Θερµοκρασία (οC) K (mm2) 0 10 20 30 40 30,80 30,20 29,70 29,20 28,60 β. Υδράργυρος Κ = -14 mm2 (ανεξάρτητη της θερµοκρασίας) Στις εφαρµογές χρησιµοποιείται πολλές φορές ο λόγος ω= σ/ρ ο οποίος καλείται κινηµατικό τριχοειδές, µε διαστάσεις : L3*T-2 - ( ω= σ/ρ = F * L−1 = L3*T-2 , δηλαδή µήκος στην τρίτη ανά µονάδα 2 −4 F *T * L χρόνου στο τετράγωνο ). Το νερό διαβρέχει πλήρως το σωλήνα και στην περίπτωση που είναιαπεσταγµένο και τα τοιχώµατα του τριχοειδούς σωλήνα γυάλινα και πολύ καθαρά θα είναι θ=0ο. Άρα η (1) γίνεται : h= 4σ γ *d (4) 8 Στην περίπτωση του υδράργυρου, ο οποίος δε διαβρέχει το σωλήνα, είναι θ=130ο. Άρα η (1) γίνεται : h = (-0,643)* Β. 4σ γ *d (5) ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΣ ∆ΙΑΜΕΤΡΩΝ ΤΡΙΧΟΕΙ∆ΩΝ ΣΩΛΗΝΩΝ Στο εργαστήριο υπάρχουν πέντε (5) τριχοειδείς σωλήνες πολύ µικρής διαµέτρου οι οποίοι στερεώνονται σε πλαίσιο- δοχείο . (Σχ.2) Γεµίζουµε το δοχείο µε νερό , αφού πρώτα καθαρίσουµε τους σωλήνες και το δοχείο. Τοποθετούµε πίσω από τους σωλήνες ένα χαρτόνι πάνω στο οποίο σηµειώνουµε την τριχοειδή ανύψωση hi ( i =1-5 ) των σωλήνων και από τον τύπο (4) υπολογίζουµε τις διαµέτρους di ( i =1-5 ) των τριχοειδών σωλήνων. Επίσης στο εργαστήριο υπάρχουν και δύο επίπεδες πλάκες από διαφανές γυαλί , οι οποίες συνδέονται µε µανταλάκια. (Σχ.3) Αν γύρω από τη µία πλάκα και κοντά στην ακµή της τυλίξουµε ένα πολύ λεπτό σύρµα και στη συνέχεια τις βυθίσουµε ,συνδεδεµένες µα τα µανταλάκια , σε νερό, θα παρατηρήσουµε ότι η ελεύθερη επιφάνεια του νερού ανάµεσα στις δύο πλάκες έχει τη µορφή του σχήµατος 3 . ∆ηλαδή παρατηρούµε ότι εκεί που το διάστηµα µεταξύ των δύο πλακών είναι µεγαλύτερο η στάθµη του νερού είναι χαµηλότερη. “Σχήµα 2” “Σχήµα 3” 9 Γ. ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ Η διαδοχή των εργασιών για την εκτέλεση του πειράµατος : 1. Γεµίζουµε το δοχείο µε νερό αφού προηγούµενα καθαρίσουµε καλά τους σωλήνες και αυτό. 2. Τοποθετούµε ένα χαρτόνι πίσω από τους σωλήνες πάνω στο οποίο σηµειώνουµε την τριχοειδείς ανυψώσεις h1 , h2 ,h3 ,h4 , h5 των σωλήνων. 3. Μετρούµε µε διαστηµόµετρα τα h1 , h2 ,h3 ,h4 , h5 και από τον τύπο d = 4σ/γ*h υπολογίζουµε τις διαµέτρους d1 , d2 ,d3 ,d4 , d5 των σωλήνων και 4. Καταχωρούµε τα αποτελέσµατα στον πίνακα που ακολουθεί. α/α Ανύψωση h (m) Εσωτερική διάµετρος (m) 1 2 3 4 5 10 ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ∆ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΙΞΩ∆ΟΥΣ (µ) ΚΑΙ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΙΞΩ∆ΟΥΣ (ν) ΤΩΝ ΥΓΡΩΝ Α. ΘΕΩΡΙΑ 1.ΓΕΝΙΚΑ Το ιξώδες είναι η κυριότερη ιδιότητα των ρευστών , η οποία χαρακτηρίζει την εσωτερική τριβή του ρευστού , δηλαδή την αντίσταση αυτού στις παραµορφώσεις και τη σχετική µετακίνηση των διαδοχικών ρευστών στοιβάδων, κάτω από συνθήκες διάτµησης. To ιξώδες των υγρών µειώνεται µε την αύξηση της θερµοκρασίας, ενώ αντίθετα, το ιξώδες των αερίων αυξάνεται µε την αύξηση της θερµοκρασίας. Πρώτος ο Newton, ύστερα από πειράµατα, απέδειξε ότι οι δυνάµεις του ιξώδους είναι ανάλογες της σχετικής ταχύτητας που έχει µια ρευστή στοιβάδα σε σχέση µε τη γειτονική της και ότι µηδενίζονται ,όταν µηδενιστεί η σχετική αυτή ταχύτητα µεταξύ των διαδοχικών στοιβάδων. Στη συνέχεια, ο Coulomb απέδειξε ότι οι δυνάµεις του ιξώδους είναι συναρτήσεις γραµµικές και οµογενείς των ταχυτήτων παραµόρφωσης . Εποµένως και οι τάσεις του ιξώδους, δηλαδή οι τάσεις διάτµησης του υγρού, θα είναι συναρτήσεις γραµµικές και οµογενείς των ταχυτήτων παραµόρφωσης. Τελικά ο Newton κατέληξε στη σχέση τ=µ*α η οποία, θερµοκρασία και για µια πίεση, ορισµένη συνδέει τη µεταβολή της ταχύτητας α=du/dy µε την τάση διάτµησης τ=F/S . Ο συντελεστής µ καλείται δυναµικός συντελεστής συνεκτικότητας. Πράγµατι αν πάρουµε δύο επίπεδες πλάκες ΜΝ και Μ0Ν0 µεταξύ των οποίων υπάρχει υγρό και η πλάκα Μ0Ν0 είναι ακίνητη ενώ η πλάκα ΜΝ επιφάνειας S, κινείται µε σταθερή ταχύτητα u, αποδεικνύεται πειραµατικά “Σχήµα 1” 11 ότι: 1) Η ταχύτητα των µορίων που εφάπτονται της Μ0Ν0 είναι µηδέν, ενώ των µορίων που εφάπτονται της ΜΝ ,είναι u. 2) Για µικρό h, η µεταβολή ή βαθµίδα της 3) Για να διατηρηθεί η κίνηση πρέπει να ταχύτητας α=du/dy είναι σταθερή. εφαρµόσουµε στην πλάκα ΜΝ µια δύναµη F, η οποία αντιστοιχεί σε τάση διάτµησης τ=F/S , που µεταβιβάζεται στο υγρό,όπως φαίνεται στο σχήµα 1 και 4) Οι τάσεις διάτµησης του υγρού είναι ανάλογες των ταχυτήτων παραµόρφωσης . Εκτός από το δυναµικό συντελεστή συνεκτικότητας µ, υπάρχει και ο κινηµατικός συντελεστής συνεκτικότητας ν που δίνεται από τη σχέση ν=µ/ρ , όπου µ- ο δυναµικός συντελεστής ιξώδους και ρ- η πυκνότητα του υγρού. Οι µονάδες των συντελεστών µ, ν είναι : Σύστηµα C.G.S. dyn F 2 τ dyn * cm dyn * sec =1 = 1 poise µ = = S =1 cm = 1 cm cm / sec α u cm 2 cm 2 * sec cm y µ ν = =1 ρ gr * cm dyn * sec * sec* cm 3 3 2 2 * sec* dyn cm cm 2 sec cm 1 = = 1 = 1 stoke =1 gr sec cm 2 * gr cm 2 * gr cm 3 Σύστηµα S.I. µ= Nt * sec = 1 poiseuille m2 2 ν = 1m sec 12 2. ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΙΞΩ∆ΟΥΣ α) Ιξωδόµετρα ENGLER, SAYBOLT, REDWOOD κλπ Τα ιξωδόµετρα είναι όργανα που µετρούν τον κινηµατικό συντελεστή συνεκτικότητας ν. Βασικά µετράνε το χρόνο που χρειάζεται ορισµένος όγκος του υγρού να εκρεύσει µέσα από οπή ή τριχοειδή σωλήνα, ή αντίθετα, ο όγκος που θα διαρρεύσει σε ορισµένο χρονικό διάστηµα. Πράγµατι ο χρόνος αυτός t εξαρτάται από τη συνεκτικότητα του υγρού και συνδέεται µε τον κινηµατικό συντελεστή ιξώδους ν µε διάφορους αριθµητικούς τύπους. Στην Ευρώπη πχ χρησιµοποιείται το ιξωδόµετρο ENGLER (Σχ.2), το οποίο µας δίνει τη συνεκτικότητα σε βαθµούς ENGLER (E), δηλαδή Ε=t/t0 , όπου t είναι ο χρόνος που απαιτείται για να εκρεύσουν τα 200 cm3 του υγρού και t0 ο χρόνος που απαιτείται για να εκρεύσουν τα 200 cm3 νερού θερµοκρασίας 20 βαθµών Κελσίου. “Σχήµα 2” Οι βαθµοί ENGLER (Ε) συνδέονται µε τον συντελεστή ν µε διάφορους προσεγγιστικούς τρόπους από τους οποίους υπολογίζουµε τελικά το ν. Σύµφωνα µε τον V.Miss έχουµε ν=0,0864*Ε-0,08/Ε για ν=1. Σύµφωνα µε τον Ubbelohde έχουµε ν=0,0732*Ε-0,063/Ε. Σύµφωνα µε τον Kirsten, Schiller έχουµε ω=0,0783*Ε-0,08836/Ε για υγρά µεγάλης περιεκτικότητας. Στην Αµερική χρησιµοποιείται το ιξωδόµετρο Saybolt Universal γι αυγρά µετρίου ιξώδους και το ιξωδόµετρο Saybolt Furol για υγρά µε υψηλό ιξώδες. 13 Στην Αγγλία χρησιµοποιούνται τα ιξωδόµετρα Redwood Admiralty και Redwood Standard για υγρά µε υψηλό και µέτριο ιξώδες αντίστοιχα. β) Περιστρεφόµενο ιξωδόµετρο Η συσκευή αυτή αποτελείται από δύο οµοαξονικούς κυλίνδρους (α) και (β) µεταξύ των οποίων υπάρχει ένα κενό δ. Μέσα στο κενό τοποθετείται το υγρό του οποίου θέλουµε να µετρήσουµε το ιξώδες. Ο κύλινδρος (α) µπορεί να στραφεί από τον άξονα Χ-Χ µα σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Ο κύλινδρος (β) παραµένει σταθερός, αλλά συνδέεται µε ειδικό όργανο , το οποίο µετρά τη ροπή στρέψεως τα, που εφαρµόζεται από τον εξωτερικό κύλινδρο λόγω του ιξώδους του υγρού. Η ροπή στρέψεως τα δίνεται από τον τύπο: τ=F*R (1) Όπου : R- η ακτίνα του ακίνητου κυλίνδρου, F- η δύναµη τριβής, δηλαδή διατµητική δύναµη , η οποία εξασκείται στον εσωτερικό κύλινδρο. Άρα η F θα ισούται µε το γινόµενο της διατµητικής τάσης τ= µ du και της dr επιφάνειας του εσωτερικού κυλίνδρου Α=2πRh , δηλαδή : F=τ*Α = µ du *2πRh (2). dr Συνεπώς η (1) γίνεται: τ=F*R= µ du du *2πRh*R==2πR2 *h* µ , dr dr 14 αλλά άρα ή du u ω ( R + δ ) = = , δ dr δ τ=2πR2*h*µ* µ= ω(R + δ ) δ τ *δ 2πR hω ( R + δ ) (3) 2 Εποµένως αν µετρήσουµε τη ροπή στρέψης τ, το ύψος h και τη γωνιακή ταχύτητα ω, υπολογίζουµε από την (3) το δυναµικό συντελεστή ιξώδους. γ) Ιξωδόµετρο ροής δι’αγωγού Σύµφωνα µε το νόµο Hagen-Poiseuille για στρωτή ροή µέσα σε σωλήνα έχουµε: Q= π 4 P1 − P2 r ( ) 8νρ L πgjr 4 Q= 8ν και ν= ή πgjr 4 8Q Q= πr 4 jγ 8νρ ή ( 1΄ ) όπου: Q- παροχή j – απώλειες r – ακτίνα Εποµένως υπολογίζουµε ή µετράµε όλα τα στοιχεία του δεύτερου µέλους της (1΄), οπότε έχουµε το συντελεστή ν. δ) Ιξωδόµετρα βυθιζόµενης σφαίρας Το ιξωδόµετρο βυθιζόµενης σφαίρας είναι απλό και µετράει πολύ εύκολα το δυναµικό συντελεστή ενός υγρού. Αυτό αποτελείται από διαβαθµισµένο διαφανές κυλινδρικό δοχείο και από µεταλλικές σφαίρες διαφόρων διαµέτρων. Η µέθοδος αυτή βασίζεται στις παρακάτω αρχές: 15 1) Στην αρχή του Αρχιµήδη. 2) Στο νόµο του Stokes Fst=6πrµu όπου : Fst- η αντίσταση (δύναµη) του ιξώδους πάνω στη σφαίρα r - η ακτίνα της σφαίρας µ - δυναµικός συντελεστής ιξώδους και u - τελική ταχύτητα (σταθερή) της σφαίρας. 3) Στη συνθήκη ΣFi=0 , η οποία χαρακτηρίζει την ισοταχή (u=σταθερή) κίνηση ενός σώµατος, κατά τη διεύθυνση κινήσεως. Πράγµατι αν γεµίσουµε το κυλινδρικό δοχείο µε υγρό και αφήσουµε να πέσει ελεύθερα µέσα µια σφαίρα, θα παρατηρήσουµε ότι ύστερα από λίγο χρόνο αυτή θα αποκτήσει την τελική της ταχύτητα µε αποτέλεσµα στη συνέχεια η κίνηση να είναι ισοταχής. Εποµένως θα ισχύει η σχέση : ΣFi=0 ή Β-FA-Fst=0 όπου : Β - το βάρος της σφαίρας (1΄΄) ( Β=4/3 *π*r3*γσιδ) FA - η δύναµη βαρύτητας ( FA=4/3*π*r3*γυγρ ) Fst - η δύναµη του ιξώδους ( Fst =6π*r*µ*u) άρα η (1΄΄) γίνεται : 4/3 *π*r3*γσιδ-4/3*π*r3*γυγρ-6π*r*µ*u=0 ή 4/3g*r2*(ρσιδ-ρυγρ)=6µu µ=2/q*r2*g* ( ρ σιδ − ρυγρ ) u ή (2΄΄) Εποµένως αν γνωρίζουµε την ακτίνα της σφαίρας r , τις πυκνότητες (ρσιδ,ρυγρ) του σιδήρου και του υγρού αντίστοιχα και µετρήσουµε την ταχύτητα u, µπορούµε από τη σχέση (2΄΄) να υπολογίσουµε το δυναµικό συντελεστή ιξώδους. 16 Β. ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ Στο εργαστήριο υπάρχουν τα απαραίτητα όργανα και υλικά ( υδρόµετρο, µεταλλικές σφαίρες, διαβαθµισµένοι δοκιµαστικοί σωλήνες , λάδι, γλυκερίνη κλπ) για τη µέτρηση των συντελεστών συνεκτικότητας σύµφωνα µε την τέταρτη µέθοδο. Οι εργασίες που απαιτούνται για να εκτελεστεί το πείραµα είναι: 1) Γεµίζουµε τους δοκιµαστικούς σωλήνες µέχρι τη στάθµη α-α (Σχ. 2)µε τα υγρά των οποίων το ιξώδες θέλουµε να µετρήσουµε. 2) Μετρούµε τις πυκνότητες των υγρών µε το υδρόµετρο. 3) Παίρνουµε σφαίρες διαφορετικών διαµέτρων π.χ. d1=1mm, d2=2mm, d3=5mm, τις αφήνουµε να πέσουν ελεύθερα µέσα στους δοκιµαστικούς σωλήνες και µετράµε το χρόνο που κάνει κάθε µια σφαίρα να διανύσει το διάστηµα των 130mm µεταξύ των διαβαθµίσεων 175 και 25. Η ταχύτητα θα υπολογιστεί από τη σχέση : u= L t . “Σχήµα 2” Συνήθως χρησιµοποιούµε για το ίδιο υγρό τρεις διαµέτρους και από δύο σφαίρες για κάθε διάµετρο. Εποµένως η µέση ταχύτητα u για κάθε διάµετρο θα είναι : u= u1 + u 2 . 2 4) Από τη µέση ταχύτητα u κάθε σφαίρας και από την ακτίνα της να υπολογίσουµε σύµφωνα µε τη σχέση : µ=2/q*r2*g* ( ρ σιδ − ρυγρ ) u τρεις τιµές για το δυναµικό συντελεστή ιξώδους µ, για κάθε υγρό. Σαν τελική τιµή του µ παίρνουµε το µέσο όρο : µ= µ1 + µ 2 + µ 3 3 Στη συνέχεια από τον τύπο ν=µ/ρ υπολογίζουµε και τον κινηµατικό συντελεστή ιξώδους. 17 ΕΙ∆ΟΣ ΥΓΡΟΥ D t S u uµέση ρσιδ ργλ ρλαδ µi µ= Σµ i i 18 ν ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ∆ΥΝΑΜΕΩΝ ΠΙΕΣΕΩΝ ΥΓΡΟΥ ΠΟΥ ΙΣΟΡΡΟΠΕΙ ΠΑΝΩ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Α. ΘΕΩΡΙΑ 1. Γενικά Τα περισσότερα προβλήµατα υδροστατικής που έχει να αντιµετωπίσει ο Μηχανικός, ανάγονται στον υπολογισµό του µεγέθους και της θέσης εφαρµογής της συνισταµένης των πιέσεων του νερού πάνω σε επιφάνειες επίπεδες ή καµπύλες, οι οποίες είναι βυθισµένες στο νερό ή περικλείουν όγκους νερού. Αποδεικνύεται εύκολα ( ισορροπία στοιχειώδους τετραέδρου ) ότι η πίεση που ασκείται από υγρό που ισορροπεί πάνω σε τυχούσα στοιχειώδη επιφάνεια dF του τοιχώµατος είναι κάθετη στη dF και η αριθµητική της τιµή ανεξάρτητη της διευθύνσεώς της dF. (Σχ. 1) “Σχήµα 1” Επίσης η διαφορική Εξίσωση της πίεσης P είναι η εξίσωση ισορροπίας τελείου υγρού γνωστή ως συνθήκη του EULER: dP= ρ ( xdx + ydy +zdz ) όπου dP = ∂P ∂P ∂P dz dy + dx + ∂z ∂y ∂x ρ – η πυκνότητα του υγρού και (1) Χ,Υ,Ζ – οι συνιστώσες των εξωτερικών δυνάµεων κατά τους άξονες συντεταγµένων x,y,z ανηγµένες στη µονάδα της µάζας. 19 Η εξίσωση (1) του EULER προκύπτει πολύ εύκολα από τις συνθήκες ισορροπίας, κατά τη διεύθυνση των τριών αξόνων x,y,z, όλων των δυνάµεων που ενεργούν πάνω σε στοιχειώδες παραλληλεπίπεδο dx, dy, dz, το οποίο θεωρούµε µέσα στην υγρή µάζα η οποία ισορροπεί . (Σχ.2) “Σχήµα 2” Στη γενική περίπτωση όπου το πεδίο των εξωτερικών δυνάµεων είναι το δυναµικό πεδίο της βαρύτητας, όπου x=y=0 και z=-g, η (1) µας δίνει : dP=-ρ*g*dz=-γ*dz , ή ολοκληρώνοντας µεταξύ δύο ορίων 0(P0,z0) και Α(P,z), (Σχ.3), βρίσκω: P-P0=-γ(z-z0)=γ(z0-z)=γt ή P=P0+γt (2) , όπου: P0- η ατµοσφαιρική πίεση και t - η απόσταση του Α από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού “Σχήµα 3” Η πίεση P0 στην επιφάνεια της θάλασσας για θερµοκρασία 0ο C ισούται µε : P0 =10,0333 Kp/cm2 =10333 Kp/m2 =1Ατµ. (φυσική ατµόσφαιρα). Εκτός από τη φυσική ατµόσφαιρα έχουµε και την τεχνική ατµόσφαιρα 1at=1Kp/cm2 . 20 Η εξίσωση (2) ισχύει και στην περίπτωση όπου στην επιφάνεια του υγρού δεν έχουµε ατµοσφαιρική πίεση αλλά οποιαδήποτε άλλη πίεση. 2. Επίπεδες επιφάνειες Έστω δοχείο ∆ γεµάτο υγρό µε κεκλιµένη την επίπεδη πλευρά ΑΒ, πάνω στην οποία θεωρούµε τυχούσα πολυγωνική επιφάνεια F όπως φαίνεται στην κατάκλιση . (Σχ.4) “Σχήµα 4” Ζητούµε την αριθµητική τιµή της συνισταµένης δύναµης των πιέσεων του υγρού πάνω στην επιφάνεια F και το σηµείο εφαρµογής της. (Κέντρο πίεσης). Έστω XOY: Σύστηµα ορθογωνίων συντεταγµένων πάνω στο επίπεδο της F και του οποίου ο άξονας OX συµπίπτει µε την τοµή της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού και του επιπέδου της. (Xs,Ys): Οι συντεταγµένες του κέντρου βάρους S της επιφάνειας F. (Xc,Yc): Οι συντεταγµένες του κέντρου πίεσης Ο και ( Χ ,Υ ): Οι συντεταγµένες της στοιχειώδους επιφάνειας dF 21 Στη στοιχειώδη επιφάνεια dF ενεργούν οι παρακάτω δυνάµεις πιέσεων: dW1=P*dF=(P0+γt)*dF , εσωτερικά και dW2=P*dF=P0*dF , εξωτερικά Εποµένως η συνισταµένη δύναµη θα είναι : dW=dW1-dW2=γ*t*dF Αλλά t=y*συνα , άρα dW=γ*συνα*y*dF. Συνεπώς η ολική δύναµη W που ενεργεί πάνω στην επιφάνεια F είναι : W= ∫ dW = συνα ∫ ydF F αλλά η F ∫ ydF είναι η στατική ροπή της F ως προς τον F άξονα ΟΧ και δίνεται από τον τύπο : ∫ ydF = ysF F Άρα W=γ*συνα* ∫ ydF =γ*συνα*ys*F=γ*ts*F → W=γ*ts*F (3) F όπου : γ - το ειδικό βάρος του υγρού F – το εµβαδόν της επιφάνειας F και ts - η απόσταση του κέντρου βάρους της επιφάνειας F από την ελεύθερη επιφάνεια Η ολική αυτή δύναµη W εφαρµόζεται στο σηµείο Ο του οποίου οι συντεταγµένες Χc,Υc βρίσκονται αν εφαρµόσουµε το θεώρηµα των ροπών ως προς τους άξονες ΟΧ και ΟΥ. ---Ροπές ως προς άξονα ΟΧ W*yc= ∫ dWy ή W*yc =γ*συνα* ∫ y 2 dF F Αλλά η F ∫y 2 dF είναι η ροπή αδράνειας της F ως προς άξονα ΟΧ και συµβολίζεται µε F Ixx → Ix . Σύµφωνα δε µε το θεώρηµα του Steiner είναι Ix=Ixc+F*ys όπου Ixc η ροπή αδράνειας της επιφάνειας F ως προς άξονα παράλληλo προς τον άξονα ΟΧ και διερχόµενο από το κέντρο βάρους S της επιφάνειας F. 22 Εποµένως η ισότητα των ροπών γίνεται: W*yc=γ*συνα*( Ixo+ F*ys2 ) ή γ *συνα * ( I xo + F * y s 2 ) yc = γ * ts * F ή γ *συνα * ( I xo + F * y s 2 ) yc = γ * συνα * y s * F ή yc= ys + I xo ys * F (4) ---Ροπές ως προς άξονα ΟY W*xc= ∫ dW * x ή W*xc =γ*συνα* ∫ xy * dF F Αλλά η F ∫ xy * dF είναι η ροπή εκτροπής της F ως προς άξονες ΟΧ ,ΟΥ και F συµβολίζονται µα Ixy . Σύµφωνα δε µε το θεώρηµα Steiner είναι Ixy=Ixoyo+F*ys*xs , όπου Ixoyo η ροπή εκροπής της επιφάνειας F ως προς κεντροβαρικούς άξονες παράλληλους προς τους άξονες ΟΧ και ΟΥ. Εποµένως η ισότητα των ροπών γίνεται : W*xc=γ*συνα*( Ixoyo+ F*ys *xs) ή xc = γ *συνα * ( I xoyo + F * y s * xs ) γ * συνα * y s * F ή xc= xs + I xoyo ys * F (5) 3. Καµπύλες επιφάνειες Έστω καµπύλη επιφάνεια F πάνω στην παρειά δοχείου γεµάτου υγρό και επίπεδο ΧΟΥ , καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων , το οποίο (ΧΟΥ) συµπίπτει µε την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. (Σχ. 5) 23 “Σχήµα 5” Θα δούµε στη συνέχεια πώς µπορούµε να υπολογίσουµε το µέγεθος και τη θέση της συνισταµένης δύναµης W των πιέσεων του υγρού πάνω στην επιφάνεια F. Στη στοιχειώδη επιφάνεια dF , που βρίσκεται σε βάθος Ζ ενεργεί δύναµη dW=ρ*dF=γ*Ζ*dF της οποίας φυσικά η διεύθυνση είναι κάθετη στη dF. Αν οι γωνίες της dW µε τους άξονες x,y,z είναι α,β,γ αντιστοίχως , τότε οι συνιστώσες της dW µε τους άξονες ΟΧ,ΟΥ,ΟΖ θα είναι : dWx=(γ*z*dF)*συνα dWy=(γ*z*dF)*συνβ dWz=(γ*z*dF)*συνγ dF*συνα=dFx αλλά dF*συνβ=dFy dF*συνγ=dFz όπου : dFx, dFy, dFz οι προβολές της dF στα επίπεδα ΧΟΥ, ΧΟΖ , ΥΟΖ αντίστοιχα. Άρα : dWx=γ*z*dFx dWy=γ*z*dFy dWz=γ*z*dFz 24 Εποµένως οι συνιστώσες Wx,Wy,Wz της δύναµης W κατά τους άξονες ΟΧ, ΟΥ, ΟΖ θα είναι : Wx=γ* ∫ z * dFx = γ*zsx*Fx F Wy=γ* ∫ z * dFy = γ*zsy*Fy F (6) Wz=γ* ∫ z * dFz = γ* ∫ dV =γ*V F F Για να βρούµε το σηµείο εφαρµογής της W αρκεί να βρούµε τα σηµεία τοµής των Wx, Wy, Wz µε τα επίπεδα ΥΟΖ, ΖΟΧ και ΧΟΥ αντίστοιχα. Έστω ότι η Wx τέµνει το επίπεδο ΥΟΖ στο σηµείο Μ( ymx ,zmx ) και ότι το κέντρο βάρους της Fx (προβολή της F πάνω στο επίπεδο ΥΟΖ) είναι S(ysx, zsx) . ---Ροπές ως προς τους άξονες ΟΥ και ΟΖ της Wx Wx*zmx= ∫ dWx * z γ*zsx*Fx*zmx=γ* ∫ z 2 * dFx Fx Fx ή Wy*ymx= ∫ dWx * y γ*zsx*Fx*ymx=γ* ∫ z * y * dFx Fx zmx= ή Fx Iy zmx=zsx+ z sx * Fx I yo z sx * Fx ή ymx= ή I xy ymx=ysx+ z sx * Fx zmx=zsx+ ymx=ysx+ I xy z sx * Fx I yo z sx * Fx I xy (7) z sx * Fx όπου: 25 Iyo- η ροπή αδράνειας της Fx ως προς κεντροβαρικό άξονα παράλληλο προς τον άξονα ΟΥ και Iyozo- η ροπή αδρανείας της Fx ως προς κεντροβαρικούς άξονες παράλληλους προς τους άξονς ΟΥκαι ΟΖ. Κατά τον ίδιο τρόπο βρίσκουµε και τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής της Wy µε το επίπεδο ΧΟΖ, δηλαδή της προβολής του κέντρου πίεσης του επιπέδου ΧΟΖ. Παρατηρούµε ότι οι Wx,Wy δηλαδή οι οριζόντιες συνιστώσες της W είναι ίσες µε τις δυνάµεις πιέσεων που δέχονται οι προβολές Fx και Fy της καµπύλης επιφάνειας F, πάνω σε επίπεδα κάθετα προς τις διευθύνσεις Χ και Υ. Επίσης, από τη σχέση Wz =γ* ∫ z * dFz =γ*V έχουµα ότι η Wz είναι ίση µε το βάρος F του πραγµατικού ή ιδεατού όγκου , ο οποίος βρίσκεται πάνω από την καµπύλη επιφάνεια µέχρι την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού και διέρχεται από το κέντρο βάρους του παραπάνω όγκου. Β. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΚΕΝΤΡΟΥ ΠΙΕΣΗΣ Για τον πειραµατικό προσδιορισµό του κέντρου πίεσης Ο χρειαζόµαστε βασικά τις παρακάτω συσκευές και όργανα. 1. ∆εξαµενή ορθογωνική από διαφανές PVC µέσα στη οποία τοποθετούµε νερό µα τη βοήθεια ποδοκίνητης αντλίας. 2. Ζυγό, πάνω στο ένα σκέλος του οποίου είναι στερεωµένο ένα τόξο ( κθκλικό τεταρτηµόριο) µε κατακόρυφη τοµή ορθογωνική. Ο ζυγός οριζοντιώνεται µε τη βοήθεια ενσωµατωµένης αεροστάθµης και κινητού βάρους και 3. Μετρητή στάθµης µε άγκιστρο , κλίµακα, βερνιέρο κλπ. 26 “Σχήµα 6” Πρώτα ισορροπούµε το ζυγό και ύστερα τοποθετούµε νερό στη δεξαµενή. Παρατηρούµε ότι µόλις η στάθµη του νερού περάσει την κάτω πλευρά της ορθογωνικής επιφάνειας , η ισορροπία καταστρέφεται. Αυτό συµβαίνει διότι οι δυνάµεις πιέσεων του νερού πάνω στην ορθογωνική επιφάνεια ΑΑ΄ΒΒ΄ δεν περνούν από τον άξονα περιστροφής , οπότε δηµιουργούν ροπές. Όλες οι άλλες δυνάµεις πιέσεων του νερού πάνω στις υπόλοιπες βρεχόµενες επιφάνειες του τόξου είτε είναι ίσες και αντίθετες (FΑΒΓ∆ , FΑ΄Β΄Γ΄∆΄) ή διέρχονται από τον άξονα περιστροφής ( FΑΑ΄ΓΓ΄ , FΒΒ΄∆∆΄) . Τις ροπές αυτές µπορούµε αυτές µπορούµε να τις εξουδετερώσουµε και φυσικά να αποκαταστήσουµε την ισορροπία βάζοντας βάρη στο δίσκο του ζυγού. Άρα θα ισχύει η ισότητα : tc+do= ΣΜο= 0 ή M * g * 0,3 W ή Μ*g*0,30=W*(to+ do) ή tc+do= M * g * 0,3 γ * ts * F ή 27 tc= M * 0,3 -do ρ * ts * F (8) όπου : M - η µάζα που τοποθετήσαµε στο δίσκο ρ - η πυκνότητα του νερού F - το εµβαδόν της βρεχόµενης επιφάνειας ts - η απόσταση του κέντρου βάρους της βρεχόµενης επιφάνειας από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού. tc - η απόσταση του κέντρου πίεσης C από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού. Γ. ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ Στο εργαστήριο υπάρχει η συσκευή του (Σχ.6) µε τη βοήθεια της οποίας θα προσδιορίσουµε το κέντρο πίεσης. Η διαδοχή των εργασιών που απαιτούνται για την εκτέλεση του πειράµατος είναι : 1. Ισορροπούµε το ζυγό σε οριζόντια θέση µε τη βοήθεια κινητού βάρους και αεροστάθµης. 2. Ανοίγουµε τη βάνα και αντλούµε µε την ποδοκίνητη αντλία νερό µέχρις ότου η στάθµη του νερού εφάπτεται στην κάτω πλευρά ΑΑ΄ της ορθογωνικής επιφάνειας. Ύστερα κλείνουµε τη βάνα. 3. Τοποθετούµε την αιχµή του άγκιστρου έτσι, ώστε µόλις να ακουµπάει την ελεύθερη επιφάνεια του νερού και το µηδέν του βερνιέρου σε ένα σηµείο της κλίµακας, του οποίου την ένδειξη σηµειώνουµε. (Σχ.7) 4. Ανοίγουµε τη βάνα και αντλούµε πάλι νερό , µέχρις ότου η νέα στάθµη του νερού να υπερκαλύπτει την ορθογωνική επιφάνεια. Ύστερα κλείνουµε τη βάνα. 5. Τοποθετούµε την αιχµή του άγκιστρου έτσι, ώστε µόλις να ακουµπάει τη νέα ελεύθερη επιφάνεια και σηµειώνουµε τη νέα ένδειξη του βερνιέρου στην κλίµακα . Η διαφορά των ενδείξεων θα µας δώσει την άνοδο t1 της στάθµης του νερού. 6. Τοποθετούµε βάρη στο δίσκο ώστε να αποκατασταθεί η ισορροπία του ζυγού στην οριζόντια θέση. Ύστερα από τη σχέση (8) υπολογίζουµε την τεταγµένη tc του κέντρου πίεσης και τη συγκρίνουµε µε την τεταγµένη tc=y , η οποία θα προκύψει από το θεωρητικό τύπο : tc= yc= ys+ I x = ts+ x F * ys F * ts και 28 “Σχήµα 7” 7. Επαναλαµβάνουµε το πείραµα για διάφορες στάθµες του νερού και καταχωρούµε τα αποτελέσµατα στον πίνακα που ακολουθεί. ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ α/α t b F ts W M Ix do tc tc (ΘΕΩΡ.) (ΠΕΙΡΑΜ.) 1 2 3 29 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΤΡΟΦΗ ΥΓΡΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟ ΑΞΟΝΑ Α. ΘΕΩΡΙΑ Στην περίπτωση ισορροπίας των υγρών και γενικότερα των ρευστών , δεν έχουµε επενέργεια των φαινοµένων του ιξώδους, διότι η σχετική ταχύτητα των µορίων είναι ίση µε µηδέν. Οι πιέσεις υπολογίζονται εύκολα από την εξίσωση ισορροπίας των τελείων υγρών ή συνθήκη του EULER: όπου dP= dP=ρ*( xdx+ydy+zdz ) (1) ∂P ∂P ∂P dx+ dy+ dz ∂y ∂x ∂z ρ – η πυκνότητα του υγρού x,y,z – οι συνιστώσες των εξωτερικών δυνάµεων κατά τους άξονες συντεταγµένων ανηγµένες στη µονάδα της µάζας. Επίσης στην περίπτωση που η µάζα ενός υγρού κινείται σαν ένα σώµα ( οµοιόµορφη στροφή υγρού, οµοιόµορφα επιταχυνόµενη κίνηση υγρού κλπ) , όταν δηλαδή η σχετική ταχύτητα των µορίων είναι µηδενική , είναι δυνατόν να θεωρήσουµε την κατάσταση κίνησης ως κατάσταση ισορροπίας , υπό την προϋπόθεση ότι: 1) Αναφερόµαστε σε σύστηµα συντεταγµένων το οποίο θα κινείται µε το υγρό και 2) Προσθέτουµε στις εξωτερικές δυνάµεις και τις δυνάµεις αδράνειας. Θα µελετήσουµε στη συνέχεια την οµοιόµορφη στροφή υγρού γύρω από κατακόρυφο άξονα και ειδικότερα θα βρούµε την εξίσωση της ελεύθερης επιφάνειας και την εξίσωση που µας δίνει την πίεση. Παίρνουµε ένα ανοικτό κυλινδρικό δοχείο µε διάµετρο R , µέσα στο οποίο βάζουµε νερό µέχρις ύψους h και το περιστρέφουµε οµοιόµορφα , γύρω από τον κεντροβαρικό κατακόρυφο άξονα ΟΖ , µε γωνιακή ταχύτητα ω. Στην αρχή το νερό παραµένει ακίνητο, αλλά στη συνέχεια , λόγω των τριβών του νερού µε τις παρειές του δοχείου , αρχίζει και αυτό να περιστρέφεται µε την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω. (Σχ.1) Στη µονάδα µάζας Μ το νερού ενεργούν οι δυνάµεις : x= υ2 r = υ2 x = ω 2 x2 x =x*ω2 ( φυγόκεντρος δύναµη), y=0 και z=-g ( βαρύτητας) 30 Η εξίσωση της ελεύθερης επιφάνειας , που είναι ισοθλιπτική δίνεται από την εξίσωση: xdx+ydy+zdz=0 (3) η οποία σύµφωνα µε τη (2) γίνεται: x*ω2*dx – g*dz=0 ή ολοκληρώνοντας x * ω 2 * dx - g*z + c=0 2 (4) “Σχήµα 1” Το σηµείο Α(0 , Η΄) σαν σηµείο της ελεύθερης επιφάνειας θα επαληθεύει την εξίσωσή της . Άρα βάζοντας x=0 , z=H΄στην (4) έχω c=g*H΄. Συνεπώς η εξίσωση της ελεύθερης επιφάνειας (4) γίνεται : x * ω 2 * dx - g*(z-H)=0 2 (5), η οποία µας δείχνει ότι η ελεύθερη επιφάνεια είναι παραβολοειδές εκ περιστροφής . Τα ύψη Η και Η΄ βρίσκονται παίρνοντας : 1) Τη γεωµετρική συνθήκη κατά την οποία ο όγκος προτού και µετά την περιστροφή είναι ίδιος και 2) Ότι το σηµείο Β(R, H) σαν σηµείο της ελεύθερης επιφάνειας θα επαλυθεύει την εξίσωσή της. Εποµένως : 1 π*R *h= π*R *Η- *π*R2*(Η-Η΄) και 2 2 2 R 2 *ω - g*( H-H΄)=0 2 ή 2h=2H-( H-H΄) και H=H΄+ R 2 *ω 2 2g ή Η΄= 2h-H και H=H΄+ R 2 *ω 2 2g ή 31 H΄=h- R 2 *ω 2 4g H=h+ R 2 *ω 2 4g (6) Άρα η εξίσωση (5) της ελεύθερης επιφάνειας γίνεται : R 2 *ω 2 x 2 *ω 2 -g*( z - h+ ) =0 4g 2 (7) Η διαφορική εξίσωση της πίεσης όπως είπαµε είναι η dP=ρ*(xdx+ydy+zdz) . Η εξίσωση αυτή σύµφωνα µε τις (2) γίνεται :dP=ρ*(xω2dx-gdz) ή ολοκληρώνοντας , x 2 *ω 2 P=ρ*( -gz) + c 2 (8) Το σηµείο Α(0,Η΄) είναι σηµείο της ελεύθερης επιφάνειας , εποµένως PΑ=Pο . Άρα για x=0 , z=H΄η (8) µας δίνει : Po=-ρgH΄+c P=ρ*( ή c=Po+ ρgH΄ οπότε η (8) γίνεται : x 2 *ω 2 -gz)+Po+ρgH΄ 2 P=Po+ ρ * x 2 *ω 2 2 +ρ*g*(H΄-z) ή (9) H εξίσωση (9) είναι τελικά η εξίσωση που µας δίνει την πίεση σε οποιοδήποτε σηµείο του νερού. Εποµένως η πίεση στο Α΄(0, Η΄΄) θα είναι : PΑ΄ = Po + ρ *ω 2 * 02 2 +ρ*g*( H΄-Η΄΄) ή PΑ΄ = Po + ρgt = Po + γt , όπου t=( H΄-Η΄΄) Άρα έχουµε υδροστατική κατανοµή των πιέσεων και οι ισοθλιπτικές επιφάνειες είναι, όπως και η ελεύθερη επιφάνεια, παραβολοειδές εκ περιστροφής. Β. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Για να µελετήσουµε πειραµατικά την οµοιόµορφη στροφή υγρού γύρω από κατακόρυφο άξονα χρειαζόµαστε τις παρακάτω συσκευές και όργανα. (Σχ.2) 1) Κυλινδρικό δοχείο το οποίο µπορεί να στρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο κεντροβαρικό άξονά του. 32 2) Κατακόρυφο δείκτη ο οποίος να κινείται οριζόντια και κάθετα γύρω από κατακόρυφο κεντροβαρικό επίπεδο , και 3) ∆ύο κλίµακες (οριζόντια και κατακόρυφη) και χρονόµετρο. Βάζουµε υγρό στο κυλινδρικό δοχείο µέχρι ύψους h, µετακινούµε το δείκτη στον κατακόρυφο άξονα , έτσι ώστε η ακίδα να εφάπτεται της ελεύθερης επιφάνειας και θέτουµε το δοχείο σε περιστροφική κίνηση. Όταν διαπιστώσουµε ότι το υγρό έχει αποκτήσει την ταχύτητα περιστροφής του δοχείου αρχίζουµε τις µετρήσεις. Πρώτα µετράµε τις τεταγµένες Η΄ και Η των σηµείων Α και Β αντίστοιχα. Ύστερα µετακινούµε το δείκτη αριστερά (θέση Γ΄) και δεξιά (θέση Γ) , παίρνουµε τις αντίστοιχες ενδείξεις στην οριζόντια κλίµακα και έτσι βρίσκουµε την τετµηµένη rΓ των σηµείων Γ και Γ΄. Φυσικά η τεταγµένη των σηµείων Γ , Γ΄ είναι zΓ=zΓ΄ =h . Στη συνέχεια µετακινούµε το δείκτη κατακόρυφα κατά δ και αριστερά (θέση ∆΄) και δεξιά (θέση ∆). Παίρνουµε τις αντίστοιχες ενδείξεις στην οριζόντια κλίµακα και έτσι βρίσκουµε την τετµηµένη r∆ των σηµείων ∆ και ∆΄. Η τεταγµένη των ∆ και ∆΄ θα είναι z∆= z∆΄ = zΓ+δ . Με τον τρόπο αυτό µπορούµε να προσδιορίσουµε όσα σηµεία θέλουµε της καµπύλης της ελεύθερης επιφάνειας ( πειραµατική καµπύλη) . “Σχήµα 2” 33 Γ. ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ Στο εργαστήριο η µελέτη της οµοιόµορφης στροφής υγρού γύρω από κατακόρυφο άξονα γίνεται µε τη βοήθεια της VORTEX APPARATUS. η συσκευή αποτελείται από όλα τα εξαρτήµατα ( κυλινδρικό δοχείο , δείκτης, κλίµακες, κλπ.) που περιγράψαµε στην προηγούµενη παράγραφο. Η διαδοχή των εργασιών που απαιτούνται για τη διεξαγωγή του πειράµατος είναι: 1) Θέτουµε σε περιστροφική κίνηση το κυλινδρικό δοχείο αφού προηγουµένως έχουµε βάλει νερό µέχρις ύψους h και έχουµε φέρει την ακίδα του δείκτη να εφάπτεται της ελεύθερης επιφάνειας του νερού. 2) Όταν διαπιστώσουµε ότι το νερό συµπεριφέρεται ως στερεό , υπολογίζουµε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ω=2πν , όπου ν= στροφ./ t . ∆ηλαδή µετράµε τον αριθµό των στροφών του δοχείου σε ορισµένο χρόνο t και στη συνέχεια υπολογίζουµε τη γωνιακή ταχύτητα ω. 3) Μετράµε τις τεταγµένες Η΄ και Η των σηµείων Α και Β των οποίων φυσικά οι τετµηµένες είναι 0 και R αντίστοιχα. 4) Μετακινούµε το δείκτη αριστερά και δεξιά µέχρις ότου η ακίδα ακουµπήσει µόλις την ελεύθερη επιφάνεια του νερού (θέσεις Γ΄ και Γ αντίστοιχα) και παίρνουµε τις αντίστοιχες ενδείξεις στην οριζόντια κλίµακα. Η διαφορά των ενδείξεων, µας δίνει την οριζόντια απόσταση των σηµείων Γ , Γ΄ και το µισό αυτής , την τετµηµένη rΓ των σηµείων Γ και Γ΄. Φυσικά η τεταγµένη αυτών είναι zΓ=zΓ΄=h . 5) Μετακινούµε τον δείκτη κατακόρυφα κατά δ=0,5 εκατοστά και στη συνέχεια αριστερά , δεξιά µέχρις ότου η ακίδα ακουµπήσει την ελεύθερη επιφάνεια του νερού ( θέσεις ∆΄και ∆ αντίστοιχα). Παίρνουµε τις αντίστοιχες ενδείξεις και όπως παραπάνω υπολογίζουµε την τετµηµένη r∆ των ∆ και ∆΄. Η τεταγµένη των ∆, ∆΄ είναι :z∆=z∆΄=zΓ+δ=h+0,5. Προχωρώντας µε τον τρόπο αυτό µπορούµε να υπολογίσουµε και άλλα σηµεία της καµπύλης. 6) Με τη βοήθεια των σηµείων Α(0 , Η΄) , Β(R,H) , Γ(rΓ,zΓ) , ∆(r∆,z∆) κλπ, σχεδιάζουµε την καµπύλη της ελεύθερης επιφάνειας( πειραµατική καµπύλη). Τέλος από την εξίσωση R 2 *ω 2 x 2 *ω 2 -g*( z – h + ) = 0 της ελεύθερης 4g 2 επιφάνειας υπολογίζουµε διάφορα σηµεία της καµπύλης (θεωρητική καµπύλη) 34 και στη συνέχεια τη σχεδιάζουµε και τη συγκρίνουµε µε την πειραµατική καµπύλη. ΠΙΝΑΚΑΣ Ι α/α t στροφές ν ω h 1 2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙ Σηµείο καµπύλης Β ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ r z r Z H h+δ H+δ Γ H h-δ h-δ Α H΄ 35 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗ∆Η Α. ΘΕΩΡΙΑ Όταν ένα σώµα είναι βυθισµένο ή επιπλέει σε υγρό που βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας , εξασκείται πάνω στο σώµα από το υγρό δύναµη η οποία ονοµάζεται άνωση. Η άνωση ισούται µε το βάρος του όγκου του υγρού που το σώµα εκτοπίζει , έχει διεύθυνση κατακόρυφη προς τα πάνω και περνάει από το κέντρο βάρους του όγκου που εκτοπίζεται. Το θεώρηµα αυτό , όπως είναι γνωστό, είναι η περίφηµη αρχή του Αρχιµήδη. Μια πλήρης απόδειξη της αρχής αυτής στηρίζεται στο θεµελιώδη νόµο της στατικής σύµφωνα µε τον οποίο όταν ένα σώµα ισορροπεί , πρέπει το άθροισµα (ο στροφέας) όλων των δυνάµεων που επενεργούν σ’αυτό να είναι µηδέν. “Σχήµα 1” “Σχήµα 2” Παίρνουµε ένα στερεό που έχει όγκο V και περίβληµα S , το τοποθετούµε µέσα σε υγρό που βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας και το οποίο τελικά ισορροπεί όπως φαίνεται στο Σχ.1 . Πάνω στο στερεό εξασκούνται δύο δυνάµεις: 1) Οι εξωτερικές (µαζικές) δυνάµεις f(m) π.χ. βαρύτητας, φυγόκεντροι κλπ. 2) Οι δυνάµεις πίεσης f(ρ) που εξασκεί το υγρό στον όγκο του στερεού µέσω της επιφάνειας S. Επειδή όµως το στερεό ισορροπεί, πρέπει το άθροισµα ( ο στροφέας των εξωτερικών δυνάµεων ) f(m) να είναι ίσο και αντίθετο µε το άθροισµα (στροφέας των εσωτερικών δυνάµεων) f(ρ). ∆ηλαδή f(m)=f(ρ) (1) Στη συνέχεια αντικαθιστούµε τον όγκο V του στερεού µε όγκο V του υγρού και θεωρούµε τη νοητή επιφάνεια S που τον περιορίζει όπως ακριβώς (κατά θέση και µέγεθος) µε το περίβληµα του στερεού. (Σχ.2) 36 Εποµένως πάνω στον όγκο V του υγρού , που περιορίζεται από τη νοητή επιφάνεια S, θα εξασκούνται οι εξωτερικές δυνάµεις f΄(m) και οι δυνάµεις πίεσης f΄(ρ) και επειδή θα ισορροπεί θα είναι: f΄(m)= f΄(ρ) (2) Αλλά επειδή τόσο ο όγκος V του στερεού, όσο και ο όγκος V του υγρού έχουν ακριβώς το ίδιο περίβληµα S, θα έχουµε f΄(ρ)=f(ρ) άρα f(ρ)=f΄(m) (3) ∆ηλαδή οι δυνάµεις πίεσης που εξασκούνται από ένα υγρό που βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας , πάνω σε τυχόν στερεό που ισορροπεί µέσα στο υγρό, σχηµατίζουν στροφέα ίσο και αντίθετο µε το στροφέα των εξωτερικών δυνάµεων οι οποίες θα δρούσαν πάνω στο υγρό αν καταλάµβανε το χώρο του στερεού. Στην περίπτωση που οι εξωτερικές δυνάµεις προέρχονται µόνο από το πεδίο βαρύτητας , οι δυνάµεις f΄(m) είναι το βάρος (Β) της µάζας του όγκου V του υγρού και οι δυνάµεις πίεσης f(ρ) είναι µία δύναµη (Α) που έχει διεύθυνση κατακόρυφη προς τα πάνω και περνά από το κέντρο βάρους του όγκου που εκτοπίζεται . Συνεπώς Β=Α (4) Η αναλυτική απόδειξη της ισότητας (4) έχει ως εξής : Έστω V ο όγκος του στερεού που είναι βυθισµένο σε υγρό πυκνότητας ρ και δύο τυχόντα στοιχειώδη πρίσµατα αυτού (οριζόντιο και κατακόρυφο) διατοµής dS (Σχ.3). Πρώτα θα αποδείξουµε ότι η συνισταµένη των οριζόντιων συνιστωσών των δυνάµεων πίεσης είναι ίση µε το µηδέν . Προς τούτο στις στοιχειώδεις επιφάνειες dSe και dSr του οριζόντιου πρίσµατος ασκούνται αντίστοιχα οι στοιχειώδεις δυνάµεις πίεσης : “Σχήµα 3” 37 dFe=ρe*dSe=γ*h΄*dSe dFr=ρr*dSr=γ*h΄*dSr (5) Προβάλλω αυτές κατά τη διεύθυνση x-x του άξονα , δηλαδή παίρνω τις οριζόντιες Συνιστώσες και έχω: dFeH=dFe*συναe=γ*h΄*dSe*συναe dFrH=dFr*συναr=γ*h΄*dSr*συναr Αλλά εύκολα φαίνεται από τα ορθογώνια τρίγωνα ότι : dS=dSe*συναe (7) dS=dSr*συναr Εποµένως οι (6) γίνονται : dFeH=γ*h΄*dSe*συναe=γ*h΄*dS dFeH=γ*h΄*dSr*συναr=γ*h΄*dS δηλαδή dFeH=dFrH Άρα οριζόντια συνιστώσα των δυνάµεων πίεσης δεν υπάρχει. Στη συνέχεια θα αποδείξουµε ότι η συνισταµένη των κατακόρυφων συνιστωσών των δυνάµεων πίεσης είναι ίση µε το βάρος του υγρού που εκτοπίζεται. Στις στοιχειώδεις επιφάνειες dSo και dSu του κατακόρυφου πρίσµατος ασκούνται αντίστοιχα οι στοιχειώδεις δυνάµεις πίεσης: dFu=ρu*dSu=γ*hu*dSu (8) dFο=ρο*dSο=γ*hο*dSο Προβάλλω αυτές κατά τη διεύθυνση z-z του άξονα , δηλαδή παίρνω τις κατακόρυφες συνιστώσες και έχω : dFuv=dFu*συναu=γ*hu*dSu*συναu dFov=dFo*συναo=γ*ho*dSo*συναo (8α) αλλά dS=dSu*συναu dS=dSo*συναο (9) 38 Εποµένως η (8α) γίνεται: dFuv=γ*hu*dSu*συναu=γ*hu*dS dFov=γ*ho*dSo*συναo=γ*ho*dS Άρα η συνισταµένη είναι : dA=dFuv - dFov=γ*hu*dS-ho*dS=γ*(hu -ho)*dS=γ*h*dS (10) και διευθύνεται προς τα πάνω. Η παράσταση h*dS παριστάνει τον όγκο dV του στοιχειώδους κατακόρυφου πρίσµατος . Εποµένως ολοκληρώνοντας την ισότητα (10) έχουµε : ∫ dA = ∫ γ * h * dS = γ ∫ h * dS ή Α=γ*V ή Α=Β όπου Α – είναι η συνισταµένη δύναµη πίεσης και Β – το βάρος του υγρού που εκτοπίζεται. Β. ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΝΩΣΗΣ Πριν προχωρήσουµε στη διαδικασία µέτρησης της άνωσης Α πρέπει να αναφέρουµε ότι τελικά κάθε στερεό που βυθίζεται ή επιπλέει σε υγρό, χάνει τόσο από το βάρος του όσο είναι το βάρος του εκτοπιζόµενου υγρού. Εποµένως θα έχω: όπου Β΄=Β – Α (11) Β΄ - είναι το φαινόµενο βάρος του σώµατος βυθισµένου Β - είναι το βάρος του σώµατος στον αέρα Α - είναι η άνωση. Για τη µέτρηση της άνωσης , δηλαδή για την πειραµατική απόδειξη της σχέσης Β=Α χρειαζόµαστε τις παρακάτω συσκευές και υλικά: 1) Ζυγαριά 2) Ένα δοχείο (α) 3) Ένα συµπαγή κύλινδρο (β) 4) Ένα άλλο δοχείο (γ) µε εσωτερικό όγκο ακριβώς ίδιο µε τον όγκο του κυλίνδρου και 5) Νερό ή άλλο υγρό. Όλα αυτά φαίνονται στο (Σχ.4) 39 “Σχήµα 4” - Πρώτα ζυγίζουµε το δοχείο (γ) και τον κύλινδρο (β) µαζί και έστω Β1 (gr) το βάρος τους. - Βυθίζουµε τον κύλινδρο µέσα στο νερό και παίρνουµε την καινούρια ένδειξη Β2 (gr) το βάρος του. - Ζυγίζουµε το δοχείο (γ) µόνο του και έστω Β3 (gr) το βάρος του. - Ζυγίζουµε το δοχείο (γ) γεµάτο νερό και παίρνουµε την καινούρια ένδειξη Β1 (gr). Η ποσότητα ( Β1- Β2 ) gr σύµφωνα µε την (11) είναι η άνωση Α , όπως µετρήθηκε και η ποσότητα ( Β4 –Β3 ) gr είναι το βάρος Β του υγρού που εκτοπίζεται, γιατί ο όγκος του κυλίνδρου (β) είναι ακριβώς ο ίδιος µε τον όγκο του δοχείου (γ). Τελικά διαπιστώνουµε ότι οι παραπάνω ποσότητες είναι ίσες . 40 Γ. ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ Στο εργαστήριο υπάρχουν οι απαραίτητες συσκευές του σχήµατος (4) για τη µέτρηση της άνωσης και του βάρους του εκτοπιζόµενου υγρού. Η διαδοχή των εργασιών που απαιτούνται για τη διεξαγωγή του πειράµατος είναι : 1) Ανεβάζουµε το αντίβαρο , ώστε να λειτουργεί η εσωτερική ευαίσθητη κλίµακα της ζυγαριάς (0-250 gr) και µε τη βοήθεια της βίδας (δ) οριζοντιώνουµε τη ζυγαριά ώστε να µη µηδενισθεί η ένδειξη. 2) Κρεµάµε το δοχείο (γ) και τον κύλινδρο (β) και σηµειώνουµε την ένδειξη Β1 (gr). 3) Βυθίζουµε τον κύλινδρο τελείως µέσα στο νερό και σηµειώνουµε τη νέα ένδειξη Β2. 4) Ζυγίζουµε το δοχείο (γ) µόνο του και σηµειώνουµε την ένδειξη της ζυγαριάς Β3 (gr). 5) Γεµίζουµε το δοχείο (γ) µε νερό και παίρνουµε την καινούρια ένδειξη Β4 (gr). 6) Συγκρίνουµε τις ποσότητες (Β1-Β2) και (Β4-Β3). Επαναλαµβάνουµε τα ίδια µε ξύδι , λάδι κλπ. και τα αποτελέσµατα τα σηµειώνουµε στον πίνακα που ακολουθεί. 41 ΒΑΡΟΣ ΕΙ∆ΟΣ ΥΓΡ. ΒΑΡΟΣ ΑΜΦΟΤΕΡΩΝ ΑΜΦΟΤΕΡΩΝ ΜΕ ΒΥΘΙΣΜΑ ΤΩΝ ΤΟΥ ΚΥΛΙΝ∆ΡΩΝ ΣΥΜΠΑΓΟΥΣ (1) (2) ΒΑΡΟΣ ΒΑΡΟΣ ΚΕΝΟΥ ΑΝΩΣΗ ΚΕΝΟΥ ΚΥΛΙΝ∆Ρ. ΣΥΜΠΑΓ. l ΜΕ ΚΥΛΙΝ∆Ρ. ΚΥΛΙΝ∆ΡΟΥ ΥΓΡΟ (3) (4) (5) = (1)(2) ΒΑΡΟΣ ΕΚΤΟΠΙΖΟΜ. ΥΓΡΟΥ ΑΠΟ ΤΟΝ ΣΥΜΠΑΓΗ ΚΥΛΙΝ∆. (6) = (4)-(3) ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ Α. ΘΕΩΡΙΑ 1. Γενικά Ένα σώµα που επιπλέει βρίσκεται σε πλήρη ισορροπία όταν : α. Η άνωση είναι ίση µε το βάρος του σώµατος και β. Το κέντρο άνωσης Α και το κέντρο βάρους G βρίσκονται πάνω στην ίδια κατακόρυφη ευθεία , ώστε να µη δηµιουργείται ζεύγος ανατροπής της ισορροπίας του σώµατος. Όταν όµως πρόκειται για ισορροπία πλοίων και οι δύο παραπάνω συνθήκες δεν κρίνονται επαρκείς , διότι δεν εξασφαλίζουν την ευσταθή ισορροπία του πλοίου, π.χ. την ευστάθεια του πλοίου σε εξωτερικές επιδράσεις οι οποίες τείνουν να του διαταράξουν την ισορροπία. 42 (α) (β) “Σχήµα 1” Έστω ότι το σώµα του σχήµατος (1α) το οποίο ισορροπεί , εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας του, (Σχ.1β), λόγω της επίδρασης εξωτερικών δυνάµεων. Αν οι δυνάµεις που ενεργούν στη νέα του θέση τείνουν να επαναφέρουν το σώµα στην αρχική του θέση , η ισορροπία του σώµατος καλείται ευσταθής , αν τείνουν να επαυξήσουν την εκτροπή του σώµατος αντί να το επαναφέρουν στην αρχική του θέση , η ισορροπία καλείται ασταθής. Τέλος αν δε συµβαίνει τίποτε από τα παραπάνω η ισορροπία καλείται αδιάφορος. Στην περίπτωση που το κέντρο βάρους του σώµατος κείται χαµηλότερα από το κέντρο άνωσης , η ισορροπία είναι πάντοτε ευσταθής. Είναι όµως δυνατόν το κέντρο βάρους ενός σώµατος που επιπλέει , να βρίσκεται ψηλότερα από το κέντρο της άνωσης και το σώµα να βρίσκεται σε ευσταθή ισορροπία. Επίπεδο πλεύσης είναι το επίπεδο Β-Γ της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού. Επιφάνεια πλεύσης είναι η τοµή του επιπέδου πλεύσης µε το πλωτό σώµα. Ίσαλος γραµµή είναι το περίγραµµα της επιφάνειας πλεύσης. Άξονας πλεύσης είναι η ευθεία που διέρχεται από το κέντρο βάρους G και το κέντρο άνωσης Α. Μετάκεντρο (Μ) είναι το σηµείο τοµής του κεκλιµένου άξονα πλεύσης και της κατακόρυφης που διέρχεται από το νέο κέντρο άνωσης Α. Μετακεντρικό ύψος hm είναι η απόσταση GM του κέντρου βάρους από το µετάκεντρο. Όταν το κέντρο βάρους ενός σώµατος που επιπλέει βρίσκεται ψηλότερα από το κέντρο άνωσης τότε η θέση του µετάκεντρου καθορίζει το είδος της ισορροπίας. α. Αν το µετάκεντρο είναι ψηλότερα από το κέντρο βάρους G, το σώµα θα 43 βρίσκεται σε ευσταθή ισορροπία διότι η απόκλιση του άξονα πλεύσης από την κατακόρυφο δηµιουργεί ροπή βάρους- άνωσης η οποία τείνει να επαναφέρει τον άξονα στην κατακόρυφο. β. Αν το µετάκεντρο είναι χαµηλότερα από το κέντρο βάρους, το σώµα θα βρίσκεται σε ασταθή ισορροπία, διότι η ροπή που δηµιουργείται τείνει να αποκλίνει τον άξονα περισσότερο. γ. Αν το µετάκεντρο συµπέσει µε το κέντρο βάρους η ισορροπία του σώµατος θα είναι αδιάφορη. Εποµένως για να έχουµε ευσταθή ισορροπία πρέπει το µετακεντρικό ύψος (GM) να είναι πάντα θετικό.(GM)>0. 2. Αναλυτικός υπολογισµός του µετακεντρικού ύψους Θα υπολογίσουµε το µετακεντρικό ύψος (GM) ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου µα διαστάσεις h*b*l . (α) (β) “Σχήµα 2” Έστω ότι το σώµα του σχ.2α µε διαστάσεις h*b*l που ισορροπεί , περιστρέφεται κατά µια µικρή γωνία δ γύρω από άξονα κάθετο στο επίπεδο του σχήµατος και διερχόµενο από το σηµείο 0. (Σχ. 2β) Αν dF είναι απειροστό τµήµα της επιφάνειας πλεύσης σε απόσταση x από τον άξονα περιστροφής , η µεταβολή του εκτοπίσµατος η οποία προκαλείται από τη µικρή περιστροφή θα είναι: ∆V= ∫ hx * dF = F ∫ x * δ * dF = δ* ∫ x * dF F , όπου F η F επιφάνεια πλεύσης. 44 Αν όµως ο άξονας περιστροφής είναι ταυτόχρονα και άξονας συµµετρίας της ∫ x * dF επιφάνειας πλεύσης τότε = 0 άρα και ∆V=0 , οπότε η άνωση δεν αλλάζει F µέγεθος λόγω της περιστροφής ( ΡΑ = ΡΑ΄ ) . Μεταβάλλεται όµως η σχετική θέση της ως προς το σώµα. Η άνωση ΡΑ΄ θα ισούται µε την ΡΑ συν την άνωση ΡΑ΄΄ ( Άνωση του νέου βυθιζόµενου πρίσµατος ΟΓΓ΄ ) µείον την ΡΑ΄΄΄ ( Άνωση του αναδυόµενου πρίσµατος ΟΒΒ΄) . ∆ηλαδή η ΡΑ΄ είναι η συνισταµένη των ΡΑ , ΡΑ΄΄ , ΡΑ΄΄΄ . Άρα η ροπή της συνισταµένης ΡΑ΄ ως προς το σηµείο 0 θα ισούται µε το άθροισµα των ροπών των συνιστωσών της . ∆ηλαδή : ΡΑ΄ * x2΄ = ΡΑ * x1΄ - γ* δ* ∫ x * dF * x - γ*δ* ΓΟΓ΄ ΡΑ*( x1΄ + x2΄) = γ* δ* ∫ x 2 * dF ΓΟΓ΄ + ΒΟΒ ΄ ΡΑ*x΄ =γ*δ* ∫x 2 F γ *δ * Ιο ΡΑ ή ή ή * dF ΡΑ*x΄ =γ*δ*Ιο x΄= ∫ x * dF * x ΒΟΒ΄ ή = γ * δ * Ιο γ *V x΄= ή δ * Ιο (1) V όπου : Io - είναι η ροπή αδράνειας της επιφάνειας πλεύσης F ως προς τον άξονα περιστροφής V – είναι ο όγκος του νερού που εκτοπίζεται. Επειδή η γωνία δ είναι πολύ µικρή έχουµε : ηµδ=δ , άρα : x΄= (ΑΜ)*ηµδ=(ΑΜ)*δ=[ (ΑG) + (GM) ]*δ= (ε + hm )*δ συνεπώς η (1) γίνεται : (ε + hm )*δ= όπου : δ * Ιο V ή hm = Ιο -ε V (2) ε= (ΑG) 45 Β. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ Για να προσδιορίσουµε πειραµατικά το µετάκεντρο χρησιµοποιούµε τη συσκευή του σχήµατος 3. Επίσης χρησιµοποιούµε τη δεξαµενή και το µετρητή στάθµης µε άγκιστρο που χρησιµοποιήσαµε για τον προσδιορισµό του κέντρου πίεσης . Η συσκευή αυτή αποτελείται από ένα ορθογώνιο δοχείο µε µάζα m και διαστάσεις b*l*h=200mm*350mm*73mm . Το δοχείο περιλαµβάνει µια πρόσθετη µάζα m΄ η οποία µπορεί να µετακινείται δεξιά και αριστερά σε οριζόντιο άξονα και κατακόρυφο κεντροβαρικό άξονα πάνω στον οποίο κινείται µέρος της µάζας m έτσι ώστε το κέντρο βάρους G του δοχείου να αλλάζει θέση. Επίσης υπάρχει νήµα της στάθµης , το οποίο στηρίζεται στον κατακόρυφο άξονα και οριζόντια κλίµακα για να µετράµε τις γωνίες κλίσης του δοχείου και τις αποστάσεις της κινητής µάζας m΄ . Τοποθετούµε µέσα στη δεξαµενή το δοχείο αφού προηγούµενα αντλήσουµε νερό στη δεξαµενή µε τη βοήθεια της ποδοκίνητης αντλίας και φέρουµε τη µάζα m στο κέντρο , ώστε να ισορροπεί σε οριζόντια θέση (Σχ. 4α ) . Στη συνέχεια µετακινούµε την κινητή µάζα m΄ σε µια µικρή απόσταση x , οπότε το δοχείο περιστρέφεται κατά γωνία δ και ισορροπεί σε µια νέα θέση (Σχ. 4β). Το νέο κέντρο βάρους G΄και το νέο κέντρο άνωσης Α΄ βρίσκονται πάλι πάνω στην ίδια κατακόρυφη ευθεία . Παίρνουµε ροπές ως προς G και έχουµε : ΡΑ΄*( GG΄) = m΄*g*x αλλά (3) ΡΑ΄ = Β = (m+m΄)*g και ( GG΄) = (GM)* εφδ = hm * εφδ άρα η σχέση (3) γίνεται : ( m+m΄) * g * hm * εφδ = m΄*g*x ή hm = m΄ x * m + m΄ εφδ (4) από την εξίσωση (4) υπολογίζω το µετακεντρικό ύψος hm και φυσικά το µετάκεντρο Μ. 46 “Σχήµα 3” 47 (α) (β) “Σχήµα 4” Γ. ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ Η διαδοχή των εργασιών που απαιτούνται για την εκτέλεση του πειράµατος είναι: 1. Μετρούµε τη µάζα m΄ του κινητού βάρους και τη µάζα m του ορθογωνίου δοχείου. 2. Σταθεροποιούµε την κινητή µάζα m΄ στο κέντρο , ώστε το δοχείο να ισορροπεί σε οριζόντια θέση (δ=0) και τοποθετούµε το κινητό βάρος της µάζας m του δοχείου κοντά στην κορυφή του κατακόρυφου άξονα. 3. Προσδιορίζουµε το κέντρο βάρους G της συσκευής µε κατάλληλη ανάρτηση αυτής από λεπτό σχοινί. 4. Τοποθετούµε τη συσκευή µέσα στη δεξαµενή αφού προηγουµένως αντλήσουµε νερό στη δεξαµενή. 5. Μετρούµε τη διαφορά στάθµης d µεταξύ της κάτω επιφάνειας του πυθµένα και της ελεύθερης επιφάνειας του νερού µε τη βοήθεια του µετρητή στάθµης. 6. Μετακινούµε την κινητή µάζα m΄ προς τα δεξιά κατά x=10mm και σηµειώνουµε την αντίστοιχη γωνία δ. 7. Από τον τύπο (4) υπολογίζουµε το µετακεντρικό ύψος hm . 8. Επαναλαµβάνουµε το πείραµα το πείραµα για µετακινήσεις της κινητής µάζας m΄ κατά x=20mm , 30mm κλπ. και σηµειώνουµε τα αποτελέσµατα στον παρακάτω πίνακα. 48 9. Σχεδιάζουµε το διάγραµµα GM,δ και βρίσκουµε την τιµή του µετακεντρικού ύψους hm(Π)= (GM) = (OM) , (πειραµατικό) για δ=0 και 10. Από τον τύπο (2) υποογίζουµε το µετακεντρικό ύψος hm(Θ)= Io -ε, V (θεωρητικό) για δ → 0 . Απόσταση Γωνία Μετακεντρικό Απόσταση Γωνία Μετακεντρικό κινητής κλίσης ύψος κινητής κλίσης ύψος µάζας m΄ α/α hm= δεξιά από m΄ x * m + m΄ εφδ µάζας m΄ hm= αριστερά m΄ x * m + m΄ εφδ από το το κέντρο κέντρο (x) (δ) (hm) (x) (δ) (hm) 1. 2. 3. 4. 5. 49 ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΑΠΩΛΕΙΩΝ λ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ Α. ΘΕΩΡΙΑ 1.Γενικά Κλειστός αγωγός ή αγωγός υπό πίεση είναι ο αγωγός εκείνος στον οποίο το νερό δεν έχει ελεύθερη επιφάνεια. Λείος είναι ο αγωγός εκείνος στον οποίο η επιφάνεια των τοιχωµάτων είναι στιλπνή µε προεξοχές µικρού µεγέθους , ίσες µεταξύ τους και οµοιόµορφα κατανεµηµένες. Τραχύς είναι ο αγωγός εκείνος που δεν µπορεί να θεωρηθεί λείος. Μόνιµη κίνηση (ροή) είναι η κίνηση στην οποία το πεδίο των ταχυτήτων είναι µόνιµο, δηλαδή η ταχύτητα σε κάποιο σηµείο της ροής είναι ανεξάρτητη από το χρόνο t. Εποµένως όλα τα χαρακτηριστικά µεγέθη της κίνησης είναι ανεξάρτητα του χρόνου. ( ∂υ ∂ρ ∂p =0 , =0 , =0 κλπ.) ∂t ∂t ∂t Μη µόνιµη κίνηση (ροή) είναι η κίνηση στην οποία το πεδίο των ταχυτήτων δεν είναι µόνιµο , δηλαδή η ταχύτητα σε κάποιο σηµείο της ροής µεταβάλλεται µε το χρόνο. Οµοιόµορφη κίνηση (ροή) είναι η µόνιµη κίνηση κατά την οποία η ταχύτητα σε χρόνο t δεν µεταβάλλεται κατά µήκος της τροχιάς, δηλαδή ∂υ =0 . Είναι όµως ∂t δυνατόν να µεταβάλλεται από µια τροχιά σε άλλη. Εποµένως τα χαρακτηριστικά µεγέθη της κίνησης είναι ανεξάρτητα της θέσης του αγωγού. Ανοµοιόµορφη κίνηση (ροή) είναι η µόνιµη κίνηση κατά την οποία η ταχύτητα σε χρόνο t είναι διαφορετική κατά µήκος µιας τροχιάς. Τακτική (στρωτή ) ροή είναι η ροή κατά την οποία τα µόρια κινούνται παράλληλα προς τη γενική διεύθυνση κίνησης χωρίς κάµψεις , ταλαντεύσεις και περιστροφές. Η στρωτή ροή ακολουθεί το νόµο τ=µ*α του Newton. Άτακτη (τυρβώδης ) ροή είναι η ροή κατά την οποία τα µόρια κινούνται ακανόνιστα προς όλες τις διευθύνσεις . 50 Αριθµός Reynolds Ο Reynolds ύστερα από πειράµατα διαπίστωσε ότι το είδος της ροής (στρωτή ή τυρβώδης) εξαρτάται από τον αδιάστατο αριθµό Re= υ*D ν όπου: υ → µέση ταχύτητα ροής D → διάµετρος του αγωγού και ν → κινηµατικός συντελεστής συνεκτικότητας Οι µικροί αριθµοί (Re) του Reynolds χαρακτηρίζουν τη στρωτή ροή και οι µεγάλοι την τυρβώδη ροή. Για να γίνει µια στρωτή ροή τυρβώδης πρέπει ο αριθµός του Reynolds να ξεπεράσει µια τιµή Rec=2320 την οποία ονοµάζουµε κρίσιµη τιµή του αριθµού Reynolds. Για Re < Rec=2320 έχουµε στρωτή ροή και Για Re > Rec=2320 έχουµε τυρβώδη ροή Ασυµπίεστα ρευστά είναι τα ρευστά των οποίων η πυκνότητα παραµένει σταθερή ανεξάρτητα από την εφαρµοζόµενη πίεση. Τέλεια ρευστά είναι τα ρευστά τα οποία δεν παρουσιάζουν εσωτερικές τριβές, δηλαδή αντιστάσεις στις παραµορφώσεις και τη σχετική µετακίνηση των διαδοχικών ρευστών στοιβάδων. Εποµένως για τα τέλεια ρευστά ισχύει η σχέση µ=0. 2. Απώλειες Η γενική κίνηση των τέλειων και ασυµπίεστων υγρών δίνεται από τις θεµελιώδεις εξισώσεις του EULER. x- dυ x 1 ∂p * = e ∂x dt y- dυ y 1 ∂p * = e ∂y dt z- dυ z 1 ∂p = * e ∂z dt (1) Οι εξισώσεις (1) προκύπτουν εύκολα αν εφαρµόσουµε το νόµο του Newton ΣFi= γi*dm , σε απειροστό υγρό πρίσµα dxdydz, κατά τις τρεις διευθύνσεις x,y,z. 51 “Σχήµα 1” Πολλαπλασιάζω τις (1) επί dx την πρώτη , dy τη δεύτερη , dz την τρίτη και τις προσθέτω. ∂p ∂p dx dy dz 1 ∂p * ( dx + dy + dz ) = xdx+ydy+zdz – ( dυ x + dυ y + dυ z ) ∂y ∂z e ∂x dt dt dt Αλλά dx dy dz 1 1 dυ x + dυ y + dυ z = υxdυx + υydυy + υzdυz = d(υx2+υy2+υz2) = d(υ2) dt dt dt 2 2 άρα η (2) γίνεται: ∂p 1 1 * (dP − dt ) = xdx + ydy + zdz - d(υ2) e ∂t 2 (3) Θεωρώ την κίνηση κατά µήκος µιας γραµµής ροής µόνιµη και εξωτερικό πεδίο δυνάµεων το δυναµικό πεδίο της βαρύτητας. Εποµένως : dP= ∂p =0 , ∂t ∂p * dS ∂S , ∂υ ∂υ 1 dS , =0 , x=y=0 , z=-g . d(υ2)=υ* 2 ∂S ∂t Άρα η (3) γίνεται: ∂υ 1 ∂p * dS = - gdz - υ* dS e ∂S ∂S ή 52 ∂υ 1 ∂p 1 dz = − * − *υ * γ ∂S g ∂S dS (4) Η εξίσωση (4) είναι τελικά η εξίσωση του EULER για µόνιµη κίνηση ενός τέλειου , ασυµπίεστου υγρού , κατά µήκος µιας γραµµής ροής. ∂ υ2 P Η (4) γράφεται και : * ( + + z) = 0 ∂S 2 g γ υ2 2g + P γ + z =Ε =σταθ. ή (5) Η παραπάνω εξίσωση (5) είναι το περίφηµο θεώρηµα του Bernoulli και εκφράζει ότι η ενέργεια Ε των διαφόρων µορίων κατά µήκος µιας τροχιάς παραµένει σταθερή. Παρατηρούµε ότι η ενέργεια Ε , η οποία ονοµάζεται και ολικό φορτίο, έχει διαστάσεις µήκους και είναι άθροισµα τριών ειδών ενεργειακών υψών για τα οποία έχουν επικρατήσει οι παρακάτω ονοµασίες : υ2 2g P γ : Κινητικό ύψος ή ύψος κινητικής ενέργειας ή κινητικό φορτίο του υγρού µορίου. : Πιεζοµετρικό ύψος ή ύψος ενέργειας λόγω της υδροστατικής πίεσης του υγρού µορίου και z : ∆υναµικό ύψος ή ύψος ενέργειας λόγω της θέσης του υγρού µορίου. Το άθροισµα h = P γ + z λέγεται και υδροστατικό ή υδραυλικό φορτίο του υγρού µορίου Μ. Το υδροστατικό φορτίο είναι σταθερό σε όλα τα σηµεία µιας διατοµής , κάθετης προς τον άξονα της ροής , για τα ευθύγραµµα τµήµατα των αγωγών. Το άθροισµα h΄= P γ + υ2 2g λέγεται και ύψος ολικού ή πραγµατικού φορτίου. Η γραφική παράσταση του θεωρήµατος Bernoulli φαίνεται στο σχήµα (2). 53 “Σχήµα 2” Για τις εφαρµογές ενδιαφέρει να εκφρασθεί το φορτίο Ε µιας ολόκληρης διατοµής S. Αυτό επιτυγχάνεται εύκολα στην περίπτωση ευθύγραµµων τροχιών διότι το υδροστατικό φορτίο h = P γ + z είναι σταθερό σε όλα τα σηµεία της διατοµής. ∆εν συµβαίνει όµως το ίδιο και µε το κινητικό φορτίο υm 2 2g (διότι η ταχύτητα υ αλλάζει από σηµείο σε σηµείο της διατοµής ). (Σχ.3) “Σχήµα 3” Για να µας εκφράζει το υm 2 2g το πραγµατικό κινητικό φορτίο της διατοµής πρέπει να το πολλαπλασιάσουµε µε τον κινητικό συντελεστή α, ο οποίος βγαίνει από τη σχέση: α= U 1 * ∫∫ ( r ) 3 dS S S Um και η αριθµητική του τιµή κυµαίνεται από 1,05~1,20 . Για τις συνηθισµένες εφαρµογές λαµβάνουµε µε πολύ καλή προσέγγιση α=1 . 54 Άρα το θεώρηµα του Bernoulli στα πραγµατικά ρευστά (µ ≠ 0) , για τα οποία υπάρχουν απώλειες λόγω τριβών επιτυγχάνεται εύκολα, αν εκφράσουµε τις απώλειες h µεταξύ των διατοµών 1,2 σε χαµένο ενεργειακό ύψος. Άρα θα έχουµε : α* υ 21 2g + P1 γ + z1 = α* υ 22 2g + P2 γ + z2 + h “Σχήµα 4” Το ορ h ∆S όταν ∆S → 0 καλείται κλίση της γραµµής ενέργειας και παρίσταται µε το γράµµα j . Είναι δυνατόν µεταξύ των διατοµών 1,2 ,εκτός από τις απώλειες ενέργειας λόγω τριβών, να έχουµε έξοδο ενέργειας ύψους Η για τη λειτουργία στροβίλου ή είσοδο ενέργειας ύψους Η από µια αντλία . Στην περίπτωση αυτή πρέπει στο πρώτο µέλος του θεωρήµατος Bernoulli να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε αντίστοιχα το ύψος Η. Άρα το θεώρηµα Bernoulli στη γενική αυτή περίπτωση γίνεται : α* υ 21 2g + P1 γ + z1 ± Η = α* υ 22 2g + P2 γ + z2 + h (6) Οι απώλειες ενέργειας διακρίνονται σε δύο κατηγορίες : α) Στις γραµµικές απώλειες β) Στις τοπικές απώλειες 55 4. Γραµµικές απώλειες Οι γραµµικές σε ένα σωληνωτό αγωγό για µόνιµη οµοιόµορφη ροή υπολογίζονται µε τον τύπο των DARCY- WEISBACH : h= λ* όπου υ2 l 2g D * (7) h → απώλειες υ2 2g → κινητικό ύψος l , D → µήκος και διάµετρος του αγωγού και λ → συντελεστής γραµµικών απωλειών Η εξίσωση εφαρµόσουµε (7) προκύπτει το θεώρηµα αν της ποσότητας κίνησης κατά τη διεύθυνση της κίνησης για τη µάζα που περιορίζεται από τις διατοµές Α1 και Α2. (Σχ. 5) Τ- (Ρ1-Ρ2)*Α- G*ηµα = Μ*(υ1-υ2) αλλά υ1=υ2 (κίνηση µόνιµη και µοιόµορφη) “Σχήµα 5” G=A*l*γ l*ηµα = z1- z2 τ=το*υ*l (δύναµη τριβής) Άρα η (8) γίνεται : το*υ*l = (P1-P2) *A + A*l*γ*ηµα ή το*υ*l = (P1-P2) *A + A*γ*(z1-z2) ή P1 ή το*υ*l = γ*Α*[( γ +z1) - ( το*υ*l = γ*Α*(h1 – h2) P2 γ +z2)] αλλά h1 – h2 = l*j Συνεπώς : το*υ = γ*Α*l*j ή το = γ* A υ *j = γ*R*j Αποδεικνύεται ότι η διατµητική δύναµη το είναι (9) το = cf*e* υ2 2 όπου cf ένας συντελεστής. Άρα η (9) γίνεται : 56 cf*e* υ2 2 ή υ2 = = γ*R*j υ2 = c2*R*j 2g D h * * cf 4 e h = λ* ή (ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ DARCY) Αλλά h = j*l και R= Άρα υ2 = 2γ * R * j 2 g = *R*j =c2*R*j c f *e cf υ2 2 * l D F π *r2 r D = = = U 2π * r 2 4 ή h = 4* cf* υ2 2 * l D ή (10) 4. Υπολογισµός του λ Ο συντελεστής γραµµικών απωλειών λ έχει πολύ µεγάλη σπουδαιότητα για την Υδραυλική και ειδικότερα για τα προβλήµατα των κλειστών αγωγών . Γι’αυτό ο καθορισµός του ήταν από τα πρώτα προβλήµατα που είχαν να αντιµετωπίσουν οι µελετητές . Πρώτος Ο Γάλλος Darcy αντελήφθη ότι ο συντελεστής εξαρτάται και από την τραχύτητα του αγωγού και έδωσε τη σχέση : λ = c *( a + b ) d όπου : a,b – σταθερές για όλους τους σωλήνες d - η διάµετρος του σωλήνα και c - συντελεστής που µεταβάλλεται µε τη διάµετρο d του σωλήνα ( c =1 για καινούριους σωλήνες ) Στη συνέχεια οι µελετητές Levy, Lang, Manning, Kutter κ.ά. έδωσαν και άλλες εκφράσεις για το συντελεστή λ. Με την πρόοδο της τεχνολογίας των υλικών , οι εκφράσεις για τον συντελεστή λ , των παραπάνω µελετητών , είχαν µεγάλη απόκλιση από την πραγµατικότητα . Γι’αυτό άρχισαν νέες προσπάθειες ώστε να ευρεθεί ακριβέστερος τρόπος υπολογισµού του συντελεστή λ . Θεωρητικές έρευνες που έκαναν οι V.Mises , Prandtl και V.Karman απέδειξαν ότι ο συντελεστής λ είναι συνάρτηση του αριθµού Reynolds (Re) και ενός µεγέθους το οποίο χαρακτηρίζει την τραχύτητα του σωλήνα για τους τραχείς σωλήνες. Τα πειράµατα που έγιναν στη συνέχεια σε ορειχάλκινους σωλήνες, η τραχύτητα των οποίων άλλαξε µε την επάλειψη των τοιχωµάτων µε µίγµα βερνικιού και άµµου , 57 απέδειξαν πράγµατι ότι ο λ είναι συνάρτηση του αριθµού Re και της σχετικής τραχύτητας του αγωγού ε/D , δηλαδή : λ = f (Re , ε/D) όπου : ε – η απόλυτη τραχύτητα , δηλαδή το µέσο µέγεθος των προεξοχών και D – η διάµετρος του σωλήνα Τελικά ο λ υπολογίζεται για τις διάφορες κατηγορίες ροών και σωλήνων όπως παρακάτω περιγράφεται. Ι. Στρωτή ροή (Re < Rec=2320) Ο συντελεστής λ είναι ανεξάρτητος της τραχύτητας και δίνεται από τη σχέση των Hagen-Poiseuille : λ = 64 Re (11) Τα τελευταία πειράµατα του Colebrook , σε τραχείς σωλήνες, απέδειξαν ότι ο λ εξαρτάται από την τραχύτητα και στη στρωτή ροή . ΙΙ. Τυρβώδης ροή α) Λείοι σωλήνες 1. Τύπος του Blasius για Rec< Re <105 λ= 0,316 4 Re (12) 2. Τύπος του Nikurdase για 105< Re <108 0,221 Re 0, 237 λ = 0,0032 + (13) β) Τραχείς σωλήνες 1. Για Re*(ε/D) < 65 ο σωλήνας θεωρείται πρακτικά λείος και ο λ λαµβάνεται από το διάγραµµα για λείους σωλήνες. 2. Για 65< Re*(ε/D) < 1300 ο λ λαµβάνεται από το διάγραµµα Nikurdase (Σχ. 6) ( Υπάρχει θεωρητικός τύπος αλλά είναι δυσχρηστος) 3. Για Re*(ε/D) >1300 ο σωλήνας θεωρελιται πλήρως ανώµαλος και ο λ υπολογίζεται από τον τύπο Prandtl – Nikurdase 1 λ= 2(log D ε + 1,138) (14) 2 58 Τελικά ο Moody το 1944 κατασκεύασε ένα διάγραµµα µε το οποίο προσδιορίζουµε το συντελεστή λ για όλους τους αγωγούς του εµπορίου. Το διάγραµµα του Moody (Σχ.7) εκφράζει το συντελεστή απωλειών λ προς τον αριθµό Re για διάφορες τιµές της σχετικής τραχύτητας ε D ή το log100λ προς το logRe “Σχήµα 6” 59 60 Β. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ λ Για να προσδιορίσουµε το συντελεστή λ γραµµικών απωλειών , χρειαζόµαστε βασικά µόνιµη ροή µέσα σε κλειστό αγωγό, υποδεκάµετρο , δεξαµενή σταθερής στάθµης και διάφορες µικροσυσκευές που θα δούµε παρακάτω. Όλα αυτά τα απαραίτητα όργανα έχει η συσκευή του σχήµατος 8 η οποία υπάρχει στο εργαστήριο. Ειδικότερα η συσκευή αποτελείται από τα παρακάτω : - Βάνα που ρυθµίζει την παροχή (1) - Ηλεκτρική αντλία ύψους 3m (2) - ∆εξαµενή νερού (3) - ∆οκιµαστικός σωλήνας µε δικλείδα (4) - Μηχανισµός κλίσης (5) - Κεκλιµένος σωλήνας (6) - Πιεζοµετρική τράπεζα (7) - ∆εξαµενή σταθερής στάθµης (8) - Βάνα οριζοντίου κυκλώµατος (9) - Μοχλός κεκλιµένου σωλήνα (10) - Μετρητής παροχής (11) - ∆ιακόπτης λειτουργίας (12) - Πιεζοµετρικοί σωλήνες (13) Στην αρχή τοποθετούµε στη θέση του οριζόντιου σωλήνα, τον αγωγό του οποίου θέλουµε να µετρήσουµε το συντελεστή λ . Ύστερα θέτουµε σε λειτουργία τη συσκευή και ρυθµίζουµε τις δικλείδες (1) και (9) έτσι ώστε να έχουµε µόνιµη κίνηση µέσα από το σωλήνα. Συνδέουµε δύο γειτονικούς σωλήνες (13) της τράπεζας µε δύο µετρητές γραµµής ενέργειας (σωλήνες Pitot) του αγωγού, οι οποίοι απέχουν απόσταση l. Η διαφορά στάθµης h του νερού στους δύο σωλήνες µας δείχνει τις απώλειες ενέργειας σε m , στο µήκος l του αγωγού. Εποµένως από τη σχέση (10) υπολογίζω το συντελεστή γραµµικών απωλειών λ . λ= 2g * D * h υ 2 *l όπου υ= Q S 61 62 Γ. ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ Η διαδοχή των εργασιών που απαιτούνται για τη εκτέλεση του πειράµατος µε τη βοήθεια της συσκευής (Σχ.8) είναι : 1. Τοποθετούµε νερό στη δεξαµενή (3) τουλάχιστον στα 2/3 του ύψους της δεξαµενής. 2. ∆ιαλέγουµε το σωλήνα του οποίου θέλουµε να µετρήσουµε το συντελεστή λ και τα στερεώνουµε στη συσκευή, θέση (4) . 3. Συνδέουµε τέσσερις σωλήνες της τράπεζας µε τέσσερις υποδοχές των µετρητών της γραµµής ενέργειας του σωλήνα, των οποίων η µεταξύ τους απόσταση είναι l12 , l23 , l34 . 4. Ανοίγουµε τη βάνα (1) και θέτουµε σε λειτουργία τη συσκευή , διακόπτης (12). 5. Όταν η δεξαµενή (8) υπερχειλίσει ανοίγουµε τη βάνα (9) και φυσικά τη βάνα στο τέλος του σωλήνα. 6. Ρυθµίζουµε τη βάνα (1) έτσι ώστε η στάθµη της δεξαµενής (8) να είναι σταθερή. 7. Παίρνουµε την ένδειξη Q του µετρητή παροχής και τις ενδείξεις h1 , h2, h3 και h4 των σωλήνων της τράπεζας από αριστερά προς τα δεξιά. Εποµένως οι απώλειες ενέργειας µεταξύ των θέσεων 1-2 , 2-3 , 3-4 θα είναι αντίστοιχα h12 = h1-h2 , h23 = h2-h3 , h34 = h3-h4 και η ταχύτητα µέσα στο σωλήνα υ= Q 4*Q = S π * D2 Άρα λ12 = 2 g * D h12 * υ2 l12 λ23 = 2 g * D h23 * l 23 υ2 λ34 = 2 g * D h34 * υ2 l34 συνεπώς ο συντελεστής γραµµικών απωλειών του σωλήνα θα είναι : λ= λ12 + λ23 + λ34 3 63 8. Στη συνέχεια θα βρούµε τον αριθµό Re , τη σχετική τραχύτητα ε/D εφ’όσον απαιτείται και από το διάγραµµα Moody θα προσδιορίσουµε το λ το οποίο και θα συγκρίνουµε µε το παραπάνω λ από το πείραµα . ΠΙΝΑΚΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ α/α Q Re h1 h2 h3 h4 h12 h23 h34 λ12 Lit/h - cm cm cm cm cm cm cm - λ23 λ34 λπειρ λθεωρ - - - - 1. 2. 3. 4. 64 65 ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΠΩΛΕΙΩΝ J Α. ΘΕΩΡΙΑ Εκτός από τις γραµµικές απώλειες , οι οποίες οφείλονται στις τριβές µεταξύ των µορίων του υγρού που κινείται και µεταξύ αυτού και των παρειών του αγωγού , υπάρχουν και οι τοπικές απώλειες. Οι τοπικές απώλειες οφείλονται σε διάφορες ανωµαλίες που παρατηρούνται στους αγωγούς. Τέτοιες ανωµαλίες είναι : α) Οι απότοµες αλλαγές της διατοµής ( διευρύνσεις , στενώσεις κλπ) β) Οι αλλαγές διευθύνσεων των σωλήνων. γ) Οι διακλαδώσεις και δ) Η παρεµβολή διαφόρων οργάνων που ρυθµίζουν τη ροή και µετρούν την παροχή. Οι τοπικές απώλειες h αποδεικνύεται ότι είναι ανάλογες του κινητού ύψους υ2/2g και του συντελεστή τοπικών απωλειών J δηλαδή : h=J* υ2 2g (1) Ο συντελεστής J εξαρτάται από το σχήµα της ανωµαλίας ( τη σχετική τραχύτητα) και τον αριθµό Re της ροής. Στη συνέχεια δίνουµε το συντελεστή J για διάφορες περιπτώσεις ανωµαλιών. 1. Ροή από δεξαµενή ή σωλήνα µεγάλης διαµέτρου σε σωλήνα που προεξέχει. 2. Ροή από δεξαµενή ή σωλήνα µεγάλης διαµέτρου σε σωλήνα. 3. Ροή από δεξαµενή ή σωλήνα µεγάλης διαµέτρου σε σωλήνα µε στρογγυλεµένα χείλη. 4. Απότοµη διεύρυνση 2 2 ⎡ ⎛ F ⎞⎤ υ2 (υ − υ ) 2 υ h= 1 2 = 1 * ⎢1 − ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎥ = J * 1 2g 2 g ⎣ ⎝ F2 ⎠⎦ 2g όπου : J = ( 1 - F1 2 ) F2 66 F1/F2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 J 0,81 0,64 0,49 0,36 0,25 0,16 0,09 0,04 0,01 0 1,0 1,0 5. ∆ιαδοχική διεύρυνση α) Για γωνία δ<8ο έχουµε J = (0,15- 0,20)* ( 1 - F1 2 ) F2 δηλαδή 0,15-0,20 των τιµών του παραπάνω πίνακα. β) Για γωνία δ>8 ο ο συντελεστής J αυξάνει απότοµα και πλησιάζει τις τιµές της απότοµης διεύρυνσης. 6. Απότοµη στένωση (υ − υ ) 2 υ h= 1 2 = 2 2g 2g 2 2 ⎡ ⎛ F ⎞⎤ υ2 * ⎢1 − ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎥ = J * 2 2g ⎣ ⎝ F1 ⎠⎦ όπου J= (1- F2 2 ) F1 F1/F2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 J 0,48 0,45 0,41 0,36 0,29 0,21 0,13 0,07 0,01 0 0,5 7. ∆ιαδοχική στένωση Για γωνία α< 10ο οι απώλειες µπορούν να θεωρηθούν αµελητέες. Συνήθως ο συντελεστής J κυµαίνεται από 0-0,05. Όσο µεγαλύτερο είναι το µήκος l τόσο µικρότερος είναι ο συντελεστής J. 67 8. Αλλαγή διεύθυνσης α) Για αλλαγή διεύθυνσης κατά γωνία 2δ. J = 0,9467*ηµ25 + 2,047 *ηµ4δ ≈ ηµ2δ + 2ηµ2δ δ 10 20 30 40 45 50 55 60 65 70 J 0,046 0,139 0,364 0,740 0,934 1,260 1,560 1,860 2,160 2,430 β) Για αλλαγή διεύθυνσης (στροφή ) κατά τόξο κύκλου 90ο. Ο συντελεστής J εξαρτάται από το λόγο R/d της ακτίνας καµπυλότηταςτου άξονα της καµπύλης προς τη διάµετρο της διατοµής και πολύ λιγότερο από τον Re. R/d 1 2 3 4 5 6 8 10 Λείος 0,23 0,14 0,11 0,10 0,09 0,08 0,07 0,075 Τραχύς 0,51 0,30 0,25 0,20 0,18 0,17 0,16 0,165 Παρατηρούµε ότι οι µικρότερες τιµές του J λαµβάνονται για (R/d) = 7-8 και ότι οι τιµές του J για (R/d) = 6 ή 10 δε διαφέρουν πολύ από τις µικρότερες. γ) Για γωνία δ<90ο. Ο συντελεστής J δίνεται σε συνάρτηση του συντελεστή για δ=90ο J = J90* δο 90ο 68 9. ∆ιακλαδώσεις Οι απώλειες ha εξαρτώνται : 1) Από το λόγο των παροχών Qα/Q . Αυξάνονται όταν ο λόγος των παροχών αυξάνει. 2) Από τη γωνία δ. Μέγιστες απώλειες έχουµε όταν δ=90ο. 3) Από το λόγο των διαµέτρων d/dα . Αυξάνονται όταν ο Λόγος των διαµέτρων αυξάνει. Οι απώλειες ht στην ευθεία του κυρίως σωλήνα εξαρτώνται βασικά από το λόγο Qα/Q και πολύ λιγότερο από το λόγο d/dα και τη γωνία δ . Β. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ J Για να προσδιορίσουµε το συντελεστή τοπικών απωλειών J , χρησιµοποιούµε τη γνωστή από το προηγούµενο πείραµα συσκευή. Στην αρχή τοποθετούµε , στη θέση του οριζόντιου σωλήνα , τον αγωγό µε τις ανωµαλίες του οποίου θέλουµε να προσδιορίσουµε το συντελεστή J. Ύστερα θέτοµε σε λειτουργία τη συσκευή και ρυθµίζουµε τις δικλείδες (1) και (9) έτσι ώστε να έχουµε µόνιµη κίνηση µέσα από το σωλήνα. Συνδέουµε δύο γειτονικούς σωλήνες (13) της τράπεζας µε δύο µετρητές της γραµµής ενέργειας (σωλήνες Pitot) του αγωγού, οι οποίοι ευρίσκονται πριν και µετά την ανωµαλία. Η διαφορά στάθµης h του νερού στους δύο σωλήνες µας δείχνει τις απώλειες ενέργειας , σε µέτρα, που προκλήθηκαν από την ανωµαλία. Άρα από τη σχέση (1) υπολογίζω το συντελεστή τοπικών απωλειών J . J= 2g υ 2 * h όπου υ = Q S 69 Γ. ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ Η διαδοχή των εργασιών που απαιτούνται για την εκτέλεση του πειράµατος µε τη βοήθεια της συσκευής είναι : 1. Τοποθετούµε νερό στη δεξαµενή (3) τουλάχιστο σε ύψος 2/3 του ύψους της δεξαµενής. 2. ∆ιαλέγουµε το σωλήνα µε τις ανωµαλίες του οποίου θέλουµε να προσδιορίσουµε το συντελεστή J και το στερεώνουµε στη συσκευή (θέση 4). 3. Συνδέουµε τους σωλήνες της τράπεζας µε τις υποδοχές των µετρητών της γραµµής ενέργειας, οι οποίοι ευρίσκονται πριν και µετά την ανωµαλία. 4. Ανοίγουµε τη βάνα (1) και θέτουµε σε λειτουργία τη συσκευή. (διακόπτης 12) 5. Όταν η δεξαµενή (8) υπερχειλίσει ανοίγουµε τη βάνα (9)και φυσικά τη βάνα στο τέλος του σωλήνα. 6. Ρυθµίζουµε τη βάνα (1) έτσι ώστε η στάθµη της δεξαµενής (8) να είναι σταθερή. 7. Παίρνουµε την ένδειξη Q του µετρητή παροχής και τις ενδείξεις h1,h2,h3 , …….κλπ των σωλήνων της τράπεζας. Αν οι ενδείξεις h1 και h2 αφορούν την ενέργεια πριν και µετά την ανωµαλία τότε η ενέργεια που χάθηκε εξ αιτίας της ανωµαλίας θα είναι h=h1 - h2 . 8. Στη συνέχεια από τους πίνακες θα βρούµε τον J για την υπ’όψη ανωµαλία, το οποίο και θα συγκρίνουµε µε το πειραµατικό. ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ α/α ΕΙ∆ΟΣ Q F υ ΑΝΩΜΑΛΙΑΣ ΤΟΥ u= υ2 hi hi+1 HL cm cm cm 2g J= HL u ΣΩΛΗΝΑ - Lit/h cm2 cm/sec cm Αδιάστατος 1. 2. 3. 4. 70