Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 264107 2641074196 4196 E-mail [email protected] ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα ... ... είναι τοµέας των µαθηµατικών ο οποίος ασχολείται µε τη µελέτη διανυσµάτων, διανυσµάτων, διανυσµατικών χώρων, χώρων, γραµµικών απεικονίσεων και συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων µέσω των πινάκων πινάκων.. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 2/58 Περιεχόµενα του µαθήµατος 1. 2. 3. 4. Πίνακες & ορίζουσες Γραµµικά συστήµατα ∆ιανύσµατα Αναλλοίωτα µεγέθη πινάκων Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 3/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες 1. 2. 3. 4. 5. Ορισµοί Πράξεις πινάκων Αντιστροφή πίνακα Όµοιοι πίνακες Ορίζουσες και ιδιότητες οριζουσών Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 4/58 Κ2: Γραµµικά συστήµατα 1. 2. 3. 4. 5. 6. Ορισµοί Επίλυση Crammer Επίλυση Gauss Οµογενές σύστηµα Σύστηµα σε µορφή πίνακα Επίλυση µε αντίστροφο πίνακα Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 5/58 Κ3: ∆ιανύσµατα 1. 2. 3. 4. Ορισµοί Είδη διανυσµάτων Πράξεις διανυσµάτων Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 6/58 Κ4: Αναλλοίωτα µεγέθη πινάκων 1. Ορισµοί 2. Εύρεση ιδιοτιµών 3. Εύρεση ιδιοδιανυσµάτων Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 7/58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πίνακες & Ορίζουσες Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 8/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Πίνακας ονοµάζεται κάθε ορθογώνια διάταξη mxn στοιχείων της µορφής α11 α12 α21 α22 A= ⋮ ɶ ⋮ αm1 αm2 ... α1n ... α2n ... ⋮ ... αmn ή α11 α12 α α A = 21 22 ⋮ ɶ ⋮ αm1 αm2 ... α1n ... α2n ... ⋮ ... αmn m (=πλήθος γραµµών), n (=πλήθος στηλών) Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 9/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Τα α11,α12 ,...,αmn πρέπει να είναι οµοειδή δηλ. να ανήκουν στο ίδιο σύνολο. Στα πλαίσια του δικού µας µαθήµατος είναι πραγµατικοί εκτός αν αναφέρεται ρητώς κάτι διαφορετικό. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 10/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Αν αi, j ∈ℝ, i=1,..., m, j=1,... ,n τότε λέµε ο πίνακας ανήκει στο σύνολο Μ όλων των πινάκων µεγέθους mxn και συµβολίζουµε A∈Μmxn (ℝ) ɶ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 11/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Αν m = n τότε ο πίνακας ονοµάζεται τετραγωνικός πίνακας διάστασης n και συµβολίζουµε A∈Μn (ℝ) ɶ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 12/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Ισότητα πινάκων: A = B ⇔aij = bij∀i, j ɶ ɶ ∆υο πίνακες είναι ίσοι αν έχουν ένα προς ένα όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα βρίσκονται σε αντίστοιχες θέσεις Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 13/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες α1 α 2 Πίνακας στήλη: S = ɶ ⋮ αm Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 14/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Πίνακας γραµµή: G = [α1 α2 ... αn ] ɶ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 15/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Πίνακας κλιµακωτός (ή τριγωνικός) άνω: α11 α12 0 α 22 Ka = ⋮ ɶ ⋮ 0 0 Μαθηµατικά Ι ... α1n ... α2n ... ⋮ ... αnn Ακαδ. Έτος 2009-10 16/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Πίνακας κλιµακωτός (ή τριγωνικός) κάτω: α11 0 α α 21 22 Kk = ⋮ ɶ ⋮ αn1 αn2 Μαθηµατικά Ι 0 0 ... ⋮ ... αnn ... ... Ακαδ. Έτος 2009-10 17/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Μοναδιαίος τετραγωνικός πίνακας: 1 0 I = ɶ ⋮ 0 Μαθηµατικά Ι 0 ... 0 1 ... 0 ⋮ ... ⋮ 0 ... 1 Ακαδ. Έτος 2009-10 18/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Πρόσθεση/Αφαίρεση πινάκων: C = A± B ⇔cij = aij ±bij∀i, j ɶ ɶ ɶ α11 α12 α 21 α22 ⋮ ⋮ αm1 αm2 ... α1n b11 b12 ... α2n b21 b22 ± ... ⋮ ⋮ ⋮ ... αmn bm1 bm2 Μαθηµατικά Ι ... b1n α11 ± b11 α12 ± b12 ... b2n α21 ± b21 α22 ± b22 = ... ⋮ ⋮ ⋮ ... bmn αm1 ± bm1 αm2 ± bm2 Ακαδ. Έτος 2009-10 ... α1n ± b1n ... α2n ± b2n ... ⋮ ... αmn ± bmn 19/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες ∆υο πίνακες µπορούν να προστεθούν ή να αφαιρεθούν µόνο όταν έχουν και οι δυο τις ίδιες διαστάσεις και µάλιστα το αποτέλεσµα έχει και αυτό τις ίδιες διαστάσεις. διαστάσεις. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 20/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Παράδειγµα: 1 2 A= ɶ 3 4 1 2 −5 6 1−5 2 + 6 −4 8 A+ B = + = = ɶ ɶ 3 4 7 −8 3+ 7 4 −8 10 −4 −5 6 B= ɶ 7 −8 1 2 −5 6 1+5 2 − 6 6 −4 A− B = − = = ɶ ɶ 3 4 7 −8 3−7 4 +8 −4 12 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 21/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Ιδιότητες πρόσθεσης: 1. Μεταθετική A + B = B + A ɶ ɶ A +ɶ( B + ɶ C ) = ( A + B) + C 2. Προσεταιριστική ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ A + 0 = 0 + A = A 3. Ουδέτερο στοιχείο ɶA + ɶ− Aɶ = ɶ− A ɶ + A = 0 4. Αντίθετο στοιχείο ( ) ( ) ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ 5. Ισοδυναµία A + B = A + C ⇔ B = C ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 22/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Εξωτερικός πολλαπλασιασµός : B = λA ⇔bij = λaij∀i, j ɶ ɶ α11 α12 α α22 21 λ ⋮ ⋮ αm1 αm2 Μαθηµατικά Ι ... α1n λa11 λa12 ... α2n λa21 λa22 = ... ⋮ ⋮ ⋮ ... αmn λam1 λam2 ... λa1n ... λa2n ... ⋮ ... λamn Ακαδ. Έτος 2009-10 23/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Παράδειγµα: 1 2 A= ɶ 3 4 1 2 7×1 7×2 7 14 λA = 7 = = ɶ 3 4 7×3 7×4 21 28 λ =7 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 24/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Ιδιότητες εξωτερικού πολλαπλασιασµού: ΠΡΟΘΕΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ 1. 2. 3. 4. (λ + µ) A = λ A + µ A ɶ + λ Bɶ λ ( A + Bɶ) = λ A ɶ ɶ ɶ ɶ λ ( µ A) = ( λµ ) A 1A = ɶA ɶ ɶ ɶ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΣ ΠΟΛΛ/ΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΣ ΠΟΛΛ/ΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 25/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Ιδιότητες εξωτερικού πολλαπλασιασµού: ΜΗ∆ΕΝΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 5. 0 A = 0 ɶ = 0ɶ λ 0 6. ΜΗ∆ΕΝ ɶ = ɶλ B ⇔ A = B, λ ≠ 0 λ A 7. ɶ = µ Aɶ ⇔ λɶ = µɶ, A ≠ 0 λ A 8. ɶ ɶ ɶ ɶ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 26/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Εσωτερικός πολλαπλασιασµός: A∈Μmxk (ℝ), B∈Μkxn (ℝ), C∈Μmxn (ℝ) ɶ ɶ k ɶ C = A⋅ B ⇔cij = ∑aipbpj , ∀i, j ɶ ɶ ɶ p=1 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 27/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Εσωτερικός πολλαπλασιασµός: α11 α12 ... α1k b11 b12 ... b1n α α ... α b b ... b 2k 21 22 2n 21 22 ⋅ = ⋮ ⋮ ... ⋮ ⋮ ⋮ ... ⋮ α α ... α b b ... b m1 m2 mk kn k1 k2 α11b11 +α12b21 +... +α1kbk1 α11b12 +α12b22 +... +α1kbk 2 α b +α b +... +α b α b +α b +... +α b 2k k1 21 12 22 22 2k k 2 = 21 11 22 21 ⋮ ⋮ αm1b11 +αm2b21 +... +αmkbk1 αm1b12 +αm2b22 +... +αmkbk 2 Μαθηµατικά Ι ... α11b1n +α12b2n +... +α1kbkn ... α21b1n +α22b2n +... +α2kbkn ... ⋮ ... αm1b1n +αm2b2n +... +αmkbkn Ακαδ. Έτος 2009-10 28/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες ∆υο πίνακες µπορούν να πολλαπλασιαστούν εσωτερικά µόνον όταν το πλήθος των στηλών του πρώτου είναι ίσο µε το πλήθος των γραµµών του δεύτερου. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 29/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Παράδειγµα: 1 2 A= ɶ 3 4 5 6 B= ɶ 7 8 Μαθηµατικά Ι 1 2 5 6 A⋅ B = ⋅ = ɶ ɶ 3 4 7 8 1×5+ 2×7 1×6 + 2×8 19 22 = = 3 × 5 + 4 × 7 3 × 6 + 4 × 8 43 50 Ακαδ. Έτος 2009-10 30/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Στον εσωτερικό πολλαπλασιασµό δεν ισχύει η µεταθετική ιδιότητα. ιδιότητα. A⋅ B ≠ B⋅ A ɶ ɶ ɶ ɶ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 31/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Παράδειγµα: ∆ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ !!!! 2 −1 A= ɶ 1 0 2 −1 −3 2 −6 −1 4 +1 −7 5 A⋅ B = ⋅ = = ɶ ɶ 1 0 1 −1 −3+ 0 2 −0 −3 2 −3 2 B= ɶ 1 −1 −3 2 2 −1 −6 + 2 3+ 0 −4 3 B⋅ A = ⋅ = = ɶ ɶ 1 −1 1 0 2 −1 −1−0 1 −1 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 32/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες ∆υνάµεις πινάκων: A0 = I ɶ1 ɶ A =A Οι δυνάµεις µπορούν να ɶ2 ɶ A = A⋅ A οριστούν µόνο σε ɶ3 ɶ2 ɶ τετραγωνικούς πίνακες. A = A ⋅A ɶ ɶ ɶ … n n−1 A = A ⋅A ɶ ɶ ɶ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 33/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Αντίστροφος ενός πίνακα ονοµάζεται ένας άλλος πίνακας ο οποίος αν πολλαπλασιαστεί και από τις δυο µεριές µε τον αρχικό δίνει τον µοναδιαίο πίνακα. πίνακα −1 A ɶ Μαθηµατικά Ι A⇔ ɶ −1 −1 A⋅ A = A ⋅ A = I ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ αντίστροφος του Ακαδ. Έτος 2009-10 34/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Αντίστροφο έχουν µόνο οι τετραγωνικοί πίνακες.. πίνακες −1 −1 A⋅ A = A ⋅ A = I ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 35/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Μια εφαρµογή (άσκηση): Έστω ο n × n πίνακας Α για τον οποίο είναι γνωστό ότι Α 2 + 2 Α = 0 ɶ ɶ ɶ ɶ Χ = Α⋅Χ Να λυθεί η εξίσωση Α − ɶ ɶ ɶ ɶ Α2 + 2Α= 0 ⇔ Α2 + 2Α+ I = I ⇔ ( Α+ I )2 = I ⇔ ( Α+ I )( Α+ I ) = I ɶ ɶ ɶ −1ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ Άρα ( Α+ I ) = Α+ I ɶ ɶ ɶ ɶ Επίσης Α−Χ= Α⋅Χ⇔ Α= Α⋅Χ+Χ⇔ Α= ( Α+ I ) ⋅Χ⇔ ɶ2 ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ −1 ɶ ɶ ɶ Χ= ( Α+ I ) ⋅Α⇔ Χ= ( Α+ I ) ⋅Α⇔ Χ= Α +Α ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ 2 ɶ Χ=−Α ɶ ɶ ɶ ɶ Τέλος Α + 2Α= 0 ⇔ Α2 +Α+Α= 0 ⇔ Α2 +Α=−Α ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 36/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Ο κοινός παράγοντας θέλει πολλή προσοχή. A⋅ B + A⋅C ɶ ɶ ɶ ɶ A⋅ B + A ɶ ɶ ɶ ( B+C) ⋅ A ɶ ɶ ɶ A⋅( B +C) ɶ ɶ ɶ A⋅( B +1) ɶ ɶ A⋅( B + I ) ɶ ɶ ɶ ΛΑΘΟΣ !!!! Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 37/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Μια ακόµη εφαρµογή (άσκηση): 0 2 Έστω ο πίνακας Α = . Να λυθεί η εξίσωση A ⋅ X = A + I ɶ 2 0 ɶ ɶ ɶ ɶ ⋅A ɶ AX = A+ I ⇔ A2 ⋅ X = A2 + A ɶɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ 1 0 0 2 0 2 4 0 2 = 4I == 4 ⋅ = Όµως A = ɶ 0 1 ɶ 2 0 2 0 0 4 2 Άρα A2 ⋅ X = 4I ⋅ X και A + A = 4I + A 1 1 ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ 2 1 1 0 1 0 2 οπότε 4I ⋅ X = 4I + A ⇔ X = I + A = + = ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ 4 ɶ 0 1 4 2 0 12 1 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 38/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Όταν πολλαπλασιάζουµε πίνακες, προσέχουµε αν ο πολλαπλασιασµός είναι από αριστερά ή από δεξιά. ⋅A ɶ AX = A+ I ⇔ ɶɶ ɶ ɶ Μαθηµατικά Ι AXA = A2 + A ɶ ɶɶ ɶ ɶ ΑΠΟ ∆ΕΞΙΑ A X = A +A ɶ ɶ ɶ ɶ 2 2 ΑΠΟ ΑΡΙΣΤΕΡΑ Ακαδ. Έτος 2009-10 39/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Όµοιοι λέγονται δυο πίνακες A, B ɶ ɶ αν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P ɶ −1 τέτοιος ώστε B = P ⋅ A ⋅ P ɶ ɶ ɶ ɶ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 40/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Πίνακες όµοιοι µε έναν αρχικό πίνακα προκύπτουν αν σε αυτόν κάνουµε γραµµοπράξεις.. γραµµοπράξεις γραµµικές πράξεις στα στοιχεία των γραµµών Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 41/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Παράδειγµα γραµµοπράξεων: 2 6 10 14 1 3 5 7 −1 4 2 0 (Γ1+Γ2 )→Γ2 ( Γ1 /2)→Γ1 A = −1 4 2 0 → → ɶ 1 10 12 14 1 10 12 14 1 3 5 7 1 3 5 7 1 3 5 7 0 7 7 7 ( Γ3 −Γ1)→Γ3 0 7 7 7 (Γ3 −Γ2 )→Γ3 0 7 7 7 → → 1 10 12 14 0 7 7 7 0 0 0 0 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 42/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Κλιµακωτή µορφή ενός µη µηδενικού πίνακα ονοµάζεται ένας όµοιός του πίνακας για τον οποίον ισχύουν: 1. Οι µη µηδενικές γραµµές του είναι πάνω από τις µηδενικές 2. Το πρώτο µη µηδενικό στοιχείο κάθε γραµµής είναι η µονάδα 3. Το πλήθος των µη µηδενικών στοιχείων κάθε µη µηδενικής γραµµής είναι µικρότερο από το πλήθος των µη µηδενικών στοιχείων της αµέσως προηγούµενης Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 43/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Βαθµός ενός πίνακα ονοµάζεται το πλήθος των µη µηδενικών γραµµών της κλιµακωτής µορφής του. του A ɶ Μαθηµατικά Ι rank ( A) ɶ Ακαδ. Έτος 2009-10 44/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Ένα παράδειγµα: 2 6 10 14 1 3 5 7 A = −1 4 2 0 → ⋯ → 0 7 7 7 A= ɶ 1 10 12 14 0 0 0 0 1 3 5 7 ( Γ2 /7)→Γ2 0 1 1 1 ⇒rank( A) = 2 → ɶ 0 0 0 0 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 45/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Ορίζουσα ονοµάζεται η γραµµική απεικόνιση : Mn (ℝ) →ℝ Ορίζουσα έχουν µόνο οι τετραγωνικοί πίνακες. Μαθηµατικά Ι Η ορίζουσα ενός πίνακα είναι αριθµός αριθµός.. Ακαδ. Έτος 2009-10 46/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Πως υπολογίζουµε τις ορίζουσες a11 a12 A= ɶ a21 a22 a11 a12 = a11a22 − a12a21 a21 a22 2x2 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 47/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Πως υπολογίζουµε τις ορίζουσες ΕΠΙΛΕΓΩ ΟΠΟΙΑ∆ΗΠΟΤΕ ΓΡΑΜΜΗ ή ΣΤΗΛΗ a11 a12 a13 a a a A = a21 a22 a23 11 12 13 a a a a a a 22 23 21 23 21 22 ɶ a a a = a − a + a = ... 12 13 a31 a32 a33 21 22 23 11 a a a31 a33 a31 a32 32 33 3x3 a31 a32 a33 ΕΝΑΛΛΑΞ ΠΡΟΣΗΜΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 48/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Πως υπολογίζουµε τις ορίζουσες a11 a12 ... a1n a a ... a 2n A = 21 22 ⋮ ɶ ⋮ ⋮ an1 an2 ... ann nxn a11 a12 ... a1n a22 a23 ... a2n a21 a23 ... a2n a21 a22 ... a2n−1 a21 a22 ... a2n a32 a33 ... a3n a31 a33 ... a3n a31 a32 ... a3n−1 n+1 = a11 − a12 +... + (−1) a1n = ... ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 ... ann Μαθηµατικά Ι an2 an3 ... ann an1 an3 ... ann Ακαδ. Έτος 2009-10 an1 an2 ... ann−1 49/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Ένα παράδειγµα: 2 5 7 6 3 4 =2 5 −2 −3 3 4 −2 −3 −5 6 4 5 −3 +7 6 3 5 −2 = 2( −9 + 8) − 5( −18 − 20) + 7( −12 −15) = −2 +190 −189 = −1 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 50/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Ιδιότητες οριζουσών: Η ορίζουσα ενός άνω ή κάτω τριγωνικού πίνακα ισούται µε το γινόµενο των διαγώνιων στοιχείων του. 2 5 7 5 7 2 7 2 5 0 3 4 =0 −0 −3 =−3×2×3 3 4 0 4 0 3 0 0 −3 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 51/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Ιδιότητες οριζουσών: Αν εναλλάξουµε δυο γραµµές ή στήλες του πίνακα, η ορίζουσά του αλλάζει πρόσηµο. πρόσηµο 2 5 = 6 − 5 =1 1 3 Μαθηµατικά Ι 5 2 = 5−6 =−1 3 1 Ακαδ. Έτος 2009-10 52/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Ιδιότητες οριζουσών: A⋅ B = A B , ∀A, B∈Mn ( ℝ) ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 53/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Ιδιότητες οριζουσών: Αν δυο γραµµές ή στήλες του πίνακα είναι ίσες ή ανάλογες ανάλογες, η ορίζουσά του είναι µηδενική µηδενική. Να δειχθεί µε βάση το προηγούµενο. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 54/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Ιδιότητες οριζουσών: Αν µια γραµµή ή στήλη ενός πίνακα πολλαπλασιαστεί µε έναν πραγµατικό αριθµό, τότε όλη η ορίζουσα πολλαπλασιάζεται µε τον ίδιο αριθµό. λA = λ A , ∀A∈Mn ( ℝ) n ɶ Μαθηµατικά Ι ɶ ɶ Ακαδ. Έτος 2009-10 55/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες A ονοµάζεται ο τετραγωνικός πίνακας adj( A) ɶ ɶ που κάθε στοιχείο του είναι το αλγεβρικό Προσαρτηµένος του τετραγωνικού πίνακα συµπλήρωµα του αντίστοιχου στοιχείου του πρώτου πίνακα. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 56/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Ένα παράδειγµα: 1 0 −1 A = 2 1 −1 ⇒ A= ɶ 1 2 5 1 + 2 2 adj ( A) = − ɶ 1 +2 1 Μαθηµατικά Ι −1 0 −1 0 −1 − + 5 2 5 1 −1 7 −1 1 −1 1 −1 = −11 + − 5 1 5 2 −1 3 1 1 0 1 0 − + 2 1 2 2 1 Ακαδ. Έτος 2009-10 −2 1 6 −1 −2 1 57/58 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Σε τι µας χρησιµεύει ο προσαρτηµένος? 1 A = adj ( A ) ɶ ɶ A ɶ −1 Υπάρχει ο αντίστροφος µόνον όταν η ορίζουσα δεν είναι µηδέν. µηδέν. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 58/58
© Copyright 2024 Paperzz
