Κεφάλαιο 5 ∆ιαγωνοποίηση Μια από τις πιο απλές µορφές πινάκων

Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
Κεφάλαιο 5
∆ιαγωνοποίηση
Μια από τις πιο απλές µορφές πινάκων είναι οι διαγώνιοι πίνακες. Θα δούµε στο
κεφάλαιο αυτό διάφορα κριτήρια που µας πληροφορούν αν ένας πίνακας ανάγεται σε
διαγώνια µορφή και πως επιτυγχάνεται η αναγωγή αυτή. Επίσης θα ασχοληθούµε µε
εφαρµογές και µε τη διαγωνοποίηση ειδικών κατηγοριών πινάκων.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Ορισµός 1 (διαγωνοποιήσιµος πίνακας)
Ένας πίνακας A ∈ M n ( F ) ονοµάζεται
διαγωνοποιήσιµος στο F αν υπάρχει
αντιστρέψιµος πίνακας P ∈ M n ( F ) τέτοιος ώστε ο πίνακας P −1 AP να είναι διαγώνιος.
Παραδείγµατα
⎛ 5 −4 ⎞
1. Ο πίνακας A = ⎜
⎟ είναι διαγωνοποιήσιµος στο
⎝ 6 −5 ⎠
⎛ 2 1⎞
αντιστρέψιµος πίνακας P = ⎜
⎟∈ M2 (
⎝ 3 1⎠
)
, επειδή υπάρχει ο
έτσι ώστε να ισχύει
−1
⎛ 2 1⎞ ⎛ 5 −4 ⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎛ −1 0 ⎞
P AP = ⎜
⎟ ⎜
⎟⎜
⎟=⎜
⎟.
⎝ 3 1 ⎠ ⎝ 6 −5 ⎠ ⎝ 3 1 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠
−1
⎛0 1⎞
2. Ο πίνακας A = ⎜
⎟ δεν είναι διαγωνοποιήσιµος στο F .
⎝0 0⎠
⎛a b⎞
Πράγµατι, αν P = ⎜
⎟ ∈ M 2 ( F ) είναι ένας αντιστρέψιµος πίνακας τότε µε
⎝c d⎠
υπολογισµούς βρίσκουµε ότι
⎛0 1⎞
1 ⎛ d −b ⎞⎛ 0 1 ⎞⎛ a b ⎞
1 ⎛ cd
P −1 ⎜
⎜
⎟P =
⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟=
ad − bc ⎝ −c a ⎠⎝ 0 0 ⎠⎝ c d ⎠ ad − bc ⎝ −c 2
⎝0 0⎠
d2 ⎞
⎟.
−cd ⎠
Ο τελευταίος πίνακας είναι διαγώνιος µόνο αν d = c = 0. Αλλά τότε
det P = 0 , που είναι άτοπο αφού ο P είναι αντιστρέψιµος.
⎛ 0 1⎞
3. Θεωρούµε τον πίνακα A = ⎜
⎟.
⎝ −1 0 ⎠
1
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
•
Αυτός διαγωνοποιείται στο
. Πράγµατι εύκολα επαληθεύεται η
⎛i 0 ⎞
⎛ i i⎞
σχέση P −1 AP = ⎜
⎟ , όπου P = ⎜
⎟.
⎝ 0 −i ⎠
⎝ −1 1 ⎠
•
Ο Α δεν διαγωνοποιείται στο
. Πράγµατι δεν υπάρχει πραγµατικός
πίνακας P τέτοιος ώστε ο P −1 AP να είναι διαγώνιος.
(Η απόδειξη είναι παρόµοια µε αυτή του παραδείγµατος 2).
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ∆ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗΣ
Συµβολισµός
Έστω A ∈ M n ( F ) . Τα ιδιοδιανύσµατα του Α είναι στοιχεία του
⎛ x1 ⎞
M n×1 ( F ) δηλαδή είναι στοιχεία της µορφής ⎜⎜ ⎟⎟ . Για συντοµία θα γράφουµε F n×1
⎜x ⎟
⎝ n⎠
στη θέση του M n×1 ( F ) .
Θεώρηµα 1 (κριτήριο διαγωνοποίησης µέσω ιδιοδιανυσµάτων)
Ένας n × n τετραγωνικός πίνακας A ∈ M n ( F ) είναι όµοιος µε διαγώνιο πίνακα ∆ αν
και µόνο αν ο πίνακας Α έχει n γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα.
Στην πράξη µπορούµε να εφαρµόσουµε το προηγούµενο Θεώρηµα µε τον ακόλουθο
τρόπο.
Αλγόριθµος διαγωνοποίησης του A ∈ M n ( F )
1. Υπολογίζουµε
το
χαρακτηριστικό
πολυώνυµο
του
Α
και
υπολογίζουµε τις ρίζες του, οπότε έχουµε τις ιδιοτιµές του πίνακα Α.
2. Για κάθε ιδιοτιµή που υπολογίσαµε λύνουµε το οµογενές σύστηµα
(λ I − A) X = 0 , για να βρούµε
ένα σύνολο ιδιοδιανυσµάτων
{ p1 , p2 ,…, pm } .
3. Για το σύνολο { p1 , p2 ,… , pm } , το οποίο υπολογίστηκε στο βήµα 2.
2
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
•
Αν m ≠ n , τότε ο Α δε διαγωνοποιείται.
•
Αν m = n , τότε ο Α διαγωνοποιείται. Ορίζοντας Ρ να είναι ο
πίνακας µε στήλες τα ιδιοδιανύσµατα p1 , p2 ,… , pn , έχουµε
⎛ λ1
⎜
λ2
−1
∆ = Ρ ΑΡ = ⎜
⎜
⎜⎜
⎝
⎞
⎟
⎟,
⎟
⎟
λn ⎟⎠
όπου λi είναι η ιδιοτιµή µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το pi ,
1≤ i ≤ n .
Για συγκεκριµένα παραδείγµατα εφαρµογής του αλγορίθµου αυτού παραπέµπουµε
στις Λυµένες Ασκήσεις 1, 2, 3.
Σηµειώνουµε ότι υπάρχουν και άλλοι τρόποι να αποφανθούµε αν ένας πίνακας
διαγωνοποιείται. Ιδιαίτερα χρήσιµο είναι το Θεώρηµα 3 παρακάτω.
Πρόταση 2
Αν ένας n × n πίνακας Α
έχει n διακεκριµένες ιδιοτιµές, τότε ο Α είναι
διαγωνοποιήσιµος.
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
>> Εφαρµογή 1: ∆υνάµεις πινάκων
Υποθέτουµε πως ο πίνακας Α είναι διαγωνοποιήσιµος, συνεπώς µπορεί να
παραγοντοποιηθεί στη µορφή A = P∆ P −1 , µε ∆ = diag (λ1 , λ2 ,… , λn ) και λ1 , λ2 ,… , λn
ιδιοτιµές του πίνακα Α. Τότε µπορούµε να γράψουµε
Ak = ( P∆ P −1 ) = ( P∆ P −1 )( P∆ P −1 )… ( P∆ P −1 ) =
k
P∆ k P −1 = Pdiag (λ1k , λ2k ,… , λnk ) P −1
δηλαδή,
Ak = Pdiag (λ1k , λ2k ,… , λnk ) P −1
(1)
⎛ 2 −5 ⎞
Για παράδειγµα, αν ενδιαφερόµαστε να υπολογίσουµε τον A2004 , όταν A = ⎜
⎟,
⎝ 1 −2 ⎠
χρειάζεται να υπολογίσουµε τις ιδιοτιµές του Α. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι
3
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
χ Α (λ ) = λ 2 + 1 = (λ + i )(λ − i ) , σύµφωνα µε την Πρόταση 2 ο πίνακας διαγωνοποιείται στο
⎛ (−i ) k
. Έτσι από την (1) παίρνουµε Ak = P ⎜
⎝ 0
αντικατάσταση k = 2004 έχουµε A
2004
⎛ (−i) 2004
= P⎜
⎝ 0
0 ⎞ −1
⎟ P , οπότε µε
ik ⎠
0 ⎞ −1
−1
⎟ P = PIP = I .
i ⎠
2004
>>Εφαρµογή 2: Ρίζες πινάκων
Ένας πίνακας B ∈ M n (F) ονοµάζεται τετραγωνική ρίζα του A ∈ M n ( F) , αν ισχύει
B2 = A .
Στην περίπτωση όπου ο πίνακας Α διαγωνοποιείται και τα στοιχεία λ1 , λ2 ,… , λn του
διαγώνιου πίνακα ∆ είναι πραγµατικοί αριθµοί και µη αρνητικοί, τότε οι πίνακες
(
)
B = Pdiag ± λ1 , ± λ2 ,… , ± λn P −1
(2)
είναι πραγµατικοί και είναι τετραγωνικές ρίζες του Α. Αξίζει να σηµειώσουµε ότι η
(2) δίνει κάποιες τετραγωνικές ρίζες του Α, όχι αναγκαστικά όλες.
Παράδειγµα
⎛6 3⎞
Αν θέλουµε να υπολογίσουµε τετραγωνικές ρίζες του πίνακα A = ⎜
⎟ , χρειάζεται
⎝5 4⎠
να υπολογίσουµε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του Α και να βρούµε τους Β από
την (2). Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι χ Α (λ ) = λ 2 − 10λ + 9 = (λ − 1)(λ − 9) ,
οπότε οι ιδιοτιµές είναι λ1 = 1 και λ2 = 9 .
Ο πίνακας Α διαγωνοποιείται, (βλ. Πρόταση 2) και εύκολα επαληθεύουµε ότι οι
⎧ ⎛3⎞
⎫
⎧ ⎛ 1⎞
⎫
αντίστοιχοι ιδιόχωροι είναι V (1) = ⎨ x ⎜ ⎟ , x ∈ R ⎬ , V (9) = ⎨ x ⎜ ⎟ , x ∈ R ⎬ . Συνεπώς
⎩ ⎝ 1⎠
⎭
⎩ ⎝ −5 ⎠
⎭
⎛ 3 1⎞
1 ⎛ 1 −1 ⎞
−1
οι πίνακες P, P −1 είναι P = ⎜
⎟ και P = ⎜
⎟ , οπότε από την (2) οι
8 ⎝5 3 ⎠
⎝ −5 1⎠
τέσσερις
πίνακες
είναι
B1 = Pdiag (1,3) P −1 ,
B2 = Pdiag (1, −3) P −1 ,
B3 = Pdiag ( −1,3) P −1 , B4 = Pdiag ( −1, −3) P −1 .
Σηµείωση
Επισηµαίνουµε ότι η παραπάνω µέθοδος εφαρµόζεται όχι µόνο για
τετραγωνικές ρίζες πινάκων αλλά πιο γενικά για εξισώσεις της µορφής B m = A , όπου
ο Α διαγωνοποιείται.
4
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
>>Εφαρµογή 3: Αναδροµικές ακολουθίες
Θεωρούµε την ακολουθία (an ), n = 1, 2,… ,
η οποία ορίζεται από τους όρους
a1 = 1 , a2 = 4 και τον αναδροµικό τύπο an = 2an −1 + 3an − 2 , n = 3, 4,… . Να βρεθεί ο
γενικός όρος an συναρτήσει των a1 , a2 και n .
Προφανώς έχουµε το σύστηµα
an = 2an −1 + 3an − 2 ⎫ ⎛ an ⎞ ⎛ 2 3 ⎞ ⎛ an −1 ⎞
⎬⇒⎜
⎟=⎜
⎟
⎟⎜
an −1 = an −1
⎭ ⎝ an −1 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ an − 2 ⎠
⎛ 2 3⎞
Θέτουµε A = ⎜
⎟ και παίρνουµε
⎝1 0⎠
⎛ an ⎞
⎜
⎟=
⎝ an −1 ⎠
⎛a ⎞
A ⎜ n −1 ⎟
⎝ an − 2 ⎠
(3)
Αν εφαρµόσουµε την (3) διαδοχικά, για τις διάφορες τιµές των n , έχουµε
a
a
a
⎛ an ⎞
2 ⎛ n−2 ⎞
3 ⎛ n −3 ⎞
n−2 ⎛ 2 ⎞
⎜
⎟= A ⎜
⎟= A ⎜
⎟ =…= A ⎜ ⎟ .
⎝ a1 ⎠
⎝ an −1 ⎠
⎝ an −3 ⎠
⎝ an − 4 ⎠
Από την τελευταία σχέση είναι αρκετό να υπολογίσουµε τον An − 2 , γιατί λόγω της
ισότητας των πινάκων θα µπορέσουµε να εκφράσουµε τον όρο an συναρτήσει των
a1 , a2 και n . Με βάση την προηγούµενη διαδικασία (δυνάµεις πινάκων) και τη σχέση
(1), το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Α είναι χ Α (λ ) = λ 2 − 2λ − 3 = (λ + 1)(λ − 3) , οι
ιδιοτιµές του Α είναι λ1 = −1 και λ2 = 3 , οπότε σύµφωνα µε την Πρόταση 2 ο πίνακας
A διαγωνοποιείται. Για την ιδιοτιµή λ1 = −1 , βρίσκουµε τις µη µηδενικές λύσεις της
εξίσωσης (λ1Ι − A) X = 0 . Έτσι έχουµε
−3x1 − 3x2 = 0 ⎫
⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎛ −3 −3 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎛1⎞
⎜
⎟ ⎜ x ⎟ = ⎜ ⎟ ⇒ − x − x = 0 ⎬ ⇒ x2 = − x1 ⇒ ⎜ x ⎟ = ⎜ − x ⎟ = x1 ⎜ ⎟ , x1 ∈ R − {0}.
⎝ −1 −1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 0 ⎠
⎝ −1⎠
⎭
⎝ 2⎠ ⎝ 1⎠
1
2
Στην ιδιοτιµή λ1 = −1 αντιστοιχεί το ιδιοδιάνυσµα p1 = (1 −1) .
t
Για λ2 = 3 , από την εξίσωση (λ2 Ι − A) X = 0 έχουµε :
x1 − 3x2 = 0 ⎫
⎛ x1 ⎞ ⎛ 3 x2 ⎞
⎛ 1 −3 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎛ 3⎞
⎜
⎟ ⎜ x ⎟ = ⎜ ⎟ ⇒ − x + 3x = 0 ⎬ ⇒ x1 = 3 x2 ⇒ ⎜ x ⎟ = ⎜ x ⎟ = x2 ⎜ ⎟ , x2 ∈ R − {0}
⎝ −1 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 0 ⎠
⎝1⎠
⎭
⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠
1
2
5
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
Ο πίνακας Α για την ιδιοτιµή λ2 = 3 έχει αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το p2 = ( 3 1) .
t
⎛ 1 3⎞
−1
Θέτουµε P = ⎜
⎟ οπότε P =
−
1
1
⎝
⎠
⎛ (−1)n − 2
An − 2 = P ⎜
⎝ 0
1 ⎛ 1 −3 ⎞
⎜
⎟ . Έτσι από την (1) έχουµε
4 ⎝1 1 ⎠
0 ⎞ −1 1 ⎛ (−1) n − 2 + 3n −1 −3(−1)n − 2 + 3n −1 ⎞
⎟P = ⎜
⎟,
4 ⎝ (−1) n −1 + 3n − 2 3(−1) n − 2 + 3n − 2 ⎠
3n − 2 ⎠
οπότε από την ισότητα πινάκων της (3) προκύπτει
an =
{
}
1
(−1) n − 2 + 3n −1 ) a2 + ( −3(−1) n − 2 + 3n −1 ) a1 .
(
4
Με αντικατάσταση των όρων a1 = 1 και a2 = 4 , έχουµε an =
1
( (−1)n−2 + 5 ⋅ 3n−1 ) ,
4
n ≥ 3.
>>Εφαρµογή 4: Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
Αν συµβολίσουµε xi = xi (t ) τις παραγωγίσιµες πραγµατικές συναρτήσεις, xi : R → R
και µε xi′ = xi′(t ) τις παραγώγους τους, είναι γνωστό ότι για λi ∈ R και i ∈ N η
διαφορική εξίσωση xi′ = λi xi έχει λύσεις τις xi = ceλit , c ∈ R
(*).
Για i = 1, 2,… , n θεωρούµε το οµογενές γραµµικό σύστηµα διαφορικών εξισώσεων
x1′ = a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn
x2′ = a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn
,
xn′ = an1 x1 + an 2 x2 + … + ann xn
του οποίου
µια λύση είναι η µηδενική. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις
xi , i = 1, 2,… , n , που ικανοποιούν το παραπάνω σύστηµα.
Προφανώς µπορούµε να γράψουµε το σύστηµα µε τη βοήθεια πινάκων
⎛ x1′ ⎞ ⎛ a11
⎜ ′⎟ ⎜
⎜ x2 ⎟ = ⎜ a21
⎜ ⎟ ⎜
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜
⎝ xn′ ⎠ ⎝ an1
a12 … a1n ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ x1′ ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a22 … a2 n ⎟⎜ x2 ⎟ ⎜ x2′ ⎟
⇒
=
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
an 2 … ann ⎟⎜
⎠⎝ xn ⎠ ⎝ xn′ ⎠
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
x
A⎜ 2 ⎟
⎜ ⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ xn ⎠
Στην περίπτωση που ο Α είναι διαγωνοποιήσιµος, αν θεωρήσουµε τον αντιστρέψιµο
πίνακα P, που κατασκευάζεται όπως ο αλγόριθµος διαγωνοποίησης περιγράφει, τότε
έχουµε
A = P∆ P −1 , µε ∆ = diag (λ1 , λ2 ,… , λn ) και λ1 , λ2 ,… , λn τις ιδιοτιµές του
πίνακα Α. Συνεπώς µπορούµε να γράψουµε το παραπάνω σύστηµα
6
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
⎛ x1′ ⎞
⎛ x1 ⎞
⎛ x1′ ⎞
⎛ x1 ⎞
⎜ ′⎟
⎜ ⎟
⎜ ′⎟
⎜ ⎟
⎜ x2 ⎟ = P∆ P −1 ⎜ x2 ⎟ ⇒ P −1 ⎜ x2 ⎟ = ∆ P −1 ⎜ x2 ⎟ ,
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ xn′ ⎠
⎝ xn ⎠
⎝ xn′ ⎠
⎝ xn ⎠
(4)
θέτοντας
⎛ x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
x
y
−1 ⎜ 2 ⎟
= ⎜ 2 ⎟,
P
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ xn ⎠ ⎝ yn ⎠
(**)
η (4) µετασχηµατίζεται
⎛ y1′ ⎞
⎛ y1 ⎞ ⎛ y1′ ⎞ ⎛ λ1
⎜ ′⎟
⎜ ⎟ ⎜ ′⎟ ⎜
λ2
⎜ y2 ⎟ = ∆ ⎜ y2 ⎟ ⇒ ⎜ y2 ⎟ = ⎜
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜
⎝ yn′ ⎠
⎝ yn ⎠ ⎝ yn′ ⎠ ⎝
⎞⎛ y1 ⎞ ⎛ y1′ ⎞ ⎛ λ1 y1 ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎜ ′ ⎟ ⎜
⎟
⎟⎜ y2 ⎟ ⇒ ⎜ y2 ⎟ = ⎜ λ2 y2 ⎟ .
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎟⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
λn ⎟⎜
⎠⎝ yn ⎠ ⎝ yn′ ⎠ ⎝ λn yn ⎠
Η τελευταία ισότητα των πινάκων δίνει τις λύσεις των yi για κάθε i = 1, 2,… , n , αφού
από (*) έχουµε yi = ci eλi t , ci ∈ R , όπου ci ∈ R σταθερές. Έτσι η γενική λύση του
διαφορικού συστήµατος, από τη σχέση της αντικατάστασης (**), είναι
⎛ c1eλ1t ⎞
⎛ x1 ⎞
⎛ y1 ⎞
⎜ λ2t ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ x2 ⎟ = P ⎜ y2 ⎟ = P ⎜ c2 e ⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜⎜ λnt ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ xn ⎠
⎝ yn ⎠
⎝ cn e ⎠
(5) .
Παράδειγµα
x1′ = 7 x1 + x2 − 6 x3
Θεωρούµε το σύστηµα x2′ = 2 x2
x3′ = 8 x1 − 7 x3
που µε την «γλώσσα» των πινάκων γράφεται
⎛ x1′ ⎞ ⎛ 7 1 −6 ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ x1′ ⎞
⎜ ′⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ′ ⎟
⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 2 0 ⎟⎜ x2 ⎟ ⇒ ⎜ x2 ⎟ =
⎜ x′ ⎟ ⎜ 8 0 −7 ⎟⎜ x ⎟ ⎜ x′ ⎟
⎝ 3⎠ ⎝
⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
A ⎜ x2 ⎟ .
⎜x ⎟
⎝ 3⎠
Ο πίνακας Α έχει χαρακτηριστικό πολυώνυµο χ Α (λ ) = (λ + 1)(λ − 1)(λ − 2) , οι
ιδιοτιµές είναι λ1 = −1, λ2 = 1 και λ3 = 2 , οι οποίες είναι διακεκριµένες εποµένως ο Α
διαγωνοποιείται (δες Πρόταση 2 ).
7
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
⎧ ⎛ 3⎞
⎫
⎪ ⎜ ⎟
⎪
Εύκολα επαληθεύεται ότι: Για λ1 = −1 , ο ιδιόχωρος είναι V (−1) = ⎨ x ⎜ 0 ⎟ , x ∈ R ⎬ ,
⎪ ⎜ 4⎟
⎪
⎩ ⎝ ⎠
⎭
⎧ ⎛1⎞
⎫
⎪ ⎜ ⎟
⎪
για λ2 = 1 , ο ιδιόχωρος είναι V (1) = ⎨ x ⎜ 0 ⎟ , x ∈ R ⎬ και για λ3 = 2 , ο ιδιόχωρος είναι
⎪ ⎜1⎟
⎪
⎩ ⎝ ⎠
⎭
⎧ ⎛9⎞
⎫
⎪ ⎜ ⎟
⎪
V (2) = ⎨ x ⎜ 3 ⎟ , x ∈ R ⎬ . Ο αντιστρέψιµος πίνακας P είναι
⎪ ⎜8⎟
⎪
⎩ ⎝ ⎠
⎭
⎛ 3 1 9⎞
⎜
⎟
P = ⎜ 0 0 3 ⎟ µε
⎜ 4 1 8⎟
⎝
⎠
⎛ −1 0 0 ⎞
⎜
⎟
αντίστοιχο διαγώνιο πίνακα τον P AP = ∆ = ⎜ 0 1 0 ⎟ . Από την (5) έχουµε ότι η
⎜ 0 0 2⎟
⎝
⎠
−1
γενική λύση του συστήµατος είναι
−t
−t
t
2t
⎛ x1 (t ) ⎞ ⎛ 3 1 9 ⎞ ⎛ c1e ⎞ ⎛ 3c1e + c2 e + 9c3e ⎞
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟⎜ t ⎟ ⎜
3c3e 2t
⎟,
⎜ x2 (t ) ⎟ = ⎜ 0 0 3 ⎟ ⎜ c2 e ⎟ = ⎜
⎜ x (t ) ⎟ ⎜ 4 1 8 ⎟ ⎜ c e 2t ⎟ ⎜ 4c e − t + c et + 8c e 2t ⎟
2
3
⎝ 3 ⎠ ⎝
⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 1
⎠
όπου οι σταθερές c1 , c2 , c3 ∈ R .
∆ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΡΜΙΤΙΑΝΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ
Υπενθυµίζουµε τους εξής ορισµούς.
•
Ένας πίνακας U ∈ M n (
)
λέγεται µοναδιαίος αν ισχύει UU * = U *U = I ,
⎛
⎜
όπου U * = U t , δηλαδή αν U −1 = U * . Για παράδειγµα ο ⎜
⎜
⎜
⎝
1
2
i
2
1 ⎞
2 ⎟⎟
είναι
i ⎟
−
⎟
2⎠
µοναδιαίος .
•
Ένας ορθογώνιος πίνακας είναι ένας µοναδιαίος πίνακας που έχει στοιχεία
πραγµατικούς αριθµούς. ∆ηλαδή ένας P είναι ορθογώνιος αν και µόνο αν
⎛ cos θ
P −1 = P t . Για παράδειγµα ο ⎜
⎝ sin θ
− sin θ ⎞
⎟ είναι ορθογώνιος για κάθε
cos θ ⎠
πραγµατικό θ.
8
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
•
Ένας πίνακας H ∈ M n (
)
λέγεται Ερµιτιανός αν H = H * . Για παράδειγµα,
4 − 5i ⎞
⎛ 2
ο⎜
⎟ είναι Ερµιτιανός. Στην ειδική περίπτωση που H ∈ M n (
3 ⎠
⎝ 4 + 5i
),
τότε ο Η είναι Ερµιτιανός αν και µόνο αν είναι συµµετρικός.
Τα επόµενο αποτέλεσµα µας πληροφορεί ότι κάθε πραγµατικός συµµετρικός πίνακας
διαγωνοποιείται µέσω ορθογωνίου.
Θεώρηµα 3
Έστω A ∈ M n (
P ∈ Mn (
)
)
ένας συµµετρικός πίνακας. Τότε υπάρχει ορθογώνιος πίνακας
τέτοιος ώστε ο P −1 AP είναι διαγώνιος µε στοιχεία πραγµατικούς
αριθµούς.
Για µιγαδικούς πίνακες υπάρχει ανάλογο αποτέλεσµα.
Θεώρηµα 4
Έστω A ∈ M n (
U ∈ Mn (
)
)
ένας Ερµιτιανός
πίνακας. Τότε υπάρχει µοναδιαίος πίνακας
τέτοιος ώστε ο U −1 AU είναι πραγµατικός διαγώνιος.
Πρόταση 5
Τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν σε διακεκριµένες ιδιοτιµές συµµετρικού (ή
Eρµιτιανού) πίνακα είναι µεταξύ τους κάθετα, συνεπώς έχουν εσωτερικό γινόµενο ίσο
µε µηδέν.
Σχόλιο Σύµφωνα µε τα Θεωρήµατα 3 και 4, στην περίπτωση ενός συµµετρικού (ή
Ερµιτιανού) πίνακα Α, µπορούµε να επιλέξουµε τον Ρ (αντίστοιχα τον U) να είναι
ορθογώνιος (αντίστοιχα, µοναδιαίος) πίνακας. Ας δούµε ένα παράδειγµα.
Παράδειγµα
Ο
συµµετρικός
πίνακας
⎛ 2 1 1⎞
⎜
⎟
A = ⎜1 1 0⎟
⎜1 0 1⎟
⎝
⎠
έχει
χαρακτηριστικό
πολυώνυµο
χ Α (λ ) = λ (λ − 1)(λ − 3) , οπότε οι ιδιοτιµές είναι λ1 = 0 , λ2 = 1 και λ3 = 3 .
9
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
Για την ιδιοτιµή λ1 = 0 ένα ιδιοδιάνυσµα είναι p1 = (1 −1 −1) , για την λ2 = 1 ένα
t
ιδιοδιάνυσµα είναι p2 = ( 0 1 −1)
t
και για λ3 = 3 ένα ιδιοδιάνυσµα
είναι
p3 = ( 2 1 1) . Όλες οι ιδιοτιµές είναι διακεκριµένες, οπότε σύµφωνα µε την
t
Πρόταση 5 τα προηγούµενα τρία ιδιοδιανύσµατα είναι κάθετα µεταξύ τους. Συνεπώς
αυτά θα µετατραπούν σε ορθοκανονικά αν διαιρέσουµε το καθένα µε το µέτρο του.
Έτσι παίρνουµε
pˆ1 =
1
p1
3
pˆ 2 =
,
1
p2
2
και
pˆ 3 =
1
p3 . Ο πίνακας Α
6
διαγωνοποιείται. Ένας ορθογώνιος πίνακας Ρ που υλοποιεί τη διαγωνοποίηση του Α
είναι P = ( pˆ1
pˆ 2
⎛ 1
0
⎜
3
⎜
1
pˆ 3 ) = ⎜ −1
3
2
⎜
⎜ −1
−1
⎜
3
2
⎝
⎞
6⎟
⎟
1 ⎟ και ισχύει P t AP = diag ( 0,1,3) .
6⎟
1 ⎟⎟
6⎠
2
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Άσκηση 1
⎛ −2
⎜
−1
Εξετάστε αν ο πίνακας Α = ⎜
⎜0
⎜⎜
⎝0
5
4
0
0
1 2⎞
⎟
6 −1⎟
διαγωνοποιείται
5 0⎟
⎟
1 1 ⎟⎠
Λύση
Σύµφωνα µε τον αλγόριθµο διαγωνοποίησης υπολογίζουµε πρώτα το χαρακτηριστικό
πολυώνυµο του πίνακα A
−1
−2 ⎞
⎛ λ + 2 −5
⎜
⎟
1
λ − 4 −6
1 ⎟
⎜
χ Α (λ ) = det(λ I − Α ) = det
=
⎜ 0
0
λ −5 0 ⎟
⎟
⎜⎜ 0
0
−1 λ − 1⎟⎠
⎝
0 ⎞
⎛ λ + 2 −5 ⎞ ⎛ λ − 5
2
det ⎜
⎟ det ⎜
⎟ = (λ − 2λ − 3)(λ − 5)(λ − 1) = (λ − 3)(λ + 1)(λ − 5)(λ − 1).
λ − 4 ⎠ ⎝ −1 λ − 1 ⎠
⎝ 1
Άρα οι ιδιοτιµές είναι −1,1,3, 5 . Οι ιδιοτιµές είναι διακεκριµένες και σύµφωνα µε την
Πρόταση 2 ο Α είναι διαγωνοποιήσιµος.
10
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
Άσκηςη 2
⎛1 2⎞
Εξετάστε αν ο πίνακας A = ⎜
⎟ είναι διαγωνοποιήσιµος. Να βρεθεί ένας πίνακας
⎝3 2⎠
P ∈ M 2 (R) , τέτοιος ώστε ο P −1 AP να είναι διαγώνιος.
Λύση
Σύµφωνα µε τον αλγόριθµο διαγωνοποίησης υπολογίζουµε πρώτα το χαρακτηριστικό
πολυώνυµο του πίνακα A
⎛ λ − 1 −2 ⎞
2
⎟ = λ − 3λ − 4
⎝ −3 λ − 2 ⎠
χ A (λ ) = det(λ I − A) = det ⎜
από όπου προκύπτουν οι ιδιοτιµές λ1 = −1 και λ2 = 4 . Σύµφωνα µε την Πρόταση 2,
οι ιδιοτιµές είναι διακεκριµένες, συνεπώς ο Α είναι διαγωνοποιήσιµος.
Για την ιδιοτιµή λ1 = −1 , οι µη µηδενικές λύσεις της εξίσωσης (λ1Ι − A) X = 0 δίνουν
αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα. Έτσι έχουµε
⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎛ −2 −2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ −2 x1 − 2 x2 = 0⎫
⎛1⎞
⎜
⎟ ⎜ x ⎟ = ⎜ ⎟ ⇒ −3 x − 3x = 0 ⎬ ⇒ x2 = − x1 ⇒ ⎜ x ⎟ = ⎜ − x ⎟ = x1 ⎜ ⎟ , x1 ∈ R − {0}.
⎝ −3 −3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 0 ⎠
⎝ −1⎠
⎭
⎝ 2 ⎠ ⎝ 1⎠
1
2
Για την ιδιοτιµή λ1 = −1 επιλέγουµε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το p1 = (1 −1) .
t
Για λ2 = 4 , από την εξίσωση (λ2 Ι − A) X = 0 έχουµε :
⎛ x ⎞
3x1 − 2 x2 = 0 ⎫
⎛ x1 ⎞ ⎜ 1 ⎟ 1 ⎛ 2 ⎞
⎛ 3 −2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
3
⎬ ⇒ x2 = x1 ⇒ ⎜ ⎟ = ⎜ 3 ⎟ = x1 ⎜ ⎟ , x1 ∈
⎜
⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇒
2
⎝ −3 2 ⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠ −3 x1 + 2 x2 = 0 ⎭
⎝ x2 ⎠ ⎜ x1 ⎟ 2 ⎝ 3 ⎠
⎝2 ⎠
Για την ιδιοτιµή λ2 = 4 επιλέγουµε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το p2 = ( 2 3) .
t
Θέτουµε P = ( p1
⎛ 1 2⎞
⎛ −1 0 ⎞
−1
p2 ) = ⎜
⎟ και έχουµε P AP = ∆ = ⎜
⎟.
⎝ −1 3 ⎠
⎝ 0 4⎠
Άσκηση 3
Εξετάστε ποιοι από τους επόµενους πίνακες µπορούν να διαγωνοποιηθούν και
εκτελέστε την διαγωνοποίηση όποτε αυτό είναι δυνατόν:
11
− {0}.
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
⎛ 1 −1 4 ⎞
⎜
⎟
i) A = ⎜ 3 2 −1⎟
⎜ 2 1 −1 ⎟
⎝
⎠
⎛ −2 5 2 ⎞
⎜
⎟
ii) B = ⎜ −1 4 −1⎟
⎜ 0 0 −1⎟
⎝
⎠
⎛3 1 1⎞
⎜
⎟
iii) Γ = ⎜ 2 4 2 ⎟
⎜1 1 3⎟
⎝
⎠
Λύση
i) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι
1
−4 ⎞
⎛ λ −1
⎜
χ Α (λ ) = det ( λ I − Α ) = det ⎜ −3 λ − 2 1 ⎟⎟ =
⎜ −2
−1 λ + 1⎟⎠
⎝
λ 3 − 2λ 2 − 5λ + 6 = (λ + 2)(λ − 1)(λ − 3).
(Σηµειώνουµε ότι η παραγοντοποίηση στην τελευταία ισότητα δεν είναι τελείως
προφανής. Πρώτα παρατηρούµε ότι το 1 είναι ρίζα του λ 3 − 2λ 2 − 5λ + 6 και στη
συνέχεια διαιρούµε το λ 3 − 2λ 2 − 5λ + 6 µε το λ − 1 για να βρούµε το πηλίκο
(λ + 2)(λ − 1)(λ − 3) ). Εποµένως οι ιδιοτιµές είναι λ1 = −2 , λ2 = 1 και λ3 = 3 .
Σύµφωνα µε την Πρόταση 2 ο πίνακας Α διαγωνοποιείται.
Στη λ1 = −2 αντιστοιχούν ιδιοδιανύσµατα που είναι οι µη µηδενικές λύσεις του
⎛ −3 1 −4 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
συστήµατος (λ1Ι − Α ) X = 0 ⇒ ⎜ −3 −4 1 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ . Άρα έχουµε
⎜ −2 − 1 − 1 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝
⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
⎛x ⎞ ⎛ x ⎞
⎛1⎞
−3x1 + x2 − 4 x3 = 0 ⎫ x2 = − x1 ⎫ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟
⎜ ⎟
⎬⇒
⎬ ⇒ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ − x1 ⎟ = x1 ⎜ −1⎟ , x1 ∈ R − {0} .
x1 + x2 = 0 ⎭ x3 = − x1 ⎭ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜ −1⎟
⎝ x3 ⎠ ⎝ − x1 ⎠
⎝ ⎠
Για την ιδιοτιµή λ1 = −2 επιλέγουµε το ιδιοδιάνυσµα p1 = (1 −1 −1) .
t
Στην ιδιοτιµή λ2 = 1 αντιστοιχούν ιδιοδιανύσµατα που είναι οι µη µηδενικές λύσεις
⎛ 0 1 −4 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
του συστήµατος (λ2 Ι − Α ) X = 0 ⇒ ⎜ −3 −1 1 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ . Άρα έχουµε
⎜ −2 −1 2 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝
⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
⎛ x ⎞ ⎛ −x ⎞
⎛ −1⎞
x2 − 4 x3 = 0 ⎫ x2 = 4 x3 ⎫ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟
⎜ ⎟
⎬⇒
⎬ ⇒ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 4 x3 ⎟ = x3 ⎜ 4 ⎟ , x3 ∈ R −{0} .
−3x1 − x2 + x3 = 0 ⎭ x1 = − x3 ⎭ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜1⎟
⎝ x3 ⎠ ⎝ x3 ⎠
⎝ ⎠
Στην λ2 = 1 επιλέγουµε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το p2 = ( −1 4 1) .
t
Για λ3 = 3 , οι µη µηδενικές λύσεις του συστήµατος
12
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
⎛ 2 1 −4 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
(λ3Ι − Α ) X = 0 ⇒ ⎜ −3 1 1 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ είναι,
⎜ −2 − 1 4 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝
⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
⎛x ⎞ ⎛ x ⎞
⎛1⎞
2 x1 + x2 − 4 x3 = 0 ⎫ x2 = 2 x1 ⎫ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟
⎜ ⎟
⎬⇒
⎬ ⇒ x = 2 x = x 2 , x ∈ R − {0}.
x3 = x1 ⎭ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ 1 ⎜⎜ ⎟⎟ 1
3 x1 − x2 − x3 = 0 ⎭
⎝ x3 ⎠ ⎝ x1 ⎠
⎝1⎠
Για την ιδιοτιµή λ1 = 3 επιλέγουµε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το p3 = (1 2 1) .
t
Τα ιδιοδιανύσµατα p1 , p2 , p3 είναι γραµµικά ανεξάρτητα γιατί σύµφωνα µε ένα
θεώρηµα
σε
διακεκριµένες
ιδιοτιµές
αντιστοιχούν
γραµµικά
ανεξάρτητα
ιδιοδιανύσµατα.(Εναλλακτικά θα µπορούσαµε να υπολογίσουµε την ορίζουσα του
πίνακα που αυτά σχηµατίζουν). Σύµφωνα µε τον αλγόριθµο διαγωνοποίησης,
⎛ −2 0 0 ⎞
⎛ 1 −1 1 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
−1
θέτουµε P = ⎜ −1 4 2 ⎟ και έχουµε P Α P = ∆ = ⎜ 0 1 0 ⎟ .
⎜ 0 0 3⎟
⎜ −1 1 1 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
ii) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Β είναι
−2 ⎞
⎛ λ + 2 −5
⎜
χ Β (λ ) = det ⎜ 1
λ − 4 1 ⎟⎟ = (λ + 1)((λ + 2)(λ − 4) + 5) = (λ − 3)(λ + 1)2 ,
⎜ 0
0
λ + 1⎟⎠
⎝
εποµένως οι ιδιοτιµές του πίνακα είναι λ1 = 3 και λ2 = −1 (διπλή ρίζα).
Στη λ1 = 3 αντιστοιχούν ιδιοδιανύσµατα που είναι οι µη µηδενικές λύσεις του
⎛ 5 −5 −2 ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
συστήµατος (λ1Ι − B) X = 0 ⇒ ⎜ 1 −1 1 ⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ . Άρα έχουµε
⎜ 0 0 4 ⎟⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝
⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
⎛x ⎞ ⎛x ⎞
⎛1⎞
x1 − x2 + x3 = 0 ⎫ x1 = x2 ⎫ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟
⎜ ⎟
⎬⇒
⎬ ⇒ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ x2 ⎟ = x2 ⎜ 1 ⎟ , x2 ∈ R − {0} . Για τη λ1 = 3
x3 = 0 ⎭ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
4 x3 = 0 ⎭
⎜ 0⎟
⎝ x3 ⎠ ⎝ 0 ⎠
⎝ ⎠
επιλέγουµε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το p1 = (1 1 0 ) .
t
Η λ2 = −1 έχει ιδιοδιάνυσµα τις µη µηδενικές λύσεις του συστήµατος
⎛ 1 −5 −2 ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
(λ2 Ι − B) X = 0 ⇒ ⎜ 1 −5 1 ⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ . Άρα έχουµε
⎜ 0 0 0 ⎟⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝
⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
13
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
⎛ x ⎞ ⎛ 5x ⎞
⎛ 5⎞
x1 − 5 x2 − 2 x3 = 0 ⎫ x1 = 5 x2 ⎫ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟
⎜ ⎟
⎬⇒
⎬ ⇒ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ x2 ⎟ = x2 ⎜ 1 ⎟ , x2 ∈ R − {0}.
x1 − 5 x2 + x3 = 0 ⎭ x3 = 0 ⎭ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜ 0⎟
⎝ x3 ⎠ ⎝ 0 ⎠
⎝ ⎠
Για την ιδιοτιµή λ2 = −1 επιλέγουµε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το p2 = ( 5 1 0 ) .
t
Τα ιδιοδιανύσµατα p1 , p2 ∈ R 3 είναι λιγότερα από τη διάσταση του R3 , άρα µε βάση
τον αλγόριθµο διαγωνοποίησης βήµα 3i) ο Β δε διαγωνοποιείται.
iii) Βρίσκουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Γ µε τη βοήθεια
στοιχειωδών µετασχηµατισµών στηλών (αφαιρούµε την δεύτερη από την πρώτη)
−1 ⎞
⎛ λ − 3 −1
⎜
χ Γ (λ ) = det ⎜ −2 λ − 4 −2 ⎟⎟ = (λ − 2)2 (λ − 6).
⎜ −1
−1 λ − 3 ⎟⎠
⎝
Εποµένως οι ιδιοτιµές είναι λ1 = 2 (διπλή ρίζα) και λ2 = 6 .
Η
λ1 = 2
έχει ιδιοδιανύσµατα τις µη µηδενικές λύσεις του συστήµατος
⎛ −1 −1 −1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
(λ1Ι − Γ ) X = 0 ⇒ ⎜ −2 −2 −2 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ . Η λύση του συστήµατος υπολογίζεται
⎜ −1 −1 −1 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝
⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
από την εξίσωση
x1 + x2 + x3 = 0 ⇒ x3 = − x1 − x2 ⇒
⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎛1⎞
⎛0⎞
.
⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ x2 ⎟ = ⎜ x2 ⎟ = x1 ⎜ 0 ⎟ + x2 ⎜ 1 ⎟ , x1 , x2 ∈ R − {0}
⎜ x ⎟ ⎜ −x − x ⎟
⎜ −1⎟
⎜ −1 ⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 1 2⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Για λ1 = 2 ο ιδιόχωρος V (2) παράγεται από τα p1 = (1 0 −1) ,
t
p2 = ( 0 1 −1) .
t
Για λ2 = 6 , οι µη µηδενικές λύσεις του συστήµατος
⎛ 3 −1 −1 ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
(λ2Ι − Γ ) X = 0 ⇒ ⎜ −2 2 −2 ⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ δίνουν τον αντίστοιχο ιδιόχωρο, οπότε
⎜ −1 −1 3 ⎟⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝
⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
⎛x ⎞ ⎛ x ⎞
⎛1⎞
3 x1 − x2 − x3 = 0 ⎫
x1 = x3 ⎫ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟
⎜ ⎟
⎬⇒
⎬ ⇒ x = 2 x = x 2 , x ∈ R − {0}. .
− x1 − x2 + 3 x3 = 0 ⎭ x2 = 2 x3 ⎭ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎜⎜ 3 ⎟⎟ 3 ⎜⎜ ⎟⎟ 3
⎝ x3 ⎠ ⎝ x3 ⎠
⎝1⎠
Συνεπώς επιλέγουµε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το p3 = (1 2 1) .
t
14
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
Τα ιδιοδιανύσµατα p1 , p2 , p3 είναι γραµµικά ανεξάρτητα (έχουν µη µηδενική
ορίζουσα),
άρα αποτελούν βάση του R3 και σύµφωνα µε το Θεώρηµα 1 ο Γ
διαγωνοποιείται. Ο πίνακας αλλαγής βάσης είναι P = ( p1
p2
⎛ 1 0 1⎞
⎜
⎟
p3 ) = ⎜ 0 1 2 ⎟ ,
⎜ −1 −1 1 ⎟
⎝
⎠
⎛ 2 0 0⎞
⎜
⎟
ο οποίος µετά από τις πράξεις δίνει το διαγώνιο πίνακα P −1Γ P = ∆ = ⎜ 0 2 0 ⎟ .
⎜ 0 0 6⎟
⎝
⎠
Άσκηση 4
⎛ 2 − a a a − 3⎞
⎜
⎟
0 −1 ⎟ .
Έστω ο πραγµατικός πίνακας A = ⎜ 1
⎜ 0
1 −1 ⎟⎠
⎝
Να βρείτε τις τιµές του a ∈ R για τις οποίες ο πίνακας Α διαγωνοποιείται.
Λύση
Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α είναι
⎛ λ − (2 − a) − a −(a − 3) ⎞
⎟
χ Α (λ ) = det ⎜⎜
λ
1 ⎟ = λ 3 + (a − 1)λ 2 − λ + 1 − a
−1
⎜
λ + 1 ⎟⎠
0
−1
⎝
= (λ + 1)(λ − 1)(λ + a − 1)
Οι ιδιοτιµές του πίνακα είναι λ1 = −1 , λ2 = 1 και λ3 = 1 − a .
Στην περίπτωση όπου a ≠ 0 και a ≠ 2 οι ιδιοτιµές είναι όλες διακεκριµένες,
εποµένως ο πίνακας Α διαγωνοποιείται (Πρόταση 2).
⎛ 2 0 −3 ⎞
⎜
⎟
Εξετάζουµε την περίπτωση όπου a = 0 , οπότε ο πίνακας είναι A = ⎜ 1 0 −1 ⎟ και
⎜ 0 1 −1 ⎟
⎝
⎠
έχει χαρακτηριστικό πολυώνυµο χ Α (λ ) = (λ + 1)(λ − 1) 2 .
⎛ −3 0 3 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Στην ιδιοτιµή λ1 = −1 το σύστηµα είναι (λ1Ι − A) X = 0 ⇒ ⎜ −1 −1 1 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ,
⎜ 0 −1 0 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝
⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
από όπου µετά από γραµµοπράξεις καταλήγουµε στο σύστηµα
15
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
x1 − x3 = 0 ⎫ x1 = x3
⎬⇒
x2 = 0 ⎭
x2 = 0
⎛ x1 ⎞ ⎛ x3 ⎞
⎛1⎞
⎫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎬ ⇒ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ = x3 ⎜ 0 ⎟ , x3 ∈ R − {0}.
⎭ ⎜x ⎟ ⎜x ⎟
⎜1⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
⎝ ⎠
Στην ιδιοτιµή λ2 = 1 το αντίστοιχο σύστηµα είναι
⎛ −1 0 3 ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
(λ2Ι − A) X = 0 ⇒ ⎜ −1 1 1 ⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ , και µετά από γραµµοπράξεις
⎜ 0 −1 2 ⎟⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝
⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
καταλήγουµε στο
⎛ x ⎞ ⎛ 3x ⎞
⎛ 3⎞
x1 − 3 x3 = 0 ⎫ x1 = 3 x3 ⎫ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟
⎜ ⎟
⎬⇒
⎬ ⇒ x = 2 x = x 2 , x ∈ R − {0}.
x2 − 2 x3 = 0 ⎭
x2 = 2 x3 ⎭ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎜⎜ 3 ⎟⎟ 3 ⎜⎜ ⎟⎟ 3
⎝ x3 ⎠ ⎝ x3 ⎠
⎝1⎠
Σύµφωνα µε τον αλγόριθµο διαγωνοποίησης το σύνολο των ιδιοδιανυσµάτων που
υπολογίζονται είναι
{ p1 , p2 } , οπότε ο πίνακας
P δεν είναι τετραγωνικός, αφού είναι
3 × 2 , άρα για a = 0 ο πίνακας Α δε διαγωνοποιείται.
Όµοια εξετάζουµε και την περίπτωση όπου a = 2 , οπότε ο πίνακας είναι
⎛ 0 2 −1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 1 0 −1⎟ και έχει χαρακτηριστικό πολυώνυµο χ Α (λ ) = (λ + 1) 2 (λ − 1) . Και
⎜ 0 1 −1 ⎟
⎝
⎠
στην περίπτωση αυτή αποδεικνύεται ότι ο πίνακας Α δε διαγωνοποιείται.
Άσκηση 5
⎛ 1 −3 3 ⎞
⎜
⎟
Για κάθε θετικό ακέραιο k υπολογίστε τον A , όταν Α = ⎜ 0 −5 6 ⎟ .
⎜ 0 −3 4 ⎟
⎝
⎠
k
Λύση
Έχουµε χ Α (λ ) = det(λ I − A) = (λ + 2)(λ − 1) 2 = 0 , οπότε οι ιδιοτιµές του πίνακα είναι
λ1 = −2 και λ2 = 1 (διπλή ρίζα).
Για λ1 = −2 , οι µη µηδενικές λύσεις του οµογενούς συστήµατος
⎛ −3 3 −3 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
(λ1Ι − Α ) X = 0 ⇒ ⎜ 0 3 −6 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ , που είναι
⎜ 0 3 −6 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝
⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
16
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
⎛x ⎞ ⎛ x ⎞
⎛1⎞
−3 x1 + 3 x2 − 3 x3 = 0 ⎫
x1 = x3 ⎫ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟
⎜ ⎟
⎬⇒
⎬ ⇒ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 2 x3 ⎟ = x3 ⎜ 2 ⎟ , x3 ∈ R − {0}
x2 = 2 x3 ⎭ ⎜ ⎟ ⎜
3x2 − 6 x3 = 0 ⎭
⎟
⎜1⎟
⎝ x3 ⎠ ⎝ x3 ⎠
⎝ ⎠
αποτελούν τον ιδιόχωρο V (−2) της λ1 = −2 . Επιλέγουµε το ιδιοδιάνυσµα
p1 = (1 2 1) .
t
⎛ 0 3 −3 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Για λ2 = 1 , οι µη µηδενικές λύσεις του συστήµατος ⎜ 0 6 −6 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟
⎜ 0 3 −3 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝
⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης
⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎛1⎞
⎛ 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
3x2 − 3x3 = 0 ⇒ x2 = x3 ⇒ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ x3 ⎟ = x1 ⎜ 0 ⎟ + x3 ⎜ 1 ⎟ , x1 , x3 ∈ R − {0} .
⎜x ⎟ ⎜x ⎟
⎜ 0⎟
⎜1⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Εποµένως
για
λ2 = 1
ο
ιδιόχωρος
V (1)
p2 = (1 0 0 ) , p3 = ( 0 1 1) . Τα ιδιοδιανύσµατα
t
t
παράγεται
από
τα
p1 , p2 , p3 είναι γραµµικά
⎛ 1 1 0⎞
⎜
⎟
ανεξάρτητα, επειδή det ( p1 p2 p3 ) = det ⎜ 2 0 1 ⎟ = −1 ≠ 0 , άρα αποτελούν βάση
⎜1 0 1⎟
⎝
⎠
του R3 . Σύµφωνα µε το Θεώρηµα 1
P = ( p1
p2
⎛ 1 1 0⎞
⎜
⎟
p3 ) = ⎜ 2 0 1 ⎟
⎜1 0 1⎟
⎝
⎠
ο Α διαγωνοποιείται, οπότε θέτοντας
έχουµε
⎛ 0 1 −1 ⎞
⎜
⎟
P −1 = ⎜ 1 −1 1 ⎟
⎜ 0 −1 2 ⎟
⎝
⎠
και
ισχύει
⎛ −2 0 0 ⎞
⎜
⎟
P AP = ∆ = ⎜ 0 1 0 ⎟ . Από την τελευταία σχέση και την (1) έχουµε :
⎜ 0 0 1⎟
⎝
⎠
−1
k
⎛ 1 1 0 ⎞ ⎛ (−2)
⎜
⎟⎜
Ak = P∆ k P −1 = ⎜ 2 0 1 ⎟ ⎜ 0
⎜
⎟⎜
⎝1 0 1⎠⎝ 0
⎛ 1 (−2) k − 1 −(−2) k + 1 ⎞
⎜
⎟
k
k
⎜ 0 2(−2) − 1 −2(−2) + 2 ⎟ .
⎜ 0 (−2) k − 1 −(−2) k + 2 ⎟
⎝
⎠
0 0 ⎞ ⎛ 0 1 −1⎞
⎟⎜
⎟
1 0 ⎟ ⎜ 1 −1 1 ⎟ =
0 1 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 −1 2 ⎠⎟
17
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
Άσκηση 6
⎛ −3 2 2 ⎞
⎜
⎟
Να βρεθούν 8 διαφορετικοί πίνακες B , τέτοιοι ώστε B = ⎜ −6 5 2 ⎟ .
⎜ −7 4 4 ⎟
⎝
⎠
2
Λύση
Αν συµβολίσουµε µε Α τον πίνακα στο δεύτερο µέλος της δοθείσης εξίσωσης
βρίσκουµε ότι χ Α (λ ) = (λ − 1)(λ − 2)(λ − 3) . Σύµφωνα µε την Πρόταση 2 ο πίνακας
Α διαγωνοποιείται.
Για
λ1 = 1 ,
οι
λύσεις
του
⎛ 4 −2 −2 ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
(λ1Ι − Α ) X = 0 ⇒ ⎜ 6 −4 −2 ⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ,
⎜ 7 −4 −3 ⎟⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝
⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
οµογενούς
δίνουν
συστήµατος
τον
ιδιόχωρο
⎧⎛ x1 ⎞
⎫
t
⎪⎜ ⎟
⎪
V (1) = ⎨⎜ x1 ⎟ , x1 ∈ R ⎬ , οπότε επιλέγουµε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το p1 = (1 1 1) .
⎪⎜ x ⎟
⎪
⎩⎝ 1 ⎠
⎭
Για λ2 = 2 , οι λύσεις του οµογενούς συστήµατος
⎛ 5 −2 −2 ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
(λ2Ι − Α ) X = 0 ⇒ ⎜ 6 −3 −2 ⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ,
⎜ 7 −4 −2 ⎟⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝
⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
⎧⎛ x1 ⎞
⎫
⎪⎜
⎪
⎟
V (2) = ⎨⎜ x1 ⎟ , x1 ∈ R ⎬ ,
⎪⎜ 3 x 2 ⎟
⎪
⎩⎝ 1 ⎠
⎭
οπότε
επιλέγουµε
δίνουν
αντίστοιχο
τον
ιδιόχωρο
ιδιοδιάνυσµα
το
p2 = ( 2 2 3 ) .
t
Για λ3 = 3 , οι λύσεις του οµογενούς συστήµατος
⎛ 6 −2 −2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
(λ3Ι − Α ) X = 0 ⇒ ⎜ 6 −2 −2 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ,
⎜ 7 −4 − 1 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝
⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
⎧⎛ x1 ⎞
⎫
⎪⎜
⎪
⎟
V (3) = ⎨⎜ 4 x1 3 ⎟ , x1 ∈ R ⎬ ,
⎪⎜ 5 x 3 ⎟
⎪
⎩⎝ 1 ⎠
⎭
οπότε
επιλέγουµε
δίνουν
αντίστοιχο
τον
ιδιόχωρο
ιδιοδιάνυσµα
το
p3 = ( 3 4 5 ) .
t
18
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
Θέτουµε
P = ( p1
p2
⎛1 2 3 ⎞
⎜
⎟
p3 ) = ⎜1 2 4 ⎟ . Ο P είναι αντιστρέψιµος γιατί τα
⎜1 3 5 ⎟
⎝
⎠
ιδιοδιανύσµατα p1 , p2 , p3 αντιστοιχούν σε διακεκριµένες ιδιοτιµές και υπολογίζουµε
ότι
⎛ 2 1 −2 ⎞
⎜
⎟
P = ⎜ 1 −2 1 ⎟ .
⎜ −1 1 0 ⎟
⎝
⎠
−1
(
Επειδή
έχουµε
B2 = A ,
η
)
B = Pdiag ±1, ± 2, ± 3 P −1 , από όπου προκύπτουν
σχέση
8 = 23
(2)
δίνει
διαφορετικοί
πίνακες-λύσεις της εξίσωσης.
Άσκηση 7
⎛ wn ⎞
⎛ 0, 4 0,3 ⎞
Έστω οι πίνακες A = ⎜
⎟ και Z n = ⎜ y ⎟ µε wn + yn = 1 , για κάθε n = 1, 2,… ,
⎝ 0, 6 0, 7 ⎠
⎝ n⎠
οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση Z n = AZ n −1 . Αν w1 = 0, 2 , να εκφράσετε τους όρους
wn , yn συναρτήσει του n .
Λύση
Η δοθείσα ισότητα πινάκων γράφεται και
⎛ wn ⎞
⎜ ⎟=
⎝ yn ⎠
⎛w ⎞
A ⎜ n −1 ⎟
⎝ yn −1 ⎠
Αν εφαρµόσουµε την προηγούµενη ισότητα διαδοχικά για τις διάφορες τιµές των n
θα έχουµε
w
w
w
⎛ wn ⎞
n −1 ⎛ 1 ⎞
2 ⎛ n−2 ⎞
3 ⎛ n −3 ⎞
⎜ ⎟= A ⎜
⎟= A ⎜
⎟ =…= A ⎜ ⎟ .
⎝ y1 ⎠
⎝ yn ⎠
⎝ yn − 2 ⎠
⎝ yn − 3 ⎠
(*)
Από την τελευταία σχέση είναι αρκετό να υπολογίσουµε τον An −1 , γιατί λόγω της
ισότητας των πινάκων θα µπορέσουµε να εκφράσουµε τον Z n = ( wn
yn )
t
συναρτήσει των w1 , y1 και n . Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Α είναι
χ A (λ ) = λ 2 − 1,1λ + 0,1 = (λ − 0,1)(λ − 1) και οι ιδιοτιµές του Α είναι λ1 = 0,1 και
λ2 = 1 . Σύµφωνα µε την Πρόταση 2 ο πίνακας Α διαγωνοποιείται. Για την ιδιοτιµή
λ1 = 0,1 , οι µη µηδενικές λύσεις του συστήµατος
19
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
⎛ −0,3 −0,3 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
(λ1Ι − A) X = 0 ⇒ ⎜
⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ δίνουν τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα.
⎝ −0, 6 −0, 6 ⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠
Έτσι έχουµε
−0,3x1 − 0,3x2 = 0 ⎫
⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎛1⎞
⎬ ⇒ x2 = − x1 ⇒ ⎜ ⎟ = ⎜
⎟ = x1 ⎜ ⎟ , x1 ∈ R − {0}.
−0, 6 x1 − 0, 6 x2 = 0 ⎭
⎝ −1⎠
⎝ x2 ⎠ ⎝ − x1 ⎠
Για
την
ιδιοτιµή λ1 = 0,1 επιλέγουµε το ιδιοδιάνυσµα p1 = (1 −1) .
t
⎛ 0, 6 −0,3 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
Για λ2 = 1 , από το σύστηµα (λ2 Ι − A) X = 0 ⇒ ⎜
⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ έχουµε
⎝ −0, 6 0,3 ⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠
⎛x ⎞ ⎛ x ⎞
⎛1⎞
0, 6 x1 − 0,3x2 = 0 ⇒ x2 = 2 x1 ⇒ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 1 ⎟ = x1 ⎜ ⎟ , x1 ∈ R − {0} . Ο πίνακας Α για
⎝ 2⎠
⎝ x2 ⎠ ⎝ 2 x1 ⎠
την ιδιοτιµή λ2 = 1 έχει αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα p2 = (1 2 ) .
t
Οι πίνακες P, P −1 είναι P = ( p1
⎛ 1 1⎞
1 ⎛ 2 −1⎞
−1
p2 ) = ⎜
⎟ και P = ⎜
⎟.
3⎝1 1 ⎠
⎝ −1 2 ⎠
Έτσι από την (1) έχουµε
A
n −1
⎛ 0,1n −1 0 ⎞ −1 1 ⎛ 2 ⋅ 0,1n −1 + 1 1 − 0,1n −1 ⎞
= P⎜
⎟P = ⎜
⎟,
3 ⎝ 2 − 2 ⋅ 0,1n −1 2 + 0,1n −1 ⎠
1⎠
⎝ 0
και από την (*) προκύπτει
n −1
n −1
⎛ wn ⎞ 1 ⎛⎜ (1 + 2 ⋅ 0,1 ) w1 + (1 − 0,1 ) y1 ⎞⎟
Zn = ⎜ ⎟ =
⎝ yn ⎠ 3 ⎝⎜ ( 2 − 2 ⋅ 0,1n −1 ) w1 + ( 2 + 0,1n −1 ) y1 ⎠⎟
( w1 + y1 =1)
=
n −1
1 ⎛ 1 + (2w1 − y1 ) ⋅ 0,1 ⎞
⎜
⎟.
3 ⎝ 2 + (−2 w1 + y1 ) ⋅ 0,1n −1 ⎠
Με αντικατάσταση των w1 = 0, 2 και y1 = 0,8 , έχουµε τελικά
wn =
1
1 − 0, 4 ⋅ 0,1n −1 ) ,
(
3
yn =
1
2 + 0, 4 ⋅ 0,1n −1 ) , n ≥ 1.
(
3
Άσκηση 8
⎛ 2 −1 1 ⎞
⎜
⎟
Θεωρούµε το συµµετρικό πίνακα Α = ⎜ −1 2 −1⎟ . Να βρεθεί πίνακας Ρ έτσι ώστε
⎜ 1 −1 2 ⎟
⎝
⎠
ο P −1 AP να είναι διαγώνιος.
20
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
Λύση
Επειδή ο πίνακας Α είναι συµµετρικός µε βάση το Θεώρηµα 3 αυτός διαγωνοποιείται
και µάλιστα τα ιδιοδιανύσµατα των διακεκριµένων ιδιοτιµών είναι µεταξύ τους
κάθετα (Πρόταση 5). Ωστόσο για να βρεθούν τα ιδιοδιανύσµατα βρίσκουµε το
χαρακτηριστικό πολυώνυµο το οποίο είναι χ Α (λ ) = (λ − 4)(λ − 1) 2 , οπότε οι ιδιοτιµές
του πίνακα είναι λ1 = 4 και λ2 = 1 (διπλή ρίζα).
Υπολογίζοντας κατά τα γνωστά βρίσκουµε ότι για λ1 = 4 ο αντίστοιχος ιδιόχωρος
είναι
ο
⎧ ⎛1⎞
⎫
⎪ ⎜ ⎟
⎪
V (4) = ⎨ x ⎜ −1⎟ , x ∈ R ⎬
⎪ ⎜1⎟
⎪
⎩ ⎝ ⎠
⎭
⎧ ⎛1 ⎞
⎛0⎞
⎪ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
V (1) = ⎨ x ⎜ 1 ⎟ + y ⎜1 ⎟ x, y ∈
⎪ ⎜0⎟
⎜1 ⎟
⎝ ⎠
⎩ ⎝ ⎠
και
για
λ2 = 1
⎫
⎪
⎬ . Τα ιδιοδιανύσµατα
⎪
⎭
ο
ιδιόχωρος
είναι
⎛1⎞
⎛1 ⎞
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
p1 = ⎜ −1⎟ , p2 = ⎜1 ⎟ , p3 = ⎜1 ⎟
⎜1⎟
⎜ 0⎟
⎜1 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
είναι γραµµικά ανεξάρτητα (πχ η αντίστοιχη ορίζουσα είναι µη µηδενική). Ο πίνακας
Ρ είναι P = ( pˆ1
pˆ 2
⎛ 1 1 0⎞
⎛ 4 0 0⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
−1
pˆ 3 ) = ⎜ −1 1 1 ⎟ . Ξέρουµε ότι P AP = ⎜ 0 1 0 ⎟ .
⎜ 1 0 1⎟
⎜0 0 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Άσκηση 9
Χαρακτηρίστε τις επόµενες προτάσεις σωστές ή λάθος, δικαιολογώντας την απάντησή
σας.
i) Αν ένας πίνακας Α διαγωνοποιείται, τότε ο ανάστροφός του είναι διαγωνοποιήσιµος.
ii) Ο πραγµατικός 2 × 2 πίνακας Α µε detA < 0 είναι διαγωνοποιήσιµος.
⎛α β ⎞
iii) Για κάθε α ∈ R, β ∈ R − {0} , ο πίνακας ⎜
⎟ είναι διαγωνοποιήσιµος.
⎝0 α⎠
Λύση
i) Σωστή. Επειδή ο n × n πίνακας Α διαγωνοποιείται υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας
P τέτοιος ώστε A = PDP −1 (1) . Επίσης από την ιδιότητα BT AT = ( AB)T
(2) και
την αντιστρεψιµότητα του P έχουµε
PT ( P −1 )T = ( P −1 P)T = I T = I ⇒ ( P −1 )T = ( PT ) −1
(3) .
Εφαρµόζοντας αναστροφή
στην (1) έχουµε :
21
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
−1 T
(2)
−1 T
(3)
T −1
A = ( PDP ) = ( P ) D P = ( P ) D P
T
T
T
T
T
( PT ≡Q )
−1
−1
( R ≡Q −1 )
= Q DQ ⇒ A = Q DQ = RDR −1
T
Εποµένως ο AT διαγωνοποιείται µέσω του αντιστρέψιµου R .
⎛a c ⎞
ii) Σωστή. Θεωρούµε έναν πίνακα A = ⎜
⎟ . Η ορίζουσά του σύµφωνα µε την
⎝b d ⎠
υπόθεση είναι det A = ad − cb < 0
(*) . Επιπλέον το χαρακτηριστικό πολυώνυµο
του Α είναι :
−c ⎞
⎛λ − a
2
χ A (λ ) = det ( λΙ − A ) = det ⎜
⎟ = λ − (a + d )λ + ad − cb και οι ρίζες του
⎝ −b λ − d ⎠
είναι πραγµατικές και διαφορετικές, επειδή η διακρίνουσα του τριωνύµου είναι πάντα
θετική λόγω της (*). Συνεπώς οι ιδιοτιµές του Α είναι πάντα διακεκριµένες.
iii) Λάθος. Επειδή ο πίνακας είναι τριγωνικός έχει ιδιοτιµές τα στοιχεία της διαγωνίου
του, άρα οι ιδιοτιµές του πίνακα Α είναι λ = α (διπλή ρίζα). Υπολογίζουµε τον
ιδιόχωρο που αντιστοιχεί σε αυτή την ιδιοτιµή και είναι η λύση του συστήµατος
( β ∈R* )
⎛ 0 − β ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
=
⇒
−
=
⇒ x2 = 0 , έτσι ο ιδιόχωρος
x
(αΙ − Α ) X = 0 ⇒ ⎜
0
β
2
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0 0 ⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠
⎧⎛ x ⎞
⎫
είναι ⎨⎜ 1 ⎟ , x1 ∈ R − {0}⎬ , έχει διάσταση 1, εποµένως ο Α δε διαγωνοποιείται.
⎩⎝ 0 ⎠
⎭
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Άσκηση 1
Εξετάστε αν οι επόµενοι πίνακες διαγωνοποιούνται
⎛ 7 −1 −2 ⎞
⎜
⎟
i) Α = ⎜ −1 7 2 ⎟
⎜ −1 1 5 ⎟
⎝
⎠
⎛3 2 4⎞
⎜
⎟
ii) Β = ⎜ 1 4 4 ⎟
⎜
⎟
⎝ −1 −2 −2 ⎠
⎛2 1 0⎞
⎜
⎟
iii) Γ = ⎜ −1 0 1 ⎟
⎜ 0 0 −2 ⎟
⎝
⎠
Υπόδειξη Βλ Λυµένες Ασκήσεις 1,2,3 . Απάντηση Oι πίνακες Α και B
διαγωνοποιούνται και ο πίνακας Γ δε διαγωνοποιείται.
Άσκηση 2
Εξετάστε ποιοι από τους επόµενους πίνακες µπορούν να διαγωνοποιηθούν και
εκτελέστε τη διαγωνοποίηση όποτε αυτό είναι δυνατόν:
22
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
⎛ 1 4 1⎞
⎛ 2 1 −1⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
i) Α = ⎜ 0 2 −1⎟ ii) B = ⎜ 2 1 0 ⎟
⎜ −1 3 1 ⎟
⎜ −3 −2 3 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 2 2 −5 ⎞
⎜
⎟
iii) Γ = ⎜ 3 7 −15 ⎟
⎜ 1 2 −4 ⎟
⎝
⎠
⎛2
⎜
0
v) ∆ = ⎜
⎜0
⎜⎜
⎝0
5 0
2 −1
0 4
0 3
0⎞
⎟
0⎟
2⎟
⎟
5 ⎟⎠
Υπόδειξη Βλ Λυµένες Ασκήσεις 1,2,3. Απάντηση Οι πίνακες Α και ∆ δε
διαγωνοποιούνται, οι Β και Γ διαγωνοποιούνται.
Άσκηση 3
⎛1 a a⎞
⎜
⎟
Έστω ο πραγµατικός πίνακας A = ⎜ a 2 0 ⎟ .
⎜1 0 2⎟
⎝
⎠
Να βρείτε τις τιµές του a ∈ R για τις οποίες ο πίνακας Α διαγωνοποιείται.
Υπόδειξη Βλ. Λυµένη Άσκηση 4. Απάντηση Για a ≠ −1 ο πίνακας Α
διαγωνοποιείται.
Άσκηση 4
⎛ −2 −3 −3 ⎞
⎜
⎟
Έστω Α = ⎜ −1 0 −1 ⎟ , να υπολογίστε τον An , για κάθε θετικό ακέραιο n .
⎜ 5 5 6⎟
⎝
⎠
Υπόδειξη Βλ. Λυµένη Άσκηση 5. Απάντηση Ο ζητούµενος πίνακας είναι
⎛ − 3 ⋅ 2 n + 4 −3 ⋅ 2 n + 3 − 3 ⋅ 2 n + 3 ⎞
⎛ 3 1 0⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
n
n
n
n
n
−1
A = Pdiag (2 ,1,1) P = ⎜ −2 + 1
−2 + 2
−2 + 1 ⎟ , µε P = ⎜ 1 0 1 ⎟ ,
⎜ −5 −1 −1⎟
⎜ 5 ⋅ 2n − 5 5 ⋅ 2n − 5 5 ⋅ 2 n − 4 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Ρ πίνακας ιδιοδιανυσµάτων του Α.
Άσκηση 5
⎛ 2 3⎞
2
Αν A = ⎜
⎟ , να βρεθούν τέσσερις διαφορετικοί πίνακες Β, τέτοιοι ώστε B = A .
⎝1 4⎠
23
Κεφάλαιο 5: ∆ιαγωνοποίηση
Υπόδειξη Βλ. Λυµένη Άσκηση 6 . Απάντηση Οι πίνακες είναι
(
)
(
)
(
)
Β1 = Pdiag 1, 5 P −1 Β 2 = Pdiag 1, − 5 P −1 , Β3 = Pdiag −1, 5 P −1 ,
(
⎛ −3 1⎞
⎟ πίνακας ιδιοδιανυσµάτων του Α.
⎝ 1 1⎠
)
Β 4 = Pdiag −1, − 5 P −1 , όπου P = ⎜
Άσκηση 6
Έστω η ακολουθία (an ), n = 1, 2,… , η οποία ορίζεται από τους όρους a1 = 0 ,
a2 = 1 και τον αναδροµικό τύπο an = 3an −1 + 4an − 2 , n = 3, 4,… . Να βρεθεί ο γενικός
όρος an συναρτήσει του n .
Υπόδειξη Βλ. Αναδροµικές ακολουθίες και Λυµένη Άσκηση 7. Απάντηση
an =
1
( (−1)n−2 + 4n−1 ) .
5
Άσκηση 7
Έστω
A∈ Mn (
)
ένας διαγωνοποιήσιµος πίνακας. Αποδείξτε ότι υπάρχει
⎛10 −18 ⎞
πραγµατικός πίνακας Β µε B 3 = A. Βρείτε έναν B αν A = ⎜
⎟.
⎝ 9 −17 ⎠
⎛ 4 −6 ⎞
Υπόδειξη Βλ. Ρίζες Πινάκων. Απάντηση B = ⎜
⎟
⎝ 3 −5 ⎠
24

Download Report