Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα Κεφάλαιο 3 Πίνακες και Γραµµικά Συστήµατα Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε την εφαρµογή του λογισµού των πινάκων στα γραµµικά συστήµατα. Θα δώσουµε ιδιαίτερη έµφαση στη µέθοδο απαλοιφής του Gauss. ΚΛΙΜΑΚΩΤΗ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΑ Ορισµός 1 (στοιχειώδης µετασχηµατισός γραµµών) Έστω A ∈ M m×n ( F ) , F = R ή F = C . Καθεµιά από τις παρακάτω διαδικασίες ονοµάζεται ένας στοιχειώδης µετασχηµατισµός γραµµών του πίνακα Α πολλαπλασιάζουµε µια γραµµή του Α µε ένα µη µηδενικό στοιχείο του F προσθέτουµε σε µια γραµµή πολλαπλάσιο άλλης γραµµής εναλλάσσουµε δυο γραµµές. Έστω ri η i γραµµή του Α. Οι αντίστοιχοι συµβολισµοί των παραπάνω διαδικασιών είναι ri → ari (πολλαπλασιάζουµε την ri µε το a ≠ 0 ) ri → ri + arj (στη γραµµή ri προσθέτουµε a φορές την rj ) ri → rj (εναλλάσσουµε τις ri , rj ). Ορισµός 2 (γραµµοϊσοδύναµοι πίνακες) Έστω A, B ∈ M m×n ( F ). Θα λέµε ότι ο Β είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον Α αν ο Β προκύπτει από τον Α µετά από µια πεπερασµένη ακολουθία στοιχειωδών µετασχηµατισµών γραµµών. ⎛ 1 2 −3 ⎞ ⎛ 1 2 −3 ⎞ Για παράδειγµα ο ⎜ ⎟ είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον ⎜ ⎟ αφού ⎝ 0 −7 17 ⎠ ⎝4 1 5 ⎠ ⎛ 1 2 −3 ⎞ r2 →r2 − 4 r1 ⎛ 1 2 −3 ⎞ →⎜ ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯ ⎟. ⎝4 1 5 ⎠ ⎝ 0 −7 17 ⎠ Ορισµός 3 (κλιµακωτοί πίνακες) Ένας πίνακας Α ονοµάζεται κλιµακωτός αν 1. το πρώτο µη µηδενικό στοιχείο σε κάθε µη µηδενική γραµµή είναι το 1 2. το πρώτο 1 σε κάθε µη µηδενική γραµµή βρίσκεται στα δεξιά του πρώτου 1 της προηγούµενης γραµµής 41 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα 3. οι µη µηδενικές γραµµές βρίσκονται πάνω από τις µηδενικές γραµµές. Ένας κλιµακωτός πίνακας λέγεται ανηγµένος κλιµακωτός αν το πρώτο 1 σε κάθε γραµµή είναι το µοναδικό µη µηδενικό στοιχείο της στήλης που το περιέχει Παράδειγµα Από τους πίνακες ⎛1 0 0 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 −2 ⎟ , ⎜0 0 1 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0 0 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 −2 ⎟ , ⎜0 0 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 0⎟ ⎜0 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ο πρώτος και τρίτος είναι ανηγµένοι κλιµακωτοί, ενώ ο δεύτερος είναι κλιµακωτός αλλά όχι ανηγµένος κλιµακωτός. Ορισµός 4 (πίνακες και γραµµικά συστήµατα) Θεωρούµε ένα γραµµικό σύστηµα a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 ... am1 x1 + am 2 x2 + ... + am1 xn = bm m εξισώσεων και n αγνώστων. Ο m × n πίνακας a1n ⎞ ⎛ a11 ⎜ ⎟ A=⎜ ⎟ ⎜a ⎟ … a mn ⎠ ⎝ m1 ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ λέγεται πίνακας των συντελεστών του συστήµατος. Ο πίνακας – στήλη b = ⎜ ⎟ λέγεται ⎜b ⎟ ⎝ m⎠ πίνακας των σταθερών όρων του συστήµατος. Ο m × ( n + 1) πίνακας ⎛ a11 ⎜ a ( A, b) = ⎜ 21 ⎜ ⎜⎜ ⎝ am1 a1n a2 n amn b1 ⎞ ⎟ b2 ⎟ ⎟ ⎟ bm ⎟⎠ 42 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ που προκύπτει αν επισυνάψουµε στον πίνακα Α τη στήλη b = ⎜ ⎟ λέγεται επαυξηµένος ⎜b ⎟ ⎝ m⎠ πίνακας του συστήµατος. Για παράδειγµα, αν το γραµµικό σύστηµα είναι το x1 + 2 x2 + x3 = 6 −2 x1 + x2 − 3x3 = 5 τότε ⎛1 2 1⎞ ⎛6⎞ ⎛ 1 2 1 6⎞ A=⎜ ⎟ , b = ⎜ ⎟ , ( A, b) = ⎜ ⎟. ⎝ −2 1 −3 ⎠ ⎝5⎠ ⎝ −2 1 −3 5 ⎠ ΚΛΙΜΑΚΩΤΗ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΑ Θεώρηµα 1 Κάθε m × n πίνακας µε στοιχεία από το F είναι γραµµοϊσοδύναµος µε έναν m × n κλιµακωτό πίνακα µε στοιχεία από το F. Αλγόριθµος µετασχηµατισµού ενός πίνακα σε ανηγµένο κλιµακωτό πίνακα Βήµα 1 Εντοπίζουµε την πρώτη µη µηδενική στήλη και µεταφέρουµε στην πρώτη γραµµή τη γραµµή εκείνη που περιέχει το µη µηδενικό στοιχείο της στήλης. Βήµα 2 Μετατρέπουµε το πρώτο µη µηδενικό στοιχείο της πρώτης γραµµής σε 1. Βήµα 3 Μετατρέπουµε σε 0 όλα τα στοιχεία που βρίσκονται στη στήλη του πρώτου 1 της πρώτης γραµµής και κάτω από αυτό. Βήµα 4 Στην συνέχεια αγνοούµε την πρώτη στήλη και την πρώτη γραµµή του πίνακα και επαναλαµβάνουµε τα βήµατα 1 – 3 για τις επόµενες γραµµές. (Αν οι επόµενες γραµµές είναι όλες µηδενικές, τότε 43 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα παραλείπουµε το βήµα 4 και πάµε στο επόµενο βήµα.) Βήµα 5 Μετατρέπουµε σε 0 όλα τα στοιχεία που βρίσκονται σε κάθε στήλη που περιέχει το πρώτο 1 µιας γραµµής Ο αλγόριθµος ολοκληρώνεται όταν το πρώτο 1 σε κάθε γραµµή είναι το µοναδικό µη µηδενικό στοιχείο της στήλης που το περιέχει. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Θεώρηµα 2 Κάθε γραµµικό σύστηµα είναι ισοδύναµο µε ένα γραµµικό σύστηµα του οποίου ο επαυξηµένος πίνακας είναι ανηγµένος κλιµακωτός. Το προηγούµενο θεώρηµα είναι σηµαντικό γιατί η επίλυση γραµµικού συστήµατος που είναι σε κλιµακωτή µορφή είναι εύκολη. Θεώρηµα 3 Έστω ( A, b) ο επαυξηµένος πίνακας ενός γραµµικού συστήµατος και Κ ένας ανηγµένος κλιµακωτός πίνακας που είναι γραµµοϊσοδύναµος1 µε τον ( A, b). Τότε το σύστηµα είναι συµβιβαστό αν και µόνο αν ο Κ δεν περιέχει γραµµή της µορφής 0 0 ... 0 1. Θεώρηµα 4 (οµογενή συστήµατα) Ένα οµογενές γραµµικό σύστηµα m εξισώσεων και n µεταβλητών µε m < n έχει τουλάχιστον µια µη µηδενική λύση. 1 Αποδεικνύεται ότι ο Κ είναι µοναδικός και άρα µπορούµε να λέµε η ανηγµένη κλιµακωτή µορφή πίνακα 44 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα ΤΑΞΗ ΠΙΝΑΚΑ Ορισµός 5 Έστω A ∈ M n×m (R) Tάξη του Α ονοµάζεται το πλήθος των µη µηδενικών γραµµών του κλιµακωτού ( ή ανηγµένου κλιµακωτού ) πίνακα του Α και συµβολίζεται µε r ( A) Παράδειγµα ⎛ 1 −1 2 ⎞ Για τον πίνακα A = ⎜ ⎟ έχουµε r ( A) = 1 , γιατί η κλιµακωτή µορφή του Α είναι ⎝ 2 −2 4 ⎠ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟. ⎝0 0 0⎠ ΤΑΞΗ ΠΙΝΑΚΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πρόταση 5 • Η τάξη ενός κλιµακωτού πίνακα είναι το πλήθος των µη µηδενικών γραµµών του. • Γραµµοϊσοδύναµοι πίνακες έχουν την ίδια τάξη. Παράδειγµα ⎛1 1 9⎞ ⎜ ⎟ • Η τάξη του A = ⎜ 0 1 8 ⎟ είναι r ( A) = 3 , γιατί ο πίνακας είναι σε κλιµακωτή µορφή ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠ και υπάρχουν 3 µη µηδενικές γραµµές. ⎛1 1 9 ⎞ ⎜ ⎟ • Για να βρούµε την τάξη του B = ⎜ 1 2 17 ⎟ χρησιµοποιούµε στοιχειώδεις ⎜ 0 0 11 ⎟ ⎝ ⎠ µετασχηµατισµούς γραµµών για να τον φέρουµε σε κλιµακωτή µορφή. Αφαιρώντας την πρώτη γραµµή από τη δεύτερη βρίσκουµε τον Α. Άρα r ( B ) = r ( A) = 3 . Τα επόµενα δυο αποτελέσµατα είναι ιδιαίτερα σηµαντικά, µε τη βοήθεια των οποίων θα φτιάξουµε ένα διάγραµµα ροής µε το οποίο θα λύνουµε κάθε γραµµικό σύστηµα. 45 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα Θεώρηµα 6 (κριτήριο συµβιβαστού γραµµικού συστήµατος) Ένα γραµµικό σύστηµα έχει λύση αν και µόνο αν η τάξη του επαυξηµένου πίνακα του συστήµατος ισούται µε την τάξη του πίνακα των συντελεστών. Παράδειγµα x1 + x2 + x3 = 3 Να βρεθούν οι τιµές του a για τις οποίες το σύστηµα 2 x1 − x2 + x3 = 2 3 x1 + x2 − x3 = a είναι 4 x1 + x2 − 2 x3 = a συµβιβαστό. Λύση Μετά από αρκετούς στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών, ο επαυξηµένος ⎛1 1 1 ⎜ 2 −1 1 πίνακας ⎜ ⎜ 3 1 −1 ⎜⎜ ⎝4 1 2 3⎞ ⎟ 2⎟ του συστήµατος παίρνει τη µορφή a⎟ ⎟ a ⎟⎠ 3 ⎛1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ 0 −3 −1 −4 ⎟ B=⎜ . ⎜ 0 0 3 −3a + 24 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0 0 0 −7 a + 61 ⎠ Συµπεραίνουµε ότι η τάξη του πίνακα των συντελεστών είναι 3. Σύµφωνα µε το προηγούµενο θεώρηµα το σύστηµα είναι συµβιβαστό αν και µόνο αν r ( B ) = 3 , δηλαδή αν και µόνο αν η τελευταία γραµµή του Β είναι µηδενική, δηλαδή αν a = 61 . 7 Θεώρηµα 7 ( πλήθος λύσεων οµογενούς γραµµικού συστήµατος) Το πλήθος των λύσεων ενός οµογενούς γραµµικού συστήµατος ισούται µε τη διαφορά m − r , όπου m είναι το πλήθος των αγνώστων και r είναι η τάξη του πίνακα των συντελεστών. 46 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα Το Παράδειγµα πλήθος των λύσεων του οµογενούς συστήµατος x1 + 2 x2 − 4 x3 + 3x4 = 0 x1 + 2 x2 − 2 x3 + 2 x4 = 0 υπολογίζεται ως εξής. Με στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς 2 x1 + 4 x2 − 2 x3 + 3x4 = 0 γραµµών φέρνουµε τον πίνακα των συντελεστών σε κλιµακωτή µορφή. Βρίσκουµε τον ⎛ 1 2 −4 3 ⎞ ⎜ ⎟ πίνακα ⎜ 0 0 1 1/ 2 ⎟ . Αυτός έχει τάξη r = 2 . Σύµφωνα µε το θεώρηµα η ζητούµενη ⎜0 0 0 0 ⎟⎠ ⎝ διάσταση είναι m − r = 4 − 2 = 2 . ∆ιάγραµµα ροής – Μεθοδολογία λύσης ενός γραµµικού συστήµατος Aµ×ν ⋅ xν×1 = bµ×1 µ = ν µ ≠ ν rank ( A) ≠ rank ( A b) detA ≠ 0 d e tA = 0 το σύστηµα είναι αδύνατο x = A −1b rank ( A ) = rank ( A b ) το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις µε πλήθος παραµέτρων ν − ran k ( A ) 47 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα ΑΝΤΙΣΤΡΕΨΙΜΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεώρηµα 8 Ένας n × n πίνακας είναι αντιστρέψιµος αν και µόνο αν είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον µοναδιαίο n × n πίνακα. Αλγόριθµος Υπολογισµού Αντίστροφου Πίνακα Θεωρούµε τον πίνακα ( A, I ) και εφαρµόζουµε σε αυτόν στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών που µετατρέπουν τον Α σε ανηγµένο κλιµακωτό πίνακα Κ. Τότε ο ( A, I ) έχει µετατραπεί σε έναν πίνακα της µορφής ( K , B). • Αν K = I , τότε ο Α είναι αντιστρέψιµος και A−1 = B. • Αν K ≠ I , τότε ο Α δεν είναι αντιστρέψιµος. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 1. Να βρεθεί ένας ανηγµένος κλιµακωτός πίνακας που είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον ⎛1 ⎜ ⎜ 3 ⎜ 2 ⎜⎜ ⎝ −2 0 1 0 1 1⎞ ⎟ 2⎟ . 1⎟ ⎟ 0 ⎟⎠ x1 + x3 = 0 2. Εξετάστε αν το παρακάτω σύστηµα έχει µη µηδενικές λύσεις 3x1 + x2 + 2 x3 = 0 2 x1 + x3 = 0 −2 x1 + x2 = 0 Λύση 1. Εφαρµόζοντας τον Αλγόριθµο µετασχηµατισµού ενός πίνακα σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή έχουµε 48 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα ⎛1 ⎜ ⎜ 3 ⎜ 2 ⎜⎜ ⎝ −2 ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜⎜ 0 ⎝ 0 1 0 1 1⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ r2 →r2 −3r1 ⎜ 0 ⎯⎯⎯⎯ → ⎜ 2 1⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 0⎠ ⎝ −2 ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜⎜ ⎝0 0 1⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 1 −1⎟ r4 →r4 − r2 ⎜ 0 ⎯⎯⎯⎯ → ⎜0 0 −1⎟ ⎟ ⎟ ⎜⎜ 0 1 2⎠ ⎝ 0 1⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 1 −1⎟ r2 →r2 + r4 ⎜ 0 ⎯⎯⎯⎯ → ⎜0 0 0⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 0 1⎠ ⎝0 ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜⎜ 0 ⎝ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1⎞ ⎛1 0 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 1 −1⎟ r3 →r3 − 2 r1 ⎜ 0 1 −1⎟ r4 →r4 + 2 r1 ⎯⎯⎯⎯ → ⎯⎯ ⎯⎯ → ⎜ 0 0 −1⎟ 0 1⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 1 0 ⎟⎠ ⎝ −2 1 0 ⎠ 1⎞ ⎛1 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ r →1 r ⎜ −1⎟ 4 3 4 ⎜ 0 1 −1⎟ r3 →r3 + r4 ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯ → ⎜ 0 0 −1⎟ −1 ⎟ ⎟ ⎜⎜ 0 0 1 ⎟⎟ 3 ⎟⎠ ⎝ ⎠ 1⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ r1 →r1 − r4 ⎜ 0 1 0 ⎟ r3 →r4 ⎯⎯⎯⎯ → ⎯⎯⎯ → ⎜ 0 0 0⎟ 0⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 1 ⎟⎠ ⎝0 0 1⎠ 0⎞ ⎟ 0⎟ . 1⎟ ⎟ 0 ⎟⎠ Ο τελευταίος πίνακας είναι ανηγµένος κλιµακωτός πίνακας και είναι βέβαια γραµµοϊσοδύναµος µε τον αρχικό. ⎛1 ⎜ 3 2. Θεωρούµε τον επαυξηµένο πίνακα του συστήµατος που είναι ο ⎜ ⎜ 2 ⎜⎜ −2 ⎝ 0 1 0 1 1 2 1 0 0⎞ ⎟ 0⎟ . 0⎟ ⎟ 0 ⎟⎠ Χρησιµοποιώντας τους ίδιους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς που εφαρµόσαµε πριν (γιατί ο πίνακας των συντελεστών του συστήµατος είναι αυτός στο υποερώτηµα 1) ⎛1 ⎜ 0 φθάνουµε στον πίνακα ⎜ ⎜0 ⎜⎜ ⎝0 0 1 0 0 0 0 1 0 0⎞ x1 = 0 ⎟ 0⎟ . Τα αντίστοιχο σύστηµα είναι το x2 = 0 και άρα η 0⎟ x3 = 0 ⎟ 0 ⎟⎠ µηδενική λύση είναι η µοναδική λύση του αρχικού συστήµατος. Άσκηση 2 2 x1 − ax2 + x3 = 1 Να λυθεί το σύστηµα x1 − x2 + x3 = a για τις διάφορες τιµές του a ∈ R 3x1 − x2 − x3 = 2 49 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα Λύση Χρησιµοποιούµε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς στον επαυξηµένο πίνακα. ⎛ 2 −a 1 1 ⎞ ⎛ 1 −1 1 ⎜ ⎟ r1 →r2 ⎜ → ⎜ 2 −a 1 ⎜ 1 −1 1 a ⎟ ⎯⎯⎯ ⎜ 3 −1 −1 2 ⎟ ⎜ 3 −1 −1 ⎝ ⎠ ⎝ 1 a ⎞ −1 ⎛1 ⎛1 ⎜ ⎟ r3 →r3 −3r1 ⎜ →⎜ 0 ⎜ 0 −a + 2 −1 1 − 2a ⎟ ⎯⎯⎯⎯ ⎜3 ⎟ ⎜0 2 ⎠ −1 −1 ⎝ ⎝ a⎞ ⎟ r2 → r2 − 2 r1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯ → ⎟ 2⎠ 1 a ⎞ −1 ⎟ r2 → r3 − a + 2 −1 1 − 2a ⎟ ⎯⎯⎯ → ⎟ 2 −4 2 − 3a ⎠ −1 1 a ⎞ ⎛1 1 a ⎞ −1 ⎛1 ⎜ ⎟ 1 2 − 3a ⎟ r3 →r3 + ( a − 2) r2 ⎜ ⎟ r2 → 2 r2 ⎜ 2 1 −2 ⎯⎯⎯⎯⎯→ −4 2 − 3a ⎟ ⎯⎯⎯→ 0 ⎜0 ⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 −a + 2 −1 1 − 2a ⎟ ⎜ 0 − a + 2 −1 1 − 2 a ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 1 −1 ⎟ a 1 ⎜ ⎟ 2 − 3a ⎜0 1 ⎟. −2 ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 3 ⎜⎜ 0 0 −2a + 3 − a 2 + 2a − 1⎟⎟ ⎝ ⎠ 2 1η περίπτωση. Έστω −2a + 3 ≠ 0. Λύνουµε µε διαδοχικές αντικαταστάσεις το σύστηµα που αντιστοιχεί στον τελευταίο πίνακα. Από την Αντικαθιστώντας x2 − 2 x3 = τελευταία στη γραµµή έχουµε δεύτερη 3 − a 2 + 2a − 1 3a 2 − 4a + 2 . x3 = 2 = 4a − 6 −2a + 3 γραµµή έχουµε 2 − 3a 3a 2 − 4a + 2 2 − 3a 5a − 2 . Αντικαθιστώντας στην ⇒ x2 − 2 = ⇒ x2 = 2 4a − 6 2 4a − 6 πρώτη εξίσωση x1 − x2 + x3 = a βρίσκουµε µετά από µερικές πράξεις x1 = a 2 + 3a − 4 . 4a − 6 ⎛ a 2 + 3a − 4 5a − 2 3a 2 − 4a + 2 ⎞ Συνεπώς υπάρχει µοναδική λύση ( x1 , x2 , x3 ) = ⎜ , , ⎟. 4a − 6 4a − 6 ⎠ ⎝ 4a − 6 2η περίπτωση. Έστω −2a + 3 = 0. 50 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα 3 3 Τότε − a 2 + 2a − 1 ≠ 0 (µάλιστα για κάθε πραγµατικό a έχουµε − a 2 + 2a − 1 ≠ 0 αφού 2 2 η διακρίνουσα είναι αρνητική). Από την τρίτη γραµµή συµπεραίνουµε ότι το σύστηµα είναι αδύνατο. Άσκηση 3 x1 + x2 + ax3 = 1 Να εξεταστεί για ποιες τιµές των a, b ∈ R το σύστηµα −2 x1 − x2 + x3 = b έχει µοναδική x1 − x2 + 2 x3 = a λύση, άπειρες λύσεις, καµιά λύση. Λύση Μετά από τους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών r2 → r2 + 2r1 , r3 → r3 − r1 , r3 → r3 + 2r2 , ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος παίρνει τη 1 a ⎛1 1 ⎞ ⎜ ⎟ µορφή ⎜ 0 1 2a + 1 b + 2 ⎟. ⎜ 0 0 3a + 4 a + 2b + 3 ⎟ ⎝ ⎠ 1η περίπτωση. Έστω 3a + 4 ≠ 0. Τότε βλέπουµε ότι υπάρχει µοναδική λύση. 2η περίπτωση. Έστω 3a + 4 = 0. Υποπερίπτωση α. Αν a + 2b + 3 ≠ 0 , τότε το σύστηµα είναι αδύνατο. Υποπερίπτωση β. Αν a + 2b + 3 = 0 , τότε υπάρχουν άπειρες λύσεις. Συνοψίζοντας, το σύστηµα 4 ¾ έχει µοναδική λύση αν a ≠ − , 3 4 5 ¾ έχει άπειρες λύσεις αν a = − , b = − 3 6 4 5 ¾ είναι αδύνατο αν a = − , b ≠ − . 3 6 Άσκηση 4 Να λυθούν τα συστήµατα µε τη µέθοδο Gauss: 51 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα 3 x − 3x2 − 6 x3 − 2 x4 = 1 i) 1 x1 − x2 − 2 x3 + 5 x4 = 6 x1 + x2 − 2 x3 + 3x4 = 4 ii) 2 x1 + 3x2 + 3x3 − x4 = 3 5 x1 + 7 x2 + 4 x3 + x4 = 5 x1 + x2 − 2 x3 + x4 + 3x5 = 1 iv) 2 x1 − x2 + 2 x3 + 2 x4 + 6 x5 = 2 v) 4 x1 − 3 x2 − 2 x3 = 0 − 2 x1 + 3x2 + 4 x3 = 0 3x1 − x2 − x3 = 0 3x1 + 2 x2 − 4 x3 − 3x4 − 9 x5 = 3 3 x1 − x2 + x3 = 0 x1 − 4 x2 = 1 2 x1 − x2 = 4 iii) 3x1 + 2 x2 = 2 x1 + x2 + 2 x3 = 1 3x1 − x2 − x3 = 2 vi) x1 + 2 x2 + 6 x3 = −1 5 x1 + 2 x2 + 3x3 = −6 Λύση Τα συστήµατα είναι της µορφής Α x = b . Οι επαυξηµένοι πίνακες σηµειώνονται ( A b ) . i) Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ⎛ 3 −3 −6 −2 ⎝ 1 −1 −2 5 1⎞ ⎟. 6⎠ ( A b) ≡ ⎜ Κάνοντας τους µετασχηµατισµούς r1 → r2 και r2 → (−3)r1 + r2 προκύπτει ⎛ 1 −1 −2 5 ⎜ ⎝ 3 −3 −6 −2 6 ⎞ ⎛ 1 −1 −2 5 ⎟∼⎜ 1 ⎠ ⎝ 0 0 0 −17 6 ⎞ ⎟ −17 ⎠ άρα το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις, επειδή ισχύει r ( A b ) = r ( A) = 2 . Το πλήθος των παραµέτρων είναι n − r ( A) = 4 − 2 = 2 , η µορφή της λύσης υπολογίζεται από το σύστηµα x1 − x2 − 2 x3 + 5 x4 = 6 ⎫ ⎬⇔ − 17 x4 = −17 ⎭ x1 − x2 − 2 x3 = 1⎫ x1 = 1 + x2 + 2 x3 . ⎬ ⇔ x4 = 1 x4 = 1 ⎭ ⎛ x1 ⎞ ⎛1 + x2 + 2 x3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x2 ⎟ ⎜ x2 ⎜ ⎟, x , x ∈R . Συνεπώς οι άπειρες λύσεις είναι = 2 3 ⎜ x3 ⎟ ⎜ ⎟ x3 ⎟⎟ ⎜⎜ x ⎟⎟ ⎜⎜ 1 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ ⎛ 1 1 −2 3 ii) Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ( A b ) ≡ ⎜⎜ 2 3 3 −1 ⎜5 7 4 1 ⎝ 4⎞ ⎟ 3⎟ . 5 ⎟⎠ Εφαρµόζοντας τους µετασχηµατισµούς γραµµών r2 → (−2)r1 + r2 , r3 → (−5)r1 + r3 και r3 → (−2)r2 + r3 , έχουµε ⎛ 1 1 −2 3 ⎜ ⎜ 2 3 3 −1 ⎜ ⎝5 7 4 1 4 ⎞ ⎛ 1 1 −2 3 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ∼ ⎜ 0 1 7 −7 5 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 2 14 −14 4 ⎞ ⎛ 1 1 −2 3 ⎟ ⎜ −5 ⎟ ∼ ⎜ 0 1 7 −7 −15 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 0 0 0 4⎞ ⎟ −5 ⎟ . −5 ⎠⎟ 52 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα Από τον τελευταίο πίνακα προκύπτει ότι r ( A b ) = 3 ≠ r(A) = 2 , εποµένως το σύστηµα είναι αδύνατο. ⎛ 1 −4 iii) Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ( A b ) ≡ ⎜⎜ 2 −1 ⎜3 2 ⎝ ζοντας τους µετασχηµατισµούς r2 → (−2)r1 + r2 , 1⎞ ⎟ 4 ⎟ . Εφαρµό2 ⎟⎠ 1 1 r3 → (−3)r1 + r3 , r2 → r2 , r3 → r3 7 14 και r3 → (−1)r2 + r3 παίρνουµε διαδοχικά : ⎛ 1 −4 ⎜ ⎜ 2 −1 ⎜3 2 ⎝ 1 ⎞ ⎛ 1 −4 ⎟ ⎜ 4⎟ ∼ ⎜0 7 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 14 ⎛ 1 ⎞ ⎜ 1 −4 ⎟ 2 ⎟ ∼ ⎜0 1 ⎜ −1⎟⎠ ⎜⎜ 0 1 ⎝ 1 ⎞⎟ ⎛⎜ 1 −4 2 ⎟ ∼ ⎜0 1 7 ⎟ ⎜ −1 ⎟⎟ ⎜⎜ 0 0 14 ⎠ ⎝ 1 ⎞⎟ 2 ⎟ 7 ⎟ −5 ⎟⎟ 14 ⎠ Επειδή ισχύει r ( A b ) = 3 ≠ r ( A) = 2 , το σύστηµα είναι αδύνατο. ⎛ 1 1 −2 1 3 iv) Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ( A b ) ≡ ⎜⎜ 2 −1 2 2 6 ⎜ 3 2 −4 −3 −9 ⎝ 1⎞ ⎟ 2⎟ . 3 ⎟⎠ Εφαρµόζουµε τους µετασχηµατισµούς γραµµών r2 → (−2)r1 + r2 και r3 → (−3)r1 + r3 , εναλλάσσουµε τις γραµµές r2 → r3 , οπότε έχουµε 3 ⎛ 1 1 −2 1 ⎜ ( A b ) ∼ ⎜ 0 −3 6 0 0 ⎜ 0 −1 2 −6 −18 ⎝ 1 ⎞ ⎛ 1 1 −2 1 3 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ∼ ⎜ 0 −1 2 −6 −18 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 −3 6 0 0 Εφαρµόζοντας διαδοχικά τους µετασχηµατισµούς r3 → r2 → (−1)r2 , 1⎞ ⎟ 0⎟ ≡ K . 0 ⎟⎠ r3 → 3r2 + r3 και 1 r3 , βρίσκουµε: 18 ⎛ 1 1 −2 1 3 ⎜ K ∼ ⎜ 0 1 −2 6 18 ⎜ 0 −3 6 0 0 ⎝ 1 ⎞ ⎛ 1 1 −2 1 3 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ∼ ⎜ 0 1 −2 6 18 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 18 54 1 ⎞ ⎛ 1 1 −2 1 3 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ∼ ⎜ 0 1 −2 6 18 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 1 3 1⎞ ⎟ 0⎟ 0 ⎟⎠ Επειδή r ( A b ) = r ( A) = 3 , το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις µε πλήθος παραµέτρων n − r ( A) = 5 − 3 = 2 , οι οποίες θα υπολογισθούν από τη λύση του συστήµατος 53 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα x1 + x2 − 2 x3 + x4 + 3 x5 =1 ⎫ ⎪ x2 − 2 x3 + 6 x4 + 18 x5 = 0 ⎬ ⇔ x4 + 3 x5 = 0 ⎪⎭ x1 = 1 x2 = 2 x3 x4 = −3 x5 ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ 2 x3 ⎟ ⇔ ⎜ x3 ⎟ = ⎜ x3 ⎟ , x3 , x5 ∈ R . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x4 ⎟ ⎜ −3 x5 ⎟ ⎜x ⎟ ⎜ x ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎛ 4 −3 −2 ⎜ −2 3 4 v) Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ( A 0 ) ≡ ⎜ ⎜ 3 −1 −1 ⎜⎜ ⎝ 3 −1 1 Εναλλάσσουµε τις γραµµές ⎛ 1 −1 3 ⎜ ⎜ 4 3 −2 ⎜ −1 −1 3 ⎜⎜ ⎝ −2 − 3 4 0⎞ ⎟ 0⎟ . 0⎟ ⎟ 0 ⎟⎠ r1 → r4 και τις στήλες c1 → c3 , έτσι έχουµε τον πίνακα 0⎞ ⎟ 0⎟ . Εφαρµόζουµε τους µετασχηµατισµούς γραµµών r2 → (−4)r1 + r2 , 0⎟ ⎟ 0 ⎟⎠ 1 1 1 r3 → r1 + r3 , r4 → 2r1 + r4 , κατόπιν r2 → r2 , r3 → (− )r3 και τέλος r4 → (− )r4 , οπότε 7 2 5 διαδοχικά έχουµε ⎛ 1 −1 3 ⎜ ⎜ 4 3 −2 ⎜ −1 −1 3 ⎜⎜ ⎝ −2 −3 4 Καταλήγουµε στην 0 ⎞ ⎛ 1 −1 3 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 7 −14 ∼ 0 ⎟ ⎜ 0 −2 6 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 −5 10 κλιµακωτή µορφή του 0 ⎞ ⎛ 1 −1 3 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 1 −2 ∼ 0 ⎟ ⎜ 0 1 −3 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 −2 πίνακα, αν 0⎞ ⎟ 0⎟ . 0⎟ ⎟ 0 ⎟⎠ κάνουµε και τους µετασχηµατισµούς r3 → (−1)r2 + r3 , r4 → (−1)r2 + r4 και r3 → (−1)r3 , δηλαδή, ⎛ 1 −1 3 ⎜ ⎜ 0 1 −2 ⎜ 0 1 −3 ⎜⎜ ⎝ 0 1 −2 0 ⎞ ⎛ 1 −1 3 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 1 −2 ∼ 0 ⎟ ⎜ 0 0 −1 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 0 ⎞ ⎛ 1 −1 3 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 1 −2 ∼ 0⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0 ⎟⎠ Επειδή r ( A 0 ) = r ( A) = 3 , το σύστηµα έχει λύση και µάλιστα µε πλήθος παραµέτρων n − r ( A) = 3 − 3 = 0 , οπότε η λύση είναι µοναδική και υπολογίζεται από το σύστηµα 54 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα x3 − x2 + 3 x1 = 0 ⎫ x3 = 0 ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x2 − 2 x1 = 0 ⎬ ⇔ x2 = 0 ⇔ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x1 = 0 ⎭⎪ x1 = 0 ⎝ x3 ⎠ ⎝ 0 ⎠ vi) Εφαρµόζουµε τη µέθοδο των διαδοχικών απαλοιφών στον επαυξηµένο πίνακα του συστήµατος και έχουµε τους µετασχηµατισµούς r2 → (−3)r1 + r2 , r3 → (−1)r1 + r3 , 1 r4 → (−5)r1 + r4 , r2 → r3 , κατόπιν r3 → 4r2 + r3 και r4 → 3r2 + r4 , τέλος r3 → r3 και 9 r4 → (−5)r3 + r4 : ⎛1 1 2 ⎜ 3 −1 −1 ( A b ) ≡ ⎜⎜ 1 2 6 ⎜⎜ ⎝5 2 3 1 ⎞ ⎛1 1 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 −4 − 7 ∼ −1 ⎟ ⎜ 0 1 4 ⎟ ⎜ −6 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 −3 −7 1 ⎞ ⎛1 1 2 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ 0 1 4 ∼ −2 ⎟ ⎜ 0 − 4 − 7 ⎟ ⎜ −11⎟⎠ ⎜⎝ 0 −3 −7 1 ⎞ ⎟ −2 ⎟ ∼ −1 ⎟ ⎟ −11⎟⎠ . ⎛1 ⎜ 0 ∼⎜ ⎜0 ⎜⎜ ⎝0 1 1 0 0 2 4 9 5 1 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ 0 ∼ −9 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ −17 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 1 0 0 2 4 1 5 1 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ 0 ∼ −1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ −17 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 1 0 0 2 4 1 0 1 ⎞ ⎟ −2 ⎟ −1 ⎟ ⎟ −12 ⎟⎠ Από τον τελευταίο πίνακα έχουµε r ( A b ) = 4 ≠ r ( A) = 3 , συνεπώς το σύστηµα είναι αδύνατο. Άσκηση 5 Για ποιες τιµές του a ∈ R το σύστηµα x1 + x2 + ax3 = a 2 x1 + ax2 + x3 = a ax1 + x2 + x3 = 1 i) έχει ακριβώς µια λύση και να βρεθεί η λύση αυτή, ii) είναι αδύνατο, iii) έχει άπειρες λύσεις και να δοθεί η παραµετρική οικογένεια των λύσεων αυτών. Λύση Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ⎛1 1 a ⎜ ( A b) ≡ ⎜ 1 a 1 ⎜a 1 1 ⎝ a2 ⎞ ⎟ a ⎟. 1 ⎟⎠ Εφαρµόζοντας τους µετασχηµατισµούς r2 → − r1 + r2 , r3 → ( −a )r1 + r3 και r3 → r2 + r3 , 55 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα έχουµε ⎛1 1 a ⎜ ( A b) ∼ ⎜ 0 a −1 1− a ⎜ 0 1 − a 1 − a2 ⎝ a2 ⎞ ⎛ 1 1 a ⎜ 2⎟ a − a ⎟ ∼ ⎜ 0 a −1 1− a 3 ⎟ 2 ⎜ 1− a ⎠ ⎝ 0 0 −a − a + 2 ⎞ ⎟ a−a ⎟≡B 2 (a + 1) (1 − a ) ⎟⎠ a2 2 i) Από τον πίνακα B προκύπτει ότι για να έχει ακριβώς µία λύση το σύστηµα πρέπει r ( A b ) = r ( A) = 3 , το οποίο συµβαίνει όταν a ≠ −2 και a ≠ 1 . Γι΄ αυτές τις τιµές του a , η λύση δίνεται από το σύστηµα x1 + x2 + ax3 = a 2 (a − 1) x2 + (1 − a) x3 = a − a 2 (− a 2 − a + 2) x3 = (a + 1) 2 (1 − a ) −(a + 1) a+2 ⎫ 1 ⎪ ⎬ ⇒ x2 = a+2 ⎪ ⎭ (a + 1) 2 (1 − a) (a + 1) 2 = x3 = −(a − 1)(a + 2) a+2 ⎛ 1 1 −2 ii) Για a = −2 , ο πίνακας Β γίνεται ⎜⎜ 0 −3 3 ⎜0 0 0 ⎝ x1 = 4⎞ ⎟ −6 ⎟ ≡ B1 , εποµένως 3 ⎟⎠ r ( A b ) = r ( B1 ) = 3 ≠ r ( A) = 2 , οπότε το σύστηµα είναι αδύνατο. ⎛1 1 1 iii) Για a = 1 , ο πίνακας Β γίνεται ⎜⎜ 0 0 0 ⎜0 0 0 ⎝ 1⎞ ⎟ 0 ⎟ ≡ B2 , συνεπώς 0 ⎟⎠ r ( A b ) = r ( B2 ) = r ( A) = 1 . Στην περίπτωση αυτή, το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις µε πλήθος παραµέτρων n − r ( A) = 3 − 1 = 2 , οι οποίες υπολογίζονται από τη λύση του ισοδυνάµου συστήµατος που σχηµατίζεται από τον πίνακα B2 . Έτσι, x1 ⎛ x1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x1 + x2 + x3 = 1 ⇔ x3 = 1 − x1 − x2 ⇔ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ x2 ⎟ , x1 , x2 ∈ R . ⎜ x ⎟ ⎜1 − x − x ⎟ 1 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ Άσκηση 6 Για τις διάφορες τιµές των a, b ∈ R να λυθεί το σύστηµα x1 + x2 + x3 = 1 x1 + ax2 + ax3 = b . x1 + a 2 x2 + 2ax3 = ab Λύση 56 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι Εφαρµόζοντας τους µετασχηµατισµούς ⎛1 1 ( A b ) ≡ ⎜⎜1 a ⎜1 a 2 ⎝ r2 → (−1)r1 + r2 , 1⎞ ⎟ b ⎟. ab ⎟⎠ 1 a 2a r3 → (−1)r1 + r3 και r3 → (− a − 1)r2 + r3 , έχουµε 1 1 ⎛1 ⎜ ( A b) ∼ ⎜ 0 a −1 a −1 ⎜ 0 a 2 − 1 2a − 1 ⎝ 1 ⎞ ⎛1 1 1 ⎟ ⎜ b −1 ⎟ ∼ ⎜ 0 a −1 a −1 0 ab − 1⎟⎠ ⎜⎝ 0 a (2 − a ) 1 ⎞ ⎟ b −1 ⎟ ≡ B a − b ⎟⎠ Æ Από τον πίνακα B προκύπτει ότι για να έχει ακριβώς µία λύση το σύστηµα πρέπει r ( A b ) = r ( B) = r ( A) = 3 , το οποίο συµβαίνει όταν a ≠ 0 , a ≠ 1 και a ≠ 2 . Τότε, η λύση του αρχικού συστήµατος προκύπτει από τη λύση του συστήµατος που σχηµατίζεται από τον ισοδύναµο πίνακα Β, δηλαδή, x1 = x1 + x2 + x3 = 1 (a − 1) x2 + (a − 1) x3 = b − 1 a(2 − a ) x3 = a − b ⎫ ⎪ ⎬ ⇒ ⎪ ⎭ (a − b)(2a − a 2 ) a − b = a(a − 1)(2 − a ) a −1 3ab − a 2b − a − b a(a − 1)(2 − a ) a −b x3 = a (2 − a ) x2 = ⎛1 1 1 ⎜ ÆΣτην περίπτωση που a = 0 , ο πίνακας Β γίνεται ⎜ 0 −1 −1 ⎜0 0 0 ⎝ . 1 ⎞ ⎟ b − 1⎟ ≡ B1 . −b ⎟⎠ Από τον B1 συµπεραίνουµε ότι: αν b ≠ 0 , επειδή r ( A b ) = r ( B1 ) = 3 ≠ r ( A) = 2 , το σύστηµα είναι αδύνατο, αν b = 0 , τότε r ( A b )= r ( B1 ) = r ( A) = 2 , οπότε το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις, που είναι της µορφής ⎛1 1 1 ⎜ ⎜ 0 −1 −1 ⎜0 0 0 ⎝ 1⎞ ⎟ x + x + x = 1⎫ −1⎟ ⇒ 1 2 3 ⎬ ⇒ x2 + x3 = 1⎭ 0 ⎟⎠ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ x1 = 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇒ x = 1 − x3 ⎟ , x3 ∈ R. x2 = 1 − x3 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ x3 ⎠ ⎝ x3 ⎠ 57 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα ⎛1 1 1 ⎜ ÆΣτην περίπτωση που a = 1 , ο Β πίνακας είναι ⎜ 0 0 0 ⎜0 0 1 ⎝ 1 ⎞ ⎟ b − 1⎟ ≡ B2 . 1 − b ⎟⎠ Από τον B2 είναι φανερό ότι : αν b ≠ 1 , επειδή r ( A b ) = r ( B2 ) = 3 ≠ r ( A) = 2 , το σύστηµα είναι αδύνατο, αν b = 1 , τότε r ( A b )= r ( B2 ) = r ( A) = 2 , οπότε το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις, οι οποίες είναι της µορφής : ⎛1 1 1 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜0 0 1 ⎝ 1⎞ x + x + x = 1⎫ ⎟ 0⎟ ⇒ 1 2 3 ⎬⇒ x3 = 0 ⎭ ⎟ 0⎠ ⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ x2 = 1 − x1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 1 − x1 ⎟ , x1 ∈ R x3 = 0 ⎜x ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 1 1 ÆΣτην περίπτωση που a = 2 , ο Β πίνακας γράφεται ⎜⎜ 0 1 1 ⎜0 0 0 ⎝ 1 ⎞ ⎟ b − 1 ⎟ ≡ B3 2 − b ⎟⎠ Από τον B3 είναι φανερό ότι : αν b ≠ 2 , επειδή r ( A b ) = r ( B3 ) = 3 ≠ r ( A) = 2 , το σύστηµα είναι αδύνατο, όταν b = 2 , τότε r ( A b )= r ( B3 ) = r ( A) = 2 , συνεπώς το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις, οι οποίες είναι της µορφής : ⎛1 1 1 ⎜ ⎜0 1 1 ⎜0 0 0 ⎝ 1⎞ ⎟ 1⎟ ⇒ 0 ⎟⎠ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ x1 + x2 + x3 = 1⎫ x1 = 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ x2 ⎟ , x2 ∈ R . ⎬⇒ x2 +x3 = 1⎭ x3 = 1 − x2 ⎜ x ⎟ ⎜1 − x ⎟ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ Άσκηση 7 Να λυθεί το σύστηµα x1 + x2 + x3 = 1 α x1 + β x2 + γ x3 = λ . 2 α x1 + β 2 x2 + γ 2 x3 = λ 2 Λύση ⎛ 1 Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ( A b ) ≡ ⎜⎜ α ⎜α 2 ⎝ 1 1 β γ β2 γ 2 1⎞ λ ⎟⎟ . λ 2 ⎟⎠ 58 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα Οι στοιχειώδεις r2 → (−α )r1 + r2 , µετασχηµατισµοί r3 → (−α 2 )r1 + r3 και r3 → (−α − β )r2 + r3 δίνουν 1 1 ⎛1 ⎜ ( A b) ∼ ⎜ 0 β −α γ −α ⎜ 0 β 2 −α 2 γ 2 −α 2 ⎝ 1 ⎛1 ⎜ ∼ ⎜ 0 β −α ⎜0 0 ⎝ Æ Από τον Β προκύπτει 1 ⎞ λ − α ⎟⎟ ∼ λ 2 − α 2 ⎟⎠ 1 γ −α (γ − α )(γ − β ) ότι το 1 ⎞ ⎟ λ −α ⎟≡B (λ − α )(λ − β ) ⎟⎠ σύστηµα έχει ακριβώς µία λύση αν r ( A b ) = r ( B) = r ( A) = 3 , το οποίο συµβαίνει όταν α ≠ β ≠ γ . Τότε το σύστηµα είναι: (λ − γ )(λ − β ) (α − β )(α − γ ) (λ − α )(λ − γ ) x2 = (α − β )(γ − β ) (λ − α )(λ − β ) x3 = (γ − α )(γ − β ) x1 = x1 + x2 + x3 = 1 ( β − α ) x2 + (γ − α ) x3 = λ − α (γ − α )(γ − β ) x3 = (λ − α )(λ − β ) ⎫ ⎪ ⎬ ⇒ ⎪ ⎭ Æ Όταν α = β ≠ γ , ο πίνακας Β γίνεται 1 ⎛1 1 ⎜ ⎜ 0 0 γ −α ⎜ 0 0 (γ − α )2 ⎝ 1 ⎞ ⎛1 1 ⎟ ⎜ λ − α ⎟ r3 →( −γ +α ) r2 + r3 ⎜ 0 0 γ − α ⎜0 0 (λ − α ) 2 ⎟⎠ 0 ⎝ 1 ⎞ ⎟ λ −α ⎟ ≡ Β1 . (λ − α )(λ − γ ) ⎟⎠ 1 Από τον πίνακα Β1 είναι φανερό ότι : αν λ ≠ α και λ ≠ γ , τότε r ( A b ) = r ( B1 ) = 3 ≠ r ( A) = 2 , συνεπώς το σύστηµα είναι αδύνατο, αν λ = α , τότε r ( A b )= r ( B1 ) = r ( A) = 2 , οπότε το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις που είναι της µορφής : 1 ⎛1 1 ⎜ ⎜ 0 0 γ −α ⎜0 0 0 ⎝ 1⎞ x + x + x = 1 ⎫ (γ ≠α ) ⎟ 0⎟ ⇒ 1 2 3 ⎬ ⇒ (γ − α)x3 = 0 ⎭ ⎟ 0⎠ x2 = 1 − x1 x3 = 0 ⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 1 − x1 ⎟ , x1 ∈ R ⎜x ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ 59 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα αν λ = γ , τότε r ( A b )= r ( B1 ) = r ( A) = 2 , οπότε το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις, που είναι της µορφής : 1 ⎛1 1 ⎜ ⎜ 0 0 γ −α ⎜0 0 0 ⎝ 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎫ (γ ≠α ) x2 = − x1 ⎟ x1 + x2 + x3 = 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ − x1 ⎟ , x1 ∈ R γ −α ⎟ ⇒ ⎬ ⇒ (γ − α)x = − x = γ α 1 3 3 ⎭ ⎜x ⎟ ⎜ 1 ⎟ 0 ⎟⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎛1 ⎜ Æ Όταν α = γ ≠ β , ο πίνακας Β γίνεται ⎜ 0 β − α ⎜0 0 ⎝ 1 0 0 ⎞ ⎟ λ −α ⎟ ≡ Β2 . (λ − α )(λ − β ) ⎟⎠ 1 Από τον πίνακα Β 2 είναι φανερό ότι : αν λ ≠ α και λ ≠ β , τότε r ( A b ) = r ( B2 ) = 3 ≠ r ( A) = 2 , συνεπώς το σύστηµα είναι αδύνατο, αν λ = α , τότε r ( A b )= r ( B2 ) = r ( A) = 2 , οπότε το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις που είναι της µορφής : 1 ⎛1 ⎜ ⎜ 0 β −α ⎜0 0 ⎝ 1 0 0 1⎞ x + x + x = 1 ⎫ ( β ≠α ) ⎟ 0⎟ ⇒ 1 2 3 ⎬ ⇒ (β − α)x2 = 0 ⎭ ⎟ 0⎠ x3 = 1 − x1 x2 = 0 ⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ , x1 ∈ R ⎜ x ⎟ ⎜1 − x ⎟ 1⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ αν λ = β , τότε r ( A b )= r ( B2 ) = r ( A) = 2 , το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις που είναι της µορφής : 1 ⎛1 ⎜ ⎜ 0 β −α ⎜0 0 ⎝ 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ x1 + x2 + x3 = 1 ⎫ ( β ≠α ) x3 = − x1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 1 ⎟ , x1 ∈ R β −α ⎟ ⇒ 0 ⎬ ⇒ − = − = β α 1 (β α)x x 2 2 ⎭ ⎜ x ⎟ ⎜ −x ⎟ 0 0 ⎟⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 1⎠ 1 1 1 ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ Æ Όταν β = γ ≠ α , ο πίνακας Β γίνεται ⎜ 0 β − α β − α λ −α ⎟ ≡ Β3 . ⎜0 0 0 (λ − α )(λ − β ) ⎟⎠ ⎝ 1 Από τον πίνακα Β 3 είναι φανερό ότι : αν λ ≠ α και λ ≠ β , τότε r ( A b ) = r ( B3 ) = 3 ≠ r ( A) = 2 , συνεπώς το σύστηµα είναι αδύνατο, 60 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα αν λ = α , τότε r ( A b )= r ( B3 ) = r ( A) = 2 , οπότε το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις που είναι της µορφής : 1 ⎛1 ⎜ ⎜ 0 β −α ⎜0 0 ⎝ 1 β −α 0 1⎞ ⎟ 0⎟ ⇒ 0 ⎟⎠ x1 + x2 + x3 = 1 ⎫ ( β ≠α ) ⎬ ⇒ (β − α)(x2 + x3 ) = 0 ⎭ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ x2 ⎟ , x2 ∈ R x3 = − x2 ⎜ x ⎟ ⎜ −x ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠ x1 = 1 αν λ = β , τότε r ( A b )= r ( B3 ) = r ( A) = 2 , το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις και ο 1 ⎛1 ⎜ πίνακας συντελεστών του συστήµατος είναι ⎜ 0 β − α ⎜0 0 ⎝ 1 β −α 0 1 ⎞ β − α ⎟⎟ , από τον 0 ⎟⎠ οποίο έχουµε : x1 + x2 + x3 = 1 ⎫ ( β ≠α ) x1 = 0 ⎬ ⇒ ( β − α )( x2 + x3 ) = β − α ⎭ x3 = 1 − x2 ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ x2 ⎟ , x2 ∈ R ⎜ x ⎟ ⎜1 − x ⎟ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ Æ Όταν α = β = γ , ο πίνακας Β γίνεται ⎛1 1 1 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜0 0 0 ⎝ ⎞ ⎛1 1 1 ⎟ λ − α ⎟ r3 →( − λ +α ) r2 + r3 ⎜⎜ 0 0 0 ⎜0 0 0 (λ − α ) 2 ⎟⎠ ⎝ 1 1 ⎞ λ − α ⎟⎟ ≡ Β 4 . 0 ⎟⎠ Από τον πίνακα Β 4 είναι φανερό ότι : αν λ ≠ α , τότε r ( A b ) = r ( B4 ) = 2 ≠ r ( A) = 1 , συνεπώς το σύστηµα είναι αδύνατο, αν λ = α , τότε r ( A b ) = r ( Β 4 ) = r (Α ) = 1 , οπότε το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις που είναι της µορφής : ⎛1 1 1 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜0 0 0 ⎝ 1⎞ x1 ⎛ x1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ ⇒ x1 + x2 + x3 = 1 ⇒ x3 = 1 − x1 − x2 ⇒ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ x2 ⎟ , x1 , x2 ∈ R ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0⎠ ⎝ x3 ⎠ ⎝ 1 − x1 − x2 ⎠ Άσκηση 8 Εξετάστε ποιοι από τους επόµενους πίνακες είναι αντιστρέψιµοι 61 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα ⎛1 4 ⎞ A=⎜ ⎟, ⎝ 3 12 ⎠ ⎛1 2 3⎞ ⎛1 2⎞ ⎜ ⎟ B=⎜ ⎟, C = ⎜ 2 5 3⎟ ⎝3 a⎠ ⎜ 2 1 0⎟ ⎝ ⎠ όπου a ∈ R . Να υπολογιστούν οι αντίστροφοι όταν αυτοί υπάρχουν. Στη συνέχεια να ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ λυθεί το σύστηµα C ⎜⎜ x2 ⎟⎟ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ . ⎜ x ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ Λύση Θα εφαρµόσουµε τον αλγόριθµο υπολογισµού του αντίστροφου πίνακα. Για τον Α έχουµε: ⎛ 1 4 1 0 ⎞ r2 → r2 −3r1 ⎛ 1 4 1 0 ⎞ →⎜ ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯ ⎟ . Ο Α δεν είναι ⎝ 3 12 0 1 ⎠ ⎝ 0 0 −3 1 ⎠ ⎛1 4⎞ αντιστρέψιµος, γιατί το αριστερό µισό, ⎜ ⎟ , του τελευταίου πίνακα είναι ανηγµένος ⎝0 0⎠ κλιµακωτός πίνακας διάφορος του µοναδιαίου. 2 1 0⎞ ⎛ 1 2 1 0 ⎞ r2 →r2 −3r1 ⎛ 1 →⎜ Για το Β έχουµε: ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯ ⎟ . Αν a = 6, ο Β δεν είναι ⎝3 a 0 1⎠ ⎝ 0 a − 6 −3 1 ⎠ αντιστρέψιµος. Έστω ότι ⎛1 2 2 1 0 ⎞ r2 → a 1−6 r2 ⎜ ⎛1 → ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯ ⎜⎜ 0 1 ⎝ 0 a − 6 −3 1 ⎠ ⎝ a −2 ⎞ ⎛ ⎜1 0 a − 6 a − 6 ⎟ ⎜ ⎟. 1 ⎟ ⎜ 0 1 −3 ⎜ ⎟ a−6 a−6⎠ ⎝ a ≠ 6. 1 −3 a−6 Τότε συνεχίζουµε και έχουµε 0 ⎞ ⎟ r1 →r1 − 2 r2 → 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯ ⎟ a−6⎠ Στην περίπτωση αυτή Β είναι αντιστρέψιµος και ο αντίστροφός του είναι ο ⎛ a ⎜ a−6 ⎜ ⎜ −3 ⎜ ⎝ a−6 −2 ⎞ a−6⎟ ⎟. 1 ⎟ ⎟ a−6⎠ Για τον C έχουµε 62 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα ⎛1 2 3 1 0 0⎞ ⎛1 2 3 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ r2 →r2 − 2 r1 ⎜ ⎟ r3 →r3 − 2 r1 → ⎜ 0 1 −3 −2 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯ → ⎜ 2 5 3 0 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯ ⎜2 4 0 0 0 1⎟ ⎜2 4 0 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜1 2 3 1 0 0 ⎟ ⎛1 2 3 1 0 0⎞ 1 ⎟ r1 →r1 − 2 r2 ⎜ ⎟ r3 → −6 r3 ⎜ → ⎜ 0 1 −3 −2 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯ → ⎜ 0 1 −3 −2 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 0 −6 −2 0 1 ⎟ ⎜ ⎟ 1 −1 ⎝ ⎠ 0 ⎜0 0 1 ⎟ 3 6 ⎠ ⎝ ⎛ ⎜ 1 0 9 5 −2 ⎜ ⎜ 0 1 −3 −2 1 ⎜ 1 0 ⎜0 0 1 3 ⎝ ⎛ ⎜ 1 0 0 2 −2 ⎜ ⎜ 0 1 0 −1 1 ⎜ ⎜ ⎜⎜ 0 0 1 1 0 3 ⎝ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 9 5 −2 0 ⎟ ⎜ ⎟ r2 →r2 +3r3 ⎜ → 0 1 0 −1 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯ ⎜ −1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜⎜ 0 0 1 0 6 ⎠ 3 ⎝ 3 ⎞ 2 ⎟ ⎟ −1 ⎟ . 2 ⎟ ⎟ −1 ⎟ ⎟ 6 ⎠ ⎞ 0 ⎟ ⎟ −1 ⎟ r1 →r1 −9 r3 ⎯⎯ ⎯⎯ → 2 ⎟ −1 ⎟ ⎟⎟ 6 ⎠ 3 ⎞ ⎛ ⎜ 2 −2 2 ⎟ ⎜ ⎟ 1⎟ ⎜ Άρα ο C είναι αντιστρέψιµος και ο αντίστροφός του είναι ο −1 1 − ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ 1 0 − 1 ⎟⎟ 6⎠ ⎝3 63 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ Για να λύσουµε το σύστηµα C ⎜⎜ x2 ⎟⎟ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ µπορούµε φυσικά να εφαρµόσουµε τη ⎜ x ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ µέθοδο απαλοιφής του Gauss. Ένας άλλος τρόπος είναι να χρησιµοποιήσουµε το γεγονός ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ C ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 2 ⎟ ⇔ C −1C ⎜ x2 ⎟ = C −1 ⎜ 2 ⎟ ⇔ ⎜ x ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜x ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ 3 ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ότι ο C είναι αντιστρέψιµος. Έχουµε ⎜ 2 −2 2 ⎟ ⎛ x1 ⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 1 ⎞ ⎜ −5 ⎟ 1 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ −1 ⎜ 2 1 1 2 = 2 . x = C = − − 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝⎜ −2 ⎠⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ x3 ⎠ ⎝ −2 ⎠ ⎜ 1 1 ⎜ ⎟ ⎜⎜ 0 − ⎟⎟ ⎝ 3⎠ 6⎠ ⎝3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Να λυθούν τα παρακάτω συστήµατα x1 − x2 + x3 = 1 x1 − x2 + x3 = 1 x1 − x2 + x3 = 1 3x1 + x2 − x3 = 2 3x1 − x2 − x3 = 2 3x1 − x2 − x3 = 2 5 x1 − x2 + x3 = 4 5 x1 − 3 x2 + x3 = 5 5 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 4 3 −1 + 4 x3 Απάντηση Το πρώτο σύστηµα έχει άπειρες λύσεις (τις ( , , x3 ), x3 ∈ R ), το 4 4 1 1 δεύτερο είναι αδύνατο και το τρίτο έχει µοναδική λύση (τη ( , − , 0) ). 2 2 Άσκηση 2 x1 − x2 + x3 = 1 Εξετάστε για ποια α το σύστηµα 3x1 − x2 − x3 = 2 είναι συµβιβαστό. 5 x1 − 3x2 + x3 = a Απάντηση a=4. Βλ. Λυµένη Άσκηση 2 64 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα Άσκηση 3 x1 − x2 + x3 = 1 Για ποιες τιµές των a,b το σύστηµα 3x1 − x2 − x3 = a έχει άπειρες λύσεις, έχει µοναδική 5 x1 − 3x2 + bx3 = 4 λύση, είναι αδύνατο. Απάντηση Για b = 1, a = 2 το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις, για b = 1, a ≠ 2 το σύστηµα είναι αδύνατο, ενώ για b ≠ 1 (και κάθε a) το σύστηµα έχει µοναδική λύση. Βλ. Λυµένη Άσκηση 3 Άσκηση 4 x1 + 2 x2 + x3 = 2 Για ποιες τιµές των a,b το σύστηµα 2 x1 − x2 + ax3 = 1 3x1 + x2 + bx3 = 1 είναι αδύνατο; 2 x1 − x2 + x3 = 4 Απάντηση Το σύστηµα είναι αδύνατο αν και µόνο αν a = 1 (µε b αυθαίρετο) ή 5a − 3b + 1 = 0 . Άσκηση 5 Να υπολογιστούν, αν υπάρχουν, ο αντίστροφοι των πινάκων ⎛1 1 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 1 2⎟ ⎜ 2 1 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎜ 5 ⎜ 4 −1 Απάντηση A = ⎜ ⎜ 5 ⎜ ⎜ −2 ⎜ ⎝ 5 −3 5 3 5 1 5 ⎛1 a 2 ⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ 1 3 a ⎟ όπου a ∈ R . ⎜1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎞ 5 ⎟ ⎟ 1 ± 13 −2 ⎟ και στην . Ο Β είναι αντιστρέψιµος αν a ≠ 2 5 ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎟ 5 ⎠ ⎛ 3 −a a 2 − 6 ⎞ 1 ⎜ ⎟ περίπτωση αυτή έχουµε B −1 = 2 a − 1 −1 − a + 2 ⎟ . ⎜ a −a −3⎜ a 3 − a ⎟⎠ ⎝ −3 65 Κεφάλαιο 3: Πίνακες και Γραµµικά συστήµατα Άσκηση 6 Να βρεθεί ένα πολυώνυµο f ( x) ∈ R[ x] δευτέρου βαθµού τέτοιο ώστε f (1) = 2, f (2) = 9, f (3) = 20. Υπόδειξη Αν f ( x) = ax 2 + bx + c , τότε οι υποθέσεις οδηγούν σε ένα 3 × 3 σύστηµα µε αγνώστους τους a, b, c. Απάντηση f ( x) = 2 x 2 + x − 1. 66
© Copyright 2024 Paperzz
