Βελτιστοποίηση αρδευτικού δικτύου με τη μέθοδο Tabu Search Γεώργιος Παπαευαγγέλου, 1ο ΕΠΑΛ Σταυρούπολης, [email protected] Χρήστος Ευαγγελίδης, Πολυτεχνική Σχολή Α.Π.Θ., [email protected] Βικτώρια Παλαιολόγου, 1ο ΕΠΑΛ Σταυρούπολης, [email protected] Περίληψη Στην παρούσα μελέτη ερευνάται η δυνατότητα εφαρμογής της μεθόδου tabu search στην βελτιστοποίηση αρδευτικών δικτύων. Αρχικά εξηγούνται τα πλεονεκτήματα της μεθόδου. Στη συνέχεια αναπτύσσεται ένας αλγόριθμος tabu search, με πρόγραμμα σε γλώσσα FORTRAN. Το πρόγραμμα αρχικά υπολογίζει όλους τους δυνατούς συνδυασμούς – λύσεις, και την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, που στην προκειμένη περίπτωση είναι το ετήσιο κόστος λειτουργίας ενός αρδευτικού δικτύου 6 αγωγών, ενώ στη συνέχεια δημιουργεί μια ακολουθία σημείων x, που, έστω και μέσα από πισωγυρίσματα, τείνει στο ολικό ή τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης που μελετάμε. Η βασική ιδέα πάνω στην οποία στηρίζεται η μέθοδος αυτή είναι η αποφυγή ελέγχου για δεύτερη φορά σημείων x αυτής της ακολουθίας. Τα αποτελέσματα της εφαρμογής της μεθόδου στο πρόβλημα της βελτιστοποίησης του αρδευτικού είναι πολύ ενθαρρυντικά. Μετά από πολλαπλή εφαρμογή της μεθόδου στο συγκεκριμένο δίκτυο, αποδεικνύεται ότι στην πλειοψηφία των εφαρμογών, βρίσκεται η βέλτιστη λύση, που στο δίκτυο – παράδειγμα είναι γνωστή εκ των προτέρων. Στις περιπτώσεις που το πρόγραμμα δεν βρίσκει τη μοναδική βέλτιστη λύση, βρίσκει μία πολύ καλή λύση, που ελάχιστα διαφέρει από την βέλτιστη, με την έννοια ότι το συνολικό ετήσιο κόστος είναι πολύ κοντά σ'αυτό της βέλτιστης. Επομένως, η μέθοδος tabu search, αποδείχθηκε ότι μπορεί να εφαρμοστεί για την βελτιστοποίηση αρδευτικών δικτύων, σε περιπτώσεις όπου ο αριθμός των αγωγών καθιστά απαγορευτική την εξέταση όλων των δυνατών συνδυασμών – λύσεων. Abstract The present work is about the evaluation of the application of the optimization method called “tabu search”, to the optimization of an irrigation network, that is, to its cost of installation and functioning. Initially the most popular optimization methods were selected and classified. The tabu search method was selected to apply to an irrigation network. An algorithm was produced that seeks the best solution for a six-pipe network. The objective function was considered to be the sum of the cost of the yearly functioning of the network, plus the cost of the purchase and the positioning of the pipes reduced to an annual basis. The best solution was known beforehand, following an exhaustive search. The results were very encouraging. After 50 runs, the best solution was found in a very large percentage of them, the rest resulting to a solution very close to the best one. Thus, the results suggest further application of the method to bigger networks. 1. Εισαγωγή – Μέθοδοι βελτιστοποίησης Στη διεθνή και ελληνική βιβλιογραφία έχει αναπτυχθεί ένας τεράστιος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης [1-3]. Σε κάποια είδη προβλημάτων, ο αριθμός των δυνατών εναλλακτικών λύσεων μπορεί να γίνει απαγορευτικός για την εξέταση όλων των λύσεων, επιβάλλοντας την εξέταση μόνο κάποιου αριθμού λύσεων. Μία από τις μεθόδους που επιτρέπουν την εξέταση μικρού μόνο μέρους των δυνατών λύσεων και έχει αποδειχθεί ότι μπορεί να επιτύχει την εξεύρεση λύσης πολύ κοντά στην βέλτιστη χωρίς μεγάλες απαιτήσεις σε υπολογιστική ισχύ, είναι η μέθοδος tabu search [1]. Η παρούσα εργασία ασχολείται με την αξιολόγηση της χρήσης της μεθόδου Tabu search στην βελτιστοποίηση του κόστους δικτύων άρδευσης. Αρχικά έγινε μία επιλογή των δημοφιλέστερων μεθόδων βελτιστοποίησης και μία ταξινόμηση τους ανάλογα με την κύρια αρχή λειτουργίας τους στις ακόλουθες κατηγορίες: απλής αναζήτησης, εμπειρικές,, Μαθηματικές, Φυσικές, Αναζήτηση με Τabu. Στις μεθόδους απλής αναζήτησης, η αναζήτηση του τοπικού ελαχίστου γίνεται στα σημεία ενός κανονικού πλέγματος ή σε σημεία του πεδίου ορισμού που επιλέγονται με τυχαίους αριθμούς ή με 1/6 συνδυασμό των παραπάνω. Οι μέθοδοι αυτές, επειδή στερούνται μιας συγκεκριμένης στρατηγικής για τον προσδιορισμό του τοπικού ελαχίστου, δεν είναι ιδιαίτερα ακριβείς. Οι εμπειρικές μέθοδοι, σε αντίθεση με τις προηγούμενες μεθόδους, έχουν μια συγκεκριμένη στρατηγική στην αναζήτηση του ολικού ελάχιστου. Στις περισσότερες εμπειρικές μεθόδους (heuristic), η πορεία προσδιορισμού του ολικού ελαχίστου ή μεγίστου ακολουθεί τα παρακάτω βήματα: επιλογή μιας τυχαίας τιμής, επιλογή γειτονικών σημείων και προσδιορισμός εκείνου που αντιστοιχεί στη τιμή του ελάχιστου της συνάρτησης. Ο βασικός κώδικας στις μαθηματικές μεθόδους περιλαμβάνει διαδοχική διαδικασία, η οποία διαφέρει από την παραπάνω κατά το ότι υπολογίζεται συνεχώς κάποιο νέο σημείο, από μία απόσταση και μία διεύθυνση από το προηγούμενο. Η ραγδαία ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών οδήγησε στα τέλη του 1980 στην ανάπτυξη μεθόδων βελτιστοποίησης που προσομοιώνουν φυσικές διεργασίες, οι οποίες αναφέρονται σαν φυσικές μέθοδοι. Κύριοι εκπρόσωποι αυτής της κατηγορίας είναι οι Γενετικοί Αλγόριθμοι, η μέθοδος Προσομοιωμένης Ανόπτησης και τα Νευρωνικά Δίκτυα [4, 6]. Στην παρούσα εργασία, επιλέχτηκε η μέθοδος Tabu search, η οποία περιγράφεται παρακάτω, και η οποία παρουσιάζει πλεονεκτήματα των εμπειρικών και των μαθηματικών μεθόδων, χωρίς την πολυπλοκότητα των φυσικών μεθόδων, οι οποίες απαιτούν φυσικό και μαθηματικό υπόβαθρο που ξεπερνάει τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση. Στην παράγραφο 2 εξηγείται η μέθοδος, ενώ στην 3 αναλύονται οι βασικές παράμετροι του κόστους τοποθέτησης και λειτουργίας ενός αρδευτικού δικτύου. Στην παράγραφο 4 παρατίθενται ο αλγόριθμος εφαρμογής της μεθόδου στο δίκτυο, καθώς και τα αποτελέσματα. 2. Μέθοδος Tabu Search Στις περισσότερες μεθόδους βελτιστοποίησης δημιουργείται μια ακολουθία σημείων x, που, έστω και μέσα από πισωγυρίσματα, τείνει στο ολικό ή τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης που μελετάμε. Η βασική ιδέα πάνω στην οποία στηρίζεται η μέθοδος Tabu είναι η αποφυγή ελέγχου για δεύτερη φορά σημείων x αυτής της ακολουθίας. Επομένως η μέθοδος Tabu δεν είναι μια ανεξάρτητη μέθοδος βελτιστοποίησης αλλά μια τεχνική που μπορεί να χρησιμοποιηθεί σχεδόν σε όλες τις μεθόδους προσδιορισμού ελάχιστου (μέγιστου). Υπάρχουν πολλές παραλλαγές της τεχνικής αυτής. Στην τεχνική που χρησιμοποιήσαμε τον κύριο ρόλο παίζει η λίστα Tabu που είναι μια λίστα που περιλαμβάνει τα σημεία x που έχουν ελεγχθεί. Η λίστα αυτή έχει περιορισμένο πλήθος σημείων N και κάθε φορά που ένα σημείο ελέγχεται τοποθετείται στην αρχή της λίστας, ενώ το τελευταίο σημείο της απομακρύνεται. Έτσι η γενική πορεία της τεχνικής Tabu που χρησιμοποιήσαμε έχει ως εξής [1]: 1. Παραγωγή ενός αριθμού Νs τυχαίων σημείων και εκτίμηση της συνάρτησης κόστους σ'αυτά. 2. Επιλογή του καλύτερου σημείου x από τα Νs και αποθήκευση των υπόλοιπων στη λίστα Tabu. 3. Παραγωγή n τυχαίων γειτονικών σημείων με κέντρο το σημείο x. 4. Ελεγχος για το πόσα από τα n προηγούμενα σημεία βρίσκονται στη λίστα Tabu και απόρριψή τους. 5. Εκτίμηση της συνάρτησης κόστους στα υπόλοιπα σημεία και προσδιορισμός του καλύτερου από αυτά xN. Το σημείο αυτό και τα υπόλοιπα εισέρχονται στη λίστα Tabu. 6. Προσδιορισμός του καλύτερου όλων των σημείων xN, δηλαδή του σημείου xN που αντιστοιχεί στη μικρότερη τιμή της f(x) και αποθήκευση του ως xmin. 7. Έλεγχος κάποιου κριτηρίου τερματισμού. Αν το πρόγραμμα τερματιστεί το ολικό ελάχιστο είναι το xmin. Διαφορετικά θέτουμε x = xN και ο έλεγχος του προγράμματος επιστρέφει στο βήμα 2. 3. Εφαρμογή σε μικρό αρδευτικό δίκτυο. Στον πίνακα που ακολουθεί στην επόμενη σελίδα παρουσιάζονται με αριθμητικά δεδομένα τα στοιχεία του δικτύου το οποίο μελετάμε, δηλαδή τα μήκη και οι παροχές των αγωγών του, καθώς και τα υψόμετρα αλλά και τα απαιτούμενα ύψη της γραμμής ενέργειας σε κάθε άκρο αγωγού. Συγκεκριμένα υπάρχουν 6 αγωγοί, από τους οποίους ο καθένας μπορεί να πάρει 12 διαφορετικές τιμές ονομαστικής διαμέτρου (από Φ110 έως Φ450mm). Οι δυνατοί συνδυασμοί είναι 126= 2985984. Αλλά στους δυνατούς συνδυασμούς – λύσεις, θα αναφερθούμε παρακάτω. 2/6 Το δίκτυο το οποίο μελετάμε εικονίζεται στο παρακάτω σχήμα: Αντλία Αγωγός 6 Αγωγός 4 Αγωγός 5 Αγωγός 3 Αγωγός 1 Αγωγός 2 Σχήμα 1. Σχηματική αναπαράσταση του υπό-βελτιστοποίηση αρδευτικού δικτύου. α/α 1 2 3 4 5 6 Μήκος Li (m) 200 150 180 220 260 80 3 Παροχή Qi (m /sec) 0,006 0,012 0,018 0,006 0,018 0,042 Ύψος αντλίας από το άκρο (m) 1 0,5 0,5 2 2,5 0,5 Απαιτούμενο ύψος στο άκρο (m) 30 30 0 30 30 0 Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται τα ελάχιστα και τα μέγιστα όρια της ταχύτητας ροής ανά διάμετρο. Αυτοί οι περιορισμοί της ταχύτητας σε κάθε αγωγό με βάση τη διάμετρό του θα συζητηθούν επίσης παρακάτω, καθώς θα μειώσουν πάρα πολύ τον αριθμό των αποδεκτών λύσεων του προβλήματος. Ονομαστική διάμετρος (m) 110 125 140 160 200 225 250 280 315 355 400 450 διάμετρος (m) 99,4 113 126,6 144,6 180,8 203,4 226,2 253,2 285 321,2 361,8 407 Τιμή σε ευρώ ανά m 13,11 16,05 19,64 24,88 36,79 45,69 56,42 68,88 85,91 107,5 134,28 163,45 Ελάχιστη ταχύτητα (m/sec) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 μέγιστη ταχύτητα (m/sec) 1,55 1,55 1,85 1,85 2 2 2 2 2 2,1 2,1 2,1 Στον σχεδιασμό ενός τέτοιου δικτύου, το πρόβλημα είναι να βρεθεί ο βέλτιστος συνδυασμός διαμέτρων που να αποδοθούν στους αγωγούς 1 έως 6. Δηλαδή αυτόν που αντιστοιχεί στο ελάχιστο κόστος. Το κόστος που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί, είναι το άθροισμα του ετήσιου κόστους λειτουργίας του αντλιοστασίου, και του ανηγμένου ετήσιου κόστους προμήθειας και τοποθέτησης των αγωγών. Αυτό το κόστος μπορεί να αντιπροσωπευτεί από την συνάρτηση f, η οποία δίνεται από: 3/6 6 f ( d (1) , d ( 2 ) ,..., d ( 6 ) ) = ri ⋅ ∑ cm( d ( i ) ) ⋅ l (i ) i= 1 1 − (1 + ri ) − nyr + pkw ⋅ hpy ⋅ γ ⋅ Q ( 6 ) ⋅ hman 1000 ⋅ n όπου:  d(i) είναι οι διάμετροι των έξη αγωγών του δικτύου κάθε μία από τις οποίες μπορεί να πάρει οποιαδήποτε από 12 διαθέσιμες τιμές, οι οποίες κυμαίνονται από 110mm έως 450mm. Cm είναι το κόστος αγοράς ανά μέτρο κάθε διαμέτρου. l(i) είναι το μήκος του αγωγού i. ri είναι το επιτόκιο του δανείου για την αγορά των αγωγών (0.05 ή 5%). nyr είναι ο αριθμός ετών κατά τα οποία η αγορά πρέπει να αποπληρωθεί (50). hman είναι το μανομετρικό ύψος της αντλίας σε μέτρα. pkw είναι η τιμή του ρεύματος σε ευρώ ανά kWh (0.06 ευρώ/kWh). hpy είναι ο αριθμός των ωρών που η αντλία λειτουργεί ανά έτος, που τέθηκε 2000. n είναι ο συντελεστής απόδοσης της αντλίας (0.9).  γ είναι το ειδικό βάρος του νερού. Το ύψος της ενέργειας της αντλίας πρέπει να είναι αρκετό για να προμηθεύει όλα τα άκρα του δικτύου με την ελάχιστη τιμή ύψους της γραμμής ενέργειας [6]. Αυτές οι τιμές επίσης δίνονται στο πρόγραμμα. Το πρόγραμμα υπολογίζει για κάθε διαδρομή το απαιτούμενο ύψος για την αντλία, με σκοπό να υπερνικηθούν οι γραμμικές απώλειες ενέργειας, καθώς και το απαιτούμενο ύψος στο άκρο της διαδρομής. Τελικά, θέτει σαν τιμή του απαιτούμενου ύψους αντλίας, την μέγιστη τιμή όλων των διαδρομών, με σκοπό να αντιμετωπίσει τις απαιτήσεις όλων των διαδρομών. Δηλαδή, έχουμε δύο αντικρουόμενα κόστη: το κόστος αγοράς των αγωγών, το οποίο είναι τόσο μεγαλύτερο όσο μεγαλύτερες είναι οι διάμετροι των αγωγών και το κόστος λειτουργίας του αντλητικού συγκροτήματος , το οποίο είναι ανάλογο με τις γραμμικές απώλειες . Οι γραμμικές απώλειες, μειώνονται όταν χρησιμοποιούνται μεγαλύτερες διάμετροι. Επομένως, με την χρήση μεγαλύτερων διαμέτρων, μειώνεται το κόστος λειτουργίας του αντλητικού συγκροτήματος που είναι η δεύτερη συνιστώσα, αυξάνεται όμως το κόστος αγοράς των αγωγών. Συνεπώς, για την εύρεση του ελάχιστου συνολικού κόστους, πρέπει να βρεθεί ο καλύτερος συνδυασμός διαμέτρων.         4. Ο αλγόριθμος και το Πρόγραμμα Tabu Search. Τα δεδομένα του προγράμματος είναι οι δύο πίνακες με τις διαμέτρους και τους περιορισμούς ταχυτήτων. Σε πρώτη φάση εκτελεί εξαντλητική έρευνα, δηλαδή δημιουργεί όλους του δυνατούς συνδυασμούς – λύσεις, καταλήγοντας σε πίνακα με το κόστος που αντιστοιχεί σε κάθε λύση. Για κάθε λύση ελέγχει την μέση ταχύτητα, και παρακάμπτει όσες λύσεις περιέχουν έστω και μία απαγορευμένη ταχύτητα. Στην περίπτωση του συγκεκριμένου δικτύου, ο αριθμός των υποψήφιων λύσεων μειώνεται δραματικά, από 126=2985984 σε μόλις 1536. total annual cost versus solution n 4400,00 4200,00 4000,00 tot ann cost 3800,00 3600,00 3400,00 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Σχήμα 2. Το κόστος, σε συνάρτηση με τον α/α της λύσης. 4/6 Σε δεύτερη φάση, το πρόγραμμα αποκλείει ακόμα μία κατηγορία λύσεων: αυτές στις οποίες οποιαδήποτε κατάντη διάμετρος, είναι μεγαλύτερη από οποιαδήποτε ανάντη της. Μετά από το δεύτερο αυτό φίλτρο, παραμένουν προς εξέταση από τον αλγόριθμό tabu μόλις 1332 λύσεις. Στο σχήμα 2 φαίνεται το ετήσιο κόστος σε ευρώ για κάθε μία από αυτές. Στον άξονα των τετμημένων υπάρχει ο αύξων αριθμός της λύσης. Οπως φαίνεται και στο διάγραμμα, το ετήσιο αυτό κόστος κυμαίνεται από 3581 έως 4365 ευρώ. Ο αλγόριθμος, είναι αυτός που περιγράφθηκε παραπάνω. Περιέχει τα στάδια που περιγράφονται ως diversification, promising area, και intensification. Η έρευνα διεξάγεται ανάμεσα στις 1332 αποδεκτές λύσεις. Στο πρώτο στάδιο, επιλέγει με γεννήτρια τυχαίων αριθμών 20 λύσεις. Στη συνέχεια, δημιουργείται και ελέγχεται η «γειτονιά» κάθε λύσης, που αποτελείται από 5 συνολικά λύσεις με απόσταση 4 σημεία κάθε μία από την γειτονική της. Οι γειτονιές αυτές, ταυτόχρονα καταγράφονται στο αρχείο tabu, για να μην εξεταστούν εκ νέου σε περίπτωση που η γεννήτρια αριθμών τις ξαναεπιλέξει. 4400 total annual cost in Euros 4300 4200 4100 acceptable solutions 4000 initial, randomly selected solutions 3900 promising list solutions 3800 3700 3600 3500 0 500 1000 solution number Σχήμα 3. Οι αποδεκτές λύσεις (σημεία), οι αρχικές λύσεις με τις γειτονικές τους τιμές (τετράγωνα), και οι υποσχόμενες λύσης (κύκλοι). Κατόπιν, δημιουργείται η λίστα των «υποσχόμενων» (promising) λύσεων, που αποτελείται από την καλύτερη λύση κάθε γειτονιάς. Οι αρχικές λύσεις καθώς και οι υποσχόμενες λύσεις, φαίνονται στο Σχήμα 3. Ακολουθεί η αναζήτηση της «πιο υποσχόμενης περιοχής», η οποία αποκλείει από την λίστα των υποσχόμενων λύσεων αυτές που καταλήγουν σε κόστη μεγαλύτερα από τον μέσο όρο κόστους της λίστας. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται έως να επιτευχθεί ένας μόνον αριθμός (10) των «πιο υποσχόμενων λύσεων». Η λίστα αυτή, μπαίνει στο τελικό στάδιο της intensification”. Για κάθε μία από αυτές τις λύσεις, το πρόγραμμα εξετάζει τη γειτονιά της, αναζητώντας για καλύτερη λύση. Η διαφορά του τελευταίου αυτού σταδίου είναι ότι η ακτίνα των γειτονιών (σφαιρών) μικραίνει, με σκοπό να ψάξουμε για την καλύτερη λύση πιο λεπτομερώς. Το πρόγραμμα τελειώνει με την εύρεση της καλύτερης λύσης ανάμεσα στις καλύτερες λύσεις κάθε γειτονιάς (σφαίρας). Αυτήν δίνει σαν την “καλύτερη λύση”. Το πρόγραμμα “έτρεξε” 50 φορές, κάθε φορά επιλέγοντας διαφορετικές αρχικές λύσεις, με γεννήτρια τυχαίων αριθμών. Τα αποτελέσματα φαίνονται στο σχήμα 4. Οπως φαίνεται εκεί, 14 από τα 50 τρεξίματα οδήγησαν στην λύση που ξέρουμε ότι ήταν η καλύτερη. Αυτή ήταν και η μεγαλύτερη συχνότητα. Αυτό που επίσης φαίνεται στο σχήμα 4 είναι ότι όλες οι λύσεις που βρέθηκαν, έχουν κόστος πάρα πολύ κοντά σ'αυτό της καλύτερης λύσης. 5/6 total annual cost in Euros 4400 4200 solutions found by TS program 4000 3800 1 3600 1 5 1 5 14 all acceptable solutions 1 1 7 8 1 2 3 3400 0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 number assigned to acceptable solution Σχήμα 4. Οι λύσεις που βρέθηκαν, με τον αριθμό των “τρεξιμάτων” που βρέθηκε κάθε μία σε 50 “τρεξίματα”. 5. Συμπεράσματα. Ο αριθμός των δυνατών συνδυασμών διαμέτρων είναι τεράστιος, ακόμα και για ένα πολύ μικρό δίκτυο. Για τον υπολογισμό της βέλτιστης λύσης στην περίπτωση μεγάλων δικτύων, η εξέταση όλων των δυνατών λύσεων μπορεί να γίνει απαγορευτική. Η μέθοδος Tabu search, εφαρμόστηκε σε μικρό δίκτυο, το οποίο όμως είχε 1332 αποδεκτές λύσεις, από ένα γενικό σύνολο 2985984. Η μέθοδος αυτή ουσιαστικά ψάχνει με τυχαίο τρόπο, ταυτόχρονα όμως αποφεύγοντας να ψάξει στις ίδιες περιοχές πολλές φορές, δημιουργώντας μία λίστα λύσεων tabu. Αποδείχθηκε ότι στην περίπτωση ενός μικρού δικτύου, καλύπτει την ανάγκη για εύρεση λύσης που να βρίσκεται πάρα πολύ κοντά στην βέλτιστη. Συνεπώς, προτείνεται η δοκιμαστική εφαρμογή της σε μεγάλα δίκτυα, όχι απαραίτητα αρδευτικά, αλλά και ύδρευσης. Βιβλιογραφία 1. F. Glover, M. Laguna, 1993, Tabu search in modern heuristic techniques for combinatorial problems, Blackwell publishing, 70-150. 2. Θεοχάρης, M., 2004, “Βελτιστοποίηση των αρδευτικών δικτύων. Εύρεση των οικονομικών διαμέτρων”, Διδακτορική Διατριβή, Τμήμα Αγρ. και Τοπ. Μηχ. Α.Π.Θ. 3. Τζιμόπουλος, Χ., 1982, “Γεωργική Υδραυλική Τομ. Ι & II.”, Α.Π.Θ., Θεσσαλονίκη. 4. Παπαζαφείριου Z., 1998, “Αρχές και πρακτική των αρδεύσεων”, Α.Π.Θ. 5. Labye Y., 1971, “Les méthodes de calcul des réseaux d'irrigation en conduites sous pression” Colloque tenu a Athènes, 1.4.1971, Irrigation Par Aspersion, Edition de la chambre Technique de Grèce, pp.375-420. 6. Theocharis M., Tzimopoulos C., Yannopoulos S. and Sakellariou -Makrantonaki M., 2006. Design of optimal irrigation networks, J. Irrig. and Drain, 55(1): 21–32. 6/6