Άσκηση Lagrange - Συνάρτηση Cobb

ΦΟΙΤΗΤΙΚΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΕΙΟ
www.didaskaleio.gr
Facebook: Didaskaleio Foititiko
Ακρότατα υπό περιορισμούς – Μέθοδος Lagrange
Συνάρτηση Cobb-Douglas
Εκφώνηση: Δίνεται η συνάρτηση παραγωγής Q  400 LK 1/2 . Η επιχείρηση επιθυμεί να υπολογίσει
το συνδυασμό των συντελεστών εργασίας L και κεφαλαίου K που ελαχιστοποιεί το κόστος παραγωγής
αν πρέπει να παραχθούν 1000 μονάδες προιόντος, το κόστος ανά μονάδα εργασίας είναι 100
νομισματικές μονάδες και το κόστος ανά μονάδα κεφαλαίου είναι 200 νομισματικές μονάδες.
Απάντηση: TC  wL  rK  100 L  200 K το κόστος παραγωγής
περιορισμός Q  1000  400 LK 1/2  1000
L  100 L  200 K   (1000  400 LK 1/ 2 )
Συνάρτηση Lagrange:
1/2
1/2
 [1]
Lx  0  100  400 K  0  1  4 K



Ly  0   200  200 LK 1/2  0   1   LK 1/2
 [2]

 400 LK 1/2  1000  [3]
L  0  400 LK 1/2  1000


Διαίρεση κατά μέλη των [1] και [2] δίνει L  4 K . Με αντικατάσταση στη [3] έχουμε
4  4 KK
1/2
 10  K
10
 10 
 K  
16
 16 
3/2
Τέλος από την [1]  
0
Εσσιανός H   g L

 g K
2/3
 0.731 και L  4 K  2.924 .
1
 0.292 .
4K 1/2
gL
LLL
LLK
gK  
0


LLK    400 K 1/2
LKK   200 LK 1/2
400 K 1/2
0
200 K 1/2
200 LK 1/2 

200 K 1/2 
100 LK 3/2 
Η ορίζουσα του είναι άθροισμα αρνητικών προσθετέων άρα det H  0 .
Επομένως ελάχιστο κόστος για Κ=0.731, L=2.924.
ΓΙΑ ΝΑ ΛΑΜΒΑΝΕΤΕ ΕΝΗΜΕΡΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΚΟΛΟΥΘΕΙΣΤΕ ΜΑΣ ΣΤΟ FACEBOOK.
ΦΟΙΤΗΤΙΚΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΕΙΟ
www.didaskaleio.gr
Facebook: Didaskaleio Foititiko
1

Download Report