2. Νόμοι του ηλεκτροστατικού πεδίου

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
NOMOI TOY
ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
2.1
Νόµος του Coulomb
Ο νόµος του Coulomb καθορίζει τον τρόπο µε τον οποίο αλληλεπενεργούν δύο κε-
ντρικά (σηµειακά) φορτία που βρίσκονται µόνα και ακίνητα µέσα σ’ ένα απέραντο οµογενές και ισότροπο µονωτικό µέσο.
Σύµφωνα µε το νόµο αυτό, η δύναµη µε την οποία αλληλεπενεργούν δύο φορτία q1
και q2 είναι ανάλογη του γινοµένου των φορτίων και αντίστροφα ανάλογη του τετραγώνου
της απόστασης. H µαθηµατική του διατύπωση στο σύστηµα MKSA είναι η
F2 =
1 q1q 2
1 q1q 2
e12 =
r12 = −F1 ,
2
4πε r12
4πε r123
(2.1)
όπου F1 είναι η δύναµη που ασκείται στο φορτίο q1 , e12 είναι το µοναδιαίο διάνυσµα µε
φορά από το q1 στο q2 και r12 είναι η διανυσµατική απόσταση µεταξύ των δύο φορτίων µε
φορά από το q1 προς στο q2 . Η δύναµη F2 που είναι αντίθετη της F1 ασκείται στο φορτίο
q 2 . Επίσης, ε = εr ε0 είναι η διηλεκτρική σταθερά του θεωρούµενου µέσου, εr η σχετική
του διηλεκτρική σταθερά και ε0 η διηλεκτρική σταθερά του κενού (ή αέρα).
45
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
Όπως φαίνεται από τη σχέση (2.1) όπου τα φορτία q1 , q2 νοούνται µε το αλγεβρικό
τους πρόσηµο, τα οµόσηµα φορτία απωθούνται, ενώ τα ετερόσηµα έλκονται.
Όταν έχουµε n διακεκριµένα ακίνητα σηµειακά φορτία q1, q 2 ,..., qn , η δύναµη F
που ασκείται σ’ ένα σηµειακό φορτίο q 0 , σύµφωνα µε την (2.1) και την αρχή της υπέρθεσης, δίνεται από τη σχέση
F=
2.2
q 0 n qi
∑ ei 0
4πε i =1 r02i
(2.2)
Ηλεκτρική πεδιακή ένταση
Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E είναι ένα χαρακτηριστικό πεδιακό µέγεθος που ορί-
ζεται σε κάθε θέση του πεδίου και ισούται µε την ανά µονάδα φορτίου ασκούµενη δύναµη
επί ενός δοκιµαστικού φορτίου q 0 στη θεωρούµενη θέση. Η ηλεκτρκή πεδιακή ένταση είναι ανεξάρτητη του µεγέθους q 0 του δοκιµαστικού φορτίου.
Σύµφωνα µε τον πιο πάνω ορισµό, η ένταση E , λόγω της (2.2), δίνεται από τη σχέση
E=
F
1 n qi
=
∑ e 0i
q0
4πε i =1 r02i
(2.3)
Αν E x , Ey , E z είναι οι συνιστώσες της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης E σ’ ένα σύστηµα καρτεσιανών συντεταγµένων, από την (2.3) προκύπτει η ακόλουθη έκφραση για τη
συνιστώσα Ex ,
Ex =
qi (x 0 − x i )
1 n
,
∑
2
4πε i =1 ⎡(x − x ) + (y − y )2 + (z − z )2 ⎤ 3 / 2
0
0
0
i
i
i
⎣⎢
⎦⎥
(2.4)
όπου x i , yi , z i είναι οι συντεταγµένες του κεντρικού φορτίου qi . Οι εκφράσεις για τις άλλες
δύο συνιστώσες Ey και E z είναι, προφανώς, ανάλογες προς την (2.4).
Στη γενική περίπτωση όπου εκτός από τα n σηµειακά φορτία q1, q 2 ,..., qn , θεωρούµε
ότι έχουµε και κατανεµηµένα φορτία και των τριών τύπων, δηλαδή χωρικά φορτία κατανεµηµένα στον όγκο V µε χωρική πυκνότητα ρ , επιφανειακά φορτία κατανεµηµένα στην
επιφάνεια S µε επιφανειακή πυκνότητα ρS και γραµµικά φορτία κατανεµηµένα στη
46
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
γραµµή l µε γραµµική πυκνότητα ρl , η γενική έκφραση για την ηλεκτρική πεδιακή ένταση E , είναι η
E=
ρ dS
ρ dl ⎤
ρdV
1 ⎡⎢ n qi
ri + ⌠⌠⌠
r + ⌠⌠ S 3 r + ⌠ l 3 r ⎥ ,
∑
3
3
⌡⌡⌡V r
⌡⌡S r
⌡l r ⎥
4πε ⎢⎣ i =1 ri
⎦
(2.5)
όπου r και ri είναι οι διανυσµατικές αποστάσεις του θεωρούµενου σηµείου από τα διανεµηµένα και σηµειακά φορτία, αντίστοιχα.
Από την (2.5) προκύπτουν οι εκφράσεις για τις τρεις συνιστώσες E x , Ey , E z της ηλεκτρικής έντασης. Για παράδειγµα, η συνιστώσα E x δίνεται από την
⎧
⎪
⌠⌠⌠
⎪⎪ n
(x − x ′) ρdV
(x − x i )qi
1 ⎪
+⎮⎮⎮
Ex =
⎨∑
⎮⎮⎮
3/2
3/2
2
2
2
2
⎪
4πε ⎪ i =1 ⎡(x − x ) + (y − y ) + (z − z ) ⎤
⎮⎮⎮ ⎡(x − x ′) + (y − y ′)2 + (z − z ′)2 ⎤
⌡⌡⌡V ⎢
i
i
i
⎪
⎢⎣
⎥⎦
⎥⎦
⎪⎩
⎣
⎫
⎪
⎪⎪
⌠⌠
⌠
(x − x ′) ρS dS
(x − x ′) ρldl
⎪
⎮⎮
⎮
+⎮⎮
+⎮
⎬
3
/
2
3
/
2
⎮⎮ ⎡(x − x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2 ⎤
⎮ ⎡(x − x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2 ⎤ ⎪
⎪
⌡⌡S ⎢
⌡l ⎢
⎪
⎥
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦ ⎪
⎭
, (2.6)
όπου x , y, z είναι οι συντεταγµένες του θεωρούµενου σηµείου, x i , yi , z i είναι οι συντεταγµένες της θέσης του σηµειακού φορτίου qi και x ′, y ′, z ′ είναι οι συντεταγµένες της θέσης
των στοιχειωδών φορτίων ρdV ή ρS dS ή ρl dl . Ανάλογες προς την (2.6) είναι και οι εκφράσεις των Ey και E z .
2.3
Ηλεκτρικό δυναµικό
Το δυναµικό φP ενός τυχόντος σηµείου P ορίζεται ως το έργο των πεδιακών δυνά-
µεων κατά τη µετακίνηση του µοναδιαίου θετικού φορτίου από το θεωρούµενο σηµείο P
µέχρι κάποιο ορισµένο σηµείο O που λαµβάνεται ως σηµείο αναφοράς των δυναµικών. Το
δυναµικό φP και η ένταση E συνδέονται µε τη σχέση
φP =
∫
O
P
E ⋅d l ,
(2.7)
όπου, όπως θα δούµε στη συνέχεια, η τιµή του ολοκληρώµατος είναι ανεξάρτητη του δρόµου που συνδέει τα σηµεία P και O .
Η διαφορά δυναµικού (ή ηλεκτρική τάση) U AB µεταξύ δύο σηµείων A και B ορίζεται από τη σχέση
47
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
U AB =
∫
B
E ⋅d l ,
A
(2.8)
που αν ληφθεί υπόψη η (2.7) γράφεται
U AB = φA − φB ,
(2.9)
όπου φA , φB τα αντίστοιχα δυναµικά των σηµείων A και B , ως προς οποιοδήποτε σηµείο
αναφοράς των δυναµικών. Για ευκολία, συχνά, εκλέγεται το σηµείο του απείρου ως σηµείο
αναφοράς των δυναµικών, δηλαδή φ∞ = 0 , οπότε σύµφωνα µε την (2.7) έχουµε
φP =
∫
∞
P
E ⋅d l
(2.10)
Έτσι, στη περίπτωση ενός σηµειακού φορτίου q τοποθετηµένου στην αρχή των αξόνων, το ως προς το άπειρο δυναµικό φ σε ένα οποιοδήποτε σηµείο (x , y, z ) που απέχει από
την αρχή απόσταση r , δίνεται από τη σχέση
φ(x , y, z ) =
q
4πεr
(2.11)
Με εφαρµογή της αρχής της επαλληλίας (υπέρθεσης), µπορεί να υπολογιστεί το ως
προς το άπειρο δυναµικό των σηµείων ενός πεδίου που εκτείνεται σ’ ένα οµογενές και ισότροπο µέσο και που προέρχεται από σηµειακά και κατανεµηµένα φορτία. Το δυναµικό στη
γενική αυτή περίπτωση δίνεται από τη σχέση
φ=
1 ⎡⎢ n qi ⌠ ρl dl ⌠⌠ ρS dS ⌠⌠⌠ ρdV ⎤⎥
∑ + ⌡l r + ⌡⌡S r + ⌡⌡⌡V r ⎥ ,
4πε ⎢⎣ i =1 ri
⎦
(2.12)
όπου οι ολοκληρώσεις εκτείνονται αντίστοιχα, σε όλες τις ηλεκτρισµένες γραµµές, επιφάνειες και όγκους.
Η σχέση (2.7) επιτρέπει τον υπολογισµό της συνάρτησης του δυναµικού φ(x , y, z ) ενός πεδίου όταν είναι γνωστή η συνάρτηση της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης E(x , y, z )
του πεδίου. Όµως και η αντίστροφη διαδικασία, δηλαδή ο υπολογισµός της έντασης E όταν είναι γνωστή η συνάρτηση δυναµικού, είναι επίσης δυνατή. Στην περίπτωση αυτή έχουµε
E = −∇φ
(2.13)
Από την (2.13) όταν λάβουµε υπόψη τη διανυσµατική ταυτότητα (1.79) προκύπτει η,
επίσης, πολύ βασική σχέση
48
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
∇× E = 0
(2.14)
Η (2.14) περιγράφει, υπό διαφορική µορφή, το νόµο του αστρόβιλου του ηλεκτροστατικού πεδίου που µε τη βοήθεια του θεωρήµατος του Stokes οδηγεί στην ισοδύναµη
ολοκληρωτική διατύπωση
∫v
E ⋅d l= 0 ,
C
(2.15)
όπου C οποιοσδήποτε κλειστός δρόµος.
2.4
Ηλεκτρική ροή – νόµος του Gauss
Ένα διανυσµατικό µέγεθος που χρησιµοποιείται ευρύτατα στον ηλεκτροµαγνητισµό
είναι η διηλεκτρική µετατόπιση D (ή πυκνότητα ηλεκτρικής ροής), που ορίζεται από το
γινόµενο της διηλεκτρικής σταθεράς ε επί την ηλεκτρική πεδιακή ένταση E
D = εE
(2.16)
Το επιφανειακό ολοκλήρωµα
N =
∫∫
S
D⋅d S ,
(2.17)
εκφρλαζει την ηλεκτρική ροή δια της επιφανείας S .
Σύµφωνα µε το νόµο του Gauss, η ηλεκτρική ροή που διέρχεται από µια κλειστή επιφάνεια S , είναι ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των ηλεκτρικών φορτίων που βρίσκονται
στο εσωτερικό της επιφάνειας. Στη γενική περίπτωση, όπου η επιφάνεια S περικλείει σηµειακά και κατανεµηµένα φορτία, η µαθηµατική διατύπωση του νόµου του Gauss είναι η
ακόλουθη
w
∫∫
S
n
D ⋅ d S = ∑ qi + ∫∫∫ ρdV + ∫∫ ρS dS + ∫ ρl dl
V
i =1
S
l
(2.18)
Όταν σ’ έναν όγκο V που περικλείεται από µια επιφάνεια S έχουµε χωρικά διανεµηµένα φορτία µε πυκνότητα ρ , από την (2.18) και το θεώρηµα του Gauss, προκύπτουν
διαδοχικά οι σχέσεις
w
∫∫
S
∫∫∫
V
D ⋅ d S=
∫∫∫
∇ ⋅ D dV =
49
V
ρ dV ,
∫∫∫
V
ρ dV ,
(2.19)
(2.20)
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
∇⋅ D = ρ
(2.21)
Η (2.21) αποτελεί τη διατύπωση του νόµου του Gauss (ή νόµο του πηγαίου), υπό διαφορική µορφή, σε αντιδιαστολή προς την (2.19) που αποτελεί τη διατύπωση του ίδιου νόµου
υπο ολοκληρωτική µορφή.
Τέλος, από την (2.21), αν ληφθούν υποψη οι (2.13) και (2.16), προκύπτει, για ένα οµογενές µέσο, η εξίσωση Poisson
∇2φ =
∂ 2 φ ∂ 2 φ ∂ 2φ
ρ
+ 2 + 2 =−
2
∂x
∂y
∂z
ε
(2.22)
Η (2.22) σ’ ένα χώρο όπου δεν υπάρχουν φορτία, καταλήγει στην εξίσωση Laplace
∇2φ = 0
50
(2.23)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
2.5
Παραδείγµατα
2.1
Τέσσερα όµοια φορτισµένα σωµατίδια, είναι αναρτηµένα από το ίδιο σηµείο K , µε
πολύ λεπτά µονωτικά συρµατίδια αµελητέου βάρους και µήκους l . Τα σωµατίδια έχουν µάζα
m , πυκνότητα d , φορτίο q και είναι εµβαπτισµένα σε διηλεκτρικό υγρό, διηλεκτρικής στα-
θεράς ε και πυκνότητας d1 (d1 < d ) .
Στη θέση ισορροπίας τα συρµατίδια σχηµατίζουν µε την κατακόρυφο που περνάει από
το K γωνία θ = π / 4 . Ζητείται να υπολογιστούν:
(α) Η πυκνότητα του διηλεκτρικού υγρού d1 .
(β) Το έργο που αποδίδεται από τις πεδιακές δυνάµεις κατά τη µεταφορά σηµειακού
φορτίου q 0 από τη θέση Ο (κέντρο του τετραγώνου AB Γ∆ ) µέχρι την κορυφή K .
(γ) Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση στο σηµείο K .
(δ) Να επαναληφθούν τα ερωτήµατα α, β και γ για ένα παρόµοιο σύστηµα µε µήκος νηµάτων λl και τιµή φορτίου λq (όπου λ θετική σταθερά).
z
K
l
θ
B
A
q
q
α
t0
Ο
q
∆
α
r0
Σχήµα 2-1(α)
51
Γ q
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
(α) Είναι φανερό – από τη συµµετρία του προβλήµατος – ότι στην κατάσταση ισορροπίας, τα τέσσερα φορτία διατάσσονται στις κορυφές ενός τετραγώνου πλευράς α . Αν,
λοιπόν, θεωρήσουµε ένα οποιοδήποτε από αυτά – έστω το τοποθετηµένο στο σηµείο ∆ –
πάνω σ’ αυτό επενεργούν οι εξής δυνάµεις:
i) Η ηλεκτρική δύναµη Fr που είναι η συνισταµένη των τριών δυνάµεων Coulomb από τα υπόλοιπα τρία φορτία
Fe = FΑ∆ + FΒ∆ + FΓ∆
JJJG
JJJG
JJJG
q 2 ⎡⎢ Α∆
Β∆
Γ∆ ⎤⎥
=
+
+
4πε ⎢⎣⎢ (Α∆)3 (Β∆)3 (Γ∆)3 ⎥⎦⎥
JJJG ⎤
⎡ JJJG JJJG
Β∆ ⎥
q 2 ⎢ Α∆ + Γ∆
q2
=
+
⎢
3 ⎥ =
3
3
4πε ⎢
α
( 2a ) ⎥⎥⎦ 4πεα
⎢⎣
JJJG
⎛ JJJG Β∆ ⎞⎟
⎜⎜Β∆ +
⎟⎟
⎜⎜
8 ⎟⎠⎟
⎝
ή
Fe =
q2
4πεα 2
⎛
1⎞
⎜⎜ 2 + ⎟⎟ r0
⎝
2 ⎠⎟
(1)
όπου r0 είναι το µοναδιαίο διάνυσµα, µε διεύθυνση από το B προς το ∆ .
ii) Η δύναµη βαρύτητας (βάρος σωµατιδίου)
Fβ = −mg z0 ,
(2)
όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας.
iii) Η δύναµη
m
d1g z 0 ,
d
Fα = Vd1g z0 =
(3)
που οφείλεται στην άνωση, όπου V ο όγκος του κάθε σωµατιδίου, και
iv) η τάση Fr του νήµατος, που προφανώς, είναι ίση και αντίθετη µε τη συνισταµένη Ft = Fe + Fβ + Fα , δηλαδή Ft = −Fr .
Από την ισορροπία, λοιπόν, στο ∆ , έχουµε
tan θ =
Fe
Fa + Fβ
ή, λόγω των (1), (2) και (3),
52
(4)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
Κ
θ
Fr
Fe
∆
Ο
θ
Ft
Fβ+Fα
Σχήµα 2-1(β)
q2 ⎛
1⎞
⎜ 2 + ⎟⎟
2 ⎜
4πεα ⎝
2 ⎠⎟
tan θ =
⎛
d ⎞
mg ⎜⎜⎜1 − 1 ⎟⎟⎟
⎝
d⎠
(5)
⎡
(2 2 + 1)q 2 ⎤⎥
⎢
d1 = d ⎢1 −
⎥,
8πεα2mg tan θ ⎥
⎢⎢
⎥⎦
⎣
(6)
Aπό την (5) προκύπει η
η οποία, επειδή η πλευρά a , συναρτήσει της γωνίας θ , δίνεται από τη σχέση
a = 2(Ο∆) = 2 sin θ ,
(7)
⎡
(2 2 + 1)q 2 cos θ ⎤⎥
⎢
d1 = d ⎢1 −
⎥
16πεl 2mg sin 3 θ ⎥
⎢⎢
⎥⎦
⎣
(8)
γράφεται
Τελικά, από την (8) για θ = π / 4 (δηλαδή a = 1 ), προκύπτει η ζητούµενη πυκνότητα
⎡
(2 2 + 1)q 2 ⎤⎥
⎢
d1 = d ⎢1 −
⎥
8πεl 2mg ⎥
⎢⎢
⎥⎦
⎣
53
(9)
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
(β) Αν φO και φK , είναι οι τιµές του βαθµωτού δυναµικού φ στα σηµεία O και K
αντίστοιχα, τότε, το έργο WOK που επιτελούν οι πεδιακές δυνάµεις κατά τη µεταφορά του
φορτίου q 0 , από το σηµείο O στο K είναι
WOK
⎛
⎞⎟
⎜⎜
q
q ⎟⎟⎟
⎜
= q 0 (φO − φK ) = q 0 ⎜⎜4
−4
⎟,
4πεl ⎟⎟⎟
⎜⎜ 4π α
⎜⎝
⎠⎟
2 2
(10)
ή, λόγω της (7),
WOK =
⎞
qq 0 ⎛ 1
⎜⎜
− 1⎟⎟⎟ ,
⎝
⎠
4πεl cos θ
(11)
και για θ = π / 4 ,
WOK =
qq 0 ( 2 − 1)
πεl
(12)
(γ) Η ένταση E K του πεδίου στο K , προκύπτει από την υπέρθεση των εντάσεων Ei
των τεσσάρων φορτίων. Επειδή οι οριζόντιες συνιστώσες αναιρούνται ανά δύο, η συνολική
ένταση έχει συνιστώσα µόνο κατά τον άξονα z , και είναι
E K = 4Eq cos θz0 =
4q
cos θz0 ,
4πεl 2
δηλαδή,
EK =
q
z0
2πεl 2
(12)
(δ) Από τις (9) και (10) επειδή τόσο το φορτίο q , όσο και το µήκος l πολλαπλασιάζονται µε τον ίδιο παράγοντα, είναι φανερό ότι η πυκνοτήτα d1 και το έργο WOK εξακολουθούν να έχουν την ίδια τιµή. Η ένταση όµως E K , όπως προκύπτει από την (12), διαιρείται µε τον παράγοντα λ , δηλαδή
E K′ =
E
q
z0 = K
2πελl 2
λ
54
(13)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
2.2
Να υπολογιστεί η συνάρτηση δυναµικού φ και η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E στον
άξονα Oz ενός οµοιόµορφα φορτισµένου κυκλικού δίσκου.
Έστω ο κυκλικός δίσκος του σχήµατος, που είναι οµοιόµορφα φορτισµένος µε µια επιφανειακή πυκνότητα φορτίου ρS . Ζητείται ο υπολογισµός των φ και E στα σηµεία P
του άξονα Oz .
Το απειροστό δυναµικό dφ που οφείλεται στο στοιχειώδες φορτίο
dQ = ρS ρ d ρ d ϕ ,
(1)
είναι
dφ =
ρS ρ d ρ d ϕ
dQ
=
1/ 2
4πεR
4πε0 (z 2 + ρ 2 )
x
ρd ρ d ϕ
dρ
R
ϕ
dϕ
ρ
ω
P(z)
z
z
a
y
Σχήµα 2-2
Άρα, το δυναµικό, ως προς το άπειρο, που οφείλεται σ’ όλο το φορτίο του δίσκου είναι
ϕ =2 π
ρ =a
⌠
⌠
ρS ρ d ρ d ϕ
φ=⎮
⎮
⎮
2
2 1/ 2
⌡ϕ =0 ⌡ ρ =0 4πε0 (z + ρ )
ρ
= S
4πε0
∫
2π
0
a
⌠
1/ 2
ρ
ρd ρ
dϕ⎮
= S ⎡⎢(z 2 + a 2 ) − z ⎤⎥
2
2 1/ 2
⎦
2ε0 ⎣
⌡ 0 (z + ρ )
55
,
(2)
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
ή, αν Q είναι το συνολικό φορτίο του δίσκου (Q = πa 2 ρS ) ,
1/ 2
Q ⎡ 2
z + a 2 ) − z ⎤⎥
2 ⎢(
⎦
2πε0a ⎣
φ(z ) =
(3)
Για τον υπολογισµό της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης E , παρατηρούµε, λόγω της
κυλινδρικής συµµετρίας, ότι η συνιστώσα της E η παράλληλη προς το επίπεδο του δίσκου
είναι µηδενική. Έτσι, η µοναδική συνιστώσα που αποµένει είναι η Ez . Η απειροστή ένταση dE που οφείλεται στο στοιχειώδες φορτίο dQ είναι
dE =
ρS ρ d ρ d ϕ
dQ
=
2
4πε0R
4πε0 (z 2 + ρ 2 )
(4)
Η συνιστώσα dEz της dE κατά τον άξονα Oz , είναι
dEz = dE cos ω = dE
z
z
,
= dE
1/ 2
2
R
(z + ρ2 )
και λόγω της (4)
dEz =
ρS z ρd ρdϕ
(5)
3/2
4πε0 (z 2 + ρ 2 )
Η ζητούµενη ένταση προκύπτει από την ολοκλήρωση της (5) πάνω σ’ όλη την επιφάνεια του δίσκου
Ez =
2π
∫ ∫
0
a
0
dEz =
z ρS
4πε0
∫
2π
0
a
⌠
ρ
ρd ρ
= S
dϕ⎮
2
2 3/2
2
ε0
⌡ 0 (z + ρ )
⎡
⎤
z
⎢
⎥
+
1
⎢
⎥
2
2 3/2 ⎥
⎢
(z + a ) ⎦⎥
⎣⎢
(6)
ή
Ez =
Q
2πε0a 2
⎡
⎤
z
⎢
⎥
−
1
⎢
⎥
2
2 1/ 2 ⎥
⎢
(z + a ) ⎦⎥
⎣⎢
(7)
Ας σηµειωθεί ότι η ένταση E z µπορεί να υπολογιστεί και κατευθείαν από τη σχέση
E = −∇φ . Πράγµατι, από την εξίσωση (3) προκύπτει
Ez = −
∂φ
Q
∂ ⎡ 2
⎤
2 1/ 2
=−
⎢(z + a ) − z ⎥ ,
2
⎦
2πε0a ∂z ⎣
∂z
ή
56
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
Ez =
Q
2πε0a 2
⎡
⎤
z
⎢
⎥
−
1
⎢
⎥,
2
2 1/ 2 ⎥
⎢
+
z
a
(
)
⎣⎢
⎦⎥
δηλαδή καταλήγουµε και πάλι στο ίδιο αποτέλεσµα.
Τέλος, από την εξίσωση (6), για a → ∞ , έχουµε
ρS
2ε0
Ez =
(8)
Η (8) δίνει την ένταση του πεδίου που παράγει µια οµοιόµορφα φορτισµένη απέραντη
επίπεδη επιφάνεια.
2.3
∆υο οµοιόµορφα διανεµηµένα γραµµικά φορτία Q1 ,Q2 µήκους l1 , l2 αντίστοιχα, είναι
τοποθετηµένα πάνω στην ίδια ευθεία µέσα στον άπειρο κενό χώρο. Αν οι γραµµικές πυκνότητες των δυο φορτίων είναι αντίστοιχα ρl1 και ρl2 , ζητείται να υπολογιστεί η δύναµη µε την
οποία αλληλεπενεργούν τα δύο φορτία. Να γίνει ειδική διερεύνηση για τις περιπτώσεις όπου:
(α) Το γραµµικό φορτίο Q2 διανέµεται επί ηµιευθείας (l2 → ∞) και (β) Η απόσταση l είναι πολύ µεγαλύτερη από τα µήκη l1 και l2 των δύο γραµµικών φορτίων (l l1 , l2 ) .
y
x2
x12
x1
dx2
dx1
ρl1
l1
l
ρl2
l2
x
Σχήµα 2-3
Ας θεωρήσουµε ότι τα δύο γραµµικά φορτία είναι τοποθετηµένα πάνω στον άξονα x ,
ενός ορθογώνιου συστήµατος συντεταγµένων, όπως φαίνεται στο σχήµα. Τα φορτία των
δύο απειροστών στοιχείων dx 1 και dx 2 , είναι, αντίστοιχα
57
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
dQ1 = ρl1 dx 1
dQ2 = ρl2 dx 2
και
Το µέτρο d 2F της δύναµης µε την οποία αλληλεπενεργούν τα δύο στοιχειώδη φορτία
dQ1 και dQ2 , σύµφωνα µε το νόµο του Coulomb, είναι
dQ1dQ2
2
4πε0x 12
(1)
x 12 = x 2 − x 1 ,
(2)
d 2F =
ή, επειδή
d 2F =
ρl1 ρl2
dx 1d x 2
(3)
2
4πε0 (x 2 − x 1 )
Από την (3) µε ολοκλήρωση ως προς x 1 , προκύπτει η δύναµη dF , την οποία ασκεί
το στοιχειώδες φορτίο dQ2 , πάνω σε ολόκληρο το φορτίο Q1
ρl ρl dx 2 ⌠ l1
ρl1 ρl2 dx 2
dx 1
1
dF = 1 2
⎮
2 =
4πε0 ⌡ 0 (x 2 − x 1 )
4πε0 (x 2 − x 1 )2
l1
,
0
δηλαδή,
dF =
ρl1 ρl2 l1
4πε0x 2 (x 2 − l1 )
dx 2
(4)
Η ζητούµενη δύναµη F υπολογίζεται από την ολοκλήρωση της (4)
ρl ρl l1 ⌠ l1 +l +l2
ρl ρl
dx 2
= 1 2
F= 1 2 ⎮
4πε0 ⌡l1 +l x 2 (x 2 − l1 ) 4πε0
l +l +l2
⎛ x 2 − l1 ⎞⎟ 1
⎜⎜ln
⎟⎟
⎜⎝⎜
x ⎠⎟
2
l1 +l
ή
F=
⎡ (l + l )(l2 + l ) ⎤
⎥
ln ⎢⎢ 1
4πε0 ⎣⎢ l (l1 + l2 + l ) ⎥⎦⎥
ρl1 ρl2
(5)
Είναι αυτονόητο ότι η F –που έχει τη διεύθυνση του άξονα x – είναι ελκτική για
ρl1 ρl2 > 0 και απωστική για ρl1 ρl2 < 0 .
Επίσης, η (5) µπορεί να προκύψει και κατ’ ευθείαν από την (3) µε εκτέλεση της διπλής ολοκλήρωσης.
Στη συνέχεια εξετάζουµε τις δύο ειδικές περιπτώσεις:
(α) l2 → ∞
58
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
Επειδή η (5) µπορεί να γραφεί και µε τη µορφή
⎛
l ⎞⎟
⎜
1+
⎟
⎜
ρl1 ρl2 ⎜⎜ l1 + l
l2 ⎟⎟⎟
ln ⎜
F=
⎟
4πε0 ⎜⎜⎜ l 1 + l1 + l ⎟⎟⎟
⎜⎜⎝
l2 ⎠⎟⎟⎟
Είναι φανερό ότι για l2 → ∞ προκύπτει
F=
ρl1 ρl2
4πε0
ln
l1 + l
l
(6)
(β) l l1, l2
Στην περίπτωση αυτή από την (5) έχουµε
F=
⎡ l 2 + l (l1 + l2 ) + l1l2 ⎤ ρl ρl
⎡
⎤
l1l2
⎥ = 1 2 ln ⎢1 +
⎥
ln ⎢⎢
4πε0 ⎢⎣ l 2 + l (l1 + l2 ) ⎥⎥⎦
4πε0 ⎢⎢⎣
l 2 + l (l1 + l2 ) ⎥⎥⎦
ρl1 ρl2
ή
F ≅
ρl1 ρl2
⎛
l l ⎞ ρl ρl l l
ln ⎜⎜⎜1 + 122 ⎟⎟⎟ ≅ 1 2 122
⎝
4πε0
l ⎠ 4πε0 l
(7)
Η (7) γράφεται τελικά και µε τη µορφή
F ≅
Q1Q2
4πε0l 2
(8)
Παρατηρούµε, δηλαδή, ότι στην περίπτωση αυτή τα δύο γραµµικά φορτία συµπεριφέρονται ως δύο σηµειακά φορτία Q1,Q2 τοποθετηµένα σε απόσταση l .
2.4
Να αποδειχτεί ότι στο πεδίο που προκύπτει από δύο άνισα και ετερόσηµα σηµειακά
φορτία, υπάρχει µια σφαιρική ισοδυναµική επιφάνεια που έχει δυναµικό µηδέν.
Σύµφωνα µε την αρχή της υπέρθεσης των δυναµικών, το δυναµικό φ στο τυχόν σηµείο P του χώρου που έχει διηλεκτρική σταθερά ε , είναι
φ=
1 ⎛⎜Q1 Q2 ⎞⎟
⎜ + ⎟⎟ ,
4πε ⎜⎜⎝ r1
r2 ⎠⎟
59
(1)
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
P
r2
r1
R
Q1
A
Q2
α
O
B
β
d
Σχήµα 2-4
όπου r1 και r2 είναι οι απόστασεις του σηµείο P από τα δύο σηµειακά φορτία Q1 και Q2 ,
αντίστοιχα. Αν τα φορτία Q1 και Q2 είναι οµόσηµα, είναι προφανές ότι, η µόνη επιφάνεια
που έχει δυναµικό µηδέν είναι η επιφάνεια της άπειρης σφαίρας.
Στη συνέχεια θα δείξουµε ότι στην περίπτωση που τα φορτία Q1 και Q2 είναι ετερόσηµα, υπάρχει εκτός από την επιφάνεια της άπειρης σφαίρας και µια άλλη σφαιρική επιφάνεια µε δυναµικό µηδέν.
Ας θεωρήσουµε ότι το απολύτως µικρότερο φορτίο είναι το Q2 (Q1Q2 < 0 και
Q1 > Q2 ) και ας συµβολίσουµε µε κ το λόγο
κ = −Q1 /Q2
(2)
Η ισοδυναµική επιφάνεια που έχει το δυναµικό του απείρου (δηλαδή που έχει µηδενικό δυναµικό) προκύπτει, προφανώς, από το µηδενισµό του δεύτερου µέλους της (1)
1 ⎛⎜Q1 Q2 ⎞⎟
⎜ + ⎟⎟ = 0
4πε ⎜⎜⎝ r1
r2 ⎠⎟
(3)
Q1 Q2
+
=0,
r1
r2
(4)
r1 / r2 = κ
(5)
ή
δηλαδή,
60
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
Από την (5) βλέπουµε ότι η ζητούµενη επιφάνεια είναι η επιφάνεια της Απολλώνειας
σφαίρας, που τα σηµεία της απέχουν από τα Q1 και Q2 αποστάσεις r1 και r2 σταθερού
λόγου κ .
Ας αναφέρουµε ότι η επιφάνεια αυτή περιβάλλει πάντα το φορτίο µε την µικρότερη
απόλυτη τιµή, ενώ στην περίπτωση όπου κ = 1 ( Q1 = −Q2 : ηλεκτρικό δίπολο) εκφυλίζεται στο µεσοκάθετο στην Q1Q2 επίπεδο.
Για να καθορίσουµε επακριβώς τη θέση του κέντρου O και την ακτίνα R της σφαίρας, αν εφαρµόσουµε την (5) για τα σηµεία A και B έχουµε
(AQ1 )
(AQ1 ) (AQ2 ) (AQ1 ) + (AQ2 )
α
α
(6)
=κ⇒
=
=
=
⇒ (AQ2 ) =
κ
1
κ +1
κ +1
κ +1
(AQ2 )
Παρόµοια, βρίσκουµε
α
κ −1
(7)
R=
κ
α,
κ −1
(8)
β=
1
α,
κ −1
(9)
(BQ2 ) =
Από τις (6) και (7), προκύπτουν οι
2
2
d = κR ,
(10)
R 2 = βd
(11)
και
Αν στο κέντρο Ο της σφαίρας τοποθετηθεί σηµειακό φορτίο Q3 , η σφαίρα εξακολουθεί να είναι ισοδυναµική επιφάνεια µε δυναµικό
φΣ =
Q3
4πεR
(12)
Τα συµπεράσµατα και οι σχέσεις που προέκυψαν στην άσκηση αυτή θα χρησιµοποιηθούν σε επόµενο κεφάλαιο στα προβλήµατα του ηλεκτρικού κατοπτρισµού.
61
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
2.5
Το βαθµωτό ηλεκτρικό δυναµικό φ , των σηµείων ενός πεδίου που απέχουν από τον
άξονα z περισσότερο από 1 m , έχει την έκφραση
⎛
x ⎞⎟
⎟,
φ = E 0 ⎜⎜x − 2
⎜⎝
x + y 2 ⎠⎟⎟
όπου E 0 σταθερά µε διαστάσεις (V / m ) . Ζητούνται:
(α) Η γεωµετρική µορφή της ισοδυναµικής επιφάνειας που έχει δυναµικό µηδέν.
(β) Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση στα σηµεία του χώρου και ειδικότερα στα σηµεία της
ευθείας x = 1 (m ) και y = 0 (m ) .
(γ) Υπάρχουν στο χώρο του πεδίου χωρικά φορτία;
(δ) Αν E 0 = 100 (kV / m ) να υπολογιστεί το έργο που παράγουν οι πεδιακές δυνάµεις
κατά τη µετακίνηση κεντρικού φορτίου q = −5 (nC ) πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα AB
όπου: A(2,-3,8) , B(3,-2,-8) .
y
φ=0
φ=0
x 2 + y2 = 1
z
P
x
φ=0
Σχήµα 2-5
Από την έκφραση της συνάρτησης δυναµικού είναι φανερό ότι το πεδίο είναι διδιάστατο (µεταβολή του φ µόνο ως προς x και y ).
(α) Η ισοδυναµική επιφάνεια µηδενικού δυναµικού έχει εξίσωση
⎛
x ⎞⎟
⎟= 0,
φ = E 0 ⎜⎜x − 2
⎜⎝
x + y 2 ⎠⎟⎟
62
(1)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
από την οποία προκύπτει
(1ος κλάδος),
(2)
x 2 + y 2 = 1 (2ος κλάδος).
(3)
x =0
ή
Η (2) αποτελεί τον 1ο κλάδο και περιλαµβάνει το επίπεδο x = 0 (εκτός από τα σηµεία y < 1 m : σύµφωνα µε την εκφώνηση), ενώ η (3) αποτελεί τον 2ο κλάδο και είναι η
κυλινδρική επιφάνεια ενός κυλίνδρου, που έχει εξίσωση x 2 + y 2 = 1 (m2 ) , και που η γενέτειρά του είναι παράλληλη προς τον άξονα z . Στο σχήµα –µε παχειά γραµµή – φαίνεται
η τοµή της ισοδυναµικής επιφάνειας φ = 0 µε το επίπεδο xy .
(β) Η ηλεκτρική πεδιακή E προκύπτει από την
E = −∇φ
(4)
ή
E x x 0 + Ey y 0 + E z z 0 = −
∂φ
∂φ
∂φ
x0 −
y0 −
z0 ,
∂x
∂y
∂z
(5)
οπότε
⎡
⎤
∂φ
y2 − x 2 ⎥
⎢
Ex = −
= −E 0 ⎢1 −
2 ⎥,
∂x
⎢
(x 2 + y 2 ) ⎥⎦⎥
⎣⎢
Ey = −
και
(6)
∂φ
xy
= −2E 0
2 ,
2
∂y
(x + y 2 )
(7)
∂φ
=0
∂z
(8)
Ez = −
Ειδικά για x = 1 και y = 0 (σηµείο P στο σχήµα) από τις (6), (7) και (8) προκύπτει
E x = −2E 0 ,
(9)
Ey = Ez = 0
(10)
(γ) Η πυκνότητα ρ των χωρικών φορτίων προκύπτει από την
ή
ρ = ∇ ⋅ D = ∇ ⋅ ε E = ε∇ ⋅ E
(11)
⎛ ∂E
∂Ey
∂E z ⎞⎟
⎟
+
ρ = ε ⎜⎜ x +
⎜⎝ ∂x
∂y
∂z ⎠⎟⎟
(12)
63
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
Με αντικατάσταση των (6), (7), (8) στην (12) προκύπτει τελικά
ρ =0,
(13)
δηλαδή δεν υπάρχουν χωρικά φορτία.
Στο ίδιο συµπέρασµα, προφανώς, µπορούµε να καταλήξουµε και µε αντικατάσταση
της συνάρτησης φ στην εξίσωση Poisson
∇2φ = −
ρ
ε
(14)
(δ) Τέλος, το ζητούµενο έργο WAB είναι κατά τα γνωστά
B
WAB = q ∫ E ⋅ d l = qU AB = q (φA − φB ) ,
A
(15)
και µε αντικατάσταση
⎛
⎞
x
x
WAB = qE 0 ⎜⎜⎜x A − 2 A 2 − x B + 2 B 2 ⎟⎟⎟ ,
x A + yA
x B + y B ⎠⎟
⎝⎜
δηλαδή
⎛
2
3 ⎞⎟
−3+ 2
WAB = −5 ⋅ 10−9 ⋅ 100 ⋅ 103 ⎜⎜2 − 2
⎟ = 0, 4615 (mWs)
2
⎜⎝
2 +3
3 + 22 ⎠⎟
(16)
Σηµείωση: Σχετικά µε τη µορφή των ισοδυναµικών επιφανειών του πεδίου για τα σηµεία του πεδίου τα αποµακρυσµένα από την επιφάνεια του κυλίνδρου x 2 + y 2 = 1 , επειδή
από την (1), για x 2 + y 2 1 , έχουµε
⎛
1 ⎞⎟
⎟ ≅ E 0x ,
φ = E 0x ⎜⎜1 − 2
⎜⎝
x + y 2 ⎠⎟⎟
(17)
προκύπτει ότι οι ισοδυναµικές επιφάνειες είναι επίπεδα κάθετα στον άξονα x .
2.6
Να υπολογιστεί το βαθµωτό ηλεκτρικό δυναµικό φ και η ηλεκτρική πεδιακή ένταση
E του πεδίου ενός σηµειακού ηλεκτρικού διπόλου, στα σηµεία P του χώρου που απέχουν
αποστάσεις r πολύ µεγαλύτερες από την απόσταση a των φορτίων του διπόλου. Να βρεθεί
επίσης η εξίσωση των δυναµικών γραµµών και των ισοδυναµικών επιφανειών του πεδίου.
64
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
P
r
θ
-q
+q
α/2
a/2
Σχήµα 2-6
Στο σηµειακό ηλεκτρικό δίπολο, ενώ η απόσταση a θεωρείται πολύ µικρή, η τιµή
του φορτίου q είναι τέτοια ώστε το µέτρο M = qa της ροπής M του διπόλου να είναι
πεπερασµένο.
Επειδή, όπως είναι προφανές, έχουµε να κάνουµε µε ένα πεδίο εκ περιστροφής – περί
τον άξονα του διπόλου – εξετάζουµε το πεδίο στο επίπεδο του σχήµατος, χρησιµοποιώντας
για ευκολία πολικές συντεταγµένες.
Το δυναµικό φ στο τυχόν σηµείο P , που προκύπτει από την υπέρθεση των δυναµικών των δύο φορτίων −q και q , έχει την έκφραση
φ=
−1/ 2
−1 / 2 ⎤
⎞⎟
⎛ 2 a2
⎞⎟
q ⎛⎜ 1
1⎞
q ⎡⎢⎛⎜ 2 a 2
⎥
⎜⎜r +
⎟
⎟
r
ar
cos
θ
ar
cos
θ
+
−
−
+
⎜⎜ − ⎟⎟⎟ =
⎜
⎢
⎥
4πε ⎝⎜ r1 r2 ⎠⎟ 4πε ⎢⎜⎝
4
4
⎠⎟⎟
⎝⎜
⎠⎟⎟
⎥⎦
⎣
(1)
ή, επειδή
a r1, r2 , r ,
−1 / 2
−1/ 2 ⎤
q ⎡ 2
− (r 2 + ar cos θ )
⎢(r − ar cos θ )
⎥
⎦
4πε ⎣
−
1/
2
−
1/
2
⎤ ,
⎛
q ⎡⎢⎛⎜
a cos θ ⎞⎟
a cos θ ⎞⎟
⎥
⎜
1
1
=
−
−
+
⎟
⎟
⎜
⎥
⎝⎜⎜
4πεr ⎢⎣⎢⎜⎝
r ⎠⎟
r ⎠⎟
⎦⎥
(2)
φ=
(3)
Η (3), αν τους όρους µέσα στις παρενθέσεις του δεξιού µέλους τους αναπτύξουµε
σύµφωνα µε τον τύπο του δυωνύµου και παραλείψουµε, λόγω της (2), τους όρους που περιέχουν δυνάµεις του λόγου a / r µεγαλύτερες ή ίσες του 2, δίνει
φ≅
q
4πεr
⎡⎛
⎞ ⎛
⎞⎤
a
a
⎢⎜⎜1 +
cos θ ⎟⎟⎟ − ⎜⎜1 − cos θ ⎟⎟⎟⎥ ,
⎠
⎝
⎠⎥⎦
⎢⎣⎝
2r
2r
65
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
y
P(r , θ)
r2
r
θ
-q
r1
+q
(M = aqx 0 )
α/2
α/2
x
Σχήµα 2-7
ή
φ≅
qa cos θ
4πε r 2
(4)
Στην (4) µπορούµε συντοµότερα να καταλήξουµε και ως εξής:
Αν οι αποστάσεις r1 και r2 προσεγγιστούν από τις εκφράσεις
r1 ≅ r −
a
cos θ
2
(5α)
r2 ≅ r +
a
cos θ ,
2
(5β)
και
έχουµε
φ=
⎞⎟
q ⎜⎛ 1
1⎞
q ⎛
1
1
q
a cos θ
⎜⎜
−
=
⎜ − ⎟⎟⎟ ≅
⎟
2
a
a
⎜
⎟
4πε ⎜⎝ r1 r2 ⎠⎟ 4πε ⎜⎜ r − cos θ r + cos θ ⎟ 4πε 2 a
r − cos2 θ
⎜⎝
⎠⎟
2
2
4
(6)
ή, λόγω της (2),
φ≅
qa cos θ
cos θ
=K 2 ,
2
4πεr
r
(7)
qa
4πε
(8)
όπου
K =
Η συνάρτηση δυναµικού φ µπορεί, επίσης, να γραφεί, συναρτήσει της ροπής M , ως
66
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
φ=
⎛1⎞
M cos θ
M⋅ r
1
=
=−
M ⋅ ∇ ⎜⎜ ⎟⎟⎟
2
3
⎝r ⎠
4πεr
4πεr
4πε
(9)
Οι συνιστώσες Er και E θ (E z = 0) της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης, προκύπτουν
– σε σφαιρικές συντεταγµένες – από τις
∂φ
∂r
(10)
1 ∂φ
,
r ∂θ
(11)
Er = −
και
Eθ = −
όπου ο άξονας x του σχήµατος υποκαθιστά τον άξονα z στις συνήθεις εκφράσεις σε
σφαιρικές συντεταγµένες.
Από τις (7), (8), (10) και (11), έχουµε
Er = 2K
Eθ = K
cos θ
,
r3
(12)
sin θ
r3
(13)
και
E = Er r0 + E θ θ 0 =
qa
(2 cos θ r0 + sin θ θ 0)
4πεr 3
(14)
Οι εξισώσεις των ισοδυναµικών επιφανειών, όπως αµέσως φαίνεται από την (7), προκύπτουν από την
cos θ
= C1 ,
r2
για διάφορες τιµές της παραµετρικής σταθεράς C 1 .
67
(15)
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
y
sin 2 θ
= const
r
M = qax 0
x
cos θ
= const
r2
: ∆υναµικές γραµµές
: Ισοδυναµικές επιφάνειες
Σχήµα 2-8
Για τον καθορισµό των εξισώσεων των δυναµικών γραµµών, επειδή το διάνυσµα E
είναι εφαπτοµενικό σε κάθε σηµείο τους, έχουµε σε σφαιρικές συντεταγµένες
dr
rdθ
=
Er
Eθ
(16)
Η (16), λόγω των (12) και (13), γράφεται
dr
2 cos θ
dθ
=
r
sin θ
(17)
Η (17) µπορεί επίσης να γραφεί ως
d (sin θ)
dr
=2
r
sin θ
(18)
d (ln r ) = d (2 ln sin θ ) = d ⎡⎢(ln(sin2 θ))⎤⎥
⎣
⎦
(19)
ή
Τέλος, από την ολοκλήρωση της (19), προκύπτει η εξίσωση
sin2 θ
= C2 ,
r
των δυναµικών γραµµών, για διάφορες τιµές της παραµετρικής σταθεράς C 2 .
68
(20)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
2.7
Να καθοριστεί, µε τη βοήθεια του νόµου του Gauss (ροής), η εξίσωση των δυναµικών
γραµµών ενός πεδίου που προέρχεται από n σηµειακά φορτία q1, q 2 ,..., qn , τοποθετηµένα
στην ίδια ευθεία γραµµή.
y
P
ε′
ε
…
θ1
Ο
q1
q2
θ2
…
…
Nm
θm+1
θm
qm
qm+1
θn
θm+2
qm+2
…
qn
x
P΄
Σχήµα 2-9
Έστω ότι τα φορτία q1, q 2 ,..., qn βρίσκονται πάνω στον άξονα x ενός συστήµατος ορθογωνίων συντεταγµένων και x 1, x 2 ,..., x n είναι οι αντίστοιχες τετµηµένες των θέσεων των
φορτίων. Το πεδίο του συστήµατος, προφανώς, εµφανίζει αξονική συµµετρία οι δυναµικές
δε γραµµές του πεδίου βρίσκονται πάνω σε επίπεδα που περιλαµβάνουν τον άξονα συµµετρίας.
Αν ε − ε ′ είναι µια τυχούσα δυναµική γραµµή του επιπέδου του σχήµατος, τότε η επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή της ε − ε ′ περί τον άξονα x , αποτελεί την
παράπλευρη επιφάνεια ενός δυναµικού σωλήνα.
Έστω, λοιπόν, P − P′ η τοµή (κυκλικός δίσκος) του σωλήνα, µε ένα κάθετο επίπεδο
που διέρχεται από το τυχόν σηµείο P της ε − ε ′ . Αν N m είναι η ροή δια της διατοµής
P − P′ , είναι γνωστό ότι αυτή είναι σταθερή για όλες τις διατοµές του σωλήνα που βρί-
σκονται ανάµεσα στα φορτία qm και qm +1 . Αν, επιπλέον, θεωρήσουµε και µια διατοµή µε-
69
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
ταξύ των φορτίων qm +1 και qm +2 , τότε η ροή N m +1 που διέρχεται από τη νέα αυτή διατοµή, σύµφωνα µε το νόµο του Gauss, δίνεται από την
N m +1 = N m + qm +1
(1)
Οι ροές N m και N m +1 προκύπτουν, φυσικά, από το άθροισµα των ροών που οφείλονται στα φορτία q1, q 2 ,..., qn .
Ας θεωρήσουµε, αρχικά, το τυχόν φορτίο qi και ας ζητήσουµε να υπολογίσουµε τη
ροή N qi , που οφείλεται µόνο σ’ αυτό και διέρχεται από το δίσκο P − P′ .
Αν Ωi είναι η στερεά γωνία µε την οποία φαίνεται ο δίσκος από τη θέση του φορτίου
qi , αυτή, κατά τα γνωστά, συνδέεται µε την επίπεδη γωνία θi , µε τη σχέση
Ωi = 2π(1 − cos θi )
(2)
Επειδή, όµως, η ροή N qi δίνεται από τη
N qi = qi
Ωi
,
4π
(3)
λόγω της (2), έχουµε
N qi =
qi
(1 − cos θi )
2
(4)
Αξίζει να υπενθυµίσουµε ότι η στερεά γωνία Ω µε την οποία φαίνεται µια λεία επιφάνεια S από ένα σηµείο Ο του χώρου, δίνεται από τη σχέση
r ⋅d S
Ω = ⌠⌠
,
⌡⌡S r 3
(5)
όπου r είναι η επιβατική ακτίνα από το O στα αντίστοιχα στοιχεία d S της S . Η r υποτίθεται ότι συναντά την S µόνο µια φορά.
Ας επανέλθουµε, τώρα, στη ροή N m δια της διατοµής P − P′ . Η ροή αυτή, σύµφωνα
µε την (4), είναι
n
N m = ∑ N qi =
i =1
1 n
1 n
qi (1 − cos θi ) − ∑ qi [1 − cos(π − θi )] ,
∑
2 i =1
2 i =m +1
(6)
όπου η ροή των δεξιά της P − P′ φορτίων θεωρήθηκε αρνητική.
Από την (6) προκύπτει η
Nm =
1 m
1 n
qi (1 − cos θi ) − ∑ qi (1 + cos θi )
∑
2 i =1
2 i =m +1
70
(7)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
ή
n
m
i =1
i =1
∑ qi cos θi = −2N m + ∑ qi −
n
∑q
=C
i
(8)
i =m +1
όπου C σταθερά. Θα αποδείξουµε ότι η τιµή του δεξιού µέλους της (8) παραµένει σταθερή, όταν το σηµείο P διατρέχει την ε − ε ′ . Πράγµατι, όταν η P − P′ βρεθεί µεταξύ των
qm +1 και qm +2 , προκύπτει, αντίστοιχα προς την (8), η
m +1
n
∑q
i =1
i
cos θi′ = −2N m +1 + ∑ qi −
i =1
n
∑q
i
=C′
(9)
i =m +2
Αν, όµως, στην (9) αντικατασταθεί η ροή N m +1 από την (1) έχουµε
m +1
C ′ = −2(N m + qm +1 ) + ∑ qi −
i =1
n
∑
n
i =m +2
qi = −2N m + ∑ qi −
i =1
n
∑q
i
(10)
i =m +1
Από τις (8) και (9) παρατηρούµε ότι οι σταθερές C και C ′ έχουν την ίδια τιµή. Φυσικά, το ίδιο συµβαίνει για κάθε θέση της P − P′ .
Άρα η
n
∑q
i
cos θi = C ,
(11)
i =1
αποτελεί την παραµετρική εξίσωση των δυναµικών γραµµών του πεδίου. Σε κάθε τιµή της
C αντιστοιχεί µια δυναµική γραµµή του πεδίου.
Η εξίσωση των δυναµικών γραµµών σε καρτεσιανές συντεταγµένες, όπως φαίνεται
από την (11), αν τα συνηµίτονα των γωνιών θi , εκφραστούν συναρτήσει των συντεταγµένων x , y και x i , είναι η
n
∑q
i =1
2.8
i
x − xi
( x − xi )
2
+ y2
=C
(12)
Να βρεθεί η εξίσωση των δυναµικών γραµµών του πεδίου που παράγεται από γραµµι-
κό φορτίο διανεµηµένο οµοιόµορφα σ’ ευθύγραµµο τµήµα.
71
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
y
P(x,y)
r
1
r
2
Ο
Α
Β
θ
ρl
α
x
dζ
ζ
β
Σχήµα 2-10
Έστω το οµοιόµορφα φορτισµένο ευθύγραµµο τµήµα AB , τοποθετηµένο πάνω στον
άξονα x ενός ορθογωνίου συστήµατος συντεταγµένων. Αν ρl είναι η γραµµική πυκνότητα
του φορτίου, τότε, το στοιχειώδες φορτίο dQ του απειροστού τµήµατος d ζ , που απέχει
από την αρχή των αξόνων απόσταση ζ είναι
dQ = ρl d ζ .
(1)
Η εξίσωση (12) της προηγούµενης άσκησης, στην περίπτωση αυτή παίρνει τη µορφή
β
⌠
⎮ ρl
⌡α
x −ζ
2
(x − ζ ) + y 2
dζ =C ,
(2)
ή
β
⌠ ρ d ⎢⎡(x − ζ )2 + y 2 ⎤⎥
⎦ =C
⎮ l ⎣
⎮ 2
2
2
(x − ζ ) + y
⌡α
(3)
Από την ολοκλήρωση της (3) προκύπτει
2
ρl (x − ζ ) + y 2
β
=C ,
(4)
α
δηλαδή
(x − α)2 + y 2 − (x − β )2 + y 2 = λ ,
όπου λ = C / ρl = const είναι η παράµετρος της οικογένειας των δυναµικών γραµµών.
Από την (5) που γράφεται επίσης και ως
72
(5)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
r1 − r2 = λ ,
(6)
παρατηρούµε ότι οι δυναµικές γραµµές είναι υπερβολές µε εστίες τα άκρα A και B του
τµήµατος. Είναι, εξάλλου, γνωστό ότι οι ισοδυναµικές επιφάνειες είναι ελλειψοειδή εκ περιστροφής µε εστίες, επίσης, τα άκρα A και B .
Στην περίπτωση όπου το µήκος του τµήµατος AB τείνει στο άπειρο ( AB : ηµιευθεία), αν θεωρηθεί ότι το σηµείο A συµπίπτει µε την αρχή O των αξόνων (α = 0) , και το
τµήµα AB µε τον θετικό ηµιάξονα, τότε, η (5) επειδή α = 0 και
(x − β )2 + y 2 ≅ (β − x )2 = β − x ,
(7)
x 2 + y 2 − (β − x ) = λ
(8)
x 2 + y2 + x = λ + β = µ
(9)
γράφεται
ή
Από την (9) προκύπτει τελικά
y 2 = µ 2 − 2µ x ,
(10)
δηλαδή οι δυναµικές γραµµές είναι παραβολές που έχουν ως εστία την αρχή A του γραµµικού φορτίου.
2.9
∆ύο σηµειακά φορτία QA = 4Q και QB = −Q , είναι τοποθετηµένα σ’ ένα οµογενές
και ισότροπο µέσο στα σηµεία A και B , αντίστοιχα. Η απόσταση των σηµείων A και B
είναι a , ενώ η ένταση του πεδίου των δύο αυτών φορτίων είναι µηδενική σ’ ένα σηµείο Γ .
Αφού καθοριστεί η θέση του σηµείου Γ , ζητείται:
(α) Να αποδειχτεί ότι η δυναµική γραµµή που διέρχεται από το σηµείο Γ τέµνει την ευθεία AB µε γωνία 60 o
στο σηµείο A .
(β) Να βρεθεί η γωνία που σχηµατίζει µε την ευθεία AB στο σηµείο A η δυναµική
γραµµή γραµµή που τέµνει την ευθεία AB κάθετα στο σηµείο B .
73
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
y
Α
QA = 4Q
QB = -Q
Β
a
Γ
x
Σχήµα 2-11
Για τον προσδιορισµό της θέσης του σηµείου Γ , αρχικά παρατηρούµε ότι η ένταση
του πεδίου – εκτός από τα σηµεία του απείρου – αν µηδενίζεται σε κάποια ή κάποιες θέσεις, αυτές – επειδή QA > QB – βρίσκονται δεξιά από το σηµείο B .
Αν λοιπόν x Γ είναι η τετµηµένη ενός τέτοιου σηµείου Γ , έχουµε
EΓ =
QA
QB
x0 +
2 x0 ,
4πεx Γ2
4πε (x Γ − a )
(1)
και επειδή πρέπει E Γ = 0 ,
4Q
Q
−
=0
2
4πεx Γ 4πε(x Γ − a )2
(2)
Από τη δεκτή λύση της (2), προκύπτει ότι
x Γ = 2a
(3)
(α) Ας θεωρήσουµε τώρα τη δυναµική γραµµή (ε) που ξεκινάει από το A και φθάνει
στο σηµείο Γ , και έστω θ0 η γωνία που σχηµατίζει µε την AB στο σηµείο A . Αν P(x , y )
είναι τυχόν σηµείο της (ε) , και θA , θB οι γωνίες των PA και PB µε τον άξονα x , αντίστοιχα, τότε µε βάση την (11) της άσκησης 2.7
n
∑q
i
cos θi = C ,
(4)
i =1
έχουµε για την περίπτωσή µας
QA cos θA + QB cos θB = C
ή
74
(5)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
4Q cos θA − Q cos θB = C
(6)
Αφού η δυναµική γραµµή (ε) διέρχεται από το σηµείο Γ , όπου θA = θB = 0D , από
την (6) για θA = θB = 0D , υπολογίζεται η σταθερά C
4Q cos 0D − Q cos 0D = C
δηλαδή,
C = 3Q
(7)
Άρα, η εξίσωση της γραµµής (ε) είναι η
4 cos θA − cos θB = 3
(8)
y
(ε)
P(x,y)
θ0
4Q
-Q
Α
θΒ
Β
θΑ
a
Γ
x
Γ
x
a
Σχήµα 2-12
y
P(x,y)
(η)
4Q
Α
θ0′
-Q
a
Β
a
Σχήµα 2-13
75
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
Όταν το σηµείο P πλησιάζει προς το A , τότε, έχουµε θA = θ0 και θB = 180D , οπότε
από την (8)
4 cos θ0 − cos180D = 3
ή
cos θ0 = 1/ 2 ,
δηλαδή,
θ0 = 60D
(9)
Επίσης, µπορεί εύκολα κανείς να παρατηρήσει ότι η δυναµική γραµµή (6) τέµνει την
ΑΓ κάθετα στο σηµείο Γ .
(β) Έστω (η) η δυναµική γραµµή που τέµνει την AB κάθετα στο B . Σύµφωνα µε τα
προηγούµενα όταν ως σηµείο P(x , y ) θεωρηθεί το B , όπου θA = 0D και θB = 90D , από
την (6) έχουµε
4Q cos 0o − Q cos 90o = C
ή
C = 4Q
(10)
4 cos θA − cos θB = 4
(11)
Η εξίσωση συνεπώς της (η) είναι η
Όταν το P συµπέσει µε το A , όπου θA = θ0 και θB = 180D , λόγω της (11) έχουµε
4 cos θ0 − cos180D = 4
ή
cos θ0 = 3 / 4 ,
δηλαδή
θ0 = 41, 4096D .
Η µορφή των δυναµικών γραµµών και των ισοδυναµικών επιφανειών, καθώς επίσης
και η µεταβολή του δυναµικού φ πάνω στον άξονα x φαίνεται στα σχήµατα 2-14(α), (β)
και (γ), αντίστοιχα.
76
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
y
Γ
B
A
x
(α) ∆υναµικές γραµµές
y
A
Γ
B
x
(β) Ισοδυναµικές επιφάνειες
φ
φmax
B
Γ
A
(γ) Συνάρτηση δυναµικού
Σχήµα 2-14
77
x
φ
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
2.10 Στα σηµεία A και B βρίσκονται αντίστοιχα τα κεντρικά φορτία q και −q (q > 0) .
Η δυναµική γραµµή που ξεκινάει από το σηµείο A και σχηµατίζει γωνία θ µε την ευθεία
AB , τέµνει το µεσοκάθετο στην AB επίπεδο στο σηµείο Γ . Αν ω είναι η γωνία (Γ AB ,
να αποδειχτεί ότι µεταξύ των γωνιών θ και ω ισχύει η σχέση
sin
θ
ω
= 2 sin .
2
2
Ας θεωρήσουµε τη δυναµική γραµµή (ε) που ξεκινάει από το A και σχηµατίζει γωνία θ µε την AB . Λόγω συµµετρίας, η γραµµή αυτή σχηµατίζει την ίδια γωνία θ και στο
B µε την BA . Σύµφωνα µε τη γενική εξίσωση
n
∑q
i
cos θi = C ,
(1)
i =1
που δίνει την εξίσωση των δυναµικών γραµµών, για q1 = q και q 2 = −q έχουµε
q cos θA − q cos θB = C
(2)
Στο σηµείο Γ , που προκύπτει από την τοµή της (ε) µε το µεσοκάθετο στην AB επίπεδο, είναι θA = ω και θB = 180D − ω . Με αντικατάσταση των θA και θB στην (2) προκύπτει
q cos ω − q cos(180D − ω) = C ,
Γ
θ
Α
(ε)
θ
ω
q
ω
-q
Σχήµα 2-15
ή
78
Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
2q cos ω = C
(3)
Επίσης, για το σηµείο A της (ε) όπου θA = θ και θB = 180D , λόγω της (2) έχουµε
q cos θ + q = C .
(4)
2 cos ω = 1 + cos θ
(5)
Από τις (3) και (4) προκύπτει
ή
⎛
⎛
ω⎞
2 ⎜⎜1 − 2 sin2 ⎟⎟⎟ = 1 + ⎜⎜⎜1 − 2 sin2
⎝
⎝
2⎠
θ ⎟⎞
⎟,
2 ⎟⎠
δηλαδή
sin
θ
ω
= 2 sin
2
2
(6)
2.11 Να υπολογιστεί η ηλεκτρική ροή που διέρχεται από την παράπλευρη επιφάνεια ενός
ορθού κυλίνδρου που έχει ύψος L και ακτίνα a και που προέρχεται από ένα σηµειακό φορτίο q τοποθετηµένο στον άξονα του κυλίνδρου. Οι αποστάσεις του σηµειακού φορτίου από
την πάνω και κάτω βάση του κυλίνδρου είναι L1 και L2 αντίστοιχα (L = L1 + L2 ) .
Το στοιχειώδες εµβαδό d S στο σηµείο P (a, ϕ, z ) της παράπλευρης επιφάνειας έχει,
σε κυλινδρικές συντεταγµένες (πίνακας 1.2), την έκφραση
d S = a d ϕ dz ρ 0
(1)
όπου ρ 0 το µοναδιαίο, κάθετο στην d S , ακτινικό διάνυσµα.
Επίσης, αν R είναι η επιβατική ακτίνα από τη θέση του φορτίου q , µέχρι το σηµείο
P , η διηλεκτρική µετατόπιση D στο σηµείο αυτό είναι
D=
q R0
,
4πR 2
(2)
όπου R 0 το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την κατεύθυνση του R .
Έτσι, αν S π είναι η παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου, η ζητούµενη ροή N π είναι
79
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
z
D
L
1
θ1
P
R
q
ϕ
L
dS
θ
y
θ2
2
a
x
Σχήµα 2-16
Nπ =
∫∫
Sπ
L
D⋅d S=
qa ⌠ 1 ⌠ 2 π ρ0 ⋅ R 0
d ϕ dz
⎮
4π ⌡−L2 ⌡ 0
R2
(3)
Η (3), επειδή όπως εύκολα φαίνεται από τις σχέσεις
ρ 0 ⋅ R 0 = cos θ ,
(4)
z = a tan θ ,
(5)
dz =
a
dθ
cos2 θ
(6)
και
cos θ =
a
,
R
(7)
γράφεται
π / 2−θ1
2π
⌠ q cos θ d ϕ d θ =q ⎡⎢ sin ⎛⎜ π − θ1 ⎞⎟⎟ + sin ⎛⎜ π − θ2 ⎞⎟⎟⎤⎥ ,
Nπ = ⌠
⌡−( π / 2−θ2 ) ⌡ 0 4π
⎠⎟
⎝⎜ 2
⎠⎟⎦⎥
2 ⎣⎢ ⎜⎝ 2
δηλαδή
80
(6)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
Nπ =
q
(cos θ1 + cos θ2 )
2
(8)
Ένας συντοµότερος τρόπος επίλυσης του προβλήµατος είναι ο εξής:
Αν N 1 και N 2 είναι οι ροές που διέρχονται από την πάνω και κάτω βάση του κυλίνδρου, αντίστοιχα, τότε, η ολική ροή N δια της εξωτερικής επιφάνειας του κυλίνδρου είναι
N = N1 + N 2 + N 3
(9)
Οι ροές όµως N 1 και N 2 , σύµφωνα µε τη σχέση (4) της άσκησης (2.7), δίνονται από
τις
N1 =
q
(1 − cos θ1 )
2
(10)
N2 =
q
(1 − cos θ2 )
2
(11)
και
Από τις (9), (10), (11) και επειδή η ολική ροή, σύµφωνα µε το νόµο του Gauss, είναι
ίση µε το φορτίο q (N = q ) , καταλήγουµε και πάλι στην (8), αφού
N π = N − N1 − N 2 = q −
q
q
q
(1 − cos θ1 ) − (1 − cos θ2 ) = (cos θ1 + cos θ2 )
2
2
2
(12)
2.12 Η διηλεκτρική µετατόπιση ενός ηλεκτροστατικού πεδίου, που εκτείνεται στον άπειρο
κενό χώρο, δίνεται από τη σχέση
(
)
⎧
⎪⎪K 3 x 2 + y 2 + z 2 + 4R (x x + y y + z z ) ,
0
0
0
⎪
⎪
4
D = ⎪⎨
7K R
⎪
(x x 0 + y y 0 + z z0 ),
⎪
3/2
2
⎪
⎪
x + y2 + z 2 )
(
⎪
⎩
: x 2 + y 2 + z 2 ≤ R2
: x 2 + y 2 + z 2 ≥ R2
όπου x 0 , y 0 , z0 είναι τα µοναδιαία διανύσµατα ενός ορθογώνιου συστήµατος συντεταγµένων
xyz και K , R σταθερές. Ζητείται να υπολογιστούν:
(α) Η πυκνότητα των χωρικών φορτίων του πεδίου
(β) Το ολικό φορτίο του χώρου του πεδίου
(γ) Η συνάρτηση του βαθµωτού ηλεκτρικού δυναµικού φ .
81
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
z
P(r , θ, ϕ)
r
θ
R
O
y
x
Σχήµα 2-17
Από την έκφραση της διηλεκτρικής µετατόπισης, επειδή r = x x 0 + y y 0 + z z0 και
r = (x 2 + y 2 + z 2 )1/ 2 , φαίνεται, αµέσως, ότι το πρόβληµα εµφανίζει σφαιρική συµµετρία,
και συνεπώς ενδείκνυται η χρησιµοποίηση σφαιρικών συντεταγµένων r , θ, ϕ . Η έκφραση
της διηλεκτρικής µετατόπισης σ’ ένα τέτοιο σύστηµα είναι
⎧⎪K (3r + 4R)r : r ≤ R
⎪⎪
D = ⎪⎨ 7KR 4
⎪⎪
r
: r ≥R
⎪⎪⎩ r 3
(1)
(α) Η πυκνότητα ρ των χωρικών φορτίων υπολογίζεται από τη σχέση
ρ = ∇⋅D
Η
απόκλιση
της
διηλεκτρικής
µετατόπισης,
(2)
σε
σφαιρικές
συντεταγµένες
(D = Dr r0 + Dθ θ 0 + Dϕ ϕ0 ) έχει την έκφραση
∇⋅D =
1 ∂(r 2Dr )
1 ∂(Dθ sin θ)
1 ∂Dϕ
+
+
2
r
∂r
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ
(3)
1 ∂(r 2Dr )
r2 ∂r
(4)
ή, λόγω της (1),
∇⋅D =
Από τις (1), (2) και (4) υπολογίζεται η πυκνότητα των χωρικών φορτίων
⎧⎪12K (R + r ) : r ≤ R
ρ =⎪
⎨
⎪⎪ 0
: r ≥R
⎪⎩
(5)
Παρατηρούµε, από την (5), ότι χωρικά φορτία υπάρχουν µόνο στον όγκο της σφαίρας.
82
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
(β) Το ολικό φορτίο Qt υπολογίζεται από την ολοκλήρωση της (5) σ’ όλο το χώρο
του πεδίου
Qt =
∫∫∫
V
ρ dV =∫∫∫ ρdV + ∫∫∫ 0dV ,
Vi
V0
(6)
όπου Vi είναι ο όγκος της σφαίρας r ≤ R και V0 είναι ο εκτός της σφαίρας χώρος
(r > R) .
Η (6), λόγω της (5), δίνει
Qt =
∫∫∫
V
ρdV =
π
R
∫ ∫ ∫
0
0
2π
0
12K (R + r )r 2 sin θd ϕ d θ dr = 28πKR 4
(7)
Στο ίδιο αποτέλεσµα µπορούµε επίσης να φθάσουµε και µε εφαρµογή του νόµου της
ροής (Gauss). Πράγµατι, από την (1) µε ολοκλήρωση σε µια οποιαδήποτε σφαιρική επιφάνεια S ακτίνας r ≥ R , παίρνουµε
π
Qt =
2π
4
⌠ ⌠ 7KR
2
∫∫S D ⋅ d S = ⎮⌡ 0 ⌡ 0 r 2 r0 ⋅ r sin θ d ϕd θ r0
= 7KR
∫
4
2π
0
π
dϕ ∫ sin θd θ = 28πKR
(8)
4
0
Επίσης, από την (5), µε ολοκλήρωση στο διάστηµα από 0 µέχρι r , όπου r < R , υπολογίζεται το φορτίο Q(r ) που είναι διανεµηµένο στον όγκο σφαίρας ακτίνας r
Q(r ) =
∫
r
0
48πK (R + r )r 2 dr = 4πK (4R + 3r )r 3
(9)
(γ) Το βαθµωτό ηλεκτρικό δυναµικό φ σε ένα τυχόν σηµείο P , λόγω του αστρόβιλου του ηλεκτροστατικού πεδίου, υπολογίζεται από την ολοκλήρωση της έντασης του πεδίου πάνω σ’ οποιονδήποτε δρόµο που συνδέει το θεωρούµενο σηµείο P του πεδίου µε το
σηµείο αναφοράς του δυναµικού (κάθε σηµείο της άπειρης σφαίρας).
Έτσι, αν θεωρήσουµε ότι η ολοκλήρωση γίνεται κατά την ακτινική διεύθυνση, έχουµε
φ=
∫
∞
P
E ⋅dl =
∫
r
∞
Er dr ,
(10)
όπου Er = Dr / ε0 είναι η συνιστώσα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου κατά την ακτινική διεύθυνση.
Από τις (1) και (10) προκύπτει
83
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
R
4
⎧⎪ R
∞
K
K
⌠ 7KR
⎪
E dr + ∫ Er dr = ⌠
(3r + 4R)rdr + ⎮
dr = (10R 3 − r 3 − 2Rr 2 )
⎮
2
⎪⎪⎪∫r r
R
⌡
⌡
r
ε
ε
ε0
r
0
0
R
φ = ⎪⎨
∞
4
4
⎪⎪
∞
7
7
KR
KR
⌠
⎪⎪
: r ≥R
∫r Er dr = ⎮⌡r ε0r 2 dr = ε0r
⎪⎪⎩
∞
: r ≤R
(11)
Στο σχήµα που ακολουθεί έχουν σχεδιαστεί οι µεταβολές των φ, ρ,Q συναρτήσει της
απόστασης r .
φ, ρ,Q
φ(r )
ρ(r )
Q(r )
R
Ο
r
Σχήµα 2-18
2.13 Η συνάρτηση δυναµικού φ ενός πεδίου δίνεται από τη σχέση
φ=
2
2
q0
e −r / a ,
4πε0r
όπου r είναι η απόσταση του θεωρούµενου σηµείου από την αρχή των αξόνων ( r : διάνυσµα θέσης), a σταθερή απόσταση και q 0 θετική ποσότητα µε διαστάσεις φορτίου. Ζητείται:
(α) Να υπολογιστεί η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E και η ηλεκτρική ροή N που διέρχεται από την επιφάνεια σφαίρας ακτίνας r . Ποιες είναι οι εκφράσεις των E και N όταν η
απόσταση r τείνει στο µηδέν;
(β) Να υπολογιστεί η χωρική πυκνότητα φορτίου ρ καθώς επίσης και το συνολικό φορτίο Qt που περιέχεται στη σφαίρα µε ακτίνα r . Ποια είναι η έκφραση του Qt όταν η απόσταση r τείνει στο άπειρο;
84
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
(α) Η ένταση E του πεδίου µπορεί να υπολογιστεί από την
E = −∇φ
(1)
Επειδή η συνάρτηση φ εµφανίζει σφαιρική συµµετρία, χρησιµοποιούµε σφαιρικές
συντεταγµένες, οπότε από την (1), έχουµε
E(r ) = Er r0 = −
q 2r 2 + a 2 −r 2 / a 2
∂φ
e
r0 = 0
r0
∂r
4πε0 a 2r 2
(2)
Η ροή N (r ) που διέρχεται από την επιφάνεια της σφαίρας είναι
N (r ) =
w
∫∫
π
S
D ⋅ d S = ε0 ∫∫
w E(r ) ⋅d S
S
2π
2
2
q 0 2r + a −r 2 / a 2 2
⌠
=⎮ ⌠
e
r sin θd ϕd θ r0 ⋅ r0 = 4πr 2 ε0Er (r )
⌡ 0 ⌡ 0 4 π a 2r 2
ή
2r 2 + a 2 −r 2 / a 2
e
(3)
a2
Από τις (2) και (3) βλέπουµε ότι η ένταση του πεδίου απειρίζεται όταν η απόσταση r
N (r ) = q 0
(
)
τείνει στο µηδέν lim E (r ) = ∞ , ενώ η ροή N γίνεται ίση µε q0
r →0
(lim N (r ) = q ) . ∆ηr →0
0
λαδή, στην αρχή του συστήµατος των συντεταγµένων είναι τοποθετηµένο ένα σηµειακό
φορτίο q 0 .
(β) Η πυκνότητα ρ των χωρικών φορτίων υπολογίζεται από τη διαφορική διατύπωση
του νόµου του Gauss
ρ = ∇ ⋅ D = ε0 ∇ ⋅ E = ε0
1
d 2
(r sin θEr )
r 2 sin θ dr
(4)
Η, (4) λόγω της (2), δίνει
ρ(r ) =
ε0 d ⎛⎜ q 0 2r 2 + a 2 −r 2 / a 2 ⎞⎟
q 0 a 2 − 2r 2 −r 2 / a 2
⎟
e
e
=
⎜
⎟
4
r 2 dr ⎜⎝ 4πε0
a2
r
⎠⎟ 2πa
(5)
Το συνολικό φορτίο Qt (r ) που περιέχεται σε µια σφαίρα ακτίνας r , σύµφωνα µε το
νόµο του Gauss, ισούται µε τη ροή N (r ) . Έτσι, από την (3) προκύπτει
Qt (r ) = q 0
2r 2 + a 2 −r 2 / a 2
e
a2
85
(6)
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
∆εν είναι δύσκολο να δούµε ότι στο ίδιο αποτέλεσµα καταλήγουµε και µε ολοκλήρωση της (5) στον όγκο V της σφαίρας αφού λάβουµε υπόψη την ύπαρξη του σηµειακού
φορτίου q 0 στο κέντρο (αρχή αξόνων) της σφαίρας. Πράγµατι,
r
π
2π
q 0 a 2 − 2r 2 −r 2 / a 2 2
⌠ ⌠
Qt (r ) = q 0 + ∫∫∫ ρdV = q 0 + ⎮ ⎮ ⌠
e
r sin θd ϕd θdr
V
⌡ 0 ⌡ 0 ⌡ 0 2πa 4
r
r
(r / a )2
2
2
2q
, (7)
= q 0 + 40 ∫ (a 2 − 2r 2 )re −r / a dr = q 0 + q 0 ∫
(1 − 2t )e −tdt
0
0
a
⎛ 2r 2 2 2
⎞
2
2
2r 2 + a 2 −r 2 / a 2
= q 0 + q 0 ⎜⎜ 2 e −r / a + e −r / a − 1⎟⎟⎟ = q 0
e
⎜⎝ a
a2
⎠⎟
Από την (6) και µε εφαρµογή του κανόνα L’ Hospital, έχουµε
q
lim Qt (r ) = lim 02
r →∞
r →∞ a
⎡d
2
2 ⎤
⎢ (2r + a ) ⎥
⎛ 2q 0 ⎞⎟
⎢ dr
⎥
⎜⎜
2
2 ⎟ = 0
⎢ d r 2 / a 2 ⎥ = rlim
→∞ ⎜
⎝a 2e r / a ⎠⎟
⎢
⎥
e
⎣⎢ dr
⎦⎥
(
)
(8)
∆ηλαδή το συνολικό φορτίο είναι µηδέν και άρα το κατανεµηµένο φορτίο είναι ίσο
και αντίθετο µε το σηµειακό φορτίο q 0 .
2.14 ∆ίνονται οι συναρτήσεις φ1 = A tan−1 y / x και φ2 = B(a 4 − 2a 3x + 2ax 3 − x 4 )
= B(a + x )(a − x )3 και ζητούνται:
(α) Ποια από τις δύο συναρτήσεις φ1 και φ2 δεν µπορεί να είναι συνάρτηση δυναµικού
ηλεκτροστατικού πεδίου και γιατί;
(β) Για το άλλο πεδίο, να βρεθεί η µορφή των ισοδυναµικών επιφανειών και των δυναµικών γραµµών, η ισοδυναµική επιφάνεια µηδενικού δυναµικού (επιφάνεια αναφοράς των
δυναµικών), η πεδιακή ένταση E σε κάθε σηµείο του πεδίου και η πυκνότητα των χωρικών
φορτίων του πεδίου.
(α) Η συνάρτηση φ1 = A tan−1 y / x , δεν µπορεί να είναι συνάρτηση δυναµικού ηλεκτροστατικού πεδίου, επειδή δεν είναι µονοσήµαντη.
86
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
(β) Οι ισοδυναµικές επιφάνειες του πεδίου που έχουν την φ2 για συνάρτηση δυναµικού προκύπτουν από την
φ2 = B(a + x )(a − x )3 = C ,
(1)
για διάφορες τιµές της σταθεράς C . Όπως φαίνεται από την (1), οι ισοδυναµικές επιφάνειες (επειδή και x = const ) είναι επίπεδα κάθετα στον άξονα x . Οι δυναµικές γραµµές
που είναι κάθετες στις ισοδυναµικές επιφάνειες, είναι ευθείες παράλληλες προς τον άξονα
x (µε κατεύθυνση προς τα φθίνοντα δυναµικά). Η ισοδυναµική επιφάνεια µηδενικού δυ-
ναµικού (επιφάνεια αναφοράς των δυναµικών) επειδή φ2 = C = 0 , είναι η
x = ±a ,
(2)
δηλαδή περιλαµβάνει τα δύο επίπεδα (δύο κλάδοι) x = a και x = −a .
Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E υπολογίζεται από την E = −∇φ και έχει την έκφραση
E=−
∂φ
x 0 = 2B(a + 2x )(a − x )2 x 0 = 2B(a 3 − 3ax 2 + 2x 3 )x 0
∂y
(3)
Τέλος, η πυκνότητα ρ των χωρικών φορτίων υπολογίζεται από την έκφραση
∇2φ = −ρ / ε0 της εξίσωσης Poisson
ρ = −ε0
∂2φ
= 12ε0Bx (x − a )
∂x 2
(4)
2.15 Να βρεθεί η αναγκαία συνθήκη, ώστε οι επιφάνειες που ανήκουν στην οικογένεια
f (x , y, z ) = f (r) = λ (όπου λ η παράµετρος της οικογένειας και r το διάνυσµα θέσης που
έχει ως αρχή την αρχή των αξόνων και ως πέρας τη θέση του θεωρούµενου σηµείου), να αποτελούν τις ισοδυναµικές επιφάνειες ενός ηλεκτροστατικού πεδίου που εκτείνεται σ’ έναν
οµογενή χώρο χωρίς χωρικά φορτία. Ακόµη, αφού βρεθεί η έκφραση της συνάρτησης δυναµικού συναρτήσει της παραµέτρου λ , να γίνει εφαρµογή για τις εξής τρεις ειδικές περιπτώσεις: (α) f = A1x + A2y + A3z , (β) f = x 2 + y 2 + z 2 και (γ) f = x 2 + y 2 .
87
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
Για να είναι οι επιφάνειες της οικογένειας f (r) = λ ισοδυναµικές, πρέπει να υπάρχει
µια αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία ανάµεσα στη συνάρτηση δυναµικού φ(r) και την παράµετρο λ . Αν η αντιστοιχία αυτή εκφραστεί µε τη συνάρτηση
φ = F (λ)
(1)
φ = F ( f (r)) = F ( f ) ,
(2)
∇φ = F ′(f )∇f
(3)
∇2φ = F ′(f )∇2 f + F ′′(f )(∇f )2
(4)
ή
έχουµε
και
Επειδή όµως στο χώρο του πεδίου δεν υπάρχουν χωρικά φορτία (ρ = 0) , η συνάρτηση δυναµικού φ ικανοποιεί την εξίσωση Laplace
∇2φ = 0
(5)
Από τις (4) και (5) προκύπτει η ζητούµενη αναγκαία συνθήκη
∇2φ = F ′( f )∇2 f + F ′′( f )(∇f )2 = 0
(6)
ή, συναρτήσει της παραµέτρου λ ,
∇2φ = F ′(λ)∇2λ + F ′′(λ)(∇λ)2 = 0
(7)
Από τις (6) και (7) προκύπτει ότι
F ′′(λ)
∇2 f
∇2λ
d
=
=−
= − (ln F ′(λ)) ,
2
2
′
(∇f )
(∇λ)
F (λ)
dλ
(8)
δηλαδή ο λόγος ∇2 f /(∇f )2 πρέπει να είναι συνάρτηση µόνο του λ .
Αν, λοιπόν, ο λόγος αυτός γραφεί ως
∇2 f /(∇f )2 = g(λ) ,
(9)
από τις (8) και (9) έχουµε
g(λ) = −
F ′′(λ)
d
= − (ln F ′(λ)) ,
F ′(λ)
dλ
οπότε
88
(10)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
ln F ′(λ) = −∫ g(λ)dλ + C
(11)
− g (λ ) d λ
φ = F (λ) = K 1 ∫ e ∫
dλ + K 2 ,
(12)
και
όπου C , K 1, K 2 αυθαίρετες σταθερές. Η (12) καθορίζει την εξίσωση των ισοδυναµικών επιφανειών, ενώ οι σταθερές C και K υπολογίζονται από τις οριακές συνθήκες του κάθε
προβλήµατος.
(α) Ας θεωρήσουµε, αρχικά, την οικογένεια των παράλληλων επιπέδων
f (x , y, z ) = A1x + A2y + A3z = λ
(13)
Η αντικατάσταση της (13) στην (9) δίνει
g(λ) =
∇2 f
0
= 2
=0
2
(∇f )
A1 + A22 + A32
(14)
Η (12), λόγω της (14), γράφεται διαδοχικά
− 0 dλ
φ = K 1 ∫ e ∫ dλ + K 2 = K1 ∫ dλ + K 2 = K1λ + K 2
(15)
Οι σταθερές K1 και K 2 υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Έτσι, αν π.χ. δίνεται ότι τα δύο επίπεδα που αντιστοιχούν στις τιµές λ1 και λ2 της παραµέτρου λ , έχουν
δυναµικά φ1 και φ2 αντίστοιχα, ισχύουν δηλαδή οι σχέσεις
φ1 = K 1λ1 + K 2 ,
φ2 = K 1λ2 + K 2 ,
(16)
οι σταθερές K1 και K 2 έχουν τιµές
K1 =
φ1 − φ2
λ1 − λ2
και
K2 =
φ2λ1 − φ1λ2
λ1 − λ2
(17)
Η (15), λόγω της (17), γράφεται τότε
φ=
1
[(φ1 − φ2 )λ + φ2λ1 − φ1λ2 ]
λ1 − λ2
(18)
(β) Θεωρούµε, στη συνέχεια, την οικογένεια των οµόκεντρων σφαιρών
f (x , y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 = λ = r 2 ,
(19)
όπου η παράµετρος λ µπορεί να αντικατασταθεί από το τετράγωνο της ακτίνας των σφαιρικών επιφανειών. Από τις (19) και (9) προκύπτει
89
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
g(λ) =
6
3
∇2 f
=
=
2
2
2
2
(∇f )
4 (x + y + z ) 2λ
(20)
Η αντικατάσταση της (20) στην (12) δίνει
− 3 /(2λ ) d λ
3/2
φ = K1 ∫ e ∫
dλ + K 2 = K 1 ∫ e − ln λ dλ + K 2
= K 1 ∫ λ−3 / 2dλ + K 2 = −
2K 1
2K
+ K2 = − 1 + K2
r
λ
(21)
ή
φ=
K3
+ K2 ,
r
(22)
όπου K 3 = −2K 1 .
Αν οι σφαιρικές επιφάνειες µε ακτίνες r1 και r2 έχουν δυναµικά φ1 και φ 2 , αντίστοιχα, τότε από τις
φ1 =
K3
+ K2,
r1
φ2 =
K3
+ K2 ,
r2
(23)
υπολογίζονται οι σταθερές K 2 και K 3
K2 =
φ2r2 − φ1r1
,
r2 − r1
K3 =
r1r2 (φ1 − φ2 )
,
r2 − r1
(24)
ενώ από την (24) και την (22) έχουµε
φ(r ) =
1 ⎡ r1r2
⎤
(φ1 − φ2 ) + φ2r2 − φ1r1 ⎥
⎢
r2 − r1 ⎢⎣ r
⎦⎥
(25)
(γ) Τέλος, στην περίπτωση οµοαξονικών κυλινδικών επιφανειών
f (x , y, z ) = x 2 + y 2 = λ = r 2 ,
(26)
όπου r είναι η ακτίνα των κυλινδρικών επιφανειών, ακολουθώντας την ίδια πορεία, έχουµε
g(λ) = ∇2 f /(∇f )2 = 4 /(4λ) = 1/ λ ,
− (1/ λ ) d λ
φ = K1 ∫ e ∫
dλ + K 2 = K 1 ∫ e − ln λdλ + K 2 = K 1 ∫ λ−1dλ + K 2
= K 1 ln λ + K 2 = K 1 ln r 2 + K 2 = 2K 1 ln r + K 2
(27)
(28)
ή
φ = K 3 ln r + K 2 ,
90
(29)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
όπου K 3 = 2K 1 .
Αν φ1 και φ2 είναι τα δυναµικά των κυλινδρικών επιφανειών µε ακτινές r1 και r2 ,
αντίστοιχα, αν δηλαδή ισχύουν οι
φ1 = K 3 ln r1 + K 2 ,
φ2 = K 3 ln r2 + K 2 ,
(30)
οι σταθερές K 2 και K 3 είναι
K2 =
φ2 ln r1 − φ1 ln r2
,
ln (r1 / r2 )
K3 =
φ1 − φ2
ln (r1 / r2 )
(31)
και η φ έχει την έκφραση
φ=
1
⎡(φ1 − φ2 ) ln r + φ2 ln r1 − φ1 ln r2 ⎤
⎦
ln (r1 / r2 ) ⎣
91
(32)
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
2.6
Ασκήσεις
2/1 Να βρεθεί η απόκλιση θ από την κατακόρυφη διεύθυνση τριών ελαφρών συρµατιδίων µήκους a , που είναι αναρτηµένα από το ίδιο σηµείο K , ενώ από το άλλο άκρο τους
κρέµονται τρία σωµατίδια που έχουν την ίδια µάζα m και το ίδιο φορτίο Q .
2/2 Η συνάρτηση του βαθµωτού ηλεκτρικού δυναµικού φ ενός διδιάστατου ηλεκτροστατικού πεδίου, που εκτείνεται σ’ ένα απέραντο οµογενές και ισότροπο µέσο, στα σηµεία
P(x , y ) για τα οποία ισχύει η σχέση
x 2 y2
+
≥ 1,
a 2 b2
έχει την έκφραση
⎛x 2 y2
⎞
φ(x , y ) = Ay ⎜⎜ 2 + 2 − 1⎟⎟⎟ ,
⎜⎝a
b
⎠⎟
όπου A, a, b σταθερές. Ζητούνται:
(α) Να διερευνηθεί αν υπάρχουν χωρικά φορτία στο χώρο του πεδίου. Αν ναι, ποιά είναι η
τιµή της χωρικής πυκνότητας ρ ;
(β) Ποια είναι η γεωµετρική µορφή της επιφάνειας αναφοράς των δυναµικών (φ = 0) ;
(γ) Ποια είναι η έκφραση της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης E ;
(δ) Να βρεθεί η πεδιακή ένταση E A και E B στα σηµεία A(a, 0) και B(0, b) , αντίστοιχα.
Εξηγείστε γιατί η E A πρέπει να έχει µηδενική τιµή ενώ η E B πρέπει να είναι παράλληλη
προς τον άξονα y ;
(ε) Να υπολογιστεί η ενέργεια που αποδίδουν οι πεδιακές δυνάµεις κατά τη µετακίνηση ενός κεντρικού (σηµειακού) φορτίου q από το σηµείο C(a, 0, h ) στο σηµείο G(0, 2b, h ) .
2/3 Ηλεκτρικό φορτίο Q είναι οµοιόµορφα διανεµηµένο πάνω σε µια ηµισφαιρική επιφάνεια. Ένα άπειρο πήθος σηµειακών φορτίων q (τρία από αυτά φαίνονται στο σχήµα), είναι τοποθετηµένο πάνω στον άξονα x του ηµισφαιρίου. Η απόσταση του i-στού φορτίου
92
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
από το κέντρου O είναι li = 2i −1 R , όπου i = 1, 2, 3,... . Ζητείται ο υπολογισµός του φορτίου q (συναρτήσει του Q ) στις εξής δύο περιπτώσεις:
Q
q1 = q
O
R
q2 = q…
R
qi = q…
R
li = 2i −1 R
Σχήµα 2-19
(α) Όταν η τιµή του δυναµικού στο κέντρο του ηµισφαιρίου είναι 0 , και
(β) Όταν η τιµή της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης στο κέντρο του ηµισφαιρίου είναι 0 .
2/4 Τα ευθύγραµµα τµήµατα AB , Γ∆ βρισκόµενα µόνα µέσα στον άπειρο χώρο και τοποθετηµένα στην ίδια ευθεία, είναι φορτισµένα µε τα γραµµικά φορτία Q1 και Q2 αντίστοιχα. Το φορτίο Q1 είναι διανεµηµένο οµοιόµορφα πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα AB
(γραµµική πυκνότητα ρl1 = const ), ενώ το Q2 στο AB , έτσι, ώστε η γραµµική πυκνότητά
του ρl2 να δίνεται από τη σχέση: ρl 2 = a ξ , όπου a σταθερά. Ζητούνται:
y
ρl1 = const
Ο
A
ρl2 = a ξ
L
1
∆
Γ
B
ξ=0
η η=0
L
x
ξ
L
2
Σχήµα 2-20
(α) Η δύναµη F µε την οποία αλληλεπενεργούν τα δύο γραµµικά φορτία Q1 και Q2 .
(β) Να δειχτεί ότι, στην περίπτωση όπου τα δύο ευθύγραµµα τµήµατα έχουν µήκη L1, L2 ,
πολύ µικρότερα από τη µεταξύ τους απόσταση L (L L1, L2 ) , η δύναµη F έχει – κατά
93
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
προσέγγιση – την τιµή που θα είχε αν τα φορτία Q1 και Q2 ήταν κεντρικά φορτία (θεωρείστε για x 1 την προσεγγιστική σχέση: ln(1 + x ) ≅ x − x 2 / 2 ).
2/5 ∆ύο θετικά σηµειακά φορτία q1 και q2 είναι τοποθετηµένα µέσα σ’ ένα οµογενές και
ισότροπο µέσο στα σηµεία A και B , αντίστοιχα. Να αποδειχτεί ότι η ασύµπτωτη στη δυναµική γραµµή που ξεκινάει από το q1 και σχηµατίζει γωνία a µε την πρόκταση της BA ,
τέµνει την AB σ’ ένα σηµείο C , τέτοιο, ώστε, να ισχύει η
q1 / q 2 = (BC)/(AC)
a
θ
Α q1
C
Β q2
Σχήµα 2-21
Επίσης, να δειχτεί ότι η γωνία θ που σχηµατίζει η ασύµπτωτη αυτή µε την AB δίνεται από τη σχέση
⎛
q1
a⎞
θ = 2 sin−1 ⎜⎜⎜
sin ⎟⎟⎟ .
2 ⎠⎟
⎜⎝ q1 + q 2
2/6 Σ’ ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων τοποθετούνται τα σηµειακά φορτία
4q, −q και 4q , στις θέσεις (−a, 0, 0) , (0, 0, 0) και (a, 0, 0) , αντίστοιχα. Ζητείται:
(α) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων στα οποία µηδενίζεται η ηλεκτρική πεδιακή ένταση.
94
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
(β) Να αποδειχτεί ότι οι δυναµικές γραµµές που διέρχονται από τα παραπάνω σηµεία σχηµατίζουν µε τον άξονα x στις θέσεις (−a, 0, 0) και (a, 0, 0) γωνία θ = cos−1 (3 / 4) .
(γ) Να αποδειχτεί ότι οι ασύµπτωτες των δυναµικών που κατευθύνονται στο άπειρο διέρχονται από το σηµείο (0, 0, 0) .
2/7 Τρία σηµειακά φορτία 3q, −q, −q είναι τοποθετηµένα σ’ έναν οµογενή και ισότροπο
χώρο στα σηµεία A,B,C , αντίστοιχα, όπου B είναι το µέσο της AC . Να δειχτεί ότι οι
δυναµικές γραµµές που ξεκινούν από το A και σχηµατίζουν µε την AB γωνίες a µεγαλύτερες από την a 0 = cos−1 (−1/ 3) δεν καταλήγουν στις θέσεις B και C . Επίσης, να
δειχτεί ότι η ασύµπτωτη στη δυναµική γραµµή για την οποία a = cos−1 (−2 / 3) , είναι κάθετη στην AC .
2/8 Να βρεθεί η εξίσωση των δυναµικών γγραµµών ενός πεδίου του οποίου η ένταση σ’
ένα σύστηµα ορθογώνιων συντεταγµένων xyz δίνεται από τη σχέση:
(α) E =
x
y
x0 + 2
y0 ,
x 2 + y2
x + y2
(β) E =
1
1
x0 − y0 ,
x
y
(γ) E = (x + y )x 0 + (x − y )y 0 .
2/9 Να υπολογιστεί η ένταση E του ηλεκτρικού πεδίου που προκαλεί φορτίο διανεµηµένο στον όγκο ενός κυλίνδρου πολύ µεγάλου µήκους και ακτίνας a , µέσα και έξω από τον
κύλινδρο. ∆ίνεται η χωρική πυκνότητα ρ(r ) της κατανοµής φορτίου σε απόσταση r από
τον άξονα του κυλίνδρου: ρ(r ) = ρ0a /(a + r ) , όπου ρ0 σταθερά και ρ = 0 όταν r > a .
95
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
2/10 Χωρικό φορτίο Q είναι διανεµηµένο σ’ ένα σφαιρικό κέλυφος µε εσωτερική και
εξωτερική ακτίνα a και b , αντίστοιχα. Η χωρική πυκνότητα του διανεµηµένου φορτίου
είναι ρ(r ) = ρ0 [1 − (r 2 / rm2 )] , όπου rm είναι η µέση ακτίνα του κελύφους. Ζητείται:
(α) Να υπολογιστεί το συνολικό φορτίο του κελύφους
(β) Να υπολογιστεί η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E και το βαθµωτό δυναµικό φ για
r < a , a ≤ r ≤ b και r > b . Να παρασταθεί γραφικά η µεταβολή των φ και E συναρ-
τήσει της ακτινικής απόστασης r .
2/11 Η πυκνότητα ρS του επιφανειακού φορτίου ενός φορτισµένου κυκλικού δίσκου ακτίνας a , δίνεται από την ρS = κ − λr 2 , όπου r είναι η απόσταση από το κέντρο του δίσκου και κ, λ θετικές σταθερές. Να αποδείχτει ότι για a > 2κ / λ υπάρχει ένα σηµείο
στον άξονα τον κάθετο στο επίπεδο του δίσκου, που απέχει από το κέντρο του δίσκου απόσταση d = κ(λ 2a 2 − 2κλ)−1/ 2 , στο οποίο η ένταση E του πεδίου είναι µηδενική.
2/12 Η συνάρτηση δυναµικού φ ενός πεδίου που δηµιουργεί µια κατανοµή ηλεκτρικών
φορτίων δίνεται από τη σχέση
φ=
q 0 e −ar
,
4πε0 r
όπου q 0 σταθερά µε διαστάσεις φορτίου, r η επιβατική ακτίνα και a σταθερά µε διαστάσεις αντίστροφου µήκους. Ζητείται να βρεθεί η κατανοµή φορτίων που δηµιουργεί το πιο
πάνω πεδίο.
2/13 Θετικό ηλεκτρικό φορτίο Q είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένο στον όγκο σφαίρας
ακτίνας R , µε σταθερή χωρική πυκνότητα ρ0 . Ζητείται:
(α) Να υπολογιστεί η συνάρτηση δυναµικού φ και η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E µέσα
και έξω από τη σφαίρα.
96
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
(β) Να δειχτεί ότι αν µέσα στη σφαίρα τοποθετηθεί ένα αρνητικά φορτισµένο σωµατίδιο
που έχει µάζα m και φορτίο q (q < 0) το σωµατίδιο θα εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε
περίοδο T = 2π −3ε0m /(q ρ0 ) .
2/14 Να δειχτεί ότι η οικογένεια των οµοεστιακών ελλειψοειδών
x2
y2
z2
+
+
= 1,
a 2 + λ b2 + λ c2 + λ
(a 2 > b 2 > c 2 > −λ) , αποτελεί µια οικογένεια ισοδυναµικών επιφανειών και η συνάρτηση
δυναµικού φ δίνεται από τη σχέση
λ
⌠
φ = A⎮
⎮
⌡λ0
dλ ′
(a 2 + λ ′)(b 2 + λ ′)(c 2 + λ ′)
,
όπου A και λ0 αυθαίρετες σταθερές.
2/15 Γραµµικό φορτίο Q είναι οµοιόµορφα διανεµηµένο µε σταθερή πυκνότητα ρl σ’
ένα ευθύγραµµο τµήµα AB τοποθετηµένο στον άξονα z ενός καρτεσιανού συστήµατος
συντεταγµένων που η αρχή του συµπίπτει µε το µέσο του τµήµατος AB . Ζητείται:
(α) Να δείχτει ότι η διεύθυνση της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης σ’ ένα σηµείο P συµπίπτει µε τη διεύθυνση της διχοτόµου της γωνίας (APB .
(β) Να δειχτεί, έπισης, ότι το δυναµικό φ στο σηµείο P , δίνεται από τη σχέση
φ=
⎛ r + r2 + l ⎞⎟
ρl
⎟,
ln ⎜⎜⎜ 1
4πε0 ⎝ r1 + r2 − l ⎠⎟⎟
όπου r1, r2 , l είναι αντίστοιχα οι αποστάσεις (AP) , (BP) και (AB) .
97
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
y
P
r1
θ
E
θ
A
r2
ρl
l/2
M
Ο
x
d
l/2
B
Σχήµα 2-22
(γ) Αν Ox είναι µια τυχούσα κάθετη διεύθυνση στο µέσο O του AB , να βρεθεί η απόσταση d για την οποία η ένταση E του πεδίου είναι κατά: 10 % και 1% µικρότερη από
την ένταση που θα έδινε στο ίδιο σηµείο µια γραµµική πηγή άπειρου µήκους µε την ίδια
πυκνότητα ρl που θα ήταν τοποθετηµένη στον άξονα z .
2/16 ∆ύο σηµειακά φορτία λq και q (λ > 1, q > 0) βρίσκονται στα σηµεία A και B ,
αντίστοιχα. Να αποδειχτεί ότι καµία δυναµική γραµµή από αυτές που καταλήγουν στο B
δεν ξεκινάει από το άπειρο, ενώ από τις δυναµικές γραµµές που ξεκινούν από το Α ένα ποσοστό (1 − 1/ λ) καταλήγουν στο άπειρο. Να δειχτεί, επίσης, ότι σ’ ένα επίπεδο που περιέχει την AB , η µόνη δυναµική γραµµή που ξεκινάει από το A και τέµνει την AB σ’
ένα σηµείο C , σχηµατίζει γωνία θA = cos−1 (1 − 2 / λ) στο A και θC = 90D στο C .
2/17 Στα σηµεία A,B,Γ µιας ευθείας τοποθετούνται τα σηµειακά φορτία q A = 15 (nC) ,
q B = −12 (nC) και q Γ = 20 (nC) , αντίστοιχα. Αν τα µήκη (AB) και (BΓ) είναι:
(AB) = 9 (cm) και (BΓ) = 16 (cm) , ζητούνται:
98
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
(α) Να αποδειχτεί ότι στο πεδίο που δηµιουργείται από τα τρία φορτία q A , q B και q Γ , υπάρχει µια ισοδυναµική επιφάνεια που αποτελείται από δύο τεµνόµενες σφαιρικές επιφάνειες. Να υπολογιστεί το µέγεθος και το δυναµικό αυτών των σφαιρών.
(β) Να αποδειχτεί ότι η γωνία µε την οποία τέµνονται οι δύο σφαίρες είναι ορθή.
(γ) Να βρεθεί χωρίς άλλες µαθηµατικές πράξεις, ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων στα
οποία η ηλεκτρική πεδιακή ένταση είναι µηδέν.
99
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ
100

Download Report