ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ
ΡΕΥΣΤΩΝ
Παναγιώτης Ν. Παπανικολάου, PhD
ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2010
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ
 Π. Ν. Παπανικολάου 2010
Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
1.
2.
Υ∆ΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ........................................................................................................1
1.1
Υγρά που δεν αναµειγνύονται. .........................................................................2
1.2
∆υνάµεις σε επίπεδη επιφάνεια.........................................................................3
1.3
Αρχή του Αρχιµήδη ..........................................................................................4
1.4
∆υνάµεις σε καµπύλες επιφάνειες. ...................................................................4
1.5
Γενικευµένη ισορροπία οµογενούς ρευστού.....................................................8
ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ .............................................................................................10
2.1
∆ιατµητική τάση .............................................................................................10
2.2
Επιτάχυνση ρευστού σωµατιδίου κατά Euler. ................................................10
2.3
Ανάλυση ολοκληρωµατικού όγκου αναφοράς ή µονοδιάστατη ανάλυση .....11
2.4
Εξίσωση Βernoulli ..........................................................................................16
3.
∆ΥΝΑΜΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ...................................................................................19
4.
EΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ & Navier Stokes...........................................................22
5.
Ι∆ΕΑΤΑ ΡΕΥΣΤΑ ...................................................................................................23
5.1
Αστρόβιλη ροή - που προέρχεται από δυναµικό ............................................23
5.2
Ολοκλήρωση των εξισώσεων του Euler σε αστρόβιλο πεδίο ροής................24
5.3
Θεώρηµα του Lagrange ..................................................................................25
5.4
Εποπτική ερµηνεία του θεωρήµατος του Lagrange........................................25
5.5
Θεώρηµα κυκλοφορίας (του Kelvin)..............................................................26
5.6
Η εξίσωση του Bernoulli ................................................................................28
5.7
∆υναµική ροή (potential flow)........................................................................29
5.8
Ροϊκή συνάρτηση - συνάρτηση δυναµικού (2-D) ...........................................30
5.9
Ανάλυση 2-D αστρόβιλου πεδίου ροής (επίλυση εξίσωσης Laplace) µε
µιγαδικές συναρτήσεις ....................................................................................31
5.10 Εφαρµογές της µιγαδικής ανάλυσης στην επίλυση 2-D αστρόβιλων πεδίων
ροής .................................................................................................................32
6.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΡΕΥΣΤΑ - ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ ............................................................38
6.1
7.
Στρωτή ροή ανάµεσα σε δύο παράλληλες πλάκες..........................................38
ΤΥΡΒΩ∆ΗΣ ΡΟΗ ....................................................................................................44
7.1
Γενικά..............................................................................................................44
7.2
Περιγραφή της τύρβης. ...................................................................................45
7.3
Τυρβώδης κινητική ενέργεια (ΤΚΕ) ...............................................................47
7.4
Φάσµα της τύρβης...........................................................................................47
8.
7.5
Εξισώσεις της τυρβώδους ροής ......................................................................48
7.6
Φαινοµενολογικές θεωρίες ή µοντέλα τύρβης................................................50
7.7
Μοντέλα τύρβης..............................................................................................51
7.8
Τυρβώδης µεταφορά µάζας ή συγκέντρωσης κάποιας ουσίας (scalar) του
ρευστού ...........................................................................................................52
ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ (ΟΡΙΑΚΗ ΣΤΟΙΒΑ∆Α)..........................................................53
8.1
Γενικά..............................................................................................................53
8.2
Χαρακτηριστικά µεγέθη του οριακού στρώµατος..........................................54
8.3
Εξισώσεις του οριακού στρώµατος. ...............................................................55
8.4
Επίλυση του Blasius .......................................................................................57
8.5
Τυρβώδες οριακό στρώµα...............................................................................62
8.6
Κατανοµή ταχυτήτων σε επίπεδη λεία πλάκα ................................................64
8.7
Συντελεστές τριβής .........................................................................................67
8.8
Τραχέα τοιχώµατα ..........................................................................................69
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.............................................................................................................71
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΙΓΑ∆ΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ.................................................................72
9.1
Ιδιότητες των µιγαδικών αριθµών...................................................................72
9.2
Συζυγής µιγαδικού αριθµού ............................................................................73
9.3
Γεωµετρική παράσταση µιγαδικού αριθµού...................................................73
9.4
Πολική µορφή ενός µιγαδικού αριθµού..........................................................73
9.5
Eκθετική µορφή µιγαδικού αριθµού ...............................................................73
9.6
Εκθετική συνάρτηση.......................................................................................74
9.7
Λογάριθµος µιγαδικού αριθµού......................................................................74
9.8
n-οστή ρίζα µιγαδικού αριθµού ......................................................................74
9.9
Παράγωγος µιας συνάρτησης .........................................................................75
9.10 Αναλυτική συνάρτηση. ...................................................................................75
9.11 Εξισώσεις των Cauchy - Riemann. .................................................................75
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
1.
Υ∆ΡΟΣΤΑΤΙΚΗ
Σε ένα ακίνητο και οµογενές ρευστό που βρίσκεται υπό την επήρεια ενός πεδίου
καθολικών δυνάµεων, ισχύει η εξίσωση της υδροστατικής
∇p = ρ f ⇔
όπου
∂p ∂p
∂p
i+
j + k = ρ( f x + f y + f z ) .
∂x ∂y
∂z
∇p
...
είναι η κλίση της πίεσης και
f
...
η (καθολική) δύναµη (επιτάχυνση).
(1.1)
Οι επιφάνειες ίσης πίεσης είναι αυτές για τις οποίες dp = 0, δηλαδή
dp =
∂p
∂p
∂p
dx + dy + dz = 0
∂x
∂y
∂z
(1.2)
και ονοµάζονται ισοθλιπτικές επιφάνειες. Από τις σχέσεις (1.1) και (1.2) εποµένως
προκύπτει ότι
∂p
∂p
∂p
dx + dy + dz = 0 ⇔ f x dx + f y dy + f z dz = 0 ⇔ f o d r = 0
∂x
∂y
∂z
(1.3)
όπου
dr = i dx + j dy + k dz και f = f x i + f y j + f z k .
Αυτό σηµαίνει ότι
f o d r = 0 ⇔ ∇p = 0
(1.4)
δηλαδή ότι η συνισταµένη καθολική δύναµη και η κλίση της πίεσης είναι κάθετες στις
ισοθλιπτικές επιφάνειες.
Στο πεδίο βαρύτητας της γης υφίσταται µόνον η επιτάχυνση της βαρύτητας (f = -gk) και η
εξίσωση της υδροστατικής για ένα ακίνητο οµογενές ρευστό (καθώς και για κινούµενο
ρευστό σε παράλληλη ροή) γράφεται ως εξής
p
+ z = σταθερά.
ρg
(1.5)
Ο υπολογισµός των πιέσεων σε οποιοδήποτε σηµείο ακίνητου ρευστού γίνεται µε την
παραπάνω σχέση. Συνηθίζεται να αµελούµε την ατµοσφαιρική πίεση δεδοµένου ότι είναι
παντού ίδια, η δε πίεση στην οποία θα αναφερόµαστε στο εξής θα είναι αυτή που
οφείλεται µόνο στην υπερκείµενη µάζα του ρευστού (σχετική πίεση ή gauge pressure).
∆ηλαδή, στην ελεύθερη επιφάνεια ενός οποιουδήποτε ρευστού η πίεση θεωρούµε ότι είναι
µηδενική. Εποµένως σε ένα οποιοδήποτε σηµείο του ρευστού η (σχετική) πίεση είναι
p = ptotal − p a (gauge pressure) προκειµένου περί θετικής πίεσης.
Σην περίπτωση που η απόλυτη πίεση σε ένα ρευστό είναι µικρότερη από την
ατµοσφαιρική συνηθίζεται να θεωρούµε την απόλυτη τιµή της διαφοράς των πιέσεων που
ονοµάζεται πίεση κενού ή vacuum pressure και είναι
pV = p a − ptotal (πίεση κενού ή vacuum pressure).
Ε-1
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Παράδειγµα 1.1. Να υπολογίσετε την πίεση σε βάθος h από την επιφάνεια και στον
πυθµένα του δοχείου που περιέχει ακίνητο ρευστό µε πυκνότητα ρ.
z
z
patm
patm
O
h
p1
H
z
O
x
z = -h
H
p2
x
(α)
(β)
Θεωρούµε ότι z = 0 στον πυθµένα του δοχείου (σχήµα α). Εφαρµόζοντας την εξίσωση της
υδροστατικής στην επιφάνεια και ένα σηµείο του ρευστού έχουµε ότι
p( H )
p( z )
+H=
+ z ⇒ p( z ) = ρg ( H − z ) = ρgh
ρg
ρg
επειδή p(H) = 0.
Στον πυθµένα (z = 0) θέτοντας h = H στη παραπάνω σχέση η πίεση pb είναι
pb = ρgH .
Θεωρούµε ότι z = 0 στην ελεύθερη επιφάνεια του δοχείου (σχήµα β). Εφαρµόζοντας την
εξίσωση της υδροστατικής στην επιφάνεια και ένα σηµείο του ρευστού έχουµε ότι
p(0)
p( z )
p( z )
+0=
+z⇒0=
− h ⇒ p( z ) = ρgh .
ρg
ρg
ρg
Στον πυθµένα (z = -Η) θέτοντας h = H στη παραπάνω σχέση η πίεση είναι
pb = ρgH .
Βλέπουµε εποµένως ότι ανεξάρτητα από το σύστηµα αναφοράς το οποίο θεωρούµε, η
πίεση σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνεια ρευστού µε πυκνότητα ρ είναι
pb = ρgh .
(1.6)
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η κατά βάθος κατανοµή των πιέσεων σε µια επίπεδη
επιφάνεια µέσα στο ρευστό είναι γραµµική (βλ. σχήµα β).
1.1
Υγρά που δεν αναµειγνύονται.
Στην περίπτωση µη αναµείξιµων ρευστών µε διαφορετική πυκνότητα, η πίεση µπορεί να
υπολογιστεί σε οποιοδήποτε ρευστό εάν προσδιορίσουµε τις πιέσεις στις διεπιφάνειες.
Ε-2
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Παράδειγµα 1.2. Να προσδιορίσετε την κατανοµή των πιέσεων στο κατακόρυφο τοίχωµα
δοχείου που περιέχει λάδι, νερό και γλυκερίνη µε πυκνότητες ρλ, ρν και ργ αντίστοιχα. Τα
πάχη των στρώσεων είναι hλ, hν και hγ.
p=0
z=0
hλ
p1
1
hν
p2
2
hγ
p3
3
Προφανώς ισχύει η ανισότητα ρλ< ρν < ργ. Η πίεση στην ελεύθερη επιφάνεια (z = 0) είναι
ατµοσφαιρική και η σχετική πίεση θεωρείται µηδενική. Από την εξίσωση της
υδροστατικής
0
ρλ g
+0=
p1
+ z1 ⇒
ρλ g
p1 − 0 = ρ λ g (0 − z1 ) = ρ λ g (0 + hλ ) ⇒ p1 = ρ λ ghλ .
επειδή z1 = -hλ. Όµοια
p2 − p1 = ρ ν g ( z1 − z2 ) ⇒ p2 = p1 + ρ ν ghν
και
p3 − p2 = ρ γ g ( z 2 − z 3 ) ⇒ p3 = p2 + ρ γ ghγ .
Η κατανοµή των πιέσεων στο κατακόρυφο τµήµα του δοχείου είναι γραµµική κατά τµήµα
και προκύπτει από τις τιµές τους στις διεπιφάνειες και τον πυθµένα, φαινεται δε στο
παραπάνω σχήµα.
1.2
∆υνάµεις σε επίπεδη επιφάνεια
Η δύναµη που ασκεί ένα υγρό σε µια βυθισµένη επίπεδη επιφάνεια προσδιορίζεται από τη
σχέση
F = ρghCG A
όπου F
...
(1.7)
η κάθετη δύναµη στην επιφάνεια
hCG ...
η απόσταση του κέντρου βάρους της βυθισµένης επιφάνειας από την
ελεύθερη επιφάνεια του ρευστού και
A
το εµβαδόν της βυθισµένης επιφάνειας.
...
Ε-3
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
O
z
θ
hCG
yCG
xCG
y
CG
x
Το σηµείο εφαρµογής της δύναµης πάνω στην βυθισµένη επίπεδη επιφάνεια
προσδιορίζεται από τις σχέσεις
y CP = − ρg sin θ
I xx
; I xx = ∫ y 2 dA
pCG A
A
(1.8α)
και
x CP = − ρg sin θ
I xy
pCG A
; I xy = ∫ xydA
(1.8β)
A
όπου
xCP, yCP ...
οι συντεταγµένες του σηµείου εφαρµογής
θ
...
η γωνία που σχηµατίζεται µεταξύ επίπεδης και ελεύθερης επιφάνειας πάνω
σε ένα κατακόρυφο επίπεδο
Ixx
...
η ροπή αδρανείας της επίπεδης επιφάνειας ως προς τον οριζόντιο άξονα από
το κέντρο βάρους της (πάνω στην επίπεδη επιφάνεια) και
Ixy
...
η ροπή αδρανείας της επίπεδης επιφάνειας ως προς τους άξονες x (οριζόντιο)
και y (κάθετο στον Οx)από το κέντρο βάρους της (πάνω στην επίπεδη
επιφάνεια).
Στην περίπτωση που η επιφάνεια είναι συµµετρική ως προς τον άξονα Oy, τότε xCP=0.
1.3
Αρχή του Αρχιµήδη
Εάν ένα σώµα βρίσκεται βυθισµένο µέσα σε ακίνητο νερό, τότε η συνολική δύναµη που
δέχεται από το υγρό είναι κατακόρυφη µε φορά προς την ελεύθερη (ισοθλιπτική)
επιφάνεια και µέγεθος ίσο µε το βάρος του υγρού που εκτοπίζει.
1.4
∆υνάµεις σε καµπύλες επιφάνειες.
Η συνολική δύναµη που προέρχεται από την πίεση σε µια τυχαία επιφάνεια Α βυθισµένη
σε ένα υγρό υπολογίζεται µε το επιφανειακό ολοκλήρωµα
Ε-4
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
F = ∫ pd A
(1.9)
A
όπου
p
...
η πίεση σε ένα σηµείο της επιφάνειας
dΑ
...
(= dΑ n) η στοιχειώδης επιφάνεια
n
...
το µοναδιαίο διάνυσµα κάθετο στη στοιχειώδη επιφάνεια.
Για τον προσδιορισµό των δυνάµεων από την πίεση υγρών πάνω σε καµπύλη επιφάνεια
είναι ευκολότερο να θεωρήσουµε τις προβολές της επιφάνειας σε ένα κατακόρυφο και ένα
οριζόντιο επίπεδο, να βρούµε τις αντίστοιχες δυνάµεις και στο τέλος να τις συνθέσουµε.
Με βάση την αρχή του Αρχιµήδη η οριζόντια προβολή της επιφάνειας δέχεται
κατακόρυφη δύναµη ίση µε το βάρος του υπερκείµενου υγρού (µε σηµείο εφαρµογής το
κέντρο βάρος της υπερκείµενης στήλης νερού. Η κατακόρυφη προβολή της επιφάνειας
δέχεται οριζόντια δύναµη αυτή που προκύπτει από τη σχέση
Fx = ρghCG Ax
(1.9α)
όπου
Fx
...
η οριζόντια συνιστώσα της δύναµης
hCG
...
η απόσταση του κέντρου βάρους της κατακόρυφης προβολής της
βυθισµένης επιφάνειας από την ελεύθερη επιφάνεια του ρευστού και
Ax
...
το εµβαδόν της κατακόρυφης προβολής της βυθισµένης επιφάνειας.
Παράδειγµα 1.3.
Θεωρείστε το θυρόφραγµα πλάτους b του
σχήµατος, µε πάκτωση στο σηµείο A και
βάθος νερού h. Να προσδιορίσετε τις
δυνάµεις και τη ροπή που ασκούνται στην
πάκτωση σαν συνάρτηση των h, b, ρ και g.
Να γίνει εφαρµογή για h = 3 m και b=2m.
Nα αµεληθεί το βάρος του θυροφράγµατος.
3
1m
3m
Fx
1m
1m
1m
2
A
∆ίδονται ρ=1000Kg/m , g=9.81 m/s .
Απάντηση
(α) Λύση µε βάση την αρχή του Αρχιµήδη. Η οριζόντια δύναµη είναι
Fx = ρg
H2
b
2
µε σηµείο εφαρµογής σε απόσταση Η/3 από τον πυθµένα.
Κατακόρυφη δύναµη (= βάρος εκτοπιζόµενου νερού)
Fy = - F(ΓΓ'∆) + F(ΒΓΓ'∆) = F(ΒΓ∆)
Ε-5
1m
MA
Ay Ax
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
1  2H H 
ρgbH 2
=
Fy = ρg 
b

2 3 3 
9
Γ'
Σηµείο εφαρµογής: Η/9 από ΑΒ.
2
ΣFx = 0 ⇒ Fx - Ax = 0 ⇒ Fx = Ax = ρgH b/2
Γ'
∆
∆
FΓΓ'∆
Γ
FΒΓΓ'
Γ
Β
ΣM = 0 ⇒ MA = Fx (H/3) + Fy (H/9) =
ρgH3b(1/6 + 1/81) = (27/162) ρgH3b
Β
Β
A
A
Ax = 88.29 kN
FΒΓ
Γ
=
+
ΣFy = 0 ⇒ Fy + Ay = 0 ⇒ Ay = -Fy = ρgH2b/9
Εφαρµογή:
∆
A
Ay = -39.24 kN
ΜΑ = 101.37 kNm
(β) Με βάση τις δυνάµεις που ασκούνται σε κάθε επιφάνεια
Πιέσεις:
p∆ = 0
pΓ = ρgH/3
Γ
∆
FΓ∆
Β
Β1
Γ1
pΒ = 2ρgH/3
FΑΒ
FΒΓ
Γ
pΑ = ρgH
Β
Α1
Α
FΓ∆ = ρgb(Η/3) (Γ∆) /2 = ρgb (H/3) (H/3)√2/2= ρgb H2√2/18
Σ.Ε.:
(ΓΓ1) = (Γ∆)/3 = Η√2/3
FΒΓ = ρgb (Η/3+2Η/3) (ΒΓ)/2 = ρgbΗ (H/3)√2/2 = - ρgb H2√2/6
Σ.Ε.:
(ΒΒ1) = [(ΒΓ)/3]{(2ρgΗ/3+2ρgΗ/3)/( ρgΗ/3+2ρgΗ/3)}
= (H√2/9)(4/3) = 4H√2/27
FΑΒ = ρgb (2Η/3+Η) (ΑΒ)/2 = (5ρgbΗ/3) H/6 =- 5ρgb H2/18
Σ.Ε.:
(ΑΑ1) = [(ΑΒ)/3]{(4ρgΗ/3+ρgΗ)/( 2ρgΗ/3+ρgΗ)}
= (Η/9)(7/5) = 7Η/45
Ισορροπία δυνάµεων
ΣFx = 0: Ax=(FΓ∆)x+(FΒΓ)x+FAB=ρgb [(H2√2/18)(√2/2)+(H2√2/6)(√2/2)+5 H2/18)
= ρgbH2(1/18 + 1/6 + 5/18) = ρgbH2/2
ΣFy = 0: Ay = (FΓ∆)y - (FΒΓ)y = ρgb[ (H2√2/18)(√2/2)-(H2√2/6)(√2/2))
= ρgbH2(1/18 - 1/6) = -ρgbH2/9
ΣM = 0: MA=(FΓ∆)x(2H/3+H/9)+(FΒΓ)x (H/3+4H/27)+FAB (7H/45)-(FΓ∆)y (2H/9)+(FΒΓ)y(4H/27)
= (ρgb H2/18)(7H/9)+(ρgb H2/6)(13H/27)+(5ρgb H2/18)(7H/45)-(ρgbH2/18)(2H/9) + (ρgbH2/6) (4H/27) = (27/162) ρgH3b.
Ε-6
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Παράδειγµα 1.4. (Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου Ακ. Έτους 2000-01)
Αβαρές θυρόφραγµα µε άρθρωση στο σηµείο Α και
στήριξη στο σηµείο Β φράσσει ορθογωνική διώρυγα
πλάτους b.
H
h
(α) Εάν είναι γνωστή η πυκνότητα του νερού ρ και το
µήκος l, να προσδιορίσετε το ύψος του νερού h, πάνω
από το οποίο το θυρόφραγµα θα ανοίξει.
l
B
(β) Εάν το βάρος του θυροφράγµατος ανά µονάδα
µήκους είναι w και το ύψος του είναι Η>h, να βρείτε τις
δυνάµεις που ασκούνται στη στήριξη (Β) και άρθρωση
(Α) για την παραπάνω στάθµη νερού h.
A
Απάντηση
(α) Πιέσεις:
pΓ = 0
∆
pΑ = ρgh
Γ
pΒ = ρgh
Fpy
∆υνάµεις:
l/2
Fpx
2
Στο ΑΓ
h
Fpx = ρg b
2
Σ.Ε.
h/3 από το Α
Στο ΒΑ
Fpy = ρghlb
Σ.Ε.
l/2 από το Α
h/3
Β
A
A
Β
Ισορροπία:
ΣΜΑ = 0 ⇒ Fpx (h/3) - Fpy (l/2) = 0
Fpy
Εποµένως, αντικαθιστώντας τις δυνάµεις προκύπτει
Fpx
h2 = 3 l2 ⇒ h = l√3
Εποµένως F px =
W2
3
ρgl 2 b και F py = 3 ρgl 2 b .
2
Βy
Ax
W1
Ay
(β) Στο Α υπάρχει άρθρωση και στο Β απλή στήριξη.
Θεωρώντας τις αντιδράσεις στα δύο σηµεία και εφαρµόζοντας την ισορροπία δυνάµεων
και ροπών
ΣFx = 0 ⇒ Fpx - Ax = 0 ⇒ Fpx = Ax = ρgh2b/2
ΣFy = 0 ⇒ Fpy + W1 + W2 - By - Ay = 0 ⇒ Ay = Fpy + W1 + W2 - By
ΣMA = 0 ⇒ Byl+ Fpx (h/3) - (W1+Fpy)(l/2) = 0 ⇒
Ε-7
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
By = (W1+Fpy)(l/2) - Fpx (h/3)/l
= (wl + ρg l2√3 b)/2 – ρg(l√3)2b(l√3)/6l
= (wl + ρg l2√3 b)/2 – (ρg l2√3 b)/2 = wl/2
Εποµένως
Ay = Fpy + W1 + W2 - By
= ρghlb+ (Η+l/2)w
= Ηw + 3(wl + ρghlb)/2
1.5
Γενικευµένη ισορροπία οµογενούς ρευστού.
Στην περίπτωση κατά την οποία ένα ρευστό κινείται σαν στερεό σώµα (υφίσταται µόνο
µεταθετική κίνηση και όχι σχετική κίνηση των 'ρευστών σωµατιδίων'), µπορούµε να
εφαρµόσουµε τις αρχές της υδροστατικής σαν να επρόκειτο για ακίνητο ρευστό. Στην
προκειµένη περίπτωση πρέπει να θεωρήσουµε ότι το ρευστό ισορροπεί σε κινούµενο
σύστηµα αναφοράς µε σταθερή επιτάχυνση, αντίθετη αυτής που εφαρµόζεται κατά την
κίνηση. Προσθέτουµε εποµένως την αντίστοιχη αδρανειακή δύναµη (D'Alembert) -fa στο
κινούµενο ρευστό και εφαρµόζουµε την εξίσωση της υδροστατικής λαµβάνοντάς την
υπόψη σε συνδυασµό µε το πεδίο καθολικών δυνάµεων f. Η εξίσωση (1.1) γράφεται ως
εξής
∇p = ρ ( f − f a ) .
(1.10)
Παράδειγµα 1.5. Για τα κλειστά δοχεία του σχήµατος έχουµε τα εξής δεδοµένα:
∆οχείο Α:
γεµάτο µε νερό, σφαίρα bètοn
ρνερού =
1000 Kg/m3
=
2400 Kg/m3
ρbeton
∆οχείο Β:
γεµάτο µε αέρα, µπαλόνι µε He
ραέρα
=
1.2 Kg/m3
ρHe
=
0.1 Kg/m3
a
a
Να βρείτε την κατεύθυνση προς την οποία θα κινηθεί η σφαίρα (και το µπαλόνι) όταν το
δοχείο επιταχύνεται µε σταθερή επιτάχυνση a = 2 m/s2, και τη γωνία της σφαίρας (και του
µπαλονιού) µε την κατακόρυφο. Να προσδιορίσετε τη δύναµη που ασκείται στο σκοινί και
για τις δύο περιπτώσεις. Να αµελήσετε το βάρος του σκοινιού καθώς επίσης και του
µπαλονιού στην περίπτωση του δοχείου Β.
Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 9.81 m/s2.
Ε-8
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Απάντηση
Ισχύει η γενικευµένη εξίσωση της υδροστατικής
∇p = ρ ( f − f a ) = ρ ( − gk − ai )
όπου f = -gk και -a = -ai. Ισχύει επίσης ότι η συνολική δύναµη είναι κάθετη στις
ισοθλιπτικές (ίσης πίεσης) επιφάνειες, δηλαδή ότι
f o d r = 0 ⇔ f x dx + f y dy + f z dz = 0 ⇔ − adx − gdz = 0 .
που σηµαίνει
dz
a
=− .
dx
g
Από το διάγραµµα των επιταχύνσεων παραπλεύρως ισχύει
ότι οι ισοθλιπτικές επιφάνειες σχηµατίζουν γωνία θ
=11.52ο (tanθ = a / g) µε το οριζόντιο επίπεδο, εποµένως η
σφαίρα από σκυρόδεµα θα κινηθεί προς τα αριστερά και το
µπαλόνι γεµάτο ήλιο θα κινηθεί προς τα δεξιά.
Σηµείωση: Η ανωστική δύναµη και στις δύο περιπτώσεις
θα είναι κάθετη στις ισοθλιπτικές επιφάνειες.
-fa
f
ισοθλιπτική
fz
θ
θ
∆οχείο Α:
Ισορροπία των δυνάµεων πάνω στη σφαίρα όγκου ∀
Fx = -a (ρσ - ρν) ∀ = - 2800 ∀ και
Fz = -g (ρσ - ρν) ∀ = -13724 ∀
T
Fx
(γιατί;)
Fz
Τ = (Fx + Fz)1/2 = 14006.7 ∀
θ
∆οχείο Β:
Ισορροπία των δυνάµεων πάνω στο µπαλόνι όγκου ∀
Fz
θ
Fx = -a (ρHe - ρα) ∀ = 2.2 ∀ και
Fz = -g (ρHe - ρα) ∀ = 10.79 ∀
Τ = (Fx + Fz)
1/2
(γιατί;)
Fx
= 11.01 ∀
Τ
Ε-9
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
2.
ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ
2.1
∆ιατµητική τάση
Η διατµητική τάση που αναπτύσσεται σε
κινούµενα πραγµατικά ρευστά είναι ανάλογη
της κλίσης της ταχύτητας και δίδεται από τη
σχέση
τ=µ
z
u(z+dz)
dz
u(z)
∂u
,
∂z
du
u(z)
όπου µ = ιξώδες του ρευστού µε διαστάσεις
[µ]=ML-1T-1.
2.2
Επιτάχυνση ρευστού σωµατιδίου κατά Euler.
Κατά τη χρονική στιγµή t, η θέση του ρευστού σωµατιδίου που κινείται µε ταχύτητα V
είναι r. Κατά τη χρονική στιγµή t+dt, η θέση του ρευστού σωµατιδίου θα είναι r +d r. Η
συνιστώσα της ταχύτητας στην κατεύθυνση x τη χρονική στιγµή t στο σηµείο (x,y,z) του
πεδίου ροής είναι u(x,y,z,t). Η µεταβολή της συνιστώσας της ταχύτητας στην κατεύθυνση
x θα είναι
du =
∂u
∂u
∂u
∂u
dx + dy + dz + dt
∂x
∂y
∂z
∂t
V
dr
(r,t)
r
(r+d r,t+dt)
V+dV
r +d r
z
x
y
Ένα ρευστό σωµατίδιο που κατά τη χρονική στιγµή t βρίσκεται στη θέση r, κατά τη
χρονική στιγµή t+dt βρίσκεται στη θέση r+dr, δηλαδή µετακινήθηκε κατά dr = Vdt ή κατά
dx = u dt, dy = u dt και dz = w dt.
Εποµένως η επιτάχυνση κατά την κατεύθυνση x θα είναι
ax =
du ∂u dx ∂u dy ∂u dz ∂u dt ∂u
∂u
∂u
∂u
=
+
+
+
=
+u +v +w .
dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t dt ∂t
∂x
∂y
∂z
H µεταβολή du/dt ορίζεται σαν ολική µεταβολή της ταχύτητας u και αποτελείται από
τους όρους
Ε-10
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
u
∂u
∂t
...
τοπική µεταβολή της u (επιτάχυνση) και
∂u
∂u
∂u
+v +w
∂x
∂y
∂z
...
µεταθετική µεταβολή της u (επιτάχυνση).
Για την ολική επιτάχυνση ο Stokes εισήγαγε τον ορισµό
Du ∂u
∂u
∂u
∂u
=
+u +v +w .
∂x
∂y
∂z
Dt ∂t
(2.1)
Η παραπάνω σχέση µπορεί να γραφτεί για τις τρεις συνιστώσες της ταχύτητας σε µορφή
τανυστή ως εξής
Dui ∂ui
∂u
=
+ u j i ; i,j = 1,2,3
Dt
∂t
∂x j
(2.1α)
ή σε διανυσµατική µορφή
DV ∂V
=
+ (V o ∇)V ; V = (u, v , w)
∂t
Dt
(2.1β)
Γενικεύοντας: Η ολική µεταβολή (στο χωροχρόνο) µιας ιδιότητας (π.χ. της συγκέντρωσης
ουσίας) που µεταφέρει το ρευστό σωµατίδιο c=c(x,y,z,t) που µετακινείται από τη θέση r τη
χρονική στιγµή t, στη θέση r+dr τη χρονική στιγµή t+dt είναι
Dc ∂c
∂c ∂c
=
+ uj
=
+ V o ∇c
Dt ∂t
∂x j ∂t
(2.2)
όπου
∇c =
∂c ∂c
∂c
i+
j+ k.
∂x ∂y
∂z
Στην παραπάνω σχέση (2.2) ορίζουµε
∂c
∂t
u
∂c
∂c
∂c
+v +w
∂x
∂y
∂z
2.3
...
την τοπική µεταβολή της ιδιότητας c και
...
την µεταθετική µεταβολή της ιδιότητας c.
Ανάλυση ολοκληρωµατικού όγκου αναφοράς ή µονοδιάστατη ανάλυση
Ορισµός: Εισροή µιας ιδιότητας ή ουσίας α που µεταφέρεται από κινούµενο ρευστό µε
ταχύτητα V µέσα από µια επιφάνεια dS, είναι το εσωτερικό γινόµενο
a(V o d S ) = a(V × dS cos θ ) = aVn dS ; Vn = V cos θ
(2.3)
όπου V είναι το µέτρο της ταχύτητας και dS το εµβαδόν της στοιχειώδους επιφάνειας.
Σε περίπτωση που τα διανύσµατα Vn και dS είναι οµόρροπα τότε οµιλούµε περί εισροής
ενώ αν είναι αντίρροπα περί αρνητικής εισροής ή εκροής.
Ε-11
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
V
θ
dS
Vn
α) Θεώρηµα µεταφοράς του Reynolds: Έστω α η ανά µονάδα µάζας του ρευστού τιµή
κάποιας ιδιότητας και Α η ολική ποσότητα της ιδιότητας που περιλαµβάνεται σε όγκο
ρευστού U τότε
A = ∫ adm = ∫ aρdU .
(2.4)
Το θεώρηµα µεταφοράς λέει ότι: Η ολική µεταβολή της ιδιότητας α που καταλαµβάνει σε
χρονική στιγµή t όγκο U κινούµενου ρευστού, ισούται µε την ανά µονάδα χρόνου
µεταβολή της ιδιότητας στον όγκο αυτό, µείον την καθαρή εισροή της ιδιότητας µέσα απ’
την επιφάνεια E που περιβάλλει τον όγκο αναφοράς U, και περιγράφεται από την εξίσωση
DA ∂
=
ρadU − ∫ ( ρa)(V o d E )
Dt ∂t U∫
E
(2.5)
Παρατήρηση 1η. Εάν Α = σταθερά τότε
∂
ρadU = ∫ ( ρa)(V o d E ) .
∂t U∫
E
Παρατήρηση 2η. Εάν και U = σταθερός τότε
∂
∂
ρadU = ∫ ( ρa)dU = ∫ ( ρa)(V o d E ) .
∫
∂t U
∂t
U
E
β) Εξίσωση συνέχειας
Προκύπτει από την παραπάνω σχέση (2.5) θέτοντας α = 1, εποµένως
α = 1 ⇒ A = ∫ ρdU
και
D
∂
dm = ∫ ρdU − ∫ ρ (V o d E )
∫
Dt
∂t U
E
Σε περίπτωση κατά την οποία η ροή είναι µόνιµη ισχύει ότι
∫ ρ (V o d E ) = 0 .
E
Ε-12
(2.6)
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Θεωρώντας τη µέση ταχύτητα ροής V (κάθετη συνιστώσα Vi) στη διατοµή ελέγχου Ε, η
εξίσωση συνέχειας της µόνιµης ροής σε ένα σταθερό όγκο αναφοράς γράφεται ως εξής
∑ ρ (V o d E ) = 0 ⇔ ∑V E
i
i
= 0,
(2.7)
όπου η ταχύτητα είναι προσηµασµένη ανάλογα, δηλαδή ViEi > 0 στην περίπτωση της
εισροής και ViEi < 0 στην περίπτωση της εκροής.
Παράδειγµα 2.1. Για την εκροή νερού από την οπή του σχήµατος να γράψετε την
εξίσωση συνέχειας σαν συνάρτηση των V1, V2, E1, E2.
Απάντηση
Το υγρό είναι ασυµπίεστο, εποµένως στον όγκο αναφοράς U, Α = σταθερά, δηλαδή DA/Dt
= 0. Εποµένως dU = E1 dz = E1 (-V1) dt
Ισχύει ότι
z
∂
ρdU = ∫ ρ (V o d E )
∂t U∫
E
(1)
V1
E1
Όµως
U
∂
∂
d
ρdU = ( ρE1dz ) = ( ρE1 ( −V1 )dt ) = − ρE1V1
∫
∂t U
∂t
dt
2
E1
V2
(2)
∫ ρ (V o d E ) = ∫ ρ (V o d E ) + ∫ ρ (V o d E ) = 0 − ρV E
E
E2
2
E2
∆ηλαδή Ε1V1 = E2 V2.
γ) Εξίσωση της ορµής (ποσότητας της κίνησης)
Προκύπτει από τη σχέση (2.5) θέτοντας α = V, εποµένως
D
∑ F = Dt ∫
V dm=
∂
ρV dU − ∫ ρV (V o dE )
∂t U∫
E
(2.8)
ή
F g + F t + F p = ∑ F=
∂
∂t ∫u
ρV dU − ∫ ρV (V o dE )
(2.9)
όπου
F g = ρgU
…
δύναµη που οφείλεται στο πεδίο βαρύτητας
F τ = ∫ τdS
…
δύναµη που οφείλεται στις διατµητικές τάσεις των στερεών ορίων
F p = ∫ pdS
…
δύναµη από την κατανοµή πιέσεων πάνω στον όγκο αναφοράς
Σε περίπτωση που θεωρήσουµε τη µέση ταχύτητα ροής V (κάθετη συνιστώσα Vi) στις
διατοµές ελέγχου Εi, η εξίσωση ορµής σε ένα σταθερό όγκο αναφοράς σε µόνιµη ροή
γράφεται ως εξής
Ε-13
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
F g + F t + F p = ∑ F =− ∑ ρV (V o dE ) ,
(2.10)
και µπορεί να αναλυθεί σε συνιστώσες παράλληλες µε το σύστηµα συντεταγµένων που
χρησιµοποιούµε.
Σε µια διατοµή ρέοντος ρευστού, τα µεγέθη p και V θεωρούνται ότι είναι τα µέσα µεγέθη
της διατοµής, ενώ ο όρος της ορµής πολλαπλασιάζεται επί ένα συντελεστή διόρθωσης,
που ορίζεται ως
β=
∫V
2
dE
E
(2.11)
2
V E
και λαµβάνει υπόψη την κατανοµή της ταχύτητας στη διατοµή. Η εξίσωση της ορµής στην
κατεύθυνση i λαµβάνοντας υπόψη και το συντελεστή διόρθωσης γράφεται
Fgx + Fτ x + F px = ∑ βρu i Qi ;
j
Παράδειγµα 2.2. Να προσδιορίσετε
τη δύναµη που ασκείται από το
ρευστό στην καµπύλη 45ο του
σχήµατος, σε µόνιµη ροή όταν η
παροχή είναι γνωστή και η πίεση
δεν µεταβάλλεται εκατέρωθεν.
Qi = V i o E i .
(2)
y
(1)
V1
∆εδοµένα: Q, E, p, θ = 45ο.
Fy
V2
Fx
E2
p2
E1
θ
p1
x
Απάντηση
Μόνιµη ροή σηµαίνει ότι ∂/∂t ( )= 0, εποµένως από την εξίσωση συνέχειας έχουµε ότι
∫ ρ (V o d E ) = 0 ⇔ ρV E
1
1
− ρV2 E 2 = 0 ⇔ V1 E1 = V2 E 2 = Q
E
και από την εξίσωση της ορµής
F =− ∫ ρV (V o dE ) = −∑ ρV (V o dE ) .
i
E
Όµως Ε1 = Ε2 = Ε και εποµένως από την εξίσωση συνέχειας έχουµε ότι
V1 = V2 = V = Q / E .
Στη κατεύθυνση x η εξίσωση της ορµής γράφεται
[
F px − Fx = −∑ ρV (V o dE ) = − ρ V12 E1 − (V2 E 2 )(V2 cos θ )
i
= − ρV E (1 − cos θ )
2
∆ηλαδή Fpx − Fx = − ρV 2 E (1 − cosθ ) .
Ε-14
]
.
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Στη κατεύθυνση y η εξίσωση της ορµής γράφεται
F py + Fy = −∑ ρV (V o dE ) = − ρ [0 × E1 − (V2 E 2 )(V2 sin θ )] = ρV 2 E sin θ .
i
∆ηλαδή Fpy + Fy = ρV 2 E sin θ .
Όµως p1 = p2 = p και εποµένως
F px = p1 E1 − p 2 E 2 cos θ = pE (1 − cos θ ) ,
F py = 0 − p 2 E 2 sin θ = − pE sin θ .
Από τις παραπάνω σχέσεις και µε δεδοµένο ότι cosθ = sinθ = √2/2, (θ=45ο), έχουµε
(
)
(
)
Fx = ρV 2 + p E (1 − cosθ ) =
2− 2
ρV 2 + p E και
2
(
)
2
ρV 2 + p E .
2
(
Fy = ρV 2 + p E sin θ =
)
Εποµένως η συνισταµένη θα είναι
F=
(
)
Fx2 + Fy2 = ρV 2 + p E 2(1 − cosθ ) =
( 2 − 2 ) ( ρV
2
)
+p E
και θα σχηµατίζει µε την οριζόντια γωνία


 = 67.50o.
2− 2
ϕ = tan −1 (Fy / Fx ) = tan −1 
δ)
2
Εξίσωση ενέργειας
∂
δQ δW D
−
=
εdm = ∫ ρε dU − ∫ ρε (V o d Ε)
∫
U
Dt
∂t U
δt
δt
Ε
(2.12)
όπου το παραγόµενο έργο δW
δW = δWp + δWτ + δWµηχανικη
(2.13)
και η ανά µονάδα µάζας ενέργεια είναι
ε = gh +
Ι
...
V2 p
+ +Ι
ρ
2
(2.14)
εσωτερική ενέργεια.
Η ανά µονάδα βάρος ρέοντος ρευστού ενέργεια σε κάποιο σηµείο του πεδίου ροής
γράφεται και ως άθροισµα µηκών
H =h+
p V2
+
ρg 2 g
(2.15)
όπου
h
…
υψόµετρο (ύψος δυναµικής ενέργειας λόγω θέσης)
Ε-15
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
p/ρg
…
ύψος πίεσης (λόγω έργου δυνάµεων πίεσης)
V2/2g …
ύψος κινητικής ενέργειας.
Στην περίπτωση που εξετάζουµε µια διατοµή ρέοντος ρευστού, τα µεγέθη h, p και V
θεωρούνται τα µέσα µεγέθη της διατοµής, ενώ ο όρος της κινητικής ενέργειας
πολλαπλασιάζεται επί ένα συντελεστή διόρθωσης, που ορίζεται ως
α=
∫V
3
dE
E
3
V E
=
∫V
3
dE
E
(2.16)
2
V Q
και εξαρτάται από την κατανοµή της ταχύτητας στη διατοµή.
2.4
Εξίσωση Βernoulli
Σε αστρόβιλο πεδίο ροής ισχύει
V = ∇Φ.
(2.17)
Εποµένως
 1 ∂Φ V 2 p

1 ∂Φ V 2 p
∇
+
+ + h  = 0 ⇒
+
+ + h = f (t )
g
t
g
g
t
g
2
2
∂
γ
∂
γ


(2.18)
Επίσης κατά µήκος µιας γραµµής ροής ισχύει
V2 p
+ + h = σταϑ = H
2g γ
(2.19)
Παράδειγµα 2.3.
Για τη µόνιµη ροή νερού του σχήµατος να προσδιορίσετε:
(α) Τις µέσες ταχύτητες ροής στις διατοµές (1) και (2).
(β) Το µέτρο και τη φορά της οριζόντιας δύναµης που ασκείται στην κατασκευή.
Το πλάτος της κατασκευής (κάθετα στο επίπεδο του σχήµατος) είναι 3 m. Το νερό
συµπεριφέρεται σαν ιδεατό ρευστό (µ = 0) µε πυκνότητα 1000 Kg/m3.
patm
F1
h1=1.20m
F
h2=0.18m
(1)
(2)
Απάντηση
Ε-16
F2
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Εξίσωση συνέχειας σε διατοµές (1) και (2) και οµοιόµορφη κατανοµή ταχύτητας δίνει
V1 h1b = V2 h2 b ⇒ V2 = V1 (h1 / h2 ) .
(1)
Εξίσωση Bernoulli κατά µήκος της γραµµής ροής στη ελεύθερη επιφάνεια
V22
p1 V12
p 2 V22
V12
+
= h2 +
+
⇒ h1 +
= h2 +
h1 +
ρg 2 g
ρg 2 g
2g
2g
(2)
επειδή p1 = p2 = patm = 0.
Από τις σχέσεις (1) και (2) λύνοντας ως προς V1 προκύπτει ότι
 2 g (h1 − h2 ) 
V1 = 

2
 (h1 / h2 ) − 1
1/ 2
= 0.68 m/s.
Εποµένως, από την (1) προκύπτει ότι V2 = 2.44 m/s.
(β) Εξίσωση ποσότητας της κίνησης στον όγκο αναφοράς ανάµεσα στις δύο διατοµές
Fgx + Ftx + F px − F =∑ − [ρV (V o dE )]x = ρQ(V2 − V1 )
(3)
Όµως Fτx ενσωµατώνεται στη F, Fgx = 0, Fp = b ρ g h2/2 και λύνοντας ως πρός F έχουµε
 h2 h2
F = bρg  1 − 2
2
 2

 + ρQ(V1 − V2 ) = 11.316 kN.

Παράδειγµα 2.4.
Αγωγός διαµέτρου D φέρει ειδικό τεµάχιο (ακροφύσιο) µικρού µήκους και διαµέτρου d.
Εάν η παροχή του υγρού πυκνότητας ρ που µεταφέρεται είναι Q:
(α) Να προσδιορίσετε την πίεση στον άξονα της διατοµής οµοιόµορφης ροής (1) του
αγωγού. Να θεωρήσετε οµοιόµορφη την κατανοµή των πιέσεων .
(β) Να υπολογίσετε την αξονική και διατµητική δύναµη που δέχονται τα οκτώ (8)
µπουλόνια που υποβαστάζουν το ακροφύσιο, όταν το βάρος του είναι W.
(γ) Τοποθετώντας ένα διαφορικό µανόµετρο στην ανώτατη και κατώτατη γενέτειρα του
αγωγού στη θέση (1) ποιά διαφορά πιέσεων θα µετρούσε;
(Υπόδειξη: Να προσδιοριστεί η ακριβής κατανοµή των πιέσεων στη διατοµή).
Fy
patm
Fx
D
d
(1)
(2)
Απάντηση
Ε-17
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Θεωρούµε οµοιόµορφη κατανοµή της πίεσης στη διατοµή (1). Η πίεση στη διατοµή (2)
είναι µηδέν (ατµοσφαιρική). Θεωρούµε τον (ολοκληρωµατικό) όγκο αναφοράς µεταξύ των
διατοµών (1) και (2) και εφαρµόζουµε ολοκληρωµατική (µονοδιάστατη) ανάλυση
(οµοιόµορφη κατανοµή ταχύτητας και πίεσης στις διατοµές).
(α) Θεώρηµα συνέχειας
Q = V1
πD 2
4
= V2
πd 2
4
Εποµένως
V1 =
4Q
4Q
και V2 =
.
2
πD
πd 2
(1)
(β) Θεώρηµα ενέργειας (ή εξίσωση Bernoulli κατά µήκος του άξονα)
p1
V2
p
V2
p V 2 V 2 V 2  D
+ h1 + 1 = 2 + h2 + 2 ⇒ 1 + 1 = 2 = 1  
ρg
2 g ρg
2g
ρg 2 g 2 g 2 g  d 
4
όπου p2 = patm = 0.
Από την παραπάνω σχέση αντικαθιστώντας προκύπτει ότι
4

p1 V22
V12  D 
8Q 2
=
=ρ
  − 1 = ρ 2 4
ρg 2 g
π D
2  d 

 D  4 
  − 1

 d 
(2)
(β) Θεώρηµα ποσότητας της κίνησης
Fgx + Ftx + F px − F =∑ − [ρV (V o dE )]x = ρQ(V2 − V1 )
Ενσωµατώνοντας την Fτx στην F και δεδοµένου ότι Fgx = 0
F px − F = ρQ(V2 − V1 )
(3)
Fy = W + Wνερου
(4)
και
Εποµένως επειδή F px = p1 (πD 2 / 4 ) , από τις σχέσεις (1), (2) και (3) προκύπτει ότι
2Q 2
Fx = ρ
πD 2
 D  4 
4Q 2
  − 1 + ρ
π
 d 

1
 1
 D 2 − d 2 
(5)
Κάθε µπουλόνι εποµένως δέχεται αξονική δύναµη Fbx = Fx / 8 και διατµητική
Fby = (W + Wνερου ) / 8 (βάρος νερού που περιέχεται στο κέλυφος του ακροφυσίου).
(γ) Η κατανοµή των πιέσεων µέσα στον αγωγό θα είναι υδροστατική (παράλληλη ροή).
Εποµένως η πίεση στην ανώτερη γενέτειρα θα είναι η πίεση στον άξονα p1 µειωµένη κατά
ρgD/2, ενώ στην κατώτερη γενέτειρα θα είναι η πίεση στον άξονα p1 αυξηµένη κατά
ρgD/2. ∆ηλαδή
Ε-18
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
p1up
p1up = p1 − ρgD / 2
p1down = p1 + ρgD / 2
p1
D
∆p = p1down − p1up = ρgD .
p1down
(1)
3.
∆ΥΝΑΜΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ
Ένα στερεό σώµα βυθισµένο µέσα σε κινούµενο ρευστό, δέχεται δυνάµεις απ’ αυτό σε
κάθε του σηµείο. Η συνολική δύναµη F που ασκείται στο σώµα, µπορεί να αναλυθεί σε
δύο συνιστώσες, µια στην κατεύθυνση της ροής την FD που ονοµάζεται δύναµη
αντίστασης, και µια κάθετη στην κατεύθυνση της ροής την FV που ονοµάζεται δυναµική
άνωση.
Vο
FV
pdE
F
τοdE
φ
dE
FD
Η δύναµη FD είναι η συνισταµένη στην κατεύθυνση της ροής των δυνάµεων από ορθές
(πιέσεις) και διατµητικές τάσεις στην επιφάνεια του βυθισµένου σώµατος
FD = Fτ + F p
όπου
Fτ = ∫ τ o sin ϕdE
...
αντίσταση τριβών
Fp = − ∫ p cos ϕdE
...
αντίσταση σχήµατος
E
E
Οι παραπάνω δυνάµεις µπορούν επίσης να γραφτούν
Fτ = C f ρ
Vo2
Ef
2
(3.1)
Fp = C p ρ
Vo2
Ep
2
(3.2)
όπου
Ε-19
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Cf
...
συντελεστής αντίστασης από επιφανειακές τριβές
Cp
...
συντελεστής αντίστασης σχήµατος
Ef
...
εµβαδόν ολικής επιφάνειας σώµατος που ασκούνται το
Ep
...
εµβαδόν προβολής σχήµατος σε επίπεδο κάθετο στη ροή
ρ
...
πυκνότητα του ρευστού
Vo
...
ταχύτητα του ρευστού
Ο συντελεστής Cf για ένα σώµα µε συγκεκριµένη µορφή προσδιορίζεται είτε θεωρητικά µε
κάποιους υπολογισµούς, είτε από πειραµατικές µετρήσεις. Παρόµοια, ο συντελεστής Cp
είτε προσδιορίζεται από θεωρητικούς υπολογισµούς, είτε από τη µέτρηση της κατανοµής
των πιέσεων στην επιφάνεια του σώµατος και ολοκλήρωση.
Ο συντελεστής συνολικής αντίστασης ενός σώµατος FD ορίζεται ως εξής
Vo2
FD = C D ρ
Ep
2
(3.3)
όπου Εp είναι το εµβαδόν προβολής επιφάνειας σχήµατος σε επίπεδο κάθετο στη
διεύθυνση της ταχύτητας V0.
Ο συντελεστής αντίστασης CD, εκτός από τη µορφή του σχήµατος, είναι συνάρτηση και
της ταχύτητας του πεδίου ροής καθώς και κάποιου χαρακτηριστικού µήκους ή διάστασης
του υπό µελέτη σχήµατος. Για παράδειγµα, ας θεωρήσουµε µια σφαίρα διαµέτρου D σε
πεδίο παράλληλης ροής µε ταχύτητα Vo και ας µετρήσουµε το συντελεστή CD. Ισχύει ότι
(Re = VoD/ν)
C D = 24 / Re; Re < 10
(3.4)
και
CD ≅
24
6
+
+ 0.40; Re < 10 5
Re 1 + Re
(3.5)
Παράδειγµα 3.1. Πλαστική σφαίρα διαµέτρου D = 0.05 m και πυκνότητας ρs = 1300
Kg/m3 πέφτει ελεύθερα σε δεξαµενή νερού. Να προσδιοριστεί η οριακή ταχύτητα της
σφαίρας αν Τ = 20 οC και η πυκνότητα του νερού είναι ρ = 1000 Kg/m3.
Απάντηση
Για νερό θερµοκρασίας 20 οC το ιξώδες είναι (από πίνακες) µ = 10-3 Ns/m2. Οι δυνάµεις
που ασκούνται πάνω στη σφαίρα είναι
FD
1
το βάρος
W = πD 3 ρ s
A
8
η άνωση
1
A = πD 3 ρ και
8
Vo
W
Ε-20
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
η δύναµη αντίστασης FD = C D ρ
Vo2
Ep
2
και δεδοµένου ότι η σφαίρα έχει αποκτήσει οριακή ταχύτητα το άθροισµα των δυνάµεων
είναι
V 2 πD 2
1
W − A − FD = 0 ⇒ πD 3 ( ρ s − ρ ) g − C D ρ
=0
6
2 4
ή
4
D ( ρ s − ρ ) g − C D ρV 2 = 0 .
3
Θεωρώντας ότι Re < 105, µπορούµε να αντικαταστήσουµε την προαναφερθείσα
προσεγγιστική σχέση CD = f(Re) στην τελευταία εξίσωση και να την επιλύσουµε µε
δοκιµές, ή να επιλύσουµε το πρόβληµα µε διαδοχικές προσεγγίσεις, υποθέτοντας την
ταχύτητα V, απ' όπου προσδιορίζουµε τον αριθµό Re, όπου CD = f(Re) και κατά συνέπεια
V =
4 D( ρ s − ρ ) g
3
CD ρ
που θα πρέπει να συµπίπτει µε την υποτιθέµενη τιµή, αλλιώς επαναλαµβάνουµε τη
διαδικασία µε την νέα ταχύτητα. Η επίλυση µε αυτή τη µέθοδο φαίνεται στον πίνακα που
ακολουθεί.
∆οκιµή
V
Re
CD
V1
1
0.10000
5000
0.4885
0.02004
2
0.02004
1002
0.6077
0.01797
3
0.01797
898
0.6204
0.01778
4
0.01778
889
0.6217
0.01777
5
0.01777
888
0.6218
0.01776
Εποµένως, η οριακή ταχύτητα της σφαίρας είναι 0.01776 m/s.
Ε-21
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
4.
EΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ & NAVIER STOKES
Σύστηµα καρτεσιανών συντεταγµένων
x = ( x, y , z )
V = (u , v, w)
Εξίσωση συνέχειας
∇ oV = 0 ή
∂u ∂υ ∂w
+
+
=0
∂x ∂y ∂z
(4.1)
Εξίσωση ορµής (Navier Stokes)
DV ∂ V
1
1
µ
µ
=
+ (V o ∇)V = − ∇( p + γh) + ∇ 2 V (= f − ∇p + ∇ 2 V )
Dt
ρ
ρ
ρ
∂t
ρ
(4.2)
Στην κατεύθυνση του άξονα x η εξίσωση της ορµής είναι
∂u
∂u
∂u
∂u
1 ∂p
∂h µ  ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u 
+ u +υ
+w
=−
−g +  2 + 2 + 2
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂x
∂x ρ  ∂x
∂y
∂z 
(4.3)
To παραπάνω σύστηµα των τεσσάρων εξισώσεων (4.1) και (4.2) έχει αγνώστους τις τρεις
συνιστώσες της ταχύτητας (u, v, w) και την πίεση p. Σε περίπτωση του ιδεατού ρευστού
(µ=0) οι εξισώσεις Navier Stokes ονοµάζονται εξισώσεις Εuler.
DV ∂ V
1
1
=
+ (V o ∇)V = − ∇( p + γh)(= f − ∇p)
Dt
∂t
ρ
ρ
(4.4)
Στο πεδίο βαρύτητας της γης έχουµε ότι
f = −∇( gh)
(4.5)
όπου f = − g k είναι η καθολική δύναµη και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Οι εξισώσεις
των Navier - Stokes σε κυλινδρικές πολικές συντεταγµένες r=(r, θ, z), u=(ur,uθ,uz)
γράφονται ως ακολούθως
1∂
1 ∂uθ ∂u z
(ru r ) +
+
=0
r ∂r
r ∂θ
θz
u
∂u r
∂u r uθ ∂u r uθ2
∂u
1 ∂p µ  2
2 ∂u 
+ ur
+
−
+ uz r = −
+ ∇ u r − 2r − 2 θ  + f r
∂r
r ∂θ
r
∂t
θz
ρ ∂r ρ 
r
r ∂θ 
u ∂u
uu
u
∂uθ
∂u
∂u
1 ∂p µ  2
2 ∂u 
+ ur θ + θ θ + r θ + u z θ = −
+ ∇ uθ − θ2 + 2 r  + f θ
∂r
r ∂θ
r
∂t
θz
ρ ∂θ ρ 
r
r ∂θ 
∂u z
∂u u ∂u z
∂u
1 ∂p µ 2
+ ∇ uz + f z
+ ur z + θ
+ uz z = −
∂r
r ∂θ
∂t
θz
ρ ∂z ρ
όπου
1 ∂  ∂  1 ∂2
∂2
.
∇ =
+
r  +
r ∂r  ∂r  r 2 ∂θ 2 ∂z 2
2
Ε-22
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
5.
Ι∆ΕΑΤΑ ΡΕΥΣΤΑ
Είναι εκείνα τα ρευστά στα οποία δεν υφίστανται δυνάµεις από διατµητικές τάσεις λόγω
ιξώδους. Μπορούν επίσης να χαρακτηριστούν τα ρευστά µε πολύ µικρό ιξώδες. Ένα
παράδειγµα τέτοιου ρευστού είναι το υγρό ήλιον, το οποίο συµπεριφέρεται σαν ρευστό
µηδενικού ιξώδους. Οι εξισώσεις εποµένως που τα διέπουν είναι η εξίσωση συνέχειας
∇V =
∂u ∂v ∂w
+
+
=0
∂x ∂y ∂z
και οι εξισώσεις των Navier - Stokes χωρίς τους όρους των διατµητικών τάσεων του
δευτέρου µέλους, που ονοµάζονται και εξισώσεις του Euler

DV ∂V
p
=
+ (V o ∇)V = −∇ gh +  ; V = (u, v , w) .
Dt
∂t
ρ

Ορίζουµε σαν στροβιλότητα ζ ενός πεδίου ροής το διάνυσµα
ζ = rotV = ∇ × V =
i
j
∂
∂x
∂
∂y
u
v
k
∂  ∂w ∂v   ∂u ∂w   ∂v ∂u 
=
− i +  −
 j +  − k
∂z  ∂y ∂z   ∂z ∂x   ∂x ∂y 
(5.1)
w
Εάν ζ = 0 τότε το πεδίο ροής ονοµάζεται αστρόβιλο, αλλιώς στροβιλό.
Ορίζουµε σαν κυκλοφορία Γ το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα της εφαπτοµενικής
συνιστώσας της ταχύτητας πάνω σε µια τυχαία κλειστή καµπύλη S σε ένα πεδίο ροής
Γ = ∫ Vd s .
(5.2)
S
5.1
Αστρόβιλη ροή - που προέρχεται από δυναµικό
Αν η ταχύτητα V ενός πεδίου ροής προέρχεται από δυναµικό, δηλαδή αν
V = gradΦ = ∇Φ
(5.3)
όπου Φ=Φ(x,y,z,t) είναι µια βαθµωτή συνάρτηση, τότε από τη διανυσµατική ανάλυση
προκύπτει ότι
rotV = ∇ × ∇Φ = 0 .
(5.4)
Επίσης, αν rotV = 0 , τότε η ταχύτητα µπορεί να γραφτεί σαν τη κλίση ∇Φ µιας βαθµωτής
συνάρτησης Φ, δηλαδή
V = ∇Φ .
(5.5)
Η συνάρτηση Φ ονοµάζεται συνάρτηση δυναµικού ή δυναµικό του πεδίου ταχυτήτων. Αν
V = ∇Φ, η ροή ονοµάζεται δυναµική ή αστρόβιλη επειδή
 ∂Φ ∂Φ ∂Φ 
rotV = ∇ × ∇Φ = 0 , V = (u ,v,w) = 
, ,  .
 ∂x ∂y ∂z 
Ε-23
(5.6)
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
5.2
Ολοκλήρωση των εξισώσεων του Euler σε αστρόβιλο πεδίο ροής.
Έστω ότι κατά τη χρονική στιγµή t = t1, το πεδίο ταχυτήτων είναι αστρόβιλο, δηλαδή
rotV = 0 και V = ∇Φ .
(5.7)
Η εξίσωση του Euler στην κατεύθυνση x γράφεται
∂u
∂u
∂u
∂u
∂ 
p
∂h 1 ∂p
.
+u +v
+w
= −  gh +  = − g
−
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x 
ρ
∂x ρ ∂x
(5.8)
 ∂ Φ ∂Φ ∂Φ 
Από τη σχέση V = (u, v , w) = 
,
,  , η παραπάνω εξίσωση µπορεί να γραφτεί
 ∂x ∂y ∂ z 
∂u ∂Φ ∂ 2 Φ ∂Φ ∂ 2 Φ ∂Φ ∂ 2 Φ ∂u ∂Φ ∂ 2 Φ ∂Φ ∂ 2 Φ ∂Φ ∂ 2 Φ
+
+
+
=
+
+
+
∂t ∂x ∂x 2 ∂y ∂y∂x ∂z ∂z∂x ∂t ∂x ∂x 2 ∂y ∂x∂y ∂z ∂x∂z
∂u
∂u
∂v
∂w
=
+u +v +w
∂t
∂x
∂x
∂x
2
∂u ∂  u  ∂  v 2  ∂  w 2 
=
+  +  +  
∂t ∂x  2  ∂x  2  ∂x  2 
(5.9)
∂u ∂  u 2 v 2 w 2 
=
+  +
+

2
2 
∂t ∂x  2
∂h 1 ∂p
= −g −
∂x ρ ∂x
δηλαδή
∂u
∂ V 2
=− 
+ gh +
∂t
∂x  2
p
2
2
2
2
; V = u + v + w .
ρ
(5.10a)
Όµοια
∂v
∂ V 2
p
=− 
+ gh + 
∂t
∂y  2
ρ
(5.10b)
∂w
∂ V 2
p
=− 
+ gh +  .
∂t
∂z  2
ρ
(5.10c)
και
Οι παραπάνω τρεις σχέσεις µπορούν σε διανυσµατική µορφή να γραφτούν
V 2
∂V
p
= −∇
+ gh +  .
∂t
ρ
 2
(5.10d)
Η εξίσωση αυτή δείχνει ότι το πεδίο των τοπικών επιταχύνσεων ∂V /∂t= ∇(ενέργειας)
κατά τη χρονική στιγµή t = t1 είναι αστρόβιλο επειδή προέρχεται από δυναµικό. Μετά
χρόνο ∆t = t2 - t1, κατά τη χρονική στιγµή t2 θα ισχύει
Ε-24
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
∆V V t2 − V t1
 ∂V 
 ∂V 
=
⇒ V t2 = V t1 (t 2 − t1 )  .
  =
 ∂t  t1 ∆t
 ∂ t  t1
t 2 − t1
(5.11)
Επειδή όµως τα πεδία Vt1 και ∂V /∂t είναι αστρόβιλα, από την παραπάνω σχέση έπεται ότι
και το πεδίο ταχυτήτων Vt2 θα είναι αστρόβιλο. Μπορούµε εποµένως να διατυπώσουµε το
παρακάτω θεώρηµα:
5.3
Θεώρηµα του Lagrange
Αν σε κάποια χρονική στιγµή το πεδίο ταχυτήτων ενός οµογενούς ρευστού µε µηδενικό
ιξώδες είναι αστρόβιλο, τότε θα παραµείνει αστρόβιλο κάτω από την επίδραση ενός
αστρόβιλου πεδίου δυνάµεων.
Μια άλλη διατύπωση του θεωρήµατος του Lagrange είναι η εξής: Είναι αδύνατον να
εισάγουµε περιστροφή σε ένα αστρόβιλο πεδίο ταχυτήτων, από ένα αστρόβιλο πεδίο
δυνάµεων.
5.4
Εποπτική ερµηνεία του θεωρήµατος του Lagrange.
Σε οµογενές ρευστό µε µηδενικό ιξώδες αποµονώνουµε µια σφαίρα. Οι διατµητικές τάσεις
στην επιφάνειά της είναι µηδενικές (µ=0), και εποµένως οι (ορθές) τάσεις διέρχονται από
το κέντρο της. Οι καθολικές δυνάµεις που προέρχονται από δυναµικό f ενεργούν στο
κέντρο µάζας της σφαίρας που συµπίπτει µε το γεωµετρικό της κέντρο. Εποµένως,
δεδοµένου ότι όλες οι δυνάµεις διέρχονται από ένα σηµείο, είναι αδύνατη η δηµιουργία
στρεπτικού ζεύγους δυνάµεων που θα µπορούσε να επιφέρει µεταβολή στη γωνιακή
ταχύτητα της σφαίρας.
p
p
f
τ=0
p
p
p
Από το θεώρηµα του Lagrange εποµένως προκύπτει ότι
V 2
∂V ∂
p
 ∂Φ 
+ gh + 
= (∇Φ) = ∇  = −∇
 ∂t 
∂t ∂t
ρ
 2
 ∂Φ V 2
⇒ ∇
+
+ gh +
2
 ∂t
p
 =0
ρ
.
(5.12)
Ολοκληρώνοντας την εξίσωση αυτή προκύπτει η γενικευµένη εξίσωση Bernoulli
∂Φ V 2
p
+
+ gh + = f (t )
∂t
ρ
2
(5.13)
Ε-25
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
που ισχύει σε ολόκληρο το αστρόβιλο πεδίο ροής, όπου η σταθερά f(t) είναι συνάρτηση
του χρόνου. Στην περίπτωση ενός πεδίου µόνιµης ροής (∂Φ/∂t = 0) η εξίσωση Bernoulli
γράφεται ως εξής
V2
p
+ gh + = σταθερά
2
ρ
(5.13a)
σε ολόκληρο το πεδίο ροής
5.5
Θεώρηµα κυκλοφορίας (του Kelvin)
Σε ρευστό µε µηδενικό ιξώδες (µ = 0) και σταθερή πυκνότητα, για το οποίο οι καθολικές
δυνάµεις προέρχονται από συντηρητικό πεδίο, η στροβιλότητα παραµένει αµετάβλητη σε
κάθε του σηµείο. H κυκλοφορία Γ ορίζεται ως εξής
V
dS
n
Α
S
Γ = ∫ Vd s = ∫∫ (∇xV ) o ndA
S
(5.14)
A
Όµως
DΓ
D
=
Vd s =
Dt
Dt ∫S
∫
S
( ) 
 Du j
D dx j
D
D

Vd
s
=
u
dx
=
dx j + u j
( ) ∫
j
j
∫
 Dt
Dt
Dt
Dt
S
S
(
)


(5.15)
Αλλά
( ) = d  Dx
D dx j
Dt
∂x j 

 ∂x j
+ uk
 = du j .
 = d
∂x k 
 ∂t
 Dt 
j
(5.16)
Εποµένως
 Du j

DΓ
= ∫
dx j + u j du j 
Dt S  Dt

 1 ∂p

∂h
= ∫  −
dx j − g
dx j + u j du j 
ρ ∂x j
∂x j

S
 1

1
= ∫  − dp − gdh + d (u j u j )
2
 ρ

S
 p

1
= ∫ d  − − gh + d (u j u j ) = 0
2
 ρ

S
γύρω από µια κλειστή καµπύλη. Εποµένως, Γ = σταθερά.
Ε-26
(5.17)
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Παράδειγµα 5.1. Να δείξετε ότι το πεδίο ταχυτήτων vθ = ωr, vr = 0 σε κυλινδρικές
πολικές συντεταγµένες είναι στροβιλό.
y
vθ
r
Β
vθ
v
-u
θ
vθ
r2
(α)
Α
Α
C
x
θ
vθ=r2ω
D
r1
(β)
Απάντηση
Πρόκειται για ένα διδιάστατο πεδίο ροής. Οι συνιστώσες της ταχύτητας (α) σε
καρτεσιανές συντεταγµένες είναι
− u = vθ sin θ = ωr sin θ = ωy
v = vθ cos θ = ωrcowθ = ωx
Εποµένως η στροβιλότητα είναι
ζ=
∂v ∂u
−
= ω − ( −ω ) = 2ω ≠ 0 .
∂x ∂y
Η ροή εποµένως είναι στροβιλή.
Η κυκλοφορία γύρω από ένα τµήµα δακτυλίου (β) είναι
Γ = ∫ Vd s =
S
∫ (r ω )(r dθ ) + 0 − ∫ (r ω )(r dθ ) + 0 = ωθ (r
2
2
1
AB
1
2
2
− r12 ) = 2ωA
CD
όπου
r2
(r22 − r12 )
(εµβαδόν του ABCD).
A = ∫ θrdr =θ
2
r1
Παράδειγµα 5.2. Να δείξετε ότι το πεδίο ταχυτήτων vθ = K/r, vr = 0 σε κυλινδρικές
πολικές συντεταγµένες είναι αστρόβιλο.
y
vθ
r
θ
vθ
v
x
-u
vθ
Ε-27
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Απάντηση
Πρόκειται για ένα διδιάστατο πεδίο ροής. Οι συνιστώσες της ταχύτητας σε καρτεσιανές
συντεταγµένες είναι
u=−
K
y
K
x
sin θ = − K 2
και v = cosθ = K 2
2
r
r
x +y
x + y2
Εποµένως
Β
∂v ∂u
ζ=
−
= 0.
∂x ∂y
vθ=r2ω
και η ροή είναι αστρόβιλη.
Γ = ∫V d s =
S
Γ ' = ∫ Vd s = 2πr
K
= 2πK ≠ 0 .
r
C
vθ = r ω
r
Γ’ = σταθερά, γύρω από το κέντρο, υπάρχει εποµένως
στροβιλισµός γύρω από το κέντρο του πεδίου
ταχυτήτων.
5.6
r1
r2
K
K
(r2θ ) + 0 − (r1θ ) + 0 = Kθ − Kθ = 0 .
r2
r1
Όµως, η κυκλοφορία γύρω από ένα κύκλο µε κέντρο
το (0,0) είναι
S
D
θ
Η κυκλοφορία γύρω από ένα τµήµα δακτυλίου είναι
Α
Α
C
(0,0)
Η εξίσωση του Bernoulli
Όταν στη ροή δεν υπάρχουν τριβές (µ=0) και είναι και αστρόβιλη, τότε συµβαίνουν
µερικά ενδιαφέροντα πράγµατα.
Κατ’ αρχήν η εξίσωση της ποσότητας κίνησης (ορµής) γράφεται (εξίσωση του Euler)
DV ∂ V
1
=
+ (V o ∇)V = g − ∇p; V = (u , v, w) .
∂t
ρ
Dt
Όµως
1 
(V o ∇)V = ∇ V 2  + ζ × V .
2 
(5.18)
Η παραπάνω εξίσωση γίνεται
∂V
1
1 
+ ∇ V 2  + ζ × V = g − ∇p
∂t
ρ
2 
(5.19)
Πολλαπλασιάζοντας (εσωτερικά) µε dr

∂ V
1
1 2
 ∂t + ∇ 2 V  + ζ × V − g + ρ ∇p  o d r = 0




Ε-28
(5.20)
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Επιδιώκουµε την ταυτότητα
ζ ×V o d r ≡ 0 .
(5.21)
Αυτό αληθεύει για τις ακόλουθες περιπτώσεις
(i)
V = 0 (δεν υπάρχει ροή)
(ii)
ζ = 0 (αστρόβιλη ροή)
(iii)
dr ⊥ (ζ × V) (ροή τύπου Beltrami, πολύ σπάνια περίπτωση)
(iv)
dr // V (εφαπτόµενο στη γραµµή ροής)
Σύµφωνα µε την περίπτωση (iv), ολοκληρώνοντας κατά µήκος µιας γραµµής ροής και
θεωρώντας g = -g k, η παραπάνω εξίσωση γίνεται
∂V
 1  dp
o d r + d V 2  +
+ gdz = 0
∂t
2  ρ
(5.22)
απ’ όπου για µόνιµη ροή [∂/∂t ( ) = 0] ασυµπίεστου ρευστού προκύπτει ότι κατά µήκος
µιας γραµµής ροής
V 2

p
d
+
+ z = 0
 2 g ρg

(5.23)
που µπορεί επίσης να γραφτεί ως εξής
H=
V2
p
+
+ z = σταθερά.
2 g ρg
(5.23a)
Η παραπάνω εξίσωση διατυπώθηκε για πρώτη φορά από το Bernoulli και φέρει το όνοµά
του, ισχύει δε κατά µήκος µιας γραµµής ροής ιδεατού ρευστού.
5.7
∆υναµική ροή (potential flow)
Σε ένα πεδίο ροής ιδεατού ρευστού ορίζουµε τη συνάρτηση δυναµικού Φ τέτοια ώστε το
πεδίο ταχυτήτων να περιγράφεται από την εξίσωση
V = ∇Φ .
(5.24)
Η εξίσωση συνέχειας γράφεται ως εξής
∇ o V = ∇ o ∇Φ = ∇ 2 Φ = 0
(5.25)
που είναι η εξίσωση του Laplace.
H εξίσωση του Euler γράφεται ως ακολούθως

∂V
p
+ (V ∇)V = −∇ gh +  .
∂t
ρ

(5.26)
Επιλύνοντας την εξίσωση του Laplace, από τη σχέση V = ∇Φ µπορούµε να
προσδιορίσουµε το πεδίο των ταχυτήτων απ’ ευθείας, ενώ στη συνέχεια από την εξίσωση
του Euler να προσδιορίσουµε την κατανοµή των πιέσεων στο πεδίο ροής.
Ε-29
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
5.8
Ροϊκή συνάρτηση - συνάρτηση δυναµικού (2-D)
Ορίζουµε σαν ροϊκή συνάρτηση σε ένα διδιάστατο (2-D) πεδίο ροής τη συνάρτηση Ψ(x,y)
τέτοια ώστε
u=
∂Ψ
∂Ψ
, v=−
.
∂y
∂x
(5.27)
Η εξίσωση συνέχειας ικανοποιείται (εκ ταυτότητος) επειδή
∂u ∂v ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ
+
=
−
= 0.
∂ x ∂ y ∂ x∂ y ∂ y ∂ x
Aπό την εξίσωση της γραµµής ροής dx/u = dy/v προκύπτει ότι
− vdx + udy ( = 0) =
∂Ψ
∂Ψ
dx +
dy = dΨ .
∂x
∂y
(5.28)
Εάν dΨ = 0, τότε u dy = v dx, δηλαδή u/v = dx/dy, πράγµα που σηµαίνει ότι κατά µήκος
µιας γραµµής ροής Ψ = σταθερά. Εποµένως η εξίσωση της γραµµής ροής είναι
Ψ = σταθερά.
(5.28a)
Β
dS
dx
dy V
dx
n
Ψ=Ψ2
dy
dS
u
v
Α
Ψ=Ψ1
Η παροχή που διέρχεται ανάµεσα από δύο γραµµές ροής τις Ψ1 και Ψ2 του παραπάνω
σχήµατος µπορεί να υπολογιστεί από το ολοκλήρωµα της εισροής κατά µήκος µιας
γραµµής ΑΒ που συνδέει δύο τυχαία σηµεία των δύο γραµµών ροής
B
∂Ψ
∂Ψ
Q = ∫ (u o n)dS = ∫ u dy − ∫ v dx = ∫
dy − ∫ −
dx
∂y
∂x
A
A
A
A
A
B
B
B
B
∂Ψ
∂Ψ
dx +
dy
∂
∂
x
y
A
B
=∫
(5.29)
B
= ∫ dΨ = ΨB − Ψ A = Ψ2 − Ψ1
A
Εποµένως, σε ένα διδιάστατο πεδίο ροής η παροχή που µεταφέρεται ανάµεσα σε δύο
γραµµές ροής Ψ1 και Ψ2 είναι
Q = Ψ2 - Ψ1 .
(5.29a)
Σε ένα δισδιάστατο πεδίο ροής ιδεατού ρευστού ορίσαµε επίσης τη συνάρτηση δυναµικού
Φ(x,y) τέτοια ώστε
Ε-30
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
u=
∂Φ
∂Φ
,v =
.
∂x
∂y
(5.30)
Ισχύει ότι
dΦ =
∂Φ
∂Φ
dx +
dy = udx + vdy .
∂x
∂y
(5.31)
Πάνω στις ισοδυναµικές γραµµές (Φ = σταθερά) εποµένως ισχύει ότι
dΦ = 0 = udx + vdy ⇒
dy
u
=− .
dx
v
(5.32)
Επειδή όµως πάνω στις γραµµές ροής (Ψ = σταθερά) ισχύει η σχέση
dx dy
,
=
du
v
προκύπτει ότι οι οι ισοδυναµικές γραµµές τέµνουν τις γραµµές ροής κάθετα.
Αυτό αποδεικνύεται και µαθηµατικά λαµβάνοντας το εσωτερικό γινόµενο
 ∂Φ
∂Φ   ∂Ψ ∂Ψ 
i+
j o 
i+
j
∇Φ o ∇Ψ = 
∂y   ∂x
∂y 
 ∂x
(
) (
)
(5.33)
= ui + v j o − vi + u j = − uv + vu = 0
Εάν το µόνιµο πεδίο ροής είναι αστρόβιλο, τότε ισχύει ότι
∂v ∂u
∂ 2Ψ ∂ 2Ψ
ζ= −
=0⇔− 2 −
= −∇ 2 Ψ = 0 (Laplace).
2
∂x ∂y
∂x
∂y
(5.34)
Επίσης, από την εξίσωση της συνέχειας, αντικαθιστώντας την ταχύτητα από τη συνάρτηση
δυναµικού προκύπτει ότι
∂u ∂v
∂ 2Φ ∂ 2Φ
+
=0⇔
+ 2 = ∇ 2 Φ = 0 (Laplace).
2
∂x ∂y
∂x
∂y
(5.35)
Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι επιλύοντας την εξίσωση του Laplace είτε ως
προς Φ είτε ως προς Ψ, µπορούµε να προσδιορίσουµε το πεδίο ταχυτήτων άµεσα
διαφορίζοντας τις Φ ή Ψ. Η πίεση σε κάθε σηµείο του πεδίου ροής προκύπτει από την
εφαρµογή της εξίσωσης του Bernoulli.
5.9
Ανάλυση 2-D αστρόβιλου πεδίου ροής (επίλυση εξίσωσης Laplace) µε µιγαδικές
συναρτήσεις
Από τον ορισµό της συνάρτησης δυναµικού Φ και της ροϊκής συνάρτησης Ψ προκύπτει ότι
u=
∂Φ ∂Ψ
∂Φ
∂Ψ
=
, v=
=−
(εξισώσεις Cauchy - Riemann).
∂x ∂y
∂y
∂x
(5.36)
Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι υπάρχει αναλυτική µιγαδική συνάρτηση
δυναµικού F(z) που ορίζεται ως εξής
Ε-31
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
F ( z) = Φ( x , y ) + iΨ( x , y ) .
(5.37)
Η παράγωγος της αναλυτικής συνάρτησης F(z) είναι
W ( z) =
dF ∂F ∂Φ( x , y )
∂Ψ( x , y )
=
=
+i
= u − iv .
∂x
∂x
dz ∂x
(5.38)
∆ιαφορίζοντας εποµένως τη συνάρτηση F(z), προκύπτουν οι δύο συνιστώσες της
ταχύτητας του πεδίου ροής.
5.10
Εφαρµογές της µιγαδικής ανάλυσης στην επίλυση 2-D αστρόβιλων πεδίων ροής
1.
Οµοιόµορφη οριζόντια ροή.
F = Uz
U
y
dF
= U = u − iv
dz
Εποµένως u = U, v = 0 είναι το πεδίο των
ταχυτήτων.
x
2.
Οµοιόµορφη κατακόρυφη ροή.
y
F = −iVz
dF
= −iV = u − iv
dz
V
Εποµένως u = 0, v = V είναι το πεδίο των
ταχυτήτων.
3.
x
Οµοιόµορφη ροή υπό γωνία.
F = Ve − ia z = V (cos a − i sin a )z
dF
= V cosα − iV sin α = u − iv
dz
y
Εποµένως u = Vcosα, v = Vsinα είναι το πεδίο των
ταχυτήτων.
Στην παραπάνω εξίσωση του µιγαδικού
δυναµικού, για α = 0, έχουµε F(z) = Vz που είναι η
περίπτωση της οριζόντιας ροής, ενώ για α = 90ο,
έχουµε F(z) = -iVz, που είναι η περίπτωση της
κατακόρυφης προς τα επάνω ροής.
Ε-32
V
α
x
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
4.
Πηγή και καταβόθρα
y
v
θ
Ψ = σταθερά
ur
u
x
Φ = σταθερά
Η πηγή παράγει ρευστό µε ρυθµό m. Υπάρχει µόνον ακτινική συνιστώσα της ταχύτητας ur,
ενώ η εφαπτοµενική στους οµόκεντρους µε την πηγή κύκλους είναι µηδενική (uθ = 0). Η
ακτινική ταχύτητα είναι ίδια σε ένα οµόκεντρο µε την πηγή κύκλο
u r ( R) =
c
R
και από το θεώρηµα συνέχειας προκύπτει ότι
2π
2π
0
0
m = ∫ u r R dθ =
c
∫ R Rdθ = 2π c .
Εποµένως c = m/2π, και το µιγαδικό δυναµικό πηγής µε ένταση m είναι
F ( z) =
m
m
log z ή F ( z ) =
log( z − z o )
2π
2π
(5.39)
όταν η πηγή βρίσκεται στην αρχή των αξόνων ή στο σηµείο zo αντίστοιχα.
Σε πολικές συντεταγµένες η συνάρτηση του µιγαδικού δυναµικού της πηγής γράφεται ως
εξής
F ( z) =
m
m
m
log(re iθ ) =
log r + i θ ,
2π
2π
2π
(5.40)
όπου
z = re iθ , Φ
m
m
log r και Ψ =
θ.
2π
2π
Η εξίσωση των ισοδυναµικών γραµµών είναι
Φ = σταθερά ⇒ r = σταθερά (οµόκεντροι κύκλοι)
και των γραµµών ροής
Ψ σταθερά ⇒ θ = σταθερά (ακτίνες που διέρχονται από την πηγή).
Το πεδίο ταχυτήτων προκύπτει διαφορίζοντας τη συνάρτηση δυναµικού κατά τα γνωστά
W ( z ) = u − iv =
dF ( z ) m d (log z ) m 1 m 1 −iθ
m 1
(cosθ − i sin θ )
=
=
=
e =
dz
dz
2π
2π z 2π r
2π r
Ε-33
(5.41)
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Όπου
u r = u cosθ + v sin θ =
(
)
m 1
m
cos 2 θ + sin 2 θ =
2π r
2π r
uθ = −u sin θ + u cosθ =
m 1
(− cosθ sin θ + sin θ cosθ ) = 0 .
2π r
(5.42)
(5.43)
Η καταβόθρα λειτουργεί ακριβώς αντίθετα από την πηγή, δηλαδή αναρροφά το ρευστό. Η
συνάρτηση δυναµικού καταβόθρας στο σηµείο zo είναι
F ( z) = −
m
log( z − z o )
2π
από την οποία προκύπτει ότι το πεδίο ταχυτήτων είναι
u r = −u cosθ − v sin θ = −
uθ = u sin θ − u cosθ =
5.
(
)
m 1
m
cos 2 θ + sin 2 θ = −
και
2π r
2π r
m 1
(cosθ sin θ − sin θ cosθ ) = 0 .
2π r
Στρόβιλος εντάσεως Γ
y
uθ
v
θ
Φ = σταθερά
u
x
Ψ = σταθερά
Η συνάρτηση δυναµικού στροβίλου εντάσεως Γ στο σηµείο zo είναι
F ( z ) = −i
Γ
log( z − z o )
2π
(5.44)
Θεωρούµε zo = 0 χωρίς περιορισµό της γενίκευσης και το δυναµικό γίνεται
F ( z ) = −i
Γ
Γ
Γ
θ − i log r όπου z = re iθ .
log z =
2π
2π
2π
(5.45)
Το πεδίο ταχυτήτων προκύπτει από τη σχέση
W ( z ) = u − iv =
dF ( z )
Γ 1
Γ 1
=−
sin θ − i
cosθ
dz
2π r
2π r
απ’ όπου προκύπτει ότι
u=−
Γ 1
Γ 1
sin θ και v =
cosθ .
2π r
2π r
Ε-34
(5.46)
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Σε πολικές συντεταγµένες η ακτινική και εφαπτοµενική ταχύτητα είναι
u r = u cosθ + v sin θ = −
Γ 1
Γ 1
cosθ sin θ +
cosθ sin θ = 0
2π r
2π r
(5.47)
και
uθ = v cosθ − u sin θ =
Γ
Γ 1
cos 2 θ + sin 2 θ =
.
2π r
2π r
(
)
(5.48)
H κυκλοφορία του στροβίλου µπορεί να υπολογιστεί πάνω σε ένα κύκλο µε κέντρο το
σηµείο zo είναι
2π
K = ∫ u o ds = ∫ uθ R dθ =
0
C
2π
Γ
Γ
∫ 2π R Rdθ = 2π 2π = Γ .
(5.49)
0
Εποµένως, ένταση Γ του στροβίλου είναι ίση µε τη κυκλοφορία Γ του στροβίλου γύρω
από το κέντρο του και είναι σταθερά.
Οι ισοδυναµικές γραµµές προκύπτουν από την εξίσωση δυναµικού και είναι
Φ = Re F ( z ) =
Γ
θ,
2π
(5.50)
που σηµαίνει ότι για θ = σταθερά είναι ακτίνες που ξεκινούν από το κέντρο του στροβίλου.
Οι γραµµές ροής προκύπτουν από την εξίσωση δυναµικού και είναι
Ψ = Im F ( z ) = −
Γ
log r
2π
(5.51)
δηλαδή για r = σταθερά είναι οµόκεντροι κύκλοι µε κέντρο αυτό του στροβίλου και φορά
αντίθετη αυτής των δεικτών του ωρολογίου.
6.
Ροή σε γωνία.
Η συνάρτηση δυναµικού για ροή σε γωνία π/n είναι
F ( z ) = Uz n = UR n e inθ = UR n cos nθ + iUR n sin nθ = Φ + iΨ ,
(5.52)
όπου n ≥ 1. Προφανώς, για n = 1 η ροή είναι οριζόντια, οµοιόµορφη και παράλληλη στον
άξονα x, που µελετήσαµε ενωρίτερα.
Οι ισοδυναµικές γραµµές και οι γραµµές ροής που φαίνονται στο σχήµα έχουν εξισώσεις
Φ = UR n cos nθ και Ψ = UR n sin nθ
(5.53)
αντίστοιχα.
Η γραµµή ροής Ψ = 0 αντιστοιχεί στο όριο της γωνίας (θ = 0 και θ = π/n). Το πεδίο
ταχυτήτων προκύπτει από τη σχέση
W ( z) =
(
)
dF ( z )
= nUR n −1 cos nθ + inUR n −1 sin nθ e iθ = u − iv .
dz
Ε-35
(5.54)
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
uθ
ur
U
Ψ=0
Φ = σταθερά
Ψ = σταθερά
π/2n
π/n
Ψ=0
Συγκρίνοντας αυτή τη σχέση µε την αντίστοιχη των ταχυτήτων της πηγής προκύπτει ότι
u r = nUR n −1 cos nθ και uθ = nUR n −1 sin nθ .
(5.55)
Όταν 0 < θ < π/2n, τότε ur > 0 και uθ < 0.
Όταν π/2n < θ < π/n, τότε ur < 0 και uθ < 0.
7.
∆ίπολο.
Ονοµάζουµε δίπολο το σύστηµα πηγής-καταβόθρας που βρίσκονται πολύ κοντά και έχουν
την ίδια ένταση (παροχή) m. Έστω ότι µία πηγή και µία καταβόθρα µε την ίδια ένταση,
βρίσκονται πάνω στον άξονα x και απέχουν από το σηµείο x = 0 απόσταση ε. ∆εδοµένου
ότι το πεδίο ροής µιας πηγής ή µιας καταβόθρας περιγράφεται από την εξίσωση του
Laplace (γραµµική εξίσωση), το πεδίο ροής του συστήµατος πηγή-καταβόθρα προκύπτει
από την επαλληλία των µιγαδικών δυναµικών της πηγής και της καταβόθρας
F ( z) =
m
m
m
z +ε
log( z + ε ) −
log( z − ε ) =
log
2π
2π
2π
z −ε
(5.56)
y
ε
ε
x
Σε περίπτωση που ο λόγος ε / z  είναι πολύ µικρός αριθµός, το κλάσµα του λογαρίθµου
µπορεί να αναπτυχθεί στη σειρά
2

z + ε 1+ ε / z  ε  1
 ε  ε  ε 
=
= 1 + 
= 1 +  1 + +   + ...
z − ε 1− ε / z 
z 1− ε / z 
z   z  z 

ε
2
ε 
ε 
= 1 + 2 +   + O 
z z
z
Ε-36
3
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Εποµένως το δυναµικό του διπόλου µπορεί να γραφτεί
F ( z) =
m
2ε
log(1 + ) , 2ε /z << 1.
2π
z
Όµως, log (1+γ) = γ + Ο(γ2), όταν γ << 1 και το δυναµικό του διπόλου γίνεται
m
F ( z) =
2π
2
 2ε
 2ε   mε
.
 + O   =
 z   π z
 z
Προτείνεται τώρα το ε → 0 και m → ∞ έτσι ώστε mε = µπ. Τότε η εξίσωση δυναµικού του
διπόλου γίνεται
F ( z) =
µ
(5.57)
z
όπου µ είναι η σταθερά του διπόλου. Οι εξισώσεις των ισοδυναµικών και των γραµµών
ροής που προκύπτουν είναι
Φ ( x, y ) =
µx
x +y
2
2
και Ψ ( x, y ) = −
µy
x + y2
2
.
(5.58)
Η εξίσωση των γραµµών ροής προκύπτει από τη σχέση Ψ = σταθερά, δηλαδή
2
µ   µ 

x +y+

 =
2Ψ   2 Ψ 

2
2
(5.59)
που είναι η εξίσωση κύκλου µε κέντρο στο σηµείο (0, -µ/2Ψ) και ακτίνα µ/2Ψ και
φαίνονται στο σχήµα που ακολουθεί.
Οι συνιστώσες της ταχύτητας που προκύπτουν από τη συνάρτηση δυναµικού είναι
W ( z ) = u − iv =
u=−
µ
R
2
µ
µ
µ
dF ( z )
= − 2 = − 2 e − 2iθ = − 2 (cos 2θ − i sin 2θ )
dz
z
R
R
cos 2θ και v = −
µ
R2
sin 2θ .
Ε-37
(5.60)
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
6.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΡΕΥΣΤΑ - ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ
6.1
Στρωτή ροή ανάµεσα σε δύο παράλληλες πλάκες.
Έστω η µόνιµη [∂/∂t( ) = 0] στρωτή ροή
ανάµεσα σε δύο παράλληλες πλάκες από τις
οποίες η ανώτερη κινείται µε ταχύτητα U, ενώ η
κατώτερη είναι ακίνητη. Έστω επίσης ότι η
κλίση πίεσης κατά µήκος του άξονα x είναι d/dx(p+ρgh), πράγµα που σηµαίνει ότι είναι
αρνητική. ∆εδοµένου δε ότι η κίνηση γίνεται
µόνο προς την κατεύθυνση x, ισχύει ότι v = w =
0. Από την εξίσωση συνέχειας προκύπτει ότι
∂u/∂x = 0 και η εξίσωση των Navier-Stokes
κατά µήκος του άξονα x γράφεται ως εξής
−
z
U
b
θ
2
dp
( p + ρgh ) + µ d u2 = 0
dx
dz
x
(6.1)
µε οριακές συνθήκες για z = 0 πρέπει u = 0, ενώ για z = b πρέπει u = U.
Η επίλυση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης µε αυτές τις οριακές συνθήκες µας δίνει τη
λύση
u( z ) =
Uz b 2 d ( p + ρgh) z 
z
−
1 −  .
b 2µ
dx
b  b
(6.2)
Θεωρώντας τις πλάκες οριζόντιες (h = σταθερά), η παραπάνω εξίσωση κατανοµής της
ταχύτητας γίνεται
u( z ) =
Uz b 2 dp z 
z
−
1 − 
b 2 µ dx b  b 
(6.2α)
και αποτελείται από ένα γραµµικό όρο ως προς z και ένα παραβολικό όρο. Η διατµητική
τάση τzx = µ (∂u/∂z) προκύπτει από την εξίσωση (4.7α) και είναι
τ zx ( z) =
U b dp 
z
−
1 − 2  .
b 2 dx 
b
(6.3)
Η µέση ταχύτητα ροής V προκύπτει από τη σχέση
b
1
V = ∫ u( z )dz
b0
(6.4)
δεδοµένης της παροχής ανά µονάδα πλάτους q = Vb.
Περίπτωση 1. ∆ιδιάστατη ροή Couette.
Προκύπτει µόνο από την σταθερή κίνηση της άνω πλάκας, χωρίς να υπάρχει κλίση πίεσης.
Η κατανοµή της ταχύτητας είναι γραµµική, ενώ η διατµητική τάση λαµβάνει σταθερή τιµή
Ε-38
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
ως προς z. Η µέση ταχύτητα ροής είναι U/2. Συγκεκριµένα, από τη σχέση (6.2α) για
dp/dx=0, έχουµε ότι
b
du
U
1
Uz
U
και V = ∫ u( z )dz =... = .
, τ xz = µ
=µ
u( z ) =
2
b0
dz
b
b
(6.5)
Περίπτωση 2. ∆ιδιάστατη ροή Poiseuille.
Προκύπτει µόνο από την κλίση πίεσης, χωρίς να υπάρχει κίνηση των πλακών. Η κατανοµή
της ταχύτητας είναι παραβολική, ενώ η διατµητική τάση µεταβάλλεται γραµµικά µε το z.
Η µέση ταχύτητα ροής είναι 2U/3. Συγκεκριµένα, από τη σχέση (6.2α) για U = 0, έχουµε
ότι
b
2u
b dp 
z
b 2 dp z 
z
1
u( z ) = −
 1 − 2  , V = ∫ u( z )dz = max . (6.6)
 1 −  , τ zx = −
2 dx 
b
2 µ dx b  b 
b0
3
Παράδειγµα 4.1. Θεωρούµε την ροή νερού ανάµεσα σε δύο οριζόντιες παράλληλες
πλάκες που απέχουν 0.02 m. Να περιγράψετε τις κατανοµές ταχύτητας και διατµητικής
τάσης και να υπολογίσετε τη µέση ταχύτητα όταν (α) η άνω πλάκα κινείται µε ταχύτητα
0.05m/s, (β) οι πλάκες είναι ακίνητες και η κλίση πίεσης είναι 0.50 Pa/m και (γ) η άνω
πλάκα κινείται µε ταχύτητα 0.05m/s και η κλίση πίεσης είναι 0.50 Pa/m.
∆ίδεται ότι για νερό Τ = 20 οC, µ = 0.00101 Kg/m/s.
Απάντηση
Από τις σχέσεις (6.2α), (6.5) και (6.6) προκύπτουν οι κατανοµές της ταχύτητας κατά
περίπτωση.
0.02
0.018
0.016
z (m)
0.014
0.012
0.01
0.008
0.006
0.004
U=0.05, dp/dx=0.5
0.002
U=0.05, dp/dx=0
U=0, dp/dx=0.5
0
0
0.01
0.02
0.03
u(z) (m/s)
Ε-39
0.04
0.05
0.06
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Από τις σχέσεις (6.3), (6.5) και (6.6) προκύπτουν οι κατανοµές της διατµητικής τάσης
κατά περίπτωση.
0.02
0.018
0.016
z (m)
0.014
U=0.05, dp/dx=0.5
U=0.05, dp/dx=0
U=0, dp/dx=0.5
0.012
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0
-0.006 -0.004 -0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
Tzx(z) (Kg/m/s^2)
Από τις σχέσεις (6.4), (6.5) και (6.6) προκύπτουν οι µέσες ταχύτητες που κατά περίπτωση
είναι:
(α)
U = 0.05 m/s και dp/dx = 0
V = 0.025 m/s
(β)
U = 0 και dp/dx = 0.50 Pa/m
V = 0.0165 m/s
(γ)
U = 0.05 m/s και dp/dx = 0.50 Pa/m
V = 0.0415 m/s
Παράδειγµα 4.2.
V
V
b
U
U
b
U=0
Θεωρούµε το πεδίο ροής ανάµεσα σε τρεις παράλληλες πλάκες, η κατώτερη από τις οποίες
είναι ακίνητη, η µεσαία που έχει µηδενικό πάχος κινείται προς τα δεξιά µε ταχύτητα U και
η ανώτερη κινείται προς τα αριστερά µε ταχύτητα V. Εάν οι άνω και κάτω πλάκες απέχουν
απόσταση b από τη µεσαία και τα υγρά είναι τα ίδια (ίδια ρ, µ):
Ε-40
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
(α) Θεωρώντας ότι η ροή είναι µόνιµη, να προσδιορίσετε την κατανοµή των ταχυτήτων
στο άνω και κάτω ρευστό.
(β) Κατόπιν, να προσδιορίσετε την κατανοµή των διατµητικών τάσεων στο άνω και κάτω
ρευστό.
(γ) Να προσδιοριστεί η συνολική παροχή ρευστού που µεταφέρεται.
(δ) Για δεδοµένη την ταχύτητα της µεσαίας πλάκας U, ποια θα είναι η ταχύτητα της
ανώτερης πλάκας V, ώστε η συνολική παροχή ρευστού να είναι µηδενική;
Η ροή είναι στρωτή µόνιµη και µονοδιάστατη.
∆εδοµένα: µ, ρ, U, V, b και dp/dx = 0.
Απάντηση
(α)Η εξίσωση Navier - Stokes στη διεύθυνση x γράφεται ως
u
∂u
µ d 2u
1 ∂p µ ∂ 2 u
=−
+
⇒
=0
∂x
ρ ∂x ρ ∂x 2
ρ dx 2
επειδή
∂u/∂x = 0, ∂p/∂x = 0.
Μετά από διπλή ολοκλήρωση προκύπτει ότι
u = C1y + C2
µε οριακές συνθήκες
u(0) = 0, u (b) = U, u(2b) = -V
Εφαρµόζοντας τις δύο πρώτες οριακές συνθήκες προκύπτει (κατώτερη στρώση)
0 = C1 0 + C2 ⇒ C2 = 0.
U = C1b ⇒ C1 = U/b
Εποµένως η κατανοµή ταχυτήτων στην κατώτερη στρώση είναι
u( y ) =
U
y
b
Εφαρµόζοντας τις δύο τελευταίες οριακές συνθήκες προκύπτει (ανώτερη στρώση)
U = C1 b + C2
-V = C1 (2b) + C2
Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι C1 = -(U+V)/b και C2 = 2U + V.
Εποµένως η κατανοµή ταχυτήτων στην ανώτερη στρώση είναι
u( y ) = −
U +V
y + 2U + V .
b
(β) Κατανοµή διατµητικών τάσεων στην κατώτερη στρώση
Ε-41
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
τ (y) = µ (∂u/∂y) = µU/b.
Κατανοµή διατµητικών τάσεων στην ανώτερη στρώση
τ(y) = µ (∂u/∂y) = - µ(U+V)/b.
(γ) Συνολική παροχή
b
2b
b
2b
U
 U +V

Q = ∫ u( y )dy + ∫ u( y )dy = ∫ ydy + ∫  −
y + 2U + V  dy


b
b
b
b
0
0
b
2b
U y2  U +V y2 
2b
+ (2U + V ) y ]b
−
=


b 2 0
b
2 b
Ub U + V (2b) 2 U + V (b) 2
−
+
+ (2U + V )2b − (2U + V )b
b
b
2
2
2
Vb
= Ub −
2
=
(δ) Η συνολική παροχή είναι µηδέν όταν
Q = Ub - Vb/2 = 0 ⇒ V = 2U
Παράδειγµα 4.3
r2
V
r1
x
∆ίδονται δύο οµοαξονικοί κύλινδροι µεγάλου µήκους µε ακτίνες r1 και r2. Ο εσωτερικός
κύλινδρος κινείται µε σταθερή ταχύτητα V προς την κατεύθυνση του x ενώ ο εξωτερικός
παραµένει ακίνητος. Να προσδιοριστούν:
(α)
η κατανοµή των ταχυτήτων στην ακτινική διεύθυνση,
(β)
η παροχή που µεταφέρεται,
(γ)
η µέση ταχύτητα ροής και
(δ)
η κατανοµή των διατµητικών τάσεων.
∆ίδονται οι ακτίνες των κυλίνδρων r1 και r2, η ταχύτητα V, το ιξώδες µ και η πυκνότητα ρ
του υγρού. Η ροή είναι στρωτή και µόνιµη, οι καθολικές δυνάµεις και κλίσεις πίεσης
αµελούνται.
(Υπόδειξη: Λόγω συµµετρίας ur = uθ = 0. Να χρησιµοποιηθούν οι εξισώσεις συνέχειας και
Navier-Stokes σε κυλινδρικές πολικές συντεταγµένες.)
Απάντηση
(α) Κυλινδρική συµµετρία, ur = uθ = 0 και uz = uz (r).
Από τις εξισώσεις των Navier & Stokes σε κυλινδρικές πολικές συντεταγµένες
Ε-42
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
d  du z 
r
=0
dr  dr 
µε οριακές συνθήκες u z (r1 ) = V και u z (r2 ) = 0 . Με διπλή ολοκλήρωση έχω ότι
u z = C1 ln r + C2 .
Εφαρµόζοντας τις παραπάνω οριακές συνθήκες οι σταθερές ολοκλήρωσης προκύπτουν
C1 =
ln r2
V
και C 2 = −V
ln(r1 / r2 )
ln(r1 / r2 )
και η εξίσωση της κατανοµής των ταχυτήτων προκύπτει
u z (r ) = V
ln(r / r2 )
.
ln(r1 / r2 )
(β) Η παροχή που µεταφέρεται είναι
r2
r2
r
ln(r / r2 )
2πV 2
Q = ∫ u z (r )2πrdr = 2πV ∫
rdr =
(ln r − ln r2 )rdr
ln(r1 / r2 )
ln(r1 / r2 ) ∫r1
r1
r1
=
r
r2

2πV  2

(ln
r
)
rdr
(ln
r
)
rdr
−
2
∫r

ln(r1 / r2 )  ∫r1
1

Όµως, ολοκληρώνοντας κατά παράγοντες, το πρώτο ολοκλήρωµα γίνεται
r2
r2
r2
r
2
 r2
1 1
1
(ln
)
=
=
−
r
rdr
rd
r




∫r
∫r  r   r  r ∫r  r dr =(1 − 1) − ln r1
1
1
1
1

r
 = − ln 2

 r1



ενώ το δεύτερο δίνει
r2
r22 − r12
∫r (ln r2 )rdr = 2 ln r2 .
1
Αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση τα ολοκληρώµατα προκύπτει ότι η παροχή που
µεταφέρεται είναι
Q=
2πV   r1
ln
ln(r1 / r2 )   r2

r 2 − r12 
 − ln r2 2
.
2 

Εποµένως η µέση ταχύτητα ροής (γ) και η κατανοµή των διατµητικών τάσεων (δ) είναι
V =
∂u (r )
Q
V
C
και τ = µ z
=µ
= ; C = µC1
2
∂r
r ln(r1 / r2 ) r
π (r − r1 )
2
2
αντίστοιχα.
Ε-43
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
7.
ΤΥΡΒΩ∆ΗΣ ΡΟΗ
7.1
Γενικά
Τυρβώδης χαρακτηρίζεται η ροή στην οποία παρατηρείται (1) ακανόνιστη κίνηση των
ρευστών σωµατιδίων (fluid particles), (2) ανάµειξη των γειτονικών στρώσεων του ρευστού
και (3) οι δυνάµεις αδράνειας υπερισχύουν αυτών του ιξώδους.
Σηµείωση: Από δυναµική άποψη η ροή χωρίζεται σε κατηγορίες µε βάση τη σχέση των
δυνάµεων αδρανείας, βαρύτητας, κλπ που την επηρεάζουν. Συγκεκριµένα, θεωρώντας µια
χαρακτηριστική ταχύτητα V (π.χ. τη µέση ταχύτητα του ρευστού στη διατοµή) και ένα
χαρακτηριστικό µήκος L του πεδίου ροής (π.χ. το βάθος ροής ή η υδραυλική ακτίνα), οι
δυνάµεις που εµφανίζονται µπορούν να γραφτούν διαστατικά ως ακολούθως:
∆υνάµεις
Σχέση δυνάµεων
∆ιαστατική σχέση
Αδράνειας
FI = Ma
FI ∝ ρL3 (V 2 / L) = ρL2V 2
Βαρύτητας
Fg = Mg
FI ∝ ρL3 g
∆ιαφοράς πιέσεων
F p = ∆pA
F p ∝ ∆pL2
Ιξώδους
Fµ = µ (du / dy )A
Fµ ∝ µVL
Επιφανειακής τάσης, ανωστικές, κλπ
Στον παραπάνω πίνακα a είναι η επιτάχυνση του ρευστού, ∆p κάποια διαφορά πιέσεων, Μ
η µάζα, ρ η πυκνότητα του υγρού, Α το εµβαδόν της διατοµής και µ το κινηµατικό ιξώδες
του υγρού. Αδιαστατοποιώντας τις εξισώσεις Navier-Stokes προκύπτει ο λόγος αυτών που
οφείλονται στο ιξώδες προς τις δυνάµεις αδράνειας στο δεξί µέρος των εξισώσεων, που
είναι το αντίστροφο του αριθµού Reynolds της ροής Re-1.
Fµ
FI
=
µVL
µ/ρ ν
=
=
= Re −1 .
2 2
VL
VL
ρL V
(7.1)
Εποµένως, όταν ο αριθµός Reynolds είναι µεγάλος (υπερβαίνει κάποια τιµή), οι όροι των
εξισώσεων Navier-Stokes που περιέχουν το ιξώδες διαιρούνται µε ένα πολύ µεγάλο
αριθµό και µπορούν να αµεληθούν.
Η γένεση της τύρβης προκαλείται από αστάθεια (instability) που οφείλεται είτε στις
συνθήκες ροής, είτε σε τυχαίες διαταράξεις σε περιοχές όπου η κατανοµή της µέσης
ταχύτητας στην κύρια διεύθυνση της ροής εµφανίζει µεγάλες κλίσεις και κατά συνέπεια οι
διατµητικές τάσεις είναι µεγάλες.
∆ιακρίνουµε δύο είδη τύρβης ανάλογα µε τον τρόπο γένεσης: (1) την τύρβη του στερεού
ορίου, δηλαδή αυτή που προκαλείται κοντά στα τοιχώµατα όπου µηδενίζεται η ταχύτητα
ενός πραγµατικού ρευστού και (2) την ελεύθερη τύρβη, δηλαδή αυτήν που προκαλείται
όταν για παράδειγµα φλέβα ρευστού κινείται µέσα σε ακίνητο ρευστό κατάσταση που
Ε-44
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
προκαλεί έντονες κλίσεις στην κατανοµή της ταχύτητας κάθετα στη διεύθυνση της
κίνησης και συνεπώς µεγάλες διατµητικές τάσεις.
Τύρβη του στερεού ορίου
Περιοχή έντονης
διάτµησης
Οµοιόµορφη ροή σε επίπεδη πλάκα
Περιοχή έντονης
διάτµησης
Ελεύθερη τύρβη
Ροή από σχισµή σε ακίνητο ρευστό
Σχήµα 7.1
Τύρβη του στερεού ορίου (επάνω) και ελεύθερη τύρβη (κάτω).
Τα κυριότερα χαρακτηριστικά της τυρβώδους ροής είναι: (1) Η έντονη ανάµειξη και
διάχυση ιδιοτήτων µε ρυθµούς πολύ µεγαλύτερους απ' αυτούς της µοριακής διάχυσης, (2)
Η ανάπτυξη διατµητικών τάσεων πολύ µεγαλύτερων απ' αυτές που προκαλεί το ιξώδες
λόγω µεταφοράς της ορµής σε γειτονικές στρώσεις και (3) Οι αυξηµένες απώλειες
ενέργειας (που µετατρέπεται σε θερµότητα) λόγω του ιξώδους στα εκατοµµύρια των
µικρών δινών (στροβίλων) που εµφανίζονται τοπικά.
7.2
Περιγραφή της τύρβης.
Το ιδιαίτερο γνώρισµα της τύρβης είναι η συνεχής µεταβολή των χαρακτηριστικών της
ροής στο χρόνο και στο χώρο. Για παράδειγµα σε ένα σηµείο του πεδίου ροής (χώρος περιγραφή κατά Euler) οι διάφορες ιδιότητές του µεταβάλλονται χρονικά ως εξής
ταχύτητα
u = u(t)
πίεση
p = p(t)
θερµοκρασία θ = θ(t), κ.λ.π.
Θεωρώντας µια ισόθερµη ροή η µεταβολή µιας συνιστώσας της ταχύτητας µε το χρόνο
έχει τη µορφή που φαίνεται σχηµατικά στο Σχήµα 7.2 (α). ∆ιαχωρίζοντας τη µέση
(χρονικά) τιµή και τη διακύµανση σε σχέση µε αυτή της ταχύτητας και πίεσης σε ένα
σηµείο του πεδίου ροής ενός ρευστού έχουµε
V = V + V ' και p = p + p'
(7.2)
Ε-45
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
ή αναλύοντας την ταχύτητα στις συνιστώσες της
u = u + u', v = v + v ', w = w + w', p = p + p' .
(7.3)
Στο Σχήµα 7.2 (β) φαίνεται η πραγµατική διακύµανση της θερµοκρασίας (πραγµατικά
δεδοµένα από το πεδίο ροής θερµαινόµενης οριζόντιας φλέβας) όπως έχει προκύψει από
σηµειακή µέτρηση 5s µε συχνότητα δειγµατοληψίας 80Hz.
u(t)
u'(t)
u
(α)
u
t
33
x=17.50cm
32
31
o
T ( C)
(β)
30
29
28
27
0
Σχήµα 7.2
1
2
t (sec)
3
4
5
∆ιάγραµµα χρονικής µεταβολής µιας συνιστώσας της ταχύτητας σε
τυρβώδη ροή.
Οι όροι µε την παύλα είναι οι χρονικά µέσες τιµές, ενώ αυτοί µε τον τόνο οι διακυµάνσεις
σχετικά µε τη µέση τιµή, δηλαδή
T
u=
1
u(t )dt και
T ∫0
u' =
1
(u (t ) − u )dt = 0 .
T ∫0
(7.4)
T
(7.5)
Ένταση της τύρβης: Ορίζεται η τυπική απόκλιση του µεγέθους που εξετάζουµε, δηλαδή
προκειµένου για µια συνιστώσα της ταχύτητας ορίζουµε
1 T

σ u = u ' =  ∫ (u (t ) − u ) 2 dt 
T 0

2
1/ 2
.
Ε-46
(7.6)
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
7.3
Τυρβώδης κινητική ενέργεια (ΤΚΕ)
Ορίζεται η τυπική απόκλιση της διακύµανσης της ταχύτητας ½ V’2. H συνολική κινητική
ενέργεια είναι
1
2
1
1 2
2
2
2
1
1
= V + V ' 2 = MKE + TKE
2
2
ε k = V 2 = (V + V ' ) 2 = (V + 2V V '+V ' 2 ) =
όπου ΜΚΕ …
ΤΚΕ
…
(
1 2
V + V '2
2
)
(7.7)
κινητική ενέργεια της µέσης ροής και
κινητική ενέργεια της τύρβης.
Παραγωγή της τύρβης σηµαίνει µετατροπή της ενέργειας της µέσης ροής σε ΤΚΕ, η οποία
µε τη δράση του ιξώδους µετατρέπεται σε θερµότητα. Όταν οι ρυθµοί παραγωγής της ΤΚΕ
και απωλειών σε θερµότητα είναι ίδιοι, τότε υπάρχει ισορροπία στο πεδίο ροής. Η
µεταφορά της ενέργειας από τη µέση ροή στην τύρβη γίνεται από τους µεγαλύτερους
στροβίλους (δίνες) προς τους µικρότερους (turbulence cascade) και από τους µικρότερους
δυνατούς µετατρέπεται σε θερµότητα υπό την επίδραση του ιξώδους. Ποτέ η µέση ροή δεν
ανακτά ενέργεια από την τύρβη.
7.4
Φάσµα της τύρβης
Εάν κατανεµηθεί η ενέργεια της τύρβης ανά µέγεθος δίνης (δηλαδή εάν
µετασχηµατίσουµε το διάγραµµα [u(t),t] σε διάγραµµα [Ε(u’2), ω] ή [Ε(u’2), 2π/L] τότε
λαµβάνουµε το φάσµα της τύρβης που δεν είναι τίποτε άλλο παρά η κατανοµή της ΤΚΕ
στο πεδίο συχνοτήτων που διέρχονται οι στρόβιλοι (ω = 2π/Τ) ή στο πεδίο κυµαταριθµών
(2π/L) µε βάση το χαρακτηριστικό µέγεθος των στροβίλων L.
Ε(u’2)
2π/L
Σχήµα 7.3
∆ιάγραµµα φάσµατος της τύρβης µιας συνιστώσας της ταχύτητας.
Στο Σχήµα 7.4 φαίνεται η χρονική διακύµανση (πάνω) και τα φάσµατα της τύρβης (κάτω)
της θερµοκρασίας οριζόντιας κυκλικής θερµαινόµενης φλέβας στον άξονα (r=0.00cm) και
σε απόσταση r=2.50cm απ’ αυτόν. Η δειγµατοληψία έγινε µε συχνότητα (ρυθµό) 80
µετρήσεις ανά δευτερόλεπτο (80 Hz).
Ε-47
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
33
r = 0.00cm
32
r = 2.50cm
30
o
T ( C)
31
29
28
27
26
0
1
2
t (sec)
3
4
5
1000
100
E(f)
10
1
0.1
r = 0.00
r = 2.50
0.01
0.001
0.1
Σχήµα 7.4
7.5
1
frequency (Hz)
10
100
∆ιακύµανση της θερµοκρασίας και αντίστοιχα φάσµατα της τύρβης στον
άξονα και σε απόσταση 2.50cm από τον άξονα θερµαινόµενης, τυρβώδους
φλέβας νερού.
Εξισώσεις της τυρβώδους ροής
Στις εξισώσεις της συνέχειας και ποσότητας της κίνησης αντικαθιστούµε τις τρείς
συνιστώσες ταχύτητας και την πίεση µε τη µέση τιµή και τη διακύµανσή τους και στη
συνέχεια λαµβάνουµε το χρονικό µέσο όρο των εξισώσεων.
Από την εξίσωση συνέχειας προκύπτει ότι
∂ u ∂υ ∂ w
∂u' ∂υ ' ∂w'
+
+
= 0 και
+
+
= 0.
∂x ∂y ∂z
∂x ∂y ∂z
(7.8)
Οι εξισώσεις των Navier - Stokes λαµβάνοντας τη µέση χρονική τιµή µετασχηµατίζονται
στις εξισώσεις Reynolds οι οποίες σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων είναι οι
ακόλουθες
Ε-48
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
∂u
∂u
∂u
∂u
∂h µ  ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u 
1∂ p
+u
+υ
+w
=−
−g
+
+
+
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂x
∂x ρ  ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 
 ∂ u ' 2 ∂ u ' v' ∂ u ' w' 

−
+
+
 ∂x

∂
∂
y
z


1∂ p
∂v
∂v
∂v
∂v
∂h µ  ∂ 2 v ∂ 2 v ∂ 2 v 
+u
+υ
+w
=−
−g
+
+
+
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂y
∂y ρ  ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 
 ∂ v' u ' ∂ v' 2 ∂ v' w' 

−
+
+
 ∂x

y
z
∂
∂


(7.9)
∂w
∂w
∂w
∂w
∂h µ  ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w 
1∂ p
+u
+υ
+w
=−
−g
+
+
+
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂z
∂z ρ  ∂x 2
∂y 2
∂z 2 
 ∂ w' u ' ∂ w' v' ∂ w' 2
−
+
+
 ∂z
y
∂
∂z





όπου οι όροι
τ xy = τ yx = − ρ u' v ' τ xz = τ zx = − ρ u' w' τ yz = τ zy = − ρ v ' w'
,
και
,
(7.10)
σ x = − ρ u ' 2 , σ y = − ρ v ' 2 , σ z = − ρ w' 2
(7.11)
ονοµάζονται διατµητικές και ορθές τάσεις του Reynolds αντίστοιχα.
y
u2
(2)
v
(1)
u1
∆u = u2-u1 ≈ u’
x
Γιατί όµως στις εξισώσεις (6.10) και (6.11) το πρόσηµο είναι αρνητικό, ενώ η διατµητική
τάση είναι µια θετική ποσότητα; Έστω ότι στο πεδίο ταχυτήτων του σχήµατος, ένα ρευστό
σωµατίδιο που κινείται µε ταχύτητα u1 από τη θέση (1) µεταβαίνει στη θέση (2) όπου η
ταχύτητα είναι u2>u1.
H µεταφορά της µάζας ρευστού από τη θέση (1) στη θέση (2) είναι ρv' dAy (Ay=dxdz είναι
η οριζόντια στοιχειώδης διατοµή κάθετη στον κατακόρυφο άξονα). Η µεταφορά όµως
µάζας βραδύτερου ρευστού θα προκαλέσει µείωση της ταχύτητας στη στρώση (2) και
εποµένως αρνητική διακύµανση –u’. Η µεταφορά ορµής στην κατεύθυνση x είναι
− ρu ' v' dAy (ίση µε τη δύναµη που την προκαλεί), ενώ στην κατεύθυνση y είναι − ρv' 2 dAx .
Εποµένως οι στιγµιαίες τάσεις πάνω στις δύο στοιχειώδεις επιφάνειες θα είναι
τ ' xy = − ρu ' v' dAy / dAy = − ρu ' v' και σ ' y = ρv' 2 dAx / dAx = − ρv' 2
Ε-49
(7.12)
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Λαµβάνοντας τις µέσες χρονικά (time-averaged) τιµές προκύπτουν οι τυρβώδεις τάσεις
του Reynolds
τ ' xy = − ρ u ' v' και σ ' y = − ρ v' 2
(7.13)
οι οποίες στην τυρβώδη ροή υπερισχύουν αυτών λόγω ιξώδους, δηλαδή τ’xy >> µ(∂u/∂y).
7.6
Φαινοµενολογικές θεωρίες ή µοντέλα τύρβης.
(α) Μοντέλο του Boussinesq.
τ ' xy = − ρ u ' v' = µτ
du
dy
(7.14)
και στις εξισώσεις Navier – Stokes παρουσιάζεται ο όρος
τ ' xy = − ρ u ' v' = ( µ + µτ )
∂u
∂u
≈ µτ
∂y
∂y
επειδή το ‘ιξώδες’ της τύρβης είναι µεγαλύτερο κατά πολύ αυτού του υγρού, µτ >> µ.
(β) Μοντέλο του Prandtl.
σ u = u'2 ∝ lm
du
dy
(7.15)
Το µήκος lm ονοµάζεται µήκος µείξεως, είναι δε η εγκάρσια στην κίνηση απόσταση που
διανύει το ρευστό σωµατίδιο λόγω τύρβης µέχρι να αποκτήσει την ταχύτητα του νέου
περιβάλλοντος. Θεωρώντας ότι σu ≈ σv η τυρβώδης τάση
2
 du 
du du
.
τ ' xy = − ρ u ' v' ∝ ρl   = ρl m2
dy
dy
dy


2
m
(7.16)
Η τελευταία έκφραση της διατµητικής τάσης δίνει τη δυνατότητα για αλλαγή προσήµου
της στο µοντέλο.
(γ) Μοντέλο του von Karman.
Βασίζεται στις εξής υποθέσεις
1.
ο µηχανισµός της τύρβης είναι ανεξάρτητος από το ιξώδες, εκτός από την περιοχή
κοντά σε στερεά όρια και
2.
υφίσταται στατιστική οµοιότητα της τύρβης από σηµείο σε σηµείο, οι διαφορές
υπάρχουν στις κλίµακες µήκους και χρόνου.
Η κλίµακα µήκους ορίζεται από τη σχέση
lm = k
d u / dy
d 2 u / dy 2
(7.17)
όπου k ≈ 0.40 (σταθερά). Εποµένως, από τις σχέσεις (7.16) και (7.17) προκύπτει ότι
Ε-50
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
(d u / dy )
4
τ ' xy = ρk
7.7
2
(d
2
u / dy 2
)
2
.
(7.18)
Μοντέλα τύρβης.
(α) Το απλούστερο δυνατό µοντέλο είναι αυτό στο οποίο θεωρούµε ότι µτ=σταθερά.
(β) Στο µοντέλο πρώτης τάξεως (µιας εξίσωσης) το ιξώδες της τύρβης µεταβάλλεται
σύµφωνα µε τη σχέση
µτ = C µ k L
(7.19)
όπου
Cµ
…
k
…
(u' +v'
L
…
κλίµακα µήκους.
εµπειρική σταθερά
2
)
+ w' 2 / 2 , (ΤΚΕ)
Η εξίσωση της ΤΚΕ γράφεται ως εξής
∂k
∂k
∂k
∂k
+u
+υ
+w
= A+ P −ε
∂t
∂y
∂x
∂z
(7.20)
όπου
Α
…
µεταφορά (advection) της ΤΚΕ λόγω διάχυσης
Ρ
…
παραγωγή (production) της ΤΚΕ λόγω διάτµησης
ε
…
απόσβεση (dissipation) της ΤΚΕ.
(γ) Μοντέλο δύο εξισώσεων (k – ε).
Εδώ θεωρούµε ότι τα µεγέθη ε, k και L συσχετίζονται µε τη σχέση
ε =
k 3/ 2
L
(7.21)
και εποµένως το ιξώδες της τύρβης παίρνει τη µορφή
µt = Cµ
k2
ε
.
(7.22)
Η εξίσωση του k είναι αυτή που αναφέρεται στη προηγούµενη παράγραφο ενώ για το ε η
αντίστοιχη εξίσωση απόσβεσης της ΤΚΕ είναι
∂ε
∂ε
∂ε
∂ε
+u
+υ
+w
= D+G
∂t
∂y
∂z
∂x
όπου
D
…
µεταφορά της ε λόγω διάχυσης
G
…
διαφορά µεταξύ παραγωγής και καταστροφής της ε.
Ε-51
(7.23)
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
7.8
Τυρβώδης µεταφορά µάζας ή συγκέντρωσης κάποιας ουσίας (scalar) του ρευστού
Όταν το ρευστό µεταφέρει κάποια ουσία ή έχει διαφορετική χωρικά και χρονικά
θερµοκρασία ή πυκνότητα, τότε ένα ποσοστό µεταφέρεται από τη µέση ροή και ένα
ποσοστό από την τύρβη. Για παράδειγµα θεωρούµε την καµινάδα ενός εργοστασίου, στον
καπνό της οποίας υπάρχουν διάφορα αέρια. Εάν η συγκέντρωση ενός απ’ αυτά θεωρηθεί
ότι µεταβάλλεται µε το χρόνο σηµειακά και η ροή θεωρηθεί ότι είναι µόνιµη τότε η µέση
χρονικά µεταφερόµενη ουσία από µια στοιχειώδη επιφάνεια κάθετη στη συνιστώσα της
ταχύτητας θα είναι
wc = ( w + w' )(c + c' ) = w c + wc'+ w' c + w' c' = w c + w c' + w' c + w' c'
= w c + w' c'
(7.24)
και µέσα από µια επιφάνεια Ε του πεδίου ροής κάθετη στο διάνυσµα της ταχύτητας w,
∫ (w c + w' c')dE = ∫
E
E
w cdE + ∫ w' c'dE .
(7.25)
E
Η παραπάνω σχέση υποδεικνύει ότι ένα ποσοστό της ουσίας µεταφέρεται από τη µέση ροή
και ένα ποσοστό από την τύρβη. Το τελευταίο µπορεί να φθάσει µέχρι το 20% της
συνολικά µεταφερόµενης ουσίας σε ροή τύπου πλουµίου πάνω από µια καµινάδα.
w, c
E
Ε-52
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
8.
ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ (ΟΡΙΑΚΗ ΣΤΟΙΒΑ∆Α)
8.1
Γενικά
Η θεωρία της οριακής στοιβάδας θεµελιώθηκε από τον Prandtl στις αρχές του 20ου αιώνα
µε µια σειρά από δηµοσιεύσεις. Σε προβλήµατα ροής, όπως αυτά της ροής γύρω από
αεροδυναµικά σχήµατα, η θεωρία του ιδεατού ρευστού (µ=0) προβλέπει πιέσεις που
προσεγγίζουν πολύ τις µετρηµένες στο πεδίο ροής, εκτός από την περιοχή κοντά στο
στερεό όριο όπου η επίδραση του ιξώδους για µεγάλους αριθµούς Reynolds περιορίζεται
στην άµεση γειτονία του. Σε πραγµατικά ρευστά µε οσονδήποτε µικρό ιξώδες, η συνθήκη
µηδενισµού της εφαπτοµενικής ταχύτητας στο στερεό όριο είναι ουσιώδης. Η κλίση της
ταχύτητας εκεί και κατά συνέπεια οι διατµητικές τάσεις που προέρχονται από την ύπαρξη
του ιξώδους, παίρνουν τη µέγιστη τιµή στο στερεό όριο και ελαττώνονται καθώς
αποµακρυνόµαστε από αυτό. Οι τάσεις του ιξώδους στην περιοχή του στερεού ορίου,
καθορίζουν τη ροή στην περιοχή κοντά σε αυτό που ονοµάζεται οριακό στρώµα ή οριακή
στοιβάδα, και είναι πολύ λεπτό σε σχέση µε την έκταση του πεδίου ροής.
Στη συνέχεια θα µελετηθεί το οριακό στρώµα που αναπτύσσεται σε µια λεπτή και επίπεδη
πλάκα που βρίσκεται σε πεδίο οµοιόµορφης και παράλληλης προς αυτή ροής (βλ. Σχήµα
8.1).
U
y
U
γρ. ροής
δ*
u
δ
οριακό
στρώµα
x
Σχήµα 8.1
Οριακό στρώµα σε λεπτή επίπεδη πλάκα παράλληλη σε πεδίο οµοιόµορφης
ροής.
Στο παραπάνω σχήµα, δ είναι το πάχος του οριακού στρώµατος, πέραν του οποίου η
ταχύτητα ροής είναι U, ενώ µέσα στο οποίο η ταχύτητα ροής είναι 0 < u < U. Το πάχος δ =
δ(x) αυξάνεται όταν αυξάνεται το ιξώδες για την ίδια απόσταση x από την αρχή των
αξόνων και αντίστροφα. Οι γραµµές ροής µετατίθενται ελαφρά (αποµακρύνονται από την
πλάκα) για λόγους συνέχειας, επειδή η ροή επιβραδύνεται µέσα στο οριακό στρώµα. Για
την ανάλυση της ροής χωρίζουµε την περιοχή σε δύο τµήµατα: (1) στην περιοχή του
οριακού στρώµατος όπου οι τάσεις του ιξώδους δεν µπορούν να αµεληθούν και (2) την
περιοχή εκτός οριακού στρώµατος όπου είναι µηδαµινές και µπορούµε να τις αµελούµε.
Στην περίπτωση που η ροή είναι στρωτή στο οριακό στρώµα, οµιλούµε περί στρωτού
οριακού στρώµατος, αλλιώς περί τυρβώδους οριακού στρώµατος. Πολλές φορές, στην
περίπτωση καµπύλου στερεού ορίου, το πάχος του οριακού στρώµατος αυξάνεται
σηµαντικά προς την κατεύθυνση της ροής και η ροή µέσα σε αυτό αναστρέφεται. Αυτό
αποτελεί την αιτία µετακίνησης των ρευστών σωµατιδίων εκτός οριακού στρώµατος,
Ε-53
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
οπότε και µιλάµε για αποκόλληση. Η αποκόλληση του οριακού στρώµατος προκαλεί τη
δηµιουργία δινών ή στροβίλων και συνοδεύεται από σηµαντικές απώλειες ενέργειας του
ρευστού.
περιοχή
αποκόλλησης
ανάστροφη ροή
σηµείο αποκόλλησης
du/dy=0
Σχήµα 8.2
Ανάπτυξη ροής σε καµπύλα στερεά όρια µε εµφάνιση αποκόλλησης της
ροής.
Συνοψίζοντας, το οριακό στρώµα (1) Παρουσιάζεται στην περιοχή των στερεών ορίων του
πεδίου ροής πραγµατικών ρευστών. (2) Η διατµητική τάση στην περιοχή του οριακού
στρώµατος (ΟΣ) είναι µέγιστη στο όριο και ελαττώνεται προς τα ενδότερα του πεδίου
ροής. (3) Η θεωρία του ΟΣ χρησιµεύει για τον προσδιορισµό της δύναµης που ασκεί το
στερεό όριο στο ρευστό και το επιβραδύνει (φρενάρει). Το αποτέλεσµα είναι ο
προσδιορισµός των τάσεων που ασκούνται στο ρευστό και του µειώνουν την ενέργεια, π.χ.
ροή σε αγωγούς υπό πίεση, ανοικτούς αγωγούς (κανάλια), ποτάµια κλπ.
8.2
Χαρακτηριστικά µεγέθη του οριακού στρώµατος
(α) Πάχος οριακού στρώµατος (boundary layer thickness), δ. Είναι η απόσταση από το
στερεό όριο στην οποία η ταχύτητα γίνεται u = 0.99 U.
(β) Πάχος µετάθεσης (γραµµής ροής) (displacement thickness): δ*. Ορίζεται ως η
απόσταση από το στερεό όριο η οποία πολ/µένη επί την ταχύτητα U, µας δίνει παροχή ίση
µε τη µείωση που προκύπτει από την επιβράδυνση της ροής, δηλαδή
Uδ * =
δ
δ
0
0

∫ (U − u)dy ⇔ δ * = ∫ 1 −
u
 dy
U
(8.1)
(γ) Πάχος ορµής (momentum thickness): θ
Ορίζεται η απόσταση από το στερεό όριο για την οποία η εισροή ορµής µε ταχύτητα U
είναι ίση µε την µείωση εισροής ορµής λόγω επιβραδύνσεως στο οριακό στρώµα, δηλαδή
δ
δ
u
U
0
ρθU 2 = ρ ∫ u(U − u)dy ⇔ θ = ∫
0
Ε-54
u

 1 −  dy
 U
(8.2)
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
(α)
(β)
U
U
0.99U
δ
δ
δ*
U
U-u
U
γρ. ροής
δ*
(γ)
δ
δ
Σχήµα 8.3
8.3
u
u
Uδ * = ∫ (U − u )dy
0
Χαρακτηριστικά µεγέθη του οριακού στρώµατος (α) πάχος δ, (β) πάχος
µετάθεσης δ*, (γ) µετάθεση της γραµµής ροής σχηµατικά.
Εξισώσεις του οριακού στρώµατος.
Οι εξισώσεις του οριακού στρώµατος εξήχθησαν από τον Prandtl µε βάση τις παρακάτω
παραδοχές:
1.
Η µοναδική γεωµετρική κλίµακα µήκους είναι η απόσταση από την αρχή των
αξόνων.
2.
Για όλες τις αποστάσεις x ισχύει ότι το πάχος δ του οριακού στρώµατος είναι πολύ
µικρότερο του x, δηλαδή
δ/x << 1.
3.
(8.3)
Η ταχύτητα στην κατεύθυνση της ροής είναι της ίδιας τάξης µεγέθους µε την
ταχύτητα U, δηλαδή
u ∼ U.
4.
(8.4)
Στο οριακό στρώµα η παράγωγος ∂/∂x είναι τάξης µεγέθους 1/x, δηλαδή
∂ 1
≈ .
∂x x
5.
Από την εξίσωση συνέχειας προκύπτει ότι
∂u ∂U U
≈
≈ .
x
∂x ∂x
(8.5)
Ε-55
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
6.
∆εδοµένου ότι µέσα στο οριακό στρώµα η ταχύτητα v << u, η εξίσωση (8.4) µπορεί
να ισχύει όταν
v≈
δ
x
U και
∂ 1
≈ .
∂y δ
(8.6)
Εποµένως, µέσα στο οριακό στρώµα η ανάλυση της τάξης µεγέθους (order of magnitude
analysis) µας δίνει τις σχέσεις (8.4) έως (8.6). Θεωρούµε φυσικά ότι η ροή εκεί είναι
διδιάστατη (2-D) και ότι οι εξισώσεις των Navier - Stokes για µόνιµη ροή γράφονται
u
∂u
∂u
1 ∂p µ  ∂ 2 u ∂ 2 u 
+υ
=−
+ 
+
 και
∂x
∂y
ρ ∂x ρ  ∂x 2 ∂y 2 
(8.7α)
u
∂v
∂v
1 ∂p µ  ∂ 2 v ∂ 2 v 
+υ
=−
+ 
+
.
∂x
∂y
ρ ∂y ρ  ∂x 2 ∂y 2 
(8.7β)
Αντικαθιστώντας τις τάξεις µεγέθους των παραµέτρων στις παραπάνω εξισώσεις
καταλήγουµε στο σύστηµα
U2 U2
1 ∂p µ  U U 
+
≈−
+ 
+  και
ρ ∂x ρ  x 2 δ 2 
x
x
(8.8α)
U2
U2
1 ∂p µ  δU U 
δ
+
≈−
+ 
+ .
2
2
x
x
ρ ∂y ρ  x 3 δx 
(8.8β)
δ
Στη εξίσωση (8.8α) οι αδρανειακοί όροι στο αριστερό µέλος είναι της ίδιας τάξης
µεγέθους, ενώ στο δεξί µέλος οι όροι µε το ιξώδες είναι διαφορετικοί
U
U
∂ 2u
∂ 2u
<<
⇒
<<
x2
δ2
∂x 2
∂y 2
(8.9)
και εποµένως ο όρος ∂2u/∂x2 µπορεί να αµεληθεί. Θεωρώντας επίσης τους αδρανειακούς
όρους της ίδιας τάξης µεγέθους µε τον εναποµείναντα όρο ιξώδους στο δεξί µέλος
U2 µ U
νx
µ
≈
⇒δ ≈
′;ν = .
2
x
ρδ
U
ρ
(8.10)
Επί πλέον από τη συνθήκη δ/x <<1 και την εξίσωση (8.10) προκύπτει ότι
x2
δ
2
≈
Ux
ν
>> 1 ⇒ Rx =
Ux
ν
>> 1 .
(8.11)
∆ηλαδή ο αριθµός Reynolds Rx όπως ορίστηκε παραπάνω είναι µεγάλος. Με δεδοµένες τις
σχέσεις (8.9) και (8.11) η εξίσωση (8.7α) γράφεται
u
1 ∂p
∂u
∂u
∂ 2u
+υ
=−
+ ν 2 (ορµή -x).
∂x
∂y
ρ ∂x
∂y
(8.12α)
Από τις σχέσεις (8.8α,β) προκύπτει ότι οι αδρανειακοί όροι στην κατεύθυνση y είναι κατά
δ/x φορές µικρότεροι απ' ότι αυτοί στην κατεύθυνση x. Επίσης, οι όροι µε το ιξώδες είναι
και αυτοί κατά δ/x φορές µικρότεροι απ' ότι οι αντίστοιχοι στην κατεύθυνση x. Αµελώντας
λοιπόν τους όρους µικρότερης τάξης µεγέθους η εξίσωση (8.8β) γράφεται ως
Ε-56
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
δ
U2 δ U2
1 ∂p
U2
=
≈
−
<<
.
ρ ∂y
x2
x x
x
(8.12β)
Από τις (8.12β) και (8.8β) προκύπτει ότι ∂p/∂x >> ∂p/∂y, πράγµα που σηµαίνει ότι µέσα
στο οριακό στρώµα η πίεση µπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ανεξάρτητη από το y, δηλαδή
µπορούµε να θεωρήσουµε ότι p = p(x). Οι εξισώσεις συνέχειας και ορµής για το οριακό
στρώµα µπορούν να γραφτούν ως εξής
∂u ∂v
+
=0
∂x ∂y
u
1 ∂p
∂u
∂u
∂ 2u
+υ
=−
+ν 2
∂x
∂y
ρ ∂x
∂y
(8.13)
p = p(x).
Εκτός οριακού στρώµατος η ροή θεωρείται ότι είναι ροή ιδεατού ρευστού, εποµένως από
την εξίσωση του Bernoulli κατά µήκος µιας γραµµής ροής προκύπτει
p
1
+ U 2 = σταθερά.
ρ 2
Επειδή όµως U = U(x), η εξίσωση της ορµής στην κατεύθυνση x εκτός οριακού
στρώµατος γράφεται
U
1 dp
∂U
=−
.
∂x
ρ dx
Αντικαθιστώντας την εξίσωση αυτή στην (8.13) έχουµε την εναλλακτική µορφή του
συστήµατος των εξισώσεων του οριακού στρώµατος κατά Prandtl
∂u ∂v
+
=0
∂x ∂y
∂ 2u
dU
∂u
∂u
u +υ
=U
+ν 2 .
dx
∂y
∂x
∂y
(8.14)
Για το παραπάνω σύστηµα των εξισώσεων µε αγνώστους τις ταχύτητες u και v οι οριακές
συνθήκες είναι
u ( x,0) = 0
v( x,0) = 0
(8.15)
u ( x, ∞ ) = U ( x ) .
8.4
Επίλυση του Blasius
Ο Blasius κατάφερε να λύση το σύστηµα των διαφορικών εξισώσεων του οριακού
στρώµατος για την περίπτωση που η κύρια ταχύτητα U = σταθερά. Το σύστηµα των
εξισώσεων (8.14) γίνεται
Ε-57
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
∂u ∂v
+
=0
∂x ∂y
u
∂u
∂u
∂ 2u
+υ
=ν 2 .
∂x
∂y
∂y
(8.16)
Χρησιµοποιώντας τη ροϊκή συνάρτηση Ψ, οι συνιστώσες της ταχύτητας είναι
u=
∂Ψ
∂Ψ
.
και υ = −
∂y
∂x
Η εξίσωση συνέχειας ικανοποιείται εκ ταυτότητος, ενώ η εξίσωση της ορµής στην
κατεύθυνση x γράφεται
∂Ψ ∂ 2 Ψ ∂Ψ ∂ 2 Ψ
∂ 3Ψ
−
=ν 3 ,
∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2
∂x
(8.17)
που αποτελεί µια παραβολική διαφορική εξίσωση µε µερικές παραγώγους. Η επίλυσή της
µπορεί να διερευνηθεί µε λύσεις οµοιότητας της µορφής
Ψ ( x, y ) ∼ f (η ); η ∼ y / x n .
Στην περίπτωση που η πλάκα είναι επίπεδη, n = 1/2 (βλ. εξίσωση 8.10). Εποµένως
εκλέγουµε
η=
y
; Ψ ≈ f (η ) .
νx / U
(8.18)
∆εδοµένου ότι η και f(η) είναι αδιάστατες µεταβλητές, η συνάρτηση Ψ πρέπει να είναι της
µορφής Ψ = (νUx)1/2 f(η), ώστε οι διαστάσεις του Ψ να είναι [Ψ] = L2T-1. Έχουµε λοιπόν,
αντικαθιστώντας τις παραγώγους της Ψ
∂Ψ
1 νU
(= v) =
( f 'η − f )
∂x
2 x
∂Ψ
( = u) = Uf '
∂y
U
∂ 2Ψ
= − ηf ' '
2x
∂x∂y
U
∂ 2Ψ
=U
f ''
2
νx
∂y
∂ 3Ψ U 2
=
f ''''
νx
∂y 3
στην εξίσωση (8.17), την παρακάτω εξίσωση του οριακού στρώµατος
f '''+
1
ff '' = 0
2
(8.19)
µε οριακές συνθήκες
Ε-58
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
f (0) = f ' (0) = 0,
lim f ' (η) = 1 .
(8.20)
η →∞
Η παραπάνω εξίσωση λύνεται αριθµητικά και προσδιορίζουµε την τιµή της f σαν
συνάρτηση της αδιάστατης µεταβλητής η, η δε ροϊκή συνάρτηση Ψ προκύπτει σαν
y 

Ψ = νUx f 
.
 νx / U 
(8.21)
Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται η επίλυση της εξίσωσης (8.19) για η = 0.0 έως
η = 8.8. Συγκεκριµένα δίνονται οι τιµές f(η), f'(η) = u/U και f''(η). Η κατακόρυφη
συνιστώσα της ταχύτητας v υπολογίζεται από τη σχέση
1 νU
( f 'η − f ) .
2 x
v=
(8.22)
Στα παρακάτω σχήµατα φαίνονται οι αδιάστατες κατανοµές της οριζόντιας και
κατακόρυφης ταχύτητας σαν συναρτήσεις της αδιάστατης απόστασης η από το όριο.
10
η = y(U/νx)
1/2
8
6
4
2
0
0.00
0.20
0
0.00
0.20
0.40
u/U
0.60
0.80
1.00
10
η=y(U/νx)
1/2
8
6
4
2
Σχήµα 8.4
0.40
0.60
1/2
v/U(Ux/ν)
0.80
1.00
Κατανοµές αδιάστατης οριζόντιας και κατακόρυφης ταχύτητας στο οριακό
στρώµα.
Ε-59
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Πίνακας 8.1 Πίνακας τιµών µεγεθών για στρωτό οριακό στρώµα σε επίπεδη πλάκα.
η= y
U
νx
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
5.2
5.4
5.6
5.8
6.0
6.2
6.4
6.6
6.8
7.0
7.2
7.4
7.6
7.8
8.0
8.2
8.4
8.6
8.8
f(η)
u/U=f '(η)
f ''(η)
0.00000
0.00664
0.02656
0.05974
0.10611
0.16557
0.23795
0.32299
0.42033
0.52952
0.65003
0.78120
0.92230
1.07252
1.23099
1.39682
1.56911
1.74696
1.92954
2.11605
2.30576
2.49806
2.69238
2.88827
3.08534
3.28330
3.48189
3.68094
3.88032
4.07991
4.27965
4.47949
4.67939
4.87933
5.07929
5.27927
5.47926
5.67926
5.87925
6.07925
6.27925
6.47925
6.67925
6.87925
7.07925
0.00000
0.06641
0.13277
0.19894
0.26471
0.32978
0.39378
0.45627
0.51676
0.57476
0.62977
0.68132
0.72899
0.77246
0.81151
0.84605
0.87609
0.90177
0.92333
0.94112
0.95552
0.96696
0.97588
0.98269
0.98779
0.99155
0.99425
0.99616
0.99748
0.99838
0.99898
0.99937
0.99962
0.99977
0.99987
0.99993
0.99996
0.99998
0.99999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.33206
0.33199
0.33147
0.33008
0.32739
0.32301
0.31659
0.30787
0.29667
0.28293
0.26675
0.24835
0.22809
0.20646
0.18401
0.16136
0.13913
0.11788
0.09809
0.08013
0.06423
0.05052
0.03897
0.02949
0.02187
0.01591
0.01134
0.00793
0.00543
0.00365
0.00240
0.00155
0.00098
0.00061
0.00037
0.00022
0.00013
0.00007
0.00004
0.00002
0.00001
0.00001
0.00000
0.00000
0.00000
Ε-60
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι για η = 5, u/U = 0.9916, δηλαδή ότι η = 5 είναι
το αδιάστατο πάχος του οριακού στρώµατος. Αυτό σηµαίνει ότι
η= 5 = δ
5x
U δ Ux δ 1/ 2
=
= Rx ⇒ δ =
.
νx x ν
x
Rx
(8.23)
Με αριθµητική ολοκλήρωση επίσης προκύπτουν οι σχέσεις
δ* =
θ=
1721x
.
και
Rx
(8.24)
0.664 x
Rx
(8.25)
που δίνουν το πάχος µετάθεσης δ* και ορµής θ αντίστοιχα.
Παράδειγµα 8.1. Χρησιµοποιώντας τα αποτελέσµατα του πίνακα της επίλυσης του
στρωτού οριακού στρώµατος παραπάνω, να υπολογίσετε τη διατµητική τάση τxy που ασκεί
το ρευστό στην επίπεδη πλάκα.
Απάντηση
Για y = 0, η διατµητική τάση τxy που ασκεί το ρευστό στην επίπεδη πλάκα προκύπτει από
τη σχέση
τ xy = µ
∂u
∂ 2Ψ
U
= µ 2 =U
f ' ' (η); η = 0 .
νx
∂y
∂y
Όµως, f ''(0) =0.332. Αντικαθιστώντας, προκύπτει η σχέση
0.664 U 2
Ux
τ xy (0) = τ o =
ρ
όπου Re x =
.
ν
2
Re x
(8.26)
Ο (αδιάστατος) λοιπόν τοπικός συντελεστής τριβών της εφαπτοµενικής τάσης το στην
πλάκα δίνεται από τη σχέση
U2
0.664
τ
⇒cf = o 2 =
τo = cf ρ
U
2
Re x
ρ
2
(8.27)
Παράδειγµα 8.2. Να υπολογίσετε τη συνολική δύναµη (ανά µονάδα πλάτους) που ασκεί η
ροή κατά µήκος της επίπεδης πλάκας από την αρχή έως και την απόσταση x.
Απάντηση
x
x
x
0.664 U 2
.
U2
0.664 U 2
1328
−1/ 2
F ( x ) = ∫ τ o ( x ) ⋅ 1 ⋅ dx = ∫
ρ
dx =
ρ
ρ
x dx =
x.
2
2 0∫
2
U /ν
Rx
0
0 Rx
Ε-61
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Ο συνολικός συντελεστής αντίστασης πλάκας µήκους l και πλάτους b θα είναι
Cl =
Ul
1328
F (l )
.
=
; Rl =
2
ν
U
Rl
lb
ρ
2
(8.28)
όπου
F (l ) =
8.5
.
1328
U2
ρ
lb .
2
Rl
(8.29)
Τυρβώδες οριακό στρώµα
Σε προηγούµενες παραγράφους µελετήθηκε η ανάπτυξη του οριακού στρώµατος πάνω από
µια λεπτή, λεία, επίπεδη πλάκα. Μεγαλώνοντας το µήκος της πλάκας, όταν ο αριθµός
Reynolds Rx υπερβεί κάποια κρίσιµη τιµή, τότε η ροή που έχει επιβραδυνθεί (οριακό
στρώµα) µετατρέπεται σε τυρβώδη. Η τύρβη µετά ένα ορισµένο µήκος (µεταβατική
περιοχή) καταλαµβάνει ολόκληρο το οριακό στρώµα και επεκτείνεται και στην εξωτερική
ροή, µε αποτέλεσµα τη συνεχή µείξη όλο και µεγαλύτερων ποσοτήτων του ρευστού. Στο
σχήµα που ακολουθεί φαίνεται σχηµατικά η µετάβαση από στρωτό σε τυρβώδες οριακό
στρώµα. Το πάχος στην του τυρβώδους οριακού στρώµατος προσδιορίζεται από τη µέση
χρονική τιµή της οριζόντιας συνιστώσας της ταχύτητας.
Στρωτό οριακό
στρώµα
Μεταβατική
περιοχή
Τυρβώδες οριακό στρώµα
δτυρβ
δ'
δ
Σχήµα 8.5
Κατανοµές αδιάστατης οριζόντιας και κατακόρυφης ταχύτητας στο οριακό
στρώµα.
Τα τρία πάχη που φαίνονται στο Σχήµα 8.5 ορίζονται ως
δ
...
πάχος στρωτού οριακού στρώµατος
δ'
...
πάχος στρωτού οριακού υποστρώµατος
δτυρβ
...
πάχος τυρβώδους οριακού στρώµατος
Η (αδιαστατοποιηµένη) κατανοµή της µέσης οριζόντιας
συνιστώσας της ταχύτητας στο τυρβώδες οριακό στρώµα
πάνω από επίπεδη λεία πλάκα είναι περισσότερο
οµοιόµορφη από αυτή του στρωτού οριακού στρώµατος.
στο διπλανό σχήµα φαίνονται σχηµατικά οι δύο
κατανοµές.
Ε-62
y/δστρ
Στρωτό ΟΣ
u/U
Τυρβώδες ΟΣ
u/U
u/U
1
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Ορισµός 1:
Στρωτό οριακό υπόστρωµα (πάχους δ') σε ένα τυρβώδες οριακό στρώµα είναι η περιοχή
κοντά στο τοίχωµα όπου η ροή παραµένει στρωτή. Η διατµητική τάση εκεί καθορίζεται
πλήρως από το ιξώδες και την κατανοµή της ταχύτητας.
Ορισµός 2:
Λείο τοίχωµα ορίζεται αυτό του οποίου οι προεξοχές (τραχύτητα) είναι µικρότερες σε
µέγεθος από το πάχος του στρωτού οριακού υποστρώµατος.
Ορισµός 3:
Τραχύ τοίχωµα ορίζεται αυτό του οποίου οι προεξοχές (τραχύτητα) είναι µεγαλύτερες σε
µέγεθος από το πάχος του στρωτού οριακού υποστρώµατος.
Στο Σχήµα 8.6 φαίνεται σχηµατικά ένα λείο και ένα τραχύ τοίχωµα.
δ'
Λεία επιφάνεια ορίου
Σχήµα 8.6
Τραχύ όριο
Σχηµατική αναπαράσταση λείου και τραχέος ορίου µε βάση το µέγεθος της
τραχύτητας και το πάχος του στρωτού οριακού υποστρώµατος.
Στο Σχήµα 8.7 φαίνεται µια στιγµιαία φωτογραφία τυρβώδους οριακού στρώµατος πάνω
από επίπεδη πλάκα που έχει ληφθεί από τον Falco (1977). Η φωτογραφία βρίσκεται στη
σελίδα 92 του Van Dyke (1982).
Σχήµα 8.7
Στιγµιαία φωτογραφία τυρβώδους οριακού στρώµατος πάνω από επίπεδη
πλάκα.
Ε-63
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Στο Σχήµα 8.8 φαίνονται οι αδιάστατες κατανοµές της µέσης ταχύτητας και τυρβωδών
τάσεων σε τυρβώδες οριακό στρώµα όπως µετρήθηκαν από τον PS Klebanoff (1955). To
σχήµα έχει αντιγραφεί από το Schlichting (1979).
Σχήµα 8.8
8.6
Κατανοµές .τυρβωδών εντάσεων τριών συνιστωσών της ταχύτητας και
τυρβώδους διατµητικής τάσης, από µετρήσεις στο οριακό στρώµα πάνω
από επίπεδη επιφάνεια σε οµοιόµορφη παράλληλη προς αυτό.
Κατανοµή ταχυτήτων σε επίπεδη λεία πλάκα
Στην περίπτωση αυτή υφίσταται το στρωτό οριακό υπόστρωµα. Ορίζουµε σαν ταχύτητα
διάτµησης του ορίου την
u* =
τo
.
ρ
(8.30)
Σαν στρωτό οριακό υπόστρωµα ορίζεται η περιοχή για την οποία 0 < u*y/ν < 4.
Πάνω από το στρωτό οριακό υπόστρωµα (Σχήµα 8.9) υπάρχει µια µεταβατική ζώνη πάνω
από την οποία και για y/δ = 0.40, η ροή είναι τυρβώδης (υπάρχει ρευστό που ανήκει
αποκλειστικά στο οριακό στρώµα).
Ε-64
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
y/δ
y/δ
u/U=1
y/δ=1.20
y/δ=1
Τυρβώδης µε
διαλείψεις
(intermittent)
y/δ=0.40
Τυρβώδης ζώνη
y/δ=0.15
Τυρβ. ορ. υπόστρωµα
Σχήµα 8.9
u=0.99U
Μεταβατικη ζώνη
1
u/U
Ζώνες µέσης ταχύτητας σε τυρβώδες οριακό στρώµα πάνω από επίπεδη
επιφάνεια.
Στην περιοχή 0.40 < y/δ < 1.2, η ροή είναι τυρβώδης µε διαλείψεις, δηλαδή
εναλλάσσεται ρευστό του οριακού στρώµατος µε ρευστό έξω από το οριακό στρώµα που
ακόµη δεν έχει αναµιχθεί.
Φυσικά, σαν πάχος δ του οριακού στρώµατος ορίζεται η απόσταση από το τοίχωµα στην
οποία η µέση οριζόντια ταχύτητα γίνεται ίση µε αυτή της ταχύτητας του ρευστού εκτός
οριακού στρώµατος.
Ορισµός: Εσωτερική περιοχή του τυρβώδους οριακού στρώµατος πάνω από λείο τοίχωµα
ορίζεται η περιοχή ) < y/δ < 0.15. Εξωτερική περιοχή είναι αυτή για την οποία y/δ > 0.15.
Ο νόµος που διέπει την κατανοµή της µέσης ταχύτητας στην εσωτερική περιοχή
(0<y/δ<0.15) ονοµάζεται εσωτερικός νόµος, η δε µέση ταχύτητα αδιαστατοποιείται µε
την ταχύτητα διάτµησης u*.
Ο νόµος που διέπει την κατανοµή της µέσης ταχύτητας στην εξωτερική περιοχή
(0<y/δ<0.15) ονοµάζεται εξωτερικός νόµος (velocity defect law), η δε διαφορά της µέσης
ταχύτητας από την εξωτερική ταχύτητα U αδιαστατοποιείται µε την ταχύτητα διάτµησης
u*.
Οι κατανοµές των αδιάστατων ταχυτήτων ανά περιοχή είναι οι παρακάτω:
1. Στο στρωτό οριακό υπόστρωµα (0 < u*y/ν < 4) η κατανοµή των ταχυτήτων είναι
ανάλογη του y
u+ =
τ
u u* y
=
ή u = o y.
ν
u
µ
*
(8.31)
2. Στην περιοχή για u*y/ν > 30 ∼ 70 και y/δ < 0.15 ισχύει ο εσωτερικός (λογαριθµικός)
νόµος
Ε-65
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
u y
u
1 u y
2. 3
= ln * + C =
log * + C
κ
ν
κ
ν
u
*
(8.32)
όπου κ = 0.41 και C = 4.9 σταθερές που έχουν προσδιοριστεί από πειραµατικές µετρήσεις.
Αντικαθιστώντας τις σταθερές στην παραπάνω εξίσωση, ο παγκόσµιος λογαριθµικός
νόµος της κατανοµής της ταχύτητας γίνεται
u y
u
= 5.6 log * + 4.9 .
ν
u
*
(8.33)
3. Στην περιοχή για y/δ > 0.15 ισχύει ο εξωτερικός νόµος. Η µέση ταχύτητα µπορεί να
θεωρηθεί ότι είναι συνάρτηση των µεταβλητών u = u( y; U , δ , u ) όπως αυτές έχουν ήδη
*
οριστεί, όπου το ιξώδες µ αµελείται δεδοµένου ότι − ρ u' v ' > µdu / dy . Η παραπάνω σχέση
εφαρµόζοντας την (8.30) γράφεται
u = u ( y; ρ , U , δ , τ o )
Στην εξίσωση αυτή εµφανίζονται πέντε (5) µεταβλητές και δύο διαστάσεις οι L, T πράγµα
που σηµαίνει ότι µπορούµε να φτιάξουµε (5-2=) 3 αδιάστατα µονώνυµα τα οποία είναι
πολλά. Αντικαθιστώντας τις δύο ταχύτητες µε τη διαφορά τους (velocity defect)
καταλήγουµε στη σχέση
U − u = f ( y; δ , u* )
όπου εµφανίζονται 4 παράµετροι και δύο διαστάσεις, πράγµα που σηµαίνει ότι µπορούµε
να φτιάξουµε (4-2=) 2 αδιάστατα µονώνυµα τα εξής
U − u και y
δ
u
*
που σηµαίνει ότι η παραπάνω εξίσωση µπορεί να γραφτεί ως εξής
U −u
 y
= f .
u
δ 
*
(8.34)
Έχει αποδειχθεί πειραµατικά ότι η παραπάνω συναρτησιακή σχέση ισχύει για ολόκληρη
την περιοχή του τυρβώδους οριακού στρώµατος, εκτός από το στρωτό οριακό υπόστρωµα.
Εποµένως ο εξωτερικός νόµος και ο λογαριθµικός της σχέσης (8.32) αλληλοκαλύπτονται.
Από τη σχέση (8.32), εάν βάλουµε u = U για y = δ, έχουµε ότι
u δ
U
2 .3
=
log * + C .
1
u
κ
ν
*
(8.35)
Αφαιρώντας τώρα τη σχέση (8.32) από την (8.35) κατά µέλη, καταλήγουµε στη σχέση
y
U −u
2.3
=−
log + C2 .
κ
δ
u*
(8.36)
Η παραπάνω σχέση δεν µπορεί να προσαρµοστεί σε ολόκληρο το πάχος του οριακού
στρώµατος, αλλά µπορεί να προσαρµοστεί κατά τµήµα.
Για y/δ > 0.15, κ = 0.267 και C2 = 0 και η σχέση γίνεται
Ε-66
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
y
U −u
= −8.6 log ;
δ
u
*
(y/δ > 0.15)
(8.37)
Ο εξωτερικός νόµος µπορεί να εφαρµοστεί και στην περιοχή u*y/ν > 30 ∼ 70 και
y/δ<0.15, όπου οι σταθερές είναι κ = 0.41 και C2 = 2.50 και εποµένως
y
U −u
= −5.6 log + 2.5 ;
δ
u
*
(y/δ < 0.15)
(8.38)
και ταυτίζεται µε τον εσωτερικό νόµο στην αντίστοιχη περιοχή.
Όλες οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν σαν παγκόσµιοι νόµοι για ευρύ φάσµα µεταβολών του
αριθµού Reynolds της ροής, για την περίπτωση τυρβώδους οριακού στρώµατος πάνω από
λεπτή επίπεδη πλάκα µε µηδενική κλίση πίεσης (dp/dx = 0).
Οι κατανοµές ταχυτήτων σε τυρβώδες οριακό στρώµα πάνω από λεία λεπτή επίπεδη
πλάκα (για dp/dx=0)1, φαίνονται στον παρακάτω συνοπτικό πίνακα µαζί µε τις περιοχές
ισχύος τους, όπου
u
...
η µέση ταχύτητα στο τυρβώδες οριακό στρώµα.
∆ιανοµή ταχύτητας
u u* y
=
ν
u*
Περιοχή ισχύος
u y
0< * <4
Παρατηρήσεις
Στρωτό
οριακό
υπόστρωµα
u y
u
= 5.6 log * + 4.9
ν
u*
u* y
Εσωτερική
τυρβώδης ζώνη
ν
ν
> 30 ÷ 70
Εσωτερικός
νόµος
y/δ < 0.15
y
U −u
= −5.6 log + 2.5
δ
u*
u* y
ν
Εσωτερική
τυρβώδης ζώνη
> 30 ÷ 70
y/δ < 0.15
y
U −u
= −8.6 log
δ
u*
8.7
y/δ > 0.15
Εξωτερικός
νόµος
Εξωτερική ζώνη
Συντελεστές τριβής
Η γνώση της δύναµης που ασκεί το ρευστό στα στερεά όρια είναι συνάρτηση της
διατµητικής τάσης του ορίου που εξαρτάται από τον συντελεστή τριβής εκεί. Η διατµητική
τάση µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον καθορισµό των απωλειών ενέργειας κατά µήκος
αγωγών που µεταφέρουν ρευστά λόγω τριβών στα τοιχώµατα. Έχει πολλές εφαρµογές σε
προβλήµατα υδραυλικής όπως σε αυτά της τυρβώδους ροής σε σωλήνες και στη ροή µε
ελεύθερη επιφάνεια.
1
Νουτσόπουλος, Γ & Χριστοδούλου, Γ 1996. Μαθήµατα Μηχανικής των Ρευστών για Πολιτικούς
Μηχανικούς. Α' Έκδοση. ΕΜ Πολυτεχνείο.
Ε-67
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Για την περίπτωση τυρβώδους ροής πάνω από επίπεδη πλάκα, θα µελετήσουµε το
συντελεστή τριβών στις παραγράφους που ακολουθούν. Από τις γνωστές σχέσεις της
διατµητικής τάσης στο όριο καθώς και της ταχύτητας διάτµησης
τ o = cf ρ
τo
U2
και u* =
2
ρ
προκύπτει η σχέση
u* = U
cf
2
.
(8.39)
Αντικαθιστώντας την παραπάνω σχέση στο λογαριθµικό νόµο κατανοµής των ταχυτήτων
(8.32) καταλήγουµε στη σχέση
u
U cf / 2
=
2.3
κ
log
Uy c f / 2
ν
+C
από την οποία, για y = δ ισχύει u = U και εποµένως
2
2.3 
=
log R
 δ
cf
κ

cf 
 + C*; R = Uδ
δ
2 
ν

(8.40)
µε τις σταθερές κ και C* προσδιοριστέες από πειραµατικά δεδοµένα.
Η παραπάνω εξίσωση είναι πεπλεγµένη ως προς cf και δεν µπορεί να λυθεί απ' ευθείας.
∆εδοµένου ότι το πάχος του οριακού στρώµατος δ εξαρτάται από τον αριθµό Rx =Ux/ν, ο
von Karman θεωρώντας τη ροή τυρβώδη από την αρχή της πλάκας µετέτρεψε την
προηγούµενη εξίσωση µε ανεξάρτητη µεταβλητή τον Rx και προσδιόρισε τις σταθερές κ
και C* καταλήγοντας στη σχέση
1
cf
(
)
= 4.5 log R c f + 1.7 .
x
(8.41)
Ο δε µέσος (συνολικός) συντελεστής τριβών σε πλάκα µήκους l δίνεται από τη σχέση
1
Cf
= 4.13 log(Rl C f ); Rl =
Ul .
(8.42)
ν
Παράδειγµα 8.3. Να υπολογίσετε τo συντελεστή τριβών και τη συνολική τάση (ανά µέτρο
µήκους) µιας πτέρυγας αεροπλάνου διαστάσεως l = 2 m, όταν κινείται µε ταχύτητα 1000
Km/h και η πτέρυγα θεωρείται ότι είναι λεία και επίπεδη. Να θεωρήσετε ότι το οριακό
στρώµα είναι τυρβώδες παντού και Τ = 20 οC.
U
U
Απάντηση
Για τον αέρα είναι ν = 0.15 m2/s (T=20 oC)
U = 1000 Km/h = 277.8 m/s
x=0
Ε-68
x
U
Rl = Ul/ν = (277.8*2)/(0.15x10-4)=37x106.
x=l
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
Από τη σχέση (7.42) προσδιορίζουµε µε δοκιµές το συντελεστή τριβών
Cf = 0.0007.
Η συνολική τάση λοιπόν ανά µέτρο µήκους της πτέρυγας και από τις δύο πλευρές είναι
τ o = 2C f ρ
U2
Kg
= (0.0007)(1205
.
)(277.8m / s) 2 = 6519
. N / m 2 = 6519
. Pa
3
2
m
όπου ρa = 1.205 Kg/m3 (T=20 oC).
8.8
Τραχέα τοιχώµατα
Με τον όρο τραχύτητα στερεού ορίου k, ονοµάζουµε κάποιο στατιστικό µέσο όρο του
µεγέθους των ανωµαλιών του ορίου.
Με τον όρο ισοδύναµη τραχύτητα ks στερεού ορίου ονοµάζουµε την τραχύτητα που
προκαλείται από οµοιόµορφους κόκκους άµµου µεγέθους ks που επικολλώνται στην
επιφάνεια, αυτή δε έχει την ίδια υδροδυναµική συµπεριφορά µε την επιφάνεια που έχει
τραχύτητα k.
Η τραχύτητα µιας επιφάνειας επιδρά πάνω στα υδροδυναµικά µεγέθη όταν οι προεξοχές
διακόπτουν το στρωτό οριακό υπόστρωµα. Εκφράζοντας την τραχύτητα k µιας
οποιασδήποτε επιφάνειας µε την ισοδύναµη τραχύτητα ks, η αδιάστατη παράµετρος που
εκφράζει την επίδρασή της στη ροή είναι ο λόγος ks/δ'. Ανάλογα µε το λόγο αυτό
µπορούµε να διακρίνουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις:
Έστω ks/δ' < 1. Οι προεξοχές ks < δ' και η τραχύτητα έχει ασήµαντη επίδραση στη ροή, η
επιφάνεια θεωρείται υδροδυναµικά λεία και ισχύουν οι σχέσεις κατανοµών της
αδιάστατης µέσης ταχύτητας για λεία τοιχώµατα που αναπτύχθηκαν προηγούµενα.
Έστω ks/δ' > 1. Οι προεξοχές ks > δ' και δεν ισχύουν οι νόµοι κατανοµής της ταχύτητας
που αναπτύχθηκαν για τα λεία τοιχώµατα. Η διατµητική τάση το του ορίου αυξάνεται
σηµαντικά από την αντίσταση των προεξοχών.
Όταν ks/δ' > 15 - 25 η ταχύτητα του ορίου το οφείλεται αποκλειστικά στην αντίσταση
σχήµατος των προεξοχών, είναι δε ανεξάρτητη από τον αριθµό Reynolds της ροής. Η
κατανοµή των ταχυτήτων είναι της µορφής
 y
u
= f 
u*
 ks 
και ισχύει ο εξωτερικός νόµος κατανοµής των ταχυτήτων που έχει προκύψει από
πειραµατικές µετρήσεις, πράγµα που σηµαίνει ότι η σχέση αυτή είναι λογαριθµική. Στην
περιοχή ισχύος του εσωτερικού νόµου (y/δ < 0.15 και u*y/ν > 50 - 100) η σχέση είναι
k 
u
= −5.6 log s  + C
u*
 y
(8.43)
όπου η σταθερά C είναι συνάρτηση της µορφής και διανοµής της τραχύτητας. Από τις
σχέσεις 8.38, 8.39 και 8.43 προκύπτει η σχέση
Ε-69
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
 δ 
2.5 + C
= 3.96 log  + C*; C* =


c
2
 ks 
f
1
(8.44)
και οι σταθερές C και C* προσδιορίζονται πειραµατικά.
Όταν 1 < ks/δ' < 15-25 η διανοµή των ταχυτήτων εξαρτάται τόσον από την τραχύτητα
όσο και από τον αριθµό Reynolds της ροής

y
u
= f  R,  .
u*
 ks 
(8.45)
Ανακεφαλαίωση:
ks/δ' < 1
Ισχύουν οι κατανοµές ταχύτητας τυρβώδους ροής µε λεία τοιχώµατα.
1 < ks/δ' < 20 u/u* = f(R, ks/y)
20 < ks/δ'
u/u* = f(ks/y)
Ε-70
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
1.
∆ηµητρίου, Ι∆, 1997. Ρευστοµηχανική, Τεύχος 1 - Εισαγωγή. Αθήνα.
2.
Κωτσοβίνος ΝΕ, 1983. Υδραυλική, Τόµος πρώτος. Ξάνθη.
3.
Νουτσόπουλος, Γ 1972. Μαθήµατα θεωρητικής και εφηρµοσµένης υδραυλικής, Τεύχος
Α. Αθήνα.
4.
Νουτσόπουλος, Γ & Χριστοδούλου, Γ, 1996. Μαθήµατα Μηχανικής των Ρευστών για
Πολιτικούς Μηχανικούς. Α' Έκδοση. ΕΜ Πολυτεχνείο.
5.
Παπαϊωάννου, ΑΘ, 1996. Μηχανική των ρευστών, Τόµοι Ι και ΙΙ. Αθήνα.
6.
Τσαγγάρης, Σ, 1995. Μηχανική των ρευστών. Εκδόσεις Συµεών, Αθήνα.
7.
Coles, D, 1956. The law of the wake in the turbulent boundary layer. J. Fluid Mech. 1,
191-226.
8.
Currie, IG, 1974. Fundamental mechanics of fluids. McGraw-Hill.
9.
Goldstein, S, Ed., 1965. Modern developments in fluid dynamics. Volumes I, II,
Dover.
10. Klebanoff, PS, 1955. Characteristics of turbulence in a boundary layer with zero
pressure gradient. NACA Rep. 1247.
11. Rouse, H, 1961. Fluid mechanics for hydraulic engineers. Dover.
12. Schlichting, H, 1979. Boundary-layer theory. McGraw-Hill.
13. Streeter, VL, 1961. Handbook of fluid dynamics. McGraw-Hill.
14. Van Dyke, M, 1982. An album of fluid motion. Parabolic Press.
Ε-71
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ
9.
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΙΓΑ∆ΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Ορίζουµε σαν µιγαδικό αριθµό
z = x + iy
στο επίπεδο Ο, x, y το διατεταγµένο ζεύγος (x,y) όπου x=Re(z) (πραγµατικό µέρος) και
y=Im(z) (φανταστικό µέρος) του z, όπου εξ’ ορισµού i = −1 ,
i = (0,1)
9.1
...
γνήσιος φανταστικός αριθµός.
Ιδιότητες των µιγαδικών αριθµών.
Ισότητα:
z1 = z2 ⇒ x1 = x2 και y1 = y2
Άθροισµα:
z1+z2 = (x1+x2, y1+y2)
Γινόµενο:
z1z2 = (x1x2-y1y2, y1x2+ x1y2)
Αλγεβρικές ιδιότητες:
z1+z2 = z2 + z1
z1 z2 = z2 z1
z1 +(z2 + z3) = (z1 + z2)+z3
z1 (z2 + z3) = z1z2 + z1z3
z+0=z;
0 = (0,0)
z ×1 = z ;
1 = (1,0)
Για κάθε µιγαδικό αριθµό z υπάρχει ο µιγαδικός - z τέτοιος ώστε
z + (-z) = 0; z = (-x, -y).
Εποµένως
z1 - z2 = (x1-x2, y1-y2).
Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ορίζουµε τον αντίστροφό του z-1 έτσι ώστε
z z-1 = 1,
όπου
z −1 =
y
y
x
x
−i 2
= 2 −i 2 ; r =
2
2
r
x +y
r
x +y
2
 1
z1
= z1  
z2
 z2 
1
1 1
=
z1 z 2 z1 z 2
Ε-72
x2 + y2
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
9.2
Συζυγής µιγαδικού αριθµού
Ορίζουµε σαν συζυγή του µιγαδικού αριθµού z = x + iy τον µιγαδικό αριθµό z = x − iy .
Iδιότητες των συζυγών µιγαδικών αριθµών.
z1 + z 2 = z1 + z 2
z1 z 2 = z1 z 2
 z1  z1
 =
 z2  z2
Re z =
1
1
( z + z ), Im z = ( z − z )
2
2i
z z = z2 = x2 + y2
9.3
Γεωµετρική παράσταση µιγαδικού αριθµού.
y
y
z1+z2
z = (x,y)
z2
z = x+iy
z1
x
x
z1-z2
z
9.4
Πολική µορφή ενός µιγαδικού αριθµού.
x = r cos θ
y
y = r sin θ
z = x + iy = r (cosθ + i sin θ )
z = (x,y)
z1 z 2 = r1r2 ( cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 ))
r
θ
z1 r1
= ( cos(θ 1 − θ 2 ) + i sin(θ 1 − θ 2 ))
z 2 r2
9.5
x
Eκθετική µορφή µιγαδικού αριθµού
Για τον πραγµατικό αριθµό θ, ορίζουµε
e iθ = cos θ + i sin θ .
Τότε, ο µιγαδικός αριθµός z ορίζεται ως
Ε-73
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
z = re iθ = r (cos θ + i sin θ ) .
Το γινόµενο, ο αντίστροφος και το πηλίκο µιγαδικών αριθµών είναι
z1 z2 = r1e iθ 1 r2 e iθ 2 = r1r2 e i (θ 1 +θ 2 )
1
1
1
= iθ = e − iθ
z re
r
z1 r1 e iθ 1
r
=
= 1 e i (θ 1 −θ 2 )
iθ 2
z 2 r2 e
r2
.
9.6
Εκθετική συνάρτηση
Ορίζεται ως
exp( z ) = e z = e x e iy = e x (cos y + i sin y ) .
Ορισµένες ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης είναι
exp( z1 ) exp( z 2 ) = exp( z1 + z 2 )
d z
e = ez
dz
9.7
Λογάριθµος µιγαδικού αριθµού
Ορίζεται ως w = logz απ’ όπου προκύπτει ότι
log z = log r + i (θ + 2kπ ) .
Το r (r = z  ονοµάζεται µέτρο του µιγαδικού αριθµού και το θ (θ = Arg z) όρισµα
(Argument) του µιγαδικού αριθµού. Ο λογάριθµος αποτελεί συνάρτηση µε πολλαπλές
τιµές (k = 0, 1, 2, …).
9.8
n-οστή ρίζα µιγαδικού αριθµού
Ορίζεται ως
n
θ + 2kπ
θ + 2kπ 

z = z 1 / n = n r  cos
+ i sin

n
n


όπου k = 0, 1, 2, … n-1. Αποτελεί και αυτή συνάρτηση µε πολλαπλές τιµές, που
επαναλαµβάνονται όταν k > n-1.
Παράδειγµα: Να προσδιορίσετε την
3
−1 .
Έχουµε ότι θ = π (0 ≤ θ < 2π) και
3
π + 2kπ
π + 2kπ 

− 1 = (−1)1 / 3 = 3 1 cos
+ i sin
 ; k = 0, 1, 2
3
3


Ε-74
 ΠΝ Παπανικολάου
Οκτώβριος 2010
Στοιχεία µηχανικής των ρευστών
Ακ. Έτος 2008-2009
δηλαδή οι τρεις βασικές τιµές είναι
c1 = cos
π
3
c 2 = cos
c3 = cos
+ i sin
π + 2π
π
3
=
1
(1 + i 3 )
2
+ i sin
3
π + 4π
+i
3
π + 2π
3
π + 4π
3
=
= −1
1
(1 − i 3 ) .
2
Οι τρεις αυτές βασικές τιµές επαναλαµβάνονται όταν k > 2.
9.9
Παράγωγος µιας συνάρτησης
Ορίζουµε σαν παράγωγο της συνάρτησης F(z) γύρω από ένα σηµείο zo το πηλίκο
F ' ( zo ) =
dF
dz
F ( z o + ∆z ) − F ( z o )
.
∆z → 0
∆z
= lim
z = zo
Για την παραγώγιση των µιγαδικών συναρτήσεων ισχύουν οι ιδιότητες παραγώγισης των
πραγµατικών συναρτήσεων.
9.10
Αναλυτική συνάρτηση.
Η συνάρτηση F(z) = Φ +iΨ λέγεται αναλυτική σε ένα σηµείο zo, όταν η παράγωγος dF/dz
υπάρχει στο σηµείο αυτό και τη γειτονική του περιοχή και είναι ανεξάρτητη από την
διεύθυνση πάνω στην οποία την υπολογίζουµε. ∆ηλαδή
dF d
∂
∂Φ ∂Ψ
.
= ( Φ + iΨ ) = ( Φ + iΨ ) =
+i
∂x
∂x
∂x
dz dz
∂
∂Φ ∂Ψ
=
(Φ + iΨ) = −i + .
∂ (iy )
∂y ∂y
9.11
Εξισώσεις των Cauchy - Riemann.
Εάν η συνάρτηση F(z) = Φ(x,y) +iΨ(x,y) είναι αναλυτική, τότε ικανοποιούνται οι
εξισώσεις
∂Φ ∂Ψ
∂Φ
∂Ψ
=−
.
=
και
∂x ∂y
∂y
∂x
Εάν η συνάρτηση F(z) είναι αναλυτική στην περιοχή z-zo< r γύρω από το σηµείο zo,
τότε µπορεί να γραφτεί σαν το άθροισµα
F ( z) = F ( zo ) +
dF
dz
(z − zo ) +
z = zo
1 d 2F
2! dz 2
( z − z o ) 2 + ....
z = zo
H παραπάνω σειρά ονοµάζεται σειρά Taylor της συνάρτησης F(z) γύρω από το σηµείο zo.
Ε-75

2. Νόμοι του ηλεκτροστατικού πεδίου

περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ

Εξισώσεις

προγραμμα σπουδων τμηματος ναυπηγικης τει-α