6. Μαγνητοστατικό πεδίο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
6.1
Εισαγωγικά
Το µαγνητοστατικό πεδίο παράγεται από σταθερά (µόνιµα) ρεύµατα ή µόνιµους µα-
γνήτες, χαρακτηριστικό του δε διάνυσµα είναι η µαγνητική επαγωγή – ή πυκνότητα µαγνητικής ροής – B .
Αντίστοιχα προς τη διηλεκτρική σταθερά ε = εr ε0 του ηλεκτρικού πεδίου, που συνδέει τη διηλεκτρική µετατόπιση D και την ηλεκτρική πεδιακή ένταση E µε τη σχέση
D = εE ,
(6.1)
στο µαγνητικό πεδίο, εισάγεται η µαγνητική διαπερατότητα µ = µr µ0 , που συνδέει τη µαγνητική επαγωγή B και τη µαγνητική πεδιακή ένταση H µε την καταστατική σχέση
B = µH ,
(6.2)
όπου µ0 = 4π × 10−7 H/m είναι η µαγνητική διαπερατότητα στο κενό και µr η – αδιάστατη – σχετική µαγνητική διαπερατότητα.
327
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
6.2
Νόµος των Biot-Savart
6.2.1 Γραµµικός αγωγός
Έστω ένα µαγνητικό πεδίο που δηµιουργείται από ένα ρεύµα I που διαρρέει τον
συρµατόµορφο αγωγό του σχήµατος 6-1. Ο νόµος των Biot και Savart καθορίζει ότι η
στοιχειώδης µαγνητική επαγωγή dB σ’ ένα σηµείο P του µέσου, που οφείλεται στο στοιχείο ρεύµατος Id l , δίνεται από τη σχέση
dB =
µI d l× r
4π r 3
(6.3)
I
θ
r
P
dl
C
Σχήµα 6-1
Από την ολοκλήρωση της (6.3), προκύπτει η µαγνητική επαγωγή του πεδίου
B=
µI ⌠ d l× r
,
4π ⌡C r 3
(6.4)
που εκφράζει και την ολοκληρωτική µορφή του νόµου των Biot-Savart.
Η (6.3), αν θ είναι η γωνία µεταξύ d l και r , οδηγεί στην έκφραση
dB =
µI sin θ dl
,
4π r 2
από την οποία για αγωγό που βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο µε το θεωρούµενο σηµείο P, προκύπτει η
328
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
B=
µI ⌠ sin θ
dl
4π ⌡C r 2
(6.5)
6.2.2 Επιφανειακή κατανοµή ρεύµατος (αγώγιµη ταινία)
Έστω αγώγιµη ταινία απειροστού πάχους, πλάτους d και άπειρου µήκους, που διαρρέεται από ένα ρεύµα I . Στην περίπτωση αυτή, αντί της πυκνότητας ρεύµατος J που απειρίζεται (απειροστό πάχος ταινίας) χρησιµοποιείται η επιφανειακή πυκνότητα ρεύµατος
I s , που εκφράζει το ρεύµα ανά µονάδα πλάτους της ταινίας.
I
r
Is
P
dS
S
d
Σχήµα 6-2
Από την (6.4), προκύπτει ότι η µαγνητική επαγωγή B σ’ ένα σηµείο P δίνεται από
τη σχέση
B=
µ ⌠⌠ Is × r
dS .
4π ⌡⌡S r 3
(6.6)
6.2.3 Χωρική κατανοµή ρεύµατος
Έστω ο αγωγός του σχήµατος 6-3, που διαρρέεται από ρεύµα I . Αν θεωρήσουµε τον
τυπικό στοιχειώδη ρευµατικό σωλήνα του σχήµατος, που διαρρέεται από το απειροστό
329
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
ρεύµα dI , τότε, σύµφωνα µε την (6.3), η µαγνητική επαγωγή που οφείλεται στο στοιχειώδες ρεύµα dI ⋅ d l είναι
I
dl
dI
dS
r
P
Σχήµα 6-3
B=
µ dI ⋅ d l× r
4π
r3
(6.7)
Αν η στοιχειώδης ένταση dI , αντικατασταθεί από τη σχέση
dI = J ⋅ d S ,
όπου J είναι η πυκνότητα του ρεύµατος στο θεωρούµενο στοιχείο όγκου, στην (6.8) και
λάβουµε υπόψη ότι ο στοιχειώδης όγκος dV είναι ίσος µε το εσωτερικό γινόµενο d S⋅ d l ,
η (6.7) µετά την ολοκλήρωση σ’ όλο τον όγκο του αγωγού δίνει
B=
6.3
µ ⌠⌠⌠ J × r
dV
4π ⌡⌡⌡V r 3
(6.8)
Ο νόµος του Ampère
Σύµφωνα µε το νόµο του Ampère, το κλειστό επικαµπύλιο ολοκλήρωµα
∫v H ⋅ d l
l
κα-
τά µήκος ενός τυχόντος κλειστού δρόµου C είναι ίσο µε το συνολικό ρεύµα που εµπλέκει
ο δρόµος C , ισχύει δηλαδή η σχέση
∫v
C
H ⋅dl =
∫∫
S
J ⋅ dS = I ,
(6.9)
όπου S οποιαδήποτε επιφάνεια που περατώνεται στην κλειστή καµπύλη C.
Η (6.9), µε τη βοήθεια της καταστατικής σχέσης (6.2), οδηγεί στην ακόλουθη εναλλακτική διατύπωση του νόµου του Ampère
330
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
∫v
C
B ⋅ d l = µI
(6.10)
Η διαφορική διατύπωση του νόµου του Ampère, που προκύπτει από την (6.9) µε τη
βοήθεια του θεωρήµατος του Stokes
∫v
C
H ⋅dl =
∫∫
S
∇× H ⋅ d S ,
είναι η
∇× H = J ,
(6.11)
∇× B = µ J
(6.12)
ή, για σταθερή διαπερατότητα µ , η
Από την (6.11) (που προκύπτει επίσης και από την πρώτη εξίσωση του Maxwell για
χρονικά αµετάβλητα πεδία) παρατηρούµε ότι το µαγνητοστατικό πεδίο χαρακτηρίζεται από
πηγές curl (κλειστές δυναµικές γραµµές), ενώ το ηλεκτροστατικό πεδίο, ως γνωστόν, από
πηγές div (ανοικτές δυναµικές γραµµές, αφού ∇× E = 0 ). Τέλος, στην περίπτωση όπου ο
κλειστός δρόµος C δεν εµπλέκει κανένα ρεύµα (I = 0) , από την (6.9) έχουµε
∫v
C
6.4
H ⋅dl = 0
(6.13)
Μαγνητική ροή. Πεπλεγµένη ροή
Έστω µαγνητικό πεδίο και d S στοιχείο κάποιας προσανατολισµένης επιφάνειας S .
Από τη στοιχειώδη µαγνητική ροή d Φ δια του στοιχείου d S που ορίζεται από τη σχέση
dΦ = B ⋅ d S ,
προκύπτει µε ολοκλήρωση η ολική ροή Φ που διέρχεται από την επιφάνεια S
Φ=
∫∫
S
B ⋅ dS
(6.14)
Αν το περίγραµµα C της επιφάνειας S , είναι ο αγώγιµος δρόµος ενός πηνίου που
έχει n ελίγµατα, η πεπλεγµένη (µε το πηνίο) ροή Ψ (ή λ ) ορίζεται από τη σχέση
n
Ψ = ∑ Φi ,
(6.15)
i=1
όπου Φi είναι η µαγνητική ροή που διέρχεται από το i-στό έλιγµα. Όταν όλα τα ελίγµατα
εµπλέκουν την ίδια ροή Φ , τότε η (6.15) καταλήγει στην
331
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
Ψ = nΦ
(6.16)
Αν S είναι µια κλειστή επιφάνεια που περικλείει έναν όγκο V , ισχύει η
w
∫∫
S
B ⋅dS = 0 ,
(6.17)
δηλαδή η ροή που εισέρχεται δια της επιφάνειας S είναι ίση µε τη ροή που εξέρχεται δια
της S . Με εφαρµογή του θεωρήµατος του Gauss, η (6.17) δίνει
∫∫∫
V
∇ ⋅ BdV = 0
(6.18)
από την οποία προκύπτει η πολύ βασική σχέση (τρίτη εξίσωση του Maxwell)
∇⋅ B = 0
6.5
(6.19)
Οριακές συνθήκες
Από τις (6.9) και (6.17) προκύπτουν εύκολα οι ακόλουθες οριακές συνθήκες στη δια-
χωριστική επιφάνεια S δύο µέσων (1) και (2) µε µαγνητικές διαπερατότητες µ1 και µ2 , αντίστοιχα
n 0 ⋅ (B2 − B1 ) = 0
(6.20)
n 0 × (H2 − H1 ) = IS
(6.21)
και
όπου IS είναι το ανά µονάδα µήκους επιφανειακό ρεύµα στη διαχωριστική επιφάνεια και
n 0 το µοναδιαίο κάθετο σ’ αυτήν διάνυσµα µε φορά από το µέσο (1) προς το µέσο (2).
Η (6.20) που γράφεται και ως
Bn 1 = Bn 2
(6.22)
εκφράζει τη συνέχεια της κάθετης συνιστώσας της µαγνητικής επαγωγής, ενώ η (6.21)
στην περίπτωση απουσίας επιφανειακών ρευµάτων (I S = 0) γράφεται
Ht1 = Ht 2
(6.23)
και εκφράζει τη συνέχεια της εφαπτοµενικής συνιστώσας της µαγνητικής πεδιακής έντασης.
332
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
6.6
Βαθµωτό µαγνητικό δυναµικό. ΜΕ∆
Όταν οι εξεταζόµενες περιοχές ενός µαγνητικού πεδίο δεν περιλαµβάνουν ηλεκτρικά
ρεύµατα, τότε, επειδή σύµφωνα µε την (6.11) ισχύει η
∇× H = 0 ,
(6.24)
µπορούµε να εκφράσουµε την ένταση H του µαγνητικού πεδίου µε την – αρνητική – κλίση µιας βαθµωτής συνάρτησης φm . Η βαθµωτή συνάρτηση φm , που ικανοποιεί την
H = −∇φm ,
(6.25)
ονοµάζεται βαθµωτό µαγνητικό δυναµικό.
Από την (6.25), καθορίζεται η διαφορά δυναµικού δύο σηµείων P1 και P2 µιας καµπύλης C
φm (P1 ) − φm (P2 ) =
∫
P2
P1
H ⋅dl
(6.26)
Αντίθετα προς το βαθµωτό ηλεκτρικό δυναµικό που είναι µια µονοσήµαντη συνάρτηση της θέσης του, το βαθµωτό µαγνητικό δυναµικό – εκτός από την περίπτωση όπου η εξεταζόµενη περιοχή είναι απλά συνεκτική και απαλλαγµένη ρευµάτων – δεν είναι εν γένει
µια µονοσήµαντη συνάρτηση.
Όταν ένας κλειστός δρόµος ολοκλήρωσης, εµπλέκει ένα πηνίο που έχει N ελίγµατα
και διαρρέεται από ρεύµα I , αντίστοιχα προς την ηλεκτρεγερτική (ΗΕ∆) δύναµη E , ορίζουµε τη µαγνητεγερτική (ΜΕ∆ ή MMF) F , από τη σχέση
∫v
C
6.7
H ⋅ d l = NI = F
(6.27)
∆ιανυσµατικό µαγνητικό δυναµικό Α
Οι σχετικά περιορισµένες δυνατότητες αποτελεσµατικής χρησιµοποίησης του βαθµω-
τού µαγνητικού δυναµικού φm , στην επίλυση των προβληµάτων του µαγνητικού πεδίου,
επιβάλλουν την εισαγωγή και του διανυσµατικού µαγνητικού δυναµικού A .
Έχοντας υπόψη την (1.78), σύµφωνα µε την οποία η απόκλιση της στροφής µιας διανυσµατικής συνάρτησης είναι ίση µε µηδέν, εύκολα παρατηρούµε, ότι η ισχύς της (6.19)
333
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
διασφαλίζεται αυτόµατα, αν ορίσουµε ένα διανυσµατικό µέγεθος A , τέτοιο, ώστε να ισχύει η
B = ∇× A
(6.28)
Αξίζει να παρατηρήσουµε ότι την (6.28), λόγω της (1.79), ικανοποιεί και κάθε διανυσµατική συνάρτηση A ′ της µορφής
A ′ = A + ∇φ ,
(6.29)
όπου φ τυχούσα βαθµωτή συνάρτηση.
Είναι, όµως, γνωστό ότι ένα διανυσµατικό πεδίο περιγράφεται πλήρως όταν δίνεται η
στροφή και η απόκλισή του σε κάθε θέση. Για τον µονοσήµαντο, συνεπώς, καθορισµό του
διανυσµατικού δυναµικού A , χρειάζεται να επιβληθεί µια πρόσθετη συνθήκη. Η συνθήκη
που, συνήθως, επιλέγεται στα προβλήµατα του µαγνητοστατικού πεδίου είναι η
∇⋅ A = 0 ,
(6.30)
που είναι γνωστή και ως συνθήκη Coulomb.
Αργότερα – στη µελέτη των χρονικά µεταβαλλόµενων πεδίων – θα δούµε ότι στη θέση της (6.30) συχνά χρησιµοποιείται η συνθήκη Lorentz. Από την αντικατάσταση της
(6.28) στην (6.12), αν λάβουµε υπόψη τη διανυσµατική ταυτότητα (1.149) και τη σχέση
(6.30), προκύπτει η διανυσµατική εξίσωση Poisson
∇2 A = −µJ
(6.31)
Αν Ax , Ay , Az και J x , J y , J z είναι οι συνιστώσες των διανυσµάτων A και J σ’ ένα
καρτεσιανό σύστηµα ορθογώνιων συντεταγµένων, από την (6.31), προκύπτουν οι παρακάτω τρεις βαθµωτές εξισώσεις
∇2Ax = −µJ x ,
(6.32)
∇2Ay = −µJ y ,
(6.33)
∇2Az = −µJ z
(6.34)
Ανάλογα προς τη γενική λύση
φ=
1 ⌠⌠⌠ ρdV
,
4πε ⌡⌡⌡V r
της εξίσωσης Poisson
334
(6.35)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
∇2φ = −
ρ
,
ε
(6.36)
στο ηλεκτροστατικό πεδίο, προκύπτουν οι γενικές λύσεις των (6.32), (6.33) και (6.34)
Ax =
µ ⌠⌠⌠ J x dV
,
4π ⌡⌡⌡V r
(6.37)
Ay =
µ ⌠⌠⌠ J ydV
,
4π ⌡⌡⌡V r
(6.38)
Az =
µ ⌠⌠⌠ J z dV
,
4π ⌡⌡⌡V r
(6.39)
µ ⌠⌠⌠ JdV
4π ⌡⌡⌡V r
(6.40)
δηλαδή, η λύση της (6.27) είναι η
A=
Στην περίπτωση, ενός συρµατόµορφου αγωγού που διαρρέεται από ρεύµα I , λόγω
της (6.40) έχουµε
A=
µI ⌠ d l
4π ⌡C r
(6.41)
Τέλος, η µαγνητική ροή Φ δια µιας επιφάνειας S που περατώνεται στην κλειστή καµπύλη C , από τις σχέσεις (6.14) και (6.28) µε τη βοήθεια του θεωρήµατος του Stokes,
µπορεί να γραφεί και µε τη µορφή
Φ=
6.8
∫∫
S
(∇× A) ⋅ d S =
∫v
C
A ⋅dl
(6.42)
Μαγνητικές δυνάµεις
Η δύναµη d F που ασκείται σ’ ένα στοιχειώδες µήκος dl ενός συρµατόµορφου αγω-
γού C που διαρρέεται από ρεύµα I , όταν βρεθεί σ’ ένα εξωτερικό µαγνητικό πεδίο B ,
δίνεται από την
d F = I (d l× B) ,
(6.43)
που είναι γνωστή ως νόµος του Laplace.
Η συνολική δύναµη F , που προκύπτει από την ολοκλήρωση της (6.43), δίνεται από
τη σχέση
335
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
F=
∫ I (d l× B)
l
(6.44)
Οι εκφράσεις της δύναµης για επιφανειακές ( Js ) και χωρικές ( J ) κατανοµές ρευµάτων είναι, αντίστοιχα, οι
F=
∫∫
F=
∫∫∫
S
(Js × B)d S ,
(6.45)
(J × B)dV
(6.46)
και
V
Με βάση τη σχέση (6.44) εύκολα αποδεικνύεται ότι η δύναµη που ασκείται µεταξύ
δύο παράλληλων αγωγών µήκους l , που διαρρέονται από ρεύµατα I και I ′ και που απέχουν απόσταση α , δίνεται από τη σχέση
F =µ
II ′
l
2πα
(6.47)
Η δύναµη F που βρίσκεται στο επίπεδο των δύο αγωγών και είναι κάθετη στη διεύθυνσή τους, είναι ελκτική όταν τα ρεύµατα I και I ′ έχουν την ίδια φορά και απωστική
όταν έχουν αντίθετη φορά.
Ας σηµειώσουµε, τέλος, ότι από τη σχέση (6.43) µπορεί να εξαχθεί η έκφραση της
δύναµης που ασκείται σ’ ένα φορτισµένο σωµατίδιο q που κινείται σ’ ένα µαγνητικό πεδίο
B µε ταχύτητα υ .
Πράγµατι, µε αντικατάσταση της (5.3) στην (6.43), παίρνουµε
dF =
⎛d l
⎞
dQ
(d l× B) = dQ ⎜⎜⎜ × B⎟⎟⎟ = dQ(υ × Β)
⎝
⎠
dt
dt
(6.48)
Η (6.48) δίνει τη δύναµη dF που ασκείται στο φορτίο dQ όταν κινείται µε ταχύτητα
υ µέσα στο µαγνητικό πεδίο B . Η ανά µονάδα όγκου, συνεπώς, ασκούµενη δύναµη f , σε
µια θέση του χώρου στην οποία το µε πυκνότητα ρ διανεµηµένο χωρικό φορτίο κινείται µε
ταχύτητα υ σ’ ένα µαγνητικό πεδίο B , δίνεται από την
f = ρ(υ × B) = J × B
(6.49)
Η αντίστοιχη έκφραση για τη δύναµη που ασκείται σ’ ένα φορτισµένο σωµατίδιο q
είναι η
336
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
F = q(υ × B)
6.9
(6.50)
Μαγνητική ροπή
Έστω ότι στο µαγνητικό πεδίο του σχήµατος 6-4(α), τοποθετείται παράλληλα προς τη
διεύθυνσή του ο βρόχος ΑΒΓ∆Α , που διαρρέεται από ένα ρεύµα I . Τότε, επί του βρόχου
ενεργεί το ζεύγος των δυνάµεων F που τείνει να στρέψει τον βρόχο γύρω από τον άξονα
περιστροφής κκ ′ .
κ
B
F
A
l1
∆
B
B
Γ
F
l2
B
κ΄
Σχήµα 6-4(α)
Η µηχανική ροπή T του ζεύγους για µια στροφή κατά γωνία α (σχήµα 6-4(β)) περί
τον άξονα κκ ′ είναι
T = IBS cos α ,
(6.51)
όπου S = l1l2 , είναι η επιφάνεια του βρόχου.
Αν ορίσουµε τη µαγνητική ροπή M ως το διανυσµατικό µέγεθος που έχει µέτρο ίσο
προς το γινόµενο του ρεύµατος I επί το εµβαδόν του βρόχου S (M = IS ) , και διεύθυνση
κάθετη στο επίπεδο του βρόχου µε θετική φορά εκείνη που καθορίζεται από τον κανόνα
του δεξιόστροφου κοχλία, δηλαδή
M = M n 0 = IS n 0 ,
337
(6.52)
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
F
Ft
Β≡Γ
l2/2
α
Β
κ ≡κ΄
l2/2
A≡∆
Ft
F
Σχήµα 6-4(β)
όπου n 0 το κάθετο στην επιφάνεια του βρόχου µοναδιαίο διάνυσµα, η (6.47), υπό διανυσµατική µορφή, µπορεί επίσης να γραφεί
T = M×B ,
(6.53)
όπου το διάνυσµα της ροπής T βρίσκεται στον άξονα περιστροφής κκ ′ του βρόχου. Αποδεικνύεται ότι η (6.53) είναι γενική και ισχύει για κάθε βρόχο, οποιουδήποτε σχήµατος,
που η µαγνητική του ροπή είναι M .
Τέλος, αν αντί ενός µόνο βρόχου έχουµε n σπείρες που διαρρέονται από το ίδιο ρεύµα I , η µαγνητική ροπή M είναι
M = nIS n 0
(6.54)
T = M × B = nIBS cos α κ 0 ,
(6.55)
και η ροπή T του ζεύγους
όπου κ 0 το µοναδιαίο διάνυσµα στη διεύθυνση του άξονα περιστροφής κκ ′ .
338
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
6.10 Παραδείγµατα
6.1 Το βαθµωτό δυναµικό φm των σηµείων ενός µαγνητικού πεδίου δίνεται από τη σχέση
⎛
z − h π ⎞⎟
φm = C ⎜⎜arctan
+ ⎟⎟ ,
⎝
x
2⎠
όπου C και h δοσµένες σταθερές θετικές ποσότητες. Ζητούνται:
(α) Να βρεθεί η µορφή των ισοδυναµικών επιφανειών και των µαγνητικών δυναµικών γραµµών.
(β) Το σχήµα και η θέση του αγωγού, που διαρρέεται από το ρεύµα που δηµιουργεί το πεδίο.
(γ) Να προσδιοριστεί η σταθερά C συναρτήσει της έντασης του ρεύµατος.
z
Ισοδυν. επιφάνειες
φm = V2
φ m = V1
ρ
ϕ0
P
ϕ
x΄
h
∆υναµικές γραµµές
x
Σχήµα 6-5
α) Η µορφή των ισοδυναµικών επιφανειών προκύπτει από την
φm = C 1 ,
(1)
όπου C 1 η παραµετρική σταθερά της οικογένειας των ισοδυναµικών επιφανειών. Από την
έκφραση της φm και την (1), έχουµε
339
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
z −h
= C2 ,
x
(2)
όπου C 2 , µια νέα παραµετρική σταθερά της οικογένειας, έτσι ώστε σε κάθε τιµή της C 2 ν’
αντιστοιχεί µια ισοδυναµική επιφάνεια και αντίστροφα.
Από την (2) παρατηρούµε ότι οι ισοδυναµικές επιφάνειες είναι επίπεδα κάθετα στο
επίπεδο Oxz , που περιλαµβάνουν τα σηµεία του άξονα (x = 0, z = h ) .
Οι δυναµικές γραµµές, είναι φανερό ότι είναι οµοαξονικές περιφέρειες, παράλληλες
προς το επίπεδο Oxz , που τα κέντρα τους βρίσκονται πάνω στον άξονα (x = 0, z = h ) .
Οι συνιστώσες H x , H z της έντασης H του µαγνητικού πεδίου ( H y = 0 : διδιάστατο
πεδιακό πρόβληµα), υπολογίζονται από την H = −∇φm
Hx = −
∂φm
= −C
∂x
1
h −z
z −h
=C 2
2
2
x + (z − h )2
⎛ z − h ⎞⎟ x
1 + ⎜⎜
⎟
⎟
⎝ x ⎠
(3)
και
Hz = −
∂φm
= −C
∂z
1
1
x
=C 2
2
x + (z − h )2
⎛ z − h ⎞⎟ x
1 + ⎜⎜
⎟⎟
⎝ x ⎠
(4)
Η εξίσωση των δυναµικών γραµµών
dx
dz
,
=
Hx
Hz
(5)
dx
dz
=− ,
z −h
x
(6)
xdx + (z − h )dz = 0 ,
(7)
d ⎡⎣x 2 + (z − h )2 ⎤⎦ = 0
(8)
µε αντικατάσταση των (3) και (4) δίνει
ή
ή
Από την ολοκλήρωση της (8), προκύπτει η οικογένεια των δυναµικών γραµµών
x 2 + (z − h )2 = C 32 ,
που περιλαµβάνει τις οµόκεντρες περιφέρειες που προαναφέραµε ( C 3 : σταθερά).
340
(9)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
β) Από τα προηγούµενα, είναι φανερό, ότι το πεδίο δηµιουργείται από έναν ευθύγραµµο αγωγό παράλληλο προς τον άξονα y , τοποθετηµένο στη θέση (z = h, x = 0) και
διαρρεόµενο από κάποιο σταθερό ρεύµα I .
γ) Η ένταση H του µαγνητικού πεδίου του ρεύµατος I = I y 0 στο τυχόν σηµείο P
που απέχει από τον αγωγό απόσταση ρ είναι
H=−
I
I
ϕ0 = −
ϕ0
1/ 2
2
2πρ
2π ⎡⎣x + (z − h )2 ⎤⎦
(10)
ή, επειδή
ϕ0 = − sin ϕ x 0 + cos ϕz 0 = −
H = H x x0 + H z z 0 = −
z −h
x
x0 + z 0 ,
r
r
I
[−(z − h )x0 + xz 0 ]
2
⎡
2π ⎣x + (z − h )2 ⎤⎦
(11)
(12)
Από τις (3), (4) και (12), συµπεραίνουµε ότι η σταθερά C συναρτήσει του ρεύµατος
I του αγωγού, δίνεται από τη σχέση
C =
I
2π
(14)
6.2 Να δειχτεί ότι το µέτρο της µαγνητικής επαγωγής B στο κέντρο ενός κανονικού nπλεύρου που διαρρέεται από ρεύµα I , δίνεται από τη σχέση
B=
µnI
π
tan ,
2πR
n
όπου R είναι η ακτίνα της περιγεγραµµένης περιφέρειας του κανονικού n-πλεύρου και µ η
µαγνητική διαπερατότητα του µέσου. Από τον τύπο αυτό, να εξαχθεί η τιµή της µαγνητικής
επαγωγής B στο κέντρο κύκλου ακτίνας R που η περιφέρειά του διαρρέεται από ρεύµα I .
341
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
y
B
l
dl
α
θ
R
r
H
A
I
ϕπ = 2 π / n
z O
x
Σχήµα 6-6
Ας θεωρήσουµε το προσανατολισµένο κατά τη φορά του ρεύµατος, στοιχειώδες µήκος dl πάνω στην τυχούσα πλευρά ΑΒ του n-πλεύρου. Η στοιχειώδης µαγνητική επαγωγή d Bπ στο κέντρο O , που οφείλεται στο στοιχείο ρεύµατος Id l , σύµφωνα µε το νόµο
των Biot-Savart, δίνεται από τη σχέση
d Bπ =
µI d l× r
µI dl
sin θ z0
=
3
4π r
4π r 2
(1)
Αν H είναι το ύψος του κανονικού n-πλεύρου, η (1), µε αντικατάσταση του sin θ
και της απόστασης r από τις σχέσεις
sin θ = H / r
(2)
r = H 2 +l2 ,
(3)
και
γράφεται
d Bπ =
dl
µHI
z0
4π (H 2 + l 2 )3 / 2
(4)
Έτσι, µε ολοκλήρωση της (4), από l = −a / 2 έως l = a / 2 , προκύπτει η µαγνητική
επαγωγή Bπ που οφείλεται σε µια µόνο πλευρά του n-πλεύρου
342
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
a /2
µHI
dl
µHI ⎛⎜
1
⎜
Bπ = ⌠
z =
⎮
2
2 3/2 0
⌡−a / 2 4π (H + l )
4π ⎜⎜⎝ H 2 H 2 + l 2
l =a / 2
⎞⎟
⎟⎟
z0
⎠⎟⎟ l =−a / 2
(5)
a /2
µI
z0
=
2π H H 2 + a 2 / 4
H (5), αν λάβουµε υπόψη ότι
R2 = H 2 + a 2 / 4
(6)
και
π a /2
=
,
n
H
(7)
µI
π
tan z0
2πR
n
(8)
µI a
z0
4π HR
(9)
tan
γράφεται
Bπ =
ή
Bπ =
Από τις (8) και (9), προκύπτει η επαγωγή B = nBπ του n-πλεύρου
B=
µIn
π
tan z0
2πR
n
(10)
µI na
z0
4π HR
(11)
ή
B=
Αν, στη συνέχεια, θεωρήσουµε ότι ο αριθµός n των πλευρών του πολυγώνου διαρκώς αυξάνει, τότε, για n → ∞ το n-πλευρο, καταλήγει στην περιγεγραµµένη περιφέρεια
(O, R). Επειδή στην οριακή αυτή περίπτωση η περίµετρος na του πολυγώνου τείνει στην
περίµετρο 2πR του κύκλου
na → 2πR ,
(12)
H → R,
(13)
µI
z0
2R
(14)
ενώ το ύψος H τείνει στην ακτίνα R
η (11), λόγω των (12) και (13) γράφεται
B=
343
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
Σηµείωση: Μπορούµε ν’ αποδείξουµε την (14) και κατευθείαν από την (10) παρατηρώντας
ότι για n → ∞ , η έκφραση
B =
n →∞
µI
π
n tan z0 ,
n
2πR
(15)
επειδή είναι απροσδιόριστη, µπορεί να υπολογιστεί µε τον κανόνα του l’Hospital. Πράγµατι, στην περίπτωση αυτή, έχουµε διαδοχικά
⎛
π ⎞′
⎛ π
⎞⎟
1
⎜⎜tan ⎟⎟
⎟⎟
µI ⎝
µI ⎜⎜ − 2
⎠
2
n
⎜
= lim
B = lim
⎜ n cos π / n ⎟⎟⎟
n →∞ 2πR (1/ n )′
n →∞ 2πR ⎜
⎜⎝
−1/ n 2
⎠⎟⎟
⎞⎟
µI ⎛⎜
π
µI ⎛ π ⎞ µI
= lim
⎜⎜ 2
⎟⎟ ⇒ B = 2πR ⎜⎝⎜ cos2 0 ⎠⎟⎟⎟ = 2R ,
n →∞ 2πR ⎜ cos π / n ⎟
⎝
⎠
(16)
δηλαδή
B=
µI
z0
2R
(17)
6.3 Λεπτός συρµατόµορφος αγωγός κάµπτεται ώστε να σχηµατίσει ορθογωνικό πλαίσιο
διαστάσεων πλευρών 2a και 2b . Ο αγωγός διαρρεέται από ρεύµα έντασης I . Να βρεθεί η
τιµή της µαγνητικής επαγωγής B στα σηµεία του κατακόρυφου άξονα z που είναι κάθετος
στο επίπεδο του πλαισίου, στο κέντρο Ο . Επίσης, να βρεθεί η έκφραση της µαγνητικής επαγωγής B στα σηµεία του άξονα z , και ειδικότερα στην αρχή Ο , στην περίπτωση τετραγωνικού πλαισίου πλευράς 2a .
Η απειροστή επαγωγή dB1 που οφείλεται στο στοιχείο ρεύµατος Idx της πλευράς
ΑΒ του πλαισίου, είναι κάθετη στο επίπεδο των δύο διανυσµάτων dx και r , δηλαδή κά-
θετη στο επίπεδο (Μ, ΑΒ) .
Η τιµή της επαγωγής d B1 , σύµφωνα µε το νόµο Biot-Savart, δίνεται από τη σχέση
dB1 =
µI sin θdx
4π r 2
344
(1)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
z
B1y
B1
B1z
φ
M(0, 0, z)
y
r0
r
I
∆
Γ
(0, b, 0)
b
I
(x, 0, 0) (a, 0, 0)
O
I
x
φ
I
b
π-θ
K
A
(0,-b, 0)
a
θ
B
dx
a
Σχήµα 6-7
Η (1), µε αντικατάσταση του sin θ από τη σχέση
sin θ = sin(π − θ) =
r0
=
r
r0
2
0
r + x2
,
(2)
γράφεται
dB1 =
µIr0
dx
4π (r02 + x 2 )3 / 2
(3)
Ολοκλήρωση της (3), από x = −a έως x = a , δίνει τη µαγνητική επαγωγή B1 στο
σηµείο Μ που οφείλεται στο ρεύµα του αγωγού ΑΒ
a
B1 =
µIr0 ⌠
µIr0
dx
=
⎮
4π ⌡−a (r02 + x 2 )3 / 2
4π
µI
a
=
2
2π r0 r0 + a 2
345
x =a
⎡
⎤
x
⎢
⎥
2
2
2
1/
2
⎢ r (r + x ) ⎥
⎣ 0 0
⎦ x =−a
(4)
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
Αν η µαγνητική επαγωγή B1 , αναλυθεί σε µια συνιστώσα B1z κατά τον άξονα z και
σε µια οριζόντια συνιστώσα B1y κατά τον άξονα y , η οριζόντια αυτή συνιστώσα, είναι
προφανές ότι, εξουδετερώνεται από την ίση και αντίθετη οριζόντια συνιστώσα της µαγνητικής επαγωγής που προκαλεί το ρεύµα του αγωγού Γ∆ .
Η συνιστώσα B1z , λόγω της (4), είναι
B1z = B1 cos ϕ = B1
b
µI
ab
=
2
r0
2π r0 r02 + a 2
(5)
ή, επειδή
r02 = b 2 + z 2 ,
B1z =
µI
ab
2
2
2
2π (b + z )(b + z 2 + a 2 )1 / 2
(6)
(7)
Λόγω συµµετρίας ως προς a και b , η συνιστώσα κατά τον άξονα z , B2z της µαγνητικής επαγωγής B2 του αγωγού ΒΓ , µε εναλλαγή των a και b στην (7), είναι
B2z =
µI
ab
2
2
2
2π (a + z )(a + z 2 + b 2 )1 / 2
(8)
Επειδή και οι συνιστώσες κατά τον άξονα z των µαγνητικών επαγωγών των αγωγών
Γ∆ και ∆Α δίνονται από τις (7) και (8), αντίστοιχα, η συνολική µαγνητική επαγωγή του
πλαισίου στο σηµείο Μ του άξονα z , δίνεται από τη σχέση
B = 2(B1z + B2z )z0
=
µI
ab
2
π (a + z 2 + b 2 )1/ 2
⎛ 1
1 ⎞⎟
⎜⎜
+
z
⎜⎝ a 2 + z 2 b 2 + z 2 ⎠⎟⎟ 0
(9)
Στην περίπτωση όπου έχουµε ένα τετραγωνικό πλαίσιο πλευράς 2a , που διαρρέεται
από ρεύµα I , από την (9), για a = b , προκύπτει η µαγνητική επαγωγή στα σηµεία του κατακόρυφου άξονα z
B(z ) =
2µIa 2
1
2
2 1/ 2
π (2a + z ) (a 2 + z 2 )
(10)
Η (10), για z = 0 , δίνει τη µαγνητική επαγωγή στο κέντρο O(0, 0, 0) του πλαισίου
B(0) =
346
2µI
πa
(11)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
6.4 Ο χώρος µεταξύ δύο απείρου µήκους κυλίνδρων ακτίνων a και b (a > b) , πληρούται
µε µη µαγνητικό υλικό µαγνητικής διαπερατότητας µ0 .Ο κενός ύλης κύλινδρος ακτίνας b
τοποθετείται έκκεντρα στο εσωτερικό του κυλίνδρου ακτίνας a ενώ οι παράλληλοι άξονες
των δύο κυλίνδρων απέχουν απόσταση c . Αν δια του υλικού µεταφέρεται ρεύµα I , παράλληλο προς τους άξονες των κυλίνδρων και οµοιόµορφα διανεµηµένο πάνω σ’ όλη τη διατοµή,
να δειχτεί ότι η µαγνητική επαγωγή στο εσωτερικό του µικρού κυλίνδρου δίνεται από τη σχέση
B=
µ0cI
2π(a 2 − b 2 )
και διευθύνεται κάθετα προς το επίπεδο που περιλαµβάνει τους δύο άξονες. Επίσης, να βρεθεί η µαγνητική επαγωγή στα σηµεία τοµής του πιο πάνω επιπέδου µε την επιφάνεια του εξωτερικού κυλίνδρου.
y
a φ0
P
ρ ρ΄
φ
O΄
z
Α
O
c
b
Α΄
x
Σχήµα 6-8
Το υπό µελέτη πεδίο µπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την υπέρθεση των πεδίων
των ακόλουθων δύο ρευµατικών κατανοµών:
α) Πεδίο της οµοιόµορφης πυκνότητας ρεύµατος
J=
I
z0 ,
π(a − b 2 )
2
347
(1)
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
που διανέµεται στο εσωτερικό του κυλίνδρου x 2 + y 2 = a 2 και
β) πεδίο της οµοιόµορφης πυκνότητας ρεύµατος
J ′ = −J = −
I
z0 ,
π(a − b 2 )
2
(2)
που διανέµεται στο εσωτερικό του κυλίνδρου (x − c)2 + y 2 = b 2 .
Από την υπέρθεση των (1) και (2) είναι φανερό, ότι µέσα στον εσωτερικό κύλινδρο
δεν έχουµε ρεύµα.
Ας θεωρήσουµε, αρχικά, το πεδίο που οφείλεται στη ρευµατική κατανοµή (1). Στην
περίπτωση αυτή, σ’ ένα σηµείο P που απέχει από το κέντρο O απόσταση ρ , σύµφωνα µε
το νόµο του Ampère, έχουµε
B1 2πρ = µ0J πρ 2
(3)
ή
1
µ0J ρ ,
2
(4)
µ0
µ
J ρϕ0 = 0 J z 0 ×ρ ,
2
2
(5)
B1 =
και µε διανυσµατική µορφή
B1 =
όπου ϕ0 είναι το κάθετο στην ακτινική διεύθυνση ρ µοναδιαίο γωνιακό διάνυσµα.
Η µαγνητική επαγωγή B2 στο σηµείο P , που οφείλεται στη ρευµατική κατανοµή (2),
αντίστοιχα προς την (5), είναι
µ0
J z 0 ×ρ ′ ,
2
B2 = −
(6)
όπου ρ ′ η απόσταση από το κέντρο O′ .
Από την υπέρθεση των (5) και (6), προκύπτει η ζητούµενη µαγνητική επαγωγή στο
εσωτερικό του µικρού κυλίνδρου
B = B1 + B2 =
µ0 ⎡
J z0 ×(ρ − ρ ′)⎤⎦
2 ⎣
(7)
Η (7), επειδή για κάθε σηµείο P έχουµε
ρ − ρ ′ = cx 0 ,
γράφεται
348
(8)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
B=
µ0Jc
µ Jc
( z 0 ×x 0 ) = 0 y 0
2
2
(9)
Τέλος, αντικατάσταση της (1) στην (9) δίνει τη ζητούµενη σχέση
B=
µ0Ic
y0
2π(a 2 − b 2 )
(10)
Από την (10) παρατηρούµε ότι το πεδίο στο εσωτερικό του µικρού κυλίνδρου είναι
οµογενές.
Για το δεύτερο σκέλος της ερώτησης, χρειάζεται να υπολογίσουµε το πεδίο έξω από
τις δύο ρευµατικές κατανοµές. Έτσι για ρ > a , η µαγνητική επαγωγή που οφείλεται στην
πυκνότητα ρεύµατος (1), υπολογίζεται από τη
B1 2πρ = µ0 πa 2J ⇒ B1 =
µ0a 2
µ a 2J
J ϕ0 = 0
2ρ
2
⎛ xy0 − yx0 ⎞⎟
⎜⎜
⎟
⎝⎜ x 2 + y 2 ⎠⎟⎟
(11)
Ανάλογα, η B2 που οφείλεται στην κατανοµή (2), είναι
B2 = −
µ0b 2J
µ b 2J
ϕ0′ = − 0
2ρ ′
2
⎡ (x − c)y 0 − yx 0 ⎤
⎢
⎥
⎢ (x − c)2 + y 2 ⎥
⎣
⎦
(12)
Για τα σηµεία του επιπέδου y = 0 , από τις (11) και (12) έχουµε
B1 =
B2 = −
µ0a 2J
y0 ,
2x
(13)
µ0b 2J
y0
2(x − c)
(14)
και
B = B1 + B2 =
ή
B=
µ0J
2
2 ⎞
⎛a 2
⎜⎜ − b ⎟⎟ y
0
⎜⎝ x
x − c ⎠⎟⎟
2 ⎞
⎛a 2
µ0I
⎜⎜ − b ⎟⎟ y
0
2π(a 2 − b 2 ) ⎜⎝ x
x − c ⎠⎟⎟
(15)
(16)
Ειδικά για τα σηµεία τοµής A και A ′ , του επιπέδου y = 0 µε τον εξωτερικό κύλινδρο, από την (16) για x = ±a , προκύπτουν οι ακόλουθες εκφράσεις
BA =
⎛ b2
⎞
µ0I
⎜
− a ⎟⎟⎟ y 0
2
2 ⎜
⎜
2π(a − b ) ⎝a + c
⎠⎟
και
349
(17)
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
BA ′ =
6.5
2 ⎞
⎛
µ0I
⎜⎜a − b ⎟⎟ y
0
2π(a 2 − b 2 ) ⎜⎝
a − c ⎠⎟⎟
(18)
Αγωγός AB µήκους 2l , βρίσκεται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο και διαρρέεται από
ρεύµα I ′ . Κάθετα στο οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται αγωγός EE ′ άπειρου µήκους, που διαρρέεται από ρεύµα I . Η κοινή κάθετος των δύο ευθειών AB και EE ′ είναι η Ο∆ = α και
διέρχεται από το µέσο Ο της AB . Ζητείται να υπολογιστεί η ροπή που ασκείται πάνω στην
AB .
y
a
∆
Ι
θ
θ
r
r
dF
A
O
θ
Γ΄
Β
dF
Ι΄
Γ
Β
θ
B
x
x
x
l
l
dx
Σχήµα 6-9
Αρχικά, θεωρούµε τις δυνάµεις που ασκούνται σε δύο συµµετρικά ως προς το O
στοιχεία ρεύµατος I ′dx , που απέχουν από αυτό απόσταση x .
Έτσι, στο στοιχείο dx στο σηµείο Γ , έχουµε
d F1 = I ′(dx × B) = I ′dxB sin θz0 ,
(1)
όπου B είναι η µαγνητική επαγωγή στο σηµείο Γ . Αντίστοιχα, η δύναµη d F2 στο στοιχείο dx στο σηµείο Γ ′ , είναι
350
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
d F2 = −I ′dxB sin θz0
(2)
Από τις (1) και (2) παρατηρούµε ότι έχουµε ανάπτυξη δύο ίσων και αντίθετων δυνάµεων µέτρου
dF = dF1 = dF2 = I ′dxB sin θ
(3)
Η (3), µε αντικατάσταση των B και sin θ από τις σχέσεις
µI
µI
1
=
2
2πr
2π (x + a 2 )1 / 2
(4)
sin θ =
x
x
= 2
,
r
(x + a 2 )1 / 2
(5)
dF =
µII ′
x
dx
2
2π (x + a 2 )
(6)
B=
και
γράφεται
Η στοιχειώδης ροπή d T του ζεύγους των δυνάµεων d F1 και d F2 , είναι
d T = dF 2x (−y 0 )
ή, λόγω της (6),
dT =
µII ′ x 2
dx (−y 0 )
π x2 + a2
(7)
Με ολοκλήρωση της (7), από x = 0 έως x = l , προκύπτει η ζητούµενη ροπή
l
T = (−y0 )
µII ′ ⌠ x 2dx
µII ′ ⎡
x ⎤ x =l
=
−
−
(
y
)
arctan
x
a
⎢
⎥ ,
⎮
0
π ⌡0 x 2 + a 2
π ⎣⎢
a ⎦⎥ x =0
ή
T=
µII ′ ⎛
l⎞
⎜⎜l − a arctan ⎟⎟ (−y 0 )
⎝
π
a ⎠⎟
(8)
6.6 Ευθύγραµµος αγωγός κυκλικής διατοµής ακτίνας a , διαρρέεται από οµοιόµορφα διανεµηµένο ρεύµα I . Αν µ είναι η µαγνητική διαπερατότητα του υλικού του αγωγού, να βρεθεί η έκφραση της µηχανικής πίεσης, λόγω του µαγνητικού πεδίου του αγωγού, σε µια ακτινική απόσταση ρ .
351
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
B = B ϕ0
α
ρ
z0
dϕ
Ο
dρ
Σχήµα 6-10
Έστω ότι ο άξονας του αγωγού συµπίπτει µε τον άξονα z ενός συστήµατος κυλινδρικών συντεταγµένων (ρ, ϕ, z ) . Σύµφωνα µε το νόµο του Ampère, επειδή η πυκνότητα J
της έντασης του ρεύµατος (J = I /(πα2 )) είναι οµοιόµορφα διανεµηµένη πάνω σ’ όλη τη
διατοµή του αγωγού, σε µια ακτινική απόσταση ρ έχουµε
2πρH = J πρ 2 ⇒ H =
Jρ
I
=
ρ
2
2πα2
(1)
Η µαγνητική επαγωγή, λόγω της (1), είναι
B = µH =
µI
ρ ϕ0
2πα2
(2)
Αν, στη συνέχεια, θεωρήσουµε ένα ρευµατικό σωλήνα διατοµής (ρd ρdϕ) , το ρεύµα
που διέρχεται από αυτόν είναι
dI = J ρd ρdϕ =
I
ρd ρdϕ
πα 2
(3)
Η δύναµη d F που ασκείται σ’ ένα µήκος dl , του ρευµατικού αυτού σωλήνα σύµφωνα µε την (6.43) και τις (2) και (3) δίνεται από την
d F = dI (d l× B) =
=
µI
I
ρd ρdϕdl
ρ(z0 × ϕ0 )
2
πα
2πα 2
µI 2
ρd ρ(ρdϕdl )(−ρ0 )
2π 2 α 4
(4)
Από την (4) προκύπτει ότι η στοιχειώδης πίεση d p , που οφείλεται στο στοιχειώδη
αυτό ρευµατικό σωλήνα, είναι
352
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
dp =
dF
dF
µI 2
=
= − 2 4 ρd ρ ρ0
dS
ρdϕdl
2π α
(5)
Από την ολοκλήρωση της (5) από ρ = ρ έως ρ = α , προκύπτει η πίεση σε µια ακτινική απόσταση ρ του αγωγού
µI 2
2π 2 α 4
∫
α
ρd ρ ρ0 ,
(6)
µI 2
(α 2 − ρ 2 ) ρ0
4π 2 α 4
(7)
p=−
ρ
δηλαδή,
p=−
Παρατηρούµε, ότι η µηχανική πίεση p έχει κατεύθυνση προς το κέντρο του αγωγού,
τείνει δηλαδή να ελαττώσει τη διατοµή του (pinch effect).
6.7
Ο άξονας ενός κυκλικού αγώγιµου δίσκου πάχους t και ακτίνας R είναι παράλληλος
προς ένα οµοιόµορφο µαγνητικό πεδίο B . Ζητείται να υπολογιστεί η ροπή που ασκείται στο
δίσκο όταν ρεύµα I εισέρχεται από τον άξονά του και, διαχεόµενο ακτινικά, εξέρχεται οµοιόµορφα από την περιφέρειά του.
Η πυκνότητα του ρεύµατος J , σε µια ακτινική απόσταση ρ , σύµφωνα µε την εξίσωση της συνέχειας, είναι
J=
I
ρ0 ,
2πρt
όπου ρ0 είναι το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την ακτινική διεύθυνση.
Το ρεύµα dI , στο στοιχειώδη όγκο dV = ρd ρdϕt , είναι
353
(1)
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
z
B
I
dρ
J
dϕ
t
R
Σχήµα 6-11
dI = J ρd ϕt =
I
dϕ
2π
(2)
Στο στοιχειώδη όγκο dV ασκείται δύναµη d 2 F που, σύµφωνα µε την (6.43), είναι
d 2 F = dI ⋅ d ρ × B = dId ρB(−ϕ0 )
(3)
Η (3), λόγω της (2), γράφεται
IB
dϕd ρ ϕ0
2π
d2 F = −
(4)
Η ροπή της d 2 F ως προς τον άξονα είναι
d 2 T = d 2 F× (−ρ) =
IB
ρdϕd ρ( ϕ0 × ρ0 ) ,
2π
ή
d 2T = −
IB
ρd ρdϕ z0
2π
(5)
Με ολοκλήρωση της (5) στην επιφάνεια του δίσκου προκύπτει η ζητούµενη ροπή
T = (−z0 )
IB
2π
R
∫ ∫
0
2π
0
ρd ρdϕ ,
ή
1
T = − IBR 2 z0
2
(6)
Όπως παρατηρούµε η ροπή T τείνει να στρίψει το δίσκο κατά τη φορά του σχήµατος.
354
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
6.8
Ευθύγραµµος αγωγός αµελητέας διατοµής τοποθετείται στη θέση του άξονα z ενός
ορθογώνιου καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων. Αν ο αγωγός διαρρέεται από ρεύµα I ,
να δειχτεί ότι µια δυνατή έκφραση της συνάρτησης του διανυσµατικού µαγνητικού δυναµικού
A είναι η
A=−
µ0I
ln(x 2 + y 2 ) z0
4π
z
I
P(x , y, z )
R
dl
z
l
φ
y
ρ
x
Σχήµα 6-12
Λόγω του άπειρου µήκους του αγωγού αν επιχειρούσαµε να προσδιορίσουµε τη συνάρτηση του διανυσµατικού µαγνητικού δυναµικού A από την (6.41), θα είχαµε
∞
A=
µ0I ⌠ ∞ dl
µI ⌠
dl
z0 = 0 ⎮
z0
4π ⌡−∞ R
4π ⌡−∞ ⎡(z − l )2 + x 2 + y 2 ⎤ 1/ 2
⎣
⎦
(1)
Από τη µορφή, όµως, του ολοκληρώµατος (1) συµπεραίνουµε ότι η έκφραση (6.41)
δε µπορεί να χρησιµοποιηθεί στην περίπτωσή µας.
Μια δυνατή έκφραση του A µπορεί να προκύψει αν σκεφθούµε ως εξής: Το διανυσµατικό δυναµικό A , είναι προφανές ότι, είναι παράλληλο προς τον άξονα z και, λόγω
355
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
συµµετρίας, ανεξάρτητο των συντεταγµένων ϕ και z . Συνεπώς, η έκφρασή του είναι της
µορφής
A = A(ρ)z0
(2)
Από τη σχέση, όµως, ορισµού του A
B = ∇× A
(3)
και τη (2) έχουµε
B=−
∂A
ϕ0
∂ρ
(4)
Σύµφωνα, όµως, µε το νόµο του Ampère η µαγνητική επαγωγή ενός ευθύγραµµου
αγωγού δίνεται από την
B=
µ0I
ϕ0
2πρ
(5)
Από τις (4) και (5) προκύπτει η
µI
∂A
=− 0 ,
∂ρ
2πρ
(6)
που µε ολοκλήρωση δίνει τη ζητούµενη έκφραση
A=−
µ0I
µI
ln ρ = − 0 ln(x 2 + y 2 )
2π
4π
(7)
6.9 Σ’ ένα οµοιόµορφο µαγνητικό πεδίο H 0 = −H 0 z0 , εκτεινόµενο στον άπειρο κενό χώρο, εισάγεται “µαγνητική” σφαίρα ακτίνας R που το υλικό της έχει µαγνητική διαπερατότητα µ = µr µ0 . Να καθοριστεί το µαγνητικό πεδίο µέσα και έξω από τη σφαίρα.
Εφόσον στον θεωρούµενο χώρο δεν υφίστανται διανεµηµένα ρεύµατα, η ένταση του
µαγνητικού πεδίου H , µπορεί να προκύψει από την αρνητική κλίση ενός βαθµωτού µαγνητικού δυναµικού φm που πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace
∇2φm = 0 ,
356
(1)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
z
H0
P(r,θ,ϕ)
(1)
µ0
θ
R
O
(2)
µ = µr µ0
Σχήµα 6-13
και τις σχετικές οριακές συνθήκες.
Αν χρησιµοποιήσουµε το σύστηµα των σφαιρικών συντεταγµένων του σχήµατος και
λάβουµε υπόψη την υφιστάµενη συµµετρία ως προς τη γωνία ϕ , η (1) γράφεται
∇2φm =
∂ 2φm
∂φm ⎞⎟
∂ ⎛⎜
2 ∂φm
1
+
+ 2
⎟= 0
⎜sin θ
2
⎜
∂r
∂θ ⎠⎟
r ∂r
r sin θ ∂θ ⎝
(2)
Αν φ1m και φ2m είναι οι συναρτήσεις δυναµικού για τα σηµεία µέσα και έξω από τη
σφαίρα, αντίστοιχα, ακολουθώντας την ίδια πορεία µε εκείνην που ακολουθήσαµε στο αντίστοιχο ηλεκτροστατικό πρόβληµα (άσκηση 5.10), αναζητούµε εκφράσεις των φ1m και
φ2m της µορφής
⎛
B⎞
φ1m = ⎜⎜⎜Ar + 2 ⎟⎟⎟ cos θ + C
⎝
r ⎠
(r < R)
(3)
⎛
B ⎞
φ2m = ⎜⎜⎜A0r + 20 ⎟⎟⎟ cos θ + C 0
⎝
r ⎠
(r > R) ,
(4)
και
όπου A, B,C , A0 , B0 ,C 0 προσδιοριστέες σταθερές. Οι σταθερές αυτές πρέπει να είναι τέτοιες, ώστε να ικανοποιούνται οι παρακάτω οριακές συνθήκες:
α) Το δυναµικό φm να παίρνει πεπερασµένες τιµές στα θεωρούµενα σηµεία του χώρου.
β) Το δυναµικό φm να εµφανίζει συνεχή µεταβολή στη διαχωριστική επιφάνεια
r =R.
357
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
γ) Στα αποµακρυσµένα από τη σφαίρα σηµεία (r → ∞) το µαγνητικό πεδίο να παραµένει αδιατάρακτο (H2 = H0 ) .
δ) Η εφαπτοµενική συνιστώσα της µαγνητικής πεδιακής έντασης H και η κάθετη συνιστώσα της µαγνητικής επαγωγής B , να εµφανίζουν συνεχή µεταβολή στη διαχωριστική επιφάνεια της σφαίρας r = R .
Έτσι, από την πρώτη οριακή συνθήκη προκύπτει
B=0
(5)
Από τη δεύτερη οριακή συνθήκη, οι (3) και (4) για r = R , και αφού λάβουµε υπόψη
την (5), δίνουν
⎛
B ⎞
AR cos θ + C = ⎜⎜⎜A0R + 02 ⎟⎟⎟ cos θ + C 0
⎝
R ⎠
(6)
Για να ισχύει η (6) για οποιαδήποτε τιµή της γωνίας θ , πρέπει
C = C0
(7)
και
A = A0 +
B0
R3
(8)
Για r → ∞ , η (4) γράφεται
φ2m = A0r cos θ + C 0 = A0z + C 0 ,
(9)
οπότε, η µαγνητική πεδιακή ένταση H2 έχει την έκφραση
H2 = −∇φ2m = −
∂φ2m
z0 = −A0 z0
∂z
(10)
Από την (10) και την τρίτη οριακή συνθήκη
H2 = H 0 = −H 0 z 0 ,
(11)
A0 = H 0
(12)
προκύπτει
Τέλος, από τη συνέχεια των κάθετων συνιστωσών της µαγνητικής επαγωγής
(Bn1 = Bn2 ) για r = R , παίρνουµε
⎛ ∂φ1m ⎞⎟
⎛ ∂φ ⎞
= ⎜⎜µ0 2m ⎟⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜⎜µ
⎝ ∂r ⎠r =R ⎝⎜
∂r ⎠r =R
358
(13)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
ή
⎛
2B ⎞
µA cos θ = µ0 ⎜⎜⎜A0 − 30 ⎟⎟⎟ cos θ ,
⎝
R ⎠
(14)
⎛
2B ⎞
µA = µ0 ⎜⎜⎜A0 − 30 ⎟⎟⎟
⎝
R ⎠
(15)
δηλαδή,
Από το σύστηµα των εξισώσεων (8), (12) και (15) υπολογίζουµε τις σταθερές A και
B0
3µ0
H0
2µ0 + µ
(16)
µ0 − µ 3
R H0
2µ0 + µ
(17)
A=
και
B0 =
Αντικατάσταση των (5), (7), (12), (16) και (17) στις (3) και (4), δίνει τις ζητούµενες
εκφράσεις των δυναµικών µέσα και έξω από τη σφαίρα
φ1m =
και
3µ0
H 0r cos θ
2µ0 + µ
(r ≤ R)
3
⎡
⎛ R ⎞ µ − µ ⎤⎥
φ2m = ⎢⎢1 + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ 0
H r cos θ
⎝ r ⎠ 2µ0 + µ ⎥⎥⎦ 0
⎢⎣
(18)
(r ≥ R)
(19)
Οι αντίστοιχες εκφράσεις για την ένταση του µαγνητικού πεδίου είναι
H1 = −∇φ1m =
3µ0
H 0 (− cos θ r0 + sin θ θ 0)
2µ0 + µ
−3µ0
H 0 z0
=
2µ0 + µ
(20)
(r ≤ R)
και
3
⎡
⎛ R ⎞ µ − µ ⎥⎤
H2 = −∇φ2m = − ⎢⎢1 − 2 ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ 0
H cos θ r0
⎝ r ⎠ 2µ0 + µ ⎥⎦⎥ 0
⎣⎢
3
⎡
⎛ R ⎞ µ − µ ⎤⎥
H sin θ θ 0
+ ⎢⎢1 + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ 0
⎝ r ⎠ 2µ0 + µ ⎦⎥⎥ 0
⎣⎢
(21)
(r > R)
Ας παρατηρήσουµε ότι η (21) για r R , γράφεται
H 2 H 0 (− cos θ r0 + sin θ θ 0) = −H 0 z0 ,
όπως άλλωστε απαιτεί και η οριακή συνθήκη (11).
359
(22)
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
Η µαγνητική επαγωγή στους αντίστοιχους χώρους, είναι
και
B1 = µH1
(23)
B2 = µ0 H2 ,
(24)
όπου οι H1 και H2 δίνονται από τις (20) και (21), αντίστοιχα.
Μια ειδική περίπτωση που αξίζει ν’ αναφέρουµε είναι εκείνη όπου η µαγνητική διαπερατότητα µ του υλικού της σφαίρας είναι πολύ µεγαλύτερη από τη διαπερατότητα του
κενού (µ µ0 ) . Τότε, όπως βλέπουµε από την (20)
lim H 1 = 0
µ→∞
(25)
και
lim B1 = lim µH 1 = lim
µ →∞
µ →∞
µ →∞
−3µµ0
H 0 z0 = −3µ0H 0 z0
2µ0 + µ
(26)
δηλαδή, ενώ η ένταση του µαγνητικού πεδίου ουσιαστικά µηδενίζεται στο εσωτερικό της
σφαίρας, η µαγνητική επαγωγή παραµένει πεπερασµένη και µάλιστα έχει τιµή τρεις φορές
µεγαλύτερη από την τιµή που είχε πριν από την εισαγωγή της σφαίρας.
6.10 Μέσα σ’ ένα µέσο µε µαγνητική διαπερατότητα µ , υπάρχει οµοιόµορφο µαγνητικό
πεδίο H 0 = −H 0 z0 .
(α) Ζητείται να υπολογιστεί το πεδίο στα σηµεία του χώρου, όταν εισαχθεί σφαιρικός πυρήνας ακτίνας r1 και µαγνητικής διαπερατότητας µ1 , που περιβάλλεται από ένα σφαιρικό
στρώµα, εξωτερικής ακτίνας r2 και µαγνητικής διαπερατότητας µ2 .
(β) Να δειχτεί ότι όταν το µ βρίσκεται µεταξύ των µ1 και µ2 , για κατάλληλη εκλογή του λόγου του όγκου του πυρήνα προς τον όγκο του σφαιρικού στρώµατος, το εξωτερικό πεδίο παραµένει αµετάβλητο.
(γ) Για τον πιο πάνω λόγο των δύο όγκων, να αποδειχτεί ότι η ένταση του – οµοιόµορφου –
µαγνητικού πεδίου του πυρήνα, είναι µεγαλύτερη ή µικρότερη της H 0 , όταν το µ είναι µεγαλύτερο ή µικρότερο του µ1 , αντίστοιχα.
360
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
z
H0
P(r,θ,ϕ)
µ
µ2
µ1
θ
r1
(3)
(2)
(1)
r2
Σχήµα 6-14
α) Όπως και στην προηγούµενη άσκηση, έτσι και εδώ, επειδή δεν υπάρχουν διανεµηµένα ρεύµατα, θα προσδιορίσουµε τη συνάρτηση του βαθµωτού µαγνητικού δυναµικού
φm που ικανοποιεί την εξίσωση Laplace στους τρεις χώρους (1), (2) και (3) και τις οριακές
συνθήκες του προβλήµατος.
Έτσι, αν φ1m , φ2m και φ3m είναι οι συναρτήσεις του βαθµωτού µαγνητικού δυναµικού στις τρεις περιοχές (1), (2) και (3), αντίστοιχα, χρησιµοποιώντας το σύστηµα των
σφαιρικών συντεταγµένων του σχήµατος, εξετάζουµε, αν αυτές µπορούν να έχουν εκφράσεις της µορφής
⎛
B ⎞
φ1m = ⎜⎜⎜A1r + 21 ⎟⎟⎟ cos θ + C 1
⎝
r ⎠
⎛
B ⎞
φ2m = ⎜⎜⎜A2r + 22 ⎟⎟⎟ cos θ + C 2
⎝
r ⎠
(r ≤ r1 ) ,
(1)
(r1 ≤ r ≤ r1 )
(2)
(r ≥ r2 ) ,
(3)
και
⎛
B ⎞
φ3m = ⎜⎜⎜A3r + 23 ⎟⎟⎟ cos θ + C 3
⎝
r ⎠
όπου οι σταθερές A1, B1,C 1, A2 , B2 ,C 2 , A3 , B3 και C 3 θα ζητηθεί να προσδιοριστούν από
τις παρακάτω οριακές συνθήκες του προβλήµατος:
361
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
1) Το δυναµικό φ1m πρέπει να µην απειρίζεται σε κανένα σηµείο του σφαιρικού πυρήνα. Έτσι από την (1), για να έχει η φ1m πεπερασµένη τιµή για r = 0 , πρέπει να ισχύει η
B1 = 0
(4)
2) Το δυναµικό φm πρέπει να µην εµφανίζει ασυνέχειες στις οριακές επιφάνειες
r = r1 και r = r2 , πρέπει δηλαδή να ισχύουν οι
φ1m (r1 ) = φ2m (r1 )
(5)
φ2m (r2 ) = φ2m (r2 )
(6)
και
Από τις (1), (2), (3), (5) και (6) προκύπτουν οι σχέσεις
A1 +
B1
B
= A2 + 32 ,
3
r1
r1
(7)
A2 +
B2
B
= A3 + 33 ,
3
r2
r2
(8)
C1 = C 2 = C 3 = C
(9)
Η σταθερά C , µπορεί να εκλεγεί ίση µε µηδέν, αν πάρουµε για επιφάνεια αναφοράς
του µαγνητικού δυναµικού, το επίπεδο θ = π / 2 . Έτσι, λοιπόν, µπορούµε να πάρουµε
C1 = C 2 = C 3 = 0
(10)
Ας σηµειώσουµε, επίσης, ότι οι συνθήκες (5) και (6), επειδή H = −∇φ , διασφαλίζουν και την ισότητα των εφαπτοµενικών συνιστωσών της µαγνητικής πεδιακής έντασης
H στις δύο οριακές επιφάνειες.
3) Το πεδίο στα σηµεία του εξωτερικού χώρου (3) που απέχουν πάρα πολύ από την
αρχή των αξόνων (r → ∞) , πρέπει να παραµένει αµετάβλητο. Έτσι, από την (3) και την
(10) έχουµε
φ
3m
r →∞
= A3r cos θ = A3z
(11)
και συνεπώς
H3 = −∇φ3m = −
r →∞
r →∞
∂
(A3z )z0 = −A3 z0 = −H 0 z0 ,
∂z
δηλαδή
362
(12)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
A3 = H 0
(13)
4) Τέλος, από τη συνέχεια της κάθετης συνιστώσας της µαγνητικής επαγωγής στις
δύο διαχωριστικές επιφάνειες r = r1 (Bn1 = Bn2 ) και r = r2 (Bn2 = Bn3 ) έχουµε
⎛ ∂φ1m ⎞⎟
⎛ ∂φ ⎞
⎜⎜µ1
= ⎜⎜µ2 2m ⎟⎟⎟
⎟⎟
⎝⎜
⎠
∂r r =r1 ⎝⎜
∂r ⎠r =r2
(14)
⎛ ∂φ2m ⎞⎟
⎛ ∂φ ⎞
= ⎜⎜µ 3m ⎟⎟⎟
⎟
⎜⎜⎜µ2
⎟
⎝
∂r ⎠r =r2 ⎝⎜ ∂r ⎠r =r2
(15)
και
Με αντικατάσταση των (1), (2), (3) στις (14) και (15) προκύπτουν οι σχέσεις
⎛
⎛
2B ⎞
2B ⎞
µ1 ⎜⎜⎜A1 − 3 1 ⎟⎟⎟ = µ2 ⎜⎜⎜A2 − 32 ⎟⎟⎟
⎟
r1 ⎠
r2 ⎠⎟
⎝⎜
⎝⎜
(16)
⎛
⎛
2B ⎞
2B ⎞
µ2 ⎜⎜⎜A2 − 32 ⎟⎟⎟ = µ ⎜⎜⎜A3 − 3 3 ⎟⎟⎟
⎟
r2 ⎠
r2 ⎠⎟
⎝⎜
⎝⎜
(17)
και
Από το σύστηµα των εξισώσεων (7), (8), (13), (16) και (17) υπολογίζονται και οι τιµές των σταθερών A1, A2 , B2 και B3
9µ2 µr23
H0 ,
k1r13 + k2r23
(18)
A2 =
3µ(2µ2 + µ1 )r23
H0 ,
k1r13 + k2r23
(19)
B2 =
3µ(µ2 − µ1 )r13r23
H0
k1r13 + k2r23
(20)
(2µ2 + µ1 )(µ − µ2 )r26 + (µ2 − µ1 )(2µ2 + µ)r13r23
H0 ,
k1r13 + k2r23
(21)
A1 =
και
B3 =
όπου
k1 = 2(µ − µ2 )(µ2 − µ1 )
(22)
k2 = (2µ + µ2 )(2µ2 + µ1 )
(23)
και
363
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
Οι συναρτήσεις φ1m , φ2m και φ3m µετά τον προσδιορισµό των σταθερών A1, B1,C 1,
A2 , B2 ,C 2 , A3 , B3 ,C 3 είναι πλήρως καθορισµένες, η ένταση δε του πεδίου προκύπτει εύκο-
λα από τις (1), (2), (3) και την H = −∇φm
∂φ1m
1 ∂φ1m
r0 −
θ0
∂r
r ∂θ
= −A1 (cos θ r0 − sin θ θ 0) = −A1z0
H1 = −
∂φ2m
1 ∂φ2m
r0 −
θ0
∂r
r ∂θ
⎛
⎛
B ⎞
2B ⎞
= − ⎜⎜⎜A2 − 32 ⎟⎟⎟ cos θ r0 + ⎜⎜⎜A2 + 32 ⎟⎟⎟ sin θ θ 0
⎝
⎝
r ⎠
r ⎠
(24)
(r < r1 )
H2 = −
(25)
(r1 < r < r2 )
και
∂φ3m
1 ∂φ3m
r0 −
θ0
r ∂θ
∂r
⎛
⎛
2B ⎞
B ⎞
= − ⎜⎜⎜H 0 − 3 3 ⎟⎟⎟ cos θ r0 + ⎜⎜⎜H 0 + 33 ⎟⎟⎟ sin θ θ 0
⎝
⎠
⎝
r
r ⎠
H3 = −
(26)
(r > r2 )
β) Από την (26) γίνεται αµέσως φανερό, ότι για
B3 = 0 ,
(27)
H 3 = H 0 (− cos θ r0 + sin θ θ 0) = −H 0 z0 = H 0 ,
(28)
είναι
δηλαδή το εξωτερικό πεδίο παραµένει αµετάβλητο.
Η (27), λόγω της (21) ισχύει όταν
(2µ2 + µ1 )(µ − µ2 )r26 + (µ2 − µ1 )(2µ2 + µ)r13r23 = 0 ,
(29)
(µ1 + 2µ2 )(µ2 − µ) r13
,
=
(2µ2 + µ)(µ2 − µ1 ) r23
(30)
(µ2 − µ)(2µ2 + µ1 )
r3
4πr13 / 3
V
= 3 1 3 =
= 1 ,
3µ2 (µ − µ1 )
r2 − r1
4π(r23 − r13 )/ 3 V2
(31)
ή
ή
όπου V1 και V2 είναι οι όγκοι του πυρήνα και του σφαιρικού στρώµατος, αντίστοιχα. Για
να ισχύει η (31), πρέπει να είναι
364
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
µ2 − µ
>0,
µ − µ1
(32)
δηλαδή, η διαπερατότητα µ να βρίσκεται µεταξύ των µ1 και µ2 .
Ώστε, λοιπόν, για µ1 < µ < µ2 , ή, µ2 < µ < µ1 και εκλογή του λόγου των όγκων V1
και V2 από την (31), το εξωτερικό πεδίο παραµένει αµετάβλητο.
γ) Η σταθερά A1 , αν λάβουµε υπόψη την (30) και τις τιµές των k1 και k2 από τις
(22) και (23) έχει τιµή
A1 =
µ + 2µ2
H0
µ1 + 2µ2
(33)
Η ένταση του µαγνητικού πεδίου H1 στον σφαιρικό πυρήνα, αν αντικαταστήσουµε
την (33) στην (24), δίνεται από την
H1 = −
µ + 2µ2
H 0 z0
µ1 + 2µ2
(34)
Από την (34) διαπιστώνουµε εύκολα ότι: αν µ > µ1 , οπότε και (2µ2 + µ)/(2µ2 + µ1 ) > 1 ,
είναι H 1 > H 0 , ενώ αν µ < µ1 , οπότε (2µ2 + µ)/(2µ2 + µ1 ) < 1 , είναι H 1 < H 0 .
6.11 Ο χώρος στον οποίο εκτείνεται ένα µαγνητικό πεδίο αποτελείται από δύο µέσα µε µαγνητικές διαπερατότητες µ1 και µ2 , αντίστοιχα. Ηλεκτρικό ρεύµα έντασης I είναι παράλληλο προς τη διαχωριστική επιφάνεια z = 0 των δύο µέσων και απέχει από αυτήν απόσταση
h . Ζητείται να µελετηθεί το δηµιουργούµενο µαγνητικό πεδίο.
Θεωρούµε ότι το πεδίο στο χώρο (I), είναι ισοδύναµο µε το µαγνητικό πεδίο δύο παραλλήλων ρευµάτων I και I ′ που είναι τοποθετηµένα στα σηµεία P και P΄, µέσα σ’ ένα
µέσο µε διαπερατότητα µ1 . Επίσης, το πεδίο στο χώρο (II) θεωρείται ισοδύναµο µε το µαγνητικό πεδίο ενός ρεύµατος I ′′ , που τοποθετείται (παράλληλα προς τα I , I ′ ) στο σηµείο P µέσα σ΄ ένα µέσο µε µαγνητική διαπερατότητα µ2 .
365
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
z
(I)
µ1
I
Ι
h
y
z
(I)
P
h
x
h
µ2
(II)
(II)
Ι΄
P
θ
r
z
h
θ
x
Α
r
µ2
Ι΄΄
Η΄, Β΄ Η, Β
θ
θ
(I)
µ1
θ
r
(+)
Η΄΄, Β΄΄
θ
Α
x
µ2
µ1
P΄
(II)
Σχήµα 6-15
Τα ρεύµατα I ′ και I ′′ πρέπει να υπολογιστούν έτσι, ώστε στη διαχωριστική επιφάνεια z = 0 , να ικανοποιούνται οι εξής δύο οριακές συνθήκες:
α) Ισότητα των εφαπτοµενικών συνιστωσών H t1 και H t2 της έντασης του µαγνητικού πεδίου στα δύο µέσα.
β) Ισότητα των κάθετων συνιστωσών Bn1 και Bn2 της µαγνητικής επαγωγής στα
δύο µέσα.
Αν H, H ′, H ′′ και B, B′, B′′ είναι οι εντάσεις και οι µαγνητικές επαγωγές, σ’ ένα σηµείο A(x , 0, 0) της διαχωριστικής επιφάνειας, που δηµιουργούν τα ρεύµατα I , I ′, I ′′ , αντίστοιχα, τότε, για φορές αναφοράς των I , I ′, I ′′ κατά τον αρνητικό άξονα y έχουµε
H = H x x 0 + H z z0 = H (cos θ x 0 + sin θz0 ) =
I
(cos θ x0 + sin θz0 ) ,
2πr
H ′ = H x′x 0 + H z′z0 = H ′(− cos θ x0 + sin θz0 ) =
H ′′ = H x′′x 0 + H z′′z0 = H ′′(cos θ x0 + sin θz0 ) =
(1)
I′
(− cos θ x 0 + sin θz0 ) ,
2πr
(2)
I ′′
(cos θ x0 + sin θz0 )
2πr
(3)
Από τις (1), (2), (3) επειδή cos θ = h / r , sin θ = x / r και r = (h 2 + x 2 )1/ 2 , προκύπτουν οι εντάσεις H1 και H2 στο σηµείο A στα δύο µέσα (I) και (II) , αντίστοιχα
H1 = H + H ′ = H x 1x 0 + H z 1z0 =
1
⎡h(I − I ′) x 0 + x (I + I ′)z0 ⎤
⎦
2π(h + x 2 ) ⎣
2
(4)
και
H2 = H ′′ = H x 2 x 0 + H z 2 z0 =
1
(hI ′′x 0 + xI ′′z0)
2π(h + x 2 )
366
2
(5)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
Οι αντίστοιχες εκφράσεις της µαγνητικής επαγωγής, λόγω των (4) και (5), είναι
B1 = Bx 1x 0 + Bz 1z0 = µ1H1 =
µ1
⎡h(I − I ′) x 0 + x (I + I ′)z0 ⎤
⎦
2π(h 2 + x 2 ) ⎣
(6)
µ2
(hI ′′x 0 + xI ′′z0)
2π(h 2 + x 2 )
(7)
και
B2 = Bx 2 x0 + Bz 2 z0 = µ2 H2 =
Από την πρώτη οριακή συνθήκη, επειδή H t1 = H x 1 και H t2 = H x 2 , και τις (4) και
(5), παίρνουµε
Hx1 = Hx2 ,
(8)
I − I ′ = I ′′
(9)
δηλαδή
Επίσης, από τη δεύτερη οριακή, επειδή Bn1 = Bz 1 και Bn2 = Bz 2 , και τις (6) και (7),
έχουµε
Bz 1 = Bz 2 ,
(10)
µ1 (I + I ′) = µ2I ′′
(11)
δηλαδή,
Από την επίλυση του συστήµατος των (9) και (11) προκύπτουν οι τιµές των εικονικών
ρευµάτων I ′ και I ′′
I′ =
µ2 − µ1
I
µ1 + µ2
(12)
I ′′ =
2µ1
I
µ1 + µ2
(13)
και
6.12 Ο χώρος στον οποίο εκτείνεται ένα µαγνητικό πεδίο διαχωρίζεται από δύο κάθετα ηµιεπίπεδα στα δύο τµήµατα Ι και ΙΙ του σχήµατος. Το τµήµα ΙΙ πληρούται µε σιδηροµαγνητικό
υλικό πολύ µεγάλης µαγνητικής διαπερατότητας (µ µ0 ) . Στο τµήµα Ι (αέρας) είναι τοποθετηµένος ευθύγραµµος αγωγός, παράλληλος προς τα δύο επίπεδα, που διαρρέεται από ρεύµα
I . Ζητείται να υπολογιστεί η δύναµη που ασκείται ανά µονάδα µήκους του αγωγού.
367
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
y
II: µ >> µ0
I: µ0
a
a
Ι2 = Ι
r0
Ι1 = Ι
(1)
(2)
r
b
θ
x
r
b
(4)
(3)
Ι4 = Ι
Ι3 = Ι
Σχήµα 6-16
Από την προηγούµενη άσκηση, για µ1 = µ0 και µ2 = µ , η τιµή του κατοπτρικού
ρεύµατος I ′ είναι
I′ =
µ − µ0
I
µ + µ0
(1)
ή, επειδή µ µ0 ,
I′ =I
(2)
Το µαγνητικό πεδίο, συνεπώς, στο χώρο (I) , είναι ισοδύναµο µε το πεδίο των τεσσάρων ευθύγραµµων αγωγών 1, 2, 3 και 4 που είναι τοποθετηµένοι στις θέσεις του σχήµατος, διαρρέονται από το ίδιο ρεύµα I , και βρίσκονται σ’ ένα µέσο µαγνητικής διαερατότητας µ0 .
Η ζητούµενη δύναµη
F = Fx x 0 + Fy y 0 ,
(3)
που ασκείται στον αγωγό (1), υπολογίζεται από την υπέρθεση των τριών δυνάµεων F12 , F13
και F14 που ασκούν στον αγωγό (1) οι τρεις αγωγοί 2, 3 και 4 , αντίστοιχα. Οι δυνάµεις
368
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
αυτές, επειδή όλα τα ρεύµατα είναι οµόρροπα, είναι ελκτικές, σύµφωνα δε µε τη σχέση
(6.47) δίνονται από τις
F12 = −
µ0I 2
x0 ,
4πa
µ0I 2
µ I2
r0 = − 0 (cos θx 0 + sin θ y 0 )
4πr
4πr
b ⎞
I2
µ0I 2 ⎛a
⎜ x 0 + y 0 ⎟⎟ = −µ0
(ax 0 + by 0 ),
=−
4πr ⎜⎝ r
4π(a 2 + b 2 )
r ⎠⎟
(4)
F13 = −
(5)
και
F14 = −
µ0I 2
y0
4πb
(6)
Από τις (4), (5) και (6) προκύπτει
F = F12 + F13 + F14
= −µ0
⎛1
I 2 ⎡⎛⎜ 1
a ⎞⎟
b ⎞⎟ ⎤
⎢⎜ + 2
⎟⎟ x 0 + ⎜⎜⎜ + 2
⎟y ⎥
2
⎜
⎝b a + b 2 ⎠⎟ 0 ⎥⎦
4π ⎢⎣⎝a a + b ⎠
(7)
Στην περίπτωση όπου a = b η (7) γράφεται
F = −µ0
3I 2
3 2I 2
(x 0 + y0 ) = −µ0
r0
8πa
8πa
369
(8)
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
6.11 Ασκήσεις
6/1 Επίπεδο κύκλωµα συνίσταται από συρµάτινο αγωγό που το σχήµα του ορίζεται – σε
πολικές συντεταγµένες – από τις εξισώσεις:
και
ρ =a
για
0≤ϕ ≤π,
ρ cos ϕ = −a
για
π ≤ ϕ ≤ 3π / 2
ρ cos ϕ = a
για
3 π / 2 ≤ ϕ ≤ 2π
Ζητείται η εύρεση της έντασης H του µαγνητικού πεδίου στην αρχή των συντεταγµένων, αν το κύκλωµα διαρρέεται από το ρεύµα I µε τη φορά (ανθωρολογιακή) του σχήµατος 6-17.
y
Ι
a
z
φ
x
Ι
Ι
Σχήµα 6-17
6/2 ∆ύο όµοια κυκλικά πηνία ακτίνας a = 1 m και αριθµού ελιγµάτων n = 100 το καθένα, τοποθετούνται σε απόσταση d = 1 m µε τους άξονές τους να συµπίπτουν. Αν τα πηνία
διαρρέονται από ρεύµα έντασης I = 10 Α της ίδιας φοράς, να υπολογιστεί και σχεδιαστεί
γραφικά η µεταβολή της έντασης του µαγνητικού πεδίου στο τµήµα του άξονα που περιορίζεται µεταξύ των δύο πηνίων.
Επίσης, να γίνει σύγκριση της έντασης του συστήµατος των δύο πηνίων µε την ένταση του µαγνητικού πεδίου ενός µόνο οµοαξονικού πηνίου ( n = 100 , a = 1 m) που διαρρέ370
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
εται από ρεύµα I ′ και είναι τοποθετηµένο στο µέσο µεταξύ των δύο πηνίων της προηγούµενης περίπτωσης.
Ποια πρέπει να είναι η τιµή του ρεύµατος που διαρρέει το πηνίο αυτό, ώστε η τιµή
της έντασης του µαγνητικού πεδίου στο κέντρο του να είναι η ίδια µε την τιµή της έντασης
του συστήµατος των δύο πηνίων στο ίδιο σηµείο;
Τέλος, να υπολογιστεί η µέγιστη ( H max )και η ελάχιστη ( H min ) τιµή της έντασης του
µαγνητικού πεδίου καθώς επίσης και ο λόγος (H max − H min )/ H max , στις δύο περιπτώσεις.
a
I
I΄
I
z
d/2
z=0
d/2
d
Σχήµα 6-18
6/3 ∆ίνεται ένα πηνίο µήκους l , που αποτελείται από N οµοαξονικές κυκλικές σπείρες
ακτίνας a , διαρρεόµενες από το ίδιο ρεύµα I . Οι σπείρες είναι παράλληλες και τυλιγµένες έτσι, ώστε να εφάπτονται µεταξύ τους. Ζητείται ο υπολογισµός της µαγνητικής επαγωγής στα σηµεία του θετικού ηµιάξονα z .
371
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
x
l
a
O
z
y
Σχήµα 6-19
6/4 ∆ύο ελικοειδή σφικτά τυλιγµένα επίπεδα πηνία βρίσκονται µε τα κέντρα τους στον ίδιο άξονα σε παράλληλα επίπεδα που απέχουν απόσταση d µεταξύ τους. Τα πηνία έχουν
ακτίνα a (a d ) και διαρρέονται από ρεύµα I της ίδιας φοράς. Ζητείται να βρεθεί – συναρτήσει της γωνίας ϕ – το διάνυσµα της έντασης του µαγνητικού πεδίου στα σηµεία του
επιπέδου που ισαπέχει από τα επίπεδα των δύο πηνίων.
z
2a
I
y
θ
d/2
z
I
2a
d/2
θ
I
2a
Σχήµα 6-20
372
x
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
6/5 Να δειχτεί ότι η µαγνητική επαγωγή B σ’ ένα εσωτερικό σηµείο P του άξονα ενός
οµοιόµορφου σωληνοειδούς δίνεται από τον τύπο
B = µ0
⎛
⎞
⎜⎜1 − Ω1 + Ω2 ⎟⎟ ,
⎜⎝
4π ⎠⎟
NI
l
όπου Ω1 και Ω2 είναι οι στερεές γωνίες µε τις οποίες φαίνονται από το σηµείο P η πάνω
και η κάτω βάση του σωληνοειδούς, l είναι το µήκος του και N είναι ο αριθµός των ελιγµάτων του.
a
Ω1
P
l
Ω2
Σχήµα 6-21
6/6 Ηλεκτρικό ρεύµα διαρρέει λεπτή λωρίδα άπειρου µήκους. Το ρεύµα κυκλοφορεί κάθετα προς το επίπεδο του σχήµατος 6-22. Αν d είναι το πάχος της λωρίδας και J η πυκνότητα της έντασης του ρεύµατος, ζητούνται:
(α) Να υπολογιστεί η µαγνητική επαγωγή B σ’ ένα σηµείο O του χώρου. Να γίνει εφαρµογή για d = 1 mm και J = 5 Α/mm2.
373
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
(β) Όταν η λωρίδα περιορισθεί στο τετράπλευρο AA ′BB′ , όπου AA ′ = 2b = 40 cm και
OC = a = 2 cm, µε ποιά εκατοστιαία απόκκλιση η µαγνητική επαγωγή που υπολογίστηκε
στο προηγούµενο ερώτηµα, εκφράζει την πραγµατική τιµή της µαγνητικής επαγωγής στη
δεύτερη περίπτωση;
A
B
ω
b
C
O
a
b
B΄
Α΄
d
Σχήµα 6-22
6/7
Απέραντος ευθύγραµµος αγωγός διαρρέεται από ρεύµα I 1 . Στο ίδιο επίπεδο µε τον
αγωγό, υπάρχει αγώγιµο πλαίσιο που διαρρέεται από ρεύµα I 2 . Να βρεθεί η δύναµη που
ασκείται πάνω στο πλαίσιο για τις τρεις περιπτώσεις (α), (β), (γ) του σχήµατος 6-23.
374
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
I2
I2
I1
I1
a
I1
a
b
a
I2
a
c
a
c
c
x0
x0
(α)
x0
(β)
(γ)
Σχήµα 6-23
6/8
Απέραντος ευθύγραµµος αγωγός, διαρρεόµενος από ρεύµα I , συµπίπτει µε τον ά-
ξονα z ενός ορθογώνιου συστήµατος συντεταγµένων. Η φορά του ρεύµατος του αγωγού
είναι κατά τα αρνητικά z . Ζητείται να υπολογιστεί η δύναµη που ασκείται στον ευθύγραµµο αγωγό P1P2 , µήκους l , που διαρρέεται από ρεύµα I 1 . ∆ίνεται ότι ο αγωγός βρίσκεται στο επίπεδο Oxy , είναι παράλληλος προς τον άξονα x και απέχει από αυτόν απόσταση h (σχήµα 6-24).
y
I1
P1
P2
l
h
z
x
I
Σχήµα 6-24
375
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
6/9
Ο βρόχος του σχήµατος 6-25 αποτελούµενος από το τόξο ΒΚΑ ακτίνας a και το
ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ , διαρρέεται από ρεύµα I . Ο βρόχος αναρτάται από το σηµείο Κ
έτσι ώστε το επίπεδό του να είναι κάθετο προς το ρεύµα I ′ ενός ευθύγραµµου αγωγού άπειρου µήκους στο κέντρο O . Να δειχτεί ότι η ως προς το σηµείο Κ ροπή είναι
TΚ =
µ0
aII ′(sin θ − θ cos θ) ,
π
Επίσης, να δειχτεί ότι η ροπή είναι ίδια και ως προς οποιοδήποτε άλλο σηµείο του επιπέδου βρόχου.
y
C
I
B
K
I΄
O θ
x
a
A
Σχήµα 6-25
6/10 Να δεχτεί ότι το διανυσµατικό µαγνητικό δυναµικό A µιας γραµµής µεταφοράς δύο
αγωγών που είναι παράλληλοι προς τον άξονα z και διαρρέονται από ρεύµα I , µπορεί να
δίνεται από τη σχέση
A=
µ0I
ρ
ln 2 z0 ,
2π
ρ1
όπου ρ1 είναι η απόσταση από τον αγωγό στον οποίο το ρεύµα I κατευθύνεται προς τα
θετικά z και ρ2 η απόσταση από τον άλλο αγωγό.
376
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
6/11 Ένας απέραντος αγωγός πολύ µεγάλης µαγνητικής διαπερατότητας (µ µ0 ) , έχει
ελλειπτική διατοµή, που το όριό της καθορίζεται από την εξίσωση της έλλειψης
(x / a )2 + (y / b)2 = 1 . Κάνοντας την υπόθεση ότι όλη η µαγνητική ροή περιορίζεται στο
εσωτερικό του αγωγού, να υπολογιστεί το διανυσµατικό µαγνητικό δυναµικό A µέσα στον
αγωγό, όταν αυτός διαρρέεται από ρεύµα οµοιόµορφης πυκνότητας J (Α/m2).
6/12 Αν είναι γνωστό ότι το βαθµωτό µαγνητικό δυναµικό φm ενός κυκλικού βρόχου,
που διαρρέεται από ρεύµα I , δίνεται από τη σχέση
φm =
I
Ω,
4π
όπου Ω είναι η στερεά γωνία µε την οποία φαίνεται ο κυκλικός βρόχος από το θεωρούµενο
σηµείο, να υπολογιστεί το βαθµωτό µαγνητικό δυναµικό φm σε µια κατακόρυφη απόσταση
z από το κέντρο ενός οριζόντιου κυκλικού βρόχου ακτίνας a .
6/13 Σ’ ένα οµοιόµορφο µαγνητικό πεδίο H0 = −H 0 y 0 , εκτεινόµενο στον άπειρο κενό
χώρο, εισάγεται κυλινδρικό κέλυφος πολύ µεγάλου µήκους (σχήµα 6-26). Το υλικό του έχει µαγνητική διαπερατότητα µ = µr µ0 . Αν ρ1 και ρ2 είναι η εσωτερική και η εξωτερική
ακτίνα του κελύφους, αντίστοιχα, ζητείται:
(α) Να υπολογιστεί η ένταση H1 του µαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του κυλινδρικού
κελύφους.
(β) Αν ρ2 = 1, 3ρ1 και µr = 500 , να βρεθεί ο λόγος H 1 / H 0 . Τι παρατηρείτε σχετικά µε
τη µαγνητική θωράκιση που παρέχει ο κύλινδρος όταν µr → ∞ ;
377
ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ
y
H0 = -H0y0
µ0
µ
µ0
O
ρ1
ρ2
x
Σχήµα 6-26
6/14 Ευθύγραµµος αγωγός, πολύ µεγάλου µήκους, διαρρέεται από ρεύµα I . Ο αγωγός
είναι τοποθετηµένος πάνω στην επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια δύο µέσων (1) και (2) µε
µαγνητικές διαπερατότητες µ1 και µ2 , αντίστοιχα. Να υπολογιστεί η ένταση του µαγνητικού πεδίου και η µαγνητική επαγωγή στα δύο µέσα.
378

Download Report