ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΩΜΑ ΚΥΒΕΝΤΙΔΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2007 ii Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από το συγγραφέα . ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ ∙ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν.Σερρών. ∙ Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν.Σερρών και εγγράφηκε στο Τμήμα Μαθηματικών του Α.Π.Θ. ∙ Πήρε το πτυχίο των Μαθηματικών το 1969 . ∙ Αναγορεύτηκε διδάκτορας στο Τμήμα Μαθηματικών του Α.Π.Θ. το 1979 και από το 1972 μέχρι σήμερα εργάζεται σ’αυτό . ISBN : 978-960-8183-67-4 Copyright ã 2007 ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ (Απαγορεύεται η ολική ή μερική ανατύπωση με οποιοδήποτε μέσο χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα .) iii << ʿˈΕν τo σοφόν ‧ επίστασθαι γνώμην οτέη εκυβέρνησε πάντα δια πάντων . >> [ Ένα είναι το σοφό‧ να κατέχεις τη σκέψη που κυβερνάει όλα δια μέσου όλων . ] (540 – 480 π.Χ. ) iv Αφιερώνεται στη μνήμη του θείου μου Θωμά Κυβεντίδη v Στο βιβλίο αυτό παρουσιάζονται βασικά θέματα του ολοκληρωτικού λογισμού συναρτήσεων πολλών μεταβλητών και της διανυσματικής ανάλυσης . Θεμελιώνονται οι ορισμοί του διπλού και του τριπλού ολοκληρώματος , και αναφέρονται οι βασικές ιδιότητές τους . Περιγράφεται η μέθοδος της αλλαγής των μεταβλητών στο διπλό και στο τριπλό ολοκλήρωμα . Αναπτύσσεται η έννοια του γενικευμένου πολλαπλού ολοκληρώματος (κυρίως του διπλού ολοκληρώματος) και δίνονται οι βασικές ιδιότητές τους. Αναφέρονται θέματα της διανυσματικής ανάλυσης , οι τελεστές (κλίση , απόκλιση , στροφή) , τα επικαμπύλια ολοκληρώματα , τα συντηρητικά πεδία και το τύπος του Green , τα επιεπιφάνεια ολοκληρώματα και οι τύποι του Gauss και του Stokes . Στο βιβλίο περιέχονται αναλυτικά παραδείγματα και στο τέλος κάθε κεφαλαίου δίνονται ασκήσεις με τις απαντήσεις τους . Θεσσαλονίκη , 2007 Θ. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ vi vii Εισαγωγή ……………………………………………………………...1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΤΟ ΔΙΠΛΟ ΚΑΙ ΤΟ ΤΡΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1. Ορισμός του διπλού ολοκληρώματος και οι ιδιότητές του …….. 6 2. Υπολογισμός του διπλού ολοκληρώματος – Θεώρημα του Fubini ………………………………………… 24 3. Αλλαγή μεταβλητών στο διπλό ολοκλήρωμα ……………………41 4. Το τριπλό ολοκλήρωμα – Θεώρημα του Fubini ……………….. 54 5. Αλλαγή μεταβλητών στο τριπλό ολοκλήρωμα …………………. 65 6. Ασκήσεις …………………………………………………………74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΟ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1. Ορισμός του γενικευμένου διπλού (τριπλού) ολοκληρώματος …81 2. Κριτήρια σύγκρισης ……………………………………………. 93 3. Ασκήσεις ……………………………………………………….. 99 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ − ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ GREEN 1. Καμπύλη και μήκος τόξου καμπύλης ………………………… 103 2. Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα αριθμητικής συνάρτησης …………107 3. Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα διανυσματικής συνάρτησης ………114 3.1. Διαφορικοί τελεστές (κλίση , απόκλιση , στροφή) ………. 121 3.2. Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ανεξάρτητο της καμπύλης ολοκλήρωσης – Συντηρητικά πεδία ………………………123 4. Θεώρημα του Green – Τύπος του Green ……………………. 132 5. Ασκήσεις ……………………………………………………….145 viii ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΟ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ GAUSS – ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ STOKES 1. 2. 3. 4. 5. 6. Επιφάνειες με παραμετρική μορφή – Εμβαδόν επιφάνειας…… 151 Επιεπιφάνειο ολοκλήρωμα αριθμητικής συνάρτησης …………161 Επιεπιφάνειο ολοκλήρωμα διανυσματικής συνάρτησης ………166 Θεώρημα του Gauss – Τύπος του Gauss …………………..... 178 Θεώρημα του Stokes – Τύπος του Stokes ……………………. 193 Ασκήσεις ………………………………………………………211 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι. Θεωρητικές Ασκήσεις ……………………………………….. 217 ΙΙ. Συνοπτική παρουσίαση βασικών εννοιών και τύπων ………… 219 ΙΙΙ. Βασικές επιφάνειες δευτέρου βαθμού ……………………….. 223 IV. Τυπολόγιο εφαρμογών ……………………………………….. 225 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ……………………………………………… 227 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ …………………………………………. 228
© Copyright 2024 Paperzz
