Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 2012
Κεφάλαιο 2
Το Υπόδειγµα του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού
Ιστορικά, το υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού προϋπήρχε του υποδείγµατος του
Solow. Το υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού οφείλεται στον Ramsey (1928), ο οποίος
είχε στόχο να αναλύσει τη βέλτιστη αποταµιευτική συµπεριφορά ενός νοικοκυριού µε µεγάλο
χρονικό ορίζοντα. Οι µαθηµατικές τεχνικές του Ramsey όµως δεν ήταν προσιτές την εποχή εκείνη
στην πλειοψηφία των οικονοµόλογων, και ως εκ τούτου, το υπόδειγµα του Ramsey παρέµεινε στην
αφάνεια για πολλά χρόνια. Επανήλθε στο προσκήνιο στη δεκαετία του 1960, µε τις εργασίες των
Cass (1965) και Koopmans (1965).
Η τεχνολογία και η διάρθρωση των αγορών στο υπόδειγµα των Ramsey-Cass-Koopmans (εφεξής
υπόδειγµα του Ramsey) είναι αντίστοιχη µε τις υποθέσεις που κάναµε στο υπόδειγµα του Solow.
Εκεί που αλλάζουν τα πράγµατα είναι στον προσδιορισµό των αποταµιεύσεων. Αντί για το σταθερό
και εξωγενές ποσοστό αποταµιεύσης του υποδείγµατος του Solow, στο υπόδειγµα του Ramsey οι
αποταµιεύσεις προσδιορίζονται ως αποτέλεσµα της βέλτιστης διαχρονικής συµπεριφοράς του
αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού. Κατά συνέπεια, η αποταµιευτική συµπεριφορά εξαρτάται από τις
προτιµήσεις του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού (ποσοστό διαχρονικής προτίµησης και
διαχρονικής υποκατάστασης) και την τεχνολογία της παραγωγής που προσδιορίζει το πραγµατικό
επιτόκιο.
Το υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού είναι θεωρητικά πιο ικανοποιητικό από το
υπόδειγµα του Solow καθώς βασίζεται σε παραµέτρους που σχετίζονται µε τις προτιµήσεις των
νοικοκυριών και την τεχνολογία της παραγωγής, και όχι σε ένα εξωγενές ποσοστό αποταµίευσης.
Επί πλέον, καθώς η βασική µορφή του υποδείγµατος υποθέτει πλήρεις και ανταγωνιστικές αγορές,
το υπόδειγµα αυτό προσδιορίζει την κοινωνικά βέλτιστη αποταµιευτική συµπεριφορά, µε την
έννοια της µεγιστοποίησης της κοινωνικής ευηµερίας.
Σε αντίθεση µε το υπόδειγµα του Solow, στο υπόδειγµα του Ramsey το ποσοστό αποταµίευσης δεν
είναι σταθερό, αλλά συνάρτηση της έντασης του κεφαλαίου. Δεδοµένου ότι το µέσο ποσοστό
αποταµίευσης είναι ο καθοριστικός παράγων για τον προσδιορισµό επιπέδων ισορροπίας του κατά
κεφαλήν εισοδήµατος και των άλλων κατά κεφαλήν µεγεθών στην ισορροπία, το γεγονός ότι το
ποσοστό αποταµίευσης προσδιορίζεται κατά βέλτιστο τρόπο, έχει ιδιαίτερη σηµασία. Για
παράδειγµα, στο υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού δεν µπορεί να υπάρχει µη
αποτελεσµατική υπερ-αποταµίευση, όπως στο υπόδειγµα του Solow. Εξ ορισµού, το
αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό επιλέγει το βέλτιστο επίπεδο αποταµιεύσεων, µε τρόπο που δεν
επιδέχεται περαιτέρω βελτίωση.
Ωστόσο, και το υπόδειγµα αυτό είναι ένα υπόδειγµα εξωγενούς µεγέθυνσης, όπως και το υπόδειγµα
του Solow, και µε την έννοια αυτή, δεν εξηγεί αλλά υποθέτει τη διαδικασία της τεχνολογικής
προόδου που προσδιορίζει το µακροχρόνιο ρυθµό µεγέθυνσης. Όπως και µε το υπόδειγµα του
Solow, αυτό που εξηγεί το υπόδειγµα του Ramsey είναι η δυναµική συµπεριφορά της οικονοµίας
κατά τη διάρκεια της σύγκλισης προς την µακροχρόνια ισορροπία.
Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 2012
2.1 Ορισµοί
Όπως και στο υπόδειγµα του Solow, επικεντρωνόµαστε σε τέσσερεις µεταβλητές: Το συνολικό
προϊόν (Υ), το συνολικό φυσικό κεφάλαιο (K), τον αριθµό των εργαζοµένων (L), και την
αποδοτικότητα της εργασίας (A). Ο ρυθµός αύξησης του αριθµού των εργαζοµένων (n) θεωρείται
εξωγενής, όπως και ο ρυθµός αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας (g). Προκειµένου να
απλοποιήσουµε τα πράγµατα, θα υποθέσουµε επίσης ότι το ποσοστό απόσβεσης δ ισούται µε το
µηδέν.
Οι ορισµοί των µεταβλητών συνοψίζονται ως εξής:
Y
K
L
A
t
n
g
Η
Συνολικό Προϊόν
Συνολικό (Φυσικό) Κεφάλαιο
Αριθµός Εργαζοµένων (συνολικός πληθυσµός της οικονοµίας)
“γνώση”, ή “αποδοτικότητα της εργασίας”
χρόνος (θεωρείται συνεχής µεταβλητή)
ποσοστό αύξησης του συνολικού πληθυσµού (εξωγενές)
ποσοστό αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας (εξωγενές)
αριθµός νοικοκυριών
2.2 Συνάρτηση Παραγωγής
Σε κάθε χρονική στιγµή, η οικονοµία έχει κάποιο απόθεµα κεφαλαίου, εργασίας και “γνώσης”, που
συνδυάζονται προκειµένου να υπάρχει παραγωγή. Η συνάρτηση παραγωγής έχει τη µορφή,
Y(t) = F( K(t), A(t)L(t) )
(2.1)
Η συνάρτηση παραγωγής χαρακτηρίζεται από σταθερές αποδόσεις κλίµακας, οπότε µπορεί να
γραφεί ως
y(t) = f(k(t))
(2.2)
όπου
y = Y/AL
k = K/AL
f(k) = F(k, 1)
προϊόν ανά µονάδα αποδοτικής εργασίας
κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικής εργασίας
συνάρτηση παραγωγής ανά µονάδα αποδοτικής εργασίας
Η συνάρτηση παραγωγής έχει όλες τις ιδιότητες που υποθέσαµε και στο υπόδειγµα του Solow (βλ.
Κεφ. 1).
2.3 Συνάρτηση Χρησιµότητας Νοικοκυριού
Όλα τα νοικοκυριά στην οικονοµία αυτή είναι πανοµοιότυπα. Μπορούµε συνεπώς να
επικεντρωθούµε στη συµπεριφορά ενός µόνο από αυτά, του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού.
2
Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 2012
Η συνάρτηση χρησιµότητας του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού εξαρτάται από το ύψος της κατά
κεφαλήν κατανάλωσής του. Το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό έχει άπειρο χρονικό ορίζοντα και
µεγιστοποιεί τη διαχρονική συνάρτηση χρησιµότητας,
U=
∫
e − ρt u(C(t)) L(t) dt
t= 0
H
∞
(2.3)
όπου,
C(t)
u
ρ
Η
κατανάλωση κατά κεφαλήν
στιγµιαία συνάρτηση χρησιµότητας
ποσοστό προεξόφλησης, ή διαχρονικής προτίµησης (εξωγενές)
αριθµός νοικοκυριών
Η στιγµιαία συνάρτηση χρησιµότητας παίρνει τη µορφή,
U(C(t)) =
C(t)1−θ
1− θ
θ > 0, ρ-n-(1-θ)g > 0
(2.4)
Αυτή η συναρτησιακή µορφή, µε τις επιπλέον υποθέσεις που κάνουµε, απαιτείται προκειµένου η
οικονοµία να συγκλίνει σε µία ισόρροπη πορεία ανάπτυξης. Η (2.4) είναι γνωστή ως η συνάρτηση
χρησιµότητας σταθερής σχετικής απέχθειας στον κίνδυνο, όπου,
θ
1/θ
συντελεστής σχετικής απέχθειας στον κίνδυνο
ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης της κατανάλωσης
Η κατανάλωση ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας ορίζεται ως,
c(t) = C(t)/A(t)
Κατά συνέπειαν,
C(t) = c(t)A(t)
(2.5)
Αντικαθιστώντας την εξίσωση (2.5) στην εξίσωση (2.4) και την προκύπτουσα εξίσωση στην
εξίσωση (2.3), λαµβάνοντας υπόψη ότι A(t) και L(t) αυξάνονται µε εξωγενείς ρυθµούς g και n
αντίστοιχα, καταλήγουµε στην ακόλουθη διαχρονική συνάρτηση χρησιµότητας του
αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού,
1−θ
e − β t c(t) dt
t =0
1− θ
U = Β∫
∞
(2.6)
όπου, Β ≡ Α(0)1−θ L(0)/H, και β = ρ-n-(1-θ)g > 0.
Το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό µεγιστοποιεί την (2.6), υπό τον περιορισµό ότι η συσσώρευση
του φυσικού κεφαλαίου ανά µονάδα αποδοτικής εργασίας προσδιορίζεται από την διαφορά µεταξύ
της συνολικής αποταµίευσης από την επένδυση ισορροπίας.
3
Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 2012
2.4 Συσσώρευση Φυσικού Κεφαλαίου
Όπως και στο υπόδειγµα του Solow, η συσσώρευση του κεφαλαίου για το σύνολο της οικονοµίας,
προσδιορίζεται από,
•
k (t) = f(k(t)) – c(t) – (n+g)k(t)
(2.7)
Η εξίσωση (2.7) δείχνει ότι ο ρυθµός µεταβολής του φυσικού κεφαλαίου ανά µονάδα αποδοτικής
εργασίας προσδιορίζεται από τη διαφορά δύο όρων: Την πραγµατική επένδυση (αποταµίευση) ανά
µονάδα αποδοτικής εργασίας, µείον την επένδυση ισορροπίας, η οποία απαιτείται για να διατηρηθεί
το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικής εργασίας στο υπάρχον επίπεδο. Ένας κοινωνικός σχεδιαστής
ο οποίος θα µεγιστοποιούσε τη διαχρονική χρησιµότητα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού, υπό
τον περιορισµό (2.7), θα κατέληγε στην αποταµιευτική συµπεριφορά που µεγιστοποιεί την
κοινωνική ευηµερία. Το ερώτηµα είναι αν η (2.7) αποτελεί τον εισοδηµατικό περιορισµό και του
αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού. Σε περίπτωση καταφατικής απάντησης, η βέλτιστη
αποταµιευτική συµπεριφορά του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού, θα µεγιστοποιούσε και αυτή την
κοινωνική ευηµερία.
2.5 Μεγιστοποίηση της Χρησιµότητας του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού
Υποθέτουµε µία ανταγωνιστική οικονοµία, στην οποία κάθε µέλος του αντιπροσωπευτικού
νοικοκυριού παρέχει µία µονάδα εργασίας. Ο πραγµατικός µισθός ισούται µε τον πραγµατικό µισθό
ανά µονάδα αποδοτικής εργασίας w(t), επί την αποδοτικότητα της εργασίας A(t). Κατά συνέπεια, το
εισόδηµα από εργασία του νοικοκυριού στη χρονική στιγµή t ισούται µε,
w(t)A(t)L(t)/H
όπου w(t) είναι ο πραγµατικός µισθός ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας.
Το εισόδηµα από κεφάλαιο του νοικοκυριού ισούται µε
r(t)k(t)A(t)L(t)/H
όπου r(t) είναι το πραγµατικό επιτόκιο.
Κατά συνέπεια, η συσσώρευση κεφαλαίου ανά µονάδα αποτελεσµατικότητας της εργασίας του
αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού δίνεται από,
•
k (t) = r(t)k(t) + w(t) – c(t) – (n+g)k(t)
(2.7΄)
Το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό λαµβάνει τις πορείες των w(t) και r(t) ως δεδοµένες. Με την
υπόθεση των ανταγωνιστικών αγορών, το κεφάλαιο και η εργασία θα αµοίβονται µε το οριακό τους
προϊόν. Κατά συνέπεια,
r(t) = f ΄(k(t))
(2.8)
4
Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 2012
w(t) = f(k(t) – k(t)f ΄(k(t))
(2.9)
Αντικαθιστώντας τις (2.8) και (2.9) στην (2.7 ΄) βλέπουµε ότι καταλήγουµε στην (2.7). Κατά
συνέπεια, στο υπόδειγµα αυτό, λόγω της υπόθεσης των ανταγωνιστικών αγορών, η µεγιστοποίηση
της διαχρονικής συνάρτησης χρησιµότητας του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού γίνεται υπό το ίδιο
περιορισµό που θα γινόταν αν ένας κοινωνικός σχεδιαστής τη µεγιστοποιούσε υπό τον κοινωνικό
περιορισµό (2.7). Το πρόβληµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού είναι ισοδύναµο µε το
πρόβληµα του κοινωνικού σχεδιαστή.
Για να βρούµε τις συνθήκες πρώτης τάξης για τη µεγιστοποίηση της (2.6) υπό τον περιορισµό της
(2.7), ορίζουµε τη Χαµιλτονιανή συνάρτηση,
H = e − βt
c1−θ
+ π[ f(k) – c – (n+g)k ]
1− θ
(2.10)
όπου π είναι ο πολλαπλασιαστής της Χαµιλτονιανής.
Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι,
∂H
=0
∂c
(2.11 α)
•
∂H
=k
∂π
(2.11 β)
•
∂H
=- π
∂k
(2.11 γ)
Η (2.11 α) συνεπάγεται,
π = e− βt c−θ
(2.12)
Η (2.11 γ) συνεπάγεται,
•
π = - π (f΄(k) – n – g )
(2.13)
Τέλος, η (2.11 β) συνεπάγεται την (2.7).
Παραγωγίζοντας την (2.12) ως προς το χρόνο, και χρησιµοποιώντας την (2.13) και τον ορισµό του
β, καταλήγουµε στην ακόλουθη διαφορική εξίσωση για το c.
•
c
1
1
= ( f΄(k) – ρ – θg ) = ( f΄(k) – ρ ) – g
c
θ
θ
(2.14)
Η (2.14) είναι γνωστή ώς η εξίσωση Euler για την κατανάλωση. Ο ρυθµός αύξησης της
κατανάλωσης κατά κεφαλήν είναι θετικός όταν το οριακό προϊόν του κεφαλαίου (πραγµατικό
5
Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 2012
επιτόκιο), υπερβαίνει το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης του νοικοκυριού. Όσο δε µεγαλύτερη
είναι η ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης της κατανάλωσης, 1/θ, τόσο µεγαλύτερος είναι ο
ρυθµός αύξησης της κατανάλωσης για δεδοµένη διαφορά του οριακού προϊόντος του κεφαλαίου
από το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης του νοικοκυριού. Το g εµφανίζεται αρνητικά στην
εξίσωση (2.14) διότι το c είναι η κατανάλωση κατά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, και ο
παρονοµαστής αυξάνεται µε ρυθµό g, ο οποίος θα πρέπει να αφαιρεθεί.
Μπορούµε τώρα να χρησιµοποιήσουµε τις δύο διαφορικές εξισώσεις (2.7) και (2.14) για να
αναλύσουµε τη δυναµική προσαρµογή της οικονοµίας.
2.6 Η Δυναµική Προσαρµογή της Κατανάλωσης και του Φυσικού Κεφαλαίου
Η δυναµική προσαρµογή της οικονοµίας στο υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού
περιγράφεται από τις εξισώσεις (2.7) για την συσσώρευση του κεφαλαίου και (2.14) για το ρυθµό
αύξησης της κατανάλωσης. Έχουµε δύο διαφορικές εξισώσεις πρώτου βαθµού σε δύο µεταβλητές,
k και c.
•
k = f(k) – c – (n+g)k
(2.7)
•
c
1
= ( f΄(k) – ρ – θg )
c
θ
(2.14)
Η λύση στο σύστηµα των (2.7) και (2.14) µπορεί να αναλυθεί διαγραµµατικά µε ένα διάγραµµα
φάσης.
Το κεφάλαιο ισορροπίας προσδιορίζεται από την (2.14), από την εξίσωση του οριακού προϊόντος
του κεφαλαίου µε το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης του νοικοκυριού συν το ποσοστό αύξησης
της αποδοτικότητας της εργασίας επί το θ. Έτσι, το k* προσδιορίζεται από τη σχέση,
f΄(k*) = ρ + θg
(2.15)
•
Η κατανάλωση ισορροπίας προσδιορίζεται από την (2.7) για k = 0.
c* = f(k*) – (n+g)k*
(2.16)
Η δυναµική πορεία της οικονοµίας περιγράφεται από µία µοναδική σαγµοειδή πορεία που µπορεί
να αναλυθεί µε βάση το διάγραµµα φάσης. Για οποιαδήποτε αρχική τιµή του k, που είναι µεταβλητή
κατάστασης, το c (µεταβλητή ελέγχου) προσαρµόζεται άµεσα, ώστε η οικονοµία να βρίσκεται πάντα
στην σαγµοειδή πορεία.
Η ισορροπία στο υπόδειγµα αυτό είναι αποτελεσµατική κατά Pareto, καθώς αν οι αγορές είναι
ανταγωνιστικές και το κάθε νοικοκυριό µεγιστοποιεί την ευηµερία του, µεγιστοποιείται και η
κοινωνική ευηµερία.
Η ισορροπία και η σαγµοειδής πορεία παρίστανται στο Διάγραµµα 2.1.
6
Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 2012
Η ισορροπία προσδιορίζεται στο σηµείο (k*, c*) στο οποίο ικανοποιούνται τόσο η (2.15) όσο και η
(2.16). Υπάρχει δε µία και µοναδική σαγµοειδής πορεία που οδηγεί σε αυτή την ισορροπία.
Δεδοµένου ότι η κατανάλωση είναι µη προκαθορισµένη µεταβλητή και το κεφάλαιο
προκαθορισµένη µεταβλητή, από οποιαδήποτε αρχική θέση, η κατανάλωση θα προσαρµοστεί
άµεσα ώστε να θέσει την οικονοµία στη µοναδική αυτή σαγµοειδή πορεία, η οποία οδηγεί στη
µακροχρόνια ισορροπία. Αριστερά του k*, η κατανάλωση είναι χαµηλότερη από τη µακροχρόνια
ισορροπία και η οικονοµία συσσωρεύει κεφάλαιο. Κατά τη διάρκεια της διαδικασίας αυτής, το
κεφάλαιο και η κατανάλωση ανά µονάδα αποτελεσµατικότητας της εργασίας αυξάνονται. Το
αντίθετο συµβαίνει αν στην αρχική κατάσταση βρισκόµαστε δεξιά από το κεφάλαιο ισορροπίας.
Τόσο το κεφάλαιο, όσο και η κατανάλωση ανά µονάδα αποτελεσµατικότητας της εργασίας
µειώνονται.
Κατά συνέπεια, η συµπεριφορά της οικονοµίας αυτής µοιάζει µε τη συµπεριφορά της οικονοµίας
του υποδείγµατος του Solow. Υπάρχει σύγκλιση προς τη µακροχρόνια ισορροπία, ανεξαρτήτως από
τις αρχικές συνθήκες. Η διαφορά είναι ότι στο υπόδειγµα του Ramsey η αποταµιευτική
συµπεριφορά δεν είναι αυθαίρετη αλλά βέλτιστη. Σε κάθε χρονική στιγµή, το αντιπροσωπευτικό
νοικοκυριό επιλέγει την κατανάλωσή του ώστε να µεγιστοποιεί τη διαχρονική του χρησιµότητα.
Λόγω των ανταγωνιστικών αγορών, η βέλτιστη αυτή ατοµική συµπεριφορά µεγιστοποιεί και την
κοινωνική χρησιµότητα.
2.7 Επιπτώσεις του Ποσοστού Διαχρονικής Προτίµησης
Στο Διάγραµµα 2.2 παρουσιάζονται οι επιπτώσεις µιας αύξησης στο ποσοστό διαχρονικής
προτίµησης του νοικοκυριού.
Μια αύξηση στο ποσοστό διαχρονικής προτίµησης οδηγεί σε µετακίνηση της συνάρτησης
κατανάλωσης προς τα αριστερά. Στη νέα ισορροπία (c**, k**) τόσο η κατανάλωση όσο και το
κεφάλαιο θα είναι χαµηλότερα. Τη στιγµή της µεταβολής, η κατανάλωση αυξάνεται και θέτει την
οικονοµία στη σαγµατική πορεία που αντιστοιχεί στη νέα ισορροπία. Η οικονοµία αρχίζει να
αποσυσσωρεύει κεφάλαιο, και σταδιακά προσαρµόζεται προς τη νέα ισορροπία.
Μία µείωση του ποσοστού διαχρονικής προτίµησης έχει τις αντίθετες επιπτώσεις. Στη νέα
ισορροπία τόσο η κατανάλωση όσο και το κεφάλαιο θα είναι υψηλότερα. Τη στιγµή της µεταβολής
η κατανάλωση µειώνεται, η οικονοµία αρχίζει να συσσωρεύει επιπλέον κεφάλαιο και η οικονοµία
σταδιακά προσαρµόζεται προς τη νέα ισορροπία.
Βλέπουµε λοιπόν ότι το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης είναι βασικός παράγων προσδιορισµού
της αποταµιευτικής συµπεριφοράς. Όσο υψηλότερο είναι, τόσο λιγότερο αποταµιεύει το
αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό, καθώς προτιµά περισσότερο την κατανάλωση σήµερα σε σχέση µε
τη µελλοντική κατανάλωση.
2.8 Η Πορεία Ισόρροπης Μεγέθυνσης και ο Χρυσούς Κανόνας
Η πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης στο υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού είναι
ανάλογη της πορείας ισόρροπης µεγέθυνσης στο υπόδειγµα του Solow. Το κεφάλαιο, το προϊόν και
η κατανάλωση ανά µονάδα αποτελεσµατικότητας της εργασίας είναι σταθερά. Κατά συνέπεια, και
το ποσοστό αποταµίευσης (y-c)/y, στην πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης είναι και αυτό σταθερό.
7
Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 2012
Το συνόλικο απόθεµα κεφαλαίου, το συνολικό προϊόν και η συνολική κατανάλωση αυξάνονται µε
ρυθµό n+g. Το κατά κεφαλήν απόθεµα κεφαλαίου, το κατά κεφαλήν προϊόν και η κατά κεφαλήν
κατανάλωση αυξάνονται µε ρυθµό g.
Κατά συνέπειαν, οι κεντρικές προβλέψεις του υποδείγµατος του Solow αναφορικά µε τους
προσδιοριστικούς παράγοντες της µακροχρόνιας µεγέθυνσης δεν εξαρτώνται από την υπόθεση του
εξωγενούς σταθερού ποσοστού αποταµίευσης. Ακόµη και όταν το ποσοστό αποταµίευσης είναι
ενδογενές, όπως στο υπόδειγµα του Ramsey, η µεγέθυνση της αποτελεσµατικότητας της εργασίας
παραµένει ο µόνος προσδιοριστικός παράγων της µακροχρόνιας µεγέθυνσης του προϊόντος ανά
εργαζόµενο.
Η µόνη αξιοσηµείωτη διαφορά του υποδείγµατος του Ramsey από το υπόδειγµα του Solow,
αναφορικά µε την πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης είναι ότι στο υπόδειγµα του Ramsey δεν είναι
δυνατόν το κεφάλαιο στην πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης να ξεπερνά το επίπεδο του χρυσού
κανόνα. Στο υπόδειγµα του Solow, µε επαρκώς υψηλό ποσοστό αποταµίευσης, υπάρχουν
εναλλακτικές πορείες στις οποίες η κατά κεφαλήν κατανάλωση να είναι συνεχώς υψηλότερη. Κάτι
τέτοιο δεν είναι δυνατόν στο υπόδειγµα του Ramsey, διότι δεν συνάδει µε την βελτιστοποίηση της
ευηµερίας του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού.
Στο υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού, το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της
εργασίας στην πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης είναι πάντοτε µικρότερο από αυτό του χρυσού
κανόνα. Αυτό οφείλεται στο ότι το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό δίνει µεγαλύτερη αξία στη
σηµερινή κατανάλωση σε σχέση µε τη µελλοντική κατανάλωση. Συνεπώς δεν επιδιώκει να
µεγιστοποιήση την κατά κεφαλήν κατανάλωση, όπως υποτίθεται στον χρυσού κανόνα, αλλά µία
διαχρονική συνάρτηση χρησιµότητας η οποία, λόγω του θετικού ποσοστού διαχρονικής
προτίµησης, δίνει µεγαλύτερο βάρος στη σηµερινή κατανάλωση. Το κεφάλαιο ισορροπίας k* στο
υπόδειγµα του αντιποσωπευτικού νοικοκυριού είναι χαµηλότερο από το κεφάλαιο του χρυσού
κανόνα, όπως φαίνεται και στο Διάγραµµα 2.1. Είναι το βέλτιστο σηµείο στο οποίο συγκλίνει η
οικονοµία του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού, και είναι γνωστό ως το επίπεδο του
προσαρµοσµένου χρυσού κανόνα.
2.9 Οι Ιδιότητες της Διαδικασίας Προσαρµογής και η Ταχύτητα της Σύγκλισης
Για να αναλύσουµε τη δυναµική πορεία της οικονοµίας προς τη µακροχρόνια ισορροπία,
αντικαθιστούµε τις µη γραµµικές διαφορικές εξισώσεις (2.7) και (2.14) µε γραµµικές προσεγγίσεις
τους, κοντά στην πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης. Αρχικά, λαµβάνουµε προσεγγίσεις πρώτου
βαθµού κατά Taylor, των (2.7) και (2.14), γύρω από τα σηµεία k=k* και c=c*.
•
•
∂c
∂c
c
[k − k*] + [c − c*]
∂k
∂c
•
•
•
∂k
∂k
k
[k − k*] +
[c − c*]
∂k
∂c
•
(2.17)
(2.18)
Οι παράγωγοι υπολογίζονται στο σηµείο k=k*, c=c*.
8
Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 2012
Το σύστηµα (2.17), (2.18) µπορεί να ξαναγραφεί ως,
•
•
•
•
•
∂c ∂c
c
k+
c
∂k
∂c
(2.19)
•
∂k ∂k
k
k+
c
∂k
∂c
(2.20)
όπου,
c = c − c*, k = k − k * .
Από τη (2.14),
•
c = {[ f '(k) − ρ − θ g ] / θ } c
(2.21)
Χρησιµοποιώντας τη (2.21) για να υπολογίσουµε τις παραγώγους στη (2.19), έχουµε,
•
c
f ''(k*)c *
k
θ
(2.22)
Ανάλογα, από τη (2.07)
•
k = f (k) − c − (n + g)k
(2.23)
Χρησιµοποιώντας τη (2.23) για να υπολογίσουµε τις παραγώγους στη (2.20), έχουµε,
•
k [ f '(k) − (n + g)] k − c = [ ( ρ + θ g) − (n + g)] k − c = β k − c
(2.24)
όπου β=ρ-n-(1-θ)g >0.
Με δύο απλές διαιρέσεις και στις δύο πλευρές, οι (2.22) και (2.24) µπορούν να ξαναγραφούν ως,
•
c
f ''(k*)c * k
θ
c
c
•
k
k
(2.25)
β−
c
(2.26)
k
9
Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 2012
Οι (2.25) και (2.26) συνεπάγονται ότι οι ρυθµοί µεταβολής της απόστασης της κατανάλωσης και
του κεφαλαίου από τα επίπεδα µακροχρόνιας ισορροπίας τους εξαρτώνται µόνο από το λόγο των
αποστάσεων τους από τα επίπεδα µακροχρόνιας ισορροπίας.
Οι ρίζες του συστήµατος των διαφορικών εξισώσεων (2.24) και (2.22) δίνονται από,
1/2
µ=
β ± ⎡⎣ β 2 − 4 f ''(k*)c * /θ ⎤⎦
(2.27)
2
Μόνο η αρνητική ρίζα οδηγεί το σύστηµα στη µακροχρόνια ισορροπία. Άρα, έχουµε,
1/2
µ1 =
β − ⎡⎣ β 2 − 4 f ''(k*)c * /θ ⎤⎦
2
(2.28)
Υποθέτοντας ότι η συνάρτηση παραγωγής είναι Cobb Douglas, η (2.28) µπορεί να γραφεί ως,
1/2
1⎛
⎧ 2 4 1−α
⎫ ⎞
µ1 = ⎜ β − ⎨β +
( ρ + θ g )[ ρ + θ g − α (n + g)]⎬ ⎟
2⎝
θ α
⎩
⎭ ⎠
(2.29)
H (2.29) εκφράζει τη ταχύτητα προσαρµογής της οικονοµίας ως συνάρτησης των διαρθρωτικών
παραµέτρων.
Για να έχουµε µία αίσθηση των µεγεθών, ας υποθέσουµε, όπως και στο υπόδειγµα του Solow, ότι
α=1/3. Ας υποθέσουµε επίσης ότι ρ=4%, n=2%, g=1% και θ=1. Η τελευταία υπόθεση ισοδυναµεί
µε λογαριθµικές προτιµήσεις. Με αυτές τις υποθέσεις έχουµε πραγµατικό επιτόκιο 5% και ποσοστό
αποταµίευσης στη µακροχρόνια ισορροπία 20%. To β=2%.
Από την εξίσωση (2.29) η ταχύτητα προσαρµογής υπολογίζεται σε -5.4%. Με τις ίδιες υποθέσεις
για τις παραµέτρους, στο υπόδειγµα του Solow η ταχύτητα προσαρµογής είναι 2%. Η προσαρµογή
στο υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού είναι ταχύτερη από ότι στο υπόδειγµα του
Solow. Ο λόγος είναι ότι στο παράδειγµα αυτό το ποσοστό αποταµίευσης s είναι αρνητική
συνάρτηση του k. Είναι δηλαδή µεγαλύτερο από το s* όταν το k είναι µικρότερο από το k*, και
µικρότερο από το s* όταν το k είναι µεγαλύτερο από το k*. Σε αντίθεση στο υπόδειγµα του Solow
το ποσοστό αποταµίευσης είναι εξ υποθέσεως σταθερό.
Κατά τα άλλα, παρά το γεγονός ότι η αποταµιευτική συµπεριφορά είναι βέλτιστη, το υπόδειγµα του
αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού έχει την ίδια βασική αδυναµία µε το υπόδειγµα του Solow, καθώς
η µακροχρόνια αύξηση της αποδοτικότητας της εργασίας που είναι ο βασικός προσδιοριστικός
παράγων της διαδιακασίας της µακροχρόνιας µεγέθυνσης υποτίθεται και δεν εξηγείται.
Όπως και µε το υπόδειγµα του Solow, αυτό που εξηγεί το υπόδειγµα του Ramsey είναι η δυναµική
συµπεριφορά της οικονοµίας κατά τη διάρκεια της σύγκλισης προς την µακροχρόνια ισορροπία.
10
Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 2012
c
Διάγραµµα 2.1
Ισορροπία και Δυναµική Προσαρµογή στο Υπόδειγµα του Ramsey
c=0
c*
k=0
k*
k
c
Διάγραµµα 2.2
Επιπτώσεις µιας Αύξησης στο Ποσοστό Διαχρονικής Προτίµησης
c=0
c0
c*
c**
k=0
k**
k*
k
11
Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 2012
Παραποµπές
Cass D. (1965), “Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation”, Review of
Economic Studies, 32, pp. 233-240.
Koopmans T. (1965), “On the Concept of Optimal Economic Growth”, in The Economic Approach
to Development Planning, Amsterdam, Elsevier.
Ramsey F. (1928), “A Mathematical Theory of Saving”, Economic Journal, 38, pp. 543-559.
Solow R.M. (1956), “A Contribution to the Theory of Economic Growth”, Quarterly Journal of
Economics, 70, pp. 65-94.
12
© Copyright 2024 Paperzz
