Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 7 Δυναµικά Υποδείγµατα Κατανάλωσης Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε δυναµικά υποδείγµατα επιλογής της κατανάλωσης κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας. Εξακολουθούµε, όπως και στο υπόδειγµα του Ramsey, να θεωρούµε ως δεδοµένη την απόφαση του νοικοκυριού αναφορικά µε την προσφορά εργασίας, υποθέτοντας ότι κάθε νοικοκυριό παρέχει µία µονάδα εργασίας ανά περίοδο. Υποθέτουµε επίσης ότι το νοικοκυριό µπορεί να δανείζει και να δανείζεται ελεύθερα σε ανταγωνιστικές αγορές κεφαλαίου. Αναλύοντας τη συνάρτηση κατανάλωσης του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού κάτω από συνθήκες βεβαιότητας (βλ. Κεφάλαιο 2), είδαµε ότι το νοικοκυριό καταναλώνει ένα ποσοστό του συνολικού του πλούτου το οποίο εξαρτάται από την εξέλιξη των µέσων επιτοκίων, το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης, την ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης και το ποσοστό αύξησης του πληθυσµού. Η επίπτωση των επιτοκίων επί του ποσοστού του συνολικού πλούτου που καταναλώνεται εξαρτάται από την ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης. Μία αύξηση των επιτοκίων έχει δύο ειδών επιπτώσεις στο µέσο ποσοστό κατανάλωσης από το συνολικό πλούτο. Πρώτον, ωθεί το νοικοκυριό να υποκαταστήσει τρέχουσα για µελλοντική κατανάλωση, καθώς αυξάνεται το κόστος της τρέχουσας κατανάλωσης σε σχέση µε τη µελλοντική. Αυτό είναι το αποτέλεσµα διαχρονικής υποκατάστασης στην κατανάλωση. Δεύτερον, µία αύξηση των επιτοκίων αυξάνει το εισόδηµα του νοικοκυριού από κεφάλαιο, και τείνει να αυξήσει τόσο την τρέχουσα όσο και τη µελλοντική κατανάλωση. Αυτό είναι το εισοδηµατικό αποτέλεσµα. Εάν η ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης είναι µεγαλύτερη από τη µονάδα, το ποσοστό κατανάλωσης επί του συνολικού πλούτου µειώνεται όταν αυξάνονται τα επιτόκια, διότι το αποτέλεσµα υποκατάστασης επικρατεί του εισοδηµατικού αποτελέσµατος. Εάν η ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης είναι µικρότερη από τη µονάδα, το ποσοστό κατανάλωσης επί του συνολικού πλούτου αυξάνεται όταν αυξάνονται τα επιτόκια, διότι το εισοδηµατικό αποτέλεσµα επικρατεί του αποτελέσµατος υποκατάστασης. Στη δε περίπτωση που η ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης ισούται µε τη µονάδα, το οποίο ισοδυναµεί µε λογαριθµικές προτιµήσεις, τα δύο αποτέλεσµατα αλληλοεξουδετερώνται, και το ποσοστό κατανάλωσης στο συνολικό πλούτο είναι ανεξάρτητο από την πορεία των πραγµατικών επιτοκίων και ισούται µε τη διαφορά του ποσοστού διαχρονικής προτίµησης από το ρυθµό αύξησης των µελών του νοικοκυριού. Επιπλέον, µία αύξηση των επιτοκίων οδηγεί σε µείωση της παρούσας αξίας του µελλοντικού εισοδήµατος από εργασία, µειώνοντας το συνολικό πλούτο του νοικοκυριού και οδηγώντας σε µείωση της κατανάλωσης, ακόµη και αν η ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης ισούται µε τη µονάδα. Ουσιαστικά, η επίπτωση των πραγµατικών επιτοκίων επί της παρούσας αξίας του εισοδήµατος από εργασία ενισχύει το αποτέλεσµα υποκατάστασης στην τρέχουσα κατανάλωση. Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφ. 7 Η επιλογή της κατανάλωσης κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας συνδέεται µε τις αποφάσεις του νοικοκυριού αναφορικά µε τα περιουσιακά στοιχεία στα οποία θα επενδύσει το χαρτοφυλάκιό του (Samuelson 1969, Merton 1969). Κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας, η κατανάλωση γενικά εξαρτάται από τους ίδιους παράγοντες όπως σε συνθήκες βεβαιότητας. Τα τρέχοντα και τα προσδοκώµενα µελλοντικά επιτόκια και ποσοστά απόδοσης περιουσιακών στοιχείων που συνεπάγονται αβέβαιες αποδόσεις, το τρέχον και το προσδοκώµενο µελλοντικό εισόδηµα από εργασία και τα συνολικά περιουσιακά στοιχεία του νοικοκυριού. Η κατανάλωση δεν εξαρτάται από το τρέχον εισόδηµα του νοικοκυριού αλλά από το συνολικό του πλούτο, ο οποίος απαρτίζεται από το χαρτοφυλάκιό του, συν την παρούσα αξία του προσδοκώµενου µελλοντικού εισοδήµατός του από εργασία. Με την έννοια αυτή η κατανάλωση εξοµαλύνει προσωρινές µεταβολές στο εισόδηµα, καθώς εξαρτάται από το "µόνιµο εισόδηµα" (Friedman 1957) ή το εισόδηµα του "κύκλου ζωής" του νοικοκυριού (Modigliani Brumberg 1954). 7.1 Το Πρόβληµα του Καταναλωτού υπό Συνθήκες Αβεβαιότητας Το πρόβληµα του πως ο καταναλωτής επιλέγει µεταξύ κατανάλωσης και αποταµίευσης, σε συνάρτηση µε την επιλογή του χαρτοφυλακίου του κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας αναλύθηκε για πρώτη φορά µε συνέπεια από τους Samuelson (1969) και Merton (1969). Ακολουθούµε εδώ την προσέγγιση του Samuelson, ο οποίος ανέλυσε το πρόβληµα σε διακριτό χρόνο. Υποθέτουµε ένα νοικοκυριό το οποίο τη στιγµή 0 µεγιστοποιεί, ⎛ T −1 ⎛ 1 ⎞ t ⎞ E0 ⎜ ∑ ⎜ u(C ) ⎟ t ⎟ ⎝ t=0 ⎝ 1+ ρ ⎠ ⎠ (7.1) όπου Et υποδηλώνει µία µαθηµατική προσδοκία βασισµένη στο σύνολο των διαθέσιµων πληροφοριών στη στιγµή t. ρ είναι το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης του νοικοκυριού, και u µία συνάρτηση χρησιµότητας που εξαρτάται από το ύψος της κατανάλωσής του. Το νοικοκυριό είναι αβέβαιο αναφορικά µε το µελλοντικό εισόδηµά του από εργασία καθώς και αναφορικά µε τις µελλοντικές αποδόσεις του χαρτοφυλακίου του. Η εξέλιξη της αξίας του χαρτοφυλακίου του νοικοκυριού περιγράφεται από, At+1 = (At + Yt − Ct )[ (1+ rt )ω t + (1+ xt )(1− ω t )] (7.2) At είναι η αξία του χαρτοφυλακίου του νοικοκυριού στην αρχή της περιόδου t. Yt είναι το εισόδηµα από εργασία του νοικοκυριού, που είναι µία τυχαία µεταβλητή, η τιµή της οποίας όµως είναι γνωστή την περίοδο t. Οι ακαθάριστες αποταµιεύσεις του νοικοκυριού ορίζονται από At+Yt-Ct . Το νοικοκυριό κατανέµει τις ακαθάριστες αποταµιεύσεις του µεταξύ ενός “ασφαλούς” περιουσιακού στοιχείου µε “βέβαια” απόδοση rt , και ενός “επισφαλούς” περιουσιακού στοιχείου µε “αβέβαια” απόδοση xt. Η απόφαση κατανοµής του χαρτοφυλακίου του νοικοκυριού περιγράφεται από το ποσοστό ω που επενδύει στο “ασφαλές” περιουσιακό στοιχείο. Κατά συνέπεια, η έκφραση στις τετράγωνες αγκύλες υποδηλώνει τη µέση απόδοση του χαρτοφυλακίου του νοικοκυριού. L2 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφ. 7 Το νοικοκυριό επιλέγει ένα σχέδιο κατανάλωσης και κατανοµής του χαρτοφυλακίου του την περίοδο 0, γνωρίζοντας ότι θα µπορέσει να επιλέξει ένα νέο σχέδιο την επόµενη περίοδο 1, ένα νέο σχέδιο την µεθεπόµενη περίοδο 2 και ούτω καθεξής, έως την προτελευταία περίοδο T-1. Η πλέον πρόσφορη µέθοδος επίλυσης τέτοιων δυναµικών προβληµάτων υπό συνθήκες αβεβαιότητας είναι η µέθοδος του στοχαστικού δυναµικού προγραµµατισµού. Ο δυναµικός προγραµµατισµός µετατρέπει προβλήµατα πολλαπλών περιόδων σε µία ακολουθία απλούστερων προβληµάτων επιλογής δύο περιόδων. Το πρώτο βήµα είναι η εισαγωγή µιας συνάρτησης αξίας Vt(At), η οποία ορίζεται ως, ⎛ T −1 ⎛ 1 ⎞ s−t ⎞ L Vt (At ) = max Et ⎜ ∑ ⎜ u(C ) ⎟ , υπό τον περιορισµό (7.2) s ⎟⎠ 1+ ρ ⎝ s=t ⎝ ⎠ (7.3) Η συνάρτηση αξίας στην περίοδο t είναι η προεξοφληµένη παρούσα αξία της προσδοκώµενης χρησιµότητας του νοικοκυριού, υπολογισµένη σύµφωνα µε το βέλτιστο πρόγραµµα κατανάλωσης και κατανοµής χαρτοφυλακίου του νοικοκυριού. Αυτή η βέλτιστη αξία εξαρτάται από την αξία του χαρτοφυλακίου του νοικοκυριού στην αρχή της περιόδου t, η οποία είναι και η µόνη µεταβλητή κατάστασης υπό τον έλεγχο του νοικοκυριού. Η συνάρτηση αξίας εξαρτάται βεβαίως και από την από τη δεσµευµένη κοινού κατανοµή πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών που περιγράφουν το µελλοντικό εισόδηµα από εργασία του νοικοκυριού, τα ποσοστά απόδοσης των περιουσιακών στοιχείων που συνθέτουν το χαρτοφυλάκιο του νοικοκυριού και τη διάρκεια του χρόνου µεταξύ t και T-1. Αυτή η εξάρτηση υποδηλώνεται από το δείκτη του χρόνου στη συνάρτηση αξίας, καθώς η συνάρτηση αξίας µπορεί να µεταβάλλεται διαχρονικά. Από την (7.3), η συνάρτηση αξίας ικανοποιεί την ακόλουθη αναδροµική (recursive) εξίσωση, η οποία είναι γνωστή ως εξίσωση Bellman. ⎧ ⎫ 1 Vt (At ) = max ⎨u(Ct ) + Et [Vt+1 (At+1 )]⎬ {Ct ,ω t } 1+ ρ ⎩ ⎭ (7.4) Η συνάρτηση αξίας στην περίοδο t ισούται µε τη χρησιµότητα της κατανάλωσης στην περίοδο t συν την προεξοφληµένη προσδοκώµενη συνάρτηση αξίας στην περίοδο t+1. Οι συνθήκες πρώτης τάξης για τη µεγιστοποίηση της δεξιάς πλευράς της (7.4) υπό τον περιορισµό (7.2) είναι, ⎡ 1 ⎤ u ′(Ct ) = Et ⎢ (1+ rt )ω t + (1+ xt )(1− ω t ))Vt+1 ′ (At+1 ) ⎥ ( ⎣ 1+ ρ ⎦ (7.5) Et [Vt+1 ′ (At+1 )(rt − xt )] = 0 (7.6) Στην (7.6) έχουµε χρησιµοποιήσει το γεγονός ότι οι προεξοφληµένες ακαθάριστες αποταµιεύσεις του νοικοκυριού (At-Yt-Ct)/(1+ρ) είναι γνωστές κατά την περίοδο t. L3 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφ. 7 Εφαρµόζοντας στην (7.4) το θεώρηµα του περιβλήµατος (envelope theorem), δηλαδή τις επιπτώσεις µιας µικρής µεταβολής του At και στις δύο πλευρές της (7.4), έχουµε ότι, ⎡ 1 ⎤ Vt′(At ) = Et ⎢ (1+ rt )ω t + (1+ xt )(1− ω t ))Vt+1 ′ (At+1 ) ⎥ ( ⎣ 1+ ρ ⎦ (7.7) Από την (7.5) και την (7.7) ισχύει ότι, Vt′(At ) = u ′(Ct ) (7.8) Η οριακή αξία του χαρτοφυλακίου κατά την εφαρµογή του βέλτιστου προγράµµατος ισούται µε την οριακή χρησιµότητα της κατανάλωσης. Κατά συνέπεια, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την (7.8) για να αντικαταστήσουµε την οριακή αξία του µελλοντικού χαρτοφυλακίου από τις συνθήκες πρώτης τάξης (7.5) και (7.6). ⎡ 1 ⎤ u ′(Ct ) = Et ⎢ (1+ rt )ω t + (1+ xt )(1− ω t )) ut+1 ′ (Ct+1 ) ⎥ ( ⎣ 1+ ρ ⎦ (7.9) Et [ u ′(Ct+1 )(1+ rt )] = Et [ u ′(Ct+1 )(1+ xt )] (7.10) Αντικαθιστώντας την (7.10) στην (7.9), οι δύο συνθήκες λαµβάνουν τη µορφή, u ′(Ct ) = 1+ rt Et [ u ′(Ct+1 )] 1+ ρ (7.11) u ′(Ct ) = 1 Et ⎡(1+ xt ) u ′(Ct+1 ) ⎤⎦ 1+ ρ ⎣ (7.12) Οι συνθήκες (7.11) και (7.12) έχουν µία απλή ερµηνεία, που συνιστά γενίκευση της εξίσωσης Euler του προβλήµατος του Ramsey, ότι ο οριακός λόγος υποκατάστασης µεταξύ των επιπέδων κατανάλωσης στις δύο περιόδους πρέπει να ισούται µε τον οριακό λόγο µετασχηµατισµού. Στην περίπτωση της (7.11), υποθέστε ότι το νοικοκυριό µειώνει την κατανάλωσή του κατά ένα απειροελάχιστο ποσό dC την περίοδο t, επενδύει το ποσό στο “ασφαλές” στοιχείο του χαρτοφυλακίου του, και καταναλώνει το προϊόν της επένδυσης την περίοδο t+1. Η µείωση της χρησιµότητάς του την περίοδο t ισούται µε u΄(Ct), δηλαδή την αριστερή πλευρά της (7.11). Η αύξηση της προσδοκώµενης χρησιµότητάς του την περίοδο t+1 ισούται µε τη δεξιά πλευρά της (7.11). Κατά την εφαρµογή του βέλτιστου προγράµµατος, αυτή η απειροελάχιστη ανακατανοµή δεν επηρεάζει την αξία του προγράµµατος, και κατά συνέπεια η (7.11) ισχύει. Η (7.12) ισχύει για τον ίδιο λόγο, µε την υπόθεση ότι το νοικοκυριό επενδύει στο “µη ασφαλές” αντί για το “ασφαλές” στοιχείο του χαρτοφυλακίου του. L4 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφ. 7 Οι εξισώσεις (7.11) και (7.12) αποτελούν απλώς συνθήκες πρώτης τάξεως, και δεν περιγράφουν την πλήρη λύση του προβλήµατος. Παρόλα αυτά, συνεπάγονται ισχυρούς περιορισµούς στη δυναµική συµπεριφορά της κατανάλωσης. Η (7.11) συνεπάγεται ότι, 1+ rt u ′(Ct+1 ) = u ′(Ct ) + ε t+1 , όπου Et (ε t+1 ) = 0 1+ ρ (7.13) Η (7.13) συνεπάγεται ότι δεδοµένης της οριακής χρησιµότητας u΄(Ct), δεν υπάρχουν επιπλέον πληροφορίες διαθέσιµες την περίοδο t οι οποίες θα µπορούσαν να βοηθήσουν την πρόβλεψη της αριστερής πλευράς της (7.13), δηλαδή της u΄(Ct+1). Αν υποτεθεί ότι η συνάρτηση χρησιµότητας είναι τετραγωνική στην κατανάλωση, και ότι το ποσοστό απόδοσης του “ασφαλούς” περιουσιακού στοιχείου ισούται µε το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης, τότε η (7.13) λαµβάνει τη µορφή, Ct+1 = Ct + ε t+1 , όπου Et (ε t+1 ) = 0 (7.14) Η κατανάλωση ακολουθεί ένα “τυχαίο περίπατο”. Με δεδοµένο το επίπεδο κατανάλωσης την περίοδο t, καµµία άλλη µεταβλητή γνωστή την περίοδο t δεν µπορεί να βοηθήσει στην πρόβλεψη της κατανάλωσης την περίοδο t+1. Αυτή η πρόβλεψη του συγκεκριµένου υποδείγµατος τονίστηκε για πρώτη φορά από τον Hall (1978), ο οποίος και τη διερεύνησε εµπειρικά. Έκτοτε έχουν υπάρξει εκταµένες θεωρητικές και εµπειρικές έρευνες γύρω από αυτό το ζήτηµα. 7.2 Από τις Συνθήκες Πρώτης Τάξης στην Πλήρη Ανάλυση της Κατανάλωσης Από τις συνθήκες πρώτης τάξης δεν µπορούµε να περιγράψουµε πλήρως τη συµπεριφορά της κατανάλωσης και των αποταµιεύσεων, παρά µόνο σε ειδικές περιπτώσεις. Δύο είναι οι ειδικές περιπτώσεις στις οποίες µπορούµε να καταλήξουµε σε συγκεκριµένες λύσεις. Η πρώτη είναι η περίπτωση του ασφαλίσιµου εισοδηµατικού κινδύνου, και η δεύτερη είναι η περίπτωση της τετραγωνικής (δευτεροβάθµιας) συνάρτησης χρησιµότητας. Όπως απέδειξε ο Merton (1971), εάν το εισόδηµα από εργασία µπορεί να ασφαλιστεί, µπορούµε να συνάγουµε συγκεκριµένες λύσεις για την κατανάλωση για µία ευρεία τάξη συναρτήσεων χρησιµότητας, τις συναρτήσεις απόλυτης απέχθειας στον κίνδυνο µε τη µορφή υπερβολής (hyperbolic absolute risk aversion, ή HARA). Αυτή η τάξη περιλαµβάνει την ισοελαστική συνάρτηση χρησιµότητας µε σταθερή σχετική απέχθεια στον κίνδυνο (constant relative risk aversion, ή CRRA), την εκθετική συνάρτηση χρησιµότητας µε σταθερή απόλυτη απέχθεια στον κίνδυνο (constant absolute risk aversion ή CARA) και τις τετραγωνικές στην κατανάλωση συναρτήσεις χρησιµότητας (quadratic utility functions). Ο ένας τρόπος να συνάγουµε την πλήρη λύση είναι να χρησιµοποιήσουµε τη αρχή του βελτίστου του Belmann, η οποία λέει ότι για οποιαδήποτε τιµή της µεταβλητής κατάστασης (του χαρτοφυλακίου στη συγκεκριµένη περίπτωση) σε µία χρονική στιγµή, η λύση για το µέλλον πρέπει να είναι βέλτιστη. Χρησιµοποιώντας αυτή την αρχή και τη συνάρτηση αξίας, η λύση µπορεί να βρεθεί µέσω αναδροµικής επαγωγής (backward induction). Για παράδειγµα, στην περίοδο T-2, για οποιαδήποτε τιµή του χαρτοφυλακίου AT-2, το νοικοκυριό αντιµετωπίζει ένα πρόβληµα δύο περιόδων. Επιλύοντας αυτό το πρόβληµα, κάνουµε ένα βήµα πίσω, και επιλύουµε το πρόβληµα της L5 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφ. 7 περιόδου T-3, έχοντας ήδη προσδιορίσει την τιµή της συνάρτησης αξίας της περιόδου T-2. Κατόπιν προχωρούµε και επιλύουµε µε τον ίδιο επαγωγικό τρόπο το πρόβληµα της περιόδου T-4 και ούτω καθεξής. Ο λόγος που οι συναρτήσεις χρησιµότητας τύπου HARA µας επιτρέπουν να συνάγουµε αναλυτικές λύσεις είναι ότι η συνάρτηση αξίας ανήκει στην ίδια οικογένεια µε τη συνάρτηση χρησιµότητας, και το µόνο που αποµένει είναι να συνάγουµε τις παραµέτρους της. Στην περίπτωση άπειρου αριθµού περιόδων (χρονικού ορίζοντα) λαµβάνουµε το όριο της λύσης για το πρόβληµα T περιόδων καθώς το T τείνει στο άπειρο. Εναλλακτικά, µπορούµε να λύσουµε άµεσα το πρόβληµα των άπειρων χρονικών περιόδων. Για παράδειγµα, αν ο καταναλωτής έχει άπειρο χρονικό ορίζοντα, αν το “ασφαλές” επιτόκιο είναι σταθερό και αν η “επισφαλής” απόδοση xt κατανέµεται µε βάση µία οµοιόµορφη, ανεξάρτητη κατανοµή πιθανότητας, τότε η συνάρτηση αξίας είναι ανεξάρτητη από το χρόνο και εξαρτάται µόνο από τη µεταβλητή κατάστασης At. Κατά συνέπεια, µπορούµε να πιθανολογήσουµε τη µορφή της, να εξάγουµε τη συνάρτηση κατανάλωσης και να επιβεβαιώσουµε αν η πιθανολόγησή µας ήταν σωστή. 7.2.1 Η Περίπτωση των Λογαριθµικών Προτιµήσεων Θεωρείστε την απλή περίπτωση στην οποία, u(Ct ) = lnCt (7.15) Χρησιµοποιώντας το αποτέλεσµα του Merton ότι η συνάρτηση αξίας έχει τη ίδια συναρτησιακή µορφή µε τη συνάρτηση χρησιµότητας για τις συναρτήσεις χρησιµότητας τύπου HARA, πιθανολογούµε ότι η συνάρτηση αξίας είναι της µορφής, V (At ) = a ln(At ) + b (7.16) όπου a και b είναι σταθερές παράµετροι που πρέπει να προσδιοριστούν. Η πιθανολόγησή µας αυτή µας επιτρέπει να µορφοποιήσουµε το πρόβληµα µεγιστοποίησης στην περίοδο t ως, max ln(Ct ) + 1 Et [ a ln(At+1 ) + b ] 1+ ρ (7.17) υπό τον περιορισµό,1 At+1 = (At − Ct )[ (1+ r)ω t + (1+ xt )(1− ω t )] (7.18) Επιλύοντας για την κατανάλωση C και το ποσοστό του χαρτοφυλακίου που επενδύεται στο ασφαλές περιουσιακό στοιχείο ω έχουµε, 1 Καθώς θεωρούµε ότι ο εισοδηµατικός κίνδυνος είναι ασφαλίσιµος για το εισόδηµα από εργασία, επικεντρωνόµαστε στην περίπτωση στην οποία το εισόδηµα από εργασία Y είναι µηδενικό. L6 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφ. 7 −1 ⎛ a ⎞ Ct = ⎜ 1+ At ⎝ 1+ ρ ⎟⎠ (7.19) −1 Et ⎡(r − xt ) ( (1+ r)ω + (1+ xt )(1− ω )) ⎤ = 0 ⎣ ⎦ (7.20) Η (7.19) προσδιορίζει την κατανάλωση ως µία γραµµική συνάρτηση του συνολικού χαρτοφυλακίου του νοικοκυριού. Η (7.20) εµµέσως προσδιορίζει το βέλτιστο ποσοστό που επενδύεται στο “ασφαλές” περιουσιακό στοιχείο ω ως µία σταθερά, λόγω της υπόθεσης ότι η απόδοση του “επισφαλούς” περιουσιακου στοιχείου x κατανέµενεται µε βάση µία οµοιόµορφη, ανεξάρτητη κατανοµή πιθανότητας. Το ποσοστό ω είναι ανεξάρτητο του συνολικού πλούτου. Για να βρούµε το a και το b αντικαθιστούµε τις (7.18), (7.19) και (7.20) στη συνάρτηση αξίας (7.17) και εξισώνουµε συντελεστές. Το b είναι µία πολύπλοκη αλλά µη σηµαντική σταθερά που εξαρτάται από όλες τις παραµέτρους. Χρησιµοποιώντας την (7.8), το a προσδιορίζεται ως (1+ρ)/ρ. Αντικαθιστώντας αυτή την τιµή στη συνάρτηση κατανάλωσης (7.19), λαµβάνουµε, L Ct = ρ At 1+ ρ (7.21) Συµπερασµατικά, µε την υπόθεση ότι το εισόδηµα από εργασία είναι ασφαλίσιµο και ότι η συνάρτηση χρησιµότητας είναι λογαριθµική, λαµβάνουµε µια συνάρτηση κατανάλωσης ανάλογη µε την περίπτωση της βεβαιότητας. Η κατανάλωση είναι γραµµική συνάρτηση του συνολικού χαρτοφυλακίου του νοικοκυριού, µε την οριακή ροπή προς κατανάλωση από τον χαρτοφυλάκιο να εξαρτάται µόνο από το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης και όχι από το πραγµατικό επιτόκιο ή την απόδοση του “επισφαλούς” περιουσιακού στοιχείου. Μεταβολές στο µελλοντικό εισόδηµα (µερίσµατα και τόκοι), επηρεάζουν την κατανάλωση µόνο µέσω των επιπτώσεών τους στο συνολικό πλούτο. 7.2.2 Τετραγωνικές Προτιµήσεις και Ισοδυναµία Βεβαιότητας Η δεύτερη περίπτωση που θα εξετάσουµε είναι η περίπτωση των τετραγωνικών προτιµήσεων. Θα υποθέσουµε ότι το χαρτοφυλάκιο αποτελείται µόνο από ένα “ασφαλές” περιουσιακό στοιχείο. Το πρόβληµα µεγιστοποίησης του νοικοκυριού προσδιορίζεται ως, ⎡ T −1 ⎛ 1 ⎞ t ⎤ 2 max E0 ⎢ ∑ t=0 ⎜ aC − bC ( t t )⎥ ⎝ 1+ ρ ⎟⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ (7.22) υπό τον περιορισµό, At+1 = (1+ r) ( At + Yt − Ct ) , AT ≥ 0 (7.23) Από τις συνθήκες πρώτης τάξης, L7 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Et Ct+1 = 1+ r Ct 1+ ρ Κεφ. 7 (7.24) Σε ότι ακολουθεί θα υποθέσουµε ότι r=ρ. Στην περίπτωση αυτή η (7.24) παίρνει τη µορφή, Et Ct+1 = Ct (7.25) Η (7.25) συνεπάγεται ότι, L E0Ct = C0 για t=0, 1, 2, ... , T-1 (7.26) Λόγω της ισότητας µεταξύ του πραγµατικού επιτοκίου και του ποσοστού διαχρονικής προτίµησης, η βέλτιστη πορεία της κατανάλωσης είναι τέτοια ώστε η προσδοκώµενη κατανάλωση να είναι σταθερή κατά τη διάρκεια του προγράµµατος. Ο εισοδηµατικός περιορισµός (7.23) συνεπάγεται ότι, AT = A0 (1+ r)T + ∑ t=0 (1+ r)T −t (Yt − Ct ) T −1 (7.27) Επειδή το νοικοκυριό δεν αντλεί άµεσα χρησιµότητα από το χαρτοφυλάκιό του, παρά µόνο από την κατανάλωσή του, η κατανάλωσή του στην τελευταία περίοδο θα είναι τέτοια ώστε AT=0. Χρησιµοποιώντας αυτή τη συνθήκη στην (7.27), ο διαχρονικός εισοδηµατικός περιορισµός του νοικοκυριού ισούται µε, t t T −1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ Ct = A0 + ∑ t=0 ⎜ Y L ∑ t=0 ⎜ ⎟ ⎝ 1+ r ⎠ ⎝ 1+ r ⎟⎠ t T −1 (7.28) Σύµφωνα µε την (7.28), η παρούσα αξία της κατανάλωσης του νοικοκυριού ισούται µε το αρχικό χαρτοφυλάκιό του, συν την παρούσα αξία του εισοδήµατός του από εργασία. Το νοικοκυριό γνωρίζει στο χρόνο 0 ότι ο εισοδηµατικός περιορισµός (7.28) θα πρέπει να ικανοποιείται, αλλά δεν γνωρίζει τα µελλοντικά εισοδήµατά του από εργασία. Κατά συνέπεια, στο χρόνο 0 το νοικοκυριό στοχεύει να ικανοποιήσει, ⎡ T −1 ⎛ 1 ⎞ t ⎤ ⎡ T −1 ⎛ 1 ⎞ t ⎤ E0 ⎢ ∑ t=0 ⎜ C = A + E ⎟⎠ t ⎥ ⎟⎠ Yt ⎥ 0 0 ⎢ ∑ t=0 ⎜ ⎝ ⎝ 1+ r 1+ r ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (7.29) Η (7.29) µας λέει ότι η προσδοκώµενη παρούσα αξία της κατανάλωσης ισούται µε την αξία του αρχικού χαρτοφυλακίου του νοικοκυριού, συν την προσδοκώµενη παρούσα αξία του εισοδήµατός του από εργασία. Αντικαθιστώντας την (7.26) στην (7.29), και λαµβάνοντας το όριο καθώς το T τείνει στο άπειρο, ⎡ ∞ ⎛ 1 ⎞ t ⎤⎞ r ⎛ C0 = A0 + E0 ⎢ ∑ t=0 ⎜ Y ⎝ 1+ r ⎟⎠ t ⎥⎦⎟⎠ 1+ r ⎜⎝ ⎣ (7.30) L8 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφ. 7 Η προσδοκώµενη κατανάλωση είναι σταθερή και αποτελεί ένα σταθερό ποσοστό του συνολικού πλούτου του νοικοκυριού, συµπεριλαµβανοµένης της παρούσας αξίας των προσδοκωµένων εισοδηµάτων του από εργασία. Το νοικοκυριό καταναλώνει σε κάθε περίοδο την απόδοση του συνολικού πλούτου του, έτσι ώστε ο προσδοκώµενος συνολικός πλούτος του να παραµένει σταθερός. Από την (7.30), η µεταβολή στην κατανάλωση από περίοδο σε περίοδο προσδιορίζεται µόνο από την αναθεώρηση των προσδοκιών αναφορικά µε το εισόδηµα από εργασία. i ∞ ⎛ 1 ⎞ r Ct − Ct−1 = ( E (Y ) − Et−1 (Yt+i )) ∑ i=0 ⎜ ⎝ 1+ r ⎟⎠ t t+i 1+ r (7.31) Για παράδειγµα, αν το εισόδηµα από εργασία ακολουθεί µία στάσιµη αυτοπαλλίνδροµη στοχαστική διαδικασία πρώτου βαθµού AR(1), της µορφής, Yt = Y0 + λYt−1 + ε t , 0 < λ <1 (7.32) τότε από την (7.31) η µεταβολή στην κατανάλωση εξαρτάται µόνο από την τρέχουσα διαταραχή ε στο εισόδηµα από εργασία. Με την υπόθεση της (7.32) η (7.31) λαµβάνει τη µορφή, Ct − Ct−1 = r εt 1+ r − λ (7.33) Ο συντελεστής της διαταραχής ε στο εισόδηµα από εργασία είναι µικρότερος από τη µονάδα. Η (7.33) ενσωµατώνει την πρόβλεψη της “υπόθεσης του µονίµου εισοδήµατος” του Friedman (1957) και της θεωρίας του “κύκλου ζωής” των Modigliani και Brumberg (1954) ότι η κατανάλωση εξοµαλύνει προσωρινές µεταβολές στο εισόδηµα. Εάν το λ ισούται µε τη µονάδα, τότε οι διαταραχές ε είναι µόνιµου χαρακτήρα, και ο συντελεστής της (7.33) ισούται και αυτός µε τη µονάδα. Μόνιµες µεταβολές στο εισόδηµα από εργασία οδηγούν σε ισοδύναµες µόνιµες µεταβολές στην κατανάλωση του νοικοκυριού. 7.3 Συµπεράσµατα Στο κεφάλαιου αυτό εξετάσαµε τη διαχρονική επιλογή της κατανάλωσης ενός νοικοκυριού κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας, σε συνδυασµό µε τις αποφάσεις του αναφορικά µε τα περιουσιακά στοιχεία στα οποία θα επενδύσει το χαρτοφυλάκιό του (Samuelson 1969, Merton 1969). Κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας, η κατανάλωση γενικά εξαρτάται από τους ίδιους παράγοντες όπως σε συνθήκες βεβαιότητας. Τα τρέχοντα και τα προσδοκώµενα µελλοντικά επιτόκια και ποσοστά απόδοσης περιουσιακών στοιχείων που συνεπάγονται αβέβαιες αποδόσεις, το τρέχον και το προσδοκώµενο µελλοντικό εισόδηµα από εργασία και τα συνολικά περιουσιακά στοιχεία του νοικοκυριού. Η κατανάλωση δεν εξαρτάται από το τρέχον εισόδηµα του νοικοκυριού αλλά από το συνολικό του πλούτο, ο οποίος απαρτίζεται από το χαρτοφυλάκιό του, συν την παρούσα αξία του προσδοκώµενου µελλοντικού εισοδήµατός του από εργασία. Με την έννοια αυτή η κατανάλωση L9 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφ. 7 εξοµαλύνει προσωρινές µεταβολές στο εισόδηµα, καθώς εξαρτάται από το "µόνιµο εισόδηµα" (Friedman 1957) ή το εισόδηµα του "κύκλου ζωής" του νοικοκυριού (Modigliani Brumberg 1954). L10 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφ. 7 Παραποµπές Dreze J. and Modigliani F. (1972), “Consumption Decisions under Uncertainty”, Journal of Economic Theory, 5, pp. 308-335. Friedman M. (1957), A Theory of the Consumption Function, Princeton N.J., Princeton University Press. Hall R. (1978), “Stochastic Implications of the Life Cycle Permanent Income Hypothesis: Theory and Evidence”, Journal of Political Economy, 86, pp. 971-987. Leland H. (1968), “Saving and Uncertainty: The Precautionary Demand for Saving”, Quarterly Journal of Economics, 82, pp. 465-473. Merton R.C. (1969), “Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous Time Case”, Review of Economics and Statistics, 51, pp. 247-257. Modigliani F. and Brumberg R. (1954), “Utility Analysis and the Consumption Function: An Interpretation of Cross Section Data.”, in Kurihara K. (ed.), Post Keynesian Economics, New Brunswick N.J., Rutgers University Press. Samuelson P.A. (1969), “Lifetime Portfolio Selection by Dynamic Stochastic Programming”, Review of Economics and Statistics, 51, pp. 239-246. Sandmo A. (1970), “The Effect of Uncertainty on Saving Decisions”, Review of Economic Studies, 37, pp. 353-360. L11