2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 100 , δηλαδή το σύνολο των μονάδων των προαγωγικών εξετάσεων της Α Λυκείου στα Μαθηματικά. Φιλοδοξεί να φέρει τον μαθητή της Α Λυκείου:  Σε επαφή με θέματα που έχουν δοθεί σε εξετάσεις Λυκείων.  Σε κατάσταση πλήρους ετοιμότητας πριν τις εξετάσεις του , λύνοντας τα Θέματα Α-Β-Γ-Δ  Σε επαφή με γενικά θέματα .Έτσι του δίνεται η ευκαιρία για δυναμική δοκιμασία και τριβή με θέματα επιπέδου, …λίγο πριν την Β Λυκείου.. Βαγγέλης Α Νικολακάκης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. Θέματα Θεωρίας από εξετάσεις Λυκείων Β. Ασκήσεις (Θέμα Β) από εξετάσεις Λυκείων Γ. Ασκήσεις (Θέμα Γ) από εξετάσεις Λυκείων Δ. Ασκήσεις (Θέμα Δ) από εξετάσεις Λυκείων Ε. ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΘΕΜΑ 1ο ι) ιι) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν θ >0, να δείξετε ότι x   ⇔ -θ <x < θ α. Να γράψετε τον ορισμό της συνάρτησης β. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της . ιιι) Οι ευθείες ε1 : y = (λ−3)x + 5 , ε2 : y = 4λx−1 είναι παράλληλες όταν το λ είναι: α) 3 β) 2 γ) -1 δ) 0 ΘΕΜΑ 2ο ι) Να συμπληρώσετε τους τύπους : Δ =…….. χ 1 , χ2 =…….. όπου χ1 ,χ2 είναι ρίζες της εξίσωσης : αχ2 +βχ+γ=0 ,α  0 και κατόπιν να συμπληρώσετε τις προτάσεις : α) Αν Δ  0 , τότε οι ρίζες ……………… β) Αν Δ = 0 , τότε οι ρίζες …………… ιι) Να χαρακτηρίσετε κάθε πρόταση με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) α) Η εξίσωση αx = β είναι αόριστη (ταυτότητα) , όταν α = 0 και β ≠ 0. β) Αν λ1 = λ2 , τότε οι ευθείες y = λ1χ + β1 και y = λ2χ + β2 είναι παράλληλες. γ) Αν S και P το άθροισμα και το γινόμενο δυο αριθμών , τότε η εξίσωση που έχει ρίζες αυτούς τους τους δυο αριθμούς είναι η : χ2+ Sx + P = 0. δ) Εάν α < β και γ < δ , τότε α . γ <β . δ ΘΕΜΑ 3ο ι) Να δοθεί ο ορισμός της απόλυτης τιμής ενός θετικού αριθμού α ιι) Αν θ > 0 τότε να αποδείξετε ότι: x <θ ⇔ - θ < x < θ ιιι) Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: α) Αν x =α ⇔ ……………. β) Έστω τα σημεία Α(x, y) και Β(x, y ). Η απόσταση του Α από το Β δίνεται από τον τύπο : d (ΑΒ) = …………………. γ) Έστω f(x) = αx2 + βx + γ, με α ≠ 0. Αν x1 , x2 είναι οι ρίζες του τριωνύμου τότε η f(x) γίνεται γινόμενο παραγόντων σύμφωνα με τον τύπο : f(χ) = …………. ΘΕΜΑ 4ο ι) Να αποδείξετε ότι : .   .  ιι) Τι λέγεται απόσταση δύο αριθμών α και β ιιι) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) α) Ισχύει : β) Ισχύει :   .    .      γ) Οι ευθείες ε1 : ψ = 3λχ +2 και ε2 : ψ = δ) Αν x ∈ R , τότε : x2  x 1 λχ + 2 είναι παράλληλες . 3 ΘΕΜΑ 5ο ι) Αν οι ρίζες της εξίσωσης , X2 + βx + γ =0 με α ≠ 0 είναι οι ρ1 και ρ2   δείξετε ότι : S = 1  2  και Ρ = 1  2  (τύποι Vieta )   ι ι) Να χαρακτηρίσετε με Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τις παρακάτω προτάσεις : 1) Η εξίσωση α x = β έχει μοναδική λύση όταν α≠ 0 2) Όταν α ≥ 0 , τότε η  παριστάνει τη λύση της εξίσωσης x2 = α 3) Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει : – ⎢ α ⎢ ≤ α ≤ ⎢ α ⎢ 4) Αν στην εξίσωση αx2 + βx + γ =0 με α ≠ 0 ισχύει αγ<0 ,τότε έχει δύο ρίζες άνισες ΘEMA 6ο Δίνεται η εξίσωση ε : αx2 + βx + γ = 0 , όπου α ≠ 0. α. Να γράψετε τη Διακρίνουσα Δ της εξίσωσης (ε) και ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιεί η Δ , ώστε η (ε) να έχει πραγματικές ρίζες (χωρίς απόδειξη ) β. Αν η εξίσωση ε έχει πραγματικές ρίζες, τότε να γράψετε τους τύπους των ριζών της σε σχέση με τα α, β, γ (χωρί ςαπόδειξη) γ. Αν η εξίσωση ε έχει πραγματικές ρίζες ίσες τότε να γράψετε τους τύπους των ριζών της σε σχέση με τα α, β ( χωρίςαπόδειξη ) ΘΕΜΑ 7ο Α) Να δώσετε τους ορισμούς της Αριθμητικής Προόδου Β) Αν α,β,γ διαδοχικοί όροι Αρ.Προόδου ,να δείξετε ότι 2β=α+γ Γ) Να χαρακτηρίσετε με Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τις παρακάτω προτάσεις : α.Οι αριθμοί 3,7,11,15,19,….αποτελούν Αρ. Πρόοδο β. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f  x   4  x 2 είναι A   2, 2 γ. Αν   7 ,τότε και   7 ΘΕΜΑ 8ο ι) Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ιδιότητες των απολύτων τιμών: 2  …… α) β)     …….. γ)     ……… ιι) α) Να χαρακτηρίσετε ως σωστό ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) τις επόμενες προτάσεις :            β) Αν   0 , τότε : γ) Αν ,   0 , τότε : δ) 2              ΘΕΜΑ 9ο Α. Nα δείξετε ότι       για κάθε α, β ∈R. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) α) Αν x, ψ ≥ 0 , τότε      β) Για κάθε x ∈R ισχύει :    2  γ)Γι α κάθε x, y∈R ισχύει : x2  y2  2  x  y δ) Αν x + y < y , τότε : x < 0 ε) Η εξίσωση α∙x = 0 είναι αδύνατη ΘΕΜΑ 10ο ι) Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης τιμής του πραγματικού αριθμού α. ι ι) Να αποδείξετε ότι: αν θ > 0, |x| < θ ⇔ − θ < x < θ. ιιι) Να γράψετε αν είναι σωστοί (Σ) ή λάθος (Λ), οι παρακάτω ισχυρισμοί: α. |α + β| = |α| + |β| , ∀α, β∈R. β. |x| 2 = x 2 , ∀ x ∈R γ. |x +1| +3 =0 είναι αδύνατη , ∀ x ∈R δ. Αν |α| + |β| = 0 , τότε : α = 0 ή β = 0 ΘΕΜΑ 11ο ε. |x| > − 2 , ∀ x ∈R ι) Να αποδείξετε ότι για κάθε α , β ∈ R ισχύει : |α⋅β | = | α |⋅| β |. ιι) Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης τιμής πραγματικου αριθμού α ιιι) Να γράψετε Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) στις παρακάτω προτάσεις : α) Αν α  0 , τότε η εξίσωση αχ+β=0 , δεν έχει μία λύση β) Για χ ∈ R κα ι θ > 0 , ισχύει : | x | = θ ⇔ x = ± θ . γ) Η ευθεία χ = α είναι παράλληλη στον άξονα χχ΄ . δ) Αν η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης : αχ2 +βχ +γ = 0 ,α a  0 είναι θετική , τότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες ΘΕΜΑ 12ο ι) Να αποδείξετε ότ ι: Δύο ευθείες ε 1 και ε2 με εξισώσεις ε1 : y = α 1 x + β 1 και ε2 : y = α 2 x + β2 αντίστοιχα, είναι παράλληλες μόνο όταν οι συντελεστές διεύθυνσης αυτών είναι ίσοι. ιι) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις μ ε Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ): α) Μί α ευθεία παράλληλη στον άξονα x΄x σχηματίζει με τον άξονα των χχ΄ γωνία 90° β) Αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία ε :y = αx + β με τον άξονα των χχ΄, τότε εφω = β γ) Οι συντελεστές διεύθυνσης δύο κάθετων ευθειών έχουν γινόμενο ίσο με -1 δ) ευθεία y = αx δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων . ΘΕΜΑ 13ο Α1.Αν x1 , x 2 οι ρίζες της εξίσωσης x 2  x    0 με   0 να αποδείξ ετε ότι το άθροισμά  .  Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. τους S  x1  x 2 δίνεται από τη σχέση S   i. Αν  ,   τότε        . ii. Αν   0 τότε iii. Αν τρεις μη μηδενικοί αριθμοί  ,  ,  είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε ισχύει : 2     . iv. v. Η εξίσωση x    με   0 και  άρτιο φυσικό αριθμό έχει ακριβώς δύο λύσεις τις Αν   0 και   0 τότε η εξίσωση x    0 έχει ακριβώς μια λύση.     a , όπου ,  θετικοί ακέραιοι.   και    . Α3.Πότε μια ακολουθία     λέγεται αριθμ ητική πρόοδος. ΘΕΜΑ 14ο 1. Να αποδείξετε ότι          για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς ,   0 και για κάθε θετικό α. ακέραιο ν. Τι λέγεται γεωμετρικός μέσος δύο αριθμών α και γ; Να χαρακτηρ ίσετε τις προτάσεις που ακολ ουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στ ο γράμ μα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Αν α > β τότε α∙γ > β∙γ , για κάθε πραγματικό αριθμό γ. β. Ισχύει x  x για κάθε x  R . γ. δ. ε. Το συμμετρικό του σημείου Μ(α, β) ως προς τον άξονα y’y είναι το Μ’(α, -β) για κάθε α, β. Αν η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 με α ≠ 0 έχει δύο άνισες ρίζες x1, x2 τότε αx2 + βx + γ = α∙(x - x1)∙(x – x2). Ο ν-οστός όρος αν μιας αριθμητικής προόδου ισούται με αν = α1 +(ν-1)ω , όπου α1 ο πρώτος όρος και ω η διαφορά της προόδου. 2. 3. Β ΘΕΜΑ Β 1. Δίνονται τα σημεία Α(λ2+1 , λ+2) και Β(λ – 3, λ2 + 2λ), με λ . Β1. Αν τα Α,Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y’y, να βρείτε τις τιμές του λ. Β2. Βρείτε τις τιμές του λ, ώστε το σημείο Β να βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο του ορθοκανονικού συστήματος. Β3. Για λ = 0, i. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από τα σημεία Α και Β, καθώς και το είδος της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα x’x. ii. Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στην ευθεία y = (κ3 + )∙x –7, να βρείτε την τιμή του κ . 2. Έστω η ευθεία (ε) με εξίσωση y = α∙x +β , η οποία έχει κλίση 3 και τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο με 1. 2. 3. τεταγμένη -1. Να υπολογίσετε τα α, β. Να χαράξετε την γραφική παράσταση της ευθείας ε. Να υπολογιστεί το λ έτσι ώστε η ευθεία (ε) να είναι παράλληλη με την ευθεία (ζ) που έχει εξίσωση y = │λ-2│∙x + λ. 3. Α) Δίνεται η εξίσωση λx2-4x+8=0. Να βρεθεί το λ ώστε η εξίσωση να έχει μια διπλή λύση. Β) Να λυθεί η εξίσωση: 2  x  3 3  3  x  1  x 1 4  x 2 Α. Β. x  x  1. x2 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Dg της συνάρτησης g . Να βρεθούν οι τιμές της συνάρτησης g ,  x  1   x  3. Γ. Αν g  3  3  2 και g 1  1 να λυθεί η εξίσωση: 4. Δίνεται η συνάρτηση: g x   g  3  2  2  g 1 . 3x 2  2x  5 x3  x α. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : i. 3x 2  2x  5 ii. x 3  x 5. Δίνεται η παράσταση :  β. Να βρείτε τις τιμές του x   ώστε να ορίζεται η παράστ αση Α. γ. Να αποδείξετε ότι :   3x  5 x2  x 6. Α) Να λύσεις την εξίσωση : 2χ2-10χ+12=0 B) Nα λύσεις την ανίσωση: 2x2-10x+12  0 7. Δίνεται η συνάρτηση f (x )  2x  7 Β1. Να λυθεί η εξίσωση f (x )  5 Β2. Να λυθεί η ανίσωση f (x )  3 Β3. Να βρείτε που τέμνει η γραφική παράσταση τους άξονες xx και yy Β4. Να βρείτε τα σημεία Α( 1, f (1)) και Β (3, f (3)) και να βρείτε την απόσταση των τεταγμένων τους 8. Δίνονται οι παραστ άσεις:   x2 x 2  6x  9  και   x x 3 B1.Να απλοποιήσετε την παρ άσταση   3 28  1  3 28  1 . x2 x 2  6x  9  αν 0  x  3 . x x 3 Β2.Να υπολογίσετε την τιμή τ ης παράστ ασης   3 28  1  3 28  1 . 3 4 5 3 Β3.Αν   2 και   3 να λύσετε την ανίσωση:   .    3x 2  2x  5 x3  x α. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : i. 3x 2  2x  5 ii. x 3  x β. Να βρείτε τις τιμές του x   ώστε να ορίζεται η παράστ αση Α. 3x  5 γ. Να αποδείξετε ότι :   2 x x 9. Δίνεται η παράσταση :  10. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο : f  x   x2  4.x 3 x  2.x 1.Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. 2.Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης f. 3.Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες x΄x και y΄y. 20143  4  2014 4.Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης :   . 20142  2  2014 Γ ΘΕΜΑ Γ 1. Έστω οι αρ ιθμοί 4, x – 1, 3x – 11 οι οποίοι είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής πρ οόδου (α ν ) με λόγο λ ≠ 1. 1. 2. Να υπολογιστεί το x και το λ της προόδου. Αν ο τέταρτος όρος της είναι το 4 τότε: 1 α)Να αποδείξετε ότι 1  . 2 β)Να υπολογιστεί τ ο άθροισμα των 10 πρ ώτων όρων της προόδου. 3. 3 γ)Να αποδείξετε ότι 16  2 2 , όπου   10 . 2. Δίνονται οι αριθμοί   3x  5 ,   x  1 ,   x  3 . Γ1.Να βρείτε την τιμ ή του x ώστε οι αριθμοί , ,  να είναι διαδοχικοί όρ οι αριθμητ ικής προόδου. Γ2.Αν x  5 και 17   να βρείτε τ η διαφορά ω τον πρώτ ο όρο ( 1 )και τον πέμπτ ο όρο ( 5 ) της αριθμητ ικής προόδου. y 5 3. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση C f μιας άρτιας συνάρτησης f , που έχει πεδίο 4 Cf 3 ορισμού το διάστημα: Df   3,3. 2 1 4 x' -3 2 -1 0 1 2 3 x 1 y' Α. Να βρείτε τα διαστήματα του x   3,3 για τα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα και για εκείνα που η f είναι γνησίως φθίνουσα. Β. Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f , καθώς και οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x που τα παρουσιάζει. Γ. Να βρείτε το είδος της συμμετρίας που παρουσιάζει η C f . Δ. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f . 4. Να βρείς αν υπάρχουν, τις λύσεις των εξισώσεων: Α) χ3= 8 , Β) χ4= -16 , Γ) χ3= -8 , Δ) χ4= 16 5. Δίνεται η συνάρτηση f (x )  x 2  2(  1)x    3 με   0 Γ1. Να λυθεί η εξίσωση f (x )  0 για λ = -1 Γ2. Για λ=3 , να λυθεί η ανίσωση f (x )  0 Γ3. Να αποδείξετε ότι στην εξίσωση f (x )  0 , η διακρίνουσα είναι η Δ= 4λ+4 Γ4. Να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει ότι x1  x 2  x1  x 2 6. Έστω οι αριθμοί 4, x – 1, 3x – 11 οι οποίοι είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής πρ οόδου (α ν ) με λόγο λ ≠ 1. Α.Να υπολογιστεί το x και το λ της προόδου. Β.Αν ο τέταρτος όρος της είναι το 4 τότε: 1 α)Να αποδείξετε ότι 1  . 2 β)Να υπολογιστεί τ ο άθροισμα των 10 πρ ώτων όρων της προόδου. 3 γ)Να αποδείξετε ότι 16  2 2 , όπου   10 . 7. Βρείτε τις λύσεις στις παρακάτω εξισώσεις: Α.|5x+4|=3x+20 Β. α. | x  2 | 3 | 2  x | 3 | x  2 | 1 Να λυθεί η ανίσωση:   5 2 5 β. γ. Να λυθεί η ανίσωση: 4x  x 3 0 x2  1 Να βρεθούν οι κοινές ακέραιες λύσεις των παραπάνω ανισώσεων 2x 2  14x  24 x2  9 Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Β)Να απλοποιηθεί ο τύπος της συνάρτησης Γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες χ΄χ και ψ΄ψ . 8. Δίνεται η συνάρτηση f (x )  Δ) Να βρεθούν οι τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται πάνω από τον χ΄χ . 9. Δίνονται οι παραστάσεις (x )  x  2  3  x και (x )  1  x  3 Α) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) (x )  4 και ii) (x )  5 Β) Να λυθεί η εξίσωση (x )  0 Γ) Να λυθεί η ανίσωση (x )  (x ) 10. Δίνεται η παράσταση Α = 25x 2  x 2  8x  16  (8  4x ) 2 α. Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α γίνεται: Α = 5|x|+ |x – 4| - |8 – 4x| β. Αν 2 < x <4 να αποδείξετε ότι Α = 12 1 x 11. Δίνεται η συνάρτηση f  x   Α) Β) x3  x Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο O  0,0  . 1 x 2 x  6    12. Δίνεται η συνάρτηση : f (x)   Α) Β)  x  0 με  R  x  0 Να βρείτε το  ώστε f  0   f  8  Αν   3 τότε: α) Να βρείτε την απόσταση των σημείων A  3, f (3)  και B  5, f (5)  Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης P  13. Δίνονται οι ευθείες  1  :  f 1  4  2   f  9   4 Β) Να βρείτε το  ώστε οι ευθείες  1  και   2  να είναι παράλληλες Γ) Αν   3 να βρείτε τα σημεία στα οποία η   2  τέμνει τους άξονες x 2 14. Δίνεται η συνάρτηση f  x    1  2 x Β) Γ)  x 1  x 1 1 f   και f  2  2 Να υπολογίσετε την απόσταση των σημείων  1, f  1  και f  3 , 2   2  : y  5x  8 με  R ώστε η  1  να διέρχεται από το σημείο  2, 4  Να βρείτε –αν υπάρχει- τιμή του  Να βρείτε τα  y    2  6  x  5 και Α) Α) β) f  1 ,  2, f  2  1 Να βρείτε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς f  1 και f   2 15. Δίνονται τα τριώνυμα: Px   x 2  5x  4 , Qx   9  x 2 και K x   x 2  x  1 . Α) Να λύσετε κάθε μια από τις ανισώσεις: Px   0 , Qx   0 και K x   0 . Β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f x   Px   K  1 Qx  Δ ΘΕΜΑ Δ 1 1. Δίνεται η συνάρτηση f  x   2 x x 1 Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να απλοποιήσετε τον τύπο της Β) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή Γ) Να λύσετε την ανίσωση f  x   1 x 2. Δίνεται η εξίσωση λ(λx – 1) + λ2 = (3λ – 2)x όπου x o άγνωστος και λR α. Nα βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ αν η εξίσωση έχει ως ρίζα τον αριθμό 2. β. Nα λυθεί η εξίσωση για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ. γ. Αν η εξίσωση είναι αόριστη να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού α ώστε να ισχύει: |(α+1)3λ| = 8 3. Δ1. Να βρείτε τις ρίζες του τριωνύμου x 2  x  12 . Δ2. Να δείξετε ότι x 2  2x  3  0 για κάθε x  . Δ3. Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου P(x )  (x  1)(x 2  x  12)(x 2  2x  3) για τις διάφορες τιμές του x  . Δ4. Να βρείτε το πρόσημο των τιμών P(5, 23) και P(1,014) . 4. Δίνεται η παραβολή f  x   x 2  2x  3 με .   , για την οποία έχουμε ότι η γραφική της παράσταση τέμνει τον xx στο σημείο  1,0  και ότι διέρχεται από το σημείο   2,15  .   2  3 Α.Αποδείξετε ότι για τους πραγματικούς ,  ισχύει :  .  4  4  12 Β.Να δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης είναι f  x   x 2  4x  3 . Γ.Λύστε την εξίσωση f x  x2  x  2. Αν για κάθε x   ισχύει x 2  4x  3  f  x 0  , να βρείτε τον αριθμό x 0 . 5. Δίνεται το τριώνυμο f(x)=x2-2x+|λ-1| με λ  R α) Να δειχθεί ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι:   4(1-   1) β) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση f(x)=0 έχει μία ρίζα διπλή; γ) Για ποιές τιμές του λ ισχύει f(x) > 0 για κάθε x  R; δ) Για λ=2 να λυθεί η ανίσωση (x-3) f(x) 0 1-x2 6. Δίνεται η συνάρτηση f (x )  x2  4 x2  x  2 Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f . Β) Να δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f παίρνει τη μορφή Γ) Να λυθεί η ανίσωση: f (x )  x2 x 1 2x 2  2x  7  f (x )  0 x 1  2x  3 x 1 Δ1) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της με μορφή διαστημάτων. Δ2) Να βρείτε τα σημεία τομής της συνάρτησης f με τον άξονα x΄x και με τον άξονα y΄y. Δ3) Αφού απλοποιήσετε τον τύπο της παραπάνω συνάρτησης, να δικαιολογήσετε γιατί παριστάνει ευθεία γραμμή από την οποία εξαιρείται ένα σημείο. Ποιο είναι αυτό; Τι γωνία σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x΄x; 7 Δίνεται η συνάρτηση f (x)  x 8. Δίνεται η συνάρτηση f (x)  2 x  2  3  k , k R α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(5, 3) να βρείτε τη τιμή του κ. γ. Για κ = 1 να βρείτε σε ποια σημεία τέμνει τους άξονες χ΄χ και ψ΄ψ (αν τους τέμνει) η γραφική παράσταση της f. δ. Να δείξετε ότι f (2011)  ( 2010  1)  2009 2 9. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x 2 3x   , κR x x Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Α Β. Να βρείτε την τιμή του κ αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Μ( -1, 3) Γ. Για κ = 1 να απλοποιήσετε τον τύπο της f Δ. Να βρείτε για ποιες τιμες του χ  Α η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ. 10. Δίνεται η συνάρτηση f (x )  x 2  x  2  4 x 2  6x  8 Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της A Δ2. α. Να αποδείξετε ότι: x 2  x  2  0 , για κάθε πραγματικό αριθμό x β. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f απλοποιείται στη μορφή Δ3. Να λύσετε την ανίσωση x  f (x )   f (5) 2 f (x )  x 1 , xA x4 11. Δίνεται η συνάρτηση f  x   x 2  16 x 2  4x Α) Β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να απλοποιήσετε τον τύπο της. Να λύσετε την εξίσωση f  x   2 Γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει 0  f  x   2 f (x )  x 2     1 x   ,   0 Α.Να βρείτε τι τιμές του  , ώστε η εξίσωση f (x )  0 να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Β. Να βρείτε τις τιμές του  , ώστε η εξίσωση f (x )  0 να έχει ρίζες δύο αντίστροφους πραγματικούς αριθμούς. Γ. Να βρείτε τις τιμές του  , ώστε το τριώνυμο να έχει θετικές τιμές για κάθε x   . 12. Θεωρούμε το τριώνυμο 13. Έστω η συνάρτηση f (x)  (  2)x 2  2  x    2 με λR – {2}. i. ii. Δ1. Να βρείτε την τιμή του λ, ώστε η συνάρτηση να έχει ελάχιστο στο x 0  2 Δ2. Για λ = 4: Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x) και τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες x’x και y’y. Να λυθεί η εξίσωση f (x )  2x  2 . iii. Nα δειχτεί ότι ο αριθμός   iv. Για ποιες τιμές του x,με x αξόνων. 4 f (5) f (4)  1 2  f (0)  1 Α=, είναι ρητός. , η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τη διχοτόμο της 2ης και 4ης γωνίας των 14. Έστω η συνάρτηση f (x )  (2x 2  7x  15)(4x  4) 8x  12 Α.Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και να αποδειχθεί ότι f (x )  x 2  4x  5 . Β.Για ποιες τιμές του x η Cf βρίσκεται κάτω από τον άξονα x’x; Γ.Να αποδείξετε ότι 15. f (3)  3 8f (4) f (2)  3 Δίνεται η συνάρτ ηση f  x    5( 7  3) . 1 .  x  6x  8 Δ1.Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f . 2 Δ2.Να απλοποιηθεί η συνάρτηση h  x    f  x     4  x 2  . 2 Δ3.Αν h  x   2x 1 , να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες x1  h  3 και x 2  . x4 h  3 16. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2x2+3x+1=0 Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(x) B) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η f έχει α. θετικές τιμές και β. αρνητικές τιμές Γ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) 1 17. Δίνονται οι συναρτήσεις: f  x   x 2  3  g  x   5x  ,  ,      0. Α. Να βρεθούν τα ,   ώστε η παραβολή να διέρχεται από το σημείο  1, 2  και η ευθεία να τέμνει τον Β. άξονα y ' y στο σημείο   0, 9  . Αν   1    9 τότε, να βρεθούν: Οι συντεταγμένες των κοινών σημείων της παραβολής και της ευθείας.  3x 2  2x  1 , x  0 18. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f (x)   ,x0  | 2x  3 | 1 α. Να βρείτε τις τ ιμές : f (0) , f ( 2) , f   . 2 β. Αν x  0 , να λύσετε τ ην ανίσωση : f (x )  0 . γ. Αν x  0 , να λύσετε την ανίσωση : f (x )  5 19. Δίνονται οι ευθείες (1 ) : y  (  2)x  1 και ( 2 ) : y  (1  2)x  5,    Δ1. Αν η ευθεία (1 ) διέρχεται από το σημείο Α(3 ,2) να υπολογίσετε την τιμή του λ Δ2. Να βρείτε την τιμή του λ ώστε οι ευθείες (1 ) , ( 2 ) να είναι παράλληλες Δ3. Αν λ = -1 , να βρείτε το κοινό σημείο των ευθειών (1 ) , ( 2 ) Δ4. Για λ = -3 , να σχεδιάσετε την ευθεία ( 2 ) . 20. Δίνεται η συνάρτ ηση f  x   1 .  x 2  6x  8 Δ1.Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f . Δ2.Να απλοποιηθεί η συνάρτηση h  x    f  x     4  x 2  . 2 Δ3.Αν h  x   2x 1 , να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες x1  h  3 και x 2  . x4 h  3 Ε ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνεται η εξίσωση  2    x 2  4x  4  0 1 και η ευθεία  2  2  2  x   2  2  2  y  2  2  4 ,με  , R  2  . Αν η εξίσωση 1 έχει μια διπλή ρίζα και η ευθεία  2  διέρχεται από το σημείο A  1,1 ,τότε : α. Να δείξετε ότι     2 . β. Να λυθεί η εξίσωση  2  2  7  x 2  2  3  2  x      1 x 1 γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση 2        x    2 2 2    1 2013 0 x   2  2    2  0 έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες ,για κάθε R . 2. Δίνεται το τριώνυμο f  x   3x 2     5 x  2 με R και διακρίνουσα  . Αν   12 ,τότε : α. Να βρείτε τον R . β. Για την μικρότερη από τις τιμές του  που βρήκατε ,να προσδιορίσετε τα x R για τα οποία η γραφική παράσταση της f  x  βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx . γ. Για την μεγαλύτερη από τις τιμές του  που βρήκατε ,να προσδιορίσετε τα x R για τα οποία ισχύει f  1 x2  x  2   f 1   37  x 2  4x  4 . 3.Οι αριθμοί x  1 ,-2x-3 ,3x-5 είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου Α.Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x . Β.Να βρείτε την διαφορά  της αριθμητικής προόδου. Γ.Αν ο αριθμός 2x  3 είναι ο 50ς όρος της ΑΠ ,τότε να βρείτε: i) Τον πρώτο και 210 όρο της ΑΠ . ii) Το άθροισμα S21 των 21 πρώτων όρων της ΑΠ. 4.Σε μια αριθμητική πρόοδο     ισχύουν οι σχέσεις : S5  5 και 2   7  12  15 . Να βρείτε : α. Τον πρώτο όρο 1 και την διαφορά  της αριθμητικής προόδου. β. Τον τριακοστό πρώτο όρο  31 γ. Τον θετικό ακέραιο  για τον οποίο ισχύει η σχέση S  14 . δ. Να βρείτε την μεγαλύτερη θετική ακεραία τιμή του  για την οποία ισχύει:  3 3     17    . 5.Σε μια αριθμητική πρόοδο     ισχύουν οι σχέσεις : S5  5 και 2   7  12  15 . Να βρείτε : α. Τον πρώτο όρο 1 και την διαφορά  της αριθμητικής προόδου. β. Τον τριακοστό πρώτο όρο  31 γ. Τον θετικό ακέραιο  για τον οποίο ισχύει η σχέση S1  14 . δ. Να βρείτε την μεγαλύτερη θετική ακεραία τιμή του  για την οποία ισχύει:  3 3     17 ε. Να βρείτε την μικρότερη θετική ακεραία τιμή του  για την οποία ισχύει:  3 3     13 στ. Έστω ο δειγματικός χώρος   1,2,3,...,100 αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα . Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου : A   /  33     13 6. Σε μια αριθμητική πρόοδο ο 2os και ο 8os όρος διαφέρουν κατά 24, ενώ το άθροισμα του 12ou και του 4 ou είναι 70. Α. Αν γνωρίζουμε ότι η διαφορά της είναι θετική ,να δείξετε ότι 1  7 και   4 . Β. Ποιο είναι το άθροισμα των όρων της που βρίσκονται μεταξύ του 8ou και του 25ou όρου της; Γ. Δίνεται η εξίσωση x 2  31x  210  0 με ρίζες x1 ,x 2 και η παράσταση x1 x 2  41  2 με N .Αφού λύσετε την εξίσωση,τότε : 10 i) Να εξετάσετε ποιες από τις ρίζες x1 ,x 2 της είναι όροι της παραπάνω ΑΠ.      x1  x 2    ii) Να βρείτε τους όρους   της ΑΠ ,αν ισχύει :      21 iii) Αν οι τιμές του  καθορίζονται από τις ρίψεις ενός αμερόληπτου ζαριού,να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου να ισχύει :      27 10 , x>0. x Α. Aν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου , να βρεθεί το x. Β. Ο αριθμός α είναι ο 4ος όρος της προόδου. Να βρεθεί ο πρώτος όρος α1 της προόδου.        x  10 με x R  0 Γ. Δίνεται η συνάρτηση f  x    x i) Να δείξετε ότι f  x   x 2  x  1 7. Δίνονται οι αριθμοί α  x 2  2x , β  3x , γ  1  ii) Να λύσετε την εξίσωση f  x   f  1  f  1  2 8. Δίνεται η συνάρτηση f  x   x 2  10x  25  i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. 1 x iii) Να λύσετε την ανίσωση f  x   x  5 ii) Να λύσετε την εξίσωση f  x   7  1 x 2x  5 x  4x    4 Α.Να βρείτε τις τιμές του R για τις οποίες η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το R . Β.Δίνεται ότι   9 και οι τιμές του  καθορίζονται από τις ρίψεις ενός αμερόληπτου ζαριού. i) Να λύσετε την εξίσωση f  x   1 ii) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου να ισχύει : f  0     2  34f 2   2f 1   16 9. Δίνεται η συνάρτηση f  x   2 10. Δίνεται η συνάρτηση f  x   x 2  2x  1 Α. Να δείξετε ότι f  x  2013  0 για κάθε x R Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g  x   f  x  και να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης g χωρίς το σύμβολο της ρίζας. 4  g x  1 5  g  x    3 2 Δ. Να λύσετε την εξίσωση f  x   x  1 Γ. Να λύσετε την εξίσωση 3 3 1 3  και g  x    ,όπου R . x 2 x x 2 Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f,g . 11. Δίνονται οι συναρτήσεις f  x   Β. Να βρείτε τον R ,ώστε η C f να διέρχεται από το σημείο A  3,1 Γ. Για   1 ,να βρείτε αν υπάρχουν : i) Τα σημεία τομής της C f με τους άξονες xx και yy . ii) Τις τετμημένες των σημείων τομής των C f ,C g . iii) Πραγματικές τιμές του  ,ώστε οι αριθμοί  2 f  1  ,  2  1  g  1  , g  1   f  1   3 να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. 12. Δίνεται η εξίσωση x 5  81x  0 και κ , λ , μ οι ρίζες της κατά αύξουσα σειρά. Α. Να βρείτε τους αριθμούς κ,λ,μ 1 1 Β. Να δείξετε ότι     1  1 Γ.Να δείξετε ότι οι αριθμοί κ,λ,μ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής πρόδου. Αν ο 100ς όρος της ΑΠ είναι 24 ,να βρείτε τον 21 όρο της . Δ. Αν τα σημεία M 2  5 ,   και M   3,   είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα xx ,να βρείτε τον R . x3  x x2  x i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Να δείξετε ότι f  x   x  1 ,για x  1,0 13. Δίνεται η συνάρτηση f  x   iii) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η C g της g  x   f  x   x 2  2x  1 ,τέμνει τους άξονες. iv) Να λύσετε την εξίσωση f  x   f  x  14. Δίνονται οι συναρτήσεις f  x   8  1  x και g  x   2x  2  1 Α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού τους. Β. Να βρείτε για ποια x ορίζεται η παράσταση   f  x   g  x  Γ. Να δείξετε ότι f  4  f  4   f  4   f 4 f  4   f  4  4 Δ. Να λύσετε την εξίσωση f 2  x   g2  x  15. Δίνεται η τρωνυμική παράσταση T  x   x 2     3  x    2 Α. Να δείξετε ότι η εξίσωση T  x   0 1 , έχει πραγματικές ρίζες για κάθε R . Β. Να βρείτε την τιμή του R ,ώστε η εξίσωση 1 ,να έχει ρίζα τον αριθμό  3 4 3 4 Γ. Αν x1 ,x 2 είναι ρίζες της 1 ,να βρείτε τον R ,ώστε x12 x2  x1x 22  2 16. Δίνεται η εξίσωση x 2  x  2  3  0 , R . Α. Να βρείτε τις τιμές του R ,για τις οπίθες η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες. Β. Για   1 i) Να βρείτε τις ρίζες x1 ,x 2 της εξίσωσης. ii) Να βρείτε την εξίσωση 2ου βαθμού ,που έχει ρίζες τους αριθμούς 2  x1 , 2  x2 iii) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης   x12  3x12 x 2  3x1x 22  x 22 17. Δίνεται η εξίσωση x 2  x  2  3  0 , R . Α. Να βρείτε τις τιμές του R ,για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες. Β. Για   1 i) Να βρείτε τις ρίζες x1 ,x 2 της εξίσωσης. ii) Να λύσετε την εξίσωση x2   x1  x2  x  x1 x 2  x 4  x 4  2 iii) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης   2x1  2x 2 18. Δίνεται η συνάρτηση f  x   x  3  1 x5 i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Να εξετάσετε ποιά από τα παρακάτω σημεία ανήκουν στην C f  6 2 1   22  A  4,0  , B  12,  ,   7,4  και   8,  7  3    iii) Να δείξετε ότι : 2 f  6  f  6   2  2 iv) Να βρείτε τη εξίσωση της χορδής ΑΓ 19. Δίνονται οι συναρτήσεις f  x   x 2  4x    3 , R και g  x   x  9 . Α. Να προσδιορίσετε τον R ,ώστε το σημείο  1, 8  να ανήκει στην C f . Β. Για   2 i) Να βρείτε τα κοινά σημεία των C f ,C g . ii) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της C f που είναι πάνω από την C g . iii) Να λύσετε την ανίσωση : f  x   g  x  20. Δίνεται η συνάρτηση f  x   x 2     2  x    5 , R i) Να δείξετε ότι η γραφική της παράσταση ,έχει δύο κοινά σημεία με τον άξονα xx ,για κάθε R . ii) Αν x1 ,x 2 οι τετμημένες των σημείων τομής της C f με τον άξονα xx ,να βρείτε την τιμή του R ,ώστε x1  x 2  3 iii) Για τα R που βρήκατε στο (ii) ,να βρείτε τα σημεία τομής της C f με xx .