ΕΔΩ - cutemaths Βαγγέλης Νικολακάκης

2013
ΘΕΩΡΙΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Βαγγέλης Α Νικολακάκης
Μαθηματικός
ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ
Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 100 , δηλαδή το σύνολο των μονάδων
των προαγωγικών εξετάσεων της Β Λυκείου στα Μαθηματικά.
Φιλοδοξεί να φέρει τον μαθητή της Β Λυκείου:
 Σε επαφή με θέματα που έχουν δοθεί σε εξετάσεις Λυκείων.
 Σε κατάσταση πλήρους ετοιμότητας πριν τις εξετάσεις του , λύνοντας τα Θέματα Α-Β-Γ-Δ
 Σε επαφή με γενικά θέματα ,πολλά από αυτά νέα με ΄΄υφή΄΄ Πανελλαδικών Γ Λυκείου (ενότητα Ε) .
Έτσι του δίνεται η ευκαιρία για δυναμική δοκιμασία και τριβή με θέματα επιπέδου, …λίγο πριν
την Γ Λυκείου..
Βαγγέλης Α Νικολακάκης
Το τυπολόγιο είναι του εκλεκτού συναδέλφου , από τα όμορφα Χανιά
ΜΙΛΤΟΥ ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΑΚΗ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
0. Τυπολόγιο
1. Θέματα Θεωρίας από εξετάσεις Λυκείων
2. Ασκήσεις (Θέμα Β) από εξετάσεις Λυκείων
3. Ασκήσεις (Θέμα Γ) από εξετάσεις Λυκείων
4. Ασκήσεις (Θέμα Δ) από εξετάσεις Λυκείων
5. ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ και ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
1
0
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ
2
3
4
5
6
7
1
1. Α1.
ΤΟ ΘΕΜΑ
8
Α
Αν α>0 με α≠1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ2>0 να αποδείξετε ότι ισχύει:
logα(θ1θ2) = logαθ1 + logαθ2.
Α2.
Πότε ένα πολυώνυμο λέγεται σταθερό και πότε μηδενικό;
Α3.
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο φύλλο των απαντήσεών σας τη
λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που ακολουθεί σε κάθε πρόταση:
α. Η συνάρτηση f(x) = ημx είναι περιοδική με περίοδο π.
β. Το μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού.
γ. Η συνάρτηση f(x) = συνx έχει πεδίο ορισμού [–1 , 1].
δ. Για κάθε x>0 ισχύει elnx = x.
ε. Η συνάρτηση f(x) = αx με 0<α<1 είναι γνησίως φθίνουσα στο IR.
2.
Α.
B.
Να χαρακτηρίσετ ε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντ ας στην κόλλα σας τη λέξη
Σωστό ή Λά θος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
Έστω
0
με
  1.
Να
αποδείξετε
ότι για
οποιουσδήποτε
log   1  2   log   1   log   2  .
1 ,  2  0
ισχύει ότι
α)Η διαίρεση ενός πολυωνύμου P  x  με το x   μπορεί να δώσει υπόλοιπο, ένα πολυώνυμο 1ου βαθμού.
β)Η εκθετική συνάρτηση f  x    x με 0    1 και x  R , είναι γνήσια φθίνουσα στο R αν και μόνο αν
0   1.
γ)Για κάθε   0 και 0    1 ισχύει ότι  log    log      .
δ)Οι λύσεις της εξίσωσης   x       με x,    

είναι οι x     με  Z .
2
ε) Η συνάρτηση f(x) = συνx είναι περιοδική με περίοδο Τ = 2π.
Γ. Πότε ένας αριθμός ρ λέγεται ρίζα ενός πολυωνύμου P  x  ;
3. Α.
9
Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x  ρ ,
είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου P(x) , για x = ρ, δηλαδή υ = P(ρ).
Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας
την λέξη «Σωστό» ή « Λάθος» δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση
α. 10x  θ  log   x,   0
β. ln
1 ln 1

, θ1 , θ2 > 0
2 ln 2
γ. Ένας αριθμός ρ, λέγεται ρίζα ενός πολυωνύμου  (x ) αν και μόνο αν , ισχύει ()  0
δ. Η συνάρτηση f (x)    (x ) έχει περίοδο  
2

Γ. Να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τα παρακάτω :
α.  x     x  
β. log  x  ...
όπου   0 , α  1 και x  R
γ. H συνάρτηση f (x)  ex , x  R είναι γνησίως …………….
δ. loga   …………. όπου α > 0 , α  1 ,  R και   0
4. Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία
ω ισχύει ότι ημ2ω + συν2ω = 1
Β) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ):
α) Η ευθεία y=αx δε διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
β) Η γραφική παράσταση της παραβολής f(x) = αx2+βx+γ έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία x= γ) Μια ευθεία παράλληλη στον άξονα x΄x σχηματίζει με τον άξονα των x γωνία 90°.
δ) Τα σημεία του άξονα y΄y έχουν τεταγμένη ίση με το μηδέν.
ε) Η κλίση της ευθείας y = αx+β είναι ίση με το συντελεστή του x.
β
2α
5. Α1.Να αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος αριθμός ρ είναι ρίζα ενός ακέραιου πολυωνύμοτ , τότε διαιρεί τον
σταθρό όρο του.
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την λέξη Σωστό ή Λάθος
δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
i.
Ένα πολυώνυμο P  x  έχει παράγοντα το x   αν και μόνο αν το  είναι ρίζα του P  x  δηλαδή αν και
μόνο αν P     0 .
ii.
iii.
Αν 0    1 τότε για κάθε   0 ισχύει :  log    .
Η εκθετική συνάρτηση f  x    x είναι πάντοτε γνησίως αύξουσα στο R .
iv.
Αν ο ακέραιος αριθμός ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου P  x   x 20  x10  12

τότε και ο αριθμός  είναι ρίζα του πολυωνύμου.
6. Α.
Να δείξετε ότι, το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P  x  με το
x   είναι ίσο με την τιμή
του πολυωνύμου για x   , δηλαδή   P    .
Β.
Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισοδυναμίες, που μας δίνουν τις λύσεις των αντίστοιχων
τριγωνομετρικών εξισώσεων.
1. x    x  ..........  x  ..........,   R
2. x    x  ..........  x  ..........,   R
3. x    x  ..........,   R
Γ.
Θεωρούμε τη εκθετική συνάρτηση: f (x)  ex , x  R.
Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις γράφοντας τη λέξη «Σωστό» ή «Λάθος», δίπλα στο γράμμα
που αντιστοιχεί στην κάθε πρόταση.
α. Η συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών το  0,   .
β. Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο  .
γ.
Το σημείο  1,0  ανήκει στην γραφική παράσταση της f .
7. 1.
Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x – ρ είναι ίσο με την τιμή
του πολυωνύμου για x = ρ, δηλαδή υ = Ρ(ρ).
2.
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολ ουθούν γρ άφοντας στην κόλλα σας τη λέξη
Σωστό ή Λά θος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
α.
Η συνάρτηση f(x) = αx με α > 1 είναι γνησίως αύξουσα στο R.
β.
Ισχύει  log    , για κάθε α > 0 , α ≠ 1 και θ > 0.
γ.
Το άθροισμα των συντελεστών ενός πολυωνύμου ,ισούται με την αριθμητική του τιμή P 1
δ.
Ο βαθμός ενός μηδενικού πολυωνύμου είναι 0.
ε. Η εξισώσεις x   και x   έχουν την ίδια λύση x     ,    .
στ. Η συνάρτηση f (x)   x ,   0 είναι γνησίως αύξουσα.
8. Α.α.Αν α>0 με α≠1,να αποδείξετε ότι για κάθε θ>0 και κєR ισχύει logαθκ=κlogαθ
β.Η συνάρτηση f(x)=logαχ,α>0 ,α≠1 είναι:
1.για α>1 γνησίως ...........................
2.για 0<α<1 γνησίως ...................
Να συμπληρώσετε τα παραπάνω κενά
Β Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη (Σ) ή (Λ) αν είναι σωστές ή λάθος
αντίστοιχα
α.Για κάθε χ>0 ισχύει elnx=χ
β. Η συνάρτηση f(x)=αx, 0<α≠1 έχει σύνολο τιμών το (0,+∞)
γ. Για κάθε χ≠0 ισχύει :lnx2=2lnx
δ.Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=lnx και g(x)= ex
έχουν άξονα συμμετρίας την ευθεία y=-χ
ε.Αν το πολυώνυμο P(χ) είναι v βαθμού με v∈N*τότε το πολυώνυμο P(χ).(χ2-4) έχει
βαθμό v+2
στ.Η εξίσωση ημχ=log102+συν1200 είναι αδύνατη
10
9. Α1) Να αποδείξετε ότι : ένα πολυώνυμο Ρ(χ) έχει παράγοντα το χ—ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(χ),
δηλαδή αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0.
Α2) Να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση της πρώτης στήλης του παρακάτω πίνακα με τη λύση της που βρίσκεται
στη δεύτερη στήλη
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΛΥΣΕΙΣ
ημχ=ημθ
χ=κπ+θ
συνχ=συνθ
χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ
εφχ=εφθ
χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+πθ
σφχ=σφθ
Α3) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Δ(χ) (διαιρετέος) δια του δ(χ)
(διαιρέτης),αναφέροντας τα ονόματα των υπόλοιπων πολυωνύμων που υπάρχουν σε αυτήν, όπως και τους
περιορισμούς για ένα από αυτά.
10. Α. Να αποδείξετε ότι : « Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου (x)
με το x  
είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x   .Είναι δηλαδή   P() ».
Β. Τι ονομάζεται λογάριθμος του θ ως προς βάση α; ( log a  )
Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την έκφραση «σωστό» ή «λάθος».
α. Το πεδίο ορισμού της εκθετικής συνάρτησης f (x)  ax είναι το R.
β. Ισχύει ln e  0 .
γ. Ισχύει ln x  0 , αν 0<x<1 .
δ. Η λογαριθμική συνάρτηση f (x )  ln x , έχει σύνολο τιμών το  0,  
ε. ln(x-ψ)=lnx-lnψ, οπου x,ψ θετικοί αριθμοί.
στ. To πολυώνυμε με τύπο P(x)=5 είναι μηδενικού βαθμού
ζ.Η συνάρτηση f(x)=lnx είναι γνήσια φθίνουσα στο (0,+  )
θ. α log  =θ και eln   
11
2
ΤΟ ΘΕΜΑ
12
Β
1. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 –2x + 4, όπου α, βIR. Το P(x) έχει παράγοντα
το x – 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6.
Β1.
Να δείξετε ότι α = –1 και β = –2.
Β2.
Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0.
Β3.
Να λύσετε την ανίσωση P(x) > 0.
Να λύσετε την εξίσωση συν4x –συν3x + 2ημ2x –2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [–
Β4.
π
, π).
2
2. Η συνάρτηση f(x)=α+β.συν2x με β>0, έχει μέγιστη τιμή το 4 και η γραφικής της παράσταση διέρχεται

,-5).
3
Β1.Να βρείτε τα α και β.
Β2.Για α=-2 και β=6:
i. Να βρείτε την περίοδο Τ της συνάρτησης f.
ii. Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f .
iii. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η συνάρτηση f παρουσιάζει τηνελάχιστη τιμή της.
vi. Να βρείτε τα κοινά σημεία της συνάρτησης f με την ευθεία y=1.
από το σημείο Μ(
3. Δίνεται
το πολυώνυμο : P(x)  x 3  x 2  4x  2   όπου ,  
α. Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του Ρ(x) και (2)  3 , να βρείτε τους αριθμούς α και β.
β. Αν   2 και   5 , να λυθεί η εξίσωση (x )  0
4. Δίνεται το πολυώνυμο P  x   x 3  6x 2  11x  1 .
Β1. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του P  x  με το x  1 .
Β2.Να λύσετε την ανίσωση P  x   5 .
Δίνεται το πολυώνυμο: (x)  x 3  6x 2  11x  ,    .
Α.
Να βρεθεί το    ώστε η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου  (x ) για
x  1 να είναι ίση με 24.
Β.
Για   6 να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου  (x ) με το
πολυώνυμο x  1.
Γ.
Να λυθεί η ανίσωση: (x )  0.
5. Να λύσετε τις εξισώσεις :
α)

2(x  )  1 β)
3

(  2x)      2x   1
2
γ)
22 x   2 x  3x  1
6. Έστω πολυώνυμο P(χ)=x3+αχ2+βχ+4 με α,β
13
R το οποίο έχει παράγοντες τους χ+1,χ-2
α. Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0
β. Για τις παραπάνω τιμές των α,β να λύσετε τηνεξίσωση P(χ)=0
γ.Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(χ)=P(χ) με α=-3 και β=0
να βρείτε :(i)το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y
(ii) τις τιμές του χ για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ
7. Β1) Να παραγοντοποιήσετε (αναλύσετε σε γινόμενο παραγόντων) το πολυώνυμο
  x   x 3  2x 2  x  2
Β2) Να λύσετε την εξίσωση: Π(χ)=0
Β3) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f(x)= χ3+2χ2-χ-2 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ.
8. Δίνεται
η συνάρτηση f (x )  x .
2
.
2
β. Να βρείτε την περίοδο , την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης g(x )  2f (4x ) .
γ. Να βρείτε για ποιες τιμές του x , ισχύει g (x )  1 .
α. Να λυθεί η εξίσωση f (x ) 
9.
Nα λύσετε τις παρακάτω τριγωνομετρικές εξισώσεις
1
2
α) ημχ=
β) συν(χ-  )=γ) εφ 2 χ-2 3 εφχ -3=0
2
2
10.


Δίνεται η συνάρτηση f  x   2ημ  2x 
π
1
2
α) Να γράψετε (χωρίς απόδειξη) το πεδίο ορισμού της Α f και την περίοδό της T
β) να βρείτε το ελάχιστο της f καθώς και τις τιμές του x για τις οποίες παρουσιάζεται το ελάχιστο αυτό
γ) Να λυθεί στο διάστημα  0, 2π  η ανισοϊσότητα f  x   3
11.
Δίδεται η συνάρτηση με τύπο f(x)  5ln x  3ln x 1  5ln x 1  3ln x 1 .
Α.
Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
B.
Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0.
12.
Να λυθεί η εξίσωση 2  σφx –
3  συνx = συνx  σφx – 2  3
Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3  x 2  4x  2
Α. Να βρείτε τις τιμές του κ αν γνωρίζετε ότι ο αριθμός ρ=1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x).
Β. Αν κ=2
α) να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το πολυώνυμο (x-1).
β) να λύσετε την εξίσωση: P(x)=0 .
γ) Να λύσετε την ανίσωση : Ρ (x)  0.
Μονάδες 7
13.
Θεωρούμε το πολυώνυμο P(x)  x 3  (  )x 2  x  2  1
Α. Αν έχει παράγοντα το  x  1 , να βρείτε τα  και  .
Β. Για τις τιμές των  και  που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση P(x )  0
Γ. Για τις ίδιες τιμές των  και  να λύσετε την εξίσωση P(x )  0
2
14.

Δίνεται η συνάρτηση f (x )  (2x  ) ,α  R
3
Α. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(

,1) να βρείτε το α
4
Β. Αν α = 2 τότε:
α) να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f (Μον 6)
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = - log10
15.
Δίνεται η συνάρτηση


f  x   2  2x    1, x  R
2

της οποίας η γραφική παράσταση
φαίνεται στο διπλανό σχήμα.
Α. Να βρεθεί το μέγιστο, το ελάχιστο και η περίοδος της f
Β. Να λυθεί η εξίσωση f  x   0 στο διάστημα 0, 
16.
Δίδεται η συνάρτηση
 2x 
f  x   3  
 3
α). Να βρεθεί η περίοδός της.
β). Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της f.
γ). Να βρεθεί για ποιες τιμές x  (0, π) ισχύει : f  x  
3
2
17.
Δίνεται η συνάρτηση f (x )  5  x , (α,β>0)
Α.Αν η περίοδος της f(x) είναι ίση με 12 και το ελάχιστο της f(x) είναι ίσο με 3, να βρεθούν τα α,β
Β.Να γίνει γραφική παράσταση της f(x) για 0  x  24
Γ.Να βρεθεί η τιμή της f(x) για x=1 και για x=8
Δ.Να βρεθούν οι τετμημένες των σημείων τομής της f(x) και της g(x)=4 στο (0, 24)

Δίνεται η συνάρτηση f  x   (x  )
3

Α.Να λυθεί η εξίσωση f(2x)+ f ( )=0
2
Β.Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης
g(x)=2 f(x) - 1 τέμνει τον άξονα χ΄χ
18.
14
3
ΤΟ ΘΕΜΑ
3
Γ
2
Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x + x + k x + 2 με k πραγματικό αριθμό.
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει ρίζα τον – 2 να βρεθεί ο k.
β) Αν k = – 1
i. Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) :( x+1) και να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης.
ii. Να λυθεί η εξίσωση: Ρ(x) = 0.
1.
2.
Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x4-8x3+(5α-1)x2+8x-3α-6, όπου α ε IR .
α.
Να κάνετε την διαίρεση του Ρ(x) δια του x2-1 και να
γράψετε τη σχετική ταυτότητα.
β.
Να βρείτε την τιµή του α, ώστε η παραπάνω διαίρεση
να είναι τέλεια.
γ.
Για α=3, να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x)=0 καθώς
και τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση
της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τονάξονα x΄x.
Δίνεται η συνάρτηση f  x   x 3  x  , ,   R
Α.Να βρεθούν οι πραγματικές τιμές κ, λ ώστε να ισχύουν οι σχέσεις
Η f  x  έχει παράγοντα το x  1 και
3.


Το υπόλοιπο της διαίρεσης f  x  :  x  1 να είναι ίσο με 4
Β. Για   3 και   2
α.Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx
β.Να δείξετε ότι η συνάρτηση g  x   x 3  f  x   5x 4  2x 3  2011 δεν έχει παράγοντα της μορφής x   με
 R
5.
Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(χ) = χ3 + 4χ2 + χ – 6
Α. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ): (χ – 2)
Β. Να αποδείξετε ότι το χ + 3 είναι παράγοντας του Ρ(χ) και να βρείτε το
πηλίκο της διαίρεσης Ρ(χ) : (χ + 3).
Γ. Να λυθεί η ανίσωση Ρ(χ) < 0
7.
α.
Δίνεται το πολυώνυμο 3  42  6  24
Να λύσετε την εξίσωση P  x   0
β.
Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης με τους
άξονες και y y
γ.
Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης βρίσκεται
πάνω από τον άξονα .
15
8.
Δινονται οι συναρτησεις f(x)=lnx και g(x)=logx , x  0 .
1
2
2
3
Γ1. Av a  f (e 2 )  f ( e )  f (e ) και   g(103 )  g (10 )  g ( 3 10 2 )  g (10)
να δειξετε ότι α=2 και β=4.
Γ2 Να βρείτε την τιμή της παράστασης   10g    eg   
9.
Έστω πολυώνυμο Ρ(x)=αx3+(β-1)x2-3x-2β+6, όπου α, β πραγματικοί αριθμοί.
Α.
Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(χ) με το x+1 είναι
ίσο με 2, να βρεθούν τα α και β.
Β.
Αν α=2 και β=4, να λύσετε την εξίσωση: Ρ(ημx)=0.
10.
Γ1)
Γ2)
Γ3)
x
 1
Δίνεται η συνάρτηση f  x    1   .
 e
Να αποδείξετε ότι η f είναι γνήσια φθίνουσα στο R
 1

Να λύσετε την εξίσωση   x     f 1  f  0 
4 e

  3 
Να λύσετε την εξίσωση   x   f  0   0 στο διάστημα  , 
2 2 
Δίνεται η συνάρτηση f (x)  ln(2e  1)  x .
Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Β. Να αποδείξετε ότι: f (ln 2)  ln 6 .
Γ. Να λύσετε την εξίσωση: f (x )  x .
x
11.
12.
Δίνεται το πολυώνυμο Ρ( χ )=2χ3 – χ2 - χ
i) Nα δειχθεί ότι έχει ρίζες τους αριθμούς 0 , 1 και παράγοντα το 2χ + 1
ii) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ( χ ): ( -2χ +1 )
iii) Να λυθεί η ανίσωση Ρ( χ ) + χ2 ≤ 7χ
iv) Να λυθεί η εξίσωση 2 x   2 2 x  1  1 – x   0
13.
Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x )  ln

x2  1  x

Α.Να βρείτε το πεδίο ορισμού της .
Β.Nα αποδείξετε ότι f (x )  f (x ) για x  Df
Γ.Να λύσετε την εξίσωση f (x )  e
14.
Δίνεται το πολυώνυμο P(x), βαθμού v  2 , για το οποίο ισχύει :
8(x  1).P(x)  x.P(2x  3)  52x 3  8x 2  6x  16 , για κάθε x   .
Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2:
Γ1. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο x 2  6x  5 .
Γ2. Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο x 2  6x  5 είναι το
 x   x  4 :
α)Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x):
i. με τον άξονα y΄y .
ii.με την ευθεία y=2
β)Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)
είναι πάνω από την ευθεία y=2.
16
17
15.
Δίνεται το πολυώνυμο P(x)  x 3  ln(  )  x 2  ln(1  2  )  x  8 ,
 
όπου    0,  .
 2
i. Να αποδείξετε ότι το 2 είναι ρίζα του  (x ) .

ii. Αν   , να λύσετε την εξίσωση (x )  0
2
16.
Δίνεται η συνάρτηση f(x)= α√‫ ݔ‬+ 1 και το σημείο Μ(3,4) που ανήκει στη γραφική παράσταση της
συνάρτησης.
i) Να βρείτε την τιμή του α .
ii) Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.
iii) Για α=2 , να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης f με τους άξονες x΄x και y΄y .
 e2 x  1 
f
x

ln


17. Δίνεται η συνάρτηση:
 x
.
e

1


Α.
Β.
Γ.
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
Να λυθεί η εξίσωση: f  x   0.
Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x ' x.
18.
Έστω το πολυώνυμο P(x) = αx3 + βx2 -2x + α + 7. Δίνεται ότι το
x + 2 είναι παράγοντας του P(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το (x + 1) είναι ίσο με 8.
Α.Να αποδείξετε ότι α = 1 και β = -1 .
4π
Β.Να κάνετε την Ευκλείδεια διαίρ εση P(x):(x 2 – 2x) και να γράψετε την
ταυτότητα της.
β
Γ.Να λύσετε την ανίσωση P(x) < 8.
19.
Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=α.συν(
βχ
)
4
όπου α,β∈ ܴ. Αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(0,-2) και Β(
α. να αποδείξετε ότι α=-2 και β=2
β.Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f καθώς και την περίοδό της
γ. Να λύσετε την εξίσωση f(χ)=1
20.
Δίνεται το πολυώνυμο P(x)  x 3  (  1)x 2  3x  2  6 , όπου , 
πραγματικοί αριθμοί.
i) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου P(x ) και το υπόλοιπο της
διαίρεσης του P(x ) με το x  1 είναι ίσο με 2 ,τότε να δείξετε ότι
  2 και   4 .
ii) Για τις τιμές των  και  του παραπάνω ερωτήματος να λύσετε
την εξίσωση P(x )  0 .
4π
,β) τότε:
β
21.
Γ1) Να λύσετε την εξίσωση: συν2χ-3συνχ+2=0
Γ2) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης που βρίσκονται στο διάστημα [0,2π]
22.
Δίνεται το πολυώνυμο (x)  2x 3  x 2  x  2 .
α. Να βρεθεί η τιμή του α ώστε το  (x ) να έχει παράγοντα το
β. Για   5 ,να λυθεί η εξίσωση (x )  0 .
γ. Για   5 , να κάνετε την διαίρεση P(x)  (x 2  1) και να γράψετε την ταυτότητα
της διαίρεσης.
23.
Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=χ(x 2 +λ) +κχ 2 +5 με παράγοντα το χ-1 και P(-2)=3
A) Bρειτε τα κ,λ
Β) Αν κ=-1 και λ—5
1) Λύστε την εξίσωση P(x)=0
2) Λύστε την ανίσωση P(x)  8
24.
3
2
Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = kx - (k + λ)x + λx + 1.

P

- 12   7
α.
Αν
β.
Να γίνει η διαίρεση του P(x), για k = -6 και λ = -5, με το πολυώνυμο 2x + 1 και να γραφεί το P(x) με
την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης.
γ.
Να λυθεί η ανίσωση P(x) > 7 για k = -6 και λ = -5.
25.
και P(-1) = 23, να αποδείξετε ότι k = -6 και λ = -5.
3
2
Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(χ) = χ + (lnα)χ + (lnβ)χ – 1 , όπου α , β σταθεροί θετικοί πραγματικοί
αριθμοί.
α. Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(χ) με το χ2 – 1 είναι το πολυώνυμο:

()  [ln(e)]  ln .
e
β. Αν το Ρ(χ) έχει παράγοντα το χ2 – 1 τότε:
> Να υπολογίσετε τις τιμές των α , β.
> Να λύσετε την εξίσωση Ρ(ημχ) = 0
18
4
ΤΟ ΘΕΜΑ
Δ
1.
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x – 2).
Δ1.
Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει μοναδικό
κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 – log5.
1
x4
6
Δ2.
Να λύσετε την ανίσωση 4 2 - 2x1   0 .
5
5
 x- 1 4
x
6
Δ3.
Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f( ) = 1 + log  4 2 - 2x1   .
2
5
5

5
3
Δ4.
Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f( ) + f(1) – f( ).
2
2
2.
1.
2.
3.
α)
β)
Έστω η συνάρτ ηση f(x) = k+log(x 2 -3) , k   .
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.
Να υπολογίσετε τ ην τιμή του k ώστε f(2)= log100.
Για k=2 :
Nα βρείτε τα σημεία τομής τ ης γραφικής παράστασης την με την ευθεία :
1
y   log
1000
Nα λυθεί η ανίσωση : f(x) >2.
x
  
Δίνεται η συνάρτηση f (x )  
 για κάθε x  R .
  1
α. Να βρείτε τις τιμές του    , ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα.
3.
β. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και f (2)  4 ,
i. Nα υπολογίσετε το α .
ii. Για   2 να λύσετε την ανίσωση f (x  1)  8
4.
Δίνονται οι συναρτήσεις f  x   log  3x  2   log50 και g  x  
Δ1.Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f και g .
1
 log  x  2   2 .
2
Δ2.Να λύσετε την εξίσωση: f  x   g  x  .
5.
Δίνεται το πολυώνυμο:
  x    2ln   1 x 4  x 3  x 2  x  2,   0,   0,   , x   .
Αν το πολυώνυμο   x  είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x  1 ,
να βρεθούν τα , .
Α.
Αν   x   x 3  x 2  x  1, x  
Να λυθούν:
Β.
Γ.
Ι)
η εξίσωση 


να βρεθούν οι τιμές του x   για τις οποίες ισχύει:   x   0.
2  0, ό   0,   .
ΙΙ) η ανίσωση   2  ln    0.
19
6.
Έστω οι συναρτήσεις f(x) = log(3x), με x > 0 και g(x) = 10f(x).
ln2
Α.Να αποδείξετε ότι 2f(2) – f(4) – f(3) + f(1) + e + log10 = 3
Β.Να εξετάσετε αν υπάρχει x τέτοιο ώστε οι αριθμοί
f(x – 2), f(x), f(x + 1) να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.
Γ.Αφού απλοποιήσετε τον τύπο της g(x) να λύσετε την ανίσωση eg(2x) - eg(x) – 2 > 0.
2x
χ
Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=ln(3e -e -2)
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β.Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να βρείτε τη θέση του
σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ
γ.Να λυθεί η εξίσωση f(χ)=3χ ως προς χ
7.
x
  1 
Δίνεται η συνάρτηση f (x )  
 , όπου x πραγματικός αριθμός.
 3 
Α.Βρείτε για ποιες τιμές του  ορίζεται η f (x ) .
Β.Βρείτε για ποιες τιμές του  η f (x ) είναι γνησίως αύξουσα. (ΜΟΝ.8)
8.
Γ.Αν   7 , να λύσετε την εξίσωση f (x )  f (2x )  2
9.
Δίνονται οι συναρτήσεις f (x)  ln(x 2  2x  3) και g  x   ln  ex  1 .
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των δύο συναρτήσεων.
β. Να δείξετε ότι f (2)  3f (1)  f (3)  ln 4
γ. Να λυθεί η εξίσωση f (ex )  ln 3  g(x) .
10.
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(e  -2)-ln(e  -1)
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
1
Β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1- x
)
e 1
Γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2
Δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση ψ=χ
12.
Α. Να λύσετε τις ανισώσεις: 2 x < 1 και 2 x > 2.
Β. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(4x – 3  2 x + 2).
i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
ii) Να αποδείξετε ότι f(2) – f( – 1) = 3ln2.
iii) Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες f(x) = f(2)
iv) Αν κ  R ώστε 4 κ – 3  2 κ + 1 = 0 , να συγκρίνετε τους αριθμούς f(– 1) και f(κ).
13.
α)
β)
γ)
δ)
 2x
Δίνεται η συνάρτηση f (x )  ln 

2x
Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.
1
Να βρεθεί το πρόσημο του αριθμού f( ).
2
Να λυθεί η εξίσωση f (x )  0 .
Να λυθεί η ανίσωση f (ex  2)  f (0)  f (1)  f ( 1).
20
13.
Δίνεται η συνάρτηση f  x   ln  e2x  4ex  3 της οποίας η
γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα
Α.Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f
Β.Να
Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον
άξονα xx .
Γ.Να
Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της
γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx
x


14. Δίνεται η συνάρτηση f (x )   ln   ln 2  , με 2 < α< β η οποία
 ln   ln  
είναι γνησίως φθίνουσα στο R.
Α. Να αποδείξετε ότι α2 < 2β
Β. Αν α =4 και β = 32 τότε:
1
α) να δείξετε ότι f(x) =  
3
x
1 x
β) να λύσετε την εξίσωση f (x  2)  9  3
15.
α.
β.
γ.
16.
17.
Δ1)
Δ2)
Δ3)
18.
Δίνεται η συνάρτηση f  x   ln(4x  8)  x ln 2
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
Να λυθεί η εξίσωση f  x   ln 7
Να λυθεί η ανίσωση f  x   ln 7
 e2 x  1 
f (x )  ln  x

 e 5 
Δ1. Να βρειτε το πεδιο ορισμου της f(x).
Δ2.Να λυσετε την εξισωση f(x)=2ln2.
Δ3.Να λυσετε την ανισωση f (x)  0 .
Δινεται η συναρτηση
Δίνεται η συνάρτηση f  x 
 log x 

2
log x 2
Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
1
Να λύσετε την εξίσωση f  x  
2
1
Να λύσετε την ανίσωση
1
f x
2χ
χ
Δίνεται η f( χ ) = log ( 10 – 10 )
i)) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0
ii) Να δειχθεί ότι f( χ ) = χ + log ( 10χ – 1
iii) Να λυθεί η εξίσωση f(( χ ) = χ
iv) Να λυθεί η ανίσωση f( χ ) ≤ χ + 2log
log 2
21
22
5
ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
1.
Δίνεται το πολυώνυμο P  x   x   ln   5 x  5  ln   6  x  6 ln   48 με   0 .
3
2
Α. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P  x  έχει παράγοντα το x  2 .
Β. Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης P  x  :  x  2 
1
, να λύσετε την εξίσωση P  x   0 .
e8
Δ. Να βρείτε την τιμή του α  R ,ώστε P 1  0 .
Γ. Για α 
2.
Σε μια διαίρεση πολυωνύμων με διαιρετέο ένα πολυώνυμο P  x  ,δίνονται :
Ο διαιρέτης δ  x   x  x ,το πηλίκο Π  x   2x  3 και το υπόλοιπο Y  x   x  λ  3 , λ  R .
2
Α. Να αποδείξετε ότι P  x   2x  x  2x  λ  3 .
3
2
Β. Να βρείτε την τιμή του λ  R ,ώστε το πολυώνυμο P  x  να έχει ρίζα το x  1 .
Γ. Για λ  2 ,να λύσετε :
i) Την εξίσωση P  x   0
3.
ii) Την ανίσωση P  x  2013  0
Δίνεται το πολυώνυμο P  x   x  x   α  2  x  β  5 ,το οποίο έχει παράγοντα το x  1 και η
3
2
διαίρεση P  x  :  x  2  δίνει υπόλοιπο 6 .
Α. Να δείξετε ότι α  2  β  3  0

Β. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P  x  : x 2  x  2

Γ. Για α  2 και β  3 να λύσετε :
i) την ανίσωση P  x   0
4.
ii) την εξίσωση
P7  x  3 
x  2
7
 0 με x  R  2 .
 λ  1 x  λy  λ  3
, όπου x, y άγνωστοι και λ  R .
λx  y  λ  4
Α. Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση για κάθε λ  R .
Β. Να βρείτε την μοναδική λύση  x 0 , y 0  του συστήματος.
Δίνεται το σύστημα 
Γ. Να βρείτε τις τιμές του λ  R λ  R ,ώστε να ισχύει 3x 0  9  λy 0 .
 λ  1 x  2y  4
5. Δίνεται το σύστημα 
,όπου x, y άγνωστοι και λ  R .
2
2x   λ  1 y  λ  2λ  1
Α. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ  R ,το σύστημα έχει μοναδική λύση.
Β. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ  R ,το σύστημα είναι αόριστο.
Γ. Να βρείτε τις άπειρες λύσεις του συστήματος.
6.


Δίνεται ότι για την γωνία α ισχύει α   0,
π
2
2
 και 8συν α  7  8ημ α .
2
Α. Να βρείτε το συνα
2
Β. Να βρείτε την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή της συνάρτησης f  x   εφ α  συνx με x  R .
1
,έχει λύση στο R .
συν 2 α
Γ. Να εξετάσετε αν η εξίσωση f  x  
7.
Δίνεται η συνάρτηση f  x   2ημxσυν x  2ημ xσυνx  1 , με x  R .
3
3
Α. Να δείξετε ότι f  x    ημx  συνx  για κάθε x  R .
2
Β. Να δείξετε ότι ότι για κάθε πραγματικό αριθμό κ ισχύει ότι : f
2012
 κ  1  2013
 π
.
 4
Γ. Να λύσετε την εξίσωση : f  x  1  f  
8.


Δίνεται η συνάρτηση f  x   x  2  ln e x  2  1 .
Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
Β. Να λύσετε την εξίσωση f  x   ln 2
Γ. Να λύσετε την ανίσωση f  x  2   x  2
Δ. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και στη συνέχεια να λύσετε την ανίσωση
f  e

9.


   f 10log 4 x  2

ln x 2 1




Δίνεται η συνάρτηση f  x   log 11x 2  7x  10  log x 2  1 .
Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
Β. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η Cf τέμνει τον άξονα x x .
Γ. Να λύσετε την ανίσωση f  x   0
10.
Δίνεται ότι για την συνάρτηση f ισχύει ότι :
Α. Να δείξετε ότι
e
1
1
f  x  ln e2  ln  ln 2
2
2
 e2 x  1
f  x   ln  e2 x  1 και να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
Β. Να βρείτε τις τιμές του x  R ,για τις οποίες η Cf τέμνει τον άξονα x x .
Γ. Να λύσετε την ανίσωση f  x   x
23
11.
Δίνεται ότι το πολυώνυμο P  x  διαιρούμενο με το x δίνει υπόλοιπο 2 και διαιρούμενο με το x  α
δίνει πηλίκο x 2  5x .
Α. Να δείξετε ότι
Pα  2
Β. Να δείξετε ότι
P  x   x 3   5  α  x 2  5αx  2 .
Γ. Αν ισχύει ακόμη ότι η διαίρεση P  x  :  x  β  δίνει πηλίκο x 2  x  8 ,τότε :
i) να δείξετε ότι P  β   2  8β
ii) να βρείτε τις τιμές των α , β.
iii) να βρείτε το πολυώνυμο
12.
P  x  και να λύσετε την εξίσωση P  x   0



Δίνονται οι συναρτήσεις f  x   ln ex  1 και g  x   ln ex  2

Α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού τους.
Β. Να συγκρίνετε τις τιμές f  ln 2  και g  1
Γ Να λύσετε την εξίσωση x  f  x   ln 2  g  x 
x 3  x  2 2x 3  x  3
13. Δίνεται η συνάρτηση f  x  

 1  2x 3
x 1
x 1
Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
3
2
Β. Να δείξετε ότι f  x   2x  3x  x  6
Γ. Να δείξετε ότι η f  x  έχει μοναδικό πρωτοβάθμιο παράγοντα τον x  2 .
Δ. Έστω Π  x  το πηλίκο της διαίρεσης f  x  :  x  2  .Να δείξετε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός
x 0 , ώστε Π  x   Π  x 0  για κάθε x  R .Στην συνέχεια να βρείτε το x 0 .



Ε. Να λύσετε την εξίσωση f  ημ  x 

14.
π 
 1  0
3  


Δίνεται ότι το πολυώνυμο P  x  είναι τρίτου βαθμού , η διαίρεση P  x  : x 2  1 είναι τέλεια ,έχει ρίζα
το μηδέν και το άθροισμα συντελεστών εναι ίσο με 3.
3
Α. Να δείξετε ότι P  x   x  2x .
Β. Να λύσετε την εξίσωση P  x   3

 
  Px  3
Δ. Να λύσετε την ανίσωση  ln  x  1  3   ln  x  1  3  ln  x  1  3
Γ. Να λύσετε την εξίσωση P  x   3  P  x   3
3
3
2
2
24
25
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
1.
 
 
 
Θεωρούμε τα διανύσματα  ,  και την εξίσωση    1 x     1 y  1  0 .

 

1) Να αποδείξετε ότι:


α) Η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε διάνυσμα  ,  .
β) Όλες οι παραπάνω ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο, το οποίο και να βρεθεί.
2) Να βρείτε:
α) Πότε μία από τις παραπάνω ευθείες είναι η y  x  1 .
β) Την ευθεία της παραπάνω οικογένειας, η οποία είναι κάθετη στην
ευθεία y  x  1 .
2.
Δίνεται η παραβολή C: x2  2y
1) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε), η οποία τέμνει την C στα σημεία Α


3
και Β, ώστε το σημείο   1 ,   να είναι μέσο του ΑΒ.
2

2) Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε) διέρχεται από την εστία της παραβολής.
3) Να βρείτε τα σημεία Α και Β.
4) Να αποδείξετε ότι ο κύκλος με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ
εφάπτεται στη διευθετούσα της παραβολής.
3.
Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε1: 3x+ 4y +6 = 0 και ε2: 3x + 4y +16=0.
Α. Να βρείτε την απόσταση των παράλληλων ευθειών ε1 και ε2.
Β. Να βρείτε την εξίσωση της µεσοπαράλληλης ευθείας των ε1 και ε2.
Γ. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σηµείο τοµής της ευθείας ε1
µε τον άξονα x΄x και αποκόπτει από την ευθεία ε2 χορδή µήκους d = 4 3
4.
Δίνεται η εξίσωση
26
x2  y2  2x  4y  0 ,
α) Να αποδείξετε ότι, η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την
ακτίνα του.
β) Δίνεται η παραβολή με εξίσωση y2=-2x
ι) Να βρείτε την εστία και την διευθετούσα της παραβολής.
ιι) Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης παραβολής στο σημείο Α(-2,2).
γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της παραπάνω παραβολής, εφάπτεται
και στο κύκλο
5.
Δίνεται η εξίσωση x2  y2  4 x  2y  4   0 : 1 , με  R
Α.Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο  C   για κάθε  R με  
κέντρο του και την ακτίνα του
1
και να βρείτε συναρτήσει του κ το
2
1 
2 
Β.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων  C   για τις διάφορες τιμές του  R   
Γ.Να αποδείξετε ότι οι
συντεταγμένες .
6.
 C  διέρχονται από σταθερό σημείο Μ του οποίου να προσδιορίσετε τις
Δίνεται η εξίσωση χ2+ψ2-κ2χ-2κψ+κ2=0.
α) Να δείξετε ότι παριστάνει κύκλους για κάθε κ  0 πραγματικό αριθμό και να βρείτε τα κέντρα τους και τις
ακτίνες τους συναρτήσει του κ.
β) Να δείξετε ότι οι παραπάνω κύκλοι εφάπτονται στον άξονα ψ΄ψ για κάθε κ  0.
Για ποιες τιμές του κ  0 εφάπτεται και στον άξονα χ΄χ;
γ) Να δείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων ανήκουν στην παραβολή ψ2=2χ
7.
2
2
2
Δίνεται η εξίσωση x  y  2  2xln   ln   4ln 1 με   0
Α.Να βρείτε για ποιες τιμές του   0 η 1 παριστάνει κύκλο .
Β.Για τις τιμές του θ που βρήκατε στο Α ερώτημα ,να βρείτε την ακτίνα και το κέντρο του κύκλου.
Γ.Να εξετάσετε αν υπάρχει   0 ,ώστε η ευθεία    y=x+4 να εφάπτεται του κύκλου.
8.
27
 
Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα    , και η εξίσωση
 
 
 
x2  y2  2   2 x  2 2   y  2  2  0
(1)


Α.Δείξτε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο ακτίνας   2   


  1
Β. Για   1,   1 και ( ,)  , να αποδείξετε ότι ο παραπάνω κύκλος (1) παίρνει τη μορφή
4
C : (x  2)2  (y  2)2  6
Γ.Nα εξετάσετε αν η εστία της παραβολής y2  8x βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου C του προηγούμενου
ερωτήματος Β
9.


Δίνονται τα διανύσματα    2x  1,y  2  και    2x  1,y  2  .


Α. Αν    , να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος C1 των σημείων Μ(χ,y) είναι έλλειψη
  2
Β. Αν ισχύει ότι     12y2  64  0 , να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος C2 των σημείων M(x,y) είναι
κύκλος , του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.
Γ. Να βρείτε τα κοινά σημεία των δύο παραπάνω γεωμετρικών τόπων C1 και C2 .
Δ. Να βρείτε τις εφαπτόμενες του παραπάνω κύκλου οι οποίες άγονται από το σημείο Α(2,2) και στην
συνέχεια να βρείτε το μήκος της χορδής που αποκόπτει η μια από αυτές από την έλλειψη.
10.
Δίνεται ο κύκλος  C1  x2  y2  4x  1  0 και η παραβολή  C2  y2  2px .
Αν οι  C1  ,  C2  τέμνονται στο σημείο A 1,  με   0 ,τότε :
Α. Να βρείτε τα  ,  .
Β. Να βρείτε το δεύτερο κοινό σημείο των  C1  ,  C2  .
Γ. Να αποδείξετε ότι η εφαπτόμενη της παραβολής  C2  στο Α ,εφάπτεται και στον κύκλο  C1  .
11.
 
 
 
Έστω α , β δύο διανύσματα τέτοια ώστε α  β  1 και η συνάρτηση f  x   α  xβ , x R .
 
Αν θ είναι η γωνία των διανυσμάτων α , β ,να αποδείξετε ότι:
Α.
f  x   x 2  2συνθ  x  1 ,για κάθε x R .
Β.
f  x   ημθ , για κάθε x R .
Γ.
 
Αν ο αριθμός 0 ,είναι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f ,τότε α  β
12.
 
 

Έστω α , β δύο διανύσματα τέτοια ώστε α  β  2 α .
π
  
Αν η γωνία των διανυσμάτων α , α  β είναι ίση με
,να αποδείξετε ότι:
4

 
 


Α. α  β
Β. α  β
Γ. 3α  4β  5 α

Download Report