Campo gravitazionale

unità
D5
Gravitazione
L
’effetto di gravità ha sempre interessato
gli scienziati: Galileo svolse i primi
esperimenti sulla caduta libera dei corpi,
Newton enunciò la legge di gravitazione
universale, Einstein definì la teoria della
relatività generale.
prerequisiti





massa inerziale
secondo e terzo principio della dinamica
campo di forza e linee di forza
campo di forza conservativo ed energia potenziale
principio di conservazione del momento angolare
5.1 Legge di gravitazione universale
Descrive le forze attrattive causate dalle masse dei corpi.
5.2 Campo gravitazionale
Campo di forza generato dalla massa di un corpo qualsiasi.
5.3 Campo gravitazionale conservativo
Verifica dell’esistenza dell’energia potenziale gravitazionale.
5.4 Campo gravitazionale terrestre
Caratterizzazione del campo gravitazionale generato dalla Terra.
5.5 Moto orbitale
Descritto da leggi empiriche e confermate dalla legge di gravitazione.
UNITÀ D5 - GRAVITAZIONE
5.1
481
Legge di gravitazione universale
Qualsiasi corpo dotato di massa esercita una forza attrattiva su tutti gli altri
corpi, la cui intensità aumenta con le masse coinvolte e diminuisce con l’aumento della reciproca distanza. Questo comportamento è formalizzato dalla
legge di gravitazione universale di Newton che descrive sia l’attrazione gravitazionale terrestre responsabile della caduta libera dei corpi (par. 5.3), sia i
moti orbitali dei pianeti (par. 5.4).
 Attrazione gravitazionale
Introduciamo la legge di gravitazione universale approssimando i corpi a
punti materiali. In figura 5.1 due punti materiali, A di massa mA e B di massa
mB, sono a una distanza r. Tra i due punti si instaura un fenomeno definito
attrazione gravitazionale descritto dalla sopra citata legge, qui di seguito
enunciata.
Tra due punti materiali si instaura una forza attrattiva con modulo direttamente proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale
al quadrato della reciproca distanza, cioè
F G
mA mB
r2
in tutte le
espressioni di
questo tipo ci sono
gli spazi a cavallo
del punto centrale.
verranno corrette
nel controllo finale
Il termine G = 6,67∙10-11 Nm2/kg2 è definito costante universale di gravitazione.
L’attrazione gravitazionale compare sempre con una coppia di forze
attrattive che rispettano il terzo principio della dinamica. Ponendo per
esempio il punto materiale A all’origine di un sistema di riferimento (in
figura, asse cartesiano r con versore
u) possiamo usare le notazioni (1.8)
dell’unità D1: su B agisce la forza
attrattiva causata da A
FAsuB
A
O
FAsuB   F u
e su A agisce la forza attrattiva causata da B
FBsuA  F u
B
r
FBsuA
u
r
in tutti i deponenti di tipo AsuB metterei la
spaziatura:
A su B
attenzione, anche nelle figure!
da qui in avanti le segno con un cerchio
rosso
con il medesimo modulo F dato dalla (5.1). Quindi le due forze attrattive agiscono su corpi diversi e sono tra loro opposte, cioè
FBsuA  FAsuB
Figura 5.1
Attrazione gravitazionale tra due
punti materiali: le due forze attrattive obbediscono al terzo principio
della dinamica; il sistema di riferimento è un asse cartesiano che
riporta i valori della distanza r tra
i punti.
482
MODULO D - DINAMICA
Sovrapposizione degli effetti
Figura 5.2
La forza attrattiva F sul punto
materiale 3 è la somma vettoriale
tra la forza attrattiva esercitata dal
punto 1 (F1su3) e quella esercitata
dal punto 2 (F2su3) in modo tra loro
indipendente.
Consideriamo un sistema di N punti
materiali: la forza attrattiva esercitata sull’i-esimo punto materiale è la
somma vettoriale delle forze che ogni
singolo punto eserciterebbe in assenza degli altri (principio di sovrapposizione degli effetti). In figura 5.2
un esempio di forza attrattiva su un
punto materiale causata da altri due
punti materiali.
3
F1su3
F2su3
1
2
Corpi a simmetria sferica
La (5.1) è valida se i corpi sono punti materiali, o meglio, se le loro dimensioni
sono trascurabili rispetto la distanza r. In caso contrario è possibile impiegarla
solo se i corpi, a dimensioni non trascurabili, hanno forma sferica (fig. 5.3),
adottando la seguente regola.
Ogni corpo sferico si approssima a punto materiale collocato nel suo centro
da cui si considera la distanza dagli altri corpi.
Figura 5.3
Attrazione gravitazionale tra due
corpi sferici: la distanza r è tra
i due centri dove si considera
concentrata la rispettiva massa e
applicati i punti di applicazione
delle forze attrattive (confrontare
con la figura 5.1).
A
B
C
FBsuA
FAsuB
C
r
Problema svolto 5.1
Una palla da biliardo con massa mA = 0,2 kg e un pallone di pallacanestro con massa mB = 0,6 kg hanno i loro centri a una distanza r = 0,5 m.
Determinare il modulo comune delle forze attrattive che agiscono tra i
due corpi.
Il modulo della forza attrattiva tra i due corpi sferici è dato dalla (5.1)
2
mA mB
(0, 2 kg) (0,6 kg)
11 N m
F  G 2  6, 67 10
 3 1011 N
2
2
kg
(0,5 m)
r
L’intensità della forza decisamente molto bassa non consente l’effetto visivo
della reciproca attrazione.
UNITÀ D5 - GRAVITAZIONE
 Il termine “universale” imposto da Newton
Il termine “universale” presente nella denominazione della legge di gravitazione è dovuto alla grande
intuizione di Newton: due fenomeni apparentemente
diversi quali (per esempio) la caduta di una mela da
un albero e il moto della Luna intorno alla Terra sono
causati dalla medesima forza attrattiva (fig. 5.3).
Quindi la legge di gravitazione descrive sia moti
gravitazionali che avvengono sulla Terra sia i moti
planetari, e per questo, ha una versatilità universale
come approfondiremo nel paragrafo 5.5.
Luna
F
F
mela
Terra
L’esempio della caduta di una mela
non è casuale ma è dovuto al famoso
episodio ormai entrato nella storia
della fisica (fig. 5.5).
Figura 5.4
[N.d.A. vicino alle frecce al posto
di a mettere F]
La mela e la Luna subiscono il
medesimo fenomeno di attrazione
a causa della Terra.
Figura 5.5
Per Newton tutti i corpi dotati di massa hanno un
potere attrattivo, responsabile sia dell’”attrazione delle
mele verso il suolo” sia dei moti planetari.
 Costante
G e intensità dell’attrazione gravitazionale
Il termine “universale” accompagna anche la costante di gravitazione G della
(5.1): infatti è valida per qualsiasi coppia di corpi e in qualsiasi zona dell’universo. Il suo valore ha un ordine di grandezza di 10-10 e dunque molto piccolo.
Questo influisce sull’attrazione gravitazionale che risulta il più delle volte
apparentemente non evidente: per esempio la forza di attrazione del problema
svolto 5.1 è dell’ordine di 10-11 e dunque non è possibile osservare il reciproco
avvicinarsi delle due palle anche se riducessimo la distanza a meno di un millimetro. Come abbiamo già detto nel paragrafo 1.4 dell’unità D1, l’avvicinamento di uno dei due corpi si rileva solo da parte del corpo con massa notevolmente inferiore all’altra come succede, per esempio, per la mela con la Terra.
Un qualsiasi corpo dotato di massa, “perturba” lo spazio circostante.
5.2
Campo gravitazionale
In questo paragrafo trattiamo l’attrazione gravitazionale descritta dalla (5.1)
come effetto del campo di forze generato dalla massa di un corpo (par. 3.5,
unità A3).
sono N?
483
484
MODULO D - DINAMICA
La massa di ogni corpo perturba lo spazio circostante con un campo di forze
definito gravitazionale.
In figura 5.6a il modello con punti materiali che adottiamo per descrivere il
campo gravitazionale: nell’origine del sistema di riferimento una massa sorgente M fissa, generatrice del campo che vogliamo analizzare; a una generica
distanza r una massa esploratrice m (m < M) che con il suo moto rileva il
potere attrattivo della massa sorgente.
Figura 5.6
Campo gravitazionale generato dalla massa sorgente M: (a)
campo rilevato dalla massa esploratrice m in P; (b) vettore campo
gravitazionale applicato in P.
P
M
u
m
r
g
r
M
a
u
P
m
r
r
b
Per descrivere in modo completo il campo gravitazionale (come del resto un
qualsiasi campo di forze) occorre definire la forza che lo caratterizza, le linee
del campo, e se conservativo, l’energia potenziale.
 Vettore campo gravitazionale
Applichiamo la (5.1) alla massa esploratrice m per determinare la forza attrattiva dovuta alla massa sorgente M:
FMsum  G
M m
u
r2
(5.2)
Osserviamo che la massa m influisce sull’intensità di FMsum ostacolando il
nostro obiettivo di studiare esclusivamente il campo generato dalla massa M.
Per eliminare questo “disturbo” dividiamo la (5.2) per m ottenendo effettivamente la perturbazione che provoca M attraverso il campo gravitazionale in un
determinato punto a distanza r (fig. 5.6b). Quindi
g
FMsum
M
 G 2 u
m
r
dove g è definito vettore campo gravitazionale.
Riassumendo
la perturbazione che provoca il campo gravitazionale generato da un corpo
di massa M a una distanza r è definita dal vettore campo gravitazionale
g  G
M
u
r2
(5.3)
UNITÀ D5 - GRAVITAZIONE
L’unità della misura del modulo del vettore campo gravitazionale è nel sistema
SI, metro su secondo al quadrato (in simboli m s-2). Si tratta quindi di un accelerazione. Infatti il vettore g è definito come rapporto tra una forza (la (5.2)) e
una massa (la m), e dall’equazione del secondo principio della dinamica si ha
appunto a = F/m.
Naturalmente anche per il vettore campo gravitazionale è valido il principio di
sovrapposizione degli effetti definito precedentemente per la forza attrattiva.
Problema svolto 5.2
Calcolare l’intensità gL del vettore campo gravitazionale generato dalla
Luna alle seguenti distanze:
1) sulla superficie della Luna;
2) alla distanza dal centro della Luna uguale a due volte il suo raggio.
La Luna ha massa ML = 7,35·1022 kg e raggio rL = 1,738·106 m.
1) L’intensità del campo gravitazionale sulla superficie della Luna è data dal
modulo della (5.3), con le opportune sostituzioni
2
ML
7,35 1022 kg
m
11 N m
 1,62 2
g L  G 2  6, 67 10
2
6
2
kg
(1, 738 10 m)
s
rL
2) Alla distanza r = 2rL, l’intensità del campo gravitazionale diventa
gL  G
ML
M
g
m
 G L2  L  0,406 2
2
(2rL )
4 rL
4
s
 Linee del campo gravitazionale
Valutiamo le linee di forza del campo
gravitazionale (par. 3.5, unità A3).
Immaginiamo di collocare intorno
alla massa M di figura 5.6b il vettore
g punto per punto rispettando la (5.3);
quindi tracciamo le linee del campo
in modo che in ogni punto il vettore
g sia ad esse tangente. Otteniamo
le linee del campo gravitazionale di
figura 5.7, che sono radiali con verso
ovviamente rivolto alla massa M.
Figura 5.7
Linee del campo gravitazionale.
M
Linee del campo gravitazionale con due masse
In figura 5.8 la forma delle linee del campo gravitazionale generato da due
masse sorgenti vicine. Per costruirle si applica in ogni punto il vettore g1 provocato da m1 e il vettore g2 provocato da m2. Quindi per il principio di sovrapposizione degli effetti si esegue la somma vettoriale che definisce il vettore gtot.
Le linee del campo si tracciano in modo che i vettori gtot siano sempre tangenti.
485
486
MODULO D - DINAMICA
Figura 5.8
[pg.260, vol 1, Teppati-ValvoBrodie-vedere allegato]
Linee del campo gravitazionale
generato da una coppia di masse;
è mostrata la somma vettoriale dei
due vettori campi gravitazionali in
un generico punto P.
g1
P
g2
gtot
m1
m2
 Forza gravitazionale
Figura 5.9
Forza gravitazionale che agisce
su una massa m immersa in un
campo gravitazionale generato
dalla massa M.
Supponiamo di conoscere in un
punto P dello spazio il vettore g del
campo gravitazionale generato da
un corpo di massa M: è immediato determinare la forza attrattiva,
chiamata forza gravitazionale, che
agirebbe su un corpo di massa m
collocato in P (fig. 5.9).
Fg
M
u
g
P
m
r
r
La forza gravitazionale Fg che agisce su un corpo di massa m in un punto P
di un campo gravitazionale generato da una massa M è
Fg  m g
(5.4a)
dove g è il relativo vettore campo gravitazionale con punto di applicazione P.
La forza gravitazionale (5.4) è la forza attrattiva (5.2): infatti se sostituiamo il
vettore g con la (5.3), otteniamo
Fg  G
M m
u
r2
(5.4b)
e dunque Fg  FMsum . Quindi, la conoscenza del vettore campo gravitazionale
consente di applicare la legge di gravitazione universale. Ovviamente anche
per la forza gravitazionale è valido il principio di sovrapposizione degli effetti.
graf:
è giusto questo
spazio vuoto?
UNITÀ D5 - GRAVITAZIONE
Il campo gravitazionale è un campo di forze conservativo?
5.3
Campo gravitazionale conservativo
Valutiamo se la forza gravitazionale, e di conseguenza il campo gravitazionale,
sono conservativi (par. 2.2, unita D2). Consideriamo la figura 5.10. Il lavoro
compiuto dalla forza gravitazionale Fg tra la generica posizione iniziale I,
distante rI dalla massa M, alla generica posizione finale F, distante rF, è
LI  F  Fg  s  G
M m
M m
G
rI
rF
(5.5)
Il lavoro dunque non dipende dal percorso ma solo dai suoi estremi, rI ed rF:
quindi
la forza gravitazionale, e dunque il campo gravitazionale, sono conservativi.
Nell’esempio in figura il lavoro è positivo perché i vettori forza gravitazionale
Fg e spostamento s sono concordi (evidente nel percorso radiale a). La (5.5) si
dimostra con il calcolo integrale che non svolgiamo.
r
I
a
F
M
s
Fg
u
b
Energia potenziale gravitazionale
Siccome il campo è conservativo, i termini della sottrazione (5.5) sono rispettivamente l’energia potenziale EP(I) in rI, ed EP(F) in rF ((2.5), unità D2).
A questo punto dobbiamo imporre il punto a energia potenziale zero.
Consideriamo di nuovo la (5.5) e portiamo la posizione iniziale a distanza infinita dalla massa M (rI = ):
l’energia potenziale iniziale si annulla
EP (rI  )  G
M m
0

riducendo la (5.5) al solo termine
L F  G
M m
rF
Figura 5.10
La forza gravitazionale è conservativa: il lavoro che compie non
dipende dal percorso scelto, se
quello radiale a o quello generico b.
487
488
MODULO D - DINAMICA
Siccome il lavoro è positivo siamo obbligati a mettere il segno meno davanti
all’energia potenziale, cioè

M m
L F    G

rF 

dove il termine tra parentesi è l’energia potenziale a distanza rF dalla massa M.
Generalizzando per una distanza r qualsiasi
l’energia potenziale gravitazionale che possiede una massa m a distanza r
dalla massa sorgente M del campo è
EP (r )  G
M m
r
(5.6a)
con punto a energia potenziale zero scelto a distanza infinita, cioè
EP ( r   )  0
(5.6b)
La curva arancione in figura 5.11 descrive l’andamento dell’energia potenziale
gravitazionale in funzione della distanza r: come prevedibile è una curva che
coinvolge valori negativi di energia e tende a zero a distanza infinita dalla
massa sorgente M (posta nell’origine degli assi) rispettando le (5.6).
Figura 5.11
Diagramma dell’energia meccanica in funzione della distanza r dalla
massa sorgente M.
EM
M
Pm
x
x
spostare questa
illustrazione più
avanti dove
indicato
EMcost
EP
EC
 Conservazione dell’energia meccanica
Il campo gravitazionale è conservativo è dunque è valido il principio di conservazione dell’energia meccanica ((2.19a), unità D2).
UNITÀ D5 - GRAVITAZIONE
Ipotizziamo una massa esploratrice m con velocità v a distanza r dalla massa
sorgente: la massa m possiede dunque un energia cinetica EC = (1/2) mv2 e un
energia potenziale data dalla (5.6a). La sua energia meccanica è dunque
qui diagramma
5.11
EM  EC  EP 
1
M m
m v2  G
2
r
(5.7)
In figura 5.11 il diagramma dell’energia meccanica (vedere approfondimento,
unità D2). Ipotizzando m in un generica punto P, la lunghezza della striscia
rossa è il valore assoluto di EP e quella della striscia blu è il valore (sempre
positivo) di EC: la differenza tra le due lunghezze è il valore di EMcost che deve
rimanere costante (linea verde). Osserviamo che m non può allontanarsi oltre
il punto X perché il valore assoluto di EP risulterebbe minore di quello di EMcost,
e dunque, si avrebbe un impossibile energia cinetica negativa.
In figura 5.12 è mostrato un altro esempio di diagramma dove la massa m ha
energia meccanica nulla (la linea verde si sovrappone all’asse delle ordinate).
In questo caso per mantenere l’energia meccanica costante a 0 occorre che il
valore assoluto di EP e il valore di EC siano rappresentati da strisce di lunghezza
uguale. In entrambi i diagrammi è evidente come una massa coinvolta nell’attrazione di un campo gravitazionale acquisti velocità all’avvicinarsi alla massa
generatrice del campo.
Figura 5.12
Diagramma dell’energia meccanica con massa m a energia meccanica nulla (EMcost = 0).
EM
M
EMcost
x
 Velocità di fuga
Se desideriamo che la massa esploratrice m sfugga all’attrazione gravitazionale
della massa sorgente M occorre che acquisti una velocità definita di fuga.
La velocità di fuga è la minima velocità scalare necessaria a un corpo per
sfuggire dall’attrazione di un campo gravitazionale.
O in termini più formali
è la minima velocità scalare necessaria per portare una massa a distanza
infinita dalla massa sorgente.
489
490
MODULO D - DINAMICA
È evidente che la velocità di fuga dipende dalla massa sorgente e dalla distanza
iniziale da essa. Per determinarla ricorriamo alla conservazione dell’energia
meccanica. Supponiamo che a un istante iniziale la massa m sia a distanza r
dalla massa M e imprimiamo una velocità iniziale vi. Valutiamo il valore che
deve assumere vi affinché diventi velocità di fuga vfuga. L’energia meccanica di
m è per la (5.7)
EMi 
1
mM
m vi2  G
2
r
L’energia meccanica finale è quella per cui la massa m va a distanza infinita
(rf = ) riducendo sempre più la sua velocità fino a fermarsi (guardare la striscia blu dell’energia cinetica di figura 5.12):
quindi
EMf 
1
mM
mM
m v 2f  G
 0G
0
rf

2
e applicando la (5.7)
EMf  EMi  0
che comporta
EMi 
1
mM
m vi2  G
0
2
r
Da questa uguaglianza, isoliamo la vi ottenendo la relazione della velocità di fuga
v fuga  2 G
M
r
(5.8)
Osserviamo che la velocità di fuga non dipende dalla massa del copro che si
allontana.
Analizziamo il campo gravitazionale con massa sorgente la Terra.
5.4
Campo gravitazionale terrestre
In questo paragrafo descriviamo il campo
gravitazionale del pianeta Terra (fig. 5.13).
Il pianeta Terra ha massa MT = 5,98∙1024 kg
e raggio RT = 6,38∙106 m.
Figura 5.13
Pianeta Terra.
Vedremo che il vettore campo gravitazionale
terrestre è l’accelerazione di gravità g e la
forza gravitazionale terrestre è la forza peso
P, vettori entrambi noti.
UNITÀ D5 - GRAVITAZIONE
 Vettore campo gravitazionale terrestre
(accelerazione di gravità)
La figura 5.14 mostra il profilo della Terra con il relativo vettore campo gravitazionale in un punto P a una
distanza h dal suolo. Essendo h << RT, si considera la
massa terrestre concentrata al centro C del pianeta,
e la consueta distanza r diventa la somma r = RT + h.
r
g
MT
Sostituiamo nella (5.3), M con MT, ed r con (RT + h):
otteniamo
u
h
C
MT
g  G
u
( RT  h) 2
(5.9a)
che con la condizione h << RT si approssima
g  G
MT
u
RT2
(5.9b)
Se nella (5.9b) sostituiamo con i rispettivi valori, otteniamo che il modulo del
vettore campo gravitazionale terrestre è


2
5,98·1024 kg
MT 
m
-11 N m 
 9,81 2
g  G 2   6,67·10
2
2 
RT 
kg   6,38·106 m 
s
(5.9c)
Il valore ottenuto coincide con l’accelerazione gravita; inoltre il vettore campo
g ha medesimi direzione e verso del vettore accelerazione gravità (confrontare
la figura con figura 1.6 dell’unità B1). Quindi
il vettore campo gravitazionale terrestre è il vettore accelerazione gravità.
Variazione del modulo dell’accelerazione di gravità g
La (5.9c) esprime un valore approssimato di g perché si trascura l’altezza h dal
suolo. In realtà il valore esatto è dato dalla (5.9a), dove g è in funzione di h, cioè
g ( h)  G
P
MT
( RT  h) 2
(5.10)
Osserviamo che l’accelerazione diminuisce con l’altezza. A 100 km di altitudine g ha una diminuzione di solo 0,2 m s-2 rispetto al valore di 9,81 m s-2.
Per apprezzare una sensibile diminuzione si deve raggiungere un altezza di
1000 km dove g si riduce a 7,3 m/s2.
Infine, essendo la Terra un ellissoide il raggio terrestre RT diminuisce con
l’avvicinarsi ai poli e dunque g aumenta con l’aumentare della latitudine.
Figura 5.14
Vettore campo gravitazionale
terreste applicato in un generico
punto P (la figura non è in scala).
491
492
MODULO D - DINAMICA
 Forza gravitazionale terrestre (forza peso)
La forza gravitazionale che agisce sulla massa m a una distanza h dal suolo è
definita sostituendo nella (5.4) il vettore g con il vettore del campo gravitazionale terrestre (5.9a). Quindi
Fg  G
MT m
u
( RT  h) 2
(5.11a)
che diventa con la condizione h << RT
Fg  G
MT m
u
RT2
(5.11b)
Se evidenziamo la massa m, la relazione appare come
 M 
Fg  m  G 2T  u
 RT 
Il termine tra parentesi è la (5.9b) e dunque
Fg  m g
Sapendo che g è anche l’accelerazione di gravità, dalla relazione deduciamo che
la forza gravitazionale terrestre è la forza peso.
Problema svolto 5.3
Un satellite di massa m si muove su un’orbita circolare attorno alla Terra
a un’altezza h = 10,0·103 km, con velocità tangenziale costante vt.
Determinare:
1) la velocità vt;
2) il periodo T di rivoluzione del satellite.
1) Sul satellite agisce la forza di attrazione gravitazionale esercitata dalla Terra
F G
mM T
( RT  h) 2
(1)
Per la seconda legge di Newton, deve essere F = m a. Poiché il moto del satellite
è circolare uniforme, la sua accelerazione a è centripeta ed è uguale a ((3.31a),
unità C3)
vt2
RT  h
UNITÀ D5 - GRAVITAZIONE
Sostituendo nella (1), otteniamo l’equazione
G
m vt2
m MT

( RT  h) 2 RT  h
da cui isolando la velocità v
vt 
2

11 N m 
6,
67
10
(5,98 1024 kg)


2 
kg
GM T
m

 
 4,93 103
6
6
RT  h
(6,38 10  10, 0 10 ) m
s
Osserviamo che la velocità del satellite non dipende dalla sua massa, ma solo
dal raggio dell’orbita.
2) Il periodo T è legato alla velocità v dalla relazione (3.26) dell’unità C3, da
cui ricaviamo
T
2 ( RT  h) 2 (6,38 106  10, 0 106 ) m

 2, 09 104 s  5,80 h
m
vt
4,93 103
s
 Massa inerziale e gravitazionale
La grandezza scalare massa che appare sia nell’equazione del moto sia
nell’espressione della forza gravitazionale assume un significato diverso.
Nell’equazione del moto già sappiamo, che la massa è definita inerziale con il
seguente significato:
la massa inerziale di un corpo quantifica la sua resistenza a cambiare lo stato
di riposo o di moto rettilineo uniforme.
Nell’equazione della legge di gravitazione universale la massa è definita gravitazionale con il seguente significato:
la massa gravitazionale di un corpo quantifica la sua attitudine a essere
attratto dalla massa di un altro corpo.
Esperimenti svolti per misurare di un corpo la sua massa inerziale (tramite
l’equazione del moto) e la sua massa gravitazionale (tramite la legge di gravitazione universale) confermano che
la massa inerziale e la massa gravitazionale sono uguali.
Questo è il motivo per cui abitualmente non si specifica si fa distinzione tra le
due definizioni indicando entrambe le grandezze scalari con il termine massa.
 Energie potenziali gravitazionale e della forza peso
L’energia potenziale gravitazionale terrestre di una massa m a un altezza h dal
suolo è definita sostituendo nella (5.6a), m con MT ed r con (RT + h): otteniamo
493
494
MODULO D - DINAMICA
verificare, forse è
Ep (h)
EP (r )  G
MT m
RT  h
(5.12a)
La differenza di energia potenziale tra la generica altezza h e quella al suolo è
dunque il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale, cioè
Lh0  G
 G MT
MT m 
M m
  G T   m 
2
RT  h 
RT 
 RT

h

Ma il termine tra parentesi è il modulo di g dato dalla (5.9c) e dunque
Lh0  mgh
che coincide con la (2.11) dell’unità D2 riferita al lavoro compiuto dalla forza
peso nel scendere da un altezza h. Quindi la (5.12a) e la (2.11), apparentemente
diverse, rappresentano la medesima energia potenziale.
 Velocità di fuga della Terra
La velocità di fuga necessaria a un corpo per allontanarsi dall’attrazione gravitazionale terrestre da una certa altezza h è data dalla (5.8)
v fuga  2G
MT
RT  h
(5.13)
dove si è sostituito la massa M con MT e la distanza r con RT + h. La velocità
di fuga rispetto al suolo terrestre (h = 0) calcolata con la (5.13) è di 11,2 km/s
(40320 km/h).
 Osservazione finale
Le relazioni di questo paragrafo sono ovviamente valide per qualunque corpo
celeste posto a massa sorgente: occorre solo sostituire alle grandezze MT ed
RT la massa e il raggio del relativo corpo celeste (vedere problema svolto 5.4).
Problema svolto 5.4
Calcolare la velocità di fuga dal pianeta Marte rispetto il suolo. Marte ha
massa MM = 6,41·1023 kg e raggio è rM = 3,39·106 m.
Utilizziamo la (5.13) con l’accortezza si fare le opportune sostituzioni. In questo caso h = 0 essendo richiesta la velocità di fuga dal suolo.
Quindi
v fuga
2
23

MM
kg
m
11 N m  6, 41 10
 2G
 2  6,67 10
 5, 02 103
2 
6
rM
kg  3,39 10 m
s

UNITÀ D5 - GRAVITAZIONE
La teoria gravitazionale di Newton conferma il moto orbitale dei pianeti predetto da
Keplero in modo empirico.
5.5
Moto orbitale
Come anticipato nel primo paragrafo la legge di gravitazione di
Newton è universale: infatti la forza attrattiva che la legge descrive, responsabile della caduta libera dei corpi, è la medesima di
quella responsabile del moto orbitale dei pianeti.
Il moto orbitale dei pianeti è descritto dalle tre leggi empiriche
di Keplero. Appureremo l’universalità della legge di gravitazione
dimostrando le tre leggi con la forza gravitazionale descritta dalla
(5.1), o in modo equivalente dalla (5.4b).
 Leggi di Keplero
Il moto orbitale dei pianeti è descritto da tre leggi, dedotte in
modo empirico dal matematico danese Keplero (fig. 5.15) in un
periodo precedente agli studi di Newton sulla gravitazione.
Prima legge
graf: sistemare virgolette
La prima legge caratterizza la traiettoria orbitale dei pianeti (fig. 5.16).
I pianeti percorrono orbite a forma di ellisse con il Sole in uno dei due fuochi.
Figura 5.15
Giovanni Keplero (Weil der Stad
1571, Ratisbona 1630). Per riconoscere l’importanza della ricerca condotta da Keplero, Newton affermò:
<<se sono riuscito a vedere più
lontano degli altri è perché sono
salito sulle spalle di giganti >>.
pianeta
F
F
Sole
orbita ellittica
a
Nell’orbita ellittica il punto più lontano dal Sole è definito afelio e quello più
vicino perielio. La lunghezza a del semiasse maggiore dell’ellisse è considerata
come distanza media tra il pianeta e il Sole.
Seconda legge
La seconda legge caratterizza la velocità di moto dei pianeti (fig. 5.17).
Il vettore posizione, con coda nel Sole e punta nel pianeta, copre aree uguali
in intervalli di tempo uguali.
Figura 5.16
Orbita ellittica dei pianeti intorno
al Sole posizionato in uno dei due
fuochi F.
495
496
meglio fare la
freccia dal centro
del sole al centro
del pianeta?
MODULO D - DINAMICA
pianeta
r
Sole
perelio
DS
DS
afelio
Il rapporto tra la porzione della superficie interna
dell’ellisse coperta dal vettore posizione, S, e l’intervallo di tempo in cui avviene la copertura, t, è
definita velocità areolare che indichiamo con la
frazione S/t. Considerando questa velocità la legge
assume la seguente equivalente forma.
La velocità areolare dei pianeti è costante, cioè
S
 costante
t
Figura 5.17
Il vettore posizione r spazza uguali
porzioni di superficie ∆S dell’ellisse in tempi uguali (sono evidenziate e messe a confronto le zone di
afelio e di perielio).
(5.14)
In figura sono evidenziate le porzioni di superficie spazzate dal vettore posizione quando il pianeta orbita in zone di afelio e perielio in un medesimo
intervallo di tempo. Poiché per la (5.14) le due aree devono essere uguali è
evidente che il tratto di orbita all’afelio e più corto di quello al perielio. Quindi
la velocità tangenziale del pianeta è massima quando è nella zona più vicina al
Sole (perielio) ed è minima quando è nella zona più lontana (afelio).
Terza legge
La terza legge caratterizza il tempo impiegato dai pianeti a percorrere la loro
orbita definito tempo di rivoluzione T.
Il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione intorno al Sole, T, e il
cubo del semiasse maggiore dell’orbita ellittica, a, è uguale a una costante k
valida per tutti i pianeti, cioè
T2
k
a3
(5.15)
Problema svolto 5.5
Saturno ha un periodo di rivoluzione TS = 29,46 anni. Calcolare la sua
distanza media dal Sole rS, conoscendo il periodo e la distanza media di
Giove dal Sole (TG = 11,86 anni, rG = 7,78·1011 m).
Utilizziamo la terza legge di Keplero (5.15) che è ugualmente valida ipotizzando orbite di pianeti circolari: occorre solo sostituire la lunghezza a con
il raggio r dell’orbita circolare. Dato il valore di k sempre costante, possiamo
perciò scrivere che
TS 2 TG 2

rS 3 rG 3
da cui
T 
rS  rG  S 
 TG 
2/3
 29, 46 anni 
 7, 78 10 m 

 11,86 anni 
11
2/3
 1, 43 1012 m
UNITÀ D5 - GRAVITAZIONE
 La legge di gravitazione dimostra quelle di Keplero
È possibile dimostrare le tre leggi di Keplero tramite la teoria del campo gravitazionale: il Sole è la massa sorgente del campo e il generico pianeta è la massa
m esploratrice. In questo modo sul pianeta agisce una forza gravitazionale Fg
con verso rivolto al Sole di massa M.
Ipotizziamo le traiettorie circolari anziché ellittiche e i pianeti in moto circolare
uniforme.
La prima legge non la dimostriamo perché particolarmente complessa.
far partire la freccia
dal centro?
Dimostrazione seconda legge
La figura 5.18 mostra una porzione di orbita con la
superficie spazzata dal vettore posizione r. Sul pianeta di massa m agisce solo la forza gravitazionale Fg
dovuta al campo della massa sorgente Sole. La forza
Fg, con direzione parallela a r, ha momento di forza
nullo essendo il relativo prodotto vettoriale tra vettori
paralleli. Dalla seconda legge cardinale, il momento
di forza nullo comporta momento angolare costante
(4.19 e 4.20a dell’unità D4).
Determiniamo la velocità areolare con cui il pianeta percorre l’area S in un intervallo di tempo t.
L’area S è quella di un settore circolare con raggio r,
apertura angolare  e lunghezza arco r  ((2.15a),
unità A2): dalla geometria piana risulta S = (1/2) 
r2. Quindi per la velocità areolare occorre dividere
entrambi i membri per t
RD q
r
DS
M
vt
m
Dq
Sole
S 1 2 
 r
t 2 t
Il rapporto /t è la velocità angolare  che ricordiamo essere legata con la
velocità tangenziale tramite la relazione vt =  R:
quindi
S 1
 r vt
t 2
Moltiplicando numeratore e denominatore per la massa del pianeta m otteniamo
S r m vt
l


t
2m
2m
dove l è il momento angolare del pianeta. Siccome l è costante, come pure 2 m,
segue che la velocità areolare è pure costante a conferma della (5.14).
Dimostrazione terza legge
La forza gravitazionale Fg è l’unica forza applicata al pianeta di massa m (fig.
5.18) in moto circolare uniforme. Quindi l’equazione del moto è
Fg  m ac
Fg
Figura 5.18
Dimostrazione seconda legge di
Keplero.
497
498
MODULO D - DINAMICA
dove ac è l’accelerazione centripeta (in altri termini la forza gravitazionale e
quella centripeta coincidono). Se consideriamo i moduli dell’equazione del moto
vt2
mM
G 2 m
r
r
(1)
dove abbiamo applicato la (5.4b) e la (1.10) dell’unità D1.
La velocità tangenziale vt è il rapporto tra la circonferenza dell’orbita e il tempo
T di rivoluzione, cioè vt = 2 r/T: sostituiamo quindi nel membro a destra della
(1) e sviluppiamo
 2 r 


4 2 rm
T 
m

r
T2
2
per poi sostituire nella (1)
G
mM 4 2 rm

r2
T2
Isoliamo infine T2
4 2 3
T 
r
GM
2
e ottenere la costante k della (5.15)
T 2 4 2

k
r3 G M
Attenzione: in questo caso di orbita circolare, il raggio r sostituisce la distanza
del semiasse maggiore a dell’orbita ellittica. A questo punto siamo in grado di
calcolare il valore della costante k conoscendo la massa M del Sole
4 2
4 2

 2,99 1019 s 2 m -3
k
19
2
30
2
GM
6, 67 10 N m kg
1,98 10 kg



UNITÀ D5 - GRAVITAZIONE
APPROFONDIMENTO
Esperimento di Cavendish per la misura della costante di
gravitazionale universale
Lo scienziato inglese Henry Cavendish ideò un
esperimento (fig. 5.19a) che permise nel 1798 la
misura della costante universale di gravitazione
G. Andiamo a descriverlo.
Sostituendo con la (1) otteniamo
Due sfere piccole di massa m (dell’ordine dei
grammi) sono agli estremi di un asta di lunghezza b appesa a una sottilissima fibra di quarzo.
Due sfere grandi di massa M (dell’ordine dei
kilogrammi) sono poste vicino alle piccole in
modo da creare su di loro un effetto attrattivo.
Attenzione le sfere non devono toccarsi.
Su ciascuna delle due piccole sfere agisce una
forza gravitazionale FMsum perpendicolare alla
sbarra, il cui modulo, secondo la legge di gravitazione universale, è
da cui la relazione per calcolare la costante universale di gravitazione
FMsum  G
M m
r2
G
M m
bk 
r2
r2 k 
G
M mb
essendo tutte le grandezze a secondo membro
misurabili e note.
(1)
sfere piccole
dove r è la distanza tra i due centri delle sfere
(fig. 5.19b).
Le due forze FMsum creano una coppia di forze, e
dunque, un momento dato dal prodotto ((1.17b),
unità B1)
FMsumb
fibra di quarzo
asta
(2)
sfere grandi
a
dove la lunghezza b è il braccio della coppia. A
sua volta, la coppia di forze provoca una torsione della fibra che si oppone con un momento
torcente dato dal prodotto
k
(5.16)
M
m
(3)
q
FMsum
m
b
dove k è la costante di torsione elastica della
fibra e  è l’angolo di rotazione dell’asta. I
momenti di forza (2) e (3) sono ovviamente di
verso opposto.
L’asta smette di ruotare quando il momento di
forza (3) riesce a equilibrare il momento di forza
(2), cioè quando
FMsumb  k 
FMsum
r
M
b
Figura 5.19
[pg.266, vol 1, Teppati-Valvo-Brodie-vedere allegato]
Esperimento di Cavendish: (a) struttura; (b) vista dall’alto che
mostra la coppia di forze torcere la fibra.
499
500
MODULO D - DINAMICA
APPROFONDIMENTO
Moto di un proiettile che diventa orbitale
La figura 5.20 mostra il disegno di Newton che
descrive un modello con cui dimostra il legame
tra la caduta libera dei corpi e il moto orbitale.
Newton cosi spiega. Si deve immaginare di lanciare un proiettile con vettore velocità iniziale
orizzontale dalla cima di una montagna. Maggiore
è il modulo del vettore velocità iniziale maggiore
è la distanza in caduta libera del proiettile prima
di toccare il suolo. Ipotizzando assenza di attrito
dell’aria, una velocità iniziale di modulo abbastanza elevato sarebbe in grado di fare orbitare il
proiettile intorno alla Terra. Perciò un corpo che
orbita intorno alla Terra è in realtà in caduta libera con un grande velocità iniziale.
 Satellite artificiale in orbita
Dal modello di Newton di figura 5.20 possiamo
determinare la velocità che occorre a un satellite
artificiale di massa msat per mantenersi in orbita
intorno alla Terra. La forza gravitazionale che
tiene in orbita il satellite è anche la forza centripeta che agisce sul satellite: quindi
2
msat M T
vsat
G
 msat
2
rorb
rorb
(1)
dove MT è la massa della Terra, rorb = (RT + h) è
il raggio dell’orbita del satellite e vsat è la velocità
tangenziale del satellite. Quindi dalla (1)
vsat = G
MT
rorb
(5.17)
Riassumendo per immettere in orbita un satellite
artificiale occorre portarlo ad altezza h e quindi
imprimergli una velocità tangenziale data dalla
(5.17).
Figura 5.20
Disegno di Newton tratto dalla sua opera Philosophiae Naturalis
Principia Matematica (1687).
unità
D5 Riepilogo
5.1 Legge di gravitazione universale
EP (r )  G
legge: onda elettromagnetica trasversale che si
propaga nello spazio come onda sferica;
F G
mA mB
r2
M m
r
con punto a energia potenziale zero scelto a r
infinito.
velocità di fuga:
dove G è la costante universale di gravitazione,
mA ed mB le masse coinvolte dalla reciproca
attrazione ed r la distanza tra le due masse.
applicazione universale: la legge di gravitazione universale descrive sia la caduta libera di corpi
sul suolo terrestre sia il moto orbitale dei pianeti.
5.2 Campo gravitazionale
vettore campo gravitazionale:
g  G
M
u
r2
dove M è la massa sorgente ed r è la distanza tra
la M e il punto di applicazione del vettore g.
Forza gravitazionale:
Fg  m g
dove m è la massa sorgente immersa nel campo
gravitazionale.
v fuga  2 G
M
r
dove r è la distanza tra M e il punto in cui corpo
deve assumere la velocità di fuga.
5.4 Campo gravitazionale terrestre
pianeta Terra: pianeta con massa MT =
5,98·1024 kg e raggio RT = 6,38·106 m.
vettore campo gravitazionale terrestre:
g  G
MT
u
( RT  h) 2
dove h è l’altezza rispetto al suolo del vettore g.
forza gravitazionale terrestre:
Fg  G
MT m
u
( RT  h) 2
energia potenziale gravitazionale terrestre:
5.3 Campo gravitazionale conservativo
EP (r )  G
energia potenziale gravitazionale:
MT m
RT  h
502
MODULO D - DINAMICA
energia meccanica:
EM 
1
M m
m v2  G
r
2
dove v è la velocità scalare della massa esploratrice m.
velocità di fuga terrestre:
v fuga  2G
MT
RT  h
gestire lo spazio
vuoto.
5.5 Moto orbitale
Si potrebbe
rimpolpare le voci
relative alle leggi di
leggi di Keplero: descrivono la cinematica dei
Keplero
pianeti nel sistema solare.
prima legge di Keplero: i pianeti percorrono
orbite ellittiche.
seconda legge di Keplero: la velocità areolare
dei pianeti è costante.
S
 costante
t
terza legge di Keplero:
T2
k
a3
unità
D5
Riepilogo
dove T è il periodo di rivoluzione del pianeta
intorno al Sole e a è la lunghezza del semiasse
maggiore dell’orbita ellittica.
unità
TEST
1
D5
Verifiche
2
Se si raddoppia la distanza di un corpo dal
centro della Terra, l’intensità della forza di
attrazione gravitazionale sul corpo
a) rimane uguale
b) dimezza
c) raddoppia
d) si riduce a un quarto
3
The SI units of the universal gravitational constant G are
a) kg2 N/m2
b) m kg/s2
c) N m2/kg2
d) N s2/m2
4
Due masse uguali si attirano con una forza di
intensità F. Se ciascuna massa raddoppia, la
forza F
a) raddoppia
b) dimezza
c) quadruplica
d) rimane costante
5
L’energia potenziale gravitazionale di un
corpo di massa m che si trova al distanza r
dalla superficie di un pianeta di massa M è
Quale grafico in figura rappresenta correttamente l’andamento della forza gravitazionale F
tra due corpi in funzione della loro distanza r?
a)
F
r
b)
F
r
c)
a)
G
mM
r
b)
G
mM
r2
c)
G
M
r
d)
G
M
r2
F
r
d)
6
F
r
Se l’energia potenziale gravitazionale di un
corpo di massa m che si trova alla distanza r
dalla superficie di un pianeta è Ep, l’energia
potenziale gravitazionale di un corpo di massa
2m che si trova alla distanza 2r dal pianeta è
a) EP
b) 2 EP
c) 1/2 EP
d) EP2
504
MODULO D - DINAMICA
7
8
9
Un corpo di massa m è collocato nel punto P
sulla superficie terrestre. Il campo gravitazionale della Terra in P ha modulo
a) g ed è diretto radialmente verso l’esterno
b) g ed è diretto radialmente verso il centro
della Terra
c) mg ed è diretto radialmente verso l’esterno
d) mg ed è diretto radialmente verso il centro
della Terra
A planet has the same mass as the Earth. It
also has a radius twice the Earth’s radius. If
the Earth’s acceleration due to gravity is g,
the acceleration due to gravity on the planet’s
surface is
a) 2 g
b) 1/2 g
c) 1/4 g
d) 4 g
Un pianeta ha massa e raggio doppi rispetto
la Terra; l’accelerazione di gravità del pianeta
rispetto a quella terrestre è
a) il doppio
b) la metà
c) un quarto
d) uguale
10 La velocità di fuga di un corpo dalla superficie
della Terra è
a)
b)
c)
unità
D5
Verifiche
d)
GM T
RT
GM T
RT 2
c) il doppio di quella del satellite A
d) un quarto di quella del satellite A
12 Due satelliti A e B ruotano su due orbite
circolari attorno alla Terra. La velocità tangenziale del satellite A è doppia di quella del
satellite B. Il raggio dell’orbita di A è
a) la metà di quello dell’orbita di B
b) uguale a quello dell’orbita di B
c) il doppio di quello dell’orbita di B
d) un quarto di quello dell’orbita di B
13 La Terra descrive un’orbita ellittica attorno
al Sole. La velocità tangenziale della Terra è
a) uguale in tutti i punti dell’orbita ellittica
b) maggiore all’afelio
c) maggiore al perielio
d) nulla
14 Il periodo di rivoluzione di un pianeta attorno al Sole dipende
a) dalla massa e dalla distanza del pianeta
dal Sole
b) solamente dalla distanza del pianeta dal
Sole
c) solamente dalla massa del pianeta
d) dalla massa, dalla distanza e dalla velocità tangenziale del pianeta
QUESITI
15 Come varia la forza di gravitazione con la
distanza?
16 Quali sono le dimensioni della costante G?
GM T
2 RT
17 Perché la costante G è detta universale?
2GM T
RT
19 Descrivere le linee del campo gravitazionale
prodotto da due masse vicine.
11 Due satelliti A e B, con massa mA e mB = 2 mA,
ruotano sulla medesima orbita circolare attorno alla Terra. La velocità tangenziale del satellite B è
a) la metà di quella del satellite A
b) uguale a quella del satellite A
18 Descrivere le linee del campo gravitazionale
prodotto da una massa puntiforme M.
20 Come varia il modulo del vettore accelerazione di gravità terrestre?
21 Che relazione esiste tra massa inerziale e
massa gravitazionale di un corpo?
22 Verificare che i membri della formula
UNITÀ D5 - GRAVITAZIONE
v
GM hanno le stesse dimensioni.
R
23 What is the minimum speed with which a
space ship must leave the surface of the Earth
in order to be able to escape from the gravitational attraction of the Earth?
24 Enunciare le tre leggi di Keplero.
505
33 Three 4,0 kg masses are located at points in the
xy plane as shown in the figure. What is the
magnitude of the resultant force (caused by the
other two masses) on the mass at the origin?
y
30 cm
25 Cosa si intende coi termini afelio e perielio?
26 Come è definita la velocità areolare?
x
40 cm
27 La velocità tangenziale con cui un pianeta percorre l’orbita è costante?
PROBLEMI
34 Fra la Terra di massa MT e la Luna di massa
LT c’è un punto P in cui la forza gravitazionale
risultante si annulla. Determinare la distanza
tra P e il centro della Terra indicando con d la
distanza tra i centri della Terra e della Luna.
Legge di gravitazione universale (5.1)
31 Calcolare l’intensità della forza di attrazione
gravitazionale tra Terra e Sole e quella tra
Sole e Terra.
La massa del Sole è 1,99·1030 kg; la distanza
Sole-Terra è 1,50·108 km.
32 In figura i tre corpi sferici hanno tutti massa di
1,0 kg. Calcolare la forza risultante sul corpo C.
A
B
4,0 cm
C
3,0 cm
36 Determinare modulo, direzione e verso del
vettore campo gravitazionale prodotto da un
punto materiale di massa m = 2,0 kg a una
distanza da esso di r = 2,0 cm.
37 In figura sono rappresentati due punti materiali di massa m1 = 0,50 kg e m2 = 0,25 kg.
Determinare modulo, direzione e verso del
vettore campo gravitazionale prodotto dai due
punti in P.
m1
m2
P
1,0 cm
2,0 cm
38 In figura, tre sfere di massa m = 5,2 kg sono
disposte sui tre vertici di un quadrato di lato
20 cm. Determinare modulo, direzione e verso
del vettore campo gravitazionale prodotto
dalle tre sfere sul vertice P.
Verifiche
30 Due automobili, con massa di 2000 kg e
di 3000 kg, “si attirano” con una forza di
1,0·10-6 N. Qual è la loro distanza? Se si raddoppia la distanza, che intensità assume la
forza di attrazione?
35 Calcolare l’intensità del campo gravitazionale
sulla superficie del Sole. La massa del sole è
1,99·1030 kg e il suo raggio è 6,96·108 m.
D5
29 Due punti materiali di uguale massa distano
20 cm. Determinare la massa di ciascun punto
se la forza gravitazionale di attrazione tra i
punti ha modulo 2,97·10-9 N.
Campo gravitazionale (5.2)
unità
28 Determinare il modulo della forza di attrazione gravitazionale tra due corpi di massa
100 kg e 10,0 kg a una distanza di 1,00 m.
506
MODULO D - DINAMICA
y
m
m
45 Calcola l’energia meccanica totale di un satellite di massa 200 kg che gira su un’orbita
circolare con velocità tangenziale costante a
500 km dalla superficie terrestre.
P
m
x
Campo gravitazionale conservativo (5.3)
39 Una navicella spaziale di massa 500 kg si trova
a una distanza dalla superficie della Luna
ugaule al raggio lunare. Calcolare l’energia
potenziale del corpo. La massa della Luna è
7,35·1022 kg e il suo raggio è 1,74·106 m.
40 Un corpo è lanciato radialmente dalla superficie della Luna con velocità di 2,0 km/s.
Calcolare la massima distanza dal centro della
Luna raggiunta dal corpo. La massa della
Luna è 7,35·1022 kg e il raggio è 1,74·106 m.
41 Un proiettile è lanciato radialmente con velocità di 3,5 km/s dalla superficie di un pianeta
di raggio 1,5·106 m. Il proiettile raggiunge l’altezza massima di 3,0·106 m sopra la superficie
del pianeta. Calcolare la massa del pianeta.
42 Calculate the escape speed from the Moon.
ML = 7,35·1022 kg, RL = 1,74·106 m.
unità
D5
Verifiche
Campo gravitazionale terrestre (5.4)
43 Una nave spaziale si trova a una distanza dalla
superficie terrestre di 2RT. Calcolare l’accelerazione di caduta libera dovuta alla forza di
gravità agente sulla nave.
44 A mass weighs 16 N at the surface of the
Earth. Find the mass’s weight when it is in
orbit 1000 km above the surface of the Earth.
46 La Luna gira attorno alla Terra su un’orbita
quasi circolare di raggio 384000 km. Sapendo
che il periodo di rivoluzione è di 27,3 giorni, calcolare la velocità tangenziale, l’energia
cinetica e l’ energia potenziale della Luna. La
massa della Luna è 7,35·1022 kg.
47 Un satellite artificiale di massa m ruota attorno alla Terra con velocità tangenziale costante, su un’orbita circolare ad altezza 2,3·103 km
rispetto alla superficie terrestre. Calcolare la
velocità tangenziale e il periodo di rivoluzione
del satellite.
48 Un satellite artificiale è detto “geostazionario”
se il suo tempo di rivoluzione intorno alla
Terra è uguale al tempo in cui la Terra compie
una rotazione completa intorno al suo asse,
cioè 24 ore. In queste condizioni il satellite
appare immobile a un osservatore sulla Terra.
Calcolare a quale altezza sulla superficie terrestre un satellite geostazionario deve orbitare e
a quale velocità tangenziale percorre l’orbita.
49 Calcolare a quale distanza dalla superficie della
Terra deve orbitare un satellite artificiale perché il suo peso sia un terzo di quello sulla Terra.
50 Un satellite artificiale della Terra ruota su
un’orbita circolare con velocità tangenziale di
5,73·103 m/s. Determinare l’altezza rispetto la
superficie terrestre, il periodo di rivoluzione e
l’accelerazione centripeta del satellite.
51 A satellite leaves the Earth at a speed of
3,00·104 m/s. Find the satellite’s speed when it
is very far from the Earth.
52 Un corpo di massa 1,0 kg si trova sulla superficie terrestre; è quindi portato a un’altezza h
uguale al raggio della Terra. Calcolare l’energia potenziale del corpo ad altezza h e il lavoro
della forza gravitazionale per portare il corpo
all’altezza voluta.
UNITÀ D5 - GRAVITAZIONE
507
LABORATORIO
Misura dell’accelerazione di gravità con un
pendolo
 Obiettivo
Misura del periodo di oscillazione del pendolo per misurare in modo indiretto
il modulo dell’accelerazione di gravità (par. 1.8, unità D1).
 Materiali



sostegno da laboratorio
una sfera di una certa massa
cordino non estensibile di lunghezza l.
 Preparazione
Costruzione del pendolo con i materiali elencati.
 Esecuzione
Spostiamo la sfera del pendolo dalla posizione di equilibrio in modo che il
cordino formi un angolo  non maggiore di 10° rispetto la verticale. Lasciamo
quindi libera la sfera in modo che il pendolo si matta ad oscillare. Misuriamo
quindi il periodo di oscillazione T del pendolo. Ripetiamo la misura con angoli
 di spostamento diversi.
 Calcolo
Il valore dell’accelerazione di gravità g si ottiene dalla formula che esprime il
periodo di oscillazione T di un pendolo
T  2
l
g
da cui
D5
Verifiche
4 2l
T2
unità
g

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