grandezze fisiche vettoriali vettori : coordinate polari © 2006 Appunti di Fisica Prof. Calogero Contrino Grandezze vettoriali: Rappresentazione di un vettore in coordinate polari Dato un vettore in forma cartesiana A = Ax i + Ay j (vedi fig.1) , il suo modulo si determina immediatamente applicando il teorema di Pitagora al triangolo OHP, si ha infatti: |A| = Ax2 + Ay2 = xP2 + yP2 Detto l’angolo che il vettore forma con il semiasse positivo delle ascisse si ha : A yP = tg-1 Ay = tg-1 yP da cui tg = HP = y = x Ax P OH Ax xP I valori di |A| e di determinano in modo univoco il vettore cosi come le sue componenti cartesiane; |A| ed sono dette le coordinate polari del vettore A . L’angolo prende il nome di fase o anomalia del vettore . Applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli al triangolo OHP, si ottengono le formule per il passaggio dalle coordinate polari a quelle cartesiane: Ax = |A| cos fig. 1 Ay j Ay = |A| sen O Appunti di Fisica Prof Calogero Contrino P yP Ax i H xP 07/04/2014 2/8 Grandezze vettoriali: Nota sul calcolo dell’anomalia di un vettore Nota : dovendo determinare l’anomalia di un vettore, conoscendo i valori Ax ed Ay delle sue componenti, se il rapporto Ax /Ay non corrisponde a nessuno dei valori di tg di angoli noti, si deve effettuare il calcolo con l’ausilio di una calcolatrice tascabile. In tal caso si devono superare due problemi : • In generale il valore che ritorna la calcolatrice è un valore decimale (gradi o radianti) esso pertanto deve essere approssimato con un determinato numero di cifre decimali. • Valori positivi di Ax /Ay si hanno sia nel caso in cui Ax ed Ay siano positive (1° quadrante ) sia nel caso in cui siano entrambe negative (3° quadrante), mentre valori negativi di Ax /Ay si hanno sia nel caso in cui Ax è positiva ed Ay è negativa (4° quadrante) sia nel caso opposto (2° quadrante). Per quanto riguarda il secondo punto , la calcolatrice fig. 2 non è in grado di valutare in quale quadrante ricade il P2 vettore, pertanto per convenzione ai valori positivi assegna angoli acuti ricadenti nel primo quadrante ed ai P1 yP 1>0 valori negativi angoli acuti ricadenti nel quarto quadrante (quindi angoli negativi, il quarto quadrante coincide infatti O con il primo quadrante per angoli orari e quindi negativi) 2<0 Spetta all’alunno valutare, dal segno delle componenti , l’eventuale correzione del risultato addizionando al risultato della calcolatrice 180°, se in radianti (vedi fig.2) Appunti di Fisica Prof Calogero Contrino P1 P2 In rosso i valori forniti dalla calcolatrice nei due casi 07/04/2014 3/8 Grandezze vettoriali: Nota sul calcolo dell’anomalia di un vettore : esempi Si riportano qui degli esempi di calcolo. • Determinare la fase del vettore A = 3 i + 2 j . Si ha : = tg-1 Ay = tg-1 2 , la calcolatrice fornisce il seguente risultato: 33,69006753° Ax 3 Il risultato non va corretto perché le due componenti sono entrambe positive ed il vettore ricade nel primo quadrante si decide inoltre di arrotondare il risultato p.e. 33,69° . fig. 3 P1 yP=2 ≃ 33,69° O Appunti di Fisica Prof Calogero Contrino xP=3 07/04/2014 4/8 Grandezze vettoriali: Nota sul calcolo dell’anomalia di un vettore : esempi • Determinare la fase del vettore B = - 2 i - 3 j . Si ha : = tg-1 By = tg-1 - 3 = tg-1 1,5 , la calcolatrice fornisce il seguente risultato: Bx -2 56,30993247° Il risultato va corretto perché le due componenti sono entrambe negative ed il vettore ricade nel terzo quadrante si decide inoltre di arrotondare il risultato p.e. 56,3° . Si ha dunque : = +180°= 56,3°+ 180° = 236,3° fig. 4 P ≃ 56,3° xP = -2 O P Appunti di Fisica Prof Calogero Contrino yP= -3 07/04/2014 5/8 Grandezze vettoriali: Nota sul calcolo dell’anomalia di un vettore : esempi • Determinare la fase del vettore C = i - 2 j . Si ha : = tg-1 Cy = tg-1 - 2 = tg-1 (-2) , la calcolatrice fornisce il seguente risultato: Cx 1 - 63,43494882° Il risultato non va corretto perché le due componenti sono discordi ed il vettore ricade nel primo quadrante negativo. È opzionale riferirsi ad un angolo positivo (quarto quadrante) in tala caso bisogna aggiungere 360°, si decide inoltre di arrotondare il risultato p.e. - 63°. Si ha dunque : = - 63° oppure = +360° = 360° - 63° = 297° fig. 3 xP= 1 ≃ 297° yP= -2 Appunti di Fisica Prof Calogero Contrino O ≃ - 63° P 07/04/2014 6/8 Grandezze vettoriali: Nota sul calcolo dell’anomalia di un vettore : esempi • Determinare la fase del vettore D = - 2 i + j . Si ha : = tg-1 Dy = tg-1 1 = tg-1(-0,5) , la calcolatrice fornisce il seguente risultato: Dx -2 - 26,56505118° Il risultato va corretto perché le due componenti sono discordi ed il vettore ricade nel secondo quadrante, si decide inoltre di arrotondare il risultato p.e. – 26,57°. Si ha dunque : = + 180° = 180° - 26,57° = 153,43° fig. 3 ≃ 153,43° P xP= - 2 yP=1 O ≃ - 26,57° P Appunti di Fisica Prof Calogero Contrino 07/04/2014 7/8
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