Richiami di dinamica delle strutture

Costruzioni in zona sismica
A.A. 2013-2014
Richiami di dinamica delle strutture
Richiami di dinamica delle strutture
Sistemi MDOF: Formulazione delle equazioni del moto.
La schematizzazione SDOF non è sempre soddisfacente. Occorre quindi spesso
schematizzare una struttura dal punto di vista dinamico come un sistema a molti gradi
di libertà e quindi con molte variabili generalizzate.
ll sistema di equazioni che governa il moto della struttura si può ricavare utilizzando
differenti metodi:
1 ) la scrittura diretta delle equazioni di equilibrio con il principio di D’Alambert;
2 ) Metodo energetico (Principio di Hamilton o della conservazione dell'energia totale
del sistema)
3 ) Elementi finiti
Mentre il metodo 3) è utilizzato ampiamente nei programmi di calcolo perché si presta
ad un elevato grado di automatizzazione, i primi due metodi sono il frutto del
Tradizionale approccio alla dinamica Lagrangiana.
Richiami di dinamica delle strutture
Sistemi MDOF: Formulazione delle equazioni del moto.
Esempio
x2
m( x2 + xg )
k p ( x 2 − x1 )
k p ( x 2 − x1 )
x1
m( x1 + xg )
⎧
⎪m( x1 + xg ) − k p ( x2 − x1 ) + k p x1 = 0
⎨
⎪
⎩m( x2 + xg ) + k p ( x2 − x1 ) = 0
⎧
⎪mx + 2k p x1 − k p x2 = −mxg
⎨
⎪
⎩mx2 − k p x1 + k p x2 = −mxg
k p x1
⎡m 0 ⎤ ⎧ x1 ⎫ ⎡ 2k p
⎢ 0 m⎥ ⎨x ⎬ + ⎢− k
⎣
⎦ ⎩ 2 ⎭ ⎣ p
xg
− k p ⎤ ⎧ x1 ⎫
⎡m 0 ⎤ ⎧1⎫
⎨ ⎬ = − ⎢
⎨ ⎬xg
⎥
k p ⎥⎦ ⎩ x2 ⎭
⎣ 0 m⎦ ⎩1⎭
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Sistemi MDOF: Formulazione delle equazioni del moto.
Per un generico sistema MDOF ad n gradi di libertà il sistema di equazioni che ne
governa il moto è costituito da un vettore X di incognite Lagrangiane, da una matrice
della masse M e delle rigidezze K di dimensioni (n x n), e da un vettore di
trascinamento I. Quest’ultimo rappresenta un vettore unitario che associa
l’accelerazione alla base ai gradi di libertà traslazionali.
 + KX = −MIx
MX
g
Nei casi reali sarà presente anche lo smorzamento, generalmente modellato come
proporzionale alla velocità. E’ possibile allora associare ad esso una matrice detta
matrice degli smorzamenti che ci permette di valutare il vettore delle forze viscose
da inserire nell’equazione di equilibrio del sistema:
 + CX
 + KX = −MIx
MX
g
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Sistemi MDOF: Decomposizione spettrale
Particolarmente rilevante, come già dimostrato per i sistemi SDOF, è l’analisi delle
oscillazioni libere del sistema non smorzato. Nel caso di sistemi MDOF è importante
perché permette l’individuazione dei modi di vibrazione del sistema, che
costituiscono l’elemento base per il calcolo della risposta alle azioni sismiche. Si
consideri il sistema non smorzato e in assenza di forzante. La soluzione di questo
sistema può essere espressa come combinazione lineare di soluzioni armoniche del
tipo seguente, dove Φ è un vettore di costanti
 + KX = 0
MX
X = Φeiωt
(K − ω M) Φ = ΓΦ = 0
2
Il sistema così ottenuto è un sistema omogeneo che ammette soluzione non banale
se e soltanto se il determinante della matrice dei coefficienti è nullo. Dunque per
determinare le autosoluzioni del sistema occorre imporre la condizione:
det "#K ! ! 2 M$% = 0
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Sistemi MDOF: Analisi modale
L’equazione precedente è un equazione algebrica di grado n (n gdl) la cui soluzione
fornisce i valori ωi delle frequenze proprie del sistema. Ad ogni periodo è
associato un vettore Φi (autovettore) soluzione del problema agli autovalori prima
illustrato, che a meno di una costante, definisce l’i-mo modo di vibrazione del
sistema.
Il modo con periodo più lungo è detto modo fondamentale o primo modo.
I modi di vibrazione di una struttura posseggono alcune importanti proprietà di
ortogonalità, la cui utilità verrà richiamata nelle prossime slide
φiT Kφ j = 0
se i ≠ j
φiT Mφ j = 0
se i ≠ j
Ciò comporta che la frequenza di ogni modo possa così esprimersi
(K − ω M) Φ = 0
2
ωi2 = φiT Kφi
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Sistemi MDOF: Analisi modale
Poichè gli autovettori sono definiti a meno di una costante è possibile scegliere
differenti condizioni di normalizzazione:
1)  Metodo della componente unitaria
2)  Metodo della normalizzazione rispetto alla matrice delle masse M
Il primo metodo consiste nell’imporre che almeno una componente dei singoli modi
sia unitaria. In tal modo poiché abbiamo imposto che il determinante di Γ sia nullo
abbiamo reso indipendenti solo n-1 equazioni, dalle quali è possibile ricavare le
restanti componenti degli autovettori.
Il secondo consiste nell’imporre che i singoli modi φi soddisfino la condizione
seguente:
φiT Mφi = 1
+
ΓΦ = Γ[φ1 φ2
.... φn ] = 0
=
SOLUZIONE
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Sistemi MDOF: Analisi modale
Una volta valutati i modi di vibrare e le frequenze proprie del sistema è possibile
calcolare la risposta sismica del nostro telaio. Spesso in fase progettuale si adotta
quello che viene usualmente denominato metodo della sovrapposizione
modale.
L'idea base del metodo è legata alla proprietà di ortonormalità degli autovettori e
alla normalizzazione degli stessi rispetto alla matrice delle masse, che rendono
disaccoppiate le equazioni del moto. Infatti si ponga:
X = ΦY
Φ = [φ1 φ2 ... φn ]
dove Y è il vettore delle coordinate normali mentre X è il vettore degli
spostamenti di piano e Φ è la matrice modale. Con tale trasformazione il sistema
risulta essere disaccoppiato
Diagonalizzazione
φiT Mφi yi + φiT Kφi yi = 0
yi + ωi2 yi = 0 i = 1,n
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Sistemi MDOF: Analisi modale
L’equazione precedente rappresenta l’equazione del moto del modo i-mo. Per
valutare la soluzione dell’equazione del moto si possono risolvere le n equazioni
modali e poi trovare il vettore degli spostamenti X mediante la trasformazione in
coordinate normali. Ne risulta che la soluzione è una combinazione lineare dei singoli
modi di vibrazione:
X = !Y = "
i=1,n
! i yi
metodo della sovrapposizione modale.
Generalmente non è necessario considerare nella sommatoria tutti i modi di
vibrazione perché alcuni sono preponderanti rispetto ad altri, in particolare quelli con i
periodi più alti. Se al limite contasse solo il primo modo di vibrazione il sistema
MDOF si comporterebbe di fatto come un sistema SDOF. I criteri di scelta del
numero di modi sono illustrati in seguito.
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Sistemi MDOF: Lo smorzamento modale
Nel caso in cui fosse presente anche dello smorzamento il sistema non sarebbe
generalmente disaccoppiabile, almeno che non si ricorre all’analisi complessa,
considerando cioè autovalori e autovettori complessi. Un sistema che in presenza di
smorzamento non risulta essere disaccoppiabile è detto sistema non
classicamente smorzato. Spesso per non complicare la valutazione della risposta
si ammette che anche il termine legato allo smorzamento possa essere
diagonalizzato:
φiT Cφ j
⎧2ξ iωi i = j
= ⎨
i≠ j
⎩0
C =α K + β M
Una classica espressione di C è quella di Rayleigh. Scelto il rapporto di smorzamento ξ
i parametri α e β possono valutarsi sulla base di due prescelti modi di vibrazione
⎛ ωiω j
α = 2ξ ⎜
⎜ ω j + ωi
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛ 1
β = 2ξ ⎜
⎜ ω j + ωi
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
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Sistemi MDOF: Lo smorzamento modale
Adottando uno smorzamento
proporzionale alla sola massa si
renderebbe basso il valore dello
smorzamento attribuibile ai modi di
vibrazione superiori (ad alta
frequenza). Al contrario adottando
uno smorzamento proporzionale alla
rigidezza si avrebbe uno
smorzamento crescente linearmente
con la frequenza. Lo smorzamento
alla Rayleigh ingloba entrambe queste
caratteristiche.
Si suggerisce di
assumere per ωi e ωj i valori delle
frequenze minima e massima nel
range d’interesse
ξ
Smorzamento
Proporzionale alla massa
Smorzamento
alla Rayleigh
ξ
Smorzamento
Proporzionale
alla rigidezza
ωi
ωj
ω
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Sistemi MDOF: Valutazione della risposta sismica
Nel caso di azione sismica il sistema di equazioni che governa il moto è il seguente:
 + CX
 + KX = −MIx
MX
g
Dove le matrici hanno il significato già evidenziato in precedenza. Applicando la
trasformazione nello spazio delle variabili normali Y e normalizzando i modi rispetto
alla matrice delle masse si ottengo le seguenti n equazioni disaccoppiate:
X = ΦY =
∑φi y i
1=1,n
 + Φ T CΦY
 + Φ T KΦY = −Φ T MIx
Φ T MΦ Y
g
yi +
2ξ iωi y i + ωi2 yi
=
−φiT MIxg
Fattore di
partecipazione
modale pi
Richiami di dinamica delle strutture
Sistemi MDOF: Valutazione della risposta sismica
Come già accennato il numero dei modi da considerare nella sommatoria
precedente è legato al loro singolo contributo, valutabile osservando il significato
fisico del coefficiente di partecipazione modale pi :
esso rappresenta il lavoro
compiuto dalle forze sismiche nel modo i-mo.
E' allora chiaro che se pi è alto c'è un forte coinvolgimento del modo i-mo nel moto
imposto dal sisma. E' altrettanto chiaro che più il modo è intrecciato e più c'è la
possibilità che il relativo fattore di partecipazione sia piccolo.
Modo I
Modo II
Modo III
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Sistemi MDOF: Valutazione della risposta sismica
Una volta determinate gli spostamenti del sistema provocati dal sisma è possibile
determinare le forze statiche equivalenti associate ai singoli modi.
Fs ( t ) = KX( t ) = KΦY( t )
Ricordando che
Kφi = ω 2 Mφi
KΦ = ΛMΦ
⎡ω12
⎢
Λ = ⎢ ...
⎢ 0
⎣
Si ha
Fs ( t ) = ΛMΦY
Fs ,i ( t ) = ωi2 Mφi yi
...
0 ⎤
⎥
... .. ⎥
.. ω n2 ⎥⎦
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Sistemi MDOF: Valutazione della risposta sismica
Ad ogni istante del moto è possibile determinare le forze statiche equivalenti
associate ad ogni singolo modo ed è quindi possibile determinare tutte le grandezze
di interesse. Ad esempio il taglio alla base di un telaio shear-type di n piani,
considerando l’i-mo modo di vibrare è dato dalla somma di tutte le forze modali
lungo l’altezza
Vbi ( t ) = ∑ j =1,n Fsi , j ( t )
Piano j-mo
Fsi,j
Vb ( t ) =
∑
∑ Fsi , j ( t ) =
i =1,m j =1,n
Vb ( t ) =
(
T
F
∑ si ( t )I
i =1,m
)
2 T
ω
i
∑ φi MI yi ( t ) =
i =1,m
Taglio alla base di un telaio shear-type
2
ω
i
∑ pi yi ( t )
i =1,m
Richiami di dinamica delle strutture
Sistemi MDOF: Valutazione della risposta sismica
Un’altre grandezza spesso utilizzata per la valutazione dei singoli modi è la così detta
% di massa efficace o % di massa eccitata dell’i-mo modo definita come segue:
M i*
2
T
φi MI
(
=
)
mtot
pi2
=
mtot
% massa efficace o % massa eccitata
Dalla definizione di coefficiente di partecipazione modale pi risulta che la somma dei
quadrati di tutti i coefficienti di partecipazione modale è pari alla massa totale del
sistema. Sicché la massa efficace ci dice quanta massa in rapporto alla massa totale
partecipa al modo i-mo.
Questa grandezza è spesso fornita in output dai programmi di calcolo ed è utilizzata
anche dalla normativa per definire il numero di modi di vibrazione da utilizzare nelle
analisi sismiche lineari con il metodo della sovrapposizione modale.
Richiami di dinamica delle strutture
Sistemi MDOF: Valutazione della risposta sismica
Per il progetto di strutture soggette al sisma spesso più che a tutta la storia
temporale della risposta si è interessati alla risposta massima. A tale scopo è
possibile utilizzare il metodo dello spettro di risposta sicché lo spostamento
massimo di ogni oscillatore modale può essere calcolato a partire dallo spettro di
risposta elastico moltiplicato per il rispettivo fattore di partecipazione modale.
Xi = φi pi 2 Sd ( ξi ,ωi )
Risposta spettrale del singolo oscillatore modale
Nel caso, ad esempio di un telaio shear-type di n piani il taglio alla base relativo al
modo di vibrazione i-mo è dato da
Massa efficace del modo i-mo
Vb ,i max ( t ) = ωi2 pi yi ,max ( t ) = pi 2 S a ( ξ ,ω )
Da: Braga, 2001
Da: Braga, 2001
Da: Braga, 2001
Da: Braga, 2001
Da: Braga, 2001
Da: Braga, 2001
Da: Braga, 2001
Da: Braga, 2001
Da: Braga, 2001
Da: Braga, 2001
Da: Braga, 2001
Da: Braga, 2001
Da: Braga, 2001
Da: Braga, 2001

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