ESERCIZI

20 test (30 minuti)
ESERCIZI
ESERCIZI
TEST INTERATTIVI
1 Macchine termiche
2
QUANTO?
Una macchina termica ha un rendimento del 25%.
Quanto calore deve utilizzare per produrre 100 J
di lavoro?
6 400 J@
3
In ogni suo ciclo, una macchina termica assorbe
280 J da una sorgente calda e scarica 238 J nell’ambiente.
Qual è il suo rendimento?
6 15%@
쐌쐌쐌
2 Motori a combustione interna
1
쐌쐌쐌
QUANTO?
Una macchina termica produce 40 J a ciclo, assorbendo 220 J di calore.
Quanto calore viene disperso nell’ambiente?
쐌쐌쐌
6 180 J@
4
ESEMPIO
쐌쐌쐌
Una centrale elettrica produce 500 MW, utilizza vapore molto caldo e ha un rendimento del 35%. L’energia
non convertita in lavoro, cioè in energia elettrica, deve essere scaricata nell’ambiente utilizzando l’acqua di
un fiume.
Quale portata deve avere il fiume per far sì che la sua temperatura non aumenti di oltre 5,0 °C, allo scopo
di ridurre quello che viene chiamato inquinamento termico?
RISOLUZIONE
Usare la potenza invece dell’energia non fa
differenza per la definizione di rendimento,
perché questo è un rapporto tra due
grandezze omogenee; il rendimento è quindi:
L
potenza meccanica
Tt
L
h=
=
=
potenza termica assorbita
Qc
Qc
Tt
Indichiamo con P la potenza meccanica
e con W c e W f rispettivamente la
potenza termica prodotta nella centrale e
la potenza termica scaricata nel fiume:
h=
Per il primo principio si ha:
P = Wc - Wf & Wc = P + Wf
Vogliamo conoscere la potenza termica
W f dispersa nel fiume, avendo come dati
P e h:
h=
P
Wc
P
P
=
Wc
P + Wf
& Wf = P
1-h
h
Ricaviamo infine L:
534
Risultato numerico
P = 500 MW
h = 35%
W f = ^500 MWh
Questi 930 MW scaldano l’acqua del fiume.
Indichiamo con Q a il calore che viene
passato all’acqua del fiume nell’intervallo
di tempo Tt , con m a la massa dell’acqua,
con c a il calore specifico dell’acqua e con
TT il salto di temperatura. Risulta:
Wf =
La portata del fiume è m a Tt , quindi
si ha:
ma
Wf
=
Tt
c a TT
1 - 0,35
= 929 MW . 9,3 $ 10 8 W
0,35
Qa
m a c a TT
=
Tt
Tt
ESERCIZI
12 Il secondo principio della termodinamica
Risultato numerico
W f = 930 MW
TT = 5,0 °C
c a = 4,2 kJ ^ kg $ °Ch
9,3 $ 10 8 W
ma
=
=
Tt
_ 4,2 $ 10 3 kJ ^ kg $ °Chi ^ 5,0 °Ch
= 4,4 $ 10 4 kg s = 44 m 3 s
Per evitare innalzamenti di temperatura superiori a 5,0 °C
la portata del fiume deve essere almeno 44 m 3 s .
5
쐌쐌 쐌
6
쐌쐌 쐌
7
쐌쐌 쐌
Considera la centrale dell’esercizio precedente e
supponi che il suo rendimento sia il 30%, pur mantenendo la potenza prodotta di 500 MW.
Quanto si innalzerebbe la temperatura dell’acqua
del fiume con una portata di 44 m 3 s ? 6 6,3 °C@
Una macchina termica assorbe 200 J di energia termica per ogni ciclo e scarica nell’ambiente 140 J.
Se effettua 25 cicli al secondo, quanto vale la sua
potenza?
6 1,5 kW@
Un motore sviluppa 1800 W effettuando 20 cicli s
e con un rendimento del 25%.
Qual è l’energia scaricata nell’ambiente a ogni ciclo?
E quella scaricata nell’ambiente in un’ora di funzionamento?
6 270 J ; 19 MJ @
3 Il secondo principio della
termodinamica: enunciato di Kelvin
4 Macchine frigorifere
5 Il secondo principio della
termodinamica: enunciato di
Clausius
8
쐌쐌쐌
QUANTO?
Un frigorifero, per estrarre 480 J dal suo interno,
consuma 120 kJ.
Quanto vale il suo coefficiente di prestazione?
6 4@
9
쐌쐌쐌
QUANTO?
Una pompa di calore estrae 480 J dall’ambiente freddo esterno, consumando 120 kJ.
Quanto vale il suo coefficiente di guadagno? 6 5@
10 Un frigorifero con coefficiente di prestazione pari a
쐌쐌쐌
4,5 consuma 100 W.
Quanta potenza termica scarica all’esterno?
6 550 W@
11
ESEMPIO
쐌쐌쐌
Un frigorifero assorbe 8,0 kJ da un termostato freddo e scarica nell’ambiente 10,0 kJ.
Qual è il suo COP?
Il frigorifero è reversibile e viene fatto funzionare come macchina termica.
Qual è il suo rendimento?
RISOLUZIONE
Il COP (coefficiente di prestazione) è
il rapporto tra il calore estratto dall’ambiente
freddo e il lavoro che è stato necessario
per eseguire l’estrazione:
Il lavoro è la differenza tra il calore
scaricato e quello assorbito:
COP =
Qf
L
L = Q c - Q f & COP =
Qf
Qc - Qf
535
ESERCIZI
Princìpi della termodinamica
Risultato numerico
Q c = 10,0 kJ
Q f = 8,0 kJ
COP =
Se il frigorifero viene fatto funzionare
come macchina termica, allora si considera
il rendimento h, che è il rapporto tra lavoro
prodotto e calore assorbito:
h=
L
Qc
Risultato numerico
Q f = 8,0 kJ
Q c = 10,0 kJ
12
8,0 kJ
= 4,0
10,0 kJ - 8,0 kJ
ESEMPIO
L = 10,0 kJ - 8,0 kJ = 2,0 kJ
2,0 kJ
h=
= 20%
10,0 kJ
쐌쐌쐌
All’interno di un frigorifero ^T = 5 °Ch sono stati messi 10 L d’acqua a 20 °C. Il COP del frigorifero vale
4,2. Trascura le dispersioni termiche e i contenitori dell’acqua.
Calcola l’energia utilizzata dal frigorifero per raffreddare l’acqua.
RISOLUZIONE
Il frigorifero estrae il calore Q f dell’acqua
^massa m e calore specifico c ah e lo
scarica all’esterno:
Q f = m c a TT
Il coefficiente di prestazione del
frigorifero è il rapporto tra il calore
estratto e il lavoro necessario per
estrarlo:
COP =
Qf
L
&
L =
m c a TT
Qf
=
COP
COP
Risultato numerico
t = 1,0 $ 10 3 kg m 3
V = 1,0 $ 10-2 m 3
c a = 4,19 kJ ^ kg $ °Ch
COP = 4,2
TT = 20 °C - 5 °C = 15 °C
m = t V = ^ 1,0 $ 10 3 kg/m 3h ^ 1,0 $ 10- 2 m 3h = 10 kg
L=
^ 10 kg h ^ 4,19 kJ ^ kg $ °Chh ^ 15 °Ch
= 0,15 M J
4,2
13 Un frigorifero consuma 160 kJ per raffreddare 12 L di acqua da 16 °C a 4 °C.
쐌 쐌쐌
Determina il suo coefficiente di prestazione.
6 3,8@
14 Una pompa di calore immette 20 kW per scaldare una casa. L’aria che esce dalla pompa è a 40 °C, mentre
쐌 쐌쐌
536
l’esterno si trova a - 20 °C .
Determina il suo COP.
Calcola la potenza del motore che aziona la pompa di calore.
6 4,2 ; 3,8 kW@
15 In un ciclo industriale, un grosso frigorifero
쐌쐌쐌
^COP = 4,8h trasforma acqua a circa 1 °C in ghiaccio a 0 °C.
Il frigorifero consuma 800 W.
Calcola quanti kilogrammi di ghiaccio produce ogni ora.
6 41 kg@
16
ESEMPIO
쐌쐌쐌
Una certa macchina termica ha rendimento 33% ed estrae 210 J dalla sorgente calda.
Supponi che l’enunciato di Clausius sia falso e mostra che in tal caso, con un frigorifero «impossibile»
che viola l’enunciato di Clausius, sarebbe possibile violare anche l’enunciato di Kelvin.
RISOLUZIONE
L’enunciato di Clausius afferma che non esiste
alcun frigorifero che possa trasferire calore da
una sorgente calda a una fredda senza che
non vi siano altri scambi energetici.
Supponiamo che l’enunciato di Clausius sia falso:
esiste un frigorifero «impossibile» che trasferisce
calore da una sorgente fredda a una più calda
senza alcun effetto secondario.
Una macchina termica con rendimento h
assorbe calore da una sorgente a temperatura
alta, ne trasforma la frazione h in lavoro
e scarica la frazione ^1 - hh in una sorgente
fredda. Una macchina del genere non viola
il principio di Kelvin.
La nostra macchina ha h = 33%: se in un ciclo
assorbe 210 J, produce 70 J di lavoro e scarica nella
sorgente fredda i restanti 140 J.
La coppia composta dalla macchina termica
e dal frigorifero «impossibile» è una macchina
termica «impossibile» che viola l’enunciato
di Clausius.
Il frigorifero «impossibile» può prendere i 140 J
scaricati nella sorgente fredda e trasferirli nella
sorgente calda. Così restano 70 J di calore prelevati
dalla sorgente calda e trasformati interamente in
lavoro in un ciclo della coppia macchina-frigorifero
«impossibile».
L’enunciato di Kelvin afferma che non
è possibile trasformare integralmente in un
ciclo termico il calore in lavoro.
La coppia macchina-frigorifero «impossibile» viola
l’enunciato di Kelvin.
17 Un frigorifero assorbe 500 J da un termostato fred-
쐌쐌쐌
do e scarica 800 J a un termostato caldo.
Supponi che l’enunciato di Kelvin sia falso e
mostra che, in tal caso, con una macchina termica «impossibile» sarebbe possibile violare l’enunciato di Clausius.
19 QUANTO?
쐌쐌쐌
Una macchina reversibile di Carnot prende 300 J a
ciclo da una sorgente termica a 500 K.
Quanto calore deve scaricare nell’ambiente?
6. 180 J a ciclo@
20 Una macchina reversibile di Carnot assorbe calore
쐌쐌쐌
6 Trasformazioni reversibili e teorema
di Carnot
7 Macchina di Carnot e ciclo di Carnot
18 QUANTO?
쐌쐌쐌
Un motore opera fra le temperature di 50 °C e
650 °C.
Quanto vale il suo rendimento massimo? 6 65%@
da una sorgente a 400 °C e lo scarica nell’ambiente
a 20 °C.
Calcola il suo rendimento.
6 56%@
21 Una macchina termica, che assorbe calore da una
쐌쐌쐌
sorgente a 600 K e scarica calore a 350 K, ha un
rendimento del 30%.
È una macchina di Carnot?
6 No, il rendimento teorico è 42%@
537
ESERCIZI
12 Il secondo principio della termodinamica
ESERCIZI
Princìpi della termodinamica
22 La temperatura delle acque superficiali del mare
può raggiungere i 25 °C, mentre nelle profondità si
hanno temperature più basse, che si aggirano intorno ai 5 °C.
Quale rendimento avrebbe una macchina di Carnot operante fra queste temperature?
6< 7%@
쐌쐌쐌
A quale temperatura arriva il gas?
Durante questa espansione quanto lavoro compie il gas?
E quanto calore assorbe?
Se il gas fosse stato monoatomico invece che biatomico, le risposte alle domande precedenti
sarebbero cambiate?
6 V i = 12,2 L ; Tf = 49 °C ; L = 0,49 kJ ;
Q = 1,69 kJ @
23 Una macchina termica reversibile opera fra due
쐌쐌쐌
sorgenti a temperature rispettivamente Tc e
Tf = 40 °C .
Determina la temperatura minima Tc che assicura un rendimento maggiore del 55%.
6 700 K @
26 1 mole di gas monoatomico a 21 °C occupa un volu-
쐌쐌쐌
24 Una macchina termica assorbe in un ciclo termico
쐌쐌쐌
200 J da una sorgente a temperatura alta e scarica
140 J nell’ambiente a 20 °C.
Qual è il rendimento di questa macchina?
È possibile che la sorgente a temperatura alta, da
cui la macchina assorbe i 200 J, sia vapore a
120 °C?
6h = 30% ; con Tcalda = 120 °C = 393 K si ha
h max = 25% < 30% , pertanto la risposta è:
non è possibile@
6 P = 4 bar ; L = 1,2 kJ ; Q = 3,0 kJ @
27 1 mole di gas monoatomico a 21 °C viene compres-
쐌쐌쐌
25 2 moli di gas biatomico a 20 °C sono tenute a una
쐌쐌 쐌
29
pressione di 4,0 $ 10 5 Pa in un recipiente dotato di
pistone.
Qual è il volume iniziale (in litri) del recipiente
che contiene il gas?
Si fa espandere reversibilmente questo gas fino ad
aumentare il volume del 10%, ma tenendo costante
la pressione a 4,0 $ 10 5 Pa .
ESEMPIO
me di 6,1 L.
Qual è la pressione (in bar) del gas?
Si scalda il gas e lo si fa espandere reversibilmente,
mantenendo costante la pressione, fino a quando
raggiunge un volume di 9,1 L.
Qual è il lavoro che si ottiene?
Durante l’espansione quanto calore viene assorbito dal gas?
sa da un volume iniziale di 24,4 L a 20,0 L in modo
reversibile e adiabatico.
Calcola la temperatura finale del gas.
6 Tf = 63 °C @
28 1 mole di gas biatomico a 20 °C viene espansa da
쐌쐌쐌
24,4 L a 26,8 L in modo reversibile e adiabatico.
Calcola la temperatura finale del gas.
6 Tf = 9 °C @
쐌쐌쐌
Un recipiente di volume complessivo 4,80 L, dotato di pareti adiabatiche, è riempito per metà con 0,800 moli
di argon e si trova a temperatura ambiente ^Ta = 20 °Ch . L’altra metà è vuota. A mantenere contenuto il gas
c’è un leggero setto mobile, anch’esso adiabatico, bloccato da alcuni fermi. I fermi vengono rimossi e il gas
spinge sul setto di colpo, fino a riempire tutto il recipiente. A questo punto il setto viene spinto verso il basso
e il gas è riportato al volume iniziale in modo reversibile. Trascura massa e spessore del setto mobile.
espansione
libera
adiabatica
irreversibile
538
compressione
adiabatica
reversibile
Quanto valgono la pressione e la temperatura dopo l’espansione nel vuoto?
E dopo che il gas ha occupato nuovamente mezzo recipiente?
Calcola il lavoro necessario a ricomprimere il gas per riportarlo al volume iniziale.
RISOLUZIONE
L’espansione del gas è irreversibile, ma non comporta
alcun lavoro perché la parte superiore del recipiente è
vuota e noi trascuriamo la massa del setto mobile.
Inoltre le pareti sono adiabatiche, per cui non ci sono
scambi di calore. Ciò significa che l’energia interna U
del gas resta invariata. Consideriamo l’argon nel
recipiente un gas perfetto: la sua energia interna
dipende solo dalla temperatura e dal numero di moli.
Se U e n non cambiano, anche T non cambia, perciò
la temperatura finale è
T1 = Ta = 20 °C = 293 K
Dalla legge del gas perfetto si ha:
P1 =
La compressione adiabatica è ora effettuata in modo
reversibile. Questo fatto comporta l’attraversamento di
stati di equilibrio in cui anche i valori di pressione sono
sempre ben definiti e la compressione adiabatica
reversibile è una curva nel piano P-V.
Dalla legge del gas perfetto la temperatura finale
raggiunta dopo la compressione adiabatica è
P1 =
^ 0,800 molh ^ 8,31 J ^ mol $ Khh ^ 293 Kh
4,80 $ 10-3 m 3
=
= 4,06 $ 10 5 Pa
Per la trasformazione adiabatica
reversibile da ^P1 , V1h a ^P2 , V2h si ha:
V 1c
P2 = P1 c
V2
dove c = 5 3 per il gas monoatomico.
Il punto di partenza della trasformazione
adiabatica reversibile è
^P1 , V1h = ^4,06 $ 10 5 Pa , 4,80 $ 10-3 m 3h
Il punto di arrivo ha un volume
V2 = V1 2
T2 =
P2 V2
nR
Risultato numerico
P1 = 4,06 $ 10 5 Pa
n = 0,800 mol
P2 = 1,29 $ 10 6 Pa
V 2 = 2,40 L = 2,4 $ 10-3 m 3
n RT1
V1
Risultato numerico
n = 0,800 mol
R = 8,31 $ J/ (mol $ K)
V 1 = 4,80 L = 4,80 $ 10-3 m 3
T = 293 K
ESERCIZI
12 Il secondo principio della termodinamica
P2 = ^4,06 $ 10 5 Pah $ 2 5 3 = 1,29 $ 10 6 Pa
T2 =
^ 1,29 $ 10 6 Pah ^ 2,40 $ 10-3 m 3h
^ 0,800 molh ^ 8,31 J ^ mol $ Khh
= 466 K = 193 °C
=
Il gas è aumentato di temperatura non perché ha assorbito
calore (la trasformazione è adiabatica) ma perché il setto ha
compiuto lavoro per ricomprimerlo. Poiché gli scambi di
L = TU = n C V TT = n C V ^ T 2 - T 1 h
calore sono nulli, dal primo principio segue che questo lavoro
è pari alla variazione di energia interna del gas:
539
Princìpi della termodinamica
ESERCIZI
Risultato numerico
n = 0,800 mol
CV = 3 2 R
T2 = 466 K
T1 = 293 K
L = ^ 0,800 molh
3
^ 8,31 J ^ mol $ Khh^ 466 K - 293 Kh =
2
= 1,73 kJ
30 Considera l’esercizio precedente nel caso in cui il recipiente contenga azoto, che è un gas biatomico.
쐌 쐌쐌
Quanto valgono la pressione e la temperatura dopo l’espansione nel vuoto?
E dopo che il gas ha occupato nuovamente mezzo recipiente?
Calcola il lavoro necessario a ricomprimere il gas per riportarlo al volume iniziale.
[P1 = 4,06 $ 105 Pa, T1 = Ta; P2 = 10,7 $ 105 Pa, T2 = 387 K; L = 1,56 kJ]
31
ESEMPIO
쐌쐌쐌
Considera l’espansione adiabatica che fa passare n moli di gas
perfetto da uno stato iniziale, caratterizzato da Pi e Vi , a uno
stato finale, caratterizzato da Pf e Vf = kVi ^k > 1h .
Dimostra che il lavoro è
L = c V Pi V i = 1 - c
P
espansione
adiabatica
reversibile
1 c-1
m G
k
dove c V = CV R è il calore specifico molare del gas in unità
R, per il quale vale la relazione c V = 1 ^c - 1h .
Vi
In una espansione adiabatica reversibile
di un gas perfetto gli stati iniziale e finale
sono legati dalla relazione:
540
Pf = Pi
kVi
V
V ic
V fc
dove c è il rapporto dei calori specifici del gas; in
particolare c = 5 3 per i gas monoatomici e c = 7 5
per quelli biatomici.
Il una trasformazione adiabatica il gas
non scambia calore con l’esterno, quindi
Q = 0. Per il primo principio della
termodinamica allora si ha:
L = TU
In termini del calore specifico molare del
gas c V il lavoro diviene
L = TU = n R c V TT
A questo punto occorre determinare TT ;
la temperatura iniziale Ti del gas è nota
dalla legge di stato, quindi
Ti =
Per determinare Tf bisogna prima
calcolare Pf , mentre è noto che al termine
dell’espansione si ha Vf = kVi :
Pf =
Determiniamo Tf mediante la legge del
gas perfetto:
Tf =
Pi Vi
nR
Pi V ic
^kVihc
=
Pi
kc
Pf Vf
Pi Vi k
Pi Vi 1 c - 1
=
=
c m
c
nR
nR k
nR k
Sostituendo nella relazione
L = n R c V TT si ha:
L = n R c V ^ Ti - Tf h = n R c V =
= c V Pi V i = 1 - c
32 Considera la formula dimostrata nell’esercizio pre-
쐌쐌 쐌
di 16 L alla temperatura ambiente di 20 °C, viene fatta
espandere adiabaticamente fino al volume di 25 L.
Calcola il lavoro di espansione.
6 0,99 kJ @
1,0 bar
Pressione dopo l’espansione isoterma (punto 2)
9,0 bar
Volume iniziale
0,2 L
Temperatura del termostato caldo ^Tch
600 K
Temperatura del termostato freddo ^Tfh
300 K
pendente partendo da Vmin = 0,025 L , andando
avanti con un passo TV = 0,005 L .
• Aggiungi quattro colonne per la pressione, rispettivamente per le quattro trasformazioni; usa le formule
P = costante V per le isoterme e P = costante V c
e determina i valori delle costanti.
• Costruisci il grafico cancellando i valori eccedenti
6 n = 0,00802 mol ;
il ciclo.
bile di Carnot, ottieni un frigorifero che raffredda
un ambiente a temperatura Tf , scaricando calore
in un luogo caldo a temperatura Tc .
Determina il COP di questo frigorifero.
6 COP = Tf ^Tc - Tfh@
punto 0 : P = 1,00 bar , V = 0,200 L , T = 300 K ;
punto 1 : P = 11,31 bar , V = 0,035 L , T = 600 K ;
punto 2 : P = 9,00 bar , V = 0,044 L , T = 600 K ;
punto 3 : P = 0,80 bar , V = 0,251 L , T = 300 K@
35 Considera il ciclo di Carnot.
쐌쐌쐌
1,4
Pressione al punto 0
• Inizia ricavando il numero di moli n.
• Costruisci una colonna con V come variabile indi-
34 Se fai funzionare a rovescio una macchina reversi-
쐌쐌 쐌
1 c-1
m G
k
Rapporto dei calori specifici (gas biatomico) c
cedente.
Dimostra che è valida anche nel caso di una compressione e che in questo caso si ha k < 1, cioè il
lavoro diventa negativo.
33 Una mole di azoto (biatomico), che occupa un volume
쐌쐌 쐌
Pi V i
Pi V i 1 c - 1
c m G=
nR
nR k
Verifica che il lavoro fatto dal gas nell’espansione adiabatica è uguale e opposto a quello subito
dal gas durante la compressione adiabatica.
Il grafico è riportato nella figura seguente
stilizzata come in figura. La forma è topologicamente corretta, ma le trasformazioni non sono così
separate. Usa il foglio elettronico per disegnare le
quattro trasformazioni in modo realistico.
14
12
compressione adiabatica
isoterma calda
espansione adiabatica
isoterma fredda
10
P (bar)
36 Il ciclo di Carnot è sempre rappresentato in forma
쐌쐌쐌
P (bar)
8
6
4
1
2
espansione
n
isoterma
e
0
0,000
2
compressione
adiabatica
0
espansione
adiabatica
compressione
isoterma
3
V (L)
Come suggerimento puoi seguire la seguente procedura.
• Assumi, come dati, i valori riportati nella tabella
della colonna a fianco.
• Utilizza R = 0,0831 ^bar $ Lh ^kg $ molh.
0,050
0,100
0,150
V (L)
0,200
0,250
37 Una macchina termica produce 540 W, prendendo
쐌쐌쐌
calore da una sorgente geotermica a 180 °C e scaricando il calore residuo in un lago in cui c’è ghiaccio
e acqua in equilibrio a 0 °C. Per fondere 1 kg di
ghiaccio occorrono 334 kJ.
Se il rendimento della macchina è il 12%, quanto
ghiaccio viene fuso in un’ora?
Se la macchina termica fosse una macchina di
Carnot reversibile, quanto ghiaccio verrebbe
fuso?
6 43 kg ; 8,8 kg @
541
ESERCIZI
12 Il secondo principio della termodinamica
ESERCIZI
Princìpi della termodinamica
38
쐌쐌쐌
ESEMPIO
Una macchina termica opera secondo il ciclo rappresentato in figura, utilizzando due trasformazioni a pressione costante (isobare) e due trasformazioni a temperatura costante (isoterme). La macchina termica contiene 0,120 moli di gas monoatomico. Nello stato iniziale A il volume è VA = 1,00 L e la temperatura è
TA = 301 K . La compressione isoterma dimezza il volume, mentre il successivo riscaldamento, con espansione isobara, porta la temperatura al valore TC = 500 K .
Qual è il rendimento di questo ciclo termico?
P
isobara
B
C
isoterma
isoterma
A
isobara
D
V
RISOLUZIONE
Conviene organizzare i risultati in
forma di tabella contenente gli stati A,
B, C, D. I dati sono riportati in rosso.
T (K)
A
P (Pa)
301
V (L)
1,00
B
0,50
C
500
D
La legge dei gas permette di riempire
le celle vuote.
La pressione nel punto A è
TA
301 K
PA = n R
= ^ 0,120 molh ^ 8,314 J ^ mol $ Khh
=
VA
1,00 L
= 3,00 $ 10 5 Pa
TB = TA = 301 K perché la trasformazione è isoterma.
PB = PA
1,00 L
VA
= ^3,00 $ 10 5 Pah
= 6,00 $ 10 5 Pa
VB
0,50 L
PC = PB perché la trasformazione è isobara.
VC = VB
TC
500 K
= ^0,50 Lh
= 0,83 L
TB
301 K
TD = TC = 500 K perché la trasformazione è isoterma.
VD = VC
Ora la tabella degli stati è completata.
542
6,00 $ 10 5 Pa
PC
= ^ 0,83 Lh
= 1,66 L
PD
3,00 $ 10 5 Pa
T (K)
P (Pa)
V (L)
A
301
5
3,00 $ 10
1,00
B
301
6,00 $ 105
0,50
C
500
6,00 $ 105
0,83
D
500
3,00 $ 105
1,66
Completiamo adesso una tabella con
i valori del lavoro, del calore e della
variazione di energia interna del gas
durante ogni trasformazione.
Cominciamo con l’osservare che nelle
isoterme si ha TU = 0.
∆U (J)
Isoterma A " B
L (J)
ESERCIZI
12 Il secondo principio della termodinamica
Q (J)
0
Isobara B " C
Isoterma C " D
0
Isobara D " A
Totali
Il lavoro durante una trasformazione
isoterma è
Vf
L isoterma = n RT ln
Vi
L A " B = ^0,120 molh ^8,31 J ^mol $ Khh ^301 Kh $ ln
0,50 L
=
1,00 L
= - 208 J
L C " D = ^0,120 molh ^8,31 J ^mol $ Khh ^500 Kh $ ln
1,66 L
=
0,83 L
= 346 J
Il lavoro durante una trasformazione
isobara è
L isobara = P TV
L’energia interna è una funzione di
stato, il cui valore si calcola con la
formula TU = n R C V TT utilizzando
i dati della precedente tabella:
L B " C = ^6,00 $ 10 5 Pah ^0,83 L - 0,50 Lh =
= 1,98 $ 10 5 Pa $ L = 198 J
L D " A = ^3,00 $ 10 5 Pah ^1,00 L - 1,66 Lh =
= - 1,98 $ 10 5 Pa $ L = - 198 J
TU B " C = ^0,120 molh ^8,31 J ^mol $ Khh
3
$
2
$ ^500 K - 301 Kh = 298 J
TU D " A = ^0,120 molh ^8,31 J ^mol $ Khh
3
$
2
$ ^301 K - 500 Kh = - 298 J
La tabella può quindi essere
aggiornata nel modo seguente:
∆U (J)
L (J)
0
- 208
298
198
Isoterma C " D
0
346
Isobara D " A
- 298
- 198
0
138
∆U (J)
L (J)
Q (J)
Isoterma A " B
Isobara B " C
Totali
Per completare la colonna del calore,
utilizziamo il primo principio:
Q = TU + L .
Isoterma A " B
0
- 208
- 208
298
198
496
Isoterma C " D
0
346
346
Isobara D " A
- 298
- 198
- 496
0
138
138
Isobara B " C
Totali
Il rendimento h è il rapporto tra lavoro
totale e il calore assorbito. Il calore
assorbito è quello positivo:
Q (J)
L = 138 J
Q C = 496 J + 346 J = 842 J
h=
138 J
= 16%
842 J
543
ESERCIZI
Princìpi della termodinamica
39 Il ciclo termico rappresentato in figura è costituito
쐌쐌쐌
da quattro trasformazioni. Questo ciclo è effettuato
da una macchina termica che contiene 0,15 moli di
gas biatomico ^C V = 5 2h . Nello stato iniziale, cioè
nel punto A, il volume è VA = 0,500 L e la temperatura è quella ambiente, Ta = 293 K . Dopo il
riscaldamento a volume costante la temperatura è
salita al valore TB = 620 K . L’espansione isoterma
porta il volume a 1,60 L mantenendo costante la
temperatura. La compressione a pressione costante
riporta il gas alla temperatura iniziale. La seconda
isoterma è una compressione che ripristina il valore iniziale di pressione.
41 QUANTO?
쐌쐌쐌
B
42 Un corpo caldo a 400 K cede 720 J a un corpo fred-
쐌쐌쐌
do a 300 K. I due corpi hanno dimensioni tali che
le loro temperature rimangono praticamente invariate.
Qual è la variazione totale di entropia?
6 0,600 J K @
쐌쐌쐌
isocora
isoterma
6 1,3 J ^K $ sh@
D
44 Considera
C
isobara
0,5 L
alla temperatura di 30 °C, consumando una potenza P = 400 W.
Qual è il tasso di produzione dell’entropia?
isoterma
A
쐌쐌쐌
1,6 L V
Determina i valori di pressione, volume e temperatura nei punti A, B, C e D del ciclo.
Calcola il lavoro, il calore e la variazione di energia interna per le quattro trasformazioni del ciclo.
Quanto vale il rendimento del ciclo?
6 Risposta:
A
T ^K h
293
7,30 $ 10 5
V ^L h
0,50
B
620
1,54 $ 10 6
0,50
C
620
4,82 $ 10 5
1,60
D
293
4,82 $ 10 5
0,76
Isocora A " B
TU ^ J h
1019
L ^Jh
0
Q ^Jh
1019
Isoterma B " C
0
899
899
Isobara C " D
- 1019
0
- 408
- 1427
- 153
- 153
h = 18%@
Isoterma D " A
P ^Pa h
8 L’entropia
40 QUANTO?
544
Qual è la variazione di entropia dell’acqua divenuta ghiaccio?
6- 1,2 kJ K@
43 Una resistenza mantiene calda l’acqua di una vasca
P
쐌 쐌쐌
1,0 kg d’acqua a 0 °C diventa ghiaccio cedendo
all’ambiente 334 kJ.
Un ragazzo nuota in un lago la cui temperatura è
20 °C. Per conduzione termica e per il movimento
delle sue braccia e gambe, il lago assorbe circa
200 W di potenza termica.
Di quanto aumenta l’entropia del lago in un’ora
di nuoto?
6 2,5 kJ K@
una situazione analoga a quella
dell’esempio 29 in cui un recipiente contenente 5,10
moli di elio si trova a temperatura ambiente,
Ta = 20 °C . L’altra metà è vuota. A mantenere
bloccato il gas c’è un leggero setto mobile, anch’esso adiabatico, bloccato da alcuni fermi. I fermi vengono rimossi e il gas spinge sul setto di colpo, fino
a riempire tutto il recipiente. A questo punto il setto viene spinto verso il basso e il gas è riportato al
volume iniziale in modo reversibile. Trascura massa e spessore del setto mobile.
Determina la variazione di entropia del gas prodotta nell’espansione irreversibile.
Quanto vale la variazione totale di entropia?
6 29 J K ; 12,3 J K @
45 Per fondere il ghiaccio occorrono 334 kJ kg .
쐌쐌쐌
Qual è la variazione di entropia di un cubetto di
ghiaccio di 50,0 g che fonde in un bicchiere d’acqua a 0 °C?
6- 61,4 J K @
46 In un recipiente termicamente isolato vengono
쐌쐌쐌
mescolati 20 L di acqua a 15 °C con 30 L di acqua a
80 °C.
Determina la temperatura di equilibrio.
Calcola il calore scambiato tra le due quantità di
acqua.
Quanto valgono le loro variazioni di entropia?
E la variazione complessiva di entropia?
6 54 °C ; 3,3 MJ ; 11 kJ K , - 9,6 kJ K ; 1 kJ K @
47
쐌쐌쐌
ESEMPIO
Un blocco di metallo di capacità termica 200 J K a temperatura ambiente ^T = 20 °C = 293 Kh viene immerso in una grossa vasca piena di acqua a 80 °C ^353 Kh .
Determina la variazione di entropia dell’acqua della vasca, del blocco di metallo e del sistema metallo +
acqua.
RISOLUZIONE
Se metti a contatto un corpo caldo a temperatura
Tc con un corpo freddo a temperatura Tf , il
calore passa spontaneamente dal corpo caldo a
quello freddo fino a che tra i corpi c’è differenza
di temperatura.
L’equilibrio termico finale implica temperature
uguali.
La vasca piena d’acqua calda è molto grande e
si comporta praticamente come un termostato:
la sua temperatura non varia in modo
apprezzabile.
L’acqua resta a 80 °C, mentre il blocco di metallo
passa da 20 °C a 80 °C.
Il calore ricevuto dal metallo è dato dalla
formula
Q = C ^Tc - Tfh
dove C è la capacità termica.
Tc - Tf = 80 °C - 20 °C = 60 °C = 60 K
Q = ^200 J Kh ^60 Kh = 12 kJ
L’acqua rimane a 80 °C e cede al metallo il
calore Q, quindi la sua entropia diminuisce:
TS acqua = -
Il corpo freddo invece ha ricevuto Q a
temperature variabili: all’inizio era Tf , alla fine
Tc . Per conoscere la sua variazione di entropia
è necessario considerare una serie di
temperature intermedie Ti da Tf a Tc .
Man mano che la temperatura del pezzo di metallo
aumenta di un TT, il calore scambiato è
TQ = C TT. La variazione di entropia del corpo
piccolo è la somma di tanti valori di variazione di
entropia:
12 kJ
Q
== - 34 J K
Tc
353 K
TS metallo = /
TQ
TT
=/C
T
T
Per determinare il valore della somma si deve
ricorrere al calcolo integrale, che non verrà
affrontato in questa sede. Il risultato del
calcolo è
TS metallo = C ln
La variazione di entropia di un corpo di
capacità termica C che passa dalla temperatura
Tf alla temperatura Tc è
TS = C ln
Per il blocco di metallo si ha quindi
TS metallo = ^200 J Kh ln
La variazione totale di entropia è la somma
delle variazioni di entropia dell’acqua nella
vasca e del metallo; tale variazione è positiva:
TS tot = TS acqua + TS metallo =
= - 34 J K + 37,3 J K = 3 J K
Tc
Tf
Tc
Tf
353 K
= 37,3 J K
293 K
545
ESERCIZI
12 Il secondo principio della termodinamica
ESERCIZI
Princìpi della termodinamica
48 Considera l’esempio precedente con la seguente variante: il blocco di metallo, a 80,0 °C, viene immerso in una
쐌쐌쐌
vasca d’acqua a 20,0 °C.
Determina la variazione di entropia dell’acqua della vasca, del blocco di metallo e del sistema metallo + acqua.
6 41,0 J K ; - 37,3 J K ; 3,7 J K @
9 Il secondo principio della termodinamica e l’entropia
49
ESEMPIO
쐌쐌쐌
Dimostra che, se esistesse una macchina termica «impossibile» con un rendimento maggiore di quello della
macchina reversibile di Carnot, allora questa macchina sarebbe in grado di diminuire l’entropia totale.
RISOLUZIONE
Ragioniamo su una macchina reversibile, la quale
è comunque idealmente realizzabile: ciò che non
si può realizzare neppure idealmente è
il rendimento superiore a quello della macchina
di Carnot.
La macchina trasforma calore e produce lavoro. Se
la macchina è reversibile non c’è alcuna entropia
associata al lavoro. Il calore assorbito
reversibilmente da una sorgente termica ne
diminuisce l’entropia, quello ceduto ne aumenta
l’entropia. Nel caso del calore ceduto esplicitiamo
il segno meno.
La macchina «impossibile» preleva una quantità
di calore Q c dalla sorgente calda a temperatura
Tc .
La sorgente calda vede diminuire la sua entropia
della quantità
Qc
TS c = Tc
La macchina «impossibile» produce un lavoro L.
A tale lavoro non è associata alcuna variazione
di entropia.
La macchina «impossibile» scarica nella sorgente
fredda il calore Q f che non ha convertito in
lavoro.
La sorgente fredda vede aumentare la sua entropia
della quantità
Qf
TS f =
Tf
La conservazione dell’energia richiede che il
lavoro prodotto sia la differenza tra il calore
assorbito e quello ceduto.
Se la macchina «impossibile» avesse un
rendimento superiore alla macchina reversibile
di Carnot, allora il rapporto L Q c sarebbe più
grande di 1 - Tf Tc :
Tf
L
> 1Tc
Qc
Sostituendo l’espressione del lavoro si ha:
Qc - Qf
Tf
> 1Tc
Qc
&
La variazione totale di entropia è la somma delle
singole variazioni di entropia:
TS = TS c + TS f = -
Qc
Qf
+
Tc
Tf
Se fosse
TS < 0
Qc
Qf
<
Tf
Tc
l’addendo negativo prevarrebbe su quello
positivo e si avrebbe un’entropia totale negativa:
546
L = Qc - Qf
Questo è impossibile!
Qc
Qf
<
Tf
Tc
50 L’entropia è una funzione di stato e può essere usa-
쐌쐌 쐌
ta come variabile, per esempio al posto della pressione. Se per rappresentare una trasformazione
reversibile si usa il grafico T-S invece di quello P-V
(T in ordinata e S in ascissa), allora l’area sottesa
dal grafico della trasformazione rappresenta il calore e non più il lavoro.
Poiché una trasformazione adiabatica e reversibile non cambia l’entropia, qual è la forma del
ciclo di Carnot nel piano T-S ?
Dimostra, usando il piano T-S, che il rendimento
del ciclo di Carnot è h = 1 - Tf Tc .
a un altro con molteplicità 10 N w, dove N è il numero di Avogadro.
Di quanto aumenta l’entropia?
6 20 J K@
53 In una scatola sono contenute 200 monete che
쐌쐌쐌
mostrano l’uomo di Vitruvio (per semplicità, testa):
dopo averla scossa si contano solo 100 teste e 100
croci. È noto che il macrostato con 100 teste e 100
croci è formato da 9 $ 10 58 microstati.
Calcola l’aumento di entropia del sistema forma6 1,9 $ 10-21 J K@
to dalle 200 monete.
54 Dopo aver lanciato 10 carte in aria, osservi un
T
쐌쐌쐌
Qc
Tc
«macrostato» formato da 5 carte col dorso rivolto
verso l’alto.
Quanti sono i microstati corrispondenti?
6 252@
55 Il numero di permutazioni di n oggetti diversi è
쐌쐌쐌
Tf
Qf
S1
51
쐌쐌 쐌
S2
S
Considera l’enunciato di Kelvin.
Spiega perché, se esistesse una macchina in grado di violarlo, allora si potrebbe far diminuire
l’entropia totale.
10 Il secondo principio
della termodinamica dal punto
di vista microscopico
52 QUANTO?
쐌쐌쐌
N ! = 1 $ 2 $ 3 $ f $ N, vale a dire il prodotto di tutti
i numeri interi da 1 a N. N ! è un numero enorme
già per valori di N non molto grandi. Per esempio
100 ! . 9,33 $ 10 157 . Si dimostra che la formula
seguente offre un’ottima approssimazione per il
calcolo di N ! :
Un gas evolve da un macrostato con molteplicità w
56
ESEMPIO
N ! . N N e-N 2 r N
Questa approssimazione è tanto migliore quanto
più grande è N.
Usa il foglio elettronico per verificare la validità
di questa approssimazione, calcolando i due termini dell’uguaglianza approssimata e trovando
di quanto differiscono percentualmente per
N = 10, N = 50 e N = 100.
6 0,9% ; 0,2% ; 0,1%@
쐌쐌쐌
Considera un miscuglio di due gas ideali.
Mostra che tale miscuglio ha un’entropia maggiore di un solo gas avente lo stesso numero di molecole
totali. Utilizza la disuguaglianza
^N X + N Y h !
>1
NX ! NY !
RISOLUZIONE
Il numero di microstati w corrispondenti
a una data energia permette di determinare
l’entropia con la formula di Boltzmann
(a meno di una costante):
S = k ln w + S ^ 0 h
547
ESERCIZI
12 Il secondo principio della termodinamica
Princìpi della termodinamica
ESERCIZI
Considera un gas ideale composto da N
molecole tutte uguali, che si trova in un
macrostato con valori definiti di P, V e T.
N è un numero dell’ordine della costante di
Avogadro. Il numero dei microstati w del gas
dipende dal valore delle variabili di stato,
ma a noi non interessa calcolarlo.
Se le N molecole fossero tutte diverse tra loro,
il numero di microstati w l sarebbe molto più
grande di w. Per ogni microstato possibile w
se ne avrebbero altri N ! ottenuti permutando
le molecole.
Supponiamo ora che le N molecole di gas
siano una miscela di due tipi di gas, X e Y,
ideali e non interagenti, rispettivamente con
N X e N Y molecole:
Il numero di microstati w l è ridotto perché se
permutiamo tra loro le N X molecole del gas X
non cambia nulla. La stessa cosa se
permutiamo tra loro le N Y molecole dell’altro
gas.
w è il numero di microstati del gas ed è un numero
incredibilmente grande.
Con tutte le molecole uguali il numero di microstati
è w; con tutte le molecole diverse il numero di
microstati è
wl = N! w
N = NX + NY
Delle N ! permutazioni ce ne sono N X ! N Y ! che non
cambiano nulla. Quindi, con solo due gas, il
numero di microstati è
^N X + N Y h ! w
N! w
wl =
=
NX ! NY !
NX ! NY !
e l’entropia è
S l = k ln w l + S ^ 0 h
Il miscuglio di due gas ha un’entropia S l
maggiore dell’entropia S dello stesso stato di
un gas formato da molecole identiche: ciò
accade perché w l > w. La differenza tra le due
entropie è
S l - S = k ln w l + S ^ 0 h - k ln w - S ^ 0 h =
= k ln
^N X + N Y h !
wl
= k ln
w
NX ! NY !
Poiché
^ N X + N Yh !
^ N X + N Yh !
> 1 & ln
>0
NX ! NY !
NX ! NY !
e quindi
Sl > S
Si conclude che il mescolamento di gas, anche se
non avvengono reazioni chimiche, produce un
aumento di entropia.
57 Nell’esempio si è visto che l’aumento di entropia
쐌쐌쐌
dovuto al mescolamento di due gas è
TS = k ln
^N X + N Y h !
NX ! NY !
dove N X e N Y sono rispettivamente il numero di
548
molecole dei gas X e Y mescolati insieme. Usa l’approssimazione
N ! . N N e-N 2 r N
nella quale puoi ignorare il termine 2r N che per
N dell’ordine della costante di Avogadro è assoluta-
12 Il secondo principio della termodinamica
dove n X e n Y sono i numeri di moli dei due gas.
PROBLEMI FINALI
62 Il motore che è andato più lontano
쐌쐌쐌
58 Considera la formula dell’entropia di mescolamento.
쐌쐌쐌
Dimostra che si può scrivere come
TS = - R ^n X ln n X% + n Y ln n Y%h
dove n X% e n Y% sono le percentuali di moli dei
due gas.
Usando questa scrittura, prova a generalizzare la
formula per ottenere l’entropia di mescolamento
di più gas.
:TS = - R / n i ln n i%D
i
59 In un recipiente diviso a metà da un setto ci sono
쐌쐌쐌
ESERCIZI
mente trascurabile rispetto agli altri fattori.
Dimostra che vale la relazione
nX + nY
nX + nY
m
TS = R c n X ln
+ n Y ln
nX
nY
L’energia elettrica necessaria a far funzionare le
sonde spaziali viene prodotta per via nucleare: un
pezzo di materiale radioattivo, quindi caldo, viene
utilizzato come sorgente di calore. Attraverso appositi materiali si realizza l’effetto Seebeck, la conversione diretta di una differenza di temperatura in
corrente elettrica. L’efficienza di questi sistemi è
bassa ma vengono utilizzati per la grande affidabilità. Il modello RHW-MTG, presente sulla sonda
Voyager 1 (il primo oggetto costruito dall’uomo a
lasciare il Sistema Solare), produce 160 W di potenza elettrica a fronte di 2400 W di potenza termica.
Calcola il rendimento del sistema.
6 6,7% @
1,00 mol di ossigeno da una parte e 1,00 mol di azoto
dall’altra, entrambe alla stessa temperatura e pressione. Il setto viene rimosso e i due gas si mescolano.
Di quanto aumenta l’entropia?
6TS = 2 R ln 2 = 11,5 J K@
moli di un gas perfetto da un volume Vi a un volume Vf comporta un aumento di entropia, dovuto
all’irreversibilità, pari a TS = nR ln ^Vf Vih . Considera un recipiente diviso in due parti uguali. In
una parte c’è una mole di gas X e nell’altra c’è una
mole di gas Y, entrambe alla stessa temperatura.
Togli il setto e i due gas si mescolano. I due gas
non interagiscono tra loro, se non per via degli urti.
Lo spazio occupato da ciascun gas, essendo gas
ideali, è trascurabile rispetto al volume complessivo. Ciò significa che rimuovere il setto equivale a
lasciare ciascuno dei due gas libero di espandersi
in un volume doppio.
Di quanto aumenta l’entropia?
Questo modo di ragionare conduce allo stesso
risultato che avresti ottenuto considerando l’aumento di microstati?
6TS = 2 R ln 2 = 11,5 J K @
61 Considera il ragionamento svolto nell’esercizio pre-
쐌쐌쐌
cedente.
Generalizzalo nel caso di mescolamento di due
quantità diverse di gas, per ottenere la formula
TS = - R ^n X ln n X% + n Y ln n Y%h
6 Affinché inizialmente la pressione nelle due parti del recipiente
di volume V sia la stessa, n X moli devono occupare la frazione
^n X ^n X + n YhhV, e n Y moli devono occupare la frazione
^n Y ^n X + n YhhV@
paid2write.org
60 L’espansione libera a temperatura costante di n
쐌쐌쐌
63 Caldaie vecchie e nuove
쐌쐌쐌
Una famiglia media italiana consuma circa 1000 m 3
di metano all’anno per il riscaldamento. Attualmente il tipo di caldaia più diffuso ha un’efficienza (in
questo caso, rapporto tra calore prodotto e calore
trasferito all’impianto) di circa il 79%. Sostituendola con una a condensazione si potrebbe raggiungere
il 96% di efficienza.
Quanti metri cubi di metano si risparmierebbero
6 180 m 3@
in un anno?
64 La forza dell’evoluzione
쐌쐌쐌
Le reazioni chimiche di produzione energetica all’interno delle nostre cellule avvengono sia nel citoplasma sia nei mitocondri. I secondi sono strutture più
recenti dal punto di vista evolutivo e hanno un’efficienza molto maggiore. Bruciando una mole di glucosio si ottengono 680 kcal di energia. I processi
chimici citoplsmatici riescono a produrre solamente
24 kcal utilizzabili dal corpo, mentre nei mitocondri
il ciclo di Krebs produce ben 263 kcal.
549
Princìpi della termodinamica
ESERCIZI
68 Un aumento imprevisto!
쐌쐌쐌
Un sasso di massa 2,5 kg affonda a velocità costante nell’acqua di un lago profondo 30 m. La temperatura dell’acqua e anche quella del sasso è di 15 °C. Il
processo è irreversibile.
Quanto vale l’aumento di entropia?
6 2,6 J K@
69 Consumi invernali
digilander.libero.it
쐌쐌쐌
Calcola l’efficienza dei due processi. 6 3,5% ; 39%@
Il sistema di riscaldamento di un casa di montagna
è una pompa di calore che utilizza il ciclo di Carnot.
Inizialmente la temperatura esterna è uguale a quella interna e pari a - 5 °C . Dopo un certo tempo la
temperatura raggiunge i 18 °C.
Calcola il COPPC iniziale e finale.
6 infinito; 13 @
65 Dalla marmitta al radiatore
La temperatura di una marmitta catalitica deve
essere superiore a 300 °C per il suo corretto funzionamento. In un’auto che viaggia in autostrada si ha
un punto di raffreddamento del motore che è il
radiatore, la cui temperatura media può essere stimata in circa 80 °C. Si potrebbe sfruttare questa
differenza di temperatura per alimentare una macchina di Carnot.
Che efficienza avrebbe?
6 38%@
signorevacanze.it
쐌쐌 쐌
66 Idrogeno sporco
쐌쐌 쐌
I veicoli a idrogeno sono una promessa per abbattere le emissioni inquinanti in città. Dal punto di vista
energetico il «tallone d’Achille» di questa tecnologia è che se l’idrogeno viene prodotto da combustibili fossili si hanno rendimenti molto bassi e l’inquinamento è solo spostato dalla città alla centrale. Per
produrre idrogeno da combustibile fossile si parte
da una centrale termoelettrica ^h = 40%h, l’elettricità viene utilizzata per scindere l’acqua ^h = 95%h,
l’idrogeno prodotto viene liquefatto ^h = 80%h,
«bruciato» in una cella a combustibile ^h = 45%h e
infine convertito in energia meccanica da un motore
elettrico (h = 90%).
Calcola il rendimento complessivo del processo.
6 12%@
67 Maggiore efficienza = meno consumi
쐌쐌 쐌
550
Un motore Diesel ha un rendimento di circa il 33%
mentre uno a benzina del 28%. Con un’automobile
Diesel si riescono a percorrere circa 20 km con 1 L di
carburante.
Calcola i kilometri percorsi nel caso di un motore
a benzina.
6 17 km@
70 La macchina a vapore
쐌쐌쐌
Il ciclo termico di una macchina a vapore è il ciclo di
Rankine, formato da un’isocora in cui il vapore (che
si può considerare un gas perfetto) aumenta la pressione nel cilindro, il pistone si muove in un’espansione isobara, seguita da un’espansione adiabatica
che raffredda il gas nel cilindro (figura a pagina
seguente). Il pistone ricomprime il gas con una trasformazione isobara che riporta il gas al punto di
partenza. Una macchina a vapore non riusciva probabilmente a utilizzare vapore a temperatura molto
alte. Considera un cilindro con volume iniziale pari
a VA = 5,00 L contenente un gas biatomico (l’acqua non è un gas biatomico, ma usa questa approssimazione: il calore specifico per mole a volume
costante è ^5 2h R e c = 1,4h . Inizialmente nel
cilindro il gas si trova a pressione e temperatura ambiente ^TA = 20 °C ; PA = 1,00 $ 10 5 Pah . Dopo il riscaldamento a volume costante la pressione
sale a PB = 1,40 $ 10 5 Pa. L’espansione isobara porta il volume al valore VC = 5,50 L.
Determina quante moli di gas sono coinvolte nel
ciclo.
12 Il secondo principio della termodinamica
termostato freddo
P
B
ESERCIZI
termostato caldo
C
caldaia
cilindro
focolare
condensatore
pompa
A
D
V
Calcola i valori di pressione, volume e temperatura nei punti A, B, C e D del ciclo.
Trova il rendimento del ciclo.
re Stirling è quella di immagazzinare una parte del
calore del fluido in un rigeneratore, per fornirglielo
internamente durante l’isocora ad alto volume.
Ricava l’espressione che fornisce il rendimento
del ciclo teorico.
Nel caso sia presente il rigeneratore, a quale
valore tende il rendimento?
6 n = 0,205 mol
A
1,00 $ 10 5
P ^Pa h
V ^L h
5,00
T ^K h
293
T ^°C h
20
B
1,40 $ 10 5
5,00
410
137
C
1,40 $ 10 5
5,50
451
178
D
5
6,99
410
137
1,00 $ 10
L ^ J h)
Q ^Jh
TU ^ J h
Isocora A " B
0
500
499
Isobara B " C
70
245
175
Adiabatica C " D
175
0
–175
Isobara D " A
–199
- 698
- 499
1
f
1
+
hC
Vmax
ln d
n
Vmin
dove f è il numero di gradi di libertà delle molecole
e h C è il rendimento del ciclo di Carnot ; h S " h C@
hS =
>
72 Il motore a benzina
쐌쐌쐌
h = 6%@
71 Un motore tornato alla ribalta
쐌쐌쐌
I motori Stirling fanno parte delle macchine termiche a combustione esterna: il gas che compie il ciclo
termodinamico rimane sigillato e riceve calore per
conduzione dall’esterno. Questi motori, inventati
due secoli fa, stanno vivendo un nuovo periodo di
interesse dovuto alla possibilità di recuperare calore «di scarto» e tramutarlo in energia meccanica (e
quindi elettrica). Il ciclo è composto da due isocore
separate da due isoterme. L’idea «geniale» del moto-
1
2
Il ciclo Otto dei motori a benzina consiste di due trasformazioni isocore e due trasformazioni adiabatiche. Di fatto è caratterizzato da due valori di volume, VA e VB ; il loro rapporto r = VB VA viene
definito rapporto di compressione. Considera un
gas il cui calore specifico a volume costante è C V .
Dimostra che il rendimento del ciclo reversibile è
h = 1 - ^1 rhc - 1 .
73 Un processo irreversibile
쐌쐌쐌
P
A
Una bottiglia, di capacità termica trascurabile, contiene 2,00 L di acqua a 5 °C. La bottiglia viene immersa in un grosso recipiente contente acqua calda a
80 °C, assimilabile a un termostato. L’acqua fredda si
riscalda fino a raggiungere gli 80 °C. Il processo è
irreversibile e l’entropia complessiva aumenta.
Determina la variazione di entropia dell’acqua,
del termostato e quella complessiva.
6TS acqua = 2,00 kJ K ; TS termostato = - 1,78 kJ K ;
TS tot = 0,22 kJ K@
D
B
74 Un processo... meno irreversibile!
쐌쐌쐌
C
V
Per questo esercizio è meglio usare il foglio elettronico. Ripeti il riscaldamento della bottiglia d’acqua
dell’esercizio precedente con un processo più gra-
551
Princìpi della termodinamica
ESERCIZI
duale, utilizzando 15 termostati con temperature a
10 °C, 15 °C, 20 °C ecc., fino a 80 °C. La bottiglia con
acqua a 5 °C viene immersa nel termostato a 10 °C.
Quando l’acqua raggiunge 10 °C passa a quello con
15 °C e così via. Alla fine del processo la bottiglia di
acqua arriva a 80 °C.
La variazione di entropia della bottiglia di acqua
è la stessa che si avrebbe se si immergesse direttamente la bottiglia nel termostato a 80 °C?
Verifica che la variazione di entropia totale è
molto minore di quella trovata nel caso di un unico termostato a 80 °C, in quanto il processo, pur
non essendo reversibile, avviene in modo più
graduale di prima.
effettivamente utilizzare.
Stima quanta energia producono i mitocondri in
6 3 $ 10 6 J@
un giorno.
76 Boltzmann a ferragosto
쐌쐌쐌
Se si vuole bere acqua fresca in spiaggia e non ci
sono chioschi nelle vicinanze, una buona idea è mettere una bottiglia in freezer la sera prima e portarsela al mare congelata: il ghiaccio durerà sicuramente
qualche ora mantenendo l’acqua fresca.
Stima di quanto è aumentata l’entropia dell’acqua quando è completamente liquida. 6 2 $ 10 3 J K@
6 Sì, perché l\entropia è una funzione di stato e gli stati
iniziale e finale della bottiglia d\acqua sono gli stessi
sia quando il processo è rapido sia quando è graduale ;
Tacqua
^°C h
Ttermostato
^°C h
Q acqua
^kJh
Q termostato TS acqua TS termostato
^kJh
^kJ Kh ^kJ Kh
10
41,8
- 41,8
0,149
15
15
41,8
- 41,8
0,146
- 0,145
20
20
41,8
- 41,8
0,144
- 0,143
photopixel.shutterstock
5
10
- 0,148
25
25
41,8
- 41,8
0,141
- 0,140
30
30
41,8
- 41,8
0,139
- 0,138
35
35
41,8
- 41,8
0,137
- 0,136
40
40
41,8
- 41,8
0,135
- 0,134
45
45
41,8
- 41,8
0,132
- 0,131
50
50
41,8
- 41,8
0,130
- 0,129
55
55
41,8
- 41,8
0,128
- 0,127
60
60
41,8
- 41,8
0,126
- 0,126
65
65
41,8
- 41,8
0,125
- 0,124
70
70
41,8
- 41,8
0,123
- 0,122
75
75
41,8
- 41,8
0,121
- 0,120
80
80
41,8
- 41,8
0,119
- 0,118
Q tot acqua = 627 kJ , Q tot termostati = - 627 kJ ,
TS tot acqua = 2,00 kJ K , TS tot termostati = - 1,98 kJ K ,
TS tot = 0,016 kJ K , quindi l\entropia totale è ancora
positiva, ma è circa 14 volte più piccola di quella
dell\esercizio precedente@
77 Mentre scrivi al computer ricarichi
쐌쐌쐌
il cellulare, senza sprechi!
La CPU (processore centrale) e la GPU (processore
grafico) di un PC portatile arrivano facilmente a una
temperatura di 70 °C, ma senza sistema di raffreddamento a ventola raggiungerebbero i 100 °C. Se si
collegasse una piccola macchina termica che percorresse un ciclo equivalente a quello di Carnot, si
potrebbe recuperare una parte dell’energia dissipata. I due processori interni dissipano circa 15 W di
potenza.
Stima la potenza recuperabile teoricamente.
6 3 W@
78 Scivolone sull’entropia
쐌쐌쐌
L’ARTE DELLA STIMA
Stai camminando e scivoli finendo per terra. La
caduta viene «ammortizzata» anelasticamente.
Stima l’aumento dell’entropia dell’Universo.
6 2 J K@
75 Di quanto carburante abbiamo
쐌쐌쐌
552
bisogno?
Nell’esercizio 64 hai calcolato il valore per l’efficienza mitocondriale. Queste fabbriche cellulari producono tutta l’energia che il nostro corpo utilizza ogni
giorno, ricavandola dal cibo e «trasformando» le
calorie alimentari teoriche in joule che possiamo
79 Stirling in condominio
쐌쐌쐌
Nell’esercizio 71 hai calcolato il rendimento del ciclo
Stirling teorico e con rigeneratore. Attualmente
sono in corso progetti pilota per installare motori di
questo tipo nei condomini, sfruttando una caldaia
ad alta temperatura sia per l’impianto di riscalda-
12 Il secondo principio della termodinamica
80 Ingegneria del freddo
쐌쐌 쐌
Hai una macchina refrigerante con COP = 5 e vuoi
costruirti un frigorifero. Decidi, per semplicità dei
calcoli, di farlo di forma cubica e lo isoli con un’intercapedine di aria spessa 1 cm. La tua macchina
termica consuma 100 W di potenza e vuoi che, rimanendo sempre accesa, raggiunga 0 °C.
Quanto vale approssimativamente il lato del
cubo?
6 1 m@
Stima il tempo necessario a raffreddarle.
Il tempo reale è maggiore o minore? Perché?
6 1 h ; maggiore @
82 Il re dei motor i Diesel
쐌쐌쐌
I motori Diesel delle navi sono lentissimi se paragonati a quelli di un’automobile. L’estrema lentezza è
dovuta alle enormi dimensioni e permette un rendimento molto alto (fino al 50%). Un motore navale
gira a 76 giri min e produce 35 000 kW di potenza.
Stima quanto carburante viene immesso ad ogni
giro.
6 1 kg @
81 Tempo di raffreddamento
쐌쐌 쐌
ESERCIZI
industrial.omron.ch
mento sia per la produzione di energia elettrica.
Considera, come esempio, il seguente sistema: per
avere un buon rendimento la caldaia viene portata a
500 °C ed è in grado di fornire la corrente elettrica
per 5 appartamenti.
Stima la potenza termica che deve assorbire questa macchina.
6 20 kW@
Il frigorifero autocostruito dell’esercizio precedente
è stato riempito di bottiglie dal contenuto vario: per
quanto siano ben incastrate, il volume occupato è
circa la metà di quello totale.
553

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