Trasformazioni geometriche
Trasformazioni geometriche, omomorfismi e matrici.
In questo capitolo studieremo le trasformazioni geometriche sia nel piano che dello spazio, e
vedremo come sono collegate agli omomorfismi di spazi vettoriali, dal momento che come abbiamo
visto lo spazio affine si ricava dallo spazio vettoriale.
Riprendiamo ed ampliamo, prima di tutto, la teoria degli omomorfismi vista nel corso del primo
anno, e che sarà indicata da una riga sul fianco, poi iniziamo la teoria delle trasformazioni e
vedremo i collegamenti.
Omomorfismi o applicazioni lineari
Siano V e W due spazi vettoriali sullo stesso campo K.
Definizione. Un'applicazione f :V→W è detta omomorfismo o applicazione lineare se per ogni
v1 ,v2 ∈V, e ogni h, k ∈K risulta
f(hv1+kv2) = hf(v1) + kf(v2)
Risulta f(0)=0, ove i vettori 0 del primo e secondo membro sono rispettivamente in V e W.
o Ker f ={v∈V : f(v)=0} è detto nucleo di f :V→W ed è sottospazio di V
o f(V) è detta immagine di f :V→W ed è sottospazio di W
Teorema Sia f :V→W omomorfismo tra due spazi vettoriali V e W sullo stesso campo K. Sia
B={v1 ,v2 ,...,vn} una base di V. f(B)={f(v1), f(v2), ... , f(vn)} è un sistema di generatori per f(V).
Il termine lineare ha un preciso significato geometrico: un'applicazione lineare biunivoca trasforma
rette in rette (e analogamente piani in piani), infatti, se consideriamo una retta (passante per
l’origine, quindi sottospazio del dominio, di dimensione 1, x = tv) la sua immagine è un sottospazio
del codominio, generato da f(v), quindi ancora una retta.
Definizione. Una applicazione f :V→W è inettiva se per ogni x ≠ y ∈V f(x) ≠ f(y).
Se f è un omomorfismo, f inettiva implica:
o Ker f = {0} in quanto per ogni x ≠ 0 risulta f(x) ≠ f(0) = 0.
o dimf(V)=dimV per il teorema di nullità più rango (dunque deve essere dimV≤ dim W)
Definizione. Una applicazione f : V→W è suriettiva se ogni w ∈W ha almeno una
antiimmagine in V.
Se f è un omomorfismo, f suriettiva implica:
o f(V)=W (dunque deve essere dim W ≤ dim V)
Definizione. Se f :V→W è omomorfismo biunivoco, o isomorfismo dim V = dim f(V) = dim W.
Un isomorfismo è detto anche trasformazione lineare.
Vale anche il viceversa: due spazi vettoriali della stessa dimensione sono sempre isomorfi e un
isomorfismo si può ottenere facendo ordinatamente corrispondere i vettori di due basi.
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Laura Citrini
Trasformazioni geometriche
Un omomorfismo f :V→W è completamente individuato dai trasformati dei vettori di una base di V,
cioè:
Teorema: Siano V e W due spazi vettoriali su uno stesso campo K;
sia B = {v1, v2, ..., vn} una base per V e sia w1, w2, ..., wn una qualsiasi n-pla di vettori di W.
Esiste una e una sola applicazione lineare f:V→W tale che f(vi) = wi , per ogni i = 1, ..., n
Omomorfismi e matrici
Siano V e W due spazi vettoriali su uno stesso campo K di dimensioni n ed m rispettivamente.
Sia
BV = {v1, v2, ..., vn} base di V
BW={w1, w2, ..., wm} base di W.
I vettori f(v1), f(v2), ... , f(vn) che individuano un omomorfismo f sono vettori di W, quindi si
possono esprimere nella base BW, e si avrà:
f(v1) = a11w1 + a21w2 +...+ am1wm
f(v2) = a12w1 + a22w2 +...+ am2wm
................................................
................................................
f(vn) = a1nw1 + a2nw2 +...+ amnwm
a11 a12
a
21 a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
No righe di A dimensione codominio W.
No colonne di A dimensione dominio V.
La matrice associata ad un omomorfismo f dipende in modo essenziale dalle due basi utilizzate
per definirla. Cambiando la base del dominio o quella del codominio (o entrambe) la matrice
cambia.
Pensando a tutti i vettori delle due basi BV e BW come a vettori riga
BV = [v1, v2, ..., vn] e BW =[ w1, w2, ..., wm]
si può esprimere quanto detto come:
f (BV) = [f(v1), f(v2), ..., f(vn)]= [w1, w2, ..., wm]A= BW A.
a1
a
Se v= BVα= [v1, v2, ..., vn] 2 , risulta f (v)= f (BV α)= f (BV) α = (BW A) α
an
il che significa che le componenti sono le stesse, ma nel sistema di generatori trasformato della base
del dominio.
Ma f (v) = ( BWA)α = BW (Aα) quindi nella base BW le componenti si ottengono moltiplicando per
A le componenti del vettore di partenza.
Se si considera un unico spazio vettoriale V, però, è consuetudine utilizzare la stessa base sia che si
consideri V come dominio che come codominio (non è obbligatorio e per certi particolari scopi si
può non fare, ma è decisamente conveniente, poiché, ad esempio, si può vedere se un vettore è
trasformato in se stesso semplicemente guardando se ha le stesse componenti prima e dopo la
trasformazione, ecc.)
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Laura Citrini
Trasformazioni geometriche
Sia dunque BV = [v1, v2, ..., vn] base di V. Risulta
f (BV) = [f(v1), f(v2), ..., f(vn)]= [v1, v2, ..., vn] A= BV A
Se dunque v = BV α, risulta
f (v)= f (BV α)= f (BV)α=( BV A)α= BV (Aα).
e più rapidamente (non mettendo in evidenza la base), si scrive f (v)= Av.
Composizione di omomorfismi
Definizione. Il prodotto di matrici è definito in modo da rispecchiare il prodotto di
omomorfismi; si ottiene il prodotto righe per colonne.
U
f
V
A
g
W
B
g•f
Sia dim U = n, dim V = m, dim W = p, e supponiamo fissate tre basi BU, BV, BW per i tre spazi.
La matrice A di f :U →V rispetto a BU e BV è di tipo m×n.
La matrice B di g :V→W rispetto a BV e BW è di tipo p×m.
La matrice dell'applicazione composta g•f :U →W è BA, che risulta di tipo p×n. (attenzione, al
solito, all'ordine in cui vanno scritte, nel prodotto, sia le applicazioni che le matrici associate).
U →V →W
U→W
(n × m)(m × p) = (n × p)
Sia f :V→W un omomorfismo e siano BV = { v1, v2, ..., vn } base di V e BW ={ w1, w2, ..., wm }
base di W.
Sia A la matrice associata ad f nelle due basi suddette. Ogni vettore v ∈V si può esprimere nella
base BV come
a1
a
v= a1v1 + a2v2 +...+ anvn =[ v1, v2, ..., vn] 2 ,
an
pensando la base BV come un vettore riga di vettori e la n-pla di componenti come vettore colonna
ed eseguendo il prodotto righe per colonne. Scriviamo quindi v = BV a.
Allora risulta
f(v) = f(BV a) = [f(BV)]a = [BW A]a = BW [Aa].
Dunque le componenti del vettore trasformato di v si ottengono moltiplicando la matrice della
trasformazione per la colonna delle componenti di v.
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Laura Citrini
Trasformazioni geometriche
Trasformazioni geometriche
Nello studio delle trasformazioni geometriche si utilizza opportunamente la teoria degli
omomorfismi. Poiché si tratta di lavorare non negli spazi vettoriali, ma negli spazi affini, non si
parlerà però di omomorfismi ma di affinità; poiché i sottospazi dello spazio affine sono i laterali dei
sottospazi dello spazio vettoriale, le affinità dovranno trasformare sottospazi affini ancora in
sottospazi affini e poiché si parla di trasformazioni, in particolare si useranno gli isomorfismi degli
spazi vettoriali.
Definizione. Si chiama collineazione una trasformazione geometrica che muta una retta in una
retta, quindi le affinità sono particolari collineazioni. Ogni affinità si individua mediante equazioni
vettoriali della forma
x = Av + w
con A matrice quadrata invertibile (detA ≠ 0).
Si noti che la prima parte dell'equazione x = Av è un isomorfismo f dello spazio vettoriale (per cui
f(0) = 0); la seconda parte (+ w) indica in quale punto viene trasportata l'origine del sistema di
riferimento del piano.
Per studiare le affinità useremo questa caratteristica, iniziando dal caso piano.
Isometrie
Definizione.. Si dice isometria una trasformazione geometrica f che conserva le distanze,
cioè tale che, comunque scelta una coppia A e B di punti del piano (o dello spazio), risulti d(A, B) =
d(f(A),f(B)).
Ogni isometria è una collineazione.
Ogni isometria trasforma un segmento in un segmento.
Ogni isometria trasforma una semiretta in una semiretta.
La composizione di due isometrie ancora una isometria.
Si dimostra che la richiesta di conservare le distanze (e quindi gli angoli) coincide col chiedere che
la matrice A sia ortogonale, il che significa che i vettori colonna di A devono essere a due a due
ortogonali e di modulo 1.
Questo fa sì che una base ortonormale (versori a due a due ortogonali) venga trasformata ancora in
una base ortonormale.
La condizione di ortogonalità della matrice si può rappresentare in blocco con la condizione ATA=I,
da cui si ricava che deve essere detA = ±1. (non è vero il viceversa!)
Se risulta detA = 1 l'isometria è detta diretta, o pari, se detA = −1 è detta indiretta, dispari,
invertente o inversa (quest'ultimo termine, che è quello storico, può confondere). Nel primo caso
una figura F può essere trasportata sulla figura trasformata F' con un movimento rigido, nell'altro è
una sua immagine speculare.
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Laura Citrini
Trasformazioni geometriche
a b
Allora un'affinità f risulta essere un'isometria se e solo se la matrice
che la caratterizza
d e
(ottenuta accostando i trasformati di vettori fondamentali della base canonica, cioè per cui i' = f(i) =
a
b
e
j'
=
f
(j)
=
d
e ) ha una delle due forme:
cos α − sin α
cos α sin α
oppure
sin α cos α
sin α − cos α
i vettori i e j e i loro trasformati i' e j' sono rappresentati, nei due casi, nelle figure seguenti.
Osserviamo che la prima matrice, che ha determinante 1, rappresenta un'isometria diretta (l'angolo
tra i' e j' è 90°) mentre la seconda, che ha determinante −1, una isometria invertente (l'angolo tra i' e
j' è −90o, secondo la definizione data di angolo orientato).
Studiamo separatamente i vari tipi di isometrie.
Traslazione
Definizione. Consideriamo un vettore v. Si dice traslazione τ di vettore v la corrispondenza
biunivoca tra i punti del piano affine che associa ad un punto qualsiasi A del piano il punto A' tale
→
che il vettore AA' sia equipollente a v.
Proprietà:
Ogni traslazione trasforma una retta in una retta parallela.
Ogni traslazione, esclusa l'identità, non ha punti uniti.
Rette unite sono tutte e sole le rette parallele al vettore della traslazione.
Il prodotto di due traslazioni è una traslazione.
Equazione vettoriale: x'=x+v x'= Ix+v
x' = x + h
Passando alle componenti si hanno le equazioniτ :
y' = y + k
h
x' 1 0 x h
l'equazione matriciale della traslazione di vettore v = è =
+
k
y ' 0 1 y k
Rotazione
Definizione. In un piano si chiama rotazione ρ di centro O individuata dall'angolo orientato
α, la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che:
al punto O associa il punto stesso,
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Laura Citrini
Trasformazioni geometriche
ad ogni altro punto A associa il punto A' tale che
→
→
o l'angolo tra OA e OA' sia congruente e concorde ad α
o i segmenti OA e OA' siano congruenti.
Proprietà:
Sia AB un segmento ed A'B' il suo trasformato nella rotazione ρ di centro O ed angolo α.
→
→
L'angolo formato tra AB e A' B ' è uguale ad α.
Dati due segmenti congruenti AB ed A'B' esiste una rotazione ρ tale che ρ(AB) = A'B', o una
→
→
traslazione τ se AB e A' B ' sono equipollenti.
Unico punto unito di una rotazione diversa dalla identità è il suo centro O.
In una rotazione ρ diversa dalla identità e dalla rotazione di angolo α=180° non esistono rette
unite.
Il prodotto di due rotazioni con centro comune O ed angolo orientato rispettivamente α e β, è
una rotazione attorno allo stesso centro O, di angolo orientato α + β.
Il prodotto di due rotazioni con centri O' e O'' ed angoli orientati α e β, è una rotazione di angolo
orientato α + β se α + β ≠ 0 (mod 360°); ed è una traslazione se α + β ≡ 0 (mod 360°).
Il prodotto di una traslazione τ di vettore v e di una rotazione ρ di centro O ed angolo orientato
α è una rotazione di angolo orientato α.
Costruiamone la matrice associata: risulta
→
→
OP = x i + y j OP '= x i' + y j'
cos θ + 90o − senθ
cos θ
i' =
j'
=
=
o
sen
θ
+
90
senθ
cosθ
(
(
)
)
dunque la trasformazione è data dalle equazioni vettoriali
x' cos θ − sen θ x
y ' = sen θ cos θ y
cos θ − senθ
e la matrice associata è
.
senθ cos θ
Supponiamo
invece di dover determinare una rotazione di centro
C≡(x0,y0) e di angolo θ.
Consideriamo
o la traslazione τ che porta il punto C nell'origine O,
o la rotazione ρ di centro O e angolo θ
o
il prodotto ρ2 = τ-1 ρ τ.
Per le proprietà sopra esposte, questa è una rotazione, di angolo θ e di centro C.
Ma è
τ : x'=x+v, ρ : x"=Ax', τ-1: x"'=x"-v
da cui
τ-1 ρ τ:
x"'=x"-v x"'= Ax'-v x"'= A(x+v)-v= Ax + (Av-v).
Si osservi che questo metodo è del tutto generale, e vale qualsiasi sia la trasformazione di cui
A è matrice.
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Laura Citrini
Trasformazioni geometriche
Simmetria centrale
Fissato nel piano un punto O, consideriamo un punto A diverso da O. Esiste ed è unico il punto A'
→
→
tale che OA' = − OA . Il punto A' si dice simmetrico di A rispetto al punto O, detto centro di
simmetria
Definizione. Si chiama simmetria centrale di centro O, la corrispondenza biunivoca fra i punti
del piano, che ad ogni punto A associa il punto A' del piano simmetrico di A rispetto al punto O.
Proprietà:
Ogni simmetria centrale scambia tra loro punti corrispondenti, cioè è involutoria.
La simmetria centrale è una particolare rotazione, di centro O e angolo 180°.
Ogni simmetria centrale mantiene unita la direzione delle rette, cioè porta ogni retta in una retta
parallela, ma ne cambia il verso.
Il centro di simmetria è l'unico punto unito della simmetria centrale.
In ogni simmetria centrale sono unite tutte e sole le rette passanti per il centro.
Il prodotto di due simmetrie centrali aventi lo stesso centro è l'identità.
Il prodotto di due simmetrie centrali con centri distinti O' e O" è una traslazione, di vettore
→
v = 2O' O"
Il prodotto di una simmetria centrale con centro O e di una traslazione di vettore v è una
→
1
simmetria centrale di centro O' tale che OO' = v .
2
− 1 0
Se il centro è O poiché i' = −i e j' = −j, la matrice della simmetria di centro O è A=
.
0 − 1
Se il centro non è O si procede come per le rotazioni: il centro C≡(x0,y0) è portato nell'origine dalla
x
traslazione di equazione x' = x + v = x + 0 , la simmetria è individuata da:
y0
− 1 0 x 2 x0
x' = Ax + (Av − v) =
.
−
0 − 1 y 2 y0
Simmetria assiale
Consideriamo una retta r ed un punto qualsiasi P non appartenente ad r; conduciamo da P la
perpendicolare s ad r ed indichiamo con H il suo piede. Consideriamo il punto P’ tale che
→
→
HP = −HP ' .
Il punto P' si dice simmetrico di P rispetto alla retta r detta asse di simmetria. Il simmetrico
di un punto P dell'asse è il punto stesso.
Definizione. Si chiama simmetria assiale di asse r, la corrispondenza biunivoca che ad ogni
punto P del piano associa il punto P' simmetrico di P rispetto ad r.
Proprietà:
Ogni simmetria assiale scambia tra loro punti corrispondenti, cioè è involutoria.
Sono rette unite tutte e sole le rette perpendicolari all'asse r, oltre ovviamente all'asse stesso, che
è luogo di punti uniti.
Rette corrispondenti si incontrano sull'asse o sono entrambe parallele all'asse stesso.
Sono direzioni unite la direzione dell'asse e quella delle rette perpendicolari all'asse.
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Laura Citrini
Trasformazioni geometriche
Ogni simmetria assiale conserva le ampiezze degli angoli ma ne cambia l'orientamento.
Il prodotto di due simmetrie aventi lo stesso asse è l'identità.
Il prodotto di due simmetrie con assi paralleli è una traslazione di vettore perpendicolare agli
assi, con modulo uguale a due volte la distanza tra essi, il verso è quello dall’asse della prima
simmetria a (nella prima figura, quello rosso) all’asse della seconda (quello blu).
Il prodotto di due simmetrie i cui assi si intersecano è una rotazione con centro nel punto di
intersezione degli assi e ampiezza uguale a due volte l'angolo da essi formato.
Il prodotto di tre simmetrie con assi paralleli o passanti per un medesimo punto è una simmetria
assiale.
Matrici in casi particolari: poiché le colonne della matrice della trasformazione sono le
componenti dei trasformati di i e j rispettivamente, si ha:
simmetria rispetto all'asse x (per cui i'=i, j'= −j)
x' 1 0 x
x' = x
y ' = 0 − 1 y
y' = − y
simmetria rispetto all'asse y (per cui i'= −i, j'=j)
x ' − 1 0 x
x' = − x
y ' = 0 1 y
y' = y
simmetria rispetto alla bisettrice b' del primo e terzo quadrante (per cui i'=j e j'=i)
x ' 0 1 x
x' = y
y ' = 1 0 y
y' = x
simmetria rispetto alla bisettrice b" del secondo e quarto quadrante (per cui i'= −j e j'= −i).
x' 0 − 1 x
x' = − y
y ' = − 1 0 y
y' = − x
In tutti e quattro i casi il determinante della matrice della trasformazione vale −1, infatti la
simmetria assiale è una isometria invertente.
Se l'asse di simmetria è una retta qualsiasi passante per l'origine,
calcoliamo le componenti di i' e j'.
Sia r l'asse di simmetria e sia α l'angolo che tale retta forma con l'asse
x.
cos 2α
cos(2α − 90°) sen2α
Avremo i'=
e j'=
=
sen2α
sen(2α − 90°) − cos 2α
e quindi l'equazione matriciale è
x' cos 2α sin 2α x
y ' = sin 2α − cos 2α y .
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Laura Citrini
Trasformazioni geometriche
1 − t 2
2t
2
x'
1+ t2
Sia t la tangente di α; possiamo usare le formule parametriche e abbiamo = 1 + t
1− t2
y ' 2t
−
1 + t 2
1 + t 2
a
ma se l'asse aveva equazione ax + by = 0, risulta t = − , per cui sostituendo (e semplificando) si
b
ottiene:
b2 − a2
− 2ab
2
2
x '
b +a
b2 + a2 x
=
y '
2
2
− 2ab a − b y
b 2 + a 2 b 2 + a 2
Al solito, se l'asse non passa per l'origine, si considera la traslazione che porta nell'origine un punto
dell'asse e si fa il prodotto delle tre trasformazioni, come nel caso della rotazione (la traslazione, la
simmetria, la traslazione inversa) la matrice rimane la stessa.
Come prodotto di trasformazioni
cos(−α) − sin(−α) 1 0 cos(−α) sin(−α) cos α sin α 1 0 cos α − sin α
sin(−α) cos(−α) 0 − 1 − sin(−α) cos(−α) = − sin α cos α 0 − 1 sin α cos α =
cos α − sin α cos α − sin α cos 2 α − sin 2 α − 2 sin α cos α
− sin α − cos α sin α cos α =
cos 2 α − sin 2 α
2 sin α cos α
Esiste un'altra isometria, diversa dalle prime tre studiate, che il tipo invertente:
Definizione. Una glissosimmetria o simmetria traslata o antitraslazione è la trasformazione
ottenuta applicando successivamente una simmetria assiale e una traslazione non nulla (o
viceversa), tali che la direzione della traslazione coincida con quella dell'asse della simmetria
• L'asse della simmetria è l'unica retta unita per una glissosimmetria.
• La direzione dell'asse r e quindi della traslazione e la direzione delle rette perpendicolari a r
sono le due sole direzioni unite.
Poiché tale trasformazione è prodotto di altre, la sua matrice si ottiene come prodotto di matrici
opportune.
Non esistono altri tipi di isometrie, quindi esistono due isometrie dirette e due invertenti.
Omotetia
Definizione. Fissato in un piano un punto O e un numero reale k≠0 chiamiamo omotetia di
centro O e rapporto k, la trasformazione ω del piano in sé che ad ogni punto A del piano associa
→
→
il punto A' tale che risulti OA' = k OA .
Proprietà:
Ogni omotetia ω è una collineazione, quindi una retta è trasformata in una retta.
Le omotetie trasformano una retta in una retta parallela, equiversa se k > 0, con verso opposto se
k < 0.
Un'omotetia ω di rapporto k = 1 è la trasformazione identica, un'omotetia ω di rapporto k = −1 è
una simmetria centrale rispetto al centro O dell'omotetia; solo per tali due valori del rapporto
l'omotetia è una isometria.
In un'omotetia diversa dalla trasformazione identica, il centro O è l'unico punto unito; sono rette
unite tutte e sole le rette passanti per O.
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Laura Citrini
Trasformazioni geometriche
Ogni omotetia ω conserva le ampiezze degli angoli e il loro orientamento.
Il prodotto di due omotetie aventi lo stesso centro O e di rapporto rispettivamente k1 e k2 è
un'omotetia di centro O e avente come rapporto il prodotto k1⋅ k2 .
Il prodotto di due omotetie di centri diversi O1 e O2 e rapporti k1 e k2 è un'omotetia di rapporto
k −1 →
k1⋅k2 se k1⋅k2≠1; se k1⋅k2=1 è una traslazione di vettore v = 1 O1O2 .
k1
Il prodotto di un'omotetia di rapporto k≠1 e di una traslazione è una omotetia di rapporto k.
Per determinarne la matrice associata, supponiamo che il centro della omotetia ω sia l'origine O e
sia k il rapporto.
I due versori i e j vengono trasformati nei loro multipli ki e kj, quindi la matrice associata è
k 0
W =
.
0 k
Se invece il centro non fosse l'origine, ma un generico punto P ≡ (a, b), possiamo considerare al
solito la traslazione τ tale che τ(P) = O, la omotetia ω e la traslazione inversa τ-1; la omotetia
richiesta è il prodotto τ-1 ω τ. Si ha
x' k 0 x a − ka
y ' = 0 k y + b − kb .
Il determinante di tale matrice, non nullo, vale k2 e risulta k2 = 1 se e solo se k = ±1, cioè
rispettivamente nel caso della identità o traslazione o della simmetria rispetto ad un punto.
Similitudine
Definizione. Si chiama similitudine di rapporto k > 0 una trasformazione biunivoca del piano in
sé tale che per ogni coppia di punti corrispondenti A, A' e B, B' risulti AB = k A' B' .
Proprietà:
Il prodotto di due similitudini di rapporto rispettivamente k1 e k2 è una similitudine di rapporto
k1⋅k2.
Ogni similitudine è il prodotto di un'omotetia per un'isometria o viceversa.
Una similitudine si dice diretta o invertente a seconda che l'isometria che la compone sia diretta
o invertente.
Le matrici delle isometrie sono
cos α − sin α
cos α sin α
sin α cos α oppure sin α − cos α
moltiplicando ciascuna di queste matrici per la matrice di una omotetia otteniamo rispettivamente
cos α − sin α k 0 k cos α − k sin α a − b
sin α cos α 0 k = k sin α k cos α = b a
oppure
cos α sin α k 0 k cos α k sin α a b
sin α − cos α 0 k = k sin α − k cos α = b − a .
2
2
le matrici del primo tipo hanno determinate sempre positivo a + b (non può annullarsi poiché k
≠ 0 per ipotesi e senα e cosα non si annullano mai contemporaneamente, quindi a e b non
possono annullarsi contemporaneamente);
le matrici del secondo tipo hanno determinante sempre negativo −a2 −b2.
Il primo caso caratterizza le similitudini dirette, il secondo le similitudini invertenti.
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Laura Citrini
Trasformazioni geometriche
Affinità
Tutte le trasformazioni viste fin qui sono particolari affinità. Un'affinità è in generale una
trasformazione la cui equazione vettoriale è del tipo:
x = Av + w
con A matrice quadrata invertibile (detA≠0).
Tra le affinità generiche notare in particolare:
a 0
0 1 dilatazioni (contrazioni se a < 1) nella direzione dell'asse x.
1 0
0 a dilatazioni nella direzione dell'asse y.
1 a 1 0
0 1 o b 1 deformazione "di taglio" (shear); conserva le aree.
Per lavorare meglio
Abbiamo visto che ogni trasformazione geometrica piana è data da un'equazione vettoriale della
forma: x = Av + w, ove A è la matrice invertibile 2×2 della trasformazione e w = Av −v è un
addendo che individua una traslazione; se manca tale addendo l'origine è punto unito.
.
Se ora consideriamo due trasformazioni geometriche, da applicare in successione, di equazioni
rispettive x'= Ax + (Av −v) e x"= Bx’ + (Bw −w) il loro prodotto è la trasformazione geometrica di
equazione
x" = B(Ax + (Av −v)) + (Bw −w) = BAx + B(Av −v)+ (Bw −w)
È possibile utilizzare solo prodotti di matrici (e quindi semplificare i conti) nel modo seguente:
I punti del piano siano individuati da tre componenti, di cui la terza sempre uguale a 1.
La matrice della applicazione è allora una la matrice invertibile 3×3 del tipo
a b v1
c d v
2
0 0 1
a b
ove v1 e v2 sono le componenti del vettore di traslazione e
è la matrice della trasformazione.
c d
Con solo un prodotto si ottiene lo stesso sistema di equazioni, svolgendo l'equazione matriciale:
x' a b v1 x
y ' = c d v y
2
1 0 0 1 1
Trasformazioni geometriche nello spazio
Anche nello spazio ogni affinità si individua mediante equazioni vettoriali della forma
x’ = Ax + w
con A matrice quadrata invertibile di ordine 3 (detA≠0), oppure con la matrice invertibile di ordine
4:
- 11 -
Laura Citrini
Trasformazioni geometriche
m
A
n
p
0 0 0 1
Ogni affinità è una anche in questo caso una collineazione.
Isometrie
Come nel piano, le isometrie sono le affinità che conservano le distanze; le proprietà sono analoghe:
Ogni isometria trasforma rette in rette e piani in piani
Ogni isometria trasforma un segmento in un segmento.
Ogni isometria trasforma una semiretta in una semiretta, un semipiano in un semipiano.
La composizione di due isometrie ancora un'isometria.
La matrice A di una isometria deve essere ortogonale, il che significa che i vettori colonna di A
devono essere a due a due ortogonali e di modulo 1; come nel piano una base ortonormale viene
trasformata ancora in una base ortonormale.
La condizione di ortogonalità è ATA = I, da cui si ricava, anche nello spazio, che deve essere detA =
±1.
detA = 1 : isometria diretta (l'insieme delle isometrie di questo genere costituisce un gruppo
indicato con SO3 ; lo stesso succedeva per le isometrie piane dirette che costituivano il gruppo SO2)
detA = −1 : isometria invertente
Nel primo caso una terna di riferimento destrorsa va in una terna destrorsa, nel secondo diviene
sinistrorsa.
Studiamo separatamente le varie isometrie come è stato fatto nel caso piano.
Traslazione
Consideriamo un vettore v che caratterizza la traslazione, le cui definizione è identica a quella del
caso piano. l'equazione vettoriale è x' = x + v, quella matriciale
x' 1 0 0 a x
x ' 1 0 0 x a
y ' 0 1 0 b y
y ' = 0 1 0 y + b
=
o
z ' 0 0 1 c z
z ' 0 0 1 z c
1 0 0 0 1 1
Le proprietà sono identiche a quelle illustrate nel piano.
Rotazione attorno ad una retta
Mentre nel caso del piano le rotazioni sono individuati da un punto detto centri da un angolo
orientato, nello spazio si hanno rotazioni ρ attorno a rette dette asse di rotazione sempre di un
angolo orientato α
Vediamo dapprima le rotazioni attorno agli assi coordinati di angolo orientato α, considerando solo
le matrici di ordine tre e ricordiamo che l'inversa di una matrice ortogonale è semplicemente la sua
trasposta)
0
0
1
Attorno all'asse x: matrice ρx = 0 cos α − senα
0 senα cos α
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Laura Citrini
Trasformazioni geometriche
cos β 0 − senβ
Attorno all'asse y: matrice ρy = 0
1
0
senβ 0 cos β
0
0
1
Attorno all'asse z: matrice ρz = 0 cos γ senγ
0 − senγ cos γ
Tutte e tre le matrici hanno determinante 1: le rotazioni sono isometrie dirette.
Se l'asse è parallelo ad uno degli assi si considera la traslazione che lo porta a coincidere con un asse
e si ha
ρ2 = τ-1 ρ τ : x'= Ax + (Av −v).
Se l'asse non è uno di questi, ma passa per l'origine, ci si riporta a questi casi con successive
rotazioni: sia β l'angolo di rotazione; sia w il vettore dell'asse; lo si pensi sulla sfera di centro
nell'origine.
Con una rotazione opportuna ρz attorno all'asse z si porta v (lungo un parallelo) in un v'
appartenente al piano zy (ad esempio).
Con una rotazione opportuna ρx attorno
all'asse x si porta v' (lungo un meridiano)
in v" sull'asse y;
si esegue la rotazione ρβ di angolo β
attorno all'asse y.
La trasformazione richiesta è:
ρ = ρz-1ρx-1ρβρxρz
Per determinare ρz e ρx si ricordi la formula
del coseno dell'angolo tra due vettori:
v×i
v×k
cos θ =
o cos θ' =
|| v ||
|| v ||
utilizzando il vettore v della retta.
Come si può rappresentare una rotazione?
Assegnando all'asse di rotazione e l'angolo (è quello che abbiamo visto sopra)
Mediante gli angoli di Eulero
Mediante i quaternioni
La seconda opzione si basa sul teorema di Eulero:
Ogni rotazione dello spazio può essere scomposta nel prodotto ρaθ ρbϕ ρcψ di tre rotazioni
con a ≠ b ≠ c che indicano gli assi coordinati x, y, z attorno a cui si fa la rotazione; gli indici stanno
a indicare l'angolo di rotazione (tali angoli vengono chiamati angoli di Eulero e sono
funzionalmente dipendenti, poiché vale la relazione cos2θ + cos2ϕ + cos2ψ =1) .
Nella terza opzione dobbiamo presentare una nuova struttura algebrica: i quaternioni.
I quaternioni
Chiamiamo H il corpo (che poi un campo non comunicativo) dei quaternioni reali, cioè
H = {q = a + ib + jc + kd | a, b, c, d ∈ R},
in cui valgono le seguenti regole di calcolo:
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Trasformazioni geometriche
i2 = j2 = k2 = −1 (cioè i, j, k si comportano come unità immaginarie)
il prodotto dalle tre unità immaginarie è simile al prodotto vettoriale.
La norma del quaternione q vale a ||q||2 = a2 + b2 + c2 + d2, quindi si ottengono quaternioni
unitari dividendo un quaternione della sua norma.
Il coniugato del quaternione q è a − ib − jc − kd.
Ogni quaternione q può essere visto come somma di una sua parte reale a e di un vettore di R3
che ne contiene la parte "immaginaria" v = ib + jc + kd, cioè q = a + v. Con questa scrittura le
operazioni tra i quaternioni si scrivono in modo semplice:
o q1 + q2 = (a1 + v1) +(a2 + v2) = (a1 + a2) + (v1+ v2)
o q1 q2 = (a1 a2 − v1 ⋅ v2) +( v1 × v2) dove ⋅ e × indicano rispettivamente il prodotto
scalare il prodotto vettoriale di R3.
o Il neutro rispetto alla somma è il numero reale 0, mentre il neutro rispetto il prodotto
è il numero reale 1.
Con queste operazioni si dimostra che l'insieme dei quaternione mi è un corpo, non commutativo
rispetto al prodotto.
Si dimostra inoltre che ogni quaternione unitario può rappresentare una rotazione dello spazio in cui
l'angolo di rotazione è 2arccos(a) (dove a è la parte reale del quaternione) e in cui l'asse di rotazione
è individuato dal vettore v (parte immaginaria del quaternione) e viceversa ogni rotazione
corrisponde a un quaternione unitario (salvo il fatto che l'angolo di π e quello di −π coincidono)
In particolare, per riprendere il discorso, la rotazione attorno all'asse x è individuata da q = a + ib,
quella attorno all'asse y da q = a + jc e quella attorno all'asse z da q = a + kd.
Il prodotto di due rotazioni corrisponde al prodotto dei due quaternioni corrispondenti.
Simmetria centrale
Fissato nello spazio un punto O centro di simmetria
La simmetria centrale di centro O ha matrice
− 1 0 0
0 −1 0 .
0 0 − 1
Si osservi che questa matrice ha determinante –1, quindi la simmetria centrale è una isometria
invertente; non è quindi una rotazione, come nel caso piano.
Se il centro non è O si procede come di consueto.
Simmetria rispetto ad un piano
Matrici in casi particolari:
− 1 0
simmetria rispetto al piano x=0 0 1
0 0
1 0
simmetria rispetto al piano y=0 0 − 1
0 0
0
0
1
0
0
1
1 0 0
simmetria rispetto al piano z=0 0 1 0
0 0 −1
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Laura Citrini
Trasformazioni geometriche
Con una quantità di conti non proprio divertente si ricava che se il piano di simmetria ha equazione
ax+by+cz=0, posto r = a 2 + b 2 + c 2 , la matrice della simmetria è
− a2 + b2 + c2
− 2ab
− 2ac
r
r
r
− 2ab
a 2 − b2 + c2
− 2bc
.
r
r
r
− 2ac
− 2bc
a 2 + b2 − c2
r
r
r
Si mostra anche che ogni matrice ortogonale simmetrica, con determinante –1, a parte la matrice
della simmetria centrale, rappresenta una simmetria rispetto ad un opportuno piano.
Al solito, se il piano di simmetria non passa per l'origine, si considera la traslazione che porta
nell'origine un punto del piano e si fa il prodotto delle tre trasformazioni; la matrice rimane la
stessa.
Esistono altri tre tipi di isometrie dello spazio, una diretta, due invertenti:
la glissorotazione, prodotto di una rotazione rispetto ad un asse e di una traslazione di vettore
parallelo all'asse (diretta)
la glissosimmetria, simmetria composta con una traslazione parallela al piano di simmetria
(invertente)
la rotosimmetria, prodotto di una simmetria rispetto ad un piano e di una rotazione di asse
ortogonale al piano di simmetria (invertente).
Omotetia
Fissato un numero reale k≠0 la omotetia di centro O e rapporto k, ha matrice associata
k 0 0
W= 0 k 0 .
0 0 k
Al solito se il centro non fosse l'origine, ma un generico punto P determiniamo la traslazione τ tale
che τ(P)=O, la omotetia ω e la traslazione inversa τ-1; la omotetia richiesta è il prodotto τ-1 ω τ.
Le similitudini dello spazio, come nel piano, sono il prodotto di un'omotetia per un'isometria o
viceversa.
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Laura Citrini
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