Trasformazioni geometriche nel piano: dalle isometrie alle affinità

Trasformazioni geometriche nel piano: dalle isometrie alle affinità
Le trasformazioni geometriche
In generale una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca del piano in sé, ossia
associa ad un punto del piano uno ed un solo punto del piano stesso: t : P → P ' .
Essendo la corrispondenza biunivoca, esiste sempre la trasformazione inversa t −1 : P ' → P
In generale, data una trasformazione geometrica t, per trasformare un grafico di equazione y = f ( x ) , è
necessario trovare le equazioni della trasformazione inversa t-1 ed eseguire le sostituzioni
nell’equazione data.
Un punto è unito se è trasformato in se stesso (se ha per immagine se stesso).
Una figura è unita se ha per immagine se stessa.
N.B. I punti di una figura possono corrispondere ai punti
della figura stessa, senza necessariamente essere punti uniti;
se ad esempio in una retta ogni punto è unito, la retta si dice
retta di punti uniti (o retta puntualmente unita) altrimenti si
dice semplicemente retta unita (o retta globalmente unita).
Una retta di punti unita è anche retta unita (non
viceversa).
La trasformazione che ad ogni punto associa se stesso si chiama identità; nell’identità ogni punto è
unito.
Composizione di trasformazioni geometriche.
Supponiamo di avere due o più trasformazioni e di volerle applicare una dopo l'altra. Questo vuol dire
che dopo avere applicato la prima, applico la seconda alla figura ottenuta dalla prima trasformazione e
così di seguito. Se ho due trasformazioni, prima applico ad esempio t1 : P → P ' e poi t2 : P ' → P '' ; è
come aver applicato la trasformazione composta t2 t1 : P → P '' .
Generalmente, per la composizione di trasformazioni geometriche non vale la proprietà commutativa
( t1 t2 ≠ t2 t1 ). Vale invece la proprietà associativa t1 ( t2 t3 ) = ( t1 t2 ) t3 .
Inoltre, per la definizione di trasformazione inversa, è vero che t t −1 = t −1 t = i , si ottiene cioè
l’identità.
Una trasformazione si dice involutoria se componendola con se stessa si ottiene l’identità: t t = i ,
ossia la trasformazione inversa coincide con quella di partenza.
Elementi uniti.
Per trovare i punti uniti basta porre x=x’ e y=y’ nell’equazione della trasformazione; si ottiene un
sistema lineare nelle due incognite x e y. A seconda dei casi si potrà avere una sola soluzione (un solo
punto unito), infinite soluzioni (infiniti punti uniti, tutti appartenenti alla medesima retta che sarà una
retta di punti uniti), nessuna soluzione (nessun punto unito).
Per trovare le rette unite basta calcolare le equazioni della trasformazione inversa t-1 ed applicarle sulla
generica retta di equazione y = mx + q ed imporre che i coefficienti delle due rette siano identicamente
uguali; bisogna però porre attenzione alle rette parallele all’asse delle ordinate (la cui equazione non è
compresa in quelle del tipo y = mx + q ) controllando il comportamento della trasformazione sulle rette
del tipo x = h , analogamente a sopra.
Lavoro redatto dalla prof.ssa Fabbri Francesca
1
Le isometrie
Si dice isometria una trasformazione geometrica che conserva le distanze. Dati due punti A, B
l'isometria fa ad essi corrispondere due punti A' e B' tali che AB = A ' B ' .
Per isometria sono invarianti la congruenza di segmenti e di angoli pertanto le figure trasformate
conservano la forma e la grandezza e dunque risultano congruenti a quelle date.
Ci sono 5 tipi di isometria: traslazione, simmetria centrale, rotazione, simmetria assiale e
glissosimmetria.
Nel seguito sono indicate le equazioni nel piano cartesiano x0y, considerando P ( x; y ) e il suo
corrispondente a seguito della trasformazione P′ ( x′; y′ ) . Le equazioni delle varie trasformazioni sono
indicate anche mediante la notazione matriciale.
La traslazione
 x′ = x + p
 x′   1 0  x   p 
Le equazioni sono del tipo: τ : 
ossia   = 
  +   con p e q costanti reali. La
 y′ = y + q
 y′   0 1  y   q 
matrice della trasformazione è la matrice identità. Si dice anche che la traslazione trasforma i punti del
piano secondo il vettore v ( p; q ) .
Proprietà fondamentali delle traslazioni.
Si può dimostrare che una traslazione gode delle seguenti proprietà:
• una traslazione (diversa dall'identità) non ha né punti uniti né rette di punti uniti;
q
• le rette parallele al vettore v ( p; q ) , ossia quelle di coefficiente angolare
sono rette unite;
p
• componendo due traslazioni di vettori v1 e v 2 si ha ancora una traslazione di vettore v1 + v 2 .
La simmetria centrale
 x′ = 2 xM − x
 x′   −1 0   x   2 xM 
Le equazioni sono del tipo: sM : 
ossia   = 
 dove M ( xM ; yM ) è
  + 
 y ′   0 −1   y   2 y M 
 y ′ = 2 yM − y
il centro della simmetria ed il punto medio del segmento individuato da punti corrispondenti.
Proprietà fondamentali delle simmetrie centrali.
Si può dimostrare che una simmetria centrale gode delle seguenti proprietà:
• L’unico punto unito della simmetria centrale è il centro; ogni retta passante per il centro è retta
unita;
• È una trasformazione involutoria: componendola con se stessa si ottiene l’identità. La
simmetria rispetto all’origine ne è un caso particolare;
• La simmetria centrale di centro O è uguale al composto di due simmetrie assiali aventi gli assi
fra loro perpendicolari in O;
• Date due simmetrie centrali S M1 e S M 2 , la trasformazione composta T = S M 2 S M1 è una
traslazione di vettore v = 2 M 1M 2 .
Lavoro redatto dalla prof.ssa Fabbri Francesca
2
La rotazione
Utilizzando la goniometria è possibile scrivere:
P’(x’;y’)
x = OP cos β
P(x;y)
α
β
O
y = OP sin β
essendo OP = OP '
↓
x′ = OP 'cos(α + β ) = OP ' ( cos α cos β − sin α sin β ) = x cos α − y sin α
y′ = OP 'sin(α + β ) = OP ' ( sin α cos β + cos α sin β ) = x sin α + y cos α
Le equazioni della rotazione di un angolo α (in senso antiorario) e di centro O sono allora:
 x′ = x cos α − y sin α
 x′   cos α − sin α  x 
o anche   = 
ρ0,α : 
  . Osserva che det ( A) = 1 .
 y′ = x sin α + y cos α
 y′   sin α cos α  y 
La rotazione inversa ρ −10,α è la rotazione di centro O e angolo −α ; infatti le equazioni sono:
 x = x′ cos α + y′ sin α
 x   cos α sin α   x′ 
 cos α sin α 
−1
ρ −10,α : 
o anche   = 
dove 



= A è
′
′
′
y
x
sin
α
y
cos
α
y
−
y
−
sin
cos
=
−
+
sin
cos
α
α
α
α

  
 


 cos α − sin α 
proprio la matrice inversa della matrice A = 
.
 sin α cos α 
− sin α   cos α − sin α   cos ( −α ) + sin ( −α ) 
 ;
=
=
cos α   sin α cos α   − sin ( −α ) cos ( −α ) 
riscrivendo i coefficienti della matrice considerando gli angoli opposti (ricorda che la funzione coseno
è pari mentre la funzione seno è dispari!) si può concludere che la rotazione inversa ha lo stesso centro
ma angolo −α .
Se il centro di rotazione di angolo α è C ( xc ; yc ) allora le equazioni diventano
Osserva infatti che
A−1 =
1  cos α

det ( A )  sin α
 x′ = ( x − xc ) cos α − ( y − yc ) sin α + xc
o anche
ρC ,α : 
 y′ = ( x − xc ) sin α + ( y − yc ) cos α + yc
 x′ − xc   cos α − sin α   x − xc 
 ′
=
.

 y − yc   sin α cos α   y − yc 
 x′ = x cos α − y sin α + p
Se l’equazione è scritta come ρC ,α : 
, il centro della rotazione è determinabile
 y′ = x sin α + y cos α + q
come unico punto unito della trasformazione. La trasformazione inversa di una rotazione di centro C e
angolo α è ancora una rotazione di centro C ma con angolo −α , cioè la rotazione inversa di ρC ,α
risulta essere ρC−1,−α .
Proprietà fondamentali delle rotazioni.
Si può dimostrare che una rotazione gode delle seguenti proprietà:
• se α = 0 o α = 2π , la rotazione risulta essere l’identità;
• se α = π o α = −π , la rotazione coincide con la simmetria centrale;
• componendo due rotazioni con lo stesso centro C di angoli α1 e α 2 si ha ancora una rotazione
di centro C e angolo α1 + α 2 ;
• componendo due rotazioni di centri C1 e C2 diversi si può ottenere una rotazione di diverso
centro C e angolo α1 + α 2 oppure una traslazione.
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3
La simmetria assiale
Riportiamo le equazioni delle più comuni simmetrie assiali:
Equaz. Simm.
rispetto all’asse x
Equaz. Simm.
rispetto all’asse y
Equaz. Simm.
rispetto a y=k (⁄⁄
asse x)
Equaz. Simm.
rispetto a x=h (⁄⁄
asse y)
 x′ = x

 y′ = − y
 x′ = − x

 y′ = y
 x′ = x

 y ′ = 2k − y
 x′ = 2 h − x

 y′ = y
Equaz. Simm.
rispetto a y=x
 x′ = y

 y′ = x
Equaz. Simm.
rispetto a y=-x
 x′ = − y

 y′ = − x
Matrici dei coefficienti delle simmetrie assiali più comuni:
Simmetria
rispetto all’asse x
Simmetria
rispetto all’asse y
Simmetria
rispetto a y=k (⁄⁄
asse x)
Simmetria
rispetto a x=h (⁄⁄
asse y)
Simmetria
rispetto a y=x
Simmetria
rispetto a y=-x
1 0 


 0 −1
 −1 0 


 0 1
1 0 


 0 −1
 −1 0 


 0 1
0 1


1 0
 0 −1


 −1 0 
In generale, due punti P e P’ si corrispondono in una simmetria assiale rispetto ad una retta
r : y = mx + q se e solo se r risulta essere l’asse del segmento PP’. Su questa definizione si basa il
procedimento per determinare le equazioni della simmetria assiale rispetto ad una generica retta:
x + x′
 y + y′
 2 = m 2 +q (punto medio PP' ∈ r)

 y′ − y = − 1 (retta PP' ⊥ retta r)
m
 x′ − x
Con considerazioni di carattere goniometrico (*) e nel caso in cui la retta r,
r
asse di simmetria, passi per l’origine, cioè r : y = mx , e formi un angolo di
P’(x’;y’)
ampiezza α con la direzione positiva dell’asse delle ascisse, si può trovare che
P(x;y)
l’equazione
della
simmetria
è,
in
forma
matriciale:
α
 x′   cos ( 2α ) sin ( 2α )   x 
   ; se è dato direttamente l’angolo che l’asse
 ′  =  sin 2α
 y   ( ) − cos ( 2α )   y 
di simmetria forma con l’asse x nella matrice si mettono il coseno ed il seno dell’angolo doppio e
l’equazione della simmetria rispetto a tale retta è presto determinata.
(*) Ricordando m = tan α e le formule parametriche razionali in funzione di t = tan α :
1− t2
2t
cos 2α =
,sin 2α =
…
2
1+ t
1+ t2
Proprietà fondamentali delle simmetrie assiali.
•
•
I punti uniti sono i punti dell’asse di simmetria (che è retta di punti uniti). Oltre all’asse di
simmetria, ogni retta perpendicolare all’asse è retta unita;
È una trasformazione involutoria: componendola con se stessa si ottiene l’identità.
La glissosimmetria (o antitraslazione)
È definita come la composizione di una simmetria assiale con una traslazione di
vettore parallelo all’asse di simmetria.
Si riconosce perché è un’isometria indiretta senza punti uniti e l’unica retta
unita è l’asse di simmetria.
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4
Le isometrie – sintesi finale  x′ = ax + by + c
.
Tutte le isometrie sono rappresentate da equazioni lineari del tipo: 
 y′ = a′x + b′y + c′
a b
Dal calcolo del determinante della matrice dei coefficienti A = 
 si ha che esso vale sempre
 a′ b′ 
det ( A ) = ±1 .
Se det ( A) = 1 si ha una ISOMETRIA DIRETTA (traslazione o simmetria centrale o rotazione);
se det ( A ) = −1 si ha una ISOMETRIA INDIRETTA (simmetria assiale o glissosimmetria)
Relativamente ai punti uniti:
• nella traslazione e nella glissosimmetria non ci sono punti uniti;
• nella simmetria centrale e nella rotazione c’è un solo punto unito: il centro;
• nella simmetria assiale i punti uniti sono quelli dell’asse di simmetria (ci sono ∞ punti uniti).
Relativamente alle rette (globalmente) unite:
• nella traslazione sono quelle parallele al vettore che individua la traslazione stessa (ci sono ∞ rette
unite);
• nella simmetria centrale sono quelle passanti per il centro (ci sono ∞ rette unite);
• nella rotazione non ci sono rette unite;
• nella simmetria assiale sono quelle perpendicolari all’asse di simmetria (ci sono ∞ rette unite)
mentre l’asse di simmetria è retta di punti uniti;
• nella glissosimmetria l’asse di simmetria è retta unita.
Tabella che serve per riconoscere e classificare le varie isometrie:
det ( A)
Trasformazione
Punti Uniti
+1
TRASLAZIONE
+1
SIMMETRIA CENTRALE
∃
Centro di simm.
-1
ROTAZIONE
Centro di rotaz.
-1
-1
SIMMETRIA ASSIALE
GLISSOSIMMETRIA
Punti ∈ asse
∃
Rette di punti
uniti
∃
Rette Unite
∃
Rette // v
Rette per il Centro
∃
Asse di simm.
∃
∃
Rette ⊥ Asse
Asse di simm.
Le omotetie
Dato un numero reale non nullo h e un punto P del piano, l’omotetia di rapporto h e centro O è
quella trasformazione che associa a P il punto P' tale che OP ' = h ⋅ OP . Se è P(x,y) allora P'(hx ; hy).
P' è detto omotetico di P. O si dice centro di omotetia.
Il numero h è detto rapporto di omotetia.
P’
• se h>0 l'omotetia si dice diretta (due punti corrispondenti si trovano sulla
P
stessa semiretta di origine il centro O);
• se h<0 l'omotetia si dice indiretta ( “ “ “ si trovano su semirette
O
opposte di origine O).
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5
Nel caso in cui il centro di omotetia O corrisponda con l'origine degli assi le equazioni dell'omotetia
 x′ = hx
h 0
2
sono ω0,h : 
dove la matrice della trasformazione è 
 e vale det(A)=h .
′
 y = hy
0 h
 x′ = h ( x − xC ) + xC
Se il centro è il punto C ( xC ; yC ) le equazioni sono ωC ,h : 
o anche, svolgendo i
 y′ = h ( y − yC ) + yC
 x′ = hx + p
calcoli ωC ,h : 
il cui centro è calcolabile ricordando che esso è l'unico punto unito per
 y′ = hy + q
l’omotetia. Le rette passanti per il centro dell’omotetia sono invece rette unite per l’omotetia.
“Omotetia” deriva dal greco e significa “simile-posto”; in effetti, per omotetia una figura risulta
ingrandita o rimpicciolita, ma non risulta “spostata” rispetto al centro della trasformazione.
Proprietà fondamentali delle omotetie.
Si può dimostrare che un'omotetia gode delle proprietà delle similitudini (trasforma un segmento in un
segmento proporzionale, una retta in una retta ad essa parallela, conserva le ampiezze degli angoli) ed
in particolare:
• trasforma una figura geometrica in una figura simile a quella data, ingrandendola se h > 1 o
•
•
•
riducendola se h < 1 .
componendo due omotetie con lo stesso centro C, si ha ancora una omotetia di centro C e rapporto
dato dal prodotto dei singoli rapporti di omotetia.
componendo due omotetie con centri diversi, si ha o una traslazione (se il prodotto dei rapporti di
omotetia è uguale a 1) o una omotetia (se tale prodotto è diverso da 1).
Ogni omotetia ωC ,h ammette l’omotetia inversa ω −11 .
C,
h
Osservazioni:
Un’omotetia è un tipo particolare di similitudine. Inoltre il valore assoluto h del rapporto di omotetia è
uguale al rapporto di similitudine k, cioè h = k = a 2 + b 2 .
Le similitudini
Una similitudine è una trasformazione geometrica che conserva il rapporto fra le lunghezze di
segmenti corrispondenti; cioè comunque si scelgano A e B, considerati i loro trasformati A' e B' si ha
A ' B ' = k AB , dove k (sempre positivo) si chiama rapporto di similitudine.
 x′ = ax + by + c
Una similitudine è definita da equazioni 
con la condizione però che sia:
 y′ = a′x + b′y + c′
a 2 + a′2 = b 2 + b′2
.

 ab + a′b′ = 0
Da questa relazione segue che una similitudine può essere espressa in due soli modi:
a −b
 x′ = ax − by + c
σ1 : 
con
= a 2 + b2 = k 2 > 0
SIMILITUDINE DIRETTA
′
′
y
=
bx
+
ay
+
c
b
a

oppure
a b
 x′ = ax + by + c
σ2 : 
con
= − a 2 − b 2 = −k 2 < 0 SIMILITUDINE INDIRETTA
b −a
 y′ = bx − ay + c′
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6
In entrambi i casi il rapporto di similitudine k positivo di cui sopra è dato da
k=
det( A) = a 2 + b 2 .
Proprietà fondamentali delle similitudini.
Si può dimostrare che una similitudine gode delle seguenti proprietà:
• conserva il rapporto fra le lunghezze;
• trasforma un angolo in un angolo congruente (conserva l’ampiezza degli angoli);
• trasforma rette parallele in rette parallele e rette perpendicolari in rette perpendicolari;
• trasforma circonferenze in circonferenze;
• una figura geometrica in una figura simile a quella data;
2
• se F' è la figura geometrica trasformata di F, allora valgono: Area(F')=k ⋅Area(F) e
perimetro(F')=k⋅perimetro(F);
• componendo due similitudini di rapporti k1 e k2 , si ha ancora una similitudine di rapporto k1 ⋅ k 2 .
Composizione di un’omotetia e di un’isometria
La composizione di un’omotetia con un’isometria è sempre una similitudine; ogni similitudine si può
ottenere dalla composizione di un’omotetia e di un’isometria (o viceversa).
In particolare si ha una similitudine diretta se è il composto di un’omotetia e di un’isometria diretta
(in ordine qualsiasi), mentre si ha una similitudine indiretta se è il composto di un’omotetia e di
un’isometria indiretta (in ordine qualsiasi).
Il composto di due similitudini dirette è una similitudine diretta, mentre il composto di due similitudini
indirette è una similitudine diretta.
Una similitudine che abbia l’origine come punto fisso si può pensare come il risultato della
composizione di:
k 0
• una omotetia di centro l’origine di rapporto k ≠ 0 e matrice 
 e di
0 k
• una isometria che lascia fissa l’origine che può essere diretta o indiretta.
Componendo l’omotetia con ognuna delle due isometrie si ottengono le matrici dei due tipi di
similitudini (ambedue di rapporto k ):
Per studiare una similitudine, conviene mettere in evidenza il rapporto di similitudine (che
indicherà anche il rapporto dell’omotetia) per studiare poi la matrice dell’isometria che resta.
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Le affinità
Si chiama affinità (o trasformazione affine) la corrispondenza biunivoca T che fa corrispondere al
 x′ = ax + by + c
punto P di coordinate ( x; y ) il punto P' di coordinate ( x′; y′ ) secondo le equazioni: 
 y′ = a′x + b′y + c′
 x′   a b  x   c 
ossia   = 
  +   , dove i coefficienti a, b, c, a’, b’, c’sono numeri reali. L'applicazione è
 y′   a′ b′  y   c′ 
a b
= ab′ − a′b ≠ 0 . La matrice A si chiama matrice dell’affinità.
a′ b′
1  b′ −b 
-1
Se c e c’ sono nulli l’origine resta fissa. N.B. det(A)≠0 ⇔ ∃A−1 =
 ′
 ; A è la matrice
det( A)  − a a 
 x
 x′ − c 
associata alla trasformazione inversa T-1 la cui equazione risulta quindi:   = A−1 
.
 y
 y ′ − c′ 
biiettiva se e solo se det( A) =
Proprietà fondamentali delle affinità.
Si può dimostrare che un'affinità gode delle seguenti proprietà:
• a una retta corrisponde un’altra retta; (conserva l’allineamento);
• a rette parallele corrispondono rette parallele; (conserva il parallelismo);
• a rette incidenti corrispondono rette incidenti; (conserva l’incidenza);
• le coniche si trasformano in coniche (ellisse → ellisse, parabola → parabola, iperbole →
iperbole);
• il rapporto delle aree di figure corrispondenti è costante, cioè: se la figura F' è l'immagine
corrispondente di una figura F, allora Area (F')=|det(A)|⋅Area (F).
Area(F')
Il rapporto costante fra tali aree si chiama rapporto di affinità r, cioè r = det( A) =
.
Area(F)
Esso rappresenta l’area del parallelogramma nel quale si trasforma il quadrato di lato unitario.
Nel caso in cui il rapporto di affinità r sia uguale a +1, l’affinità conserva le aree e si dice equivalenza.
Affinità diretta (si conserva l’orientamento dei vertici di un poligono) ⇔ det(A)>0;
Affinità indiretta (si inverte l’orientamento dei vertici di un poligono) ⇔ det(A)<0;
In generale un’affinità non conserva le distanze fra i punti, gli angoli, la forma delle figure.
Infatti l’immagine di un rettangolo è in generale un parallelogramma, così come l'immagine di una
circonferenza sarà un'ellisse.
Particolari affinità: le dilatazioni
 x′ = hx + p
Le equazioni 
, con h, h′ ≠ 0 rappresentano particolari affinità chiamate dilatazioni di
 y′ = h′y + q
rapporti h e h’.
 x′ = ax + by + c
Si ottengono dall’equazione 
con b = 0 ∧ a′ = 0 )
 y′ = a′x + b′y + c′
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8
Classificazione delle affinità
Le affinità si possono classificare in vari tipi a seconda delle proprietà di cui godono o meglio a
seconda delle proprietà invarianti, proprietà cioè che si conservano nella trasformazione.
Le proprietà invarianti delle trasformazioni sono riassunte nella tabella che segue; si può osservare che,
passando dall’insieme delle isometrie a quello delle similitudini a quello delle affinità, le proprietà
invarianti diventano via via “più deboli”:
Invarianti delle isometrie
Allineamento dei punti
Incidenza e parallelismo tra
coppie di rette
Forma delle figure
Ampiezza degli angoli
Lunghezze:
A'B' = AB
Aree:
Area(F')=Area(F)
Invarianti delle similitudini
Allineamento dei punti
Incidenza e parallelismo tra
coppie di rette
Forma delle figure
Ampiezza degli angoli
Rapporti tra le lunghezze:
A'B'
k = det( A) =
AB
Rapporti tra le aree:
Area(F')
k 2 = det( A) =
Area(F)
Invarianti delle affinità
Allineamento dei punti
Incidenza e parallelismo tra
coppie di rette
Rapporti tra le aree:
Area(F')
r = det( A) =
Area(F)
Il rapporto di affinità è il quadrato del rapporto di similitudine r = k 2 oppure il rapporto di
similitudine è la radice quadrata del rapporto di affinità: ossia k = r .
Un’isometria è una particolare similitudine in cui il rapporto di similitudine k vale 1: k = det( A) = 1 .
L’insieme delle affinità si può quindi così rappresentare e schematizzare.
Traslazioni
Simmetrie centrali
Rotazioni
Isometrie DIRETTE
Simmetrie assiali
Glissosimmetrie
Isometrie INDIRETTE
Si osserva che all'insieme delle affinità appartengono le similitudini e le isometrie come casi
particolari di affinità.
All'insieme delle similitudini appartengono le omotetie e le isometrie.
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9
a 2 + a′2 = b 2 + b′2
 x′ = ax + by + c
Un’affinità di equazioni 
è una similitudine se e solo se vale: 
.
 y′ = a′x + b′y + c′
 ab + a′b′ = 0
 x′ = ax − by + c
L’omotetia è una particolare similitudine diretta (si ottiene dall’equaz. 
con b = 0 )
′
′
y
=
bx
+
ay
+
c

a 2 + a′2 = b 2 + b′2 = 1
 x′ = ax + by + c
Un’affinità di equazioni 
è una isometria se e solo se vale: 
e
ab + a′b′ = 0
 y′ = a′x + b′y + c′

det(A)=±1.
Approfondimento
a 2 + a′2 = b 2 + b′2
a 2 + a′2 = b 2 + b′2 = 1
Da dove derivano le condizioni 
e 
per similitudini e
ab + a′b′ = 0
 ab + a′b′ = 0

isometrie???
1 
0 
I versori di un sistema di riferimento sono: i =   = (1;0 ) j =   = ( 0;1)
0
1 
Mediante l’applicazione di una trasformazione geometrica, la cui matrice dei coefficienti è
a b
A=
 , i versori si trasformano come segue.
 a′ b′
 a b   a b  1   a 
i′ = 
 ⋅ i =  a′ b′ ⋅ 0  =  a′ 
 a′ b′

    
 a b   a b  0  b 
j′ = 
 ⋅ j =  a′ b′ ⋅ 1  = b′
 a′ b′

    
 1 2
Esempio: A = 

 −1 1 
La matrice A dei coefficienti ci fornisce informazioni su come si trasformano i versori del sistema di
riferimento a seguito della trasformazione affine: le due colonne corrispondono alle componenti dei
a b
A=

trasformati dei versori fondamentali, cioè
 a′ b′ . Il quadrato di lato unitario individuato dai
i′ j ′
versori i e j viene trasformato nel parallelogramma che ha per lati i′ e j ′ . Nell’esempio della figura
l’area di questo parallelogramma è 3 che è proprio il valore del determinante della matrice della
trasformazione. Questo fatto vale in generale e lo si può provare.
a b
det ( A) =
= ab′ − a′b
a′ b′
L’area del parallelogramma nel quale si trasforma il quadrato di
lato unitario è uguale al valore assoluto del determinante della
matrice della trasformazione:
Area = det ( A )
Lavoro redatto dalla prof.ssa Fabbri Francesca
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Veniamo alle isometrie.
Per isometria due figure sono congruenti ed in particolare hanno la stessa area. Questo comporta che i
versori fondamentali i e j devono essere trasformati in modo da definire ancora un quadrato di lato
unitario. Ciò implica che sia det ( A ) = ±1 . Ciò però non basta. Affinché il parallelogramma dei versori
trasformati sia un quadrato di lato unitario occorre che i′ e j ′ siano perpendicolari e abbiano modulo 1.
a b
Data quindi la matrice della trasformazione A = 
 e i trasformati dei versori fondamentali
 a′ b′
i′= ( a; a′ ) e j ′ ( b; b′ ) occorre che sia:
a ′ b′
⋅ = −1 ossia ab = −a′b′ cioè: ab + a′b′ = 0 (condizione di perpendicolarità)
a b
Inoltre i′ = j ′ = 1 che significa: a 2 + a′2 = b 2 + b′2 = 1 , cioè: a 2 + a′2 = b 2 + b′2 = 1
(moduli dei versori fondamentali trasformati uguali a 1).
Affinché un’affinità sia una similitudine deve comunque valere la condizione di perpendicolarità
mentre basta che i moduli dei versori trasformati siano fra loro uguali.
Lavoro redatto dalla prof.ssa Fabbri Francesca
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