Interazione radiazione materia
Equazioni del LASER
Simone Cialdi
Outline
Processi fondamentali
Emissione ed assorbimento stimolati (teoria perturbativa al primo ordine)
Emissione spontanea (modello di Einstein)
Idea del LASER
Amplificazione (inversione di popolazione)
Saturazione del guadagno (guadagno = perdite)
Livelli energetici
Nd:YAG e Ti:Sa
(stato solido)
Rate equations
Condizione di soglia
Pout vs Pin
Emissione ed assorbimento stimolati
Assorbimento stimolato
radiazione
elettromagnetica
(fotoni)
dN 2
= B12 ρ ⋅ N1
dt
N2
Emissione stimolata
atomo
N2
hω
N1
dN 2
= − B21 ρ ⋅ N 2
dt
numero di atomi eccitati per unità di volume
ρ
densità di energia del campo elettromagnetico
Bij
costante
Il tempo caratteristico per avere un processo
stimolato è inversamente proporzionale alla
densità di energia del campo
Interazione di dipolo
(teoria perturbativa al primo ordine)
Breve richiamo teorico sui processi stimolati
dipolo
H = Ho − µ E
ψ (0)
stato
iniziale
campo
atomo imperturbato
interazione
atomo-radiazione
nella rappresentazione di interazione ottengo:
∂
ih ψ (t ) = V (t ) ψ (t )
∂t
V (t ) = e
i
H ot
h
(− µE )e
i
− H ot
h
t
1
Ψ (t ) = Ψ (0) + ∫ V (t1 ) Ψ (t1 ) dt1
ih 0
soluzione generale implicita
Stato iniziale
Questa approssimazione ha
senso se nel tempo t la
probabilità di trovare l’atomo su
stati diversi da quello di partenza
è molto piccola
t
1
Ψ (t ) = Ψ (0 ) + ∫ V (t1 ) Ψ (0) dt1
ih 0
soluzione approssimata al primo ordine
quanto vale t ?
Stato finale
ψ 2 Ψ (t )
2
=
1
h2
2
t
∫ ψ V (t )ψ (0) dt
2
1
1
∝ It ∝ ρ t
0
probabilità di salto tra
lo stato ground e lo stato
eccitato nel tempo t
V ∝E
ρ∝ E
intensità
densità di energia del
campo
2
Dunque la probabilità è proporzionale alla
densità di energia del campo
Ma nel caso del LASER l’interazione avviene per tempi lunghi e le
probabilità di eccitazione e di assorbimento non sono trascurabili
(perché allora si possono usare queste equazioni?)
Dephasing dovuto agli urti
(decoerenza)
urti con i fononi del reticolo o tra
la molecole.
Gli urti avvengono in tempi
piccoli rispetto a quelli relativi
alla delle popolazioni atomiche.
Ψ (t ) = α ψ 1 + β ψ 2
sovrapposizione coerente
decoerenza
ρ = P1 ψ 1 ψ 1 + P2 ψ 2 ψ 2
mistura statistica
Indicando con ∆τ il tempo di decoerenza, si può dire che dopo ∆τ è come
se l’atomo si scordasse del suo passato e si trova nello stato ground o
nello stato eccitato. Ovvero, l’evoluzione procede per piccoli step
temporali durante i quali l’approssimazione al primo ordine è valida.
Decadimento spontaneo
N2
B12
N1
B21
A
dN 2
= B12 ρ ⋅ N1
dt
dN 2
= − B21 ρ ⋅ N 2
dt
(modello di Einstein)
dN 2
= − A ⋅ N2
dt
decadimento spontaneo
Consideriamo il mezzo alla temperatura T (equilibrio termico) all’interno di una scatola con
pareti riflettenti. All’equilibrio si avrà che N1 e N2 sono costanti, quindi dovrà risultare:
A ⋅ N 2 + B21 ρ ⋅ N 2 = B12 ρ ⋅ N1
N2
 E − E1 
 hν 
= exp − 2
=
exp

−

N1
kT
kT




A
ρ=
 hν 
B12 exp 
 − B21
 kT 
Poiché i fotoni sono Bosoni deve valere la distribuzione di Bose-Einstein, quindi ricavo (per
ottenere il risultato devo porre a 0 il valore del potenziale chimico della distribuzione di B-E, infatti, il
potenziale chimico è dato dalla derivata dell’energia libera rispetto al numero di fotoni e l’energia libera ha
un minimo nella condizione di equilibrio)
3 3
B12 = B21
A 8π hν n
=
B
c3
Poiché non abbiamo quantizzato il campo per introdurre l’emissione spontanea
imponiamo la validità della distribuzione di Bose-Einstein
Principio di funzionamento del laser
accoppiatore
di uscita
(perdite)
specchio
gu
ad
mezzo attivo
(guadagno)
Nel LASER, all’equilibrio, abbiamo che:
guadagno = perdite:
ag
no
perdite
equilibrio
t
1) Se il guadagno è uguale alle perdite perché
il laser si accende? (evidentemente nella
fase di accensione il laser non è all’equilibrio
e il guadagno è superiore alle perdite)
2) E’ dunque necessario un processo di
saturazione del guadagno che porta il laser
all’equilibrio (guadagno=perdite)
Premessa
cavità
Campo elettromagnetico
“classico” (nel senso che non
introdurremo gli operatori a e a+)
ρ
I
F
φ
Livelli energetici quantizzati
densità di energia
c
intensità I = ρ
n
flusso di “fotoni”
Mezzo attivo
“quantistico”
indice di
rifrazione
I
F=
hν
numero di “fotoni” in cavità
N2
N1
N1, 2
hν
E2
E1
numero di atomi per unità
di volume
Amplificazione
(condizione per ottenere un guadagno)
spessore infinitesimo di materiale
ρ (z )
ρ (z + dz )
campo entrante
campo uscente
dz =
c
dt
n
numero di fotoni per unità di volume che vengono aggiunti (o sottratti) alla
radiazione entrante nell’unità di tempo a causa del passaggio nel mezzo
numero di fotoni per unità di volume
dΧ
= Bρ ( N 2 − N1 )
dt
emissione stimolata
dρ
= hν B ρ ( N 2 − N 1 )
dt
assorbimento stimolato
per ottenere amplificazione deve
essere:
N >N
2
ρ = hν Χ
1
dρ
n
= hν Bρ (N 2 − N1 )
dz
c
Amplificazione
(necessità di più di 2 livelli atomici)
E’ possibile ottenere la condizione
N 2 > N1
con due soli livelli atomici?
riprendiamo l’equazione relativa all’equilibrio termodinamico (pg. 7):
A ⋅ N 2 + Bρ ⋅ N 2 = Bρ ⋅ N1
Ovvero un mezzo in cui le popolazioni N2 e N1 dipendono dalla densità di energia ρ.
Da questa equazione ricaviamo il rapporto tra N2 e N1 in funzione di ρ:
N2
B
=
≤1
N1 A + B
ρ
quindi otteniamo sempre:
N 2 ≤ N1
Quindi con due soli livelli atomici coinvolti e una sola radiazione non possiamo ottenere
amplificazione
Inversione di popolazione
Introduciamo una radiazione di pompa e più livelli atomici
laser a 3 livelli:
laser a 4 livelli:
E3
Pompa
hν p
E2
hν
N 2 > N1
Yb : YAG
E1
hν p
Pompa
decadimento non radiativo
molto veloce
E4
E3
hν
N3 > N 2
E2
Nd : YAG
E1
I decadimenti indicati con le frecce tratteggiate sono decadimenti molto veloci (più veloci dei
decadimenti tra i livelli laser). Possiamo sempre considerare il livello 3 (laser a 3 livelli) e il livello 4
(laser a 4 livelli) vuoti. Nel caso del laser a 4 livelli possiamo considerare vuoto anche il livello 2. Nel
caso di un laser a 4 livelli si ottiene inversione di popolazione per qualsiasi potenza di pompa,
invece nel caso di in laser a 3 livelli è necessaria una certa potenza di soglia (esercizio).
Richiamo sulla sezione d’urto
Caso relativo all’Emissione stimolata
velocità
v=c/n
Nel seguito il
concetto di
sezione d’urto ci
sarà utile
fotoni
ρ
Χ=
hν
Numero di fotoni per unità di volume
Ricavo il tempo caratteristico dell’interazione:
σvτs = V
σ
sezione d’urto: area
messa a disposizione
dal bersaglio per
l’interazione
considerata
dove V deve contenere una sola particella, ovvero:
V=1/X
volume
tempo caratteristico
1/τs = Xvσ
Il tempo caratteristico è
inversamente proporzionale alla
sezione d’urto
Saturazione del guadagno
Cosa fa diminuire il guadagno mentre il laser tende all’equilibrio?
Considero un laser a 4 livelli.
assorbimento stimolato
N 3 (N 3 = 0)
N2
σ
Rp
τ
emissione
spontanea
emissione
stimolata
N 1 ( N1 = 0 )
N0
*
c ρ
Bρ = = σ
n hν
τs
1
Scrivo l’equazione per N2:
dN 2
1
= − Bρ N 2 − N 2 + B p ρ p N 0
dt
τ
Poiché N3=0 considero solo
l’assorbimento stimolato della pompa
e dico che tutta l’energia mandata su
N3 decade subito in N2.
Dalla definizione di sezione d’urto ricavo
subito*:
dN 2
σc
1
ρ N 2 − N2 + Rp
=−
dt
hν n
τ
Numero di atomi per unità di volume mandati sul
livello N2 nell’unità di tempo
Per un dato valore della densità di energia ρ ricavo:
Rp
N2 =
σc
1
ρ+
hν n
τ
L’emissione stimolata fa diminuire l’inversione di
popolazione e ciò fa diminuire il guadagno. Ovvero,
mentre ρ aumenta il guadagno diminuisce.
Vediamo l’equazione per il guadagno (da pg. 10):
coeff. di guadagno
dρ
n
= hν Bρ ( N 2 − N1 ) = σ N 2 ⋅ ρ = g ⋅ ρ
dz
c
Quindi per un dato valore di N2 abbiamo un guadagno esponenziale:
ρ (z ) = eσ N z ρ (0)
2
Dunque il coeff. di guadagno diminuisce all’aumentare della densità di energia:
g=
σ Rp
σc
1
ρ+
hν n
τ
Nel caso di un laser per una data potenza di pompa la ρ
aumenterà fino a rendere g uguale alle perdite
(guadagno=perdite)
L’equazione trovata per g risultà più leggibile se si sostituisce la densità di energia con la
fluenza (pg. 9)
ρc
F=
hν n
σ Rp
Numero di fotoni che attraversano l’unità di superficie nell’unità di
tempo
σ Rp
g0 = σ τ Rp
g0
g=
=
=
σc
1
1
F
ρ+
σF +
+1
hν n
τ
τ Fsat
Fsat =
1
στ
Guadagno per piccole
densità di energia
Fluenza di saturazione
La fluenza di saturazione è quella fluenza oltre la quale il guadagno diminuisce. Fsat è
tanto più piccola quanto più è grande la sezione d’urto per emissione stimolata e tanto
più grande (inefficiente) è l’emissione spontanea.
Da un altro punto di vista un mezzo attivo con Fs piccola necessità di una piccola
potenza di pompa per arrivare alla condizione in cui il guadagno è uguale alle
perdite e questo è un punto fondamentale per un LASER.
A questo punto abbiamo tutto il necesario per scrivere le equazioni del LASER, ma prima
è utile vedere più da vicino i livelli di due mezzi attivi molto importanti (Nd:YAG e Ti:Sa) e i
valori di σ e τ.
Nd:YAG
1
YAG → Y3 Al5O12 = (3Y2O3 + 5 Al2O3 )
2
circa l’1% degli ioni Y3+ vengono sostituiti con gli ioni Nd3+
( Xe) 4 f 4 5d 0 6s 2
Nd :
Struttura elettronica
dell’atomo e dello ione
Nd
3+
:
( Xe ) 4 f
3
i tre elettroni rimanenti nel 4f sono schermati dagli elettroni delle shell
complete del 5s e del 5p che sono più esterne
I livelli elettronici dello ione Nd3+ all’interno dello YAG sono molto simili a quelli dello ione
libero grazie all’effetto schermo. Inoltre, la piccola interazione tra gli elettroni del 4f e i fononi
del reticolo cristallino implica un tempo caratteristico di urto tra gli elettorni e i fononi grande
e dunque un piccolo allargamento di riga (si approfondirà nella lezione 3). La larghezza di
riga del Nd:YAG è di circa 150GHz a T ambiente.
Livelli energetici del Nd3+ nello YAG
Cm -1
notazione
spettrale
4
1064 nm
F5 2 , 2 H 9 2
800 nm
4
S 3 2 , 4 F7 2
730 nm
4
σ
I9 2
4
F3 2
4
I11 2
τ
Il picco di assorbimento è a 808nm. Può essere
pompato sia da diodi laser che da lampade
2 S +1
σ = 2.8 ⋅10 −19 cm 2
τ = 230 µ s
L’interzazione SL non rimuove la degenerazione su Jz. L’interzazione
con il reticolo la rimuove parzialmente (data la struttura ottaedrica
subiscono lo stesso shift energetico i livelli con lo stesso J z )
LJ
Stato fondamentale
4f
3 2
Nd 3+
1
0
-1 -2 -3
L = 3 + 2 +1 = 6
S=
1 1 1 3
+ + =
2 2 2 2
S P D F G H I
0 1 2 3 4 5 6
9
J = L−S =
2
(Titanio Zaffiro) Ti:Al2O3 anche chiamato Ti:Sa
Circa l’0.1% degli ioni Al3+ vengono sostituiti con gli ioni Ti3+
Ti : ( Ar )3d 4s
2
2
Ti : ( Ar )3d
3+
1
In questo caso l’elettrone del livello 3d è esterno ed interagisce fortemente con il
reticolo di Zaffiro
La forte interazione tra l’elettrone e i fononi
del reticolo determina una forte dipendeza
delle distanze di equilibrio tra ioni Ti e ioni O
dal livello elettronico.
Ovvero, la distanza di equilibrio aumenta
all’aumentare del livello elettronico.
Si tratta di un laser a 4 livelli: il livello
eccitato decade velocemente
(fononicamente) sul fondo della parabola
(potenziale armonico). Poi abbiamo un
decadimento radiativo su un livello fononico
eccitato ed infine un decadimento fononico
sul fondo della parabola ground.
Poiché le due parabole risultano shiftate orizzontalmente abbiamo un forte allargamento
dello spettro di assorbimento e dello spettro di emissione.
Ti:sa
Si ricava ciò dalla fig. precedente
considerando l’indeterminazione spaziale
dello stato sul fondo delle parabole
(oscillatore armonico quantistico nello stato
fondamentale)
Lo spettro di fluorescenza del
Ti:Sa è molto largo e ciò vuol dire
che questo mezzo attivo può
essere usato sia per realizzare un
laser tunabile tra 700 e 900nm sia
un laser impulsato al fs
(tecnologia Mode-Locker).
Solitamente il Ti:sa viene pompato dalla seconda armonica di un
Nd:YAG (1064nm/2=532nm), o da un laser ad Argon (laser a Gas) a
488nm.
Rispetto al Nd:YAG il
σ = 2.8 ⋅10 −19 cm 2
tempo di emissione
τ = 3.2µ s
spontanea è più piccolo e
dunque la fluenza di
saturazione è più alta
Rate equations (equazioni del LASER)
Ci serve un’equazione per l’inversione di popolazione e una per la densità di energia o
equivalentemente per il numero di fotoni in cavità. Da notare che il dephasing ci ha
permesso di scrivere delle equazioni con grandezze scalari, ovvero, non usiamo il vettore
campo elettrico (con la sua fase) ma solo la densità di energia.
Laser a 4 livelli
N 3 (N 3 = 0)
N 2 (N = N 2 )
Rp
σ
τ
N 1 ( N1 = 0 )
N0
σ Nd :YAG = 2.8 ⋅10 −19 cm 2
τ Nd :YAG = 230µ s
ρ e φ sono
proporzionali quindi lo
saranno anche B e B0
numero di fotoni
in cavità
1
 dN
 dt = R p − Boφ N − τ N
 dφ
1
 = Va Boφ N − φ
 dt
τc
guadagno
deve comparire un volume
perche φ non è una densità
perdite
Va è il volume del mezzo attivo in cui vengono generati i
fotoni (ovvero il volume coperto dalla radiazione)
Abbiamo bisogno di un modo per trovare il tempo caratteristico delle perdite
della cavità τc:
trasmittività
dell’accoppiatore
di uscita
perdite interne per singolo passaggio
∆
T
σ,N
la
L
Scrivo l’Intensità dopo un round-trip in cavità
tempo di round-trip
lunghezza del mezzo attivo
I (Trt ) = (1 − T )(1 − ∆) 2 e 2σ N la I (0 )
Le perdite interne e il guadagno vanno considerati 2 volte perché in un
round-trip ho un doppio passaggio (cavità lineare)
Definisco due coeff. di perdita
df
γ 1 = − ln (1 − T )
df
γ 2 = − ln (1 − ∆ )
E sostituisco nella precedente equazione:
I (Trt ) = e −γ 1 − 2γ 2 + 2σ N la I (0 ) ≈ (1 − γ 1 − 2γ 2 + 2σ N la )I (0 )
Ovvero, sto dicendo che la dinamica dell’intensità avviene su tempi più lunghi
rispetto a Trt (il quale tipicamente è dell’ordine dei ns)
I (Trt ) − I (0 ) = 2(− γ + σ N la )I (0 )
dI
I (Trt ) − I (0 ) = Trt = 2(− γ + σ N la )I (0 )
dt
df
γ=
γ1
2
+γ2
Per calcolare il tempo di RT dobbiamo considerare che il mezzo
attivo ha un indice di rifrazione n
Trt =
Leff = L + (n − 1)la
2 Leff
c
φ∝I
dφ cσ N la
cγ
=
φ−
φ
dt
Leff
Leff
dI cσ N la
cγ
=
I−
I
dt
Leff
Leff
perdite
guadagno
dφ
1
= Va Boφ N − φ
τc
dt
Pg.
21
Da cui si ricava:
Bo =
σcla
Va Leff
=
σc
Veff
τc =
Leff
γc
c  γ1
 1 1
=
 +γ2  = +
τ c Leff  2
 τ1 τ 2
1
esercizio
Verificare che nel caso di una cavità a ring abbiamo:
1
 dN
 dt = R p − Boφ N − τ N
 dφ
 = Va Boφ N − 1 φ
 dt
τc
c
(γ 1 + γ 2 )
=
τ c Leff
1
Trt =
Bo =
Cavità a ring
manca il 2
Leff
c
σc
Veff
uguale
Soglia di funzionamento del LASER
Considero il LASER all’equilibrio ovvero:
1
 dN
 dt = R p − Boφ N − τ N
 dφ
 = Va Boφ N − 1 φ
 dt
τc
dφ
dN
=0
=0
dt
dt
Se Rp è molto bassa il laser è spento e dunque
φ è zero. Dalla prima equazione ricaviamo:
dN
1
= Rp − N = 0
dt
τ
N = τ Rp
Ovvero N cresce linearmente con Rp
(ovvero con la potenza di pompa). Questo
finchè il laser è spento…
N
Rp
Se consideriamo la seconda equazione vediamo che ad un certo punto (facendo
crescere N) il guadagno diventa uguale alle perdite:
dφ
1
= Va Boφ N − φ = 0
dt
τc
guadagno
1
N=
τ c Va Bo
perdite
Dunque esiste un N soglia che corrisponde ad un Rp di soglia al quale il laser si accende
(ovvero quando il guadagno diventa uguale alle perdite). Una volta che il laser è
acceso N non cresce più all’aumentare di Rp ed il suo valore dipende solo dalle
perdite. Più le perdite sono alte e più abbiamo bisogno di un N elevato per
controbilanciarle.
N
Rp
Soglia
guadagno = perdite
(Attenzione) all’esame non dire cose del tipo: “il laser si accende quando l’emissione stimolata
diventa uguale all’emissione spontanea” perchè vorrebbe dire dover rifare l’esame
Dalla prima equazione, quando siamo sopra soglia (N costante) all’equilibrio ricaviamo:
dN
1
= R p − Boφ N − N = 0
dt
τ
1 
1 
φ=
 Rp − N 
B0 N 
τ 
Ovvero, dopo la soglia il numero di fotoni in cavità sale linearmente:
φ
Rp
N
Rp
Soglia
guadagno = perdite
Potenza di pompa
Nel seguito sarà importante sostituire a Rp una potenza e delle efficienze di pompaggio
Rp
σ
(N 3 = 0)
Rp è la densità di atomi eccitati dalla
pompa nell’unità di tempo:
N
Rp =
τ
1
dN 3
dE3
P3
=
=
dt
hν pVma dt
hν pVma
Volume del mezzo attivo dove è presente la
radiazione di pompa
( N1 = 0 )
Dove P3 è l’energia pompata sul livello 3
nell’unità di tempo. Questa potenza é
legata
alla
potenza
di
pompa
dall’efficienza di pompaggio:
P3 = η p Pp
Quindi è chiaro che Rp è proporzionale a Pp. Quando la pompa è un diodo laser invece di
una lampada si deve considerare il fatto che la potenza di pompa é a sua volta
proporzionale alla corrente I che scorre nel diodo. L’efficienza (lo vedremo meglio nella
terza lezione) dipende da vari fattori, ad esempio la sovrapposizione spettrale tra la pompa e
la riga di assorbimento del mezzo attivo.
Considerazioni sulla soglia di funzionamento
R pth =
N
τ
=
Ppth =
Veff
τ cτ Vaσc
hν p
γ
1
 Va  στ

η p 
 Vma 
S
S è l’area occupata dalla radiazione LASER nel mezzo attivo
Per ottenere una bassa soglia di funzionamento (basso pompaggio, piccolo
riscaldamento del mezzo attivo) il mezzo attivo deve avere un tempo di decadimento
spontaneo e una sezione d’urto di emissione stimolata alti (bassa fluenza di
saturazione)
Nel caso del Nd:YAG si ottiene:
 W 
Pp ( soglia ) ≈ 38 
2 
mm


γ
 Va 

η p 
 Vma 
(
S mm 2
)
Quando si progetta un laser si
deve partire dalla stima della
potenza necessaria per
accenderlo. Ciò implica una
stima di S e con S si progetta
la cavità.
Potenza di uscita del laser

1 
1 
1  Pp
N  τ Rp 

− 1 =
− 1
φ=
 Rp − N  =
B0 N 
τ  τB0 N  N
 τ B0  Pp th 
 df Leff S
Leff S  Pp

(
− 1 =
x − 1)
φ=
τ σc  Pp th  τ σc
La potenza di uscita si rivaca considerando il numero di fotoni che nell’unità di tempo
escono dall’accoppiatore di uscita e moltiplicando per l’energia di ognuno di questi:
hν
hνγ 1c
Pout =
φ=
φ
τ1
2 Leff
Tempo caratteristico delle perdite
dell’accoppiatore di uscita (pg. 24)
 hν  γ 1
Pout =   S (x − 1)
 τσ  2
La potenza di uscita aumenta con l’area ma non
con la lunghezza del mezzo attivo. Esercizio:
ragionare sulla fisica di ciò

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