Ottica geometrica Studio dei fenomeni dell’ottica che possono essere spiegati con semplici regole geometriche La riflessione 1. iˆ rˆ 2. Leggi della riflessione Raggio incidente, raggio riflesso e normale (perpendicolare) allo specchio nel punto di incidenza giacciono sullo stesso piano Angolo di incidenza iˆ e angolo di riflessione rˆ sono uguali tra loro. iˆ = rˆ Immagine formata da uno specchio S p iˆ rˆ 1. 2. q I Immagine speculare Lo specchio riflette i raggi luminosi uscenti dalla sorgente S I raggi escono dallo specchio lungo delle direzioni che si intersecano nel punto I Quindi i raggi escono come se fossero partiti dal punto I I è la immagine speculare di S I si trova lungo la perpendicolare inviata da S verso lo specchio I si trova a una distanza q dallo specchio identica alla distanza p di S dallo specchio Immagine virtuale S p iˆ rˆ q I L’immagine virtuale è individuata dalla intersezione dei prolungamenti dei raggi uscenti dallo specchio Quindi i raggi escono dallo specchio come se fossero partiti dalla immagine virtuale I Molti sistemi ottici formano immagini virtuali (oltre agli specchi, le lenti degli occhiali, la lente di ingrandimento, il microscopio) Per acquisire una immagine virtuale occorre un sistema ottico convergente come gli occhi o la macchina fotografica La rifrazione () sin iˆ =n sin (rˆ ) iˆ aria 1. acqua 2. rˆ Il fenomeno della rifrazione avviene quando la luce attraversa una superficie di separazione tra due mezzi trasparenti nei quali la velocità di propagazione è diversa (ad esempio aria – acqua) Leggi della rifrazione Raggio incidente, raggio rifratto e normale alla superficie di separazione nel punto di incidenza giacciono sullo stesso piano Il rapporto tra il seno dell’angolo di incidenza e il seno dell’angolo di rifrazione è costante. Questo rapporto prende il nome di indice di rifrazione. Questa legge è detta legge di Snell L’indice di rifrazione relativo α1 sin (α1 ) v1 = = n12 sin (α 2 ) v2 mezzo 1 velocità v1 mezzo 2 α2 velocità v2 v2 < v1 L’indice di rifrazione è legato alla velocità della luce nei due mezzi L’indice di rifrazione n12 (detto indice di rifrazione del secondo mezzo rispetto al primo) è uguale al rapporto tra le velocità della luce nei due mezzi L’indice di rifrazione n12 è tanto maggiore quanto minore è la velocità della luce nel secondo mezzo I mezzi con minore velocità sono indicati come mezzi più rifrangenti L’acqua è più rifrangente dell’aria Il raggio luminoso che passa dall’aria all’acqua si avvicina dalla normale L’indice di rifrazione assoluto α1 sin (α1 ) c = =n sin (α 2 ) v vuoto velocità c mezzo velocità v α2 v<c L’indice di rifrazione assoluto è l’indice di rifrazione relativo al vuoto L’indice di rifrazione assoluto è uguale al rapporto tra la velocità della luce nel vuoto e la velocità della luce nel mezzo considerato La velocità della luce nel vuoto è circa c = 3*108 m/s La velocità della luce nel vetro è circa v = 2*108 m/s L’indice di rifrazione assoluto del vetro è c 3 ⋅108 m / s n= = = 1,5 8 v 2 ⋅10 m / s La rifrazione acqua-aria sin (α1 ) v1 = = n12 sin (α 2 ) v2 α1 aria velocità v1 acqua velocità v2 α2 v2 <v1 Se la luce proviene dal mezzo più rifrangente (l’acqua) e va verso il mezzo meno rifrangente (l’aria) il raggio luminoso si allontana dalla normale La formula della legge di rifrazione (legge di Snell) assume sempre la stessa forma La immagine virtuale di un oggetto sotto l’acqua I S Gli oggetti posti sotto l’acqua appaiono in posizione diversa rispetto alla realtà La intersezione dei prolungamenti dei raggi luminosi individua la posizione della immagine virtuale I Chi osserva vede i raggi luminosi uscire dall’acqua come se fossero partiti dalla immagine I e non dalla sorgente S L’immagine I è spostata e ravvicinata alla superficie di separazione acqua-aria. Non solo rifrazione La rifrazione è sempre accompagnata dalla riflessione La intensità luminosa del raggio incidente (rappresentata nel disegno dallo spessore) si ripartisce tra la intensità del raggio rifratto e del raggio riflesso All’aumentare dell’angolo di incidenza diminuisce la intensità del raggio rifratto e aumenta la intensità del raggio riflesso, finché … S La riflessione totale vuoto o aria α1=90° α2=lim Al crescere dell’angolo di incidenza si arriva ad un condizione per la quale l’angolo di rifrazione raggiunge i 90° La intensità del raggio rifratto si azzera e la intensità del raggio riflesso è massima: è la condizione di riflessione totale L’angolo di incidenza prende il nome di angolo limite Il valore dell’angolo limite si ricava dalla legge della rifrazione sin (90°) 1 = =n sin (lim ) sin (lim ) vetro o acqua sin (lim ) = 1 1 ⇒ lim = arcsin n n Strumenti che sfruttano il fenomeno: il prisma a riflessione totale L’indice di rifrazione del vetro è circa 1,5 Calcolando il valore dell’angolo limite si ottiene: α=45° sin (lim ) = a) b) 1 1 ⇒ lim = arcsin = arcsin(0,666) = 41,81° n 1,5 Il raggio che incide sulla superficie inclinata forma un angolo di 45° che è maggiore dell’angolo limite Di conseguenza si ha riflessione totale Ci sono vantaggi rispetto agli specchi metallizzati: Non c’è deterioramento Non c’è sdoppiamento della immagine come negli specchi tradizionali Strumenti che sfruttano il fenomeno della riflessione totale: il binocolo 1. 2. Un sistema multiplo di prismi a riflessione totale è presente all’interno dei binocoli I prismi sono inseriti all’interno della impugnatura del binocolo Si ha un doppio effetto: Si allunga il percorso ottico e così si ha un ingrandimento maggiore L’immagine viene raddrizzata, senza i prismi apparirebbe rovesciata come nel cannocchiale Strumenti che sfruttano il fenomeno della riflessione totale: la fibra ottica, endoscopio La fibra ottica è un sottile in vetro, poiché è molto sottile è anche flessibile Gli endoscopi sono costituiti da un fascio di migliaia di fibre ottiche sottilissime Quando la luce entra nella fibra ottica colpisce le pareti interne formando angoli sempre superiori all’angolo limite, avviene il fenomeno della riflessione totale Quindi la fibra ottica funziona come guida di luce (Le fibre ottiche sono usate anche nelle lampade multicolori natalizie …) Lastra a facce piane e parallele α1 α '2 α2 α '1 Un raggio che attraversa una lastra a facce piane e parallele non viene deviato nella sua traiettoria Il raggio viene spostato in una direzione parallela a quella originaria Gli angoli α2 e α’2 sono uguali tra loro (angoli alterni interni …) Di conseguenza sono uguali tra loro anche gli angoli α1 e α’1 Il principio di Fermat Help! 1 2 3 4 5 Quale percorso farà il bagnino per andare a salvare la ragazza che sta annegando? Cercherà di ridurre il percorso in acqua perché la velocità nel nuoto è inferiore alla corsa sulla sabbia, quindi esclude i percorsi 1 2 3 Il percorso ottimale è 4 e non 5 perché il tragitto in acqua è simile ma il tratto 5 nella sabbia è molto maggiore Il bagnino fa un calcolo del percorso cui corrisponde il tempo minimo di percorrenza La rifrazione spiegata con il principio di Fermat sin (α1 ) v1 = sin (α 2 ) v2 x1 A y1 α1 aria acqua y2 α2 x2 B Il principio di Fermat afferma che: la luce per andare dal punto A al punto B segue il percorso a cui corrisponde il tempo minimo di percorrenza Occorre calcolare i tempi di percorrenza nei due mezzi, il tempo dipende dalla distanza percorsa e dalla velocità d d t = t1 + t 2 = 1 + 2 = v1 v2 x1 + y1 x + y2 + 2 v1 v2 2 2 2 2 Risolvendo matematicamente il problema si trova la legge di Snell Il raggio è più vicino alla normale nel mezzo dove la velocità della luce è minore La lente convergente S I La lente convergente è un sistema ottico in grado di far convergere in un punto I raggi luminosi uscenti da una sorgente luminosa S I raggi luminosi che attraversano la lente seguono le leggi della rifrazione Il punto I è detto punto immagine L’immagine fornita da una lente convergente è una immagine reale, perché i raggi luminosi uscenti dalla lente convergono effettivamente nella immagine La lente vìola il principio di Fermat? I raggi luminosi per andare GDO r1 I S r0 punto S al punto I compiono percorsi differenti. Il principio di Fermat afferma che la luce dovrebbe seguire un unico percorso: quello a cui corrisponde il tempo minimo di percorrenza In realtà tutti i raggi uscenti dal punto S e che convergono nel punto I impiegano lo stesso tempo. Il principio di Fermat è rispettato Il raggio r0 fa il percorso geometrico più breve ma attraversa lo spessore maggiore della lente che è fatta di vetro e nel vetro la luce ha velocità minore Il raggio r1 fa il percorso geometrico più lungo ma attraversa lo spessore sottile della lente, in conclusione i tempi di percorrenza di r0 e r1 sono uguali Elementi geometrici della lente: l’asse ottico C1 C2 La lente è individuata geometricamente dalla intersezione di due sfere La retta passante per i centri di curvatura delle due sfere è l’asse ottico principale della lente Elementi geometrici della lente: Il centro ottico della lente O Il centro ottico è un punto che ha una caratteristica particolare: i raggi passanti per esso non vengono deviati (ma solo spostati lateralmente) Se la lente è sottile si può considerare che il raggio non venga né deviato né spostato I raggi passanti per il centro ottico attraversano la lente come se fosse una lastra a facce piane e parallele. Punti caratteristici della lente: il fuoco S F f F 1. 2. I raggi luminosi che arrivano sulla lente da direzioni parallele all’asse ottico convergono in un punto detto fuoco La distanza tra centro ottico e fuoco è detta distanza focale ed è indicata con la lettera f Se la sorgente luminosa è molto lontana (si dice è posta all’infinito) i raggi arrivano sulla lente paralleli tra loro e convergono tutti nel fuoco Possiamo formulare due regole semplici: I raggi passanti per il centro ottico non vengono deviati I raggi paralleli all’asse ottico convergono nel fuoco Il potere diottrico S S I I Il potere diottrico, ovvero la capacità di far convergere i raggi, dipende dalle caratteristiche geometriche della lente e dal tipo di vetro utilizzato La unità di misura del potere diottrico è la diottria Il potere diottrico della lente è pari all’inverso della distanza focale espressa in metri f = 1m ⇒ PD = 1 diottria f = 2m ⇒ PD = 0,5 diottrie f = 0,5m ⇒ PD = 2 diottrie La lente divergente S I La lente divergente è un sistema ottico che fa allontanare tra loro (fa divergere) i raggi luminosi uscenti da una sorgente luminosa S e che hanno attraversato la lente I raggi luminosi escono dalla lente escono dalla lente come se provenissero da un punto I posto sulla intersezione dei prolungamenti L’immagine fornita da una lente divergente è una immagine virtuale Il fuoco della lente divergente S F f 1. F 2. I raggi luminosi che arrivano sulla lente da direzioni parallele all’asse ottico escono dalla lente come se provenissero da un punto detto fuoco virtuale La distanza tra centro ottico e fuoco è detta distanza focale ed è indicata con la lettera f Anche per la lente divergente possiamo formulare due regole semplici: I raggi passanti per il centro ottico non vengono deviati I raggi paralleli all’asse ottico escono dalla lente come se fossero partito dal fuoco virtuale Costruzione geometrica della immagine formata dalla lente convergente S F f 1. 2. La posizione della immagine I formata da una lente convergente viene individuata dal punto di intersezione di due raggi: Il primo raggio arriva sulla lente in direzione parallela all’asse ottico e prosegue passando per il fuoco Il secondo raggio passa per il centro ottico e prosegue senza essere deviato Tutti gli altri raggi uscenti da S convergono nel punto I I Costruzione della immagine di un oggetto esteso con la lente sottile q p f F Una lente sottile è schematizzata da un segmento con frecce agli estremi rivolte verso l’esterno La distanza dell’oggetto dalla lente è indicata con la lettera p La distanza della immagine dalla lente è indicata con la lettera q La costruzione della immagine dell’intero oggetto è ottenuta costruendo la immagine di ogni punto dell’oggetto, nel disegno è riportata solo la costruzione dell’estremità dell’oggetto L’immagine ottenuta è reale e capovolta L’immagine è ingrandita o rimpicciolita a seconda della posizione dell’oggetto Immagine rimpicciolita, ingrandimento G < 1 q y p f F y’ Le lenti convergenti sono utilizzate in molti strumenti ottici come lente obiettivo per produrre immagini reali Il proiettore cinematografico o il proiettore di diapositive forniscono una immagine reale ingrandita rispetto all’oggetto La macchina fotografica fornisce una immagine reale più piccola rispetto all’oggetto fotografato L’ingrandimento, indicato con al lettera G, è dato dal rapporto tra la dimensione dell’immagine e la dimensione dell’oggetto G = y’/y L’ingrandimento G dipende dalla distanza p dell’oggetto dalla lente Relazione tra p q f y y’ G formula dei punti coniugati q q-f y p y' q = y p y' q G= = y p f F I due triangoli rettangoli sono simili e i cateti sono proporzionali tra loro Il rapporto tra i cateti y’ e y corrisponde all’ingrandimento G Dalla proporzione risulta che l’ingrandimento è dato anche dal rapporto tra le distanze dell’immagine q e dell’oggetto p y’ Relazione tra p q f y y’ G formula dei punti coniugati q q-f y p f F y' q = dalla relazione precedente y p y' q − f q = = y f p q f q − = ⇒ f f p dividendo tutto 1 1 1 − = ⇒ f q p q q −1 = f p per q si ottiene : 1 1 1 = + f p q Dalle relazioni ricavate da due coppie di triangoli simili si ottiene la formula dei punti coniugati: 1 1 1 = + f p q y’ Ingrandimento in funzione della distanza p dell’oggetto 1 1 1 = + f p q 1 1 1 = + f 2f q 1 1 1 1 1 − = ⇒ = ⇒ f 2f q 2f q q = 2 f ⇒ q = p ⇒ G =1 p=2f ⇒ 1 1 1 = + f 4f q 1 1 1 3 1 − = ⇒ = ⇒ f 4f q 4f q 4 p 1 q= f ⇒q= ⇒ G= 3 3 3 p=4f ⇒ L’ingrandimento G = 1 se L’ingrandimento G < 1 se L’ingrandimento G > 1 se L’ingrandimento G tende Cosa succede se p < f ? 1 1 1 = + f f q 1 1 1 1 − = ⇒0= ⇒ f f q q 1 q= ⇒q=∞ ⇒ G =∞ 0 p= f ⇒ la distanza dell’oggetto la distanza dell’oggetto la distanza dell’oggetto a infinito se la distanza p = 2f p > 2f p < 2f dell’oggetto p = f Costruzione della immagine di un oggetto posto più vicino della distanza focale q p f f F f 1 1 1 1 2 1 ⇒ = + ⇒ − = ⇒ f 2 f q f f q 2 q − f 1 1 = − = ⇒ q =−f ⇒ G = ⇒ G = −2 f f q p 2 p < f ad es. p = 1. 2. 3. 4. Se l’oggetto è posto ad una distanza p inferiore alla distanza focale f , i raggi uscenti dalla lente sono divergenti, si incontrano i prolungamenti dei raggi L’immagine che si ottiene ha le caratteristiche: Virtuale Diritta Ingrandita Più lontana Dalla formula dei punti coniugati si ottiene che: q<0 - G<0 Costruzione della immagine formata da una lente divergente p q f 1. 2. 3. 4. Una lente sottile divergente è schematizzata da un segmento con frecce agli estremi rivolte verso l’interno I raggi uscenti dalla lente sono divergenti, si incontrano i prolungamenti dei raggi L’immagine che si ottiene ha le caratteristiche: Virtuale Diritta Più piccola Più vicina La formula dei punti coniugati per la lente divergente, fuoco virtuale: f < 0 p q La formula dei punti coniugati vale anche per le lenti divergenti, posto che la distanza focale è negativa: f<0 f 1 1 1 1 1 = + ⇒ + <0 ⇒ f p q p q fp 1 1 1 1 p− f = − ⇒ = ⇒ q = q f p q fp p− f fp < 0 ; p − f > 0 ⇒ q < 0 ; p − f > p ⇒ q < f q f G = = ⇒ G < 0; p− f > f ⇒ G <1 p p− f f < 0; p > 0⇒ Dalla formula dei punti coniugati si ricava che la posizione della immagine ha valore negativo: q < 0 Anche l’ingrandimento ha valore negativo: G < 0 Risulta anche che il valore assoluto di G è minore di 1, cioè risulta che l’ immagine è più piccola dell’oggetto Focalizzazione nell’occhio La focalizzazione della immagine sulla retina avviene per la combinazione di due sistemi ottici: 1. La cornea che agisce come una lente sferica (un diottro) 2. Il cristallino che accresce il potere di focalizzazione dell’occhio La regolazione del potere diottrico del cristallino consente di produrre una immagine reale sulla retina Potere di accomodamento del cristallino a b L’occhio è in grado di vedere distintamente oggetti posti a distanze diverse L’accomodamento del potere di convergenza avviene modificando il cristallino Per mettere a fuoco oggetti vicini il cristallino viene compresso dai muscoli ciliari aumentando il potere diottrico (a) Per mettere a fuoco oggetti lontani il cristallino viene allungato e i muscoli ciliari sono rilassati (b) Punto prossimo e punto remoto a b La distanza minima a cui può essere posto un oggetto per poter essere visto nitidamente è detta distanza del punto prossimo (a) La distanza massima a cui può essere posto un oggetto per poter essere visto nitidamente è detta distanza del punto remoto (b) Per l’occhio sano (persona emmetrope) la distanza del punto prossimo è di circa 20 cm Per l’occhio sano il punto remoto è posto all’infinito Punto remoto per la persona miope Distanza del punto remoto La persona miope ha il globo oculare allungato L’immagine si forma prima della retina con i muscoli ciliari rilassati e con il cristallino nella configurazione di minimo potere diottrico adattato per la visione di oggetti lontani (all’infinito) La distanza del punto remoto per la persona miope è ravvicinata Il miope non riesce a focalizzare sulla retina oggetti posti a distanza superiore alla distanza del punto remoto Lente correttiva per la persona miope: la lente divergente F Distanza del punto remoto La lente divergente forma immagini virtuali ad una distanza inferiore alla distanza focale La persona miope deve usare lenti divergenti con distanza focale uguale alla distanza del punto remoto L’immagine è più piccola ma più vicina, questi due effetti si compensano e la dimensione che si forma sulla retina è uguale a quella che si avrebbe per un occhio sano senza l’uso della lente divergente Punto prossimo per la persona ipermetrope Distanza del punto prossimo per la persona emmetrope Distanza del punto prossimo per la persona ipermetrope La persona ipermetrope ha il globo oculare compresso L’immagine si forma oltre la retina con i muscoli ciliari compressi e con il cristallino nella configurazione di massimo potere diottrico adattato per la visione di oggetti vicini, posti alla distanza del punto prossimo per l’emmetrope La distanza del punto prossimo per la persona ipermetrope è più lontana del normale L’ipermetrope non riesce a focalizzare sulla retina oggetti posti a distanza inferiore alla distanza del punto prossimo Lente correttiva per la persona ipermetrope: la lente convergente q p f f F La lente convergente forma immagini virtuali ad una distanza superiore alla distanza dell’oggetto La distanza della immagine è tanto maggiore quanto maggiore è il potere diottrico della lente (cioè minore distanza focale) L’immagine è più grande e più lontana: i due effetti si compensano Punto prossimo per la persona presbite Distanza del punto prossimo per la persona presbite La persona presbite ha il globo oculare normale ma ha i muscoli ciliari deteriorati Il presbite non è in grado di comprimere i muscoli ciliari per adattare la vista alla osservazione di oggetti vicini La distanza del punto prossimo per la persona presbite è più lontana del normale Il presbite non riesce a focalizzare sulla retina oggetti posti a distanza inferiore alla distanza del punto prossimo La presbiopia è un difetto della vista che compare oltre i 40-50 anni e peggiora con l’avanzare della età Lente correttiva per la persona presbite: la lente convergente q Presbite di 50 anni: f = 1 m p F f f q p q = distanza del punto prossimo f Presbite di 60 anni: f = 0,5 m f F La lente per la correzione della presbiopia è la lente convergente che allontana l’immagine Con l’avanzare dell’età il difetto peggiora e la distanza del punto prossimo aumenta Utilizzando lenti con distanza focale inferiore si ottiene una immagine a distanza maggiore Se p è la distanza a cui si pone il giornale da leggere, la distanza q alla quale si forma l’immagine deve corrispondere alla distanza del punto prossimo Calcolare il potere diottrico delle lenti per il presbite 1 1 1 = + f p q p = 0,3m : distanza dell' oggetto (il giornale) q = −1,2m : distanza della immagine virtuale 1 1 1 4 −1 3 = + = = ⇒ f 0,3m − 1,2m 1,2m 1,2m 1,2m f = = 0,4m 3 1 1 potere diottrico : PD = = = 2,5 D f 0,4m Il presbite vuole leggere il giornale tenendolo in mano alla distanza di circa 30 cm A causa della presbiopia la distanza del punto prossimo è di 1,2 m Occorre calcolare la distanza focale delle lenti da utilizzare per consentire al presbite di leggere il giornale Usando la formula dei punti coniugati si calcola la distanza focale e il potere diottrico Nel fare i calcoli occorre ricordare che la immagine è virtuale e quindi la distanza q è negativa Operazione chirurgica per la correzione della miopia Per curare in modo definitivo la miopia si può modificare il potere diottrico della cornea La cornea viene abrasa per renderla meno convergente e portare il raggio di curvatura al valore normale dell’occhio emmetrope In modo analogo ma con procedimento opposto si può curare la ipermetropia Non c’è un metodo chirurgico per curare la presbiopia
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