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La Dinamica
Problemi di Fisica
La dinamica
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PROBLEMA
Un corpo di massa m=240 kg viene spostato con una forza costante F=130 N su
una superficie priva di attrito per un tratto s=2,3 m. Supponendo che il corpo
inizialmente è in condizione di riposo, calcolare la velocità finale ed il tempo che
impiega per percorrere il tratto s.
SOLUZIONE
Diagramma delle forze
Dalla seconda legge della dinamica ricaviamo l’accelerazione:
F = m⋅a ⇒ a =
F 130
=
= 0,54m / s 2
m 240
Poiché si tratta di un moto uniformemente accelerato, applichiamo le relative leggi:
1 2
$
!s = s 0 + v 0 t + at
2
#
!"v f = v 0 + at
poiché V0 = 0 e S0 = 0 le relazioni diventano:
$ 1 2
!s = at
# 2
!"v f = at
Si tratta di un sistema di due equazioni in due incognite, t e Vf, le cui soluzioni sono:
$
2s
= 2,9s
!t =
a
!
#
!v = a ⋅ 2s = 1,58m / s
!"
a
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PROBLEMA
Un corpo di massa M = 2 kg si muove con velocità V = 3 m/s. Una forza diretta in
senso opposto al moto arresta il corpo dopo un tempo t = 1 s. Calcolare:
!
!
L’intensità della forza applicata
Lo spazio percorso dall’istante in cui viene applicata la forza
SOLUZIONE
!
Applichiamo il 2° principio della dinamica per calcolare la forza che arresta il corpo:
F = M ⋅ a = 2 ⋅ 3 = −6 N
dove
a=
VF − VI − 3
=
= −3m / s 2
t
1
La forza è negativa in quanto si oppone al moto fino ad arrestarlo.
!
Poiché si tratta di un moto uniformemente decelerato, lo spazio percorso nel tempo t=1s è
dato da:
1
1
s = VI ⋅ t − at 2 = 3 ⋅ 1 − ⋅ 3 ⋅ 12 = 1,5m
2
2
PROBLEMA
Un corpo di massa M=10 kg è in moto su un piano orizzontale che presenta un
coefficiente di attrito µ=0,2. Se all’istante t tale corpo possiede una velocità di 10
m/s, quanto vale l’intensità della forza che dobbiamo applicare da quell’istante in
poi perché il corpo continui a muoversi di moto rettilineo uniforme?
SOLUZIONE
Diagramma delle forze
Il quesito del problema trova la risposta nel:
1° principio della dinamica
! !
V = cos t ⇒ ∑ F = 0 ⇒ F − Fa = 0 ⇒ F = Fa = µ ⋅ R = µ ⋅ M ⋅ g = 0,2 ⋅10 ⋅ 9,8 = 19,6 N
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PROBLEMA
Un carico di 4 tonnellate viene sollevato da una gru alla velocità costante
v=0,5m/s. Tale velocità viene raggiunta in 0,5s. Calcolare la forza a cui è
sottoposto il cavo durante la fase di moto a velocità costante e durante la fase
iniziale di moto accelerato.
SOLUZIONE
" Fase di moto costante
Durante questa fase l’accelerazione è nulla, per cui il cavo (T=tensione del
cavo) deve sopportare solo la forza peso del carico (g=10m/s2). Pertanto, il
secondo principio diventa:
!
!
F = ma → T − P = 0 → T = P = mg = 4000 ⋅10 = 40.000 kg
dove: 1 tonnellata=1000kg
" Fase di moto accelerato
Adesso l’accelerazione è diversa da zero, per cui il 2° principio diventa:
!
!
F = ma → T − P = ma → T = P + ma = mg + ma = m(g + a) = 4000 ⋅ (10 +1) = 44.000 kg
dove:
a=
Δv 0, 5
=
= 1m / s 2
Δt 0, 5
PROBLEMA
Un corpo di massa M = 2 kg viene lanciato verso l’alto lungo un piano inclinato α
= 30° e con coefficiente di attrito µ = 0,4. Determinare la forza che bisogna
applicare al corpo affinché il moto lungo il piano inclinato sia uniforme
SOLUZIONE
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La Dinamica
Il quesito del problema trova la risposta nel:
1° principio della dinamica
V = cos t ⇒
!
!
∑F = 0 ⇒ F − F
a
− Px = 0 ⇒ F = Fa + Px = µ ⋅ Py + Px = µ ⋅ P ⋅ cos α + P ⋅ senα = P ⋅ (µ ⋅ cos α + senα) =
Mg ⋅ (µ ⋅ cos α + senα) = 2 ⋅ 9,8 ⋅ (0, 4 ⋅ cos30° + sen30°) = 16,6N
PROBLEMA
Un ciclista di massa m=70kg corre di moto rettilineo uniforme con velocità v=15
m/s. A un certo istante comincia ad agire sul ciclista una forza costante F=200N
che ne contrasta il moto. In quanto tempo si ferma e quale spazio ha percorso?
SOLUZIONE
Si tratta di un moto uniformemente accelerato (a negativa), regolato dalle seguenti leggi
orarie:
!
1
# s = s0 + v0 t + at 2
"
2
#v = v + at
$ f
0
L’accelerazione non è nota, ma possiamo calcolarla dal 2° principio della dinamica (teniamo
presente che F si oppone al moto):
−F = m ⋅ a ⇒ a = −
F
200
=−
= −2,85m / s 2
m
70
Quindi, le equazioni del moto diventano:
# s = 39, 5m
#
1
% s = 15t − ⋅ 2,85t 2
%
→ $
$
2
15
= 5, 25s
%&0 = 15 − 2,85t
%t =
& 2,85
PROBLEMA
Il coefficiente di attrito tra un corpo di massa M=20 kg ed il pavimento è µ=0,2.
Calcolare l’accelerazione impressa al corpo da una forza di 100 N inclinata di 60°
rispetto all’orizzontale, e la reazione vincolare.
SOLUZIONE
Diagramma delle forze
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La Dinamica
Il problema viene risolto applicando il secondo principio della dinamica, tenendo conto che si
tratta di una equazione vettoriale:
!
!
!
! $(∑ Fx = M ⋅ a $Fx − Fa = M ⋅ a
∑ F = M ⋅ a ⇒ # F! = 0! ⇒ #R + Fy − P = 0
("∑ y
"
Il sistema così ottenuto contiene le due incognite del problema, l’accelerazione a e la reazione
vincolare R. Risolto dà le seguenti soluzioni:
$R = P − Fy = Mg − F ⋅ senα = 20 ⋅ 9,8 − 100 ⋅ sen60° = 109N
!
#
Fx − Fa F ⋅ cos α − µ ⋅ R 100 ⋅ cos 60° − 0,2 ⋅109
=
=
= 1,5m / s 2
!a =
M
M
20
"
PROBLEMA
Un automobile avente la massa M=1600 kg percorre 80 m, prima di fermarsi, con
una forza frenante costante pari a 6250 N. Calcolare:
1.
2.
La velocità dell’automobile all’istante in cui inizia la frenata
Il tempo impiegato per fermarsi
SOLUZIONE
Innanzitutto calcoliamo la decelerazione, attraverso il 2° principio della dinamica,subita dalla
macchina durante la frenata:
!
!
F 6250
F = M⋅a ⇒ a =
=
= −3,9m / s 2
M 1600
Poiché si tratta di un moto uniformemente decelerato, applichiamo le rispettive leggi per
rispondere ai quesiti del problema:
!
1 2
1
2S
$S = V0t − at
⇒ S = at2 − at2 ⇒ 2S = 2at2 − at2 ⇒ 2S = at2 ⇒ t2 =
⇒t=
2
2
a
$V = at
' 0
1. &
2.
2S
=
a
2 ⋅ 80
= 6, 4s
3,9
V0 = 3,9 ⋅ 6,4 = 25m / s = 90km / h
PROBLEMA
Un elettrone viene sparato tra due piastre cariche con una velocità V=2·106 m/s.
Il campo elettrico tra le due piastre ostacola il moto dell’elettrone con una forza
F=4,8·10-17 N. Sapendo che la massa dell’elettrone è m=0,91·10-30 kg, calcolare la
distanza percorsa prima di essere arrestato dalla forza elettrica.
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SOLUZIONE
Innanzitutto calcoliamo la decelerazione subita dall’elettrone, attraverso il 2° principio della
dinamica:
!
!
F
4,8 ⋅ 10 −17
F=M⋅a ⇒a = =
= −5,3 ⋅ 1013 m / s 2
−30
M 0,91 ⋅ 10
Poiché si tratta di un moto uniformemente decelerato, applichiamo le rispettive leggi per
rispondere ai quesiti del problema:
$ V0
2 ⋅ 10 6
t
=
=
= 0,4 ⋅ 10 −7 s
!!
13
a
5,3 ⋅ 10
#
!S = V t − 1 at 2 = 2 ⋅ 10 6 ⋅ 0,4 ⋅ 10 −7 − 1 ⋅ 5,3 ⋅ 10 13 ⋅ (0,4 ⋅ 10 −7 ) 2 = 0,04 m = 4cm
0
!"
2
2
PROBLEMA
Un corpo di massa M viene lanciato lungo un piano inclinato (α=30°) con velocità
V=10 m/s. Se l’attrito tra corpo e piano è µ=0,2, determinare a quale altezza h,
rispetto all’orizzontale, si ferma il corpo.
SOLUZIONE
Innanzitutto calcoliamo la decelerazione, attraverso il 2° principio della dinamica, subita dal
corpo durante il moto lungo il piano inclinato:
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!
La Dinamica
!
∑F = M ⋅ a ⇒ − F
a
− Px = M ⋅ a ⇒ a =
−Fa − Px
=
−µ ⋅ Py − Px
=
−µ ⋅ P ⋅ cos α − P ⋅ senα P ⋅ (−µ cos α − senα)
=
=
M
M
M
M
/ ⋅ (−µ cos α − senα)
Mg
= −9,8 ⋅ (0,2 ⋅ cos30° + sen30°) = −6,6m / s2
/
M
Poiché si tratta di un moto uniformemente decelerato, applichiamo le rispettive leggi per
calcolare lo spazio percorso:
$ V0 10
!!t = a = 6,6 = 1,5s
#
!S = V t − 1 at 2 = 10 ⋅ 1,5 − 1 ⋅ 6,6 ⋅ 1,5 2 = 7,6m
0
!"
2
2
Da considerazioni di carattere trigonometrico calcoliamo l’altezza h alla quale il corpo si ferma:
h = S ⋅ senα = 7,6 ⋅ sen30° = 3,8m
PROBLEMA
Una massa M=3,3kg si muove su un piano con un coefficiente d’attrito µ=0.3,
secondo la direzione indicata in figura, sotto l’azione di una massa m=2,1kg.
Nell’ipotesi che la fune sia priva di massa e che la carrucola non introduce
nessun attrito, calcolare l’accelerazione e la tensione della corda.
SOLUZIONE
Applichiamo la seconda legge della dinamica ai due corpi, tenendo presente che l’accelerazione
è la stessa per le due masse in base alle ipotesi del problema:
CORPO M
!
#
!
F
! '∑ x = M ⋅ a #T − Fa = M ⋅ a
⇒ ∑ F = M⋅a = "
⇒"
'!∑ Fy = 0
! N − PM = 0
CORPO m
⇒ T − Pm = m ⋅ a
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Riuniamo le precedenti equazioni in un unico sistema di tre equazioni in tre incognite:
$T − Fa = M ⋅ a
!
# N − PM = 0
!T − P = −m ⋅ a
m
"
che risolto, darà le seguenti soluzioni:
$
! N = P = M ⋅ g = 3,3 ⋅ 9,8 = 32,3N
M
!!
#T = M ⋅ a + Fa = 3,1⋅ 2 + 0,3 ⋅ 32,3 = 15,9 N
!
10,9
!M ⋅ a + Fa − Pm = −m ⋅ a ⇒ 3,3a + 0,3 ⋅ 32,3 − 20,6 = −2,1a ⇒ 5,4a = 10,9 ⇒ a =
= 2m / s 2
!"
5,4
PROBLEMA
Dato il sistema di masse in figura, calcolare la loro accelerazione e la tensione
della fune, nell’ ipotesi che la fune non abbia massa e la carrucola sia priva di
attrito.
SOLUZIONE
Applichiamo la seconda legge della dinamica ai due corpi, tenendo presente che l’accelerazione
è la stessa per le due masse in base alle ipotesi del problema:
#T − PM = −M ⋅ a
"
!T − Pm = m ⋅ a
E’ un sistema di due equazioni in due incognite, che risolto dà le seguenti soluzioni:
$T − Mg = −M ⋅ a ⇒ T = Mg − Ma = 17 N
!
#
M−m
2
!"Mg − Ma − mg = ma ⇒ a ⋅ (M + m) = g ⋅ (M − m) ⇒ a = M + m ⋅ g = 3,6m / s
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PROBLEMA
Un passeggero di massa m=72.2 kg sta su una bilancia nella cabina di un
ascensore. Che cosa segna la bilancia quando l’accelerazione assume i valori dati
in figura?
SOLUZIONE
!
1° caso: a = 0
N − Mg = 0 ⇒ N = Mg = 72,2 ⋅ 9,8 = 708N
La bilancia segna il peso effettivo del passeggero
!
2° caso: a = -3,2 m/s2
N − Mg = −Ma ⇒ N = Mg − Ma = M ⋅ (g − a ) = 72,2 ⋅ (9,8 − 3,2) = 477 N
La bilancia segna un peso inferiore di 231 N ed il passeggero pensa di aver dimagrito 23,6 kg
(M = P/g= 231/9,8 = 23,6 kg)
!
3° caso: a = 3,2 m/s2
N − Mg = Ma ⇒ N = M ⋅ (g + a ) = 72,2 ⋅ (9,8 + 3,2) = 939N
La bilancia segna un peso superiore di 231 N ed il passeggero pensa di aver ingrassato 23,6 kg
(M = P/g= 231/9,8 = 23,6 kg)
PROBLEMA
Calcolare la velocità di un’auto nell’istante in cui effettua una frenata,
supponendo che la “strisciata” dei pneumatici sull’asfalto sia di 290 m ed il
coefficiente di attrito dinamico µD=0.60.
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SOLUZIONE
Applicando le equazioni del moto uniformemente accelerato si ottiene:
1 2
%
"s = v 0 t − at
⇒ V0 = 2as
2
$
"#v f = v 0 − at
essendo vf = 0
Il valore dell’accelerazione lo ricaviamo applicando il 2° principio della dinamica:
− Fa = −Ma ⇒ a =
Fa µ D M
/g
=
= µD ⋅ g
M
M
/
In definitiva:
v 0 = 2µ D ⋅ g ⋅ s = 210Km / h
PROBLEMA
Dato il sistema in figura (m=14kg α=30°) calcolare il coefficiente di attrito
dinamico tra la massa m ed il piano inclinato nell’ipotesi che le masse si muovano
di moto uniforme.
SOLUZIONE
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!
La Dinamica
2° principio della dinamica applicato alla massa M :
!
!
!
! #&∑ Fx = M ⋅ a #T − Fa − Px = 0
∑ F = M ⋅ a ⇒ " F! = 0! ⇒ "N − Py = 0
&!∑ y
!
!
dove a = 0 perché v = costante
2° principio della dinamica applicato alla massa m :
!
!
∑ F = m⋅a ⇒ T − P
m
=0
dove a = 0 perché v = costante
Riuniamo le precedenti equazioni in un unico sistema:
$T − Fa − Px = 0
!
#N − Py = 0
!
"T − Pm = 0
Sapendo che Px = P·senα
e
Py = P·cosα il sistema ammetterà le seguenti soluzioni:
$T = m ⋅ g = 14 ⋅ 9,8 = 137 N
!
#Fa = T − Px = T − Mgsenα = 137 − 14 ⋅ 9,8 ⋅ sen30° = 68 N
!N = P = Mg cos α = 14 ⋅ 9,8 ⋅ cos 30° = 119N
y
"
Pertanto il coefficiente di attrito dinamico sarà:
Fa = µ D N ⇒ µ D =
Fa
68
=
= 0,57
N 119
PROBLEMA
Dato il sistema in figura formato dalle masse M=M1=M2=2 kg e da un piano
inclinato (α=30°) privo di attrito, determinare:
1.
2.
3.
L’accelerazione delle masse
La tensione della fune, supposta inestensibile
La reazione vincolare del piano inclinato
SOLUZIONE
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Il problema viene risolto applicando il secondo principio della dinamica a ciascuna massa e
tenendo conto che sono equazioni vettoriali e come tali scomponibili lungo gli assi cartesiani.
Inoltre, in base alle ipotesi del problema, l’accelerazione è la stessa per le due masse così
come la tensione della fune.
CORPO M1
!
!
! #'∑ Fx = M ⋅ a #T − Px = M ⋅ a
⇒ ∑ F = M⋅a = "
⇒"
'!∑ Fy = 0
!R − Py = 0
CORPO M2
⇒ ∑ Fy = M ⋅ a ⇒T − P = −M ⋅ a
NOTARE: Abbiamo ipotizzato che la massa M2 si muove verso il basso, ed in base al sistema di riferimento
scelto la sua accelerazione è un vettore negativo, e quindi la massa M1 si muove verso l’alto lungo il piano
inclinato, ed in base al sistema di riferimento scelto la sua accelerazione è un vettore positivo.
Riuniamo le precedenti equazioni in un unico sistema, ottenendo così un sistema di tre
equazioni in tre incognite, che sono quelle poste come quesito dal problema:
$T − Px = M ⋅ a
!
#R − Py = 0
!
"T − P = −M ⋅ a
Risolviamo il sistema con il metodo di sostituzione, ricavando l’incognita T dalla prima
equazione e sostituendola nella terza equazione otteniamo il valore dell’accelerazione:
" T = Px + M ⋅ a
#
/ ⋅ (1 − senα)
P − Px
P − P ⋅ senα P ⋅ (1 − senα) Mg
#
=
=
=
= 2, 45m / s2
'Px + M ⋅ a − P = −M ⋅ a ⇒ 2M ⋅ a = P − Px ⇒ a =
/
2M
2M
2M
2M
#
#R − Py = 0
(
A questo punto le altre incognite sono facilmente calcolabili:
$T = P ⋅ senα + M ⋅ a = Mg ⋅ senα + M ⋅ a = M ⋅ (g ⋅ senα + a ) = 2 ⋅ (9,8 ⋅ sen30° + 2,45) = 14,7 N
!
2
#a = 2,45m / s
!R = P = P ⋅ cos α = Mg ⋅ cos α = 2 ⋅ 9,8 ⋅ cos 30° = 17 N
y
"
Conclusione: La massa M2 si muove verso il basso perché il valore trovato, essendo
positivo, è in accordo con l’ipotesi fatta.
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PROBLEMA
Un corpo di massa M=75kg viene tirato, a velocità costante, con una fune
inestensibile con un angolo α=42° rispetto alla direzione di moto. Supponendo
che il coefficiente di attrito dinamico è µD=0.1, calcolare la tensione della fune.
SOLUZIONE
2° PRINCIPIO DELLA DINAMICA APPLICATO AL CORPO M
!
!
%"∑ Fx = 0
! !
∑ F = 0 ⇒ $ F! = 0!
"#∑ y
a = 0 perché V = cost
Il sistema diventa:
#T2 − Fa = 0
#T ⋅ cos α − Fa = 0
⇒"
"
!N + T1 − P = 0 !N + T ⋅ senα − P = 0
dove: T1 = T·sinα T2 = T·cosα Fa = µDN = µDMg
P = Mg
Il sistema, così ottenuto, nelle incognite T e N, ammette le seguenti soluzioni:
µ D Mg
$
= 91N
!T =
cos α + µ D senα
#
! N = Mg − Tsenα = 670N
"
PROBLEMA
La figura rappresenta un’automobile di massa M=1600kg che viaggia a velocità
costante v=20m/s su una pista piana e circolare di raggio R = 190m.
!
!
Qual è il valore minimo del coefficiente di attrito tra i pneumatici ed il terreno
che impedisce alla macchina di slittare verso l’esterno?
Se la curva è sopraelevata, a quale angolo dovrà essere inclinato il fondo
stradale per garantire la tenuta di strada senza l’ausilio della forza di attrito?
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SOLUZIONE
Diagramma delle forze
!
PRIMO CASO
2° PRINCIPIO DELLA DINAMICA APPLICATO AL CORPO M
dove
P = Mg
ac = v2/R
Fa = µDN = µDMg
!
!
#'∑ Fx = 0 #Fa = M ⋅ a c
!
⇒ ∑F = M ⋅ ac ⇒ " !
!⇒"
'!∑ Fy = 0 ! N − P = 0
Pertanto:
µD ⋅M
/ ⋅g = M
/
!
v2
V2
20 2
⇒ µD =
=
= 0,21
R
g ⋅ R 9,8 ⋅190
SECONDO CASO
2° PRINCIPIO DELLA DINAMICA
dove: N1 = N·cosα
!
!
#(∑ Fx = 0 # N 2 = M ⋅ a c
!
# N ⋅ senα = M ⋅ a C
⇒ ∑ F = M⋅ac ⇒ " !
⇒"
!⇒"
! N ⋅ cos α = M ⋅ g
(!∑ Fy = 0 ! N 1 − P = 0
N2 = N·senα
P = Mg
ac = v2/R
Dividendo membro a membro le equazioni del sistema, otteniamo:
a
/g
g
N
V2
20 2
/ cos α M
=
⇒ ctgα =
⇒ tgα = c =
=
= 0,21 ⇒ α = 12°
N
/ ac
ac
g g ⋅ R 9,8 ⋅190
/ senα M
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PROBLEMA
Un veicolo compie un giro della morte su una pista circolare, di raggio R=3 m,
disposta in un piano verticale. Qual è la minima velocità che il veicolo deve avere
nel punto più alto della pista?
SOLUZIONE
2° PRINCIPIO DELLA DINAMICA APPLICATO AL CORPO M
dove P = Mg
!
!
⇒ ∑ F = M⋅a ⇒ N + P = M⋅ac
ac = v2/R (accelerazione centripeta)
Se il veicolo è nella condizione di perdere contatto con la pista, allora N = 0, per cui la legge
diventa:
v2
P = M⋅ac ⇒ M
/ g=M
/
⇒ V = g ⋅ R = 9,8 ⋅ 3 = 5,4m / s
R
Per essere certi che il veicolo non perda contatto con la pista nel punto più alto, la velocità
deve essere maggiore di 5.4 m/s.
PROBLEMA
Dato il sistema in figura, calcolare
l’accelerazione e le tensioni delle
funi.
SOLUZIONE
Disegniamo il diagramma delle forze per
ciascun corpo:
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Applichiamo il 2° principio della dinamica a ciascun corpo:
M 1 ⇒ P1 − T1 = M 1 ⋅ a
#T − T2 = M 2 ⋅ a
M2 ⇒ " 1
!R 2 − P2 = 0
#T2 = M 3 ⋅ a
M3 ⇒ "
!R 3 − P3 = 0
Raccogliamo in un unico sistema le equazioni utili ai fini del problema:
$P1 − T1 = M 1 ⋅ a
!
#T1 − T2 = M 2 ⋅ a
!T = M ⋅ a
3
" 2
Sommiamo membro a membro le tre equazioni:
P1 − T/ 1 + T/ 1 − T/ 2 + T/ 2 = (M1 + M 2 + M 3 ) ⋅ a
Dall’equazione così ottenuta calcoliamo l’accelerazione delle masse:
a=
P1
M1
4
=
⋅g =
⋅ 9,8 = 4,9m / s 2
4
+
1
+
3
M
M
∑ ∑
Le tensioni delle funi, di conseguenza, sono:
T1 = P1 − M 1 ⋅ a = M 1 ⋅ g − M 1 ⋅ a = M 1 ⋅ (g − a ) = 4 ⋅ (9,8 − 4,9) = 19,6 N
T2 = M 3 ⋅ a = 3 ⋅ 4,9 = 14,7 N
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PROBLEMA
Dato il sistema in figura (M1=3 kg e M2=4 kg)
calcolare:
•
le accelerazioni e la tensione delle funi,
nell’ipotesi che la fune sia inestensibile e
priva di massa e le carrucole non
abbiano dimensioni e siano prive di
massa;
•
la condizione di equilibrio del sistema.
SOLUZIONE
Sia la massa M1 a cadere verso il basso. L’ipotesi fatta è ininfluente ai fini della
risoluzione del problema.
IPOTESI:
!
Applichiamo il 2° principio della dinamica alle due masse:
!$P − T = M1 ⋅ a1
$!P1 − T = M1 ⋅ a1
⇒&1
&
$'−T − T + P2 = −M2 ⋅ a2
$'2T − P2 = M2 ⋅ a2
Notiamo:
•
per le ipotesi fatte sulla fune, le tensioni in gioco sono tutte uguali;
•
le accelerazioni dei due corpi sono diverse; infatti se M1 si muove di un tratto ΔL verso il
basso, poiché la fune è inestensibile, tale tratto di fune dovrà essere sottratto al tratto di
fune che avvolge la carrucola 2. Questo tratto sarà quindi ottenuto prelevando un tratto
ΔL/2 a sinistra e a destra della carrucola 2. Allora la velocità V1 = ΔL/ Δt di M1 è doppia
rispetto alla velocità V2 = ΔL/2 Δt di M2 e analogamente per le accelerazioni otteniamo:
a1 = 2·a2
Fatte queste considerazioni, risolviamo il sistema di equazioni:
#$P1 − T = 2M1 ⋅ a2
#$T = P1 − 2M1 ⋅ a2
⇒&
&
$'2P1 − 4M1 ⋅ a2 − P2 = M2 ⋅ a2
'$2T − P2 = M2 ⋅ a2
La seconda equazione del sistema contiene l’unica incognita a2:
M2 ⋅ a2 + 4M1 ⋅ a2 = 2P1 − P2 ⇒
(4M1 + M2 ) ⋅ a2 = 2P1 − P2 ⇒ a2 =
2P1 − P2
2M1g − M2g 2M1 − M2
2⋅3 − 4
=
=
⋅g =
⋅ 9,8 = 1,23m / s2
4M1 + M2
4M1 + M2
4M1 + M2
4⋅3 + 4
A questo punto è semplice calcolare a1 e T:
a1 = 2 ⋅ 1,23 = 2, 45m / s2
T = M1 ⋅ g − 2M1.a2 = M1 ⋅ (g − 2a2) = 3 ⋅ (9,8 − 2 ⋅ 1,23) = 22N
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La Dinamica
Poiché a1 è positiva, l’ipotesi fatta è giusta, cioè M1 cade verso il basso e M2 si muove verso
l’alto. Se a1 fosse stata negativa, il problema sarebbe stato risolto nello stesso modo, ma
avremmo concluso che M1 si muove verso l’alto e M2 verso il basso.
!
L’equilibrio si ottiene se a1 = 0 cioè:
a1 = 2⋅
2P1 − P2
= 0 ⇒ 2 ⋅ (2P1 − P2 ) = 0 ⇒ 2P1 = P2 ⇒ 2M 1 g/ = M 2 g/ ⇒ M 2 = 2M 1
4M 1 + M 2
PROBLEMA
Dato il sistema di masse in figura, calcolare l’accelerazione e la tensione della
fune, nell’ipotesi che sia priva di massa ed inestensibile.
SOLUZIONE
IPOTESI:
M1 scende M2 sale
Tenendo conto del diagramma
delle forze, il 2° principio della
dinamica applicato alle due
masse diventa:
#P1x − Fa1 − T = M1 ⋅ a
M1 ⇒ "
!R 1 − P1y = 0
#T − Fa 2 − P2 x = M 2 ⋅ a
M2 ⇒ "
!R 2 − P2 y = 0
Le equazioni che servono a rispondere ai quesiti del problema sono:
#P1x − Fa1 − T = M 1 ⋅ a
"
!T − Fa 2 − P2 x = M 2 ⋅ a
Risolviamo il sistema con il metodo di riduzione, per cui, sommando membro a membro le due
equazioni otteniamo un’equazione in una sola incognita:
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La Dinamica
P1x − Fa1 − T/ + T/ − Fa2 − P2x = M1a + M2a ⇒ (M1 + M2 ) ⋅ a = P1 ⋅ senβ − µ1 ⋅ P1 ⋅ cos β − µ2 ⋅ P2 ⋅ cos α − P2 ⋅ senα ⇒
(M1 + M2 ) ⋅ a = P1 ⋅ (senβ − µ1 ⋅ cos β) − P2 ⋅ (µ2 ⋅ cos α + senα) ⇒ a =
P1 ⋅ (senβ − µ1 ⋅ cos β) − P2 ⋅ (µ2 ⋅ cos α + senα)
=
M1 + M2
3 ⋅ 9,8 ⋅ (sen45° − 0, 4 ⋅ cos 45°) − 1 ⋅ 9,8 ⋅ (0,2 ⋅ cos 60° + sen60°)
= 0,75m / s2
3+1
Poiché l’accelerazione è positiva, l’ipotesi fatta è giusta, cioè M1 cade verso il basso e M2 si
muove verso l’alto. Se a fosse stata negativa, il problema sarebbe stato risolto nello stesso
modo, ma avremmo concluso che M1 si muove verso l’alto e M2 verso il basso.
Nota l’accelerazione possiamo calcolare dalla prima equazione del sistema la tensione della
fune:
T = P1x − Fa1 − M1 ⋅ a = M1g ⋅ senβ − µ1 ⋅ M1g ⋅ cos β − M1 ⋅ a = M1g ⋅ (senβ − µ1 ⋅ cos β) − M1 ⋅ a =
3 ⋅ 9,8 ⋅ (sen 45° − 0,4 ⋅ cos 45°) − 3 ⋅ 0,75 = 10,22 N
PROBLEMA
Un corpo di massa M=1kg sia poggiato su un piano inclinato con coefficiente di
attrito statico µS=0,5 e coefficiente di attrito dinamico µD=0,3. Si supponga di
sollevare lentamente il piano variando l’angolo α. Calcolare:
!
per quale valore di α il corpo comincia a scivolare
!
con quale accelerazione il corpo si muove in corrispondenza dell’angolo α
SOLUZIONE
!
Un punto materiale è in equilibrio se la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono su di
esso è nulla:
CONDIZIONE DI EQUILIBRIO
!
!
! ! $!∑ Fx = 0
∑ F = 0 ⇒ # F! = 0!
!"∑ y
Utilizziamo la prima equazione per calcolare l’angolo in corrispondenza del quale il corpo
comincia a scivolare:
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La Dinamica
Px = Fa ⇒ P/ ⋅ senα = µ S ⋅ P/ ⋅ cos α ⇒ µ s =
!
senα
= tgα ⇒ tgα = 0,5 ⇒ α = 27°
cos α
Quando il corpo comincia a scivolare, la forza d’attrito diminuisce perché il coefficiente
d’attrito diventa quello dinamico, per cui, applicando il 2° principio della dinamica,
l’accelerazione si calcola come:
Px − FaD P ⋅ senα − µ D ⋅ P ⋅ cos α M
/ g ⋅ (senα − µ D ⋅ cos α)
=
=
=
M
M
M
/
9,8 ⋅ (sen 27° − 0,3 ⋅ cos 27°) = 1,8m / s 2
Px − FaD = M ⋅ a ⇒ a =
PROBLEMA
Calcolare l’accelerazione del sistema di masse rappresentato in figura:
SOLUZIONE
Applichiamo il secondo principio della dinamica alle singole masse:
!
!
!
! #'∑ Fx = M 1 ⋅ a #P1x − F1a = M 1 ⋅ a
M1 ⇒ ∑ F = M1 ⋅ a = "
⇒"
'!∑ Fy = 0
!R 1 − P1 y = 0
!
!
!
! #'∑ Fx = M 2 ⋅ a #P2 x − F2a = M 2 ⋅ a
M2 ⇒ ∑ F = M2 ⋅ a = "
⇒"
'!∑ Fy = 0
!R 2 − P2 y = 0
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La Dinamica
Poiché il corpo M2 ha una massa ed un coefficiente d’attrito maggiori rispetto al corpo M1, la
forza d’attrito che agisce su M2 è maggiore rispetto a quella che agisce su M1, per cui M2,
frenando il moto di M1, fa sì che il blocco di masse si muova insieme lungo il piano inclinato.
Pertanto, sommando membro a membro le prime equazioni dei due sistemi otteniamo un’unica
equazione nell’incognita “a”:
P1x − Fa1 + P2x − Fa2 = (M1 + M2 ) ⋅ a ⇒ a =
P1x + P2x − Fa1 − Fa2 P1 ⋅ senα + P2 ⋅ senα − µ1 ⋅ P1y − µ2 ⋅ P2y
=
=
M1 + M2
M1 + M2
P1 ⋅ senα + P2 ⋅ senα − µ1 ⋅ P1 ⋅ cos α − µ2 ⋅ P2 ⋅ cos α P1 ⋅ (senα − µ1 ⋅ cos α) + P2 ⋅ (senα − µ2 ⋅ cos α)
=
=
M1 + M2
M1 + M2
5 ⋅ 9,8 ⋅ (sen30° − 0,15 ⋅ cos 30°) + 10 ⋅ 9, 8 ⋅ (sen30° − 0,30 ⋅ cos 30°)
= 2,78m / s2
5 + 10
PROBLEMA
Calcolare il periodo di oscillazione e la pulsazione di una
molla che viene allungata di 0,4 m da una massa di 1 kg.
SOLUZIONE
Le forze in gioco sono la forza elastica e la forza peso, per
cui applicando il 2° principio della dinamica calcoliamo la
costante elastica della molla che serve per calcolare il
periodo di oscillazione:
Fe = M ⋅ a ⇒ −k ⋅ x = M ⋅ g ⇒ k =
M ⋅ g 1⋅ 9,8
=
= 24,5N / m
x
0,4
Pertanto:
T = 2π ⋅
M
1
= 2π ⋅
= 1,3s
k
24,5
ω=
2π 2π
=
= 5rad / s
T 1,3
PROBLEMA
Una strada presenta una curva di raggio R=100 m. Supponendo che il coefficiente
di attrito fra le ruote di un’auto e la strada sia µ=0,5, calcolare la massima
velocità affinché la curva sia percorsa senza sbandare.
SOLUZIONE
La forza che permette all’auto di percorrere la curva senza sbandare è la forza centripeta, che
in questo caso coincide con la forza d’attrito, per cui il 2° principio della dinamica diventa:
Fc = M ⋅
V2
V2
⇒ µ⋅M
/g=M
/ ⋅
⇒ V = µRg = 0,5 ⋅ 100 ⋅ 9,8 = 22 m / s = 80km / h
R
R
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La Dinamica
PROBLEMA
Un corpo di massa 1 kg si muove di moto armonico con ampiezza 10 cm. Sapendo che il valore
massimo dell’accelerazione è 3,94 m/s2, calcolare la frequenza del moto e la forza agli estremi
di oscillazione.
SOLUZIONE
Per calcolare la frequenza del moto armonico ci serve il valore della pulsazione che si calcola
attraverso la formula dell’accelerazione del moto armonico:
a = −ω 2 x ⇒ ω =
a
3,94
=
= 6,3rad / s
x
0,1
per cui:
ω = 2πf ⇒ f =
ω
= 1Hz
2π
Dal 2° principio della dinamica calcoliamo la forza agli estremi di oscillazione:
F = M ⋅ a = 1⋅ 3,94 = 3,94 N
PROBLEMA
Un corpo di massa M = 4 kg oscilla sotto l’azione di due molle aventi costanti
elastiche K1 = 200 N/m e K2 = 150 N/m. Calcolare il periodo di oscillazione del
sistema.
SOLUZIONE
Sia durante la fase di compressione che di allungamento di entrambe le molle, la massa M sarà
sottoposta sempre a due forze elastiche concordi, per cui il 2° principio della dinamica diventa:
F1e + F2e = M ⋅ a ⇒ −k 1 x − k 2 x = M ⋅ a ⇒ −(k 1 + k 2 ) ⋅ x = M ⋅ a
Sapendo che a = ω2·x abbiamo che:
− (k 1 + k 2 ) ⋅ x/ = −Mω 2 x/ ⇒ ω =
k1 + k 2
M
per cui l’oscillazione del sistema è:
ω=
2π
2π
M
4
⇒T=
⇒ 2π
=
= 0,67s
T
ω
k1 + k 2
200 + 150
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La Dinamica
PROBLEMA
Un pendolo semplice di lunghezza L = 1 m porta
all’estremità una pallina di massa M = 100 g. Quando
il filo forma con la verticale un angolo di 45° la pallina
ha un’accelerazione centripeta di 4 m/s2. Calcolare la
velocità della pallina e la tensione del filo nella
posizione considerata.
SOLUZIONE
Dalla formula dell’accelerazione centripeta
velocità della pallina come formula inversa:
calcoliamo
la
V2
ac =
⇒ V = a c ⋅ L = 4 ⋅ 1 = 2m / s
L
Dal 2° principio della dinamica calcoliamo la tensione della fune:
T − Py = M ⋅ a c ⇒ T = Py + M ⋅ a c = Mg ⋅ cos α + M ⋅ a c = M ⋅ (g ⋅ cos α + a c ) = 0,1⋅ (9,8 ⋅ cos 45° + 4) = 1,09 N
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