Esercizi energia, quantità di moto ed urti - E

Esercizio
Un ragazzo di massa 50 kg si lascia scendere da una pertica alta 12 m e arriva a terra con una
velocità di 6 m/s.
Supponendo che la velocità iniziale sia nulla:
1. si calcoli di quanto variano l’energia potenziale e l’energia cinetica,
2. si calcoli il lavoro fatto dalle forze di attrito sul ragazzo, se l’energia non si conserva.
Soluzione:
Variazione di energia potenziale: U = Uf − Ui = 0 − Mgh = −5886 J (si assume h = 0 al suolo, ma
non ha nessuna importanza dove sta l’origine: solo la differenza di quota entra nel risultato).
Variazione di energia cinetica:
K = Kf − Ki = Mv2/2 − 0 = 900 J.
2. Lavoro fatto dalle forze di attrito: L = − δ(U + K) ~ 5000J (negativo: forza contraria al moto,
l’energia meccanica si riduce).
Esercizio
Un corpo di massa M = 2.5 kg è appoggiato su di un piano inclinato di 36 gradi; sia μ = 0.3 il
coefficiente di attrito dinamico tra la massa e il piano. Determinare
• l’accelerazione del corpo;
• il lavoro compiuto dalla forza d’attrito e dalla forza di gravità sul corpo mentre questo percorre
una distanza d = 1.2 m sul piano inclinato.
Soluzione:
Esercizio
Un uomo di 79 kg sale una rampa di scale alta 3 m in 4.5 s. Calcolare:
1. il lavoro meccanico (minimo) compiuto dall'uomo;
2. la potenza media sviluppata.
Soluzione:
Il lavoro meccanico minimo è quello necessario per aumentare l'energia potenziale di L = mgh = 79
·9.81 3 J, ovvero L = 2325 J.
2. Assumendo la potenza costante: w = L/Δt = 2325 = 4.5 W ovvero 516.7 W.
Esercizio
Calcolare la potenza necessaria ad un’automobile di 1400 Kg nelle seguenti circostanze:
a) L’auto sale lungo un pendio di 10° alla velocità regolare di 80 km/h;
b) L’auto accelera lungo una strada pianeggiante da 90 a 110 km/h in 6.0 s per sorpassare
un’altra auto
Supporre che le forze d’attrito sull’auto siano costanti e pari a 700N.
Soluzione:
a)Per muoversi a velocità costante in salita, l’automobile deve esercitare una forza uguale alla
somma delle forze di attrito, 700 N, più la componente della gravità parallela alla collina, mg sin
10° = (1400 Kg) (9.8 m/s2) (0.174)= 2400 N. Poiché v = 80 Km/h = 22 m/s ed è parallela alla
risultante F, ho:
P = Fv = (2400 N + 700 N) (22 m/s) = 6.8 x 104 W
b) L’auto accelera da 25.0 m/s a 30.6 m/s, perciò l’auto deve esercitare una forza che superi i 700 N
della forza d’attrito più quella necessaria a darle l’accelerazione ovvero:
a = (30.6 -25.0) / 6.0 s = 0.93 m/s2.
Poiché la massa dell’auto è di 1400 Kg, la forza necessaria all’accelerazione è:
F = ma = (1400 Kg) ( 0.93 m/s2) = 1300 N.
La forza necessaria è quindi di 2000 N.
Pertanto la potenza sarà pari a P = (2000N) (30.6 m/s) = 6.12 x 104 W
Esercizio
Un carrello di massa M = 250 Kg si muove su una rotaia orizzontale alla velocità v0 = 13.0 m/s. Ad
un certo istante le ruote vengono bloccate dai freni e il carrello percorre con moto uniformemente
ritardato un tratto d = 5.80 m, al termine del quale la velocità è v = 8.00 m/s.
a) Determinare il coefficiente di attrito dinamico tra ruote e rotaia;
b) Dopo il tratto d il carrello continua la sua corsa su una rotaia priva di attrito fino a raggiungere un
respingente costituito da una molla. Sapendo che la compressione massima del respingente è s =
0.150 m determinare la costante elastica della molla.
Soluzione:
a) La variazione di energia cinetica del carrello è pari al lavoro della forza di attrito:
½ M (v2 - v02) = - Fatt d = μdMgd
da cui
μd = (v02 - v2) / (2gd) = 0.923
b) Dalla conservazione dell’energia si ha:
1/2 Mv2 = 1/2 k Δx2
da cui:
k = Mv2/Δx2 = 7.11 105 N/m
Esercizio
Una sferetta di massa m = 15 g, è lasciata cadere con velocità iniziale nulla da una altezza h = 40
cm dal suolo. Oltre alla forza peso sulla sferetta agisce una forza orizzontale costante Fh di modulo
Fh= 0.15 N. Si calcoli:
a) la distanza D dalla verticale del punto di impatto al suolo della sferetta;
b) l’energia cinetica acquisita dalla sferetta al momento dell’impatto.
Soluzione:
a) Si scelga un riferimento con origine al suolo, asse orizzontale x nella direzione della forza Fh e
l’asse verticale y , nel quale la sferetta ha inizialmente coordinate (0, h). Il moto è uniformemente
accelerato su entrambi gli assi:
x(t) = (1/2) (Fh/m)t2
y(t) = h – (1/2) gt2
Quando la sferetta tocca il suolo si ha:
y (t) = 0 = h – (1/2) gt2
da cui si ricava che
t2 = 2h/g
x (t) = D = (1/2) (Fh / m) (2h/g)= (Fh h / mg) = (0.15 0.80) / (7.5 10-3 9.8) = 1.6 m
b) L’energia cinetica acquisita è pari al lavoro compiuto dalle forze applicate alla sferetta:
(1/2) mv2 = mgh + Fh D = 7.5 10-3 9.8 0.80 + 0.15 1.6 = 0.3 J
Esercizio
L’energia cinetica iniziale di un oggetto di massa m = 50Kg viaggia è pari a 2500 J. Calcolare la
velocità con cui si muove l’oggetto.
Ad un certo punto viene spinto da una forza F = 100 N per una distanza S = 24m nella stessa
direzione e nello stesso verso del movimento. Calcolare l’energia cinetica dell’oggetto dopo
l’azione della forza e la velocità finale a cui viaggia l’oggetto.
Soluzione:
L’energia cinetica iniziale è pari a: K = ½ mv2
Ricavo il valore della velocità che sarà pari a 10 m/s.
Il lavoro fatto dalla forza è: L = F·ΔS = 100 N·24m = 2400 J
L’energia cinetica dell’oggetto dopo la spinta è data dalla somma di K e del lavoro pari a 4900 J
Quindi la velocità finale dell’oggetto è: vf = √2K/m = 14 m/s
Esercizio
Una palla del peso di 145 g viene lanciata con una velocità di 25 m/s. Calcolare:
a) L’energia cinetica;
b) Quanto lavoro è stato fatto per raggiungere questa velocità da palla ferma.
Soluzione:
a) Ec = ½ mv2 = ½ (0.145 Kg) (25 m/s2) = 45J
b) Poiché l’energia cinetica iniziale è uguale a 0, il lavoro compiuto è pari a 45J.
Esercizio
Una particella di 50 g si muove ad una velocità di 15 m/s. Calcolare a) la quantità di moto iniziale e
b) dopo 12 s quando una forza costante di 2.0 x 10-2 N dovuta alla resistenza dell’aria agisce su di
essa.
Soluzione:
a) p1 = (0.05 Kg) (15 m/s) = 0.75 (Kg x m/s)
b) p’ = (0.02 N) (12s) = 0.24 (Kg x m/s)
p2 = 0.75-0.24 = 0.51 (Kg x m/s)
Esercizio
Una racchetta da tennis colpisce una pallina di massa m = 60 g. La pallina `e inizialmente a riposo.
L’impatto dura 5 ms e in questo tempo la pallina acquista una velocità v = 30 m/s.
Quanto vale la forza media F che la racchetta esercita sulla pallina durante l’urto?
Soluzione:
La variazione di quantità di moto: Δp uguaglia l’impulso: I = ∫Fdt = Δp il quale a sua volta definisce
la forza media: F · Δt = I = Δp da cui F = Δp/Δt = 0.06kg · 30m/s/0.005s = 360 N.
Esercizio
Un corpo di massa m = 500 g, in quiete su di un piano orizzontale, subisce un urto che gli trasmette
un impulso pari a 3 N·s. Se il coefficiente di attrito dinamico fra il corpo e il piano vale μ = 0.2,
qual è la distanza percorsa dal corpo sul piano prima che si fermi?
Soluzione:
Esercizio
Una palla da biliardo che si muove a velocità di 10 m/s colpisce un’altra palla, ferma, di ugual
massa. Dopo l’urto la palla proiettile si muove a 5 m/s lungo una traiettoria che forma un angolo di
60 gradi rispetto a quella originale.
1. Determinare modulo e direzione della velocità della palla bersaglio.
2. L’urto è elastico o no?
Soluzione:
Esercizio
Un vagone ferroviario di 10000 Kg che viaggia alla velocità di 24.0 m/s colpisce un identico
vagone fermo. Se, in seguito alla collisione, i due vagoni restano attaccati insieme, quale sarà la
velocità comune dopo l’urto?
Soluzione:
La quantità di moto iniziale è:
m1v1 + m2v2 = (10000 Kg) (24.0 m/s) + (10000 Kg) (0 m/s) = 2.4 105 Kg m/s
Dopo la collisione, la quantità di moto totale sarà la stessa, ma sarà ripartita tra entrambi i vagoni.
Poiché i due vagoni restano attaccati insieme e avranno la stessa velocità, che chiamiamo v’, si
avrà:
(m1 + m2) v’ = 2.4 105 Kg m/s
Esercizio
v’ = 2.4 105 / 2 10 4 = 12 m/s
Un oggetto di massa m1 = 50 kg viaggia ad una velocità V1 = 11 m/s . Ad un certo punto urta contro
un oggetto di massa m2 = 100 kg che viaggia nel verso opposto ad una velocità V2 = 1 m/s .
Nell’urto i due oggetti rimangono attaccati. Qual è la velocità finale?
Soluzione:
Per la legge di conservazione della quantità di moto, la quantità di moto totale iniziale è uguale alla
quantità di moto totale finale.
P1i + P21 = Ptot finale
m1iV1i + m2iV2i = mtotVf
Quindi:
Vf = (m1iV1i + m2iV2i)/ mtot = 3 m/s
Esercizio
Calcolare la velocità di rinculo di un fucile di 4 Kg che spara un proiettile di 0.05 Kg alla velocità di
280 m/s.
Soluzione:
La quantità di moto totale del sistema si conserva e quindi la velocità del fucile sarà pari a -3.5 m/s ,
dove il segno meno indica che la velocità ( e quindi il momento lineare) del fucile sono in direzione
opposta a quella del proiettile.

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