Testo B

Prova Scritta di
CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE
Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Informatica
Facolt`
a di INGEGNERIA
02 Luglio 2014
Prof. Francesca PELOSI
Testo B
Esercizio 1. (7 punti) Assegnati i nodi x0 = −2, x1 = 0, x2 = 2 e la funzione
√
f (x) = (x − 1)2 − x + 3,
sia p(x) il polinomio interpolante i punti (xi f (xi )) con i = 0, 1, 2. Senza costruire il polinomio,
dare una maggiorazione dell’errore di interpolazione in valore assoluto, |e(x)|:
|e(x)| := |f (x) − p(x)|,
per x ∈ [−2, 2].
Esercizio 2. (8 punti) Assegnata l’equazione
1
;
e2
i) analizzare la convergenza del metodo di Newton per approssimarne la radice e in caso di
convergenza determinare l’ordine.
x
f (x) = e− 2 −
f (x) = 0;
ii) Stabilire se il metodo iterativo xi+1 = g(xi ) con
1
e2
è convergente e in caso affermativo determinarne l’ordine.
x
g(x) = x + e− 2 −
Esercizio 3. (10 punti)
2
R2
Calcolare l’approssimazione dell’integrale −2
cos( π2 x) − 4 dx = 66
i) usando la formula di Newton-Cotes su n + 1 punti con n = 1 e n = 2;
ii) usando la formula dei Trapezi composita su N = 2 e N = 4 intervalli.
iii) Calcolare, utilizzando le relative formule, una stima dell’errore commesso con ciascuna
delle 4 formule di quadratura utilizzate nei punti i) e ii).
Di seguito la tabella dei coefficienti delle formule di Newton-Cotes al variare di n nella forma
αi = cβi :
n
c
β
β
β
β
β
β
Errore
1
2
3
4
5
1/2
1/3
3/8
2/45
5/288
0
1
1
1
1
7
19
1
4
3
32
75
2
1
3
12
50
3
1
32
50
4
7
75
5
19
1 3 (2)
− 12
h f (η)
1 5 (4)
− 90
h f (η)
3 5 (4)
− 80 h f (η)
8 7 (6)
− 945
h f (η)
275 7 (6)
− 12096 h f (η)
Esercizio 4. (5 punti) Assegnato il sistema lineare Ax = b con




A=
4
0
−1
0
0
10 −1/5
0
0 −1/2
1
0
1
0
0 −1



;

i) analizzando unicamente la matrice A, si può stabilire se il metodo iterativo di Jacobi applicato
al sistema è convergente? Cosa si può dire per il metodo iterativo di Gauss-Seidel?
ii) Costruire la matrice di iterazione del metodo di Jacobi e studiare la convergenza del metodo
iterativo associato. In caso di convergenza, cosa si può dire sulla corrispondente velocit`
a?
iii) Visti i risultati ottenuti al punto ii) e senza costruirne la matrice di iterazione, cosa si pu`
o
stabilire sulla convergenza del metodo di Gauss-Seidel?

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