Rette nel piano cartesiano

Rette nel piano cartesiano
Unita`
4
1. Richiami sul piano cartesiano
Tema B
Il piano cartesiano
Nell’Unita` 12 del volume Algebra 1 abbiamo gia` esposto il procedimento per fissare, in un piano, un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Ricordiamo
rapidamente i punti essenziali.
Consideriamo, in un piano, due rette perpendicolari: chiamiamo O il loro punto
di intersezione e orientiamo la retta che appare orizzontale verso destra e quella
che appare verticale verso l’alto. La retta orizzontale si chiama asse x o asse delle
ascisse, quella verticale asse y o asse delle ordinate e il punto O si chiama origine (fig. 4.1).
y
asse y
y
P(x, y)
origine
O
x
y
asse x
O
Figura 4.1
Figura 4.2
x
x
Generalmente sceglieremo sull’asse x e sull’asse y la stessa unita` di misura: in
questo modo si ottiene un sistema di riferimento monometrico (nei problemi
applicativi, tuttavia, e` spesso comodo utilizzare sistemi dimetrici, cioe` sistemi di
riferimento dove le unita` di misura sui due assi sono diverse).
Un piano, dove sono stati fissati un asse x, un asse y e un’unita` di misura su ciascun asse si dice piano cartesiano.
Fra i punti del piano cartesiano e le coppie ordinate dell’insieme R R e` possibile instaurare una corrispondenza biunivoca: a ogni punto P del piano
cartesiano corrisponde un’unica coppia ordinata ðx, yÞ, costituita dalle coordinate di P, cioe` dalle distanze «con segno» di P, rispettivamente, dall’asse x e
dall’asse y.
Viceversa, a ogni coppia ordinata ðx, yÞ corrisponde un unico punto del piano
cartesiano che ha quelle coordinate (fig. 4.2).
Attenzione
«Distanza con segno»
significa che si attribuisce
alla distanza di P dall’asse y
(dall’asse x) segno positivo
o negativo a seconda che
il punto P si trovi a destra
o a sinistra dell’asse y (sopra
o sotto l’asse x).
I numeri reali x e y che costituiscono le coordinate di P vengono detti, rispettivamente, ascissa e ordinata di P; per indicare che il punto P ha coordinate ðx, yÞ
scriveremo Pðx, yÞ. Nella fig. 4.3 sono rappresentati alcuni punti e le relative
coordinate.
y
–3
2
–4
2
1
O
–2
Figura 4.3
A
3
B
C
2 x
D
–3
173
Sistemi lineari e retta
Il piano resta diviso dagli assi in quattro angoli; ciascuno di questi quattro angoli, esclusi i punti appartenenti agli assi stessi, viene detto quadrante. I quadranti sono convenzionalmente numerati dal primo in alto a destra procedendo in senso antiorario (fig. 4.4).
y
Tema B
II quadrante
x < 0, y > 0
I quadrante
x > 0, y > 0
x
O
III quadrante
x < 0, y < 0
IV quadrante
x > 0, y < 0
Figura 4.4
Simmetrie rispetto agli assi e all’origine
Le coordinate dei punti simmetrici di un punto P rispetto all’asse x, all’asse y e all’origine degli assi hanno lo stesso valore assoluto delle coordinate di P ma segni
diversi. Osserva le seguenti figure.
Simmetria rispetto all’asse x
Simmetria rispetto all’asse y
y
2
y
y
P(3, 2)
P(3, 2)
P'(–3, 2)
P(3, 2)
2
x
O
–2
Simmetria rispetto all’origine
–3
–3
O
3
x
O
P'(3, –2)
P'(–3, –2)
Due punti simmetrici rispetto
all’asse x hanno la stessa ascissa
e ordinata opposta.
Due punti simmetrici rispetto
all’asse y hanno la stessa ordinata
e ascissa opposta.
3
x
–2
Due punti simmetrici rispetto
all’origine hanno coordinate
opposte.
Generalizzando queste osservazioni possiamo dire che:
il simmetrico di Pðx, yÞ rispetto all’asse x e` il punto P0 ðx, yÞ;
il simmetrico di Pðx, yÞ rispetto all’asse y e` il punto P0 ðx, yÞ;
il simmetrico di Pðx, yÞ rispetto all’origine e` il punto P0 ðx, yÞ.
Prova tu
1. Rappresenta in un piano cartesiano i punti di coordinate ð4, 2Þ; ð5, 1Þ; ð3, 3Þ;
ESERCIZI a p. 205
174
1 5
,
. Per ciascuno specifica in quale quadrante e` situato.
2 2
2. Determina i simmetrici del punto Pð2, 3Þ rispetto agli assi cartesiani e all’origine.
Unita` 4
2. Distanza tra due punti
Consideriamo nel piano cartesiano due generici punti:
Bðx2 , y2 Þ
e
Rette nel piano cartesiano
Aðx1 , y1 Þ
Vogliamo ricavare una formula che esprima la distanza fra A e B in funzione delle
coordinate di A e B.
Distanza tra due punti aventi la stessa ascissa
Cominciamo ad analizzare che cosa accade nel caso particolare in cui i due punti
Aðx1 , y1 Þ e Bðx2 , y2 Þ hanno la stessa ascissa, cioe` quando x1 ¼ x2 .
Consideriamo, per esempio, i due punti Að2, 2Þ e Bð2, 6Þ rappresentati nella
fig. 4.5.
y
B
6
y
5
A
4
2
Figura 4.5
3
2
A
O
x
Figura 4.6
O
B
x
E` chiaro che la distanza tra A e B e` uguale alla differenza tra l’ordinata di B e l’ordinata di A:
AB ¼ 6 2 ¼ 4
Si potrebbe allora pensare che la distanza tra due punti Aðx1 , y1 Þ e Bðx1 , y2 Þ sia data dalla formula:
AB ¼ y2 y1
In realta`, questa formula non e` sempre valida: infatti, se consideriamo, per esempio, i due punti Að3, 5Þ e Bð3, 2Þ in fig. 4.6 e applichiamo la formula precedente,
otteniamo:
AB ¼ 2 5 ¼ 3
Abbiamo trovato un risultato errato perche´ la distanza tra due punti deve essere
un numero positivo! Osservando la fig. 4.6 si vede chiaramente che:
AB ¼ 3
La formula ha prodotto il risultato sbagliato per quanto riguarda il segno. Per ottenere ancora il risultato corretto, basta considerare il valore assoluto del numero
trovato calcolando la differenza tra l’ordinata di B e l’ordinata di A:
AB ¼ j2 5j ¼ j3j ¼ 3
y
y2
B
y2 – y1
In generale:
La distanza tra due punti Aðx1 , y1 Þ e Bðx1 , y2 Þ aventi la stessa ascissa e` uguale al
valore assoluto della differenza tra le loro ordinate; vale, cioe`, la formula:
AB ¼ jy2 y1 j
y1
O
A
x1
x
La formula AB ¼ y2 y1 si puo` utilizzare quando si sa che y2 > y1 , cioe` quando
l’ordinata di B e` maggiore dell’ordinata di A (il che assicura che la loro differenza sia un numero positivo). Analogamente, la formula AB ¼ y1 y2 si puo` utilizzare quando si sa che y1 > y2 (cioe` quando l’ordinata di A e` maggiore dell’ordinata di B).
175
Con ragionamenti del tutto analoghi al caso precedente si deduce che:
x2 – x1
y1
O
La distanza tra due punti Aðx1 , y1 Þ e Bðx2 , y1 Þ aventi la stessa ordinata e` uguale
al valore assoluto della differenza tra le ascisse dei due punti:
B
A
x1
x2
x
AB ¼ jx2 x1 j
Anche in questo caso, la formula senza valore assoluto, AB ¼ x2 x1 , si puo` utilizzare quando x2 > x1 ; la formula AB ¼ x1 x2 si puo` utilizzare quando x1 > x2 .
Tema B
Sistemi lineari e retta
Distanza tra due punti aventi la stessa ordinata
y
ESEMPI
Determiniamo la distanza tra A e B, nei seguenti casi:
a. Að1, 3Þ
e
Bð4, 3Þ
b. Að2, 2Þ
e
Bð2, 3Þ
c. Að1, 1Þ
e
Bðx, 1Þ, con x 2 R
a. I due punti hanno la stessa ordinata. Possiamo osservare che l’ascissa di B e`
maggiore dell’ascissa di A e applicare la formula senza valore assoluto:
y
B
A
AB ¼ x2 x1 ¼ 4 ð1Þ ¼ 5
Oppure possiamo applicare la formula generale, senza preoccuparci dell’ordine delle ascisse:
–1
O
4
x
AB ¼ j x2 x1 j ¼ j4 ð1Þj ¼ j5j ¼ 5
b. I due punti hanno la stessa ascissa. Possiamo osservare che l’ordinata di A e`
maggiore dell’ordinata di B e applicare la formula senza valore assoluto:
y
2
AB ¼ y1 y2 ¼ 2 ð3Þ ¼ 5
A
x
O
–3
Oppure possiamo applicare la formula generale, senza preoccuparci dell’ordine delle ordinate:
B
AB ¼ j y2 y1 j ¼ j3 2j ¼ j5j ¼ 5
c. I due punti A e B hanno la stessa ordinata ma, in questo caso, essendo l’ascissa di B una variabile, non sappiamo a priori quale dei due punti A e B
avra` ascissa maggiore: dobbiamo quindi utilizzare la formula generale, con
il valore assoluto:
AB ¼ jx 1j
Caso generale
Affrontiamo ora il caso generale in cui Aðx1 , y1 Þ e Bðx2 , y2 Þ sono due punti qualsiasi del piano.
Tracciamo da A la parallela all’asse x e da B la parallela all’asse y (fig. 4.7): tali parallele si incontrano nel punto Hðx2 , y1 Þ.
y
B
y2
y1
O
Figura 4.7
176
y2 – y1
A
H
x 2 – x1
x1
x2
x
AH ¼ jx2 x1 j,
BH ¼ jy2 y1 j
Unita` 4
Dal momento che AH e` parallelo all’asse x e BH e` parallelo all’asse y, sappiamo
calcolare le misure di AH e BH:
[4.1]
Rette nel piano cartesiano
Ora, per determinare la misura di AB, basta utilizzare il teorema di Pitagora.
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
2
AB ¼ AH þ BH ¼
Teorema di Pitagora applicato
al triangolo rettangolo AHB
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ jx2 x1 j2 þ jy2 y1 j2 ¼
In base alle formule [4.1]
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ ðx2 x1 Þ2 þ ðy2 y1 Þ2
Osserva che, per ogni a 2 R, jaj2 ¼ a2
DISTANZA TRA DUE PUNTI NEL PIANO CARTESIANO
Nel piano cartesiano, la distanza tra due punti Aðx1 , y1 Þ e Bðx2 , y2 Þ e` data dalla
formula:
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
AB ¼ ðx2 x1 Þ2 þ ðy2 y1 Þ2
Tale formula «contiene» come casi particolari le formule delle distanze tra due
punti aventi la stessa ascissa o la stessa ordinata. Per esempio, se x1 ¼ x2 la formula si riduce a:
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffi
AB ¼ ðy2 y1 Þ2 ¼ jy2 y1 j
Per ogni a 2 R, risulta a2 ¼ jaj
Abbiamo cosı` ottenuto di nuovo la formula che fornisce la distanza tra due punti
aventi la stessa ascissa. Analogamente, se prendiamo y1 ¼ y 2 riotteniamo la formula che fornisce la distanza tra due punti aventi la stessa ordinata.
ESEMPIO
Determiniamo la distanza tra Að2, þ2Þ e Bðþ3, 2Þ.
Applichiamo la formula della distanza tra due punti con:
x1 ¼ 2, y1 ¼ þ2
x2 ¼ þ3, y2 ¼ 2
Abbiamo che:
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
AB ¼ ½þ3 ð2Þ2 þ ½2 ðþ2Þ2 ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi
¼ ðþ5Þ2 þ ð4Þ2 ¼ 25 þ 16 ¼ 41
y
A
+2
+3
–2
x
O
–2
B
Prova tu
Determina la distanza tra le seguenti coppie di punti:
a. Að1, 1Þ, Bð1, 5Þ;
b. Að3, 2Þ, Bð4, 2Þ;
c. Að1, 2Þ, Bð3, 3Þ
[a. 4; b. 7; c.
pffiffiffiffiffiffi
17]
ESERCIZI a p. 205
177
Sistemi lineari e retta
3. Punto medio di un segmento
Consideriamo due generici punti Aðx1 , y1 Þ e Bðx2 , y2 Þ e proponiamoci di determinare le coordinate del punto medio M del segmento AB.
Facciamo riferimento, per semplicita`, alla fig. 4.8 (ma ragionamenti analoghi si
potrebbero ripetere se i punti A e B fossero disposti nel piano in modo diverso).
Tema B
y
B
y2
M
yM
A
y1
A'
O
x1
Figura 4.8
M'
xM
B'
x2
x
Proiettiamo A, M e B sull’asse x e osserviamo che:
Rifletti
Sai giustificare perche´, nel
calcolo delle distanze tra A0 e
M 0 e tra M 0 e B0 , abbiamo
potuto utilizzare le formule
senza valore assoluto?
A0 M 0 ¼ xM x1
M 0 B0 ¼ x2 xM
e
Poiche´ AM ¼ MB, dal teorema di Talete segue che e` anche A0 M 0 ¼ M 0 B0 : possiamo
quindi impostare l’equazione:
xM x1 ¼ x2 xM
Risolvendo questa equazione rispetto a xM , ricaviamo:
x1 þ x2
2
xM ¼
Nota che xM e` la media aritmetica di x1 e x2
Ragionando in modo analogo, ma proiettando A, M e B sull’asse y, otteniamo:
y1 þ y2
2
yM ¼
Nota che yM e` la media aritmetica di y1 e y2
Riassumiamo il risultato ottenuto.
PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO NEL PIANO CARTESIANO
Siano Aðx1 , y1 Þ e Bðx2 , y2 Þ due punti del piano cartesiano e M il punto medio del
segmento AB. L’ascissa di M e` la media aritmetica delle ascisse di A e B e l’ordinata di M e` la media aritmetica delle ordinate di A e B; in simboli:
M
x þx
y1 þ y2 1
2
,
2
2
ESEMPIO
Determiniamo il punto medio del segmento di estremi Að2, 3Þ e Bð4, 1Þ.
y
A
Applicando le formule trovate, abbiamo che:
3
M
xM ¼
4
–2
–1
x
O
ð2Þ þ 4
¼1
2
e
yM ¼
3 þ ð1Þ
¼1
2
Quindi Mð1, 1Þ, come appare chiaramente anche dalla figura a lato.
B
Prova tu
ESERCIZI a p. 207
178
Qual e` il punto medio del segmento di estremi Að4, 5Þ e Bð3, 7Þ?
h 1
i
M ,6
2
y ¼ mx þ q
Abbiamo gia` visto, nell’Unita` 12 del volume Algebra 1, che il grafico di una funzione lineare e` una retta. Ora riprendiamo e approfondiamo questi concetti.
Il grafico della funzione lineare
Per tracciare il grafico di una funzione lineare basta determinare alcuni suoi punti (in linea di principio ne basterebbero due, dal momento che una retta e` univocamente individuata da due suoi punti) e tracciare la retta che passa per essi.
Rette nel piano cartesiano
Ricordiamo anzitutto che una funzione viene detta lineare se e` definita da un’equazione del tipo:
Unita` 4
4. La funzione lineare
ESEMPI
Tracciamo i grafici delle funzioni:
a. y ¼ 2x 1
b.y ¼ 1
xþ2
3
a. Per determinare alcuni punti del grafico della funzione, diamo dei valori a
scelta alla variabile x e calcoliamo i corrispondenti valori di y. Per esempio,
sostituendo 2 al posto di x nell’equazione y ¼ 2x 1, otteniamo:
y ¼ 2ð2Þ 1 ¼ 5
Attribuendo a x i valori 2, 1, 0, 1 e 2, otteniamo la tabella indicata qui sotto a sinistra. Rappresentando i punti corrispondenti e congiungendoli, otteniamo la retta che costituisce il grafico di y ¼ 2x 1 (fig. 4.9).
y
O
(0, –1)
x
y
2
5
1
3
0
1
1
1
2
3
(2, 3)
y = 2x –1
(1, 1)
x
(–1, –3)
(–2, –5)
Figura 4.9
b. Osserviamo che, in questo caso, e` conveniente scegliere, come valori da attribuire a x, numeri interi multipli di 3, in modo da evitare di introdurre
frazioni nel calcolo di y. Per esempio, se attribuiamo a x il valore 6, otteniamo:
y¼
1
ð6Þ þ 2 ¼ þ2 þ 2 ¼ 4
3
Attribuendo a x i valori 6, 3, 0, 3 e 6, otteniamo la tabella indicata qui
sotto a sinistra. Rappresentando i punti corrispondenti e congiungendoli,
otteniamo la retta in fig. 4.10.
x
y
y
(–6, 4)
6
4
3
3
0
2
3
1
6
0
(–3, 3)
1
y = – x +2
3
(0, 2)
(3, 1)
O
(6, 0) x
Figura 4.10
179
y
x=0
y = mx + q
x
O
y=0
Tema B
Sistemi lineari e retta
Punti di intersezione con gli assi
Spesso si e` interessati a determinare i punti di intersezione del grafico di una
funzione lineare con gli assi cartesiani.
I punti dell’asse x hanno ordinata uguale a 0. Quindi, per determinare l’ascissa
del punto di intersezione del grafico di y ¼ mx þ q con l’asse x, basta porre
y ¼ 0 nell’equazione y ¼ mx þ q e risolvere l’equazione ottenuta.
I punti dell’asse y hanno ascissa uguale a 0. Quindi, per determinare l’ordinata
del punto di intersezione del grafico di y ¼ mx þ q con l’asse y, basta porre
x ¼ 0 nell’equazione y ¼ mx þ q.
ESEMPIO
Tracciamo il grafico della funzione lineare y ¼ 2x 4, dopo avere determinato i
suoi punti di intersezione con gli assi cartesiani.
Intersezione con l’asse x
Intersezione con l’asse y
Per determinare l’ascissa del punto
di intersezione del grafico con l’asse
x, poniamo y ¼ 0 nell’equazione
y ¼ 2x 4. Otteniamo l’equazione:
Per determinare l’ordinata del punto
di intersezione del grafico con l’asse
y, poniamo x ¼ 0 nell’equazione
y ¼ 2x 4. Abbiamo:
2x 4 ¼ 0 ) 2x ¼ 4 ) x ¼ 2
y ¼ 2 0 4 ¼ 4
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse x nel punto Að2, 0Þ.
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto Bð0,4Þ.
Il grafico di y ¼ 2x 4 e` la retta passante per A e per B:
y
y = 2x – 4
A(2, 0)
O
x
intersezione
asse x
intersezione
asse y
B(0, –4)
Il significato dei coefficienti m e q
Nell’equazione y ¼ mx þ q, il coefficiente m si chiama coefficiente angolare e il
coefficiente q termine noto. Per esempio, nella funzione lineare di equazione:
y ¼ 2x þ 3
il coefficiente
angolare e` 2
il termine
noto e` þ 3
y
termine noto
(0, q)
y = mx + q
O
Figura 4.11
180
x
Il termine noto q e` l’ordinata del punto d’intersezione del grafico di y ¼ mx þ q
con l’asse y: infatti, ponendo x ¼ 0 nell’equazione y ¼ mx þ q, otteniamo y ¼ q; q
prende anche il nome di ordinata all’origine (fig. 4.11).
Il coefficiente angolare m da` invece informazioni sulla «inclinazione» rispetto all’asse x della retta che costituisce il grafico della funzione: per questo motivo m
viene anche chiamato pendenza della retta.
I legami fra m e il grafico di y ¼ mx þ q sono esposti in dettaglio nella seguente
tabella.
Se m < 0
La retta grafico di y ¼ mx þ q forma con
l’asse x un angolo acuto.
La retta grafico di y ¼ mx þ q forma con
l’asse x un angolo ottuso.
y
m>0
m<0
y = mx + q
x
O
angolo
ottuso
y = mx + q
angolo
acuto
x
O
In questo caso, percorrendo la retta «da
sinistra verso destra», si «sale»: per questo si
dice che il grafico della retta e` crescente.
In questo caso, percorrendo la retta «da
sinistra verso destra», si «scende»: per
questo si dice che il grafico della retta e`
decrescente.
Al crescere di m le rette grafico di
y ¼ mx þ q formano con l’asse x angoli
acuti di ampiezza via via maggiore; in altre
parole: al crescere di m si ottengono rette
sempre piu` «ripide».
Al crescere di m le rette grafico di
y ¼ mx þ q formano con l’asse x angoli
ottusi di ampiezza via via maggiore; in altre
parole: al crescere di m si ottengono rette
sempre meno «ripide».
m=2
m=1
y
m = –2
m = –1
1
m=
2
O
1
y = x
2
y=x
x
Figure dinamiche
Esplora il grafico delle
funzioni lineari tramite le
figure dinamiche disponibili
nel CD-ROM.
y
1
m=–
2
x
O
y = 2x
Rette nel piano cartesiano
y
Per «angolo che la retta
forma con l’asse x»
intendiamo l’angolo
(convesso) che ha come
vertice il punto di
intersezione della retta con
l’asse x e, come lati, la
semiretta formata dai punti
della retta di ordinata
positiva e la semiretta
sull’asse x di verso positivo.
Unita` 4
Attenzione
Se m > 0
1
y = – x
2
y = –x
y = –2x
y
y=q
O
Osserviamo infine che, se m ¼ 0, il grafico di y ¼ mx þ q e` una retta parallela all’asse x (fig. 4.12).
x
Figura 4.12
Funzioni lineari a tratti
Le funzioni il cui grafico e` costituito dall’unione di segmenti e/o semirette sono
dette funzioni lineari a tratti.
ESEMPIO
8
se x 0
>
< 1
Tracciamo il grafico della funzione y ¼ x 1 se 0 < x < 2
>
:
3 x se x 2
La funzione e` definita in tre modi diversi nel suo dominio; per tracciarne il
grafico dobbiamo tracciare:
– il grafico della funzione y ¼ 1, limitatamente all’intervallo x 0;
– il grafico della funzione y ¼ x 1, limitatamente all’intervallo 0 < x < 2;
– il grafico della funzione y ¼ 3 x, limitatamente all’intervallo x 2.
181
Sistemi lineari e retta
Osserva le seguenti figure.
y
y
y
x
O
O
y = x –1
x
O
y=3–x
Tema B
y = –1
x
Grafico della funzione
costante y ¼ 1: la parte da
considerare e` la semiretta
tracciata in linea continua,
definita dall’ulteriore
condizione x 0
Grafico della funzione
y ¼ x 1: la parte da
considerare e` il segmento
(privo degli estremi), definito
dall’ulteriore condizione
0<x<2
Grafico della funzione
y ¼ 3 x: la parte da
considerare e` la semiretta
tracciata in linea continua,
definita dall’ulteriore
condizione x 2
Unendo le parti dei grafici tracciati in linea continua nelle figure precedenti, si ottiene il grafico della funzione data.
y
O
2
x
–1 se x ≤ 0

y =  x – 1 se 0 < x < 2
3 – x se x ≥ 2

Prova tu
1. Traccia i grafici delle funzioni definite da: y ¼ 2x þ 3, y ¼ 3x 2, y ¼ 2. Determina
inoltre i punti di intersezione dei grafici con gli assi cartesiani.
2. Quale tra le funzioni lineari
y ¼ ð2 ESERCIZI a p. 209
pffiffiffi
3Þx
e
y ¼ ð2 pffiffiffi
5Þx þ 1
ha come grafico una retta che forma con l’asse x un angolo ottuso?
5. L’equazione della retta nel piano cartesiano
Nel paragrafo precedente abbiamo utilizzato il piano cartesiano come ambiente
per tracciare il grafico di una funzione lineare.
In questo paragrafo, invece, adotteremo il punto di vista tipico della geometria
analitica: quello di caratterizzare le figure geometriche dal punto di vista algebrico.
Sappiamo gia` che un punto puo` essere indentificato da una coppia ordinata di
numeri reali; ora vogliamo caratterizzare, dal punto di vista algebrico, una retta.
Piu` precisamente, cercheremo di determinare «l’equazione» di una generica retta, cioe` di scrivere un’equazione che sia soddisfatta dalle coordinate di tutti e soli
i punti della retta. Iniziamo dai casi piu` semplici.
Rette parallele agli assi cartesiani
Supponiamo che r sia una retta parallela all’asse x; indichiamo con ð0, kÞ il suo
punto di intersezione con l’asse y (fig. 4.13). I punti appartenenti alla retta r sono
182
y
(0, k)
k
y=3
r
x
O
x
O
Figura 4.13
Avrai notato che
nell’equazione y ¼ k non
compare la x: questo perche´
le ordinate dei punti
appartenenti a una retta
parallela all’asse delle x non
dipendono dai valori delle
ascisse: l’ordinata e` sempre
costante.
y = –2
Figura 4.14
Consideriamo ora una retta s parallela all’asse y e indichiamo con ðh, 0Þ il suo
punto di intersezione con l’asse x (fig. 4.15). In questo caso i punti della retta sono
caratterizzati dall’avere ascissa uguale a h: l’equazione della retta e` percio` x ¼ h.
Per esempio, le rette disegnate in fig. 4.16 hanno equazioni x ¼ 4 e x ¼ 2.
y
x = –4
s
y
Rette nel piano cartesiano
y
Attenzione
Unita` 4
caratterizzati dall’avere ordinata uguale a k: percio` l’equazione della retta r e`
y ¼ k. Le rette in fig. 4.14 hanno, per esempio, equazione y ¼ 2 e y ¼ 3.
x=2
h
(h, 0)
x
O
x
O
Figura 4.15
Figura 4.16
Casi particolari:
y
y
O
x
O
L’asse x ha equazione y ¼ 0
x
L’asse y ha equazione x ¼ 0
Rette passanti per l’origine
Consideriamo ora una retta r passante per l’origine degli assi: per esempio, la
retta disegnata in fig. 4.17, passante per il punto Pð1, 2Þ.
y
Q
P
R' O
Ricorda
2
1 P' Q'
x
R
Figura 4.17
Consideriamo poi due qualsiasi altri punti sulla retta, per esempio i due punti Q
ed R, e indichiamo con P 0 , Q 0 ed R 0 le proiezioni di P, Q ed R sull’asse x (fig. 4.17).
I triangoli OPP 0 , ORR0 e OQQ 0 sono simili, quindi:
RR0
QQ 0
PP 0
¼
¼
OR0
OQ 0
OP0
Due triangoli con gli angoli
rispettivamente congruenti
sono simili (1 criterio di
similitudine). In due
triangoli simili i rapporti tra i
lati corrispondenti sono
uguali.
B 0 C0
BC
Per esempio: 0 0 ¼
AB
AB
C
A
C'
B
A'
B'
183
Sistemi lineari e retta
Ne segue che:
yR
yQ
yP
2
¼2
¼
¼
¼
1
xR
xQ
xP
Tema B
Dal momento che Q ed R sono due punti arbitrariamente scelti sulla retta, abbiamo scoperto il legame che caratterizza le coordinate ðx, yÞ dei punti appartenenti
alla retta r: il rapporto tra l’ordinata e l’ascissa e` costante e uguale a 2:
y
¼2
x
Pertanto l’equazione della retta r e` y ¼ 2x.
Un ragionamento simile puo` essere condotto per qualsiasi retta passante per l’origine, purche´ diversa dall’asse y.
RETTE PASSANTI PER L’ORIGINE
Una retta passante per l’origine, diversa dall’asse y, ha equazione del tipo:
y ¼ mx
dove m e` un numero reale.
Casi particolari:
y
y
O
x
O
La bisettrice del primo e del terzo
quadrante ha equazione y ¼ x
x
La bisettrice del secondo e del quarto
quadrante ha equazione y ¼ x
Retta in posizione generica
Consideriamo ora una generica retta r, non parallela all’asse y: la retta r intersechera` allora l’asse y in un punto, che indichiamo con Qð0, qÞ. Supponiamo, per
semplicita`, che sia q > 0 e che la retta formi con l’asse x un angolo acuto, come
nella fig. 4.18.
r
y
P(x, y)
Osserva
Un altro modo per ricavare
l’equazione di r e` il seguente:
la retta r e` la corrispondente
della retta s, di equazione
y ¼ mx, nella traslazione di
!
vettore OQ .
r
y
Q
O
H(x, 0)
x
Figura 4.18
Tracciamo poi la retta s, passante per l’origine e parallela a r: tale retta, in base a
quanto visto nel paragrafo precedente, avra` equazione del tipo:
Preso un punto generico Pðx, yÞ sulla retta r tracciamo per P la parallela all’asse y,
che incontra la retta s in Sðx, mxÞ e l’asse x in Hðx, 0Þ. Osserviamo che:
q
x
Poiche´ tale traslazione non
fa altro che incrementare le
ordinate dei punti di s di q, si
deduce che l’equazione di r e`
y ¼ mx þ q.
184
S(x, mx)
y ¼ mx
s
O
Q(0, q)
s
OQ ¼ q
SP ¼ y mx
OQ ¼ SP
Distanza tra due punti aventi la stessa ascissa
Distanza tra due punti aventi la stessa ascissa
Perche´ OSPQ, avendo i lati opposti paralleli, e` un parallelogramma
Ne segue che:
q ¼ y mx
e, quindi,
y ¼ mx þ q
Unita` 4
Abbiamo cosı` trovato il legame tra le coordinate di un generico punto Pðx, yÞ appartenente alla retta r: questa sara` dunque l’equazione di r.
Questo risultato si potrebbe provare anche nel caso in cui la retta fosse disposta
nel piano in modo diverso dalla fig. 4.18.
Rette nel piano cartesiano
RETTE NON PARALLELE ALL’ASSE Y
Ogni retta non parallela all’asse y ha equazione del tipo:
y ¼ mx þ q
dove m e q sono numeri reali.
L’equazione y ¼ mx þ q comprende, come casi particolari, le equazioni delle rette
parallele all’asse x (che si ottengono quando m ¼ 0) e le equazioni delle rette passanti per l’origine (che si ottengono quando q ¼ 0): restano escluse solo le rette
parallele all’asse y.
Pertanto, data una retta nel piano cartesiano, ci sono due possibilita`: o la retta e`
parallela all’asse y, e quindi la sua equazione e` del tipo x ¼ h, oppure la sua equazione e` del tipo y ¼ mx þ q.
COLLEGHIAMO I CONCETTI
Le equazioni dei vari tipi di retta
3Riassumiamo i risultati ottenuti in questo paragrafo nella seguente tabella,
evidenziando i coefficienti angolari dei vari tipi di retta.
Tipo di retta
Equazione
della retta
Retta parallela
all’asse x
y ¼k
Grafico
Coefficiente angolare
della retta
y=k
x
O
Retta parallela
all’asse y
x¼h
x=h
x
y ¼ mx
y
y = mx
O
Retta generica
non parallela
all’asse y
Il coefficiente angolare
non e` definito
y
O
Retta passante
per l’origine
Il coefficiente angolare
e` zero
y
y ¼ mx þ q
x
Il coefficiente angolare
e` m
y
O
Il coefficiente angolare
e` m
x
y = mx + q
Ô
185
Sistemi lineari e retta
Ô 3Nota che ogni retta non parallela all’asse y, avendo un’equazione del tipo
`
y ¼ mx þ q, e il grafico di una funzione lineare; al contrario, le rette parallele
all’asse y non rappresentano il grafico di una funzione perche´ a un solo valore
di x corrispondono infiniti valori di y (cio` porta come conseguenza che per
queste rette il coefficiente angolare non e` definito).
Tema B
L’equazione generale della retta nel piano cartesiano
Abbiamo osservato nel paragrafo precedente che l’equazione y ¼ mx þ q non
permette di rappresentare tutte le rette del piano cartesiano, poiche´ non comprende le rette parallele all’asse y.
L’equazione che permette di rappresentare tutte le rette del piano e` la seguente:
ax þ by þ c ¼ 0
[4.2]
Infatti, una retta parallela all’asse y ha equazione x ¼ h, ossia x h ¼ 0, che si
puo` scrivere nella forma:
1xþ0yh¼0
a ¼ 1, b ¼ 0, c ¼ h
Una retta non parallela all’asse y ha equazione y ¼ mx þ q, che si puo` scrivere
nella forma:
m x 1 y þ q ¼ 0
a ¼ m, b ¼ 1, c ¼ q
Viceversa, ogni equazione del tipo [4.2] rappresenta una retta. Infatti:
c
se b ¼ 0, la [4.2] diventa ax þ c ¼ 0, ossia x ¼ : una retta parallela all’asse y;
a
se b 6¼ 0, risolvendo la [4.2] rispetto a y, si ottiene l’equazione equivalente:
y¼
a
c
x
b
b
che e` del tipo y ¼ mx þ q: una generica retta non parallela all’asse y.
TEOREMA 4 .1
E q ua z i o n e ge n er a l e d ell a r et t a n e l pi a n o c ar t e s i an o
Ogni retta e` rappresentata nel piano cartesiano da una equazione del tipo:
ax þ by þ c ¼ 0
dove a, b e c sono numeri reali, con a e b non entrambi nulli.
Viceversa, ogni equazione del tipo ax þ by þ c ¼ 0, con a e b non entrambi nulli, rappresenta nel piano cartesiano una retta.
Se l’equazione di una retta e` assegnata nella forma ax þ by þ c ¼ 0 si dice che
l’equazione della retta e` data in forma implicita; se invece l’equazione e` data
nella forma y ¼ mx þ q si dice che e` assegnata l’equazione della retta in forma
esplicita.
Per passare dalla forma implicita alla forma esplicita basta risolvere l’equazione
implicita rispetto a y.
Osserva
Riflettendo sull’esempio qui
a fianco puoi renderti conto
che il coefficiente angolare m
e l’ordinata all’origine q
di una retta di equazione
ax þ by þ c ¼ 0, con b 6¼ 0,
sono espressi dalle formule:
a
c
e
q¼
m¼
b
b
186
ESEMPIO
Rette in forma implicita ed esplicita
L’equazione 2x þ 3y þ 2 ¼ 0 e` l’equazione di una retta, data in forma implicita.
Risolviamo questa equazione rispetto a y:
2x þ 3y þ 2 ¼ 0
)
3y ¼ 2x 2
)
y¼
2
2
x
3
3
Abbiamo cosı` ottenuto l’equazione della retta in forma esplicita.
Unita` 4
Prova tu
1. Vero o falso?
F
b. qualsiasi retta nel piano cartesiano ha equazione del tipo y ¼ mx þ q
V
F
c. la retta di equazione x ¼ 10 e` parallela all’asse x
V
F
d. per qualsiasi retta del piano cartesiano e` definito il coefficiente angolare
V
F
e. il coefficiente angolare della retta di equazione 3x þ 2y 1 ¼ 0 e` 3
1
f. l’ordinata all’origine della retta di equazione 2x 3y 1 ¼ 0 e`
3
V
F
V
F
Rette nel piano cartesiano
a. una retta passante per l’origine ha equazione del tipo y ¼ mx þ q, con q ¼ 0 V
2. Scrivi le equazioni delle seguenti rette in forma esplicita; per ciascuna retta, specifica
il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine:
a. 2x þ 4y þ 1 ¼ 0
b. 6x 3y 2 ¼ 0
ESERCIZI a p. 211
6. Rette parallele e posizione reciproca
di due rette
Rette parallele
La geometria euclidea ci dice che due rette sono parallele se e solo se, tagliate da
una trasversale, formano con essa angoli alterni interni congruenti.
Consideriamo ora il problema analogo in geometria analitica: quale condizione dovra` essere soddisfatta dalle equazioni di due rette perche´ esse siano parallele?
Il prossimo teorema fornisce la risposta a questa domanda.
Condi zione d i p arallelismo tra due rette
TEOREMA 4 .2
Due rette non parallele all’asse y, di equazioni y ¼ mx þ q e y ¼ m0 x þ q0 , sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare.
La condizione di parallelismo e` quindi:
m ¼ m0
[4.3]
DIMOSTRAZIONE Due rette sono parallele, distinte o coincidenti, se e solo se il sistema formato dalle equazioni delle due rette e`, rispettivamente, impossibile o indeterminato.
Il sistema formato dalle equazioni delle due rette in forma normale e`:
mx y ¼ q
m0 x y ¼ q0
Per il teorema di Cramer questo sistema risulta impossibile o indeterminato se e solo se il suo determinante e` nullo, ovvero se e solo se:
m
0
m
1 ¼ m þ m0 ¼ 0
1 Ricorda
a
0
a
b ¼ ab 0 a 0 b
b0 da cui la condizione [4.3]:
m ¼ m0
187
Sistemi lineari e retta
Tema B
ESEMPIO
Parallelismo tra rette
Stabiliamo se le seguenti coppie di rette sono parallele.
a. y ¼ 2x
e
b. y ¼ x þ 1
e
c. x 2y þ 1 ¼ 0 e
y ¼ 2x þ 4
y ¼x4
2x 4y þ 3 ¼ 0
a. Le rette di equazione y ¼ 2x e y ¼ 2x þ 4 hanno entrambe coefficiente
angolare uguale a 2, quindi sono parallele.
b. La retta di equazione y ¼ x þ 1 ha coefficiente angolare uguale a 1.
La retta di equazione y ¼ x 4 ha coefficiente angolare uguale a 1.
Dal momento che le due rette hanno coefficienti angolari diversi, possiamo
concludere che non sono parallele.
c. Scriviamo le equazioni delle due rette in forma esplicita, in modo da poterne individuare i coefficienti angolari.
x 2y þ 1 ¼ 0
2x 4y þ 3 ¼ 0
2y ¼ x þ 1
4y ¼ 2x þ 3
y¼
1
1
xþ
2
2
y¼
1
3
xþ
2
4
Il coefficiente angolare e` lo stesso
Dunque le due rette sono parallele.
Posizione reciproca di due rette
Il parallelismo e` soltanto una delle reciproche posizioni che possono presentare
due rette; piu` precisamente, sappiamo dalla geometria che due rette r ed s possono essere:
1. incidenti (nel qual caso hanno in comune uno e un solo punto)
2. parallele distinte (nel qual caso non hanno punti di intersezione)
3. coincidenti
Da un punto di vista analitico, date due rette di equazioni ax þ by þ c ¼ 0 e
a0 x þ b0 y þ c0 ¼ 0, per discutere la loro posizione reciproca occorre considerare il
sistema:
ax þ by þ c ¼ 0
a0 x þ b0 y þ c0 ¼ 0
Ricordando il teorema di Cramer, possiamo affermare che:
1. il sistema e` determinato se e solo se il suo determinante ab0 a0 b e` diverso da
a
b
0, cioe` se 0 6¼ 0 (con a0 , b0 6¼ 0Þ: in tal caso le due rette sono incidenti e le
a
b
coordinate del loro punto di intersezione sono date dalla soluzione del sistema;
2. il sistema e` impossibile se e solo se ab0 a0 b ¼ 0 e bc0 b0 c 6¼ 0, cioe` se
a
b
b
c
¼ 0 e 0 6¼ 0 (con a0 , b0 , c0 6¼ 0): in tal caso le due rette sono parallele dia0
b
b
c
stinte;
3. il sistema e` indeterminato se e solo se ab0 a0 b ¼ 0 e bc0 b0 c ¼ 0, cioe` se
a
b
c
¼ 0 ¼ 0 (con a0 , b0 , c0 6¼ 0Þ: in tal caso le due rette sono coincidenti.
0
a
b
c
Lasciamo a te riformulare queste condizioni in modo equivalente nel caso in cui
le equazioni delle due rette sono date in forma esplicita. Nella seguente tabella sono riassunti tutti i risultati.
188
Incidenti
Parallele distinte
y
Unita` 4
Posizione reciproca
delle rette
Coincidenti
y
y
s
r≡s
P
x
O
r
x
O
O
s
Condizione analitica per
rette in forma implicita
a
b
6¼ 0
a0
b
a
b
b
c
¼ 0 e 0 6¼ 0
a0
b
b
c
a
b
c
¼ 0 ¼ 0
a0
b
c
Condizione analitica per
rette in forma esplicita
m 6¼ m0
m ¼ m0 e q 6¼ q0
m ¼ m0 e q ¼ q0
ESEMPIO
x
Rette nel piano cartesiano
r
Posizione reciproca di due rette
Stabiliamo la posizione reciproca delle seguenti coppie di rette:
1
3
a. 2x y þ 3 ¼ 0 e x y þ ¼ 0
2
2
pffiffiffi
pffiffiffi
b. x 2y þ 2 ¼ 0 e 2x 2y þ 2 ¼ 0
pffiffiffi
pffiffiffi
c. 2x y 1 ¼ 0 e x þ y 2 ¼ 0
a
b
c
¼ 0 ¼ 0 ¼ 2, le due rette sono coincidenti.
0
a
b
cpffiffiffi
a
b
c
2
e 0 ¼ 1, le due rette sono parallele distinte.
b. Poiche´ 0 ¼ 0 ¼
a
b
c
2
pffiffiffi b
a
a
b
c. Poiche´ 0 ¼ 2 e 0 ¼ 1, risulta 0 6¼ 0 , quindi le due rette sono incidena
b
a
b
( pffiffiffi
2x y 1 ¼ 0
pffiffiffi
ti. Risolvendo il sistema
, si trova che le due rette si interxþy 2¼0
pffiffiffi
secano nel punto di coordinate ð1, 2 1Þ.
a. Poiche´
Prova tu
1. Stabilisci se le seguenti coppie di rette sono incidenti, parallele distinte oppure coincidenti; se sono incidenti, determina le coordinate del loro punto d’intersezione:
a. 3x 4y 2 ¼ 0
b. 3x 6y þ 1 ¼ 0
c. 6x þ 8y 2 ¼ 0
e 6x 8y 4 ¼ 0
e 2x þ 3y þ 2 ¼ 0
e 3x þ 4y 2 ¼ 0
2. Determina per quale valore di k le rette di equazioni y ¼ kx 1 e y ¼ ð2k 3Þx þ 5
sono parallele.
[k ¼ 3]
ESERCIZI a p. 214
7. Rette perpendicolari
Dopo aver stabilito la condizione di parallelismo tra due rette nel piano cartesiano, poniamoci il problema di stabilire quale condizione algebrica traduce la loro
perpendicolarita`. La condizione necessaria e sufficiente per stabilire se due rette
non parallele agli assi sono perpendicolari e` espressa dal prossimo teorema.
189
Due rette non parallele agli assi, di equazioni y ¼ mx þ q e y ¼ m0 x þ q0 , sono perpendicolari se e solo se i loro coefficienti angolari hanno prodotto 1.
La condizione di perpendicolarita` e` quindi:
m m0 ¼ 1
r
r 0 : y ¼ mx e
s
x
O
r'
[4.4]
DIMOSTRAZIONE Osserviamo anzitutto che le due rette di equazioni y ¼ mx þ q e
y ¼ m0 x þ q0 , chiamiamole r ed s, sono perpendicolari se e solo se lo sono le rette r 0
ed s0 , a esse parallele e passanti per l’origine (fig. 4.19). Senza perdere di generalita`,
possiamo percio` effettuare la dimostrazione considerando le rette:
y
Tema B
Sistemi lineari e retta
` t r a du e r e t t e
C o ndi zio ne d i p er p en di c ola r i t a
TEOREMA 4 .3
s'
s0 : y ¼ m0 x
Sulle rette r 0 ed s0 consideriamo rispettivamente i punti P e Q di ascissa 1, che hanno coordinate:
Pð1, mÞ e
Qð1, m0 Þ
Le due rette r 0 ed s0 sono perpendicolari se e solo se il triangolo OPQ e` rettangolo di
ipotenusa PQ (fig. 4.20). Questa condizione equivale a dire che nel triangolo OPQ
deve essere valido il teorema di Pitagora:
Figura 4.19
2
2
OP þ OQ ¼ PQ
2
Poiche´:
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 þ m2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
OQ ¼ 1 þ m0 2
OP ¼
y
Distanza di due punti
Distanza di due punti
0
PQ ¼ jm m j
P(1, m)
O
r'
Figura 4.20
Q(1, m')
s'
Distanza di due punti che hanno la stessa ascissa
la relazione precedente diventa:
x
ð1 þ m2 Þ þ ð1 þ m0 2 Þ ¼ jm m0 j2
OP þ OQ ¼ PQ
1 þ m2 þ 1 þ m02 ¼ m2 þ m02 2mm0
jm m0 j2 ¼ ðm m0 Þ2
2
2
2
2 ¼ 2mm0
da cui, dividendo i due membri per 2:
mm0 ¼ 1
Dalla relazione m m0 ¼ 1 si ricava che:
m0 ¼ 1
m
Quindi se una retta ha coefficiente angolare m, con m 6¼ 0, una retta a essa per1
pendicolare ha coefficiente angolare uguale a , cioe` all’opposto del reciprom
co (ossia all’antireciproco) di m.
ESEMPI
Perpendicolarita` tra rette
Stabiliamo quali delle seguenti coppie di rette sono perpendicolari:
a. y ¼ 4x 1,
b. y ¼
y ¼ 0,25 x þ 1
1
x 1,
3
y ¼ 3x þ 2
c. 3x þ 5y 1 ¼ 0,
5x 3y ¼ 0
a. I coefficienti angolari delle due rette di equazioni:
y ¼ 4x 1
190
e
y ¼ 0,25x þ 1
Unita` 4
sono:
m¼4
e
m0 ¼ 0,25
Rette nel piano cartesiano
Poiche´
1
¼1
4
le due rette non sono perpendicolari.
m m0 ¼ 4 0,25 ¼ 4 b. I coefficienti angolari delle due rette di equazioni:
y¼
1
x1
3
e
y ¼ 3x þ 2
sono:
1
e m0 ¼ 3
3
Poiche´ mm0 ¼ 1, le due rette sono perpendicolari.
m¼
c. Scriviamo le equazioni delle due rette in forma esplicita, in modo da poterne individuare i coefficienti angolari.
3x þ 5y 1 ¼ 0
5x 3y ¼ 0
5y ¼ 3x þ 1
3
1
y ¼ xþ
5
5
3y ¼ 5x
5
y¼ x
3
I coefficienti angolari sono
uno l’antireciproco dell’altro
Dunque le due rette sono perpendicolari.
Prova tu
1. Stabilisci se le seguenti coppie di rette sono perpendicolari:
a. y ¼ ð2 þ
pffiffiffi
3Þx 1
pffiffiffi
e y ¼ ð 3 2Þx þ 2
b. x 2y ¼ 10
e y ¼ 2x þ 8
1
c. 2x þ 4y 1 ¼ 0
e xþy1¼0
2
2. Determina per quale valore di k sono perpendicolari le rette di equazioni:
x 2y 1 ¼ 0 e
ðk 2Þx ky 2 ¼ 0
2
k¼
3
8. Come determinare l’equazione di una retta
Rifletti
Sappiamo dalla geometria euclidea che una retta resta univocamente individuata
quando se ne conoscono un punto e la direzione, oppure due punti. Trasferendoci
nell’ambito della geometria analitica, scaturiscono i seguenti due problemi:
a. determinare l’equazione di una retta passante per un punto Pðx0 , y0 Þ e di coefficiente angolare m assegnato (il coefficiente angolare individua la direzione
della retta);
b. determinare l’equazione di una retta passante per due punti assegnati.
Retta passante per un punto di direzione assegnata
Cominciamo ad affrontare il primo problema. Sappiamo che una retta nel piano
cartesiano di coefficiente angolare m ha equazione della forma:
y ¼ mx þ q
ESERCIZI a p. 215
[4.5]
Osserva che, come in
geometria euclidea per
individuare una retta
occorrono due condizioni
geometriche, cosı` in
geometria analitica per
individuare una retta di
equazione esplicita
y ¼ mx þ q occorre assegnare
i due coefficienti m e q. C’e`
quindi un perfetto
parallelismo tra il numero
dei coefficienti
dell’equazione di una retta in
forma esplicita e il numero di
condizioni geometriche che
devono essere assegnate.
191
Sistemi lineari e retta
Per individuare l’equazione della retta passante per Pðx0 , y0 Þ occorre ricavare il
valore di q. Imponendo alle coordinate di Pðx0 , y0 Þ di soddisfare l’equazione
y ¼ mx þ q otteniamo la condizione:
y0 ¼ mx0 þ q
da cui:
q ¼ y0 mx0
Tema B
Sostituendo il valore di q cosı` ricavato nella [4.5] otteniamo l’equazione della retta cercata:
y ¼ mx þ y0 mx0
che si riscrive di solito nella forma:
y y0 ¼ mðx x0 Þ
RETTA PASSANTE PER UN PUNTO, DI ASSEGNATO COEFFICIENTE ANGOLARE
L’equazione della retta passante per Pðx0 , y0 Þ e di coefficiente angolare m e`:
y y0 ¼ mðx x0 Þ
[4.6]
In particolare, utilizzando la formula y y0 ¼ mðx x0 Þ possiamo scrivere facilmente:
1. l’equazione della retta passante per un punto e parallela a una retta data;
2. l’equazione della retta passante per un punto e perpendicolare a una retta data.
ESEMPIO
Retta passante per un punto e parallela a una retta data
Determiniamo l’equazione della retta passante per Pð1, 3Þ e parallela alla retta r ,
di equazione x 2y þ 1 ¼ 0.
L’equazione della retta r in forma esplicita e`:
y
y¼
P(–1, 3)
1 7
y= x+
2 2
x
O
x – 2y + 1 = 0
1
1
xþ ,
2
2
1
.
2
La retta passante per Pð1, 3Þ e parallela a r non e` altro che la retta passante
1
per P e di coefficiente angolare uguale a . In base alla [4.6] la sua equazione
2
sara`:
quindi il suo coefficiente angolare e` m ¼
y3¼
ESEMPIO
1
ðx ð1ÞÞ
2
da cui
y¼
1
7
xþ
2
2
Retta passante per un punto e perpendicolare a una retta data
Determiniamo l’equazione della retta passante per Pð3, 0Þ, perpendicolare alla
retta r di equazione y ¼ 2x.
y
y = 2x
3
1
y =– x+
2 2
O
192
x
P(3, 0)
Il coefficiente angolare della retta r e` 2; pertanto una retta perpendicolare a r
1
deve avere coefficiente angolare .
2
La retta cercata e` allora quella passante per Pð3, 0Þ e di coefficiente angolare
1
. In base alla [4.6] la sua equazione sara`:
2
1
y 0 ¼ ðx 3Þ
2
da cui:
1
3
y ¼ xþ
2
2
Unita` 4
Retta passante per due punti
C o e f f i c i e n t e a n g o l a r e d e l l a r e t t a pa s s a n t e pe r d u e p u n t i
TEOREMA 4 .4
Il coefficiente angolare m della retta passante per Aðx1 , y1 Þ e Bðx2 , y2 Þ, con x1 6¼ x2 , e`
uguale al rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di A e di B;
in simboli:
m¼
y2 y1
x2 x1
[4.7]
Rette nel piano cartesiano
Occupiamoci ora del secondo problema che avevamo introdotto all’inizio di questo paragrafo: scrivere l’equazione della retta passante per due punti Aðx1 , y1 Þ e
Bðx2 , y2 Þ assegnati. Dimostriamo anzitutto il seguente teorema.
L’interpretazione grafica della [4.7] e` riportata in fig. 4.21: il coefficiente angolare
di una retta e` il rapporto tra la variazione subita dalle ordinate e la corrispondente
variazione subita dalle ascisse nel passaggio da un punto di ascissa minore a un
punto di ascissa maggiore. La variazione puo` essere un incremento (come nel caso
in figura) o una diminuzione (nel caso di una retta che forma con l’asse x un angolo
ottuso).
y
y2
y1
O
B(x2, y2)
incremento
delle ordinate:
y2 – y1
A(x1, y1)
x1
x2
x
incremento
delle ascisse:
x2 – x1
Figura 4.21
DIMOSTRAZIONE
Poiche´ stiamo supponendo x1 6¼ x2 , la retta AB non e` parallela all’asse y, quindi la
sua equazione sara` del tipo:
y ¼ mx þ q
Imponendo alle coordinate di Aðx1 , y1 Þ e Bðx2 , y2 Þ di soddisfarla, otteniamo il sistema:
y1 ¼ mx1 þ q
y2 ¼ mx2 þ q
Sottraendo dalla seconda equazione del sistema la prima otteniamo l’equazione:
y2 y1 ¼ mðx2 x1 Þ
da cui, dividendo per x2 x1 , si ricava la [4.7].
Ora possiamo facilmente risolvere il problema da cui siamo partiti, cioe` scrivere
l’equazione della retta passante per due punti Aðx1 , y1 Þ e Bðx2 , y2 Þ:
1. se x1 ¼ x2 , la retta AB e` parallela all’asse y, quindi la sua equazione e` x ¼ x1 ;
2. se x1 6¼ x2 , il coefficiente angolare mAB della retta AB si puo` determinare mediante la formula [4.7] e l’equazione della retta AB si puo` ottenere scrivendo
l’equazione della retta passante per A (o per BÞ, di coefficiente angolare mAB .
ESEMPI
Retta passante per due punti
Scriviamo l’equazione della retta passante per A e B in ciascuno dei seguenti casi:
a. Að2, 4Þ e Bð1, 1Þ
b. Að3, 3Þ e Bð3, 6Þ
Ô
193
y
5 2
y=– x +
3
3
A(–2, 4)
–5
x
O
3
Tema B
Sistemi lineari e retta
Ô
B(1, –1)
Figura 4.22
y
B(3, 6)
a. La retta AB non e` parallela all’asse y perche´ xA 6¼ xB .
Calcoliamo anzitutto il coefficiente angolare della retta AB (fig. 4.22):
mAB ¼
yB yA
1 4
5
¼
¼
1 ð2Þ
3
xB xA
Allora l’equazione della retta AB si puo` calcolare scrivendo l’equazione del5
la retta passante per A o per B e di coefficiente angolare . Per esempio,
3
utilizziamo il punto A.
5
L’equazione della retta passante per Að2, 4Þ e di coefficiente angolare e`:
3
5
y 4 ¼ ðx ð2ÞÞ
3
ossia:
5
2
y ¼ xþ
3
3
b. I due punti A e B hanno la stessa ascissa, quindi la retta AB e` parallela all’asse y (fig. 4.23). La sua equazione e` ovviamente x ¼ 3.
A(3, 3)
Equazione dell’asse di un segmento
O
x=3
x
Figura 4.23
Le nozioni apprese in questo paragrafo ci permettono di affrontare un’altro problema in cui ci si imbatte di frequente: determinare l’equazione dell’asse di un
segmento AB, note le coordinate di A e di B. Il problema si puo` risolvere facilmente, ricordando che l’asse di AB e` la retta passante per il punto medio di AB e
perpendicolare ad AB.
ESEMPIO
Asse di un segmento come retta perpendicolare al segmento
nel suo punto medio
Determiniamo l’equazione dell’asse del segmento AB, di estremi Að2, 0Þ e
Bð2, 3Þ.
3
`
1. Il punto medio di AB e M 0,
.
2
2. Il coefficiente angolare della retta AB e`:
m¼
y
Asse di AB
B(2, 3)
M
A(–2, 0) O
x
yB yA
30
3
¼
¼
2 ð2Þ
4
xB xA
quindi una retta a essa perpendicolare (quale e` l’asse) deve avere coefficien4
te angolare uguale a .
3
3
`
e di coefficiente angolare
3. L’asse di AB e la retta passante per M 0,
2
4
, quindi ha equazione:
3
3
4
4
3
y ¼ ðx 0Þ, da cui y ¼ x þ
2
3
3
2
Prova tu
1. Scrivi l’equazione della retta passante per il punto Pð1, 2Þ e parallela alla retta r di
3
equazione y ¼ x þ 1 e l’equazione della retta passante per P e perpendicolare alla
2
retta r.
3
1
2
8
y ¼ x , y ¼ x
2
2
3
3
2. Scrivi l’equazione della retta passante per Að1, 2Þ e per Bð2, 3Þ.
[ y ¼ 5x 7]
3. Scrivi l’equazione dell’asse del segmento AB, di estremi Að4, 0Þ e Bð2, 2Þ.
ESERCIZI a p. 217
194
[y ¼ 3x 2]
P
H
O
dðP, rÞ
Supponiamo di conoscere le coordinate di un punto P e l’equazione di una retta r.
Come possiamo calcolare la distanza di P da r?
Per fissare le idee, consideriamo il punto Pð4, 5Þ e proponiamoci di determinare
la sua distanza dalla retta r di equazione 2x þ y 4 ¼ 0. A tale scopo, tracciamo
dal punto P le rette parallele agli assi, indicando con A il punto in cui la parallela
all’asse y incontra la retta r e con B il punto in cui la parallela all’asse x incontra
la retta r (fig. 4.25). Nel triangolo APB la distanza di P dalla retta AB rappresenta
l’altezza relativa ad AB. Ricordando dalla geometria che la misura dell’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo e` uguale al prodotto delle misure
dei cateti diviso per la misura dell’ipotenusa, possiamo scrivere che:
PH ¼
y
PA PB
AB
[4.8]
r
x
Figura 4.24
Rette nel piano cartesiano
In questo paragrafo trattiamo, dal punto di vista analitico, il problema di determinare la distanza di un punto P da una retta.
Ricordiamo che la distanza di un punto P da una retta r e` la misura del segmento PH, essendo H il piede della perpendicolare condotta da P alla retta stessa
(fig. 4.24).
Indicheremo la distanza di P dalla retta r con la scrittura:
Unita` 4
9. Distanza di un punto da una retta
y
B H
P
x
O
A
Per calcolare la distanza di P dalla retta r e` sufficiente allora che calcoliamo le misure di PA, PB e AB e le sostituiamo in questa formula.
Il punto A e` il punto della retta r di ascissa 4. Sostituendo nell’equazione della
retta 4 al posto di x otteniamo:
r
Figura 4.25
2 4 þ y 4 ¼ 0 ) y ¼ 4
Quindi Að4, 4Þ. Il punto B e` il punto della retta r di ordinata 5. Sostituendo 5 al
posto di y nell’equazione della retta otteniamo:
1
2x þ 5 4 ¼ 0 ) x ¼ 2
1
Quindi B , 5 . Mediante le formule che assegnano le distanze tra due punti
2
si ricava che
9
9 pffiffiffi
5
PA ¼ 9, PB ¼ , AB ¼
2
2
quindi
9
pffiffiffi
9
2 ¼ p9ffiffiffi ¼ 9 5
PH ¼
Sostituendo nella [4.8] le misure di PA, PB e AB
5
9 pffiffiffi
5
5
2
Si puo` ripetere questo procedimento per una generica retta r di equazione
ax þ by þ c ¼ 0 e per un generico punto Pðx0 , y0 Þ; con calcoli un po’ laboriosi che
non riportiamo si perviene cosı` alla formula fornita dal prossimo teorema.
D i s t a n z a di un p u n t o d a u n a re t t a
TEOREMA 4 .5
Se r e` la retta di equazione ax þ by þ c ¼ 0 e Pðx0 , y0 Þ, la distanza di P da r e` data dalla
formula:
dðP, r Þ ¼
jax0 þ by0 þ c j
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a2 þ b2
[4.9]
La [4.9] consente di determinare direttamente la distanza di un punto P da una
retta r tutte le volte che si conoscono le coordinate di P e l’equazione della retta,
senza dover tutte le volte seguire il procedimento che abbiamo applicato poc’anzi.
195
Sistemi lineari e retta
Osserva che per applicare la [4.9] occorre che l’equazione della retta sia in forma
implicita: se l’equazione di una retta e` data in forma esplicita, occorre prima riscriverla in tale forma.
ESEMPIO
Distanza di un punto da una retta
Calcoliamo nuovamente la distanza del punto Pð4, 5Þ dalla retta di equazione
2x þ y 4 ¼ 0, stavolta mediante la formula [4.9].
Tema B
Dobbiamo applicare la formula [4.9] con:
a ¼ 2, b ¼ 1, c ¼ 4
Si ha:
dðP, rÞ ¼
x0 ¼ 4, y0 ¼ 5
e
pffiffiffi
j2 4 þ 1 5 4j
9
9 5
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ pffiffiffi ¼
5
5
22 þ 12
Prova tu
Calcola la distanza del punto Pð1, 2Þ dalla retta di equazione:
ESERCIZI a p. 222
pffiffiffi
½ 2
xþy3¼0
10. Semipiani, segmenti, semirette, angoli
e poligoni nel piano cartesiano
La rappresentazione analitica di semipiani, segmenti, semirette,
angoli , strisce e poligoni
Modi di dire
«Rappresentazione analitica»
significa «rappresentazione
algebrica nel piano
cartesiano», ovvero
«rappresentazione in formule».
Nei paragrafi precedenti abbiamo stabilito un’importante corrispondenza fra enti della geometria ed enti dell’algebra: ogni retta e` rappresentata nel piano cartesiano da un’equazione lineare in due incognite e, viceversa, ogni equazione lineare in due incognite rappresenta nel piano cartesiano una retta. In questo paragrafo individueremo altre corrispondenze di questo tipo caratterizzando dal
punto di vista algebrico i semipiani, i segmenti, le semirette, gli angoli, le strisce
e i poligoni.
1. I semipiani
Consideriamo una generica retta r, non parallela all’asse y, di equazione
y ¼ mx þ q: essa individua due semipiani, e , colorati in giallo e in azzurro in
fig. 4.26. Il semipiano , che contiene la «punta» dell’asse y, e` detto semipiano
«al di sopra» della retta r; il semipiano , che contiene la «coda» dell’asse y, e` detto semipiano «al di sotto» della retta r.
α
y
α
y = mx + q
y
y = mx + q
P(x, y)
Q(x, mx + q)
x
O
β
Figura 4.26
196
x
O
r
r
Figura 4.27
Il semipiano e` quindi caratterizzato analiticamente da tale disequazione.
Ragionando analogamente, si deduce che il semipiano , «al di sotto» della retta
r e` caratterizzato, invece, dalla disequazione:
y < mx þ q
Rette nel piano cartesiano
y > mx þ q
Unita` 4
Quale condizione caratterizza le coordinate dei punti appartenenti a questi due
semipiani? Fissiamo l’attenzione, per esempio, sui punti appartenenti al semipiano (fig. 4.27): e` chiaro che, preso un generico punto Pðx, yÞ nel piano cartesiano, e indicato con Q il punto di ascissa x appartenente alla retta r, il punto P appartiene al semipiano se e solo se l’ordinata di P e` maggiore dell’ordinata di Q,
ossia se e solo se:
Le rette parallele all’asse y individuano semipiani che sono descritti analiticamente da disequazioni sulle ascisse dei punti.
x <h
y
y
x
O
x >h
x
O
x =h
x =h
Figura 4.28
Figura 4.29
Consideriamo, per esempio, il semipiano «a sinistra» della retta di equazione
x ¼ h (fig. 4.28); esso e` caratterizzato dalla seguente proprieta`: tutti i suoi punti
hanno ascisse minori di h, dunque tale semipiano e` caratterizzato dalla disequazione:
x<h
Analogamente, il semipiano «a destra» della retta di equazione x ¼ h (fig. 4.29) e`
caratterizzato dalla disequazione:
x>h
Negli esempi precedenti abbiamo considerato semipiani aperti, cioe` semipiani
in cui la frontiera non appartiene al semipiano stesso: per questo motivo la frontiera e` stata disegnata tratteggiata.
Possiamo riassumere le considerazioni svolte dicendo che i semipiani aperti sono
caratterizzati analiticamente da disequazioni lineari nelle due incognite x e y
di uno dei seguenti tipi:
y > mx þ q
o
y < mx þ q
o
x>h
o
x<h
E` chiaro che i semipiani chiusi, cioe` i semipiani in cui la frontiera appartiene al
semipiano stesso, saranno caratterizzati invece da disequazioni lineari di uno
dei seguenti tipi:
y mx þ q
o
y mx þ q
o
xh
o
xh
2. Le semirette e i segmenti
Dopo aver stabilito che le rette sono rappresentate analiticamente nel piano cartesiano da equazioni lineari e i semipiani da disequazioni lineari, ci proponiamo di
caratterizzare algebricamente le semirette e i segmenti.
197
Sistemi lineari e retta
Tema B
y
y = x +2
x
O
–2
Consideriamo, per esempio, sulla retta di equazione y ¼ x þ 2, la semiretta costituita dai punti aventi ordinata non negativa (fig. 4.30).
Per identificare i punti della semiretta dobbiamo dare due informazioni: l’equazione y ¼ x þ 2, che assegna i punti della retta, e la disequazione x 2, che dice
di attribuire a x solo i valori maggiori o uguali a 2.
La semiretta e` quindi rappresenta dal seguente sistema:
(
y ¼xþ2
x 2
Figura 4.30
y
–4
A
O
Consideriamo ora il segmento AB, avente gli estremi A e B nei punti di ascissa
4 e 2 della retta equazione y ¼ x þ 2 (fig. 4.31). Riconosciamo che i suoi punti
non sono altro che quelli della retta AB aventi ascissa compresa tra 4 e 2 (inclusi
4 e 2); pertanto il segmento AB e` rappresentato dal sistema:
B
2
x
y = x +2
Figura 4.31
Attenzione!
Il sistema misto che
rappresenta una semiretta o
un segmento non e` unico;
per esempio:
la semiretta in fig. 4.30
potrebbe essere
rappresentata
anche dal
y ¼xþ2
sistema
y0
il segmento in fig. 4.31
potrebbe essere
rappresentato
anche dal
y ¼xþ2
sistema
2 y 4
(
y ¼xþ2
4 x 2
Riflettendo sui risultati ottenuti possiamo notare che abbiamo potuto rappresentare analiticamente semirette e segmenti mediante sistemi costituiti da un’equazione e una disequazione, percio` detti misti. Il risultato e` valido in generale: le
semirette e i segmenti sono rappresentati analiticamente da sistemi misti.
3. Angoli, strisce e poligoni
Concludiamo la nostra analisi a riguardo della caratterizzazione algebrica di figure geometriche trattando il caso degli angoli, delle strisce e dei poligoni. Conveniamo, anche se non lo ripeteremo tutte le volte, di riferirci esclusivamente a figure convesse.
Per caratterizzare angoli, strisce e poligoni non occorrono sistemi misti, come
per i segmenti e le semirette, ma sistemi di disequazioni lineari in due incognite: infatti, gli angoli, le strisce e i poligoni si possono ottenere come intersezioni di opportuni semipiani e i semipiani, come abbiamo visto, sono descritti analiticamente da disequazioni lineari in due incognite.
Nelle didascalie delle seguenti figure sono forniti alcuni esempi.
y
y
y
y =2
x
O
x
O
x
O
y = –2
x = –1
x =2
La striscia limitata dalle due
rette di equazioni x ¼ 1 e
x ¼ 2 e` l’intersezione dei due
semipiani x 1 e x 2,
quindi e` rappresentata dal
sistema:
x 1
x2
Figura 4.32
198
y =x
y = –x
L’angolo colorato e`
l’intersezione dei due
semipiani chiusi «al di sopra»
delle rette di equazioni y ¼ x
e y ¼ x, quindi e`
rappresentato dal sistema:
yx
y x
x = –2
x =2
Il quadrato colorato e`
l’intersezione della striscia
costituita dai punti di ascissa
compresa tra 2 e 2 e della
striscia costituita dai punti di
ordinata compresa tra 2 e 2.
Il quadrato e` quindi
rappresentato dal sistema:
2 x 2
2 y 2
Unita` 4
COLLEGHIAMO I CONCETTI
Dalla geometria... all’algebra
Rette nel piano cartesiano
3Riassumiamo nella seguente tabella tutte le corrispondenze fra enti della geometria ed enti dell’algebra che abbiamo finora individuato.
Figure geometriche
Sono rappresentate
analiticamente da...
Esempi
Rette
... equazioni lineari in due
incognite
3x 2y ¼ 5 (retta)
Semipiani
... disequazioni lineari in
due incognite
3x 2y 5 (semipiano
Segmenti e semirette
... sistemi misti
Angoli, strisce e poligoni
(convessi)
... sistemi di disequazioni
lineari in due incognite
chiuso)
x þ y ¼ 1
x1
(semiretta)
8
<x 0
y0
(triangolo)
:
y x þ 3
La rappresentazione grafica di disequazioni e sistemi
di disequazioni lineari in due incognite
Nel paragrafo precedente abbiamo visto che semipiani, segmenti, semirette, angoli, strisce e poligoni possono essere rappresentati analiticamente tramite disequazioni lineari in due incognite o sistemi misti o sistemi di disequazioni lineari
in due incognite. Viceversa, escludendo il caso di disequazioni o sistemi sempre
verificati o impossibili, possiamo affermare che:
le disequazioni lineari in due incognite sono rappresentate nel piano cartesiano da semipiani;
i sistemi misti formati da un’equazione lineare in due incognite e da una (o
piu`) disequazioni lineari nelle stesse incognite sono rappresentati da una semiretta o da un segmento (eventualmente ridotto a un punto);
i sistemi di disequazioni lineari in due incognite sono rappresentati da angoli, strisce, poligoni o figure convesse.
Ricorda
Quando diciamo che una
disequazione lineare in due
incognite e` rappresentata da
un semipiano, intendiamo
dire che l’insieme delle
soluzioni della disequazione
(cioe` l’insieme delle coppie
ordinate ðx, yÞ che
soddisfano la disequazione) e`
rappresentato da un
semipiano.
In tutti i casi, a seconda che nelle disequazioni compaiano i simboli di disuguaglianza debole ð, Þ o stretta ð>, <Þ, dovremo considerare inclusa o esclusa la
frontiera delle figure definite dalle disequazioni.
Nella rappresentazione grafica adotteremo la convenzione di tratteggiare le parti
di frontiera che sono escluse e di disegnare con linee continue le altre.
ESEMPIO
Rappresentazione di disequazioni lineari in due incognite
Rappresentiamo nel piano cartesiano le disequazioni:
a. y 1
xþ3
2
b. 2x y þ 4 < 0
y
a. La disequazione e` rappresentata dal semipiano chiuso «al di sopra» della ret1
1
ta di equazione y ¼ x þ 3 (fig. 4.33). La retta di equazione y ¼ x þ 3
2
2
va disegnata con una linea continua poiche´ appartiene al semipiano.
b. Si tratta di una disequazione lineare in forma implicita. Risolviamo anzitutto la disequazione rispetto a y.
2x y þ 4 < 0
3
O
6
x
y = –1 x + 3
2
Disequazione da risolvere rispetto a y
y < 2x 4
y > 2x þ 4
y ≥ –1 x + 3
2
Figura 4.33
Attenzione al verso!
Ô
199
Sistemi lineari e retta
Tema B
Ô
y
2x – y + 4 < 0
4
–2
Figura 4.34
y = 2x + 4
O
x
Poiche´ la disequazione 2x y þ 4 < 0 e` equivalente a y > 2x þ 4, essa e` rappresentata dal semipiano aperto «al di sopra» della retta di equazione
y ¼ 2x þ 4 (fig. 4.34). La retta di equazione y ¼ 2x þ 4, che costituisce la frontiera del semipiano, va tratteggiata perche´ nella disequazione y > 2x þ 4 compare il simbolo di disuguaglianza stretta.
PER SAPERNE DI PIU`
Altri metodi risolutivi
Per rappresentare nel piano cartesiano una disequazione in forma implicita, come quella
di quest’ultimo esempio, si puo` anche ragionare in modo diverso. Per esempio, riconsideriamo la disequazione 2x y þ 4 < 0; per stabilire quale semipiano e` rappresentato da tale disequazione puo` ragionare cosı`:
1. si rappresenta la frontiera del semipiano, che in questo caso e` la retta di equazione
2x y þ 4 ¼ 0;
2. si sostituiscono le coordinate di un punto (non appartenente alla frontiera) nella disequazione e si verifica se la disequazione e` soddisfatta o meno. Nel nostro caso, possiamo scegliere come punto l’origine; ci chiediamo: (0, 0) soddisfa la disequazione
2x y þ 4 < 0? Sostituendo in questa disequazione 0 al posto di x e di y, otteniamo:
2 0 0 þ 4 < 0, ossia 4 < 0, che e` evidentemente falso. Pertanto l’origine non appartiene al grafico di 2x y þ 4 < 0. Concludiamo allora che, fra i due semipiani aventi
come frontiera la retta di equazione 2x y þ 4 ¼ 0, quello che rappresenta la disequazione 2x y þ 4 < 0 e` il semipiano che non contiene l’origine, cioe` quello colorato in
arancione in fig. 4.34.
Rappresentazione di un sistema di disequazioni lineari
in due incognite
8
<y 3 0
Rappresentiamo graficamente il sistema x þ y þ 1 0 .
:
2x y 1 0
ESEMPIO
Esplicitiamo le disequazioni del sistema rispetto a y:
8
8
8
<y 3
<y 3 0
<y 3
y x 1
)
y x 1
xþyþ10 )
:
:
:
y 2x þ 1
y 2x 1
2x y 1 0
I tre semipiani chiusi rappresentati dalle disequazioni del sistema sono: quello
al di sotto della retta di equazione y ¼ 3, quello al di sopra della retta di equazione y ¼ x 1 e quello al di sopra della retta di equazione y ¼ 2x 1.
La loro intersezione e` il triangolo di vertici Að4, 3Þ, Bð2, 3Þ e Cð0, 1Þ, compresi i lati del triangolo (fig. 4.39).
y
A
B
O
C
y = 2x – 1
y=3
x
y = –x – 1
Figura 4.35
Prova tu
1. Scrivi una disequazione o un sistema che rappresenti analiticamente:
a. il semipiano aperto «al di sopra» della bisettrice del secondo e del quarto quadrante;
200
Unita` 4
Rette nel piano cartesiano
b. il semipiano chiuso che ha come frontiera la retta di equazione x y 1 ¼ 0 e
che contiene l’origine;
c. la semiretta avente ordinate negative o nulle che giace sulla retta di equazione
y ¼ 2x þ 1;
d. il segmento di estremi Að2, 1Þ e Bð3, 3Þ.
2. Scrivi una rappresentazione analitica di ciascuna delle seguenti figure.
y
y
O
x
O
y
x
O
x
3. Rappresenta graficamente le seguenti disequazioni:
a. y > 2x þ 4
b. x 2
c. y x 2
d. x y þ 3 0
4. Rappresenta graficamente i seguenti sistemi:
8
<x þ y 4
a.
x þ y 4
:
y ¼ 2x
8
x 2
>
>
<
y4<0
b.
>x y 3 > 0
>
:
xy6<0
8
<y 3 0
c.
xy 0
:
5x þ y þ 12 0
ESERCIZI a p. 224
11. Problemi che hanno modelli lineari
Proponiamo ora alcuni problemi che possono essere risolti utilizzando i grafici di
opportune funzioni lineari, oppure facendo ricorso alle rappresentazioni grafiche
delle soluzioni di disequazioni lineari in due incognite. Iniziamo da un problema
di scelta: si chiamano cosı` i problemi in cui viene chiesto di operare, fra varie alternative, la scelta piu` conveniente (secondo un determinato criterio, che puo` essere per esempio quello di minimizzare un costo o massimizzare un profitto).
PROBLEMA
1 Problema di scelta
Paolo vuole frequentare una palestra di arrampicata per un mese e si trova a dover scegliere tra le seguenti tre possibilita`:
a. la palestra A richiede un costo fisso di iscrizione di 25 euro, piu` 5 euro per ogni ingresso;
b. la palestra B richiede un costo fisso di iscrizione di 15 euro, piu` 7 euro per ogni ingresso;
c. la palestra C richiede un abbonamento mensile di 85 euro, senza limiti di ingresso.
Qual e` la scelta piu` conveniente per Paolo?
FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA
E` evidente che non potra` esserci una scelta piu` conveniente «in assoluto»: la maggiore
o minore convenienza di una palestra dipendono infatti dal numero di ingressi che Paolo
intende effettuare in un mese. Ci proponiamo percio` di determinare qual e` la scelta piu`
conveniente, in relazione al numero degli ingressi.
COSTRUIAMO IL MODELLO ALGEBRICO DEL PROBLEMA
Indichiamo con x il numero di ingressi alla palestra che Paolo intende effettuare in un
mese e con y la corrispondente spesa; x potra` variare nell’insieme dei numeri naturali.
Abbiamo che:
la spesa per frequentare la palestra A e` espressa dalla funzione y ¼ 25 þ 5x;
la spesa per frequentare la palestra B e` espressa dalla funzione y ¼ 15 þ 7x;
la spesa per frequentare la palestra C e` espressa dalla funzione y ¼ 85.
Tracciando i grafici delle tre funzioni e confrontandoli, potremo stabilire facilmente
qual e` la scelta piu` conveniente.
Ô
201
GRAFICI DELLE FUNZIONI
Per comodita`, tracciamo i grafici delle tre funzioni come se x fosse una variabile reale
(anche se i punti dei grafici che rappresentano il problema sono in realta` solo quelli a
coordinate intere positive o nulle, dal momento che il dominio di x e` N).
I grafici delle tre funzioni, in un opportuno sistema di riferimento non monometrico,
sono quelli riportati nella figura qui sotto.
y
Tema B
Sistemi lineari e retta
Ô
y = 15 + 7x
120
B
80
50
A
C
y = 25 + 5x
40
O
2
5
y = 85
10 12
x
Ai fini della risoluzione del problema e` importante determinare le coordinate dei punti
di intersezione A, B e C dei grafici che abbiamo annotato in figura. Cio` si puo` effettuare
facilmente risolvendo i seguenti sistemi:
y ¼ 25 þ 5x
) Að5, 50Þ
y ¼ 15 þ 7x
y ¼ 15 þ 7x
) Bð10, 85Þ
y ¼ 85
y ¼ 25 þ 5x
) Cð12, 85Þ
y ¼ 85
La linea di «minore costo» e` quella che abbiamo evidenziato in figura con maggiore spessore: essa e` costituita per x < 5 dalla retta blu (corrispondente alla palestra B); per
5 < x < 12 dalla retta rossa (corrispondente alla palestra A) e per x > 12 dalla retta verde
(corrispondente alla palestra C). Le conclusioni sono allora le seguenti.
RISPONDIAMO
Una importante classe di
problemi di scelta e` costituita
dai cosiddetti problemi di
programmazione lineare.
Puoi trovare un
approfondimento a questo
riguardo nel CD-ROM.
Possiamo affermare che:
per un numero di ingressi inferiore a 5 conviene recarsi nella palestra B;
per un numero di ingressi compreso tra 5 e 12 conviene recarsi nella palestra A;
per un numero di ingressi superiore a 12 conviene recarsi nella palestra C;
per esattamente 5 ingressi e` indifferente la palestra A o la B;
per esattamente 12 ingressi e` indifferente recarsi nella palestra C o nella A.
PROBLEMA
2 Su un traghetto
Un piccolo traghetto ha posti per caricare al massimo 15 auto. Un autobus occupa il posto di 3 auto. Quante sono tutte le possibili combinazioni di auto e di autobus che il traghetto puo` trasportare?
FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA
Ci sono molte possibili combinazioni di auto e autobus che il traghetto puo` trasportare.
Per esempio:
se il traghetto trasporta solo auto, puo` trasportarne un numero qualsiasi da 0 a 15.
se il traghetto trasporta solo autobus, dal momento che i posti disponibili sono al
massimo 15 e che un autobus occupa tre posti, puo` trasportarne un numero qualsiasi
da 0 a 5.
se il traghetto trasporta auto e autobus, le possibilita` sono molteplici: per esempio,
potrebbe trasportare 1 autobus e 12 auto, oppure 3 autobus e 2 auto, oppure 3 autobus e 6 auto ecc...
Ci serve un buon modello che ci aiuti a elencare tutte le possibilita`.
202
Unita` 4
COSTRUIAMO IL MODELLO ALGEBRICO DEL PROBLEMA
Rette nel piano cartesiano
Indichiamo con x il numero di auto trasportate dal traghetto in un viaggio e con y il numero di autobus. Una macchina occupa 1 posto, quindi x macchine occupano x posti.
Un autobus occupa 3 posti, quindi y autobus occupano 3y posti.
Il traghetto ha al massimo 15 posti, quindi x e y devono soddisfare la disequazione:
x þ 3y 15
Inoltre, x e y devono essere due numeri naturali; deve, cioe`, essere: x, y 2 N. Quindi il
modello algebrico del problema e` il seguente particolare sistema:
x þ 3y 15
[4.10]
x 2 N, y 2 N
Le possibili combinazioni di auto e autobus che il traghetto puo` trasportare sono tante
quante le soluzioni del sistema [4.10].
RAPPRESENTIAMO GRAFICAMENTE IL SISTEMA [4.10]
La disequazione x þ 3y 15 e` soddisfatta dalle coordinate di tutti i punti appartenenti
al semipiano colorato nella figura qui sotto.
y
x + 3y ≤ 15
x
O
Fra i punti di tale semipiano, rappresentano soluzioni del sistema solo quelli appartenenti al primo quadrante o agli assi che hanno come coordinate numeri naturali, cioe`
quelli indicati nella seguente figura.
y
O
x
x + 3y = 15
Si puo` contare che i punti sono 51 (quindi ci sono 51 soluzioni del sistema).
RISPONDIAMO
Ci sono 51 combinazioni di auto e autobus che possono essere trasportate dal traghetto
in un viaggio.
Prova tu
Tre compagnie telefoniche applicano le seguenti tariffe:
compagnia A: 25 centesimi alla risposta piu` 25 centesimi per ogni minuto di conversazione;
compagnia B: 40 centesimi alla risposta piu` 20 centesimi per ogni minuto di conversazione;
compagnia C: 30 centesimi per minuto di conversazione, senza scatto alla risposta.
Qual e` la scelta piu` conveniente, in relazione alla durata di una conversazione?
[Fino a 4 minuti di conversazione conviene C; oltre i 4 minuti conviene B;
per 4 minuti e` indifferente B o C]
ESERCIZI a p. 227
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