TECNICA DELLE COSTRUZIONI Sicurezza strutturale Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 1 Sicurezza strutturale Requisito fondamentale in ogni operazione di: 1. progettazione 2. costruzione 3. utilizzazione delle opere strutturali Metodi di valutazione della sicurezza che consentano di verificarne la positività in tutti gli stati in cui verrà a trovarsi la struttura Misura positiva della sicurezza nei diversi stati = struttura “affidabile” affidabile Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 2 deterministici Metodi di misura della sicurezza nelle costruzioni tensioni ammissibili calcolo a rottura di livello 3 probabilistici di livello 2 di livello 1 (semiprobabilistico) Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 3 Metodo delle tensioni ammissibili La misura della sicurezza avviene nello spazio delle tensioni. Se ≤ R = Rk γ Prof. G. Mancini o anche ∑S e ≤R= Rk γ Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 4 ∑S e rappresenta la combinazione tensionale (tensione ideale) cui si fa riferimento nel caso di stati di sollecitazione combinati Se tensione “puntuale” nel materiale dovuta alle azioni di esercizio e valutata con analisi elastica lineare in presenza di qualunque tipo di azione (dirette e indirette) Rk frattile 5% della distribuzione di frequenza delle resistenze i t ((resistenza i t caratteristica) tt i ti ) R= γ Rk γ tensione ammissibile coefficiente di sicurezza Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 5 Svantaggi del metodo delle tensioni ammissibili 1. 2. 3. 4. sollecitazioni valutate in modo deterministico senza considerare alcuna incertezza e/o aleatorietà elasticità lineare che non consente di tener conto di fenomeni anelastici e reologici eologici (fessurazione, (fess a ione fluage, fl age ...) e della eventuale non-linearità di comportamento del materiale coefficienti di sicurezza necessariamente ampi perchè devono coprire tutte le cause di incertezza lato azioni e resistenze ⇒ effetto psicologico pericoloso misura reale della sicurezza artificiosa o impossibile Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 6 Vantaggi del metodo delle tensioni ammissibili 1. 2 2. 3 3. 4. facilità di determinazione delle sollecitazioni per la possibilità di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti facilità nell’indi nell’individuazione id a ione delle combinazioni combina ioni di carico ca ico più gravose (linee di influenza) buona attendibilità (in campo statico) delle sollecitazioni determinate nei campi usuali di impiego buon comportamento nelle numerose strutture realizzate Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 7 Metodo di calcolo a rottura Metodo di calcolo a rottura La misura della sicurezza avviene nello spazio delle forze. p γ u ⋅ Ae ≤ Au Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 8 e distinguendo g le azioni permanenti p Ge : Ge + γ u ⋅ Ae ≤ Au con : Ge azioni permanenti di esercizio Ae azioni variabili di esercizio Au azioni variabili ultime γu coefficiente di sicurezza ultimo Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 9 Svantaggi del metodo di calcolo a rottura 1. 2. 3. misura della sicurezza ancora deterministica non valuta le condizioni di esercizio coefficienti di sicurezza necessariamente ampi perchè de ono coprire devono cop i e tutte t tte le cause ca se di ince incertezza te a lato a azioni ioni e resistenze ⇒ effetto psicologico pericoloso Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 10 Vantaggi del metodo di calcolo a rottura 1. 2 2. 3 3. possibilità di presa in conto di fenomeni anelastici o reologici o di non-linearità di comportamento dei materiali valutazione al ta ione corretta co etta degli effetti delle deformazioni defo ma ioni impresse possibilità di controllo sperimentale della sicurezza ultima In ogni caso entrambi i metodi deterministici presentano notevoli lacune nella valutazione della sicurezza strutturale Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 11 Condizione di stato limite In ambito strutturale, il concetto di stato limite legato ad uno specifico requisito è interpretabile come uno stato della struttura, raggiunto il quale, essa non è in grado di soddisfare il requisito. Il requisito di stato limite divide lo spazio n -dimensionale dimensionale in un dominio di insuccesso (nel quale il requisito non è soddisfatto)) e in un dominio di successo,, detto anche dominio di sicurezza (nel quale il requisito è soddisfatto); il confine tra i due domini è detto stato limite. Si definisce probabilità di insuccesso la probabilità di non soddisfacimento del requisito di stato limite limite. Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 12 Funzione di stato limite La funzione di stato limite è la rappresentazione analitica della condizione di stato limite. Quindi, la funzione di stato limite esprime analiticamente una condizione raggiunta la quale, la struttura non può ò più ù svolgere le funzioni o non soddisfa più le condizioni per cui è stata progettata. progettata Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 13 Metodo probabilistico di livello 3 La misura della sicurezza nei confronti di un generico stato consiste nella determinazione della relativa probabilità di insuccesso Pr e nel suo confronto con un valore di riferimento sufficientemente piccolo prefissato Pr* Pr ≤ Pr* Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 14 Pr* rottura fragile g 10 −5 ÷ 10 −7 ( (acciaio in trazione,, cls in compressione, terreno, instabilità, ...) rottura duttile 10 −4 ÷ 10 −5 (acciaio o c.a. in flessione, cedimenti fondali, fondali ...)) condizioni di esercizio 10 −2 ÷ 10 −3 (deformazioni, fessurazione, vibrazione, ib i ...)) Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 15 Sia X il vettore rappresentativo pp delle n variabili aleatorie che intervengono nella definizione della sicurezza; sia inoltre f X la funzione di densità di probabilità congiunta d ll n variabili delle i bili aleatorie, l t i tali t li che: h f X ( x1 , x2 ,..., xn ) dx1dx2 ...dxn = = P[( x1 < X 1 ≤ x1 + dx d 1 ) ∩ ( x2 < X 2 ≤ x2 + dx d 2 ) ∩ ... ... ∩ ( xn < X n ≤ xn + dxn )] Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 16 Se è noto il dominio di insuccesso Dr' , la probabilità p di insuccesso Pr può essere immediatamente calcolata, come la probabilità che il vettore X si trovi all’interno di Dr' : Pr = ∫f X ( x1 , x2 ,..., xn )dx d 1dx d 2 ...dx d n Dr' Ammesso di poter separare le n variabili aleatorie in favorevoli e sfavorevoli, si possono definire le due variabili aleatorie R ed S, tali che: R = g R ( X 1 , X 2 ,..., X m ) S = g S ( X m +1 , X m + 2 ,,...,, X n ) Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 17 Pertanto,, considerata la variabile aleatoria E=R-S,, la probabilità di insuccesso è calcolata nel seguente modo: Pr = P{E ≤ 0} = ∫f R ,S (r , s)drds (1) Dr' con : Dr' dominio di insuccesso (insicurezza), nel quale cioè e ≤ 0 f R,S densità di probabilità congiunta delle due variabili aleatorie R ed S Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 18 Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 19 Integrando g la (1) ( ) per p strisce si ha: 1. in orizzontale ⎡ ⎤ Pr = ∫ ⎢ ∫ f R , S (r , s )ds ⎥ dr − ∞⎣ r ⎦ +∞ +∞ 2. (2) in verticale ⎡s ⎤ Pr = ∫ ⎢ ∫ f R , S (r , s )dr ⎥ ds − ∞⎣ − ∞ ⎦ +∞ Prof. G. Mancini (3) Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 20 Se R ed S sono indipendenti, p , la p probabilità congiunta g f R , S (r , s ) corrisponde al prodotto delle probabilità semplici: f R ,S (r , s) = f R (r ) f S ( s) quindi la (2) e la (3) diventano: +∞ ⎡ +∞ ⎤ Pr = ∫ f R (r ) ⎢ ∫ f S ( s )ds ⎥ dr = ∫ f R (r )[1 − FS (r )]dr −∞ −∞ ⎣r ⎦ +∞ +∞ ⎡s ⎤ Pr = ∫ f S ( s ) ⎢ ∫ f R (r )ddr ⎥ ds = ∫ f S ( s ) FR ( s )ds −∞ −∞ ⎣−∞ ⎦ +∞ Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 21 ed,, in rappresentazione pp grafica: g in orizzontale Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 22 in verticale Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 23 Q Qualora R ed S,, oltre che indipendenti, p , abbiano anche distribuzione normale: R → N R (μ R ;σ R ) μ = valore l medio di S → N S (μ S ; σ S ) σ = scarto quadratico medio anche la variabile aleatoria Z=R-S è normale: Z → N Z (μ Z ;σ Z ) 2 2 e risulta μ Z = μ R − μ S e σ Z = σ R + σ S Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 24 La probabilità di esito negativo vale: 0 Pr = P{Z ≤ 0} = ∫f Z ( z )dz −∞ Z − μZ Utilizzando la variabile normale standard U = σZ ( ) è sostituita da N 0 ; 1 e si ottiene: N Z (μ Z ; σ Z ) U +∞ Pr = ∫μ σf U β= Z / , (u )du = 1 − FU (β ) = Pr (β ) Z Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 25 Utilizzando le variabili standardizzate ridotte: ϕ= R − μR σR ψ= S − μS σS ψσ S + μ S , si ottiene R = ϕ ϕσ R + μ R , S = ψ R − S = ϕσ R + μ R −ψσ S − μ S = 0 o anche: ϕσ R −ψσ S + (μ R − μ S ) = 0 Retta di distanza “d” dall’origine con: d= μR − μS σ +σ 2 R 2 S =β Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 26 d= Prof. G. Mancini μR − μS σ +σ 2 R 2 S =β Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 27 Il coefficiente β = μ Z è l’indice di sicurezza e corrisponde σZ all’inverso del coefficiente di variazione della variabile ⎛ σZ ⎞ ⎟⎟ aleatoria Z ⎜⎜ cZ = μZ ⎠ ⎝ μR μS − μS μS μR − μS γ 0 −1 μZ β= = = = 2 2 2 2 σZ σ R +σS γ 02 cR2 + cS2 σR σS + 2 2 μS μS μR con γ 0 = coefficiente di sicurezza centrale μS Risulta Pr = Pr (γ 0 , cr , cs ) Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 28 Utilizzando le precedenti relazioni l i i per coppie i di valori (cr , cs ) si possono disegnare le curve Pr = Pr (γ 0 ) Si può notare come per valori elevati di cr (curve 9 ÷ 16 ) anche un sensibile aumento di γ 0 non riesca a confinare Pr entro valori sufficientemente bassi Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 29 Per valori bassi di cr ((curve 1÷ 8 ) risulta invece significa g tiva la variabilità di S. Il coefficiente di sicurezza centrale non è pertanto un buon indice per la misura della sicurezza. Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 30 Si p possono definire ulteriori coefficienti di sicurezza: Rk γk = Sk coefficiente di sicurezza caratteristico Rd γd = Sk coefficiente ffi i di sicurezza i di calcolo l l Rk μ R − k Rσ R μ R μ S 1 − k R cR γk = = = γ0 S k μ S + k Sσ S μ S μ R 1 + k S cS Rd μ R − d Rσ R μ R μ S 1 − d R cR γd = = = γ0 S k μ S + k Sσ S μ S μ R 1 + k S cS Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 31 “k” e “d” iindividuano di id i ffrattili ttili Per distribuzione normale: k R = 1.645 k S = 1.645 d R = 3.09 Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 32 Utilizzando le espressioni precedenti è possibile tracciare la probabilità Pr in funzione di γ k e γ d al variare di cr e cs Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 33 Si può osservare che utilizzando γ k , il fascio di curve è ancora molto aperto aperto, quindi valgono valgono, anche se in modo ridotto, le osservazioni già fatte per γ 0 . Pertanto γ k non è un buon indice per misurare la sicurezza a collasso. collasso Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 34 Nel caso di γ d , si osserva che con i valori usuali di cr (curve 9 ÷ 12) un valore di γ d = 1.5 comporta una probabilità di rottura compresa tra 5 ⋅10 −4 e 10 −5 , quindi sensibilmente costante. Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 35 Pertanto γ d può essere utilizzato come parametro per la valutazione della sicurezza. sicurezza Il metodo di livello 3 risulta però di difficile applicabilità per la mancata conoscenza delle leggi di distribuzione di frequenza delle variabili aleatorie da prendere in conto. Si utilizza per scopi scientifici e di taratura dei metodi approssimati di livello inferiore. Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 36 Metodo probabilistico di livello 2 1. 2. difficoltà operative del livello 3 superate con il livello 2 la funzione di S. L. g(s, r)=0 è approssimata: a) g(s, r)=0 lineare o linearizzata → FORM b) g(s, g(s r)=0 ) 0 non lineare linea e approssimata app ossimata con funzione f n ione di secondo ordine → SORM FOSM (First Order Second Moment) (MVFOSM) FORM AFOSM (Advanced First Order Second Moment) Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 37 - FOSM ignora la legge di distribuzione delle variabili casuali AFOSM considera la legge di distribuzione delle variabili casuali a1) FOSM (MVFOSM): basato su una approssimazione di primo ordine in serie di Taylor della funzione di S. L. linearizzata ai valori medi ed usa solo medie e covarianze delle variabili casuali (normali e lognormali) Z = g ( X ) = g ( X 1 , X 2 ,..., X n ) Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 38 Sviluppando in serie di Taylor nell’intorno dei valori medi: ∂g Z = g (μ X ) + ∑ X i − μ Xi + i =1 ∂X i ( n ) )( ( ) 1 n n ∂2g X i − μ X i X j − μ X j + ... + ∑∑ 2 i =1 j =1 ∂X i ∂X j da cui: μ Z ≅ g ( μ X , μ X ,..., μ X ) 1 2 n ∂g ∂g σ ≅ ∑∑ cov(X i , X j ) i =1 j =1 ∂X i ∂X j n n 2 Z Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 39 La covarianza di due variabili casuali X i , X j è il momento del 2° ordine rispetto alle rispettive medie μ X e μ X j i S lle variabili Se i bili X i sono indipendenti: i di d ti 2 ⎛ ∂g ⎞ ⎟⎟ Var ( X i ) σ ≅ ∑ ⎜⎜ i =1 ⎝ ∂X i ⎠ n 2 Z μZ σ Valutati μ Z e Z si ottiene β = σZ β Pr = Pr (β ) 1,282 2,326 3,090 3,719 4,265 4,753 5,199 10 −1 10 −2 10 −3 Prof. G. Mancini 10 −4 10 −5 10 −6 10 −7 Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 40 a2) AFOSM (Hasofer-Lind per variabili normali): usa le l variabili b l normalil standard d d X i − μ Xi ' Xi = ii=1 1, 2, 2 …, n σX i X i' ha h media di nulla ll e deviazione d i i standard t d d unitaria it i β HL è definito L’indice L’i di di sicurezza i d fi it come distanza di t minima dall’origine degli assi rispetto alla superficie di S.L. SL Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 41 β HL = μR − μS σ R2 + σ S2 Prof. G. Mancini R = ' R − μR σR S = ' S − μS σS Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 42 La funzione di S. L. è: σ R R ' − σ S S ' + μ R − μ S = 0 AFOSM e FOSM danno valori coincidenti se R ed S sono normali e la funzione di S. S L. L è lineare Per funzioni di S. S L. L non lineari, lineari la determinazione di β HL diventa un problema di ottimizzazione. Si può utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 43 * ⎛ ∂g ⎞ ⎟⎟ x ⎜⎜ ∑ ∂X i ⎠ i =1 ⎝ =− * 2 n ⎡ ⎛ ∂g ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎜⎜ ∑ i =1 ⎢⎝ ∂X i ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ n * i β HL Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 44 b) SORM (Second Order Reliability Method) Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 45 Entrambe E t b le l approssimazioni i i i delle d ll funzioni f i i di S. S LL. hanno la stessa distanza β e l’approccio di FORM fornisce lo stesso livello di sicurezza. sicurezza In realtà la probabilità di rottura dell’approssimazione non lineare della funzione dovrebbe essere minore per p via della sua forma. FORM ignora la curvatura della funzione di S. L. perchè usa un’approssimazione di solo 1° ordine. di Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 46 SORM migliora g l’approccio pp di FORM includendo informazioni sulla curvatura della funzione di S. L. Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione non li lineare ll’i t del d l valore l g ( X ) = g ( X 1 , X 2 ,..., X n ) nell’intorno x1* , x2* ,..., xn* vale: ( ) ( ) n g ( X 1 , X 2 ,..., X n ) = g x , x ,..., x + ∑ * 1 * 2 * n i =1 ∂g xi − x + ∂X i ( * i ) 2 1 n n ∂ g * * + ... + ∑∑ xi − xi x j − x j 2 i =1 j =1 ∂xi ∂x j ( )( ) SORM tiene conto delle derivate di secondo ordine mentre FORM si ferma a quella di 1° ordine Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 47 Secondo Breitung, g, la probabilità p di insuccesso può p essere calcolata come: n −1 Pf ≅ Φ (− β )∏ (1 + β ⋅ ki ) − 1 2 i =1 dove ki sono le curvature principali nel punto di minima distanza e β è valutato tramite FORM. Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 48 Tecniche ec c e d di s simulazione ua o e Le tecniche di simulazione consentono di valutare la probabilità di insuccesso nel caso di funzioni di S. S L. L esplicite ed implicite. La tecnica di simulazione più nota è il Metodo Montecarlo; consiste nei seguenti passi: - definizione del problema considerando tutte le variabili casuali - quantificazione q antifica ione di tutte t tte le variabili a iabili casuali cas ali tramite t amite le PDF - generazione dei valori delle variabili casuali - valutazione deterministica per ogni insieme di valori delle variabili casuali (sperimentazione numerica) - valutazione di informazioni probabilistiche da N valutazioni - valutazione dell’accuratezza ed efficienza della simulazione Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 49 La g generazione dei valori delle variabili casuali avviene tramite un generatore di numeri casuali, compresi tra 0 e 1. Il numero casuale generato viene eguagliato al corrispondente i d t valore l della d ll CDF della d ll variabile i bil considerata e tramite questa si perviene al valore della variabile casuale tramite la PDF. PDF La p probabilità di insuccesso si calcola come: Pf = Nf casi sfavorevoli (g < 0) N casi totali investigati Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 50 Se si valuta una p probabilità di insuccesso pari p a 10-5 solo 1/10-5 casi sarà sfavorevole, si raccomanda quindi di utilizzare almeno 10x105 = 106 simulazioni per ogni variabile i bil casuale. l Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 51 Metodo probabilistico di livello 1 La misura della sicurezza in un generico stato si effettua confrontando due valori significativi di “R” ed “S” (anziché le leggi complete di n variabili aleatorie) detti valori di calcolo. ( (x Rd = g R x1ES TR , x2 ES TR ,,...,, xmES TR Sd = g S m +1ES TR ) , xm + 2 ESTR ,..., xnESTR ) verificando che risulti: Rd ≥ S d Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 52 La scelta dei valori estremi, in linea di principio, si effettua maggiorando le n n-m m variabili (S) e minorando le m variabili (R). Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 53 Per le resistenze si assumono i frattili 0.05: ( ) FX i xiES TR. INF . = 0.05 Per le sollecitazioni si assumono i frattili 0.95: ( ) FX i xiES TR.S UP. = 0.95 Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 54 Il metodo,, detto dei valori estremi,, non tiene conto delle aleatorietà ed incertezze dei legami funzionali g R (...) e g S (...) L’utilizzazione “ad litteram” della procedura può talvolta comportare p dei problemi p di coerenza,, ad esempio p quando q un’azione interviene nello stesso tempo lato sollecitazioni e lato resistenze, in quanto dovrebbe essere, allo stesso tempo maggiorata e minorata! Il problema si risolve in tali casi assumendo per tale azione un valore deterministico anzichè due valori estremi. Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 55 Metodo semi-probabilistico agli stati limite Con tale metodo, alcune delle variabili aleatorie da cui dipende la misura della sicurezza, vengono assunte come deterministiche d t i i ti h e l’effetto l’ ff tt della d ll loro l aleatorietà l t i tà ed d incertezza è coperto dall’introduzione di un coefficiente di sicurezza γ (ne esistono di 3 tipi) γ m → lato resistenze (m=materiale) γ f → lato sollecitazioni (f=forze) γn → fattore di comportamento Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 56 Il metodo deriva in p principio p da q quello di livello 1 ed è quindi definito “semi-probabilistico”. Il termini “stati limite” sottolinea la necessità di effettuare l verifica la ifi neii riguardi i di di tutti t tti glili stati t ti che h possono portare t a comportamento insoddisfacente la struttura. In particolare si assumono: - le dimensioni geometriche come deterministiche - il legame g funzionale g R (...) come deterministico,, per p la vasta messe di risultati sperimentali disponibili. In alcuni meccanismi complessi si introduce γ n = γ Rd a valle ll del d l calcolo l l 1 Rd ⇒ Rd (incertezza di modello) γ Rd con opportuna pp graduazione ((riduzione)) del coefficiente γ m g Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 57 - lato resistenza le variabili aleatorie considerate sono le resistenze a rottura dei materiali f c , f y cui si applica il coefficiente γ m il legame l funzionale f i l g S (...) è assunto t deterministico, d t i i ti per cui si rende necessaria l’introduzione dei coefficienti γ f che ne tengano conto conto. Anche in questo caso è possibile introdurre l’incertezza di modello con γ n = γ Sd ( ) S d ⇒ γ Sd S d e γ f viene graduato di conseguenza Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 58 - lato sollecitazioni le uniche variabili aleatorie considerate sono le azioni (A) di cui si considera la statistica dei massimi, per cui è necessaria l’i t d i l’introduzione d i coefficienti dei ffi i ti γ f , nonchè hè di ulteriori lt i i coefficienti ψ (coefficienti di combinazione) che tengono conto del riferimento unitario alla statistica dei massimi Per le uniche variabili aleatorie considerate (f ed A) si assumono i valori caratteristici f k (frattile 5%), Ak (frattile (f ttil 95%). 95%) Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 59 Per le altre cause di aleatorietà si introducono: - Resistenze fd = - fk γm Sollecitazioni ⎛ ⎞ S = S ⎜ ∑ γ f iψ i Ak i ⎟ ⎝ i ⎠ Prof. G. Mancini Formulazioni pratiche per costruzioni in c.a., c.a.p., acciaio Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 60 Calcolo dei frattili per distribuzione normale e log-normale I valori caratteristici (k) e di progetto (d) sono valutati come frattili f ttili delle d ll distribuzioni: di t ib i i - frattile 5% per resistenza caratteristica frattile ∼ 0.1% per resistenza di calcolo Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 61 Per distribuzione normale: X k = μ X − 1.64σ X X d = μ X − 3.09σ X Per distribuzione log-normale (asimmetrica) occorre valutare il coefficiente di skewness (obliquità) α X : α X = 3VX + VX3 Prof. G. Mancini σX con V X = μX coefficiente di variazione Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 62 Il valore caratteristico o di calcolo si valutano quindi con le espressioni: [ ( )] i = k oppure pp d X i = μ X exp k p ,0 ln 1 + VX2 / 1 + VX2 dove k p , 0 è il coefficiente della distribuzione normale per lo stesso frattile (1.64 o 3.09) con VX < 0.2 Prof. G. Mancini ( X i ≅ μ X exp k p ,0VX ) Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 63 Esempio: calcestruzzo con μ X = 30 MPa, σ X = 5 MPa 5 VX = = 0.167 < 0.20 30 Rk = 30 exp (− 1.64 × 0.167 ) = 22.8 MPa Log-normale (scelta consigliata) Rd = 30 exp (− 3.09 × 0.167 ) = 17.9 MPa Rk = 30 − 1.64 × 5 = 21.8 MPa Normale Rd = 30 − 3.09 × 5 = 14.6 MPa Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 64 Rappresentazione pp unitaria dei metodi di verifica della sicurezza (A. Migliacci) Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 65 Livello 3: Pr = ∫ f (r , s )drds R,S D2' Livello 2: η E ≥ β *σ E Livello 1: punto M 1 p Tensioni ammissibili: Pr = P{E = R − S ≤ 0} punto M Risulta R << Rd perchè la sicurezza sulle azioni è trasferita sulle resistenze resistenze. S e ≅ η S quindi M è più prossimo all’origine di M 1 Prof. G. Mancini Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 66
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