07 tdc - plasticità

TECNICA DELLE COSTRUZIONI
Plasticità
Prof. G. Mancini
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
1
PLASTICITA’
1. DEFINIZIONI
σ
σu
La teoria dell’elasticità si riferisce a comportamenti
elasto-fragili dei materiali.
A
LEGAME σ
εu
- ε LINEARE
ε
Nei materiali “da costruzione” il legame tensionale σ - ε assume forma sensibilmente differente da
quella corrispondente a materiali elasto-fragili (vetro)
curve
reali
σ
E’ presente una zona del diagramma in cui le
tensioni sono “sensibilmente” costanti al crescere
d ll deformazioni.
delle
d f
i i
σu
schematizzazione
di calcolo
εu
εro
Tale comportamento si definisce elasto-plastico
ε
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2
La presenza di comportamento elasto-plastico nel materiale determina una chiara insufficienza della teoria
lineare nella valutazione della sicurezza ultima,
ultima in particolare di:
- azioni indirette
- autotensioni
- concentrazioni di tensione
Occorre quindi tener conto del comportamento reale dei materiali eventualmente tramite una opportuna
schematizzazione di calcolo.
La corretta conoscenza della sicurezza ultima implica la valutazione del comportamento della struttura fino
al carico di collasso, quindi in presenza di non-linearità della risposta (non-linearità meccanica).
Si può ad esempio analizzare il comportamento a rottura di una struttura composta da materiale elastofragile ed elasto-plastico.
A
A
l
Sez. A-A
h
b
Mi
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3
a) MATERIALE ELASTO-FRAGILE
σ
σu
σu
ql 2
Mi =
12
Diagramma
t i l locale
tensionale
l l
ql 2
Mu =
24
εu
ε
Il collasso si verifica per σmax = σu, pertanto nella sezione di incastro.
M ql 2
6
ql 2
σu =
=
⋅
=
W 12 b ⋅ h 2 2 ⋅ b ⋅ h 2
da cui
b) MATERIALE ELASTO-PLASTICO
σ
σu
2 ⋅ b ⋅ h2
qu =
⋅ σw
l2
σu
h
h
σu
CARICO DI COLLASSO
Il diagramma
tensionale si
modifica quando
si entra in zona
non lineare del
diagramma σ - ε
σu
La sezione
completamente
plasticizzata ha
h/2 comportamento
di cerniera con
attrito.
σu
σu
εu
εr
ε
Se ci fosse una completa
tensionale finale diventerebbe
p
pplasticizzazione ( εr→ ∞ ) il diagramma
g
birettangolo, con braccio di leva della coppia interna pari ad h/2
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4
Nella struttura a collasso: M i = M m
ql 2 1 ql 2
Quindi: M i = M m =
⋅ =
8 2 16
Insorge una ridistribuzione rispetto ai momenti elastici
Mi
Mm
b ⋅ h h σ u ⋅ b ⋅ h ql 2
Mu = σ u ⋅
⋅ =
=
2 2
4
16
qu =
σ u ⋅ b ⋅ h 2 16
4
⋅
l2
4⋅ b ⋅ h2
⋅σ u
qu =
l2
Il carico di collasso della struttura a materiale elasto-plastico è DOPPIO di quello della struttura a
materiale elasto-fragile.
In termini di deformazione, ovviamente, il comportamento è molto differente:
Mu ⋅ l 2
q ⋅l4
q ⋅l2
l2
- regime elasto-fragile:
δ=
=
⋅
=
384 ⋅ E ⋅ I 12 32 ⋅ E ⋅ I 32 ⋅ E ⋅ I
2
5 q ⋅ l 4 Mp ⋅ l
- regime elasto-plastico:
elasto plastico:
δ=
⋅
Mp
Mp
384
E
⋅
I
8⋅ E ⋅ I
q
16 ⋅ M P
qu =
l2
Ovviamente alla formazione della cerniera di
12⋅⋅ M P
12
q=
2
mezzeria la struttura si trasforma in un
l
cinematismo e collassa.
δel
δp
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δ
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5
2. CERNIERA PLASTICA
2.1 ANALISI DI SEZIONE RETTANGOLARE METALLICA
σ
σsy
A
Diagramma reale
Di
l acciaio
i i da
d
costruzione metallica
B
εi = deformazione di incrudimento
εi / εsy ≅ 10
εsy
εi
ε
La risposta del tronco elementare di trave soggetto a flettente può essere così rappresentata:
ε
l
sy
σ
sy
l
Alla formazione della cerniera plastica si raggiunge il momento plastico.
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6
Imponendo le condizioni di equilibrio della sezione (deformazioni indeterminate) risulta:
−σ
sy
W1
N=0
Ω1
dW
dΩ
∫ σ dΩ = 0
x
Ω
dW
dΩ
W
Ω2
Ω = Ω1 + Ω 2
∫ σ dΩ + ∫ σ dΩ = 0
Ω1
- σ sy ∫ dΩ + σ sy ∫ dΩ = 0
Ω1
Ω2
- Ω1 + Ω 2 = 0
Ω2
Ω1 = Ω 2
+σ
sy
y
L’asse neutro plastico divide la sezione in due aree uguali.
L’asse neutro elastico divide la sezione in aree con momenti statici uguali.
Ne consegue che,
che in generale,
generale asse neutro elastico ed asse neutro plastico sono distinti.
distinti
−σ
sy
Ω1
Ω2
( <0 )
M p = ∫ σ y dΩ = - σ sy ∫ y dΩ + σ sy ∫ y dΩ = σ sy ⋅ ( S1 + S2 )
Ω
PLASTICO
ELASTICO
Posto
+σ
( >0 )
Ω1
Z = S1 + S2
Ω2
MODULO PLASTICO DELLA
SEZIONE
Risulta σ sy = M p / Z
sy
y
(σ sy )
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Elasticità: σ el = M el W con W = J y max
FIBRE ESTREME ALLO
SNERVAMENTO
Plasticità: σ sy = M p / Z con
TUTTE LE FIBRE ALLO
SNERVAMENTO
Z = S1 + S2
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• Si definisce coefficiente di forma il rapporto
ϕ = ZW >1
Sezione rettangolare
b ⋅ h2
W=
6
b ⋅ h h b ⋅ h2
Z = 2⋅
⋅ =
2 4
4
Sezione doppio T
ϕ = 1,12
1 12 ÷ 1,16
1 16
Sezione circolare
ϕ = 1,7
Sezione triangolare
ϕ = 2,37
⇒ ϕ=Z
b ⋅ h2
6
=
⋅
= 1,5
W
4 b ⋅ h2
- ϕ elevato → sezione con molte risorse plastiche (poco sfruttata in campo elastico)
- ϕ ridotto → sezione con poche risorse plastiche (molto sfruttata in campo elastico)
Nel caso si utilizzi materiale con differenti tensioni di snervamento a trazione e compressione
σ sy+ ≠ σ sy−
dovrà comunque risultare N = 0, quindi l’asse neutro plastico dovrà individuare aree in rapporto
inverso a quello delle tensioni.
In SEZIONE RETTANGOLARE:
Nel CEMENTO ARMATO:
+
σ
σ
b
σ c+ = 0; σ sy
= σ sy− ; ε c = 3,5 ⋅10−3
σ bx
+
−
A s ⋅ σ sy
x
y
σ sy ⋅ b ⋅ y1 = σ sy ⋅ b ⋅ y 2
σ cr ⋅ b ⋅ x = A s ⋅ σ sy ⇒ x =
σ cr ⋅ b
h
+
σ sy y1
⇒ M p = A s ⋅ σ sy ⋅ h − x
y
2
=
A
s
σ
−
σ sy
y2
Esistono però legami costitutivi più
σ
σ
As
b
raffinati per il calcestruzzo.
cr
sy
cr
1
2
sy
sy
(
)
sy
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2.2 COMPORTAMENTO DI TRAVE ISOSTATICA DURANTE LA PLASTICIZZAZIONE DI
UNA ZONA (CIOE
(CIOE’ FORMAZIONE DI UNA CERNIERA PLASTICA)
P
l/2
Nella zona a forte plasticizzazione tutto avviene come
se vi fosse concentrata una cerniera che, dotata di
attrito:
l/2
MOMENTO
P1/4
1/r lim. el.
CURVATURE
zona a
forte curvatura
- per M < Mp rimane rigida
- per M = Mp mantiene il valore del momento plastico
e consente la rotazione relativa dei due tronchi di
trave
trave.
tratto “pressoché”
rettilineo
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9
2.3 PRESENZA DEL TAGLIO ASSIEME ALLA FLESSIONE
Per le strutture metalliche si considera una condizione di snervamento puntuale in termini di componenti
normali e tangenziali di tensione:
2
σ 2 + α 2 ⋅ τ 2 = σ sy
α = 2 (TRESCA)
oppure
α = 3 (VON MISES)
La presa in conto del taglio è significativa solo per sezioni con ϕ poco maggiore di 1 (IPE, HE, …) e
può essere valutata imponendo che il collasso avvenga per sole σ nelle piattabande e per
combinazione di σ e τ nelle anime.
Si rileva peraltro che qualora il taglio sia sufficientemente basso da comportare tensioni tangenziali
non molto prossime al limite σsy / α,
α ll’influenza
influenza del taglio sulla valutazione del momento plastico è
del tutto trascurabile.
Non è ancora stato completamente definito l’effetto del taglio sul momento plastico nel caso delle
strutture in cemento armato.
armato
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3. CALCOLO DEL CARICO DI COLLASSO IN STRUTTURE IPERSTATICHE
q crescente progressivamente fino al
collasso
Si forma la prima cerniera plastica sull’appoggio centrale e per gli ulteriori incrementi del carico, la
struttura è ISOSTATICA.
La formazione della successiva cerniera plastica, trasformando la struttura in un meccanismo, comporta
il collasso della stessa.
• In generale: in una struttura n volte iperstatica occorrono n+1 cerniere plastiche per raggiungere il
collasso.
Esistono però casi particolari:
- COLLASSO PARZIALE
3
2
4
meccanismo!
1
n=6
Attese 7 cerniere plastiche.
A collasso con 4 cerniere plastiche per la formazione di un
i
i
i l
cinematismo
parziale.
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- COLLASSO PIU’ CHE COMPLETO
n=1
2a
1
2b
l
Attese 2 cerniere plastiche.
A collasso con 3 cerniere plastiche per la
formazione contemporanea delle 2a e 2b (caso
teorico).
l
• In definitiva la presenza della plasticità induce due ordini di benefici:
- sulla sezione
M p / M el > 1
(ϕ )
- sulla struttura: solo se intervengono ridistribuzioni dei momenti elastici.
Esempio:
P·l / 8
P
Le 3 cerniere pplastiche si formano nello stesso istante,
quindi non ci sono ridistribuzioni dei momenti
elastici.
P·l / 8
• Il principio di sovrapposizione degli effetti NON è applicabile in quanto il sistema non è Hookiano.
Non è ddi co
conseguenza
possibile
utilizzare
No
segue a poss
b e ut
a e lee linee
ee ddi influenza.
ue a.
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• Per il calcolo semplificato del carico di collasso si assumono le seguenti ipotesi semplificative:
1. in ogni sezione è possibile raggiungere un momento plastico Mp= σsy·Z che è anche il massimo
momento raggiungibile;
2. si suppongono le cerniere plastiche concentrate in una singola sezione anche se, di fatto, sono
distribuite su un tratto finito di struttura;
3. il materiale rimane duttile fino al collasso;
4. il momento plastico non è influenzato dalla presenza di N e T e di forze concentrate agenti nella
sezione in cui si raggiunge;
5. assenza di fenomeni di instabilità locale e di insieme fino al raggiungimento del carico di collasso;
6. carichi crescenti tutti proporzionalmente;
7. deformazioni “a collasso” ininfluenti sulla geometria delle azioni;
8. connessioni strutturali in grado di trasmettere completamente il momento plastico.
L’ipotesii 4 non è in
L’i
i genere soddisfatta;
ddi f
occorre disporre
di
rinforzi
i f i locali
l li neii profilati
fil i perché
hé in
i generale
l
lo sia.
Ciò vale anche in parte per l’ipotesi 5.
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4. TEOREMI FONDAMENTALI DELL’ANALISI LIMITE
TEOREMA
STATICO (Greenberg)
CINEMATICO (Prager)
carico di collasso approssimato per difetto
carico di collasso approssimato per eccesso
4.1 RICHIAMO PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI
Struttura deformabile in equilibrio sotto l’azione di un sistema di forze esterne e sottoposta ad un sistema
di spostamenti virtuali (congruenti e compatibili): il lavoro delle forze esterne Le deve eguagliare il
lavoro delle sollecitazioni interne Li
Le = Li
Per una struttura piana composta di travi e caricata nel suo piano risulta:
k
Le = ∑ Pi ⋅ δi
i =1
k = numero di forze Pi
δi = componente
t secondo
d Pi dello
d ll spostamento
t
t
del suo punto di applicazione
Il lavoro è compiuto dalle caratteristiche di sollecitazione M, N, T, associate agli spostamenti ad esse
corrispondenti.
corrispondenti
Riferendoci al tronco elementare di lunghezza ds ed integrando lungo tutto il sistema, si ottiene:
Li = ∫SISTEMA ( N ⋅ Δds + T ⋅ dy + M ⋅ Δdy )
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14
Al collasso i può ammettere che le aste siano composte da tronchi rigidi connessi da cerniere plastiche
nelle quali si concentra il lavoro interno.
interno Ne consegue:
k
m
∑ P ⋅δ = ∑ M
- CARICHI CONCENTRATI
i =1
∫
- CARICHI DISTRIBUITI
SIST
i
i
j=1
j
⋅ϑj
m = numero di cerniere plastiche
m
p ⋅ δ ⋅ dx = ∑ M j ⋅ϑ j
j=1
Si applica il P. L. V. ad un caso semplice in cui le condizioni di simmetria strutturale e di carico
consentono di individuare facilmente la p
posizione delle cerniere plastiche.
p
p
2
p⋅l ϑ ⋅l
p ⋅ l ⋅ϑ
⋅
⋅2 =
2 4
4
Li = Mp ⋅ϑ + Mp ⋅ 2ϑ + Mp ⋅ϑ = 4 ⋅ Mp ⋅ϑ
Le =
l
p·l/2
p·l/2
·l/4
Le = Li
p ⋅ l 2 ⋅ϑ
= 4 ⋅ Mp ⋅ϑ
4
p=
16 ⋅ Mp
l2
2
Non è però sempre così agevole la determinazione della posizione delle cerniere plastiche!
g lavoro interno ppositivo.
I termini del lavoro interno sono additivi in qquanto in tutte le cerniere ha luogo
L’angolo ϑ, individuante la configurazione ultima, è sufficientemente piccolo da poterlo confondere con
la sua tangente.
Operando su tronchi rigidi, il lavoro del carico distribuito può essere sostituito con quello del suo
risultante.
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4.2 TEOREMA STATICO
(1° TEOREMA DELL’ANALISI LIMITE)
In un sistema n volte iperstatico indichiamo con λ il moltiplicatore dei carichi (λ=1
esercizio)
carichi di
Partendo da λ=1 scegliamo ARBITRARIAMENTE una distribuzione di azioni interne che equilibrano
le forze esterne (configurazione equilibrata ma non congruente) ed incrementiamo λ fino al valore λ1
per il quale si plasticizza una sezione.
λ1 rappresenta il valore limite di λ per la distribuzione assegnata di sollecitazioni.
Introduciamo ora uno stato di autensione che scarichi la sezione plasticizzata ed incrementiamo
ulteriormente i carichi fino al moltiplicatore λ = λ 2 per il quale si raggiunge una nuova
plasticizzazione (λ 2> λ 1).
Si introduce un nuovo stato di autensione e si ripete la procedura fino ad introdurre n+1 stati di
autotensione e raggiungere il moltiplicatore λ n+1.
λ
n+1
è il moltiplicatore critico del carico ed il sistema si trasforma in un meccanismo.
Potendosi utilizzare differenti successioni di stati di autensione, le corrispondenti differenti
successioni λ i non conducono tutte allo stesso valore finale di λ n+1.
Sii dimostra
di
che
h il collasso
ll
reale
l corrisponde
i
d all maggiore
i
(λ*) dei
d i valori
l i di λ raggiungibili,
i
ibili che
h cioè,
i la
l
struttura si adatta e sceglie i suoi propri stati di autotensione in modo da sopportare il massimo carico
possibile.
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Il collasso reale è contraddistinto da parametri ϑi, δj; il lavoro nelle cerniere plastiche vale:
n +1
L = ∑ Mpi ⋅ ϑi
*
i
corrisponde a λ
*
i =1
1
Se si considera un moltiplicatore λ < λ *, in alcune sezioni non si raggiungerà Mp (Mi < Mp) ed il
segno di Mi non sarà concorde a quello della rotazione. Risulta allora:
n +1
k
Li = ∑ Mpi ⋅ ϑi +
∑M ⋅ ϑ
i =1
i = k +1
i
corrisponde a λ < λ
i
*
*
Ma anche Li può essere espresso come somma di due termini:
Poiché Mppi > Mi
L > Li
*
i
n +1
k
L = ∑ Mpi ⋅ ϑi +
*
i
i =1
∑ Mp ⋅ ϑ
i = k +1
i
i
Applicando il Principio dei lavori virtuali allo stato limite ultimo si ha:
L =λ
*
i
*
Li = λ
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m
∑P ⋅δ
j=1
j
j
m = numero di forze
m
∑P ⋅δ
j=1
j
j
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E poiché Li > Li risulta: λ * > λ
*
Il carico limite reale è il maggiore tra quelli che soddisfano l’equilibrio senza violare le condizioni di
plasticità.
plasticità
Il carico limite è il maggiore tra quelli staticamente ammissibili.
g
di momento,, ottenuto da condizioni di equilibrio
q
della
Staticamente ammissibile è un diagramma
struttura, che soddisfi in ogni sezione la condizione M ≤ Mp.
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ESEMPIO
P
l
l
P ⋅l
4 ⋅ Mp
= Mp ⇒ PL =
4
l
P·l/4
P·l/84
P·l·3/8
/
P·l/4
Mp/2
P·l/4
P ⋅ l Mp
2 ⋅ Mp
=
⇒ PL =
4
2
l
Mp
Mp = P·l/6
P ⋅ l Mp
6 ⋅ Mp
−
= Mp ⇒ PL* =
2
4
l
IIn corrispondenza
i
d
d l carico
del
i occorre inviluppare
i il
il momento
t relativo
l ti
alla
ll condizione
di i
i t ti per
isostatica
garantire l’equilibrio.
Il valore limite PL* di P si raggiunge con due sezioni plasticizzate ed è il massimo tra quelli esaminati.
Utile è il riferimento al diagramma di momento elastico.
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4.3 TEOREMA CINEMATICO
(2° TEOREMA DELL’ANALISI LIMITE)
Plasticizzando un numero sufficiente di sezioni (n+1 cerniere plastiche) una struttura n volte iperstatica
può essere trasformata in un meccanismo → meccanismo CINEMATICAMENTE AMMISSIBILE
(1
grado di libertà).
può allora trovare il carico che lo rende equilibrato,
q
a mezzo del P.L.V. → carico
Si p
CINEMATICAMENTE AMMISSIBILE.
Il carico limite è il MINORE tra quelli cinematicamente ammissibili, perchè ogni carico ad esso
superiore corrisponde ad un meccanismo di collasso differente, ottenibile solo con un RINFORZO della
struttura.
t tt
Il Lemma di Feinber enuncia che se si rinforza un sistema iperstatico (senza introdurre altri
indebolimenti, si rinforza almeno una sezione) il carico limite non può diminuire.
Il carico limite è il minore tra quelli ottenibili disponendo le cerniere in posizioni arbitrarie e calcolando
il carico corrispondente al meccanismo così realizzato.
ESEMPIO
P
l
l
P
2
2
P
2
l
6 ⋅ Mp
P ⋅ϑ ⋅ = Mp ⋅ 2 ⋅ϑ + Mp ⋅ϑ ⇒ PL* =
2
l
l
8 ⋅ Mp
P ⋅ϑ ⋅ = Mp ⋅ 2 ⋅ϑ + Mp ⋅ 2 ⋅ϑ ⇒ PL =
2
l
Prevale il 1° meccanismo che fornisce un valore di PL* coincidente con
il precedente.
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4.4 TEOREMA MISTO
Se un carico P è cinematicamente e staticamente ammissibile è il vero carico limite.
STATICAMENTE
P ≤ PL
CINEMATICAMENTE
P ≥ PL
P = PL
Si consideri in pratica una struttura per la quale si abbia una distribuzione staticamente ammissibile dei
flettenti, tale che sia M = Mp in un numero di sezioni sufficiente alla formazione di un meccanismo in
cui ci siano rotazioni nelle cerniere plastiche; se la rotazione in ogni cerniera ha segno concorde a quello
d l momento il carico
del
i considerato
id
è quello
ll di collasso
ll
(
(ammissibilità
i ibili à cinematica).
i
i )
Al contrario, trovato un meccanismo di collasso si costruisce il diagramma di momento corrispondente;
se esso è ammissibile (M ≤ Mp) la soluzione è corretta.
Attenzione ai segni:
V
H
l
h
Errato:
2
Corretto:
1
2
2
M
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M
Errato
1
Corretto
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ESEMPI DI APPLICAZIONE DEL METODO CINEMATICO
individuare un possibile meccanismo di collasso
MODALITA’
OPERATIVE
determinare il corrispondente carico limite con il P.L.V.
verificare che il diagramma di momento ultimo risulti staticamente ammissibile
P
2
l/3
ϑ
l
3
P.L.V.: P ⋅ϑ ⋅ = Mp ⋅ϑ + Mp ⋅ ⋅ϑ + Mp ⋅
2
2
3
⇓
3l
/2
PL =
9 ⋅ Mp
l
·l/3
3
Mp
2
2Mp
2
l 2
MOMENTO ISOSTATICO: M = ⋅ P ⋅ = ⋅ P ⋅ l
3
3 9
Mp
⇓
2
P ⋅l
2 ⋅ Mp = ⋅ P ⋅ l ⇒ Mp =
9
9
Mp
STATICAMENTE AMMISSIBILE
l
ll vero di collasso.
ll
Il valore
di PL è quello
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P
2
P
3
4
P
P
l
P
P
P
P
2
2
h
a
1
b
c
5
a)
b)
c)
l
P ⋅ ⋅ϑ = Mp ⋅ϑ + Mp ⋅ l ⋅ϑ + Mp ⋅ϑ = 4 ⋅ Mp ⋅ϑ
2
P ⋅l
8 ⋅ Mp
⇒ L,a = 8
PL,a =
l
Mp
P ⋅ h ⋅ϑ = Mp ⋅ϑ + Mp ⋅ϑ + Mp ⋅ϑ + Mp ⋅ϑ = 4 ⋅ Mp ⋅ϑ
PL,b ⋅ l
4 ⋅ Mp
l
PL,
4
=
=
⋅
⇒
Lb
h
Mp
h
l
P ⋅ h ⋅ϑ + P ⋅ ⋅ϑ = Mp ⋅ (ϑ + 2 ⋅ϑ + 2 ⋅ϑ + ϑ ) = 6 ⋅ Mp ⋅ϑ
2
P ⋅l
12
6 ⋅ Mp
⇒ L,c =
PL,c =
l
Mp 1 + 2 ⋅ h
h+
l
2
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PL,i ⋅ l
Mp
b
a
c
8
6
a)
4
b)
2
c)
0
0
l
<1
h
l
=1
h
l
1< < 4
h
l
>4
h
1
2
3
meccanismo " b" ⇒ PL =
4
l
h
PL,a ⋅ l
Mp
PL,b ⋅ l
Mp
PL,c ⋅ l
Mp
=8
= 4⋅
=
l
h
12
2⋅h
1+
l
4 ⋅ Mp
l
meccanismo " b" e " c"
6 ⋅ Mp
h+ l
2
8 ⋅ Mp
meccanismo " a"
a ⇒ PL =
l
meccanismo " c" ⇒ PL =
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VERIFICA DELL’AMMISSIBILITA’ STATICA NEL CASO l/h = 2
⎛⎜ P = 6 ⋅ Mp ⎞⎟
l ⎠
⎝ L
Occorre tracciare il diagramma di momento del portale. Nelle sezioni 1/3/4/5 è presente una cerniera
plastica e quindi il momento il momento plastico. E’ però incognito il momento nella sezione 2, da
ricavare con l’ausilio della statica. Si può applicare il P.L.V. al meccanismo di trave della zona 2/3/4.
2
3
4
x
1
2
⇓
6 ⋅ Mp l
⋅ =0
l
2
P ⋅l
P ⋅ l P ⋅ l P ⋅ l Mp
= Mp
p+ x ⇒ x =
−
=
=
4
4
6
12
2
M 2 = −3 ⋅ Mp +
Mp
Mp
Mp
M 2 ⋅ϑ + Mp ⋅ 2 ⋅ϑ + Mp ⋅ϑ = PL ⋅ϑ ⋅ l
Mp
5
STATICAMENTE AMMISSIBILE
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ESEMPI DI APPLICAZIONE DEL METODO STATICO
scegliere le incognite iperstatiche
tracciare il diagramma di momento della struttura principale M0
MODALITA’
OPERATIVE
tracciare il diagramma di momento dovuto alla iperstatiche (incognite) agenti sulla
struttura principale M1
sommare i due diagrammi scegliendo il valore delle iperstatiche in modo che
risulti:
M = |Mp| in un numero di
sezioni sufficiente a formare
un meccanismo
i
di collasso
ll
M ≤ |Mp| in tutte le sezioni
disegnare il meccanismo di collasso ipotizzato e controllare che esista
concordanza di segno tra momenti plastici e rotazioni reali
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P
H
P
H
X·h
H·h + X·h
l
h
M0 + M1
X
P·l/4
3
2
4
H·h
H
2
1
1
5
4
5
P
H
1
3
M1
M0
2
Al collasso il portale si trasforma in un
n
meccanismo con due sole cerniere
plastiche.
Sono ppossibili due sole condizioni di
intervento delle cerniere plastiche da
quanto emerge dal diagramma M0+M1.
X·h
P
H
3
4
5
Traversa con modulo
plastico maggiore dei
montanti (cerniere ad
estremo montante)
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4
2
3
1
5
Traversa e montanti
con lo stesso modulo
plastico.
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Nei due casi occorre modificare M1 in modo che sovrapponendolo ad M0 le due cerniere si formino nelle
posizioni volute.
volute
Mp
H·h
P·l/4
Mp=H·h/2
M0
Mfinale
M(x)
Quando il numero delle incognite iperstatiche aumenta non è possibile procedere con metodi manuali.
manuali
Operando sulla struttura principale ed evidenziate le n incognite iperstatiche risulta:
n
M = M0 ⋅ λ + ∑ M j ⋅ X j
j =1
E, con il teorema statico, in ogni sezione deve risultare:
n
- Mp ≤ M 0 ⋅ λ + ∑ M j ⋅ X j ≤ Mp
j =1
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In genere occorre indagare solo le sezioni in cui (carichi concentrati ed elementi rettilinei) risulti:
- presenza di carico concentrato
- appartenenza ad un nodo strutturale
- discontinuità del valore dei momenti limite
Per una di tali sezioni (sezione i-esima) è quindi:
n
M i = M 0i ⋅ λ + ∑ M ijj ⋅ X j
j =1
Dove Mij è il momento nella sezione i-esima per effetto di Xj.
p
del vero carico di collasso λ* coincide con il massimo che la funzione lineare
Il moltiplicatore
z=λ
può assumere nel rispetto della disuguaglianza
n
- Mp ≤ M 0i ⋅ λ + ∑ M ij ⋅ X j ≤ Mp
j =1
Si ricade quindi in un problema di programmazione lineare che comporta l’ottimizzazione della funzione
li
lineare
z = λ con zn vincoli
i li imposti
i
i dalla
d ll disuguaglianza.
di
li
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ESEMPIO
15 t
15 t
15
15
X
M1
3m
3m
Si determina il Max di
λ nel rispetto di:
B
2
1,5
A
1
x [t·m]
0,5
0
-100
-50
-0,5
0
50
C
100
-1
-1,5
E
⎧- 60 ≤ 45 ⋅ λ - x ≤ +60
3
⎪
⎪
⎨- 60 ≤ 45 ⋅ λ - 2 ⋅ x 3 ≤ +60
⎪
⎪- 60 ≤ - x ≤ +60
⎩
Le disuguaglianze descrivono il dominio ABCDEF nel
piano λ, x.
l
2,5
F
M3
3m
⎧M1 = 45 ⋅ λ - x
3
⎪
⎪
⎨M 2 = 45 ⋅ λ - 2 ⋅ x 3
⎪
⎪M 3 = - x
⎩
z = l = 1,78
M2
Il massimo di λ (λ
per il vertice B.
si ottiene quando la retta z = λ passa
Quindi la soluzione ottimale corrisponde ai valori delle
variabili:
λ =λ
D
*)
*=
1,78
x = 60 t·m
-2
2
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Pertanto risulta:
⎧M1 = 45 ⋅ λ - x = 45 ⋅1,78 − 60 = 60 t ⋅ m
3
3
⎪
⎪
1 78 − 2 ⋅ 60 = 40 t ⋅ m
⎨M 2 = 45 ⋅ λ - 2 ⋅ x 3 = 45 ⋅1,78
3
⎪
⎪M 3 = - x = − 60 t ⋅ m
⎩
Meccanismo
i
plastico
l i di collasso
ll
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