Metodi probabilistici per la valutazione Metodi probabilistici per la valutazione dell’affidabilità strutturale Obiettivo dell’esercitazione: acquisire le conoscenze necessarie per applicare i metodi probabilistici (livello III, II e semi‐probabilistico) ai problemi di affidabilità strutturale (condizioni di stato limite SLU e SLE). Sulla base delle nozioni acquisite, è possibile rispondere alle seguenti domande: come si definisce la funzione di stato limite per condizioni SLU e SLE? co comee si s ca calcola co a laa p probabilità obab à d di insuccesso successo co con i metodi e od d di livello e o III (integrazione diretta e metodo Monte Carlo)? come si stima l’indice di affidabilità mediante il metodo FORM? quali sono le differenze tra i metodi MVFOSM e AFOSM (metodi probabilistici di livello II)? D.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 1 La funzione di stato limite La funzione di stato limite In ambito strutturale, il concetto di stato limite legato ad uno specifico requisito è interpretabile come uno stato della struttura, raggiunto il quale, essa non è in grado di soddisfare il requisito. Per un dato requisito di stato limite, si definiscono un dominio di insuccesso (nel quale il requisito non è soddisfatto) e un dominio di successo (nel quale il requisito è soddisfatto); il confine tra i due domini è detto stato limite. La funzione di stato limite permette di esprimere analiticamente la condizione di stato limite. Questa funzione di dipende, d in i generale, l da d un vettore tt X di n variabili i bili aleatorie. l t i D.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 2 Esempi 1)) Condizione di stato limite ultimo ((SLU)) p per sforzo normale di un’asta tesa (asta 2‐3) di una struttura reticolare. P Dati : 8 P P 6 1 ‐ grandezze deterministiche: • L=2 m • A2‐3 =1742mm2 •α α=8° 8 7 α L 5 2 L 3 D.L. Allaix L 4 L ‐ grandezze aleatorie: • P: N(22, 4.4) kN • fy: N(265, 18) N/mm2 Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 3 SLU per ll’asta asta 2‐3: 2 3: essa si rompe se lo sforzo normale NS,2‐3 dovuto ai carichi supera lo sforzo normale resistente NR,2‐3: N S , 2 −3 3 P = 2 tg (α ) N R , 2−3 = A2 −3 f y Per questo problema, la funzione di stato limite dipende dalle 2 variabili aleatorie P e fy: g(P,fy) = NR,2‐3‐NS,2‐3 = A2‐3fy‐3P/(2tg(α)) D.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 4 Rappresentazione grafica condizione di stato limite g(P,fy) = 0 dominio d i i di insuccesso i g(P,fy) < 0 dominio di g(P,fy) > 0 D.L. Allaix successo Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 5 2) Condizione di stato limite di esercizio (SLE) di deformazione di una trave in calcestruzzo armato. Dati : q ‐ grandezze deterministiche: • L=6 m ‐ grandezze aleatorie: • q: N(12, 2.4) kN/m 2 • EI: N(12160, 610) kNm ( , ) D.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 6 SLE di deformazione: la funzionalità della struttura viene meno se la freccia v in mezzeria supera il valore limite L/250: q 4 5 qL v= 384 EI v Per questo problema, la funzione di stato limite dipende dalle 2 variabili aleatorie q e EI: g(q,EI) = L/250‐v = L/250 ‐ 5qL4/(384EI) D.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 7 Rappresentazione grafica condizione di stato limite g(q,EI) = 0 dominio di insuccesso g(q,EI) < 0 dominio di g(q,EI) > 0 D.L. Allaix successo Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 8 Metodi probabilistici di livello III Metodi probabilistici di livello III La verifica dell dell’affidabilità affidabilità strutturale consiste nel verificare che Pi ≤ Pi,target probabilità di insuccesso (il termine vale sia per le condizioni SLU sia per le SLE) La probabilità di insuccesso Pi è definita dal seguente integrale: Pi = P[g ( X 1 , X 2 ,..., X n ) ≤ 0] = ∫f X ( x1 , x2 ,..., xn )dx1dx2 ...dxn Di dominio nel q quale g( g(x)) ≤ 0 D.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 9 La probabilità di insuccesso Pi può essere calcolata mediante: integrazione diretta (analitica / numerica); metodo Monte Carlo. 1) Integrazione diretta: ‐ Condizione di stato limite ultimo (SLU): Pi = ∫f X ( x1 , x2 ,..., xn )dx1dx2 ...dxn = Di = P (R ≤ S ) = ∫f R ,S (r , s )dr ds Di R = g R ( X 1 , X 2 ,..., X m ) D.L. Allaix S = g S ( X m +1 , X m + 2 ,..., X n ) Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 10 Il calcolo di Pi è facile se R ed S sono indipendenti oppure R ed S sono a distribuzione normale. Se R ed S sono indipendenti si effettua un’integrazione per strisce orizzontali o verticali. +∞ ⎡ +∞ ⎤ Strisce orizzontali: Pi = ∫ f R (r ) ⎢ ∫ f S ( s )ds ⎥ dr = ∫ f R (r )[1 − FS (r )]dr −∞ −∞ ⎣r ⎦ +∞ Di D.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 11 +∞ ⎡s ⎤ Strisce verticali: Pi = ∫ f S ( s ) ⎢ ∫ f R (r ) dr ⎥ ds = ∫ f S ( s ) FR ( s ) ds −∞ −∞ ⎣−∞ ⎦ +∞ Di D.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 12 Se R ed S sono a distribuzione normale, si definisce Z = R R‐S: S: Z → N Z (μ Z ;σ Z ) μZ = μR − μS σ Z = σ R2 + σ S2 L probabilità La b bili à Pi può ò essere stimata i nell seguente modo: d ⎛ Z − μZ − μZ Pi = P(R ≤ S ) = P(Z ≤ 0) = P⎜⎜ ≤ σZ ⎝ σZ ⎞ ⎛ − μZ ⎟⎟ = Φ⎜⎜ ⎠ ⎝ σZ ⎞ ⎟⎟ ⎠ CDF distribuzione N(0,1) D.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 13 ‐ Condizione di stato limite di esercizio (SLE): Pi = P[g ( X 1 , X 2 ,..., X n ) ≤ 0] = ∫f X ( x1 , x2 ,..., xn )dx1dx2 ...dxn Di In generale, la funzione di stato limite con riferimento agli SLE, è scritta nel modo seguente: g(X1,X X2,…,X Xn) = valore limite ‐ E(X1,X X2,…,X Xn) Effetto delle azioni applicate: ff d ll i i li es. spostamento verticale La difficoltà del calcolo di Pi dipende, di volta in volta, dall’espressione di g(X1,X2,…,Xn). D.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 14 2) Metodo Monte Carlo: Il metodo Monte Carlo permette di stimare la Pi mediante N simulazioni. Il metodo prevede i seguenti passi: a) definizione della funzione di stato limite g(X1,X2,…,Xn) e caratterizzazione delle variabili aleatorie (X1,X X2,…,X Xn) mediante distribuzione, valore medio, varianza ed eventuali correlazioni tra variabili; b) esecuzione di un ciclo di N simulazioni. In ogni simulazione: si genera un valore casuale per ognuna delle variabili aleatorie (X1,X2,…,Xn); si valuta la funzione di stato limite con i valori casuali appena generati. generati Se g(x1,xx2,…,xxn) ≤ 0, 0 ci si trova nel dominio di insuccesso o sulla superficie di stato limite. Se g(x1,x2,…,xn) > 0, si è nel dominio di successo. D.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 15 c) concluso il ciclo di simulazioni, si stima la probabilità Pi utilizzando la definizione frequentista di probabilità di un evento: Ni Pi = N numero di casi sfavorevoli (g ≤ 0) numero totale di simulazioni D.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 16 Metodi probabilistici di livello II Metodi probabilistici di livello II La verifica dell dell’affidabilità affidabilità strutturale consiste nel verificare che βi ≥ βi,target Il metodo più semplice (e più utilizzato) è il metodo FORM, che presenta due varianti: p MVFOSM AFOSM D.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 17 1) Metodo MVFOSM L’indice L’i di di affidabilità ffid bili à β è definito d fi i come il rapporto tra valore l medio e deviazione standard della funzione di stato limite. μZ β= σZ dove: Z = g ( X 1 , X 2 ,..., X n ) Mediante uno sviluppo in serie di Taylor troncato ai termini del primo ordine è possibile ottenere delle approssimazioni di μZ e σZ: μ Z ≅ g ( μ X , μ X ,..., μ X ) 1 2 n ∂g ∂g σ ≅ ∑∑ cov(X i , X j ) i =1 j =1 ∂X i ∂X j n n 2 Z D.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 18 2) Metodo AFOSM L’indice L’i di di affidabilità ffid bili à b è definito d fi i come la l minima i i di distanza tra la funzione di stato limite e l’origine dello spazio delle variabili aleatorie a distribuzione normale standard N(0,1). N(0 1) La soluzione del problema mediante il metodo AFOSM richiede quattro passi: a) si scrive l’espressione della funzione di stato limite g(X (X1,X X2,…,X Xn) per il problema bl i esame; in b) si trasformano le variabili aleatorie (X1,X X2,…,X Xn) in variabili aleatorie indipendenti a distribuzione normale standard (X’1,X’2,…,X’n); D.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 19 c) si scrive l’espressione della funzione di stato limite g(X’1,X’2,…,X’n) in funzione delle variabili (X’1,X’2,…,X’n); d) si calcola l’indice di affidabilità β come distanza della superficie di stato limite (g(X (g(X’1,X X’2,…,X X’n)=0) dall dall’origine origine dello spazio (X’1,X’2,…,X’n). D.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 20 Metodo semi‐probabilistico Metodo semi‐probabilistico La verifica dell dell’affidabilità affidabilità strutturale consiste nel verificare che: SLU: Rd ≥ Sd SLE: Ed ≤ valore limite D.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Corso di “Tecnica delle Costruzioni” 21