LOGICA MATEMATICA
Sonia L’Innocente
Corso di Laurea
Informatica e Tecnologie/Informatica Industriale
Argomento 1.
Logica dei Predicati del Primo Ordine
a.a.
2013-2014
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
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Introduzione
Outline
1
Introduzione
2
Linguaggi e formule
3
Strutture e verità
4
Deduzione Naturale
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Sonia L’Innocente (Camerino)
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Linguaggi e formule
Outline
1
Introduzione
2
Linguaggi e formule
3
Strutture e verità
4
Deduzione Naturale
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Linguaggi e formule
Consideriamo il classico enunciato dei manuali di filosofia:
Socrate è un uomo,
tutti gli uomini sono mortali,
dunque Socrate è mortale.
Un esempio per certi versi analogo è il seguente:
17 è un numero primo,
per ogni numero primo p esiste un numero primo q maggiore di p,
dunque esiste un numero primo maggiore di 17.
Nella logica proposizionale, i due enunciati hanno la stessa struttura,
rappresentata da una formula con tre variabili proposizionali p0 , p1 e
p2 :
(p0 ∧ p1 ) → p2 .
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Linguaggi e formule
Una simile analisi non appare del tutto soddisfacente almeno per due
motivi:
• il primo è che essa si limita alla struttura dell’enunciato, senza
preoccuparsi del contesto; eppure nel primo esempio si parla del
comune destino di ogni uomo, nel secondo di numeri primi: pare
ragionevole trovare un modo di distinguere;
• anche lo stesso studio astratto della struttura dell’enunciato pare
richiedere un esame più fine.
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Linguaggi e formule
Definizione. L’alfabeto della logica dei predicati del primo ordine è
l’unione di 2 insiemi: il primo è composto dai simboli logici
v0 , v1 , . . . , vn , . . . (n ∈ N) variabili individuali,
¬, ∧ connettivi non ..., ... e ...,
(, ) parentesi,
∀
quantificatore universale per ogni ...,
.
=
simbolo di uguaglianza,
il secondo dai simboli extralogici
c0 , c1 , . . . , cn , . . . (n naturale)
costanti individuali,
f0k , f1k , . . . , fnk , . . . (n, k naturali, k > 0)
simboli di operazioni k -arie,
P0k , P1k , . . . , Pnk , . . . (n, k naturali, k > 0) simboli di relazioni k -arie.
Il numero k si dice la arietà di fkn o Pkn .
.
Talora si preferisce omettere il simbolo = di uguaglianza tra i simboli
logici.
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Linguaggi e formule
Definizione. Si dice linguaggio un sottoinsieme L dell’insieme dei
simboli extralogici.
I simboli logici sono invece del tutto generali. Ci si potrebbe tuttavia
chiedere perché non inserire tra i simboli logici anche i connettivi ∨, →,
↔ (... o ..., se ... allora ..., ... se e solo se ...) ed il quantificatore
esistenziale ∃ (esiste ...). Per motivi esclusivamente tecnici (abbreviare
certe dimostrazioni future), preferiremo introdurre questi simboli più
tardi come abbreviazioni di certe combinazioni dei simboli logici sopra
elencati.
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Linguaggi e formule
Esempi
1. Per la proposizione su Socrate (in cui si insiste sull’uomo Socrate e
sulle relazioni 1-arie essere un uomo, essere mortale), conviene
scegliere il linguaggio
L = {c0 , P01 , P11 }
con una costante c0 e due simboli di relazioni 1-arie P01 e P11 .
2. Nella proposizione sui numeri naturali, si parla del numero 17, della
relazione 1-aria essere primo, e della relazione binaria >. Conviene
allora usare il linguaggio
L = {c0 , P01 , P12 }
con c0 costante, P01 simbolo di relazione 1-aria e P12 simbolo di
relazione binaria.
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Linguaggi e formule
Fissiamo un linguaggio L. Definiamo parola di L una sequenza finita di
elementi scelti tra i simboli di L e i simboli logici dell’alfabeto.
Definizione. L’insieme T (L) dei termini di L è il minimo insieme X di
parole di L tale che
(i) ogni variabile individuale è in X ;
(ii) ogni costante di L è in X ;
(iii) se f è un simbolo di operazione k -aria in L e t1 , . . . , tk sono in X ,
allora anche f (t1 , . . . , tk ) è in X .
L’insieme dei termini di L non contenenti variabili si indica con H(L) e si
dice universo di Herbrand di L; i suoi elementi si chiamano termini
chiusi di L.
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Linguaggi e formule
Definizione.
Si dicono formule atomiche di L le parole di L delle seguenti forme:
.
(i) t1 = t2 con t1 , t2 termini di L;
(ii) P(t1 , . . . , tk ) con P simbolo di relazione k -aria in L e t1 , . . . , tk
termini di L.
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Linguaggi e formule
Definizione. L’insieme delle formule di L è il minimo insieme F di
parole di L tale che
(i) ogni formula atomica di L è in F ,
(ii) se α e β sono in F , anche ¬α e α ∧ β sono in F ,
(iii) se α è in F e n è un numero naturale, allora ∀vn α è in F .
Abbreviazioni. Siano α e β due formule di L, n un numero naturale.
Scriveremo
α∨β
per
α→β
α↔β
per
∃vn α
per
¬(¬α ∧ ¬β),
¬α ∨ β,
(α → β) ∧ (β → α),
per
¬(∀vn ¬α).
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Linguaggi e formule
Esempi
1. Sia L = {c0 , P01 , P11 }. Allora
• i termini di L sono le variabili vn (con n naturale) e c0 ; in particolare
H(L) = {c0 };
.
.
• le formule atomiche di L sono vn = vm , vn = c0 , P01 (c0 ), P11 (vn ), . . . (n
e m naturali);
• la proposizione su Socrate si esprime con una formula di L nel modo
seguente:
(P01 (c0 ) ∧ ∀v0 (P01 (v0 ) → P11 (v0 )) → P11 (c0 ).
2. Sia ora L = {c0 , P01 , P02 }. Si ha:
• i termini di L (e H(L)) sono come nell’Esempio 1;
• formule atomiche di L sono P02 (vn , c0 ), P02 (vn , vm ), . . . (n, m naturali);
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Linguaggi e formule
• la proposizione sui numeri primi si esprime nel modo seguente come
formula di L:
(P01 (c0 ) ∧ ∀v0 (P01 (v0 ) → ∃v1 (P01 (v1 ) ∧ P02 (v1 , v0 ))))
→ ∃v1 (P01 (v1 ) ∧ P02 (v1 , c)).
3. Sia finalmente L = {f } con f = f01 simbolo di operazione 1-aria:
• i termini di L sono vn , f (vn ), f (f (vn )), . . . con n naturale, in particolare
H(L) = ∅;
.
• le formule atomiche di L sono vn = f (vm ), . . . (n e m naturali);
• due esempi di formule (non atomiche) di L sono:
.
.
∀v0 ∀v1 (f (v0 ) = f (v1 ) → v0 = v1 ),
.
.
∀v0 (v0 = f (v0 )) → v0 = f (v0 )
(la prima formula esprime il fatto che f è iniettiva).
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Linguaggi e formule
Definizione. Siano n un numero naturale, α una formula del
linguaggio L. Una occorrenza di vn in α si dice
• libera se non è sotto la portata di un quantificatore che la riguarda,
• vincolata altrimenti.
α si dice un enunciato se e solo se nessuna occorrenza di una
variabile in α è libera.
Nell’Esempio 1, tra le formule atomiche elencate soltanto l’ultima è un
enunciato. È invece un enunciato la formula non atomica.
Nell’Esempio 2, le due formule atomiche non sono enunciati, mentre la
formula non atomica è un enunciato. Finalmente, nell’Esempio 3, solo
la penultima formula è un enunciato. Infatti nell’ultima formula la
variabile v0 ha due occorrenze vincolate, ma anche due occorrenze
libere.
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Strutture e verità
Outline
1
Introduzione
2
Linguaggi e formule
3
Strutture e verità
4
Deduzione Naturale
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Strutture e verità
Dobbiamo ora individuare gli osservatori che giudicano una formula.
Definizione. Sia L un linguaggio. Si dice struttura di L una coppia A
formata da un insieme non vuoto A e da una funzione che:
• ad ogni costante c di L associa un elemento c A di A;
• ad ogni simbolo di operazione f di L di arietà k associa una
operazione k -aria f A su A;
• ad ogni simbolo di relazione P di L di arietà k associa una relazione
k -aria P A su A.
In modo meno ufficiale ma più intuitivo, possiamo pensare una
struttura A di L come un insieme A 6= ∅ dove i simboli di L (costanti,
simboli di operazione, simboli di relazione) sono interpretati in
elementi, operazioni, relazioni di A. Scriveremo allora, per denotare A:
(A, (c A )c∈L , (f A )f ∈L , (P A )P∈L ).
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Strutture e verità
Osservazione. Possiamo prolungare la funzione di A all’insieme H(L)
associando ad ogni termine chiuso t di L un elemento t A nel modo che
segue;
• se t è una costante c di L, t A = c A ;
• se t = f (t1 , . . . , tk ) dove f è un simbolo di operazione k -aria in L e
t1 , . . . , tk ∈ H(L), allora t A = f A (t1A , . . . , tkA ).
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Strutture e verità
Esempi
1. Se L = ∅, una struttura di linguaggio L è un insieme A non vuoto.
2. Sia L = {c0 , P01 , P11 }. Allora struttura di linguaggio L è un insieme A
non vuoto, con un elemento privilegiato, e due relazioni 1-arie su A (ad
esempio, si può prendere come A l’insieme di tutti gli esseri viventi,
privilegiando l’elemento Socrate, e considerando le due relazioni
1-arie costituite dall’insieme di tutti gli uomini e dall’insieme di tutti gli
esseri mortali; altro esempio di struttura di L è (N, 0, 2N, {1, 2, 3})).
3. Sia L = {f01 }. Struttura di linguaggio L è un insieme non vuoto A con
una operazione 1-aria su A (ad esempio (N, succ) dove, per ogni
naturale n, succ(n) = n + 1).
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Strutture e verità
Osservazione. In una struttura A, ogni simbolo di L ha una
interpretazione (le costanti in elementi privilegiati, i simboli di
operazione in operazioni, i simboli di relazione in relazioni), allo stesso
modo in cui, in una rappresentazione teatrale di una commedia, ogni
personaggio ha un attore che lo recita. Relativamente ai simboli logici
.
del nostro alfabeto, è chiaro che = sarà interpretato dalla relazione di
uguaglianza = in A. Consideriamo adesso le variabili individuali.
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Strutture e verità
Definizione.
Sia A una struttura di L. Valutazione di A è una funzione s dell’insieme
delle variabili individuali in A.
Si noti che una valutazione s di A si può estendere ad una funzione s
dell’insieme di tutti i termini di L in A ponendo:
• s(vn ) = s(vn ) per ogni n naturale;
• s(c) = c A quando c è una costante di L;
• s(f (t1 , . . . , tk )) = f A (s(t1 ), . . . , s(tk )) quando f è un simbolo di
operazione k -aria di L e t1 , . . . , tk sono termini di L.
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Strutture e verità
Nel seguito identificheremo s e s (a meno che non ci sia pericolo di
confusione). Ovviamente, se t ∈ H(L), s(t) = t A .
Notazione. Siano A una struttura, s una valutazione di A, a ∈ A.
Indicheremo con s(vn /a) la valutazione s0 di A così definita: s0 (vn ) = a
mentre, per ogni naturale m 6= n, s0 (vm ) = s(vm ).
Definiamo adesso quand’è che una formula di L si intende vera in una
struttura A di L rispetto ad una valutazione s di A.
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Strutture e verità
Definizione (Tarski).
Siano A una struttura di L, ϕ una formula di L, s una valutazione di A.
Definiamo
A |=s ϕ
(ϕ è vera in A rispetto a s) per induzione sulla costruzione di ϕ.
.
Supponiamo dapprima ϕ atomica. Se ϕ è t1 = t2 con t1 , t2 termini di L,
poniamo
.
A |=s t1 = t2 ⇔ s(t1 ) = s(t2 );
se ϕ è P(t1 , . . . , tk ) con P simbolo di relazione k -aria in L e t1 , . . . , tk
termini di L, poniamo
A |=s P(t1 , . . . , tk )
⇔
(s(t1 ), . . . , s(tk )) ∈ P A .
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Strutture e verità
Definizione (Tarski).
Supponiamo adesso che ϕ sia ¬α oppure α ∧ β dove α e β sono
formule di L. Poniamo rispettivamente
A |=s ¬α
A |=s α ∧ β
⇔
⇔
A 6|=s α,
A |=s α e A |=s β.
Supponiamo finalmente che ϕ sia ∀vn α dove n è un naturale, ed α è
una formula di L. Poniamo allora
A |=s ∀vn α
⇔
A |=s(vn /a) α per ogni a ∈ A.
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23 / 57
Strutture e verità
Esempi
1. Siano L = {c, f , g, P} dove c è una costante, f e g sono simboli di
operazione binaria e P è un simbolo di relazione binaria,
A = (N, 0, +, ·, ≤), ϕ la formula ∃v1 ¬P(v0 , v1 ), s la valutazione di A
definita ponendo s(vn ) = n per ogni n naturale. Si ha:
A |=s ϕ
se e solo se esiste a ∈ N tale che A |=s(v1 /a) ¬P(v0 , v1 ), dunque se e
solo se esiste a ∈ N tale che A 6|=s(v1 /a) P(v0 , v1 ), e dunque se e solo
se esiste a ∈ N tale che 0 6≤ a. In conclusione A 6|=s ϕ. Altrettanto
avviene per ogni valutazione s di A tale che s(v0 ) = 0.
2. Siano L, A, ϕ come in 1.; supponiamo stavolta s(vn ) = n + 1 per
ogni n naturale. Allora A |=s ϕ se e solo se esiste a ∈ N tale che
1 6≤ a. Siccome 1 6≤ 0, A |=s ϕ; altrettanto vale per ogni valutazione s
di A tale che s(v0 ) = 1.
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Strutture e verità
Esempi
3. Siano L, A come sopra, e sia ϕ la formula ∀v0 ∀v1 P(v0 , f (v0 , v1 )).
Assumiamo poi s(vn ) = n2 + 1 per ogni n naturale. Allora
A |=s ϕ
se e solo se, per ogni scelta di a0 , a1 ∈ N,
A |=s(v0 /a0 )(v1 /a1 ) P(v0 , f (v0 , v1 ))
e dunque se e solo se, per ogni scelta di a0 , a1 ∈ N, a0 ≤ a0 + a1 .
Segue che A |=s ϕ. Ma è evidente che altrettanto accade per ogni
valutazione s di A. Scriveremo allora A |= ϕ (e diremo che ϕ è vera in
A).
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Strutture e verità
Esempi
4. Sia L come sopra; consideriamo A = (N, 0, +, ·, |) (dove | è la
relazione di divisibilità: per ogni scelta di a0 , a1 ∈ N, a0 | a1 se e solo
se esiste q ∈ N tale che a1 = a0 · q). Sia poi ϕ la seguente formula di L:
.
P(v1 , v0 ) ∧ ∀v1 (g(v0 , v1 ) = v1 ).
Sia finalmente s(vn ) = n per ogni n naturale. Allora
A |=s ϕ
se e solo se
.
A |=s P(v1 , v0 ) e A |=s ∀v1 (g(v0 , v1 ) = v1 ),
dunque se e solo se
.
A |=s P(v1 , v0 ) e, per ogni a ∈ N, A |=s(v1 /a) g(v0 , v1 ) = v1 ,
cioè se e solo se
1 | 0 e, per ogni a ∈ N, 0 · a = a.
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Strutture e verità
Esempi
.
Siccome 0 · 1 = 0 6= 1, A 6|=s ϕ perché A 6|=s ∀v1 (g(v0 , v1 ) = v1 )
anche se A |=s P(v1 , v0 ) (ed altrettanto accade per ogni valutazione s
di A tale che s(v0 ) = 0 e s(v1 ) = 1).
5. Siano L, A, ϕ come in 4., ma supponiamo s(vn ) = 1 per ogni n
naturale. Allora A |=s ϕ se e solo se 1 | 1 e, per ogni naturale a,
1 · a = a. Segue che A |=s ϕ (ed altrettanto accade per ogni
valutazione s di A tale che s(v0 ) = s(v1 ) = 1).
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Strutture e verità
Perché si chiama “Logica dei predicati del primo ordine”?
• “Predicato”sta per relazione: si noti infatti che ogni operazione n-aria
f su un insieme A si può pensare come una relazione (n + 1)-aria su A
identificando f con il suo grafico
{(a1 , . . . , an , b) ∈ An+1 : f (a1 , . . . , an ) = b}, e che ogni elemento
privilegiato a in A si può pensare come una relazione 1-aria su A
identificandolo con {a}.
• “Primo ordine”significa che l’uso dei quantificatori ∀ e ∃ nelle formule
è permesso solamente su variabili da interpretare in elementi delle
strutture, e non, ad esempio, su variabili da interpretare in sottoinsiemi
delle strutture. Dunque le seguenti proposizioni sui numeri naturali:
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Strutture e verità
Definizione. Sia ϕ una formula di linguaggio L. Una variabile vn (con
n naturale) si dice libera in ϕ se esiste almeno una occorrenza libera di
vn in ϕ.
Notazione. Se ϕ è una formula di L, e le variabili libere di ϕ sono tra
v0 , . . . , vn , scriveremo (talora) ϕ(v0 , . . . , vn ) invece di ϕ.
Teorema (di coincidenza). Siano L un linguaggio, ϕ(v0 , . . . , vn ) una
formula di L, A una struttura di L, s e s0 due valutazioni di A tali che,
per ogni naturale i ≤ n, s(vi ) = s0 (vi ). Allora A |=s ϕ se e solo se
A |=s0 ϕ.
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29 / 57
Strutture e verità
Il teorema giustifica la seguente abbreviazione.
Abbreviazione. Siano ϕ(v0 , . . . , vn ) una formula di linguaggio L, A
una struttura di L, a0 , . . . , an ∈ A. Allora si pone
A |= ϕ(a0 , . . . , an )
se e solo se A |=s ϕ(v0 , . . . , vn ) dove s è una qualunque valutazione
di A tale che s(vi ) = ai per ogni naturale i ≤ n.
Corollario. Siano A una struttura di L, ϕ un enunciato di L. Allora
A |= ϕ oppure A |= ¬ϕ.
(Ricordiamo che, se α è una formula di L, A |= α significa A |=s α per
ogni valutazione s di A.)
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30 / 57
Strutture e verità
Definizione. Un enunciato ϕ di L è soddisfacibile se e solo se esiste
una struttura A di L tale che A |= ϕ.
Problema della soddisfacibilità per un linguaggio L. Determinare
un algoritmo per decidere, per ogni enunciato ϕ di L, se ϕ è
soddisfacibile o no.
Osservazione. Quando A è una struttura di L e S è un insieme di
enunciati di L, scriveremo A |= S (e diremo che A è modello di S) se e
solo se A |= σ per ogni σ ∈ S.
Definizione. Un insieme S di enunciati di L è soddisfacibile se e solo
se esiste un modello A per S (ovvero una struttura A di L che soddisfa
tutti gli enunciati di S).
Notiamo che,
V se S è finito, allora S è soddisfacibile se e solo se
l’enunciato σ∈S σ è soddisfacibile.
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Strutture e verità
Definizione. Un enunciato ϕ di L è valido se e solo se, per ogni
struttura A di L, A |= ϕ.
Allora si ha chiaramente che ϕ è valido se e solo se ¬ϕ non è
soddisfacibile.
Definizione. Siano ϕ un enunciato di L, S un insieme di enunciati di L.
Si dice che ϕ è conseguenza logica di S (S |= ϕ) se e solo se, per
ogni struttura A di L, se A è modello di S, allora A |= ϕ.
Evidentemente S |= ϕ se e solo se S ∪ {¬ϕ} non V
è soddisfacibile. In
particolare, quando S è finito, S |= ϕ se e solo se σ∈S σ ∧ ¬ϕ non è
soddisfacibile. solo se sono veri nelle stesse strutture di L.
Definizione. Due enunciati ϕ e ϕ0 di L si dicono logicamente
equivalenti se e solo se sono veri nelle stesse strutture di L.
È chiaro che ϕ e ϕ0 sono logicamente equivalenti se e solo se ϕ ↔ ϕ0
è valido:
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32 / 57
Strutture e verità
Un tale algoritmo, se esiste, permette di ottenere con facilità
procedimenti per decidere, per ϕ, ϕ0 enunciati di L e S insieme finito di
enunciati di L:
• se ϕ è valido oppure no;
• se ϕ e ϕ0 sono logicamente equivalenti oppure no;
• se ϕ è conseguenza di S (S |= ϕ) oppure no.
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33 / 57
Strutture e verità
Tutte le precedenti definizioni si possono estendere facilmente a
formule di L (anche con variabili libere).
La differenza è nel fatto che, data una struttura A di L, se ϕ è un
enunciato di L e, per qualche valutazione s di A, A |=s ϕ, allora
A |= ϕ, mentre, se ϕ è una generica formula di L, può accadere che
per qualche valutazione s di A si abbia A |=s ϕ, ma per qualche altra
valutazione s0 di L si abbia invece A |=s0 ¬ϕ, così che non può essere
né A |= ϕ né A |= ¬ϕ.
Diremo
• una formula ϕ di L è soddisfacibile se e solo se esistono una
struttura A di L ed una valutazione s di A tali che A |=s ϕ;
• due formule ϕ e ϕ0 di L sono logicamente equivalenti se e solo se,
per ogni struttura A di L e per ogni valutazione s di A,
A |=s ϕ
⇔
A |=s ϕ0 .
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Strutture e verità
Illustreremo questo strumento tecnico.
Notazione. Siano L un linguaggio, ϕ(v , v0 , . . . , vn ) una formula di L,
t ∈ H(L). Indichiamo con
ϕ(t, v0 , . . . , vn )
la formula di L che si ottiene da ϕ sostituendo v con t in ogni sua
occorrenza libera (allora le variabili libere di ϕ(t, v0 , . . . , vn ) sono tra
v0 , . . . , vn ).
Teorema (di sostituzione). Siano ϕ(v , v0 , . . . , vn ) una formula di un
linguaggio L, t ∈ H(L), A una struttura di L, s una valutazione di A,
s0 = s(v /t A ). Allora
A |=s ϕ(t, v0 , . . . , vn ) ⇔ A |=s0 ϕ(v , v0 , . . . , vn ).
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Strutture e verità
Consideriamo comunque il seguente esempio.
Sia L un linguaggio con una costante c; in L consideriamo la formula
.
ϕ(v , v0 ) : v = v0 (con v 6= v0 ) ed il termine chiuso t = c.
.
Allora ϕ(t, v0 ) è c = v0 . Siano ora A una struttura di L, s una
valutazione di A, s0 = s(v /c A ).
.
Allora A |=s t = v0 se e solo se s(v0 ) = c A . D’altra parte,
s(v0 ) = s0 (v0 ).
.
Dunque A |=s t = v0 se e solo se s0 (v0 ) = c A = s0 (v ), e quindi se e
.
solo se A |=s0 v = v0 .
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Strutture e verità
Teorema di completezza. È possibile definire in modo effettivo
nell’alfabeto della logica dei predicati del primo ordine
• un insieme di funzioni che a certe sequenze ordinate di enunciati
associano nuovi enunciati (regole di deduzione)
e, soprattutto,
• un insieme di enunciati (assiomi logici),
in modo tale che, per ogni tipo τ , se ϕ è un enunciato di τ e S è un
insieme di enunciati di τ , allora S |= ϕ se e solo se S ` ϕ, e cioè esiste
una sequenza finita σ0 , . . . , σn di enunciati di τ tale che σn = ϕ e, per
ogni naturale i ≤ n, σi è in S, oppure è un assioma logico, oppure si
ottiene da enunciati tra σ0 , . . . , σi−1 con l’uso di una regola di
deduzione.
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Strutture e verità
Teorema di compattezza. Sia S un insieme di enunciati di linguaggio
L(S). Allora S è soddisfacibile se e solo se ogni sottoinsieme finito di
S è soddisfacibile.
Diremo che S è finitamente soddisfacibile quando ogni sottoinsieme
finito di S è soddisfacibile.
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38 / 57
Strutture e verità
Proposizione. Siano S un insieme di enunciati di L, ϕ un enunciato di
L. Allora S |= ϕ se e solo se esiste un sottoinsieme finito S0 di S tale
che S0 |= ϕ.
Dimostrazione. Evidentemente S |= ϕ se e solo se S ∪ {¬ϕ} non ha
modello. D’altra parte questo equivale, per il Teorema di compattezza,
ad affermare che esiste un sottoinsieme finito di S ∪ {¬ϕ} privo di
modello, e senza perdita di generalità possiamo assumere che tale
sottoinsieme contenga anche ¬ϕ, e sia dunque della forma S0 ∪ {¬ϕ}
con S0 sottoinsieme finito di S. Segue che S |= ϕ se e solo se esiste
un sottoinsieme finito S0 di S tale che S0 |= ϕ.
a
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Strutture e verità
Osservazioni
1. Se ϕ e ϕ0 sono enunciati di L logicamente equivalenti, allora ϕ è
soddisfacibile se e solo se ϕ0 è soddisfacibile (infatti, per ogni struttura
A, A |= ϕ se e solo se A |= ϕ0 ).
2. Siano α, α0 , β, β 0 formule di L tali che α, α0 sono logicamente
equivalenti, e β e β 0 sono logicamente equivalenti. Allora sono
logicamente equivalenti:
¬α,
¬α0 ,
α ∧ β,
α0 ∧ β 0 ,
α ∨ β,
α0 ∨ β 0 ,
∀v α,
∀v α0 ,
∃v α,
∃v α0 .
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Strutture e verità
Definizione.
Un enunciato ϕ di L si dice universale se e solo se ϕ è della forma
∀v0 . . . ∀vn θ(v0 , . . . , vn )
dove θ(v0 , . . . , vn ) è una formula priva di quantificatori (eventualmente
ϕ è privo di quantificatori).
Teorema. Esiste un procedimento effettivo che ad ogni enunciato ϕ di
L associa un linguaggio L0 ⊇ L ed un enunciato ϕ0 di L0 tali che
• ϕ è soddisfacibile se e solo se ϕ0 è soddisfacibile;
• ϕ0 è universale (ed anzi ϕ0 è della forma
∀v0 . . . ∀vn θ(v0 , . . . , vn )
dove θ(v0 , . . . , vn ) è una congiunzione di disgiunzioni di formule
atomiche o negazioni).
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Strutture e verità
Ecco il procedimento richiesto.
(a) Eliminare ↔ e →.
Basta ricordare che, se α e β sono formule di L, allora α ↔ β e α → β
abbreviano rispettivamente (α → β) ∧ (β → α) e ¬α ∨ β.
(b) Limitare ¬ alle formule atomiche.
Lemma 1. Siano α e β due formule di L. Allora sono equivalenti
(i)
¬¬α,
α,
(ii) ¬(α ∧ β),
¬α ∨ ¬β,
(iii) ¬(α ∨ β),
¬α ∧ ¬β,
¬(∀v α),
∃v ¬α,
(v ) ¬(∃v α),
∀v ¬α.
(iv )
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(c) Ribattezzare le variabili in modo che quantificatori distinti riguardino
variabili distinte.
Basta utilizzare il seguente
Lemma 2. Siano α(v0 , . . . , vn , v ) una formula di L, w una variabile
non occorrente in α. Allora sono logicamente equivalenti le formule:
(i) ∀v α(v0 , . . . , vn , v ),
∀w α(v0 , . . . , vn , w),
(ii) ∃v α(v0 , . . . , vn , v ),
∃w α(v0 , . . . , vn , w).
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Strutture e verità
(d) Premettere i quantificatori in modo che, dove possibile, ∃ preceda
∀.
Quel che vogliamo provare è il seguente risultato:
Lemma 3. Siano α e β due formule di L, v una variabile non
occorrente liberamente in β. Sono logicamente equivalenti:
(i) ∀v α ∧ β e ∀v (α ∧ β);
(ii) ∀v α ∨ β e ∀v (α ∨ β);
(iii) ∃v α ∧ β e ∃v (α ∧ β);
(iv ) ∃v α ∨ β e ∃v (α ∨ β).
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Strutture e verità
Con l’uso ripetuto del Lemma 3, possiamo successivamente estrarre
all’inizio di ϕ tutti i quantificatori di ϕ, in modo da ridurlo ad un
enunciato equivalente della forma
(?)
Q0 v0 . . . Qh vh θ(v0 , . . . , vh )
dove θ(v0 , . . . , vh ) è una formula priva di quantificatori, e Q0 , . . . , Qh
stanno per ∀ o ∃. Il precedente passo (c) ha la funzione di preparare ϕ
in modo tale che il Lemma 3 possa essere applicato senza timori
relativi alla condizione su v . Conviene poi, in previsione del prossimo
punto (e), dare la precedenza, nell’uso del Lemma 3, ai quantificatori ∃
rispetto a quelli ∀, naturalmente nei limiti del lecito (sappiamo bene che
.
.
enunciati quali ∃v ∀w(v = w) e ∀w∃v (v = w) non sono equivalenti):
l’esempio che segue il prossimo Lemma 5 illustra anche questo punto.
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(e) Eliminare ∃.
Al termine di (d) si è visto che, per controllare la soddisfacibilità di ϕ,
possiamo supporre che ϕ sia della forma:
(?)
Q0 v0 . . . Qh vh θ(v0 , . . . , vh )
dove θ(v0 , . . . , vh ) è priva di quantificatori, e Q0 , . . . , Qh sono
quantificatori (∀ o ∃): infatti è comunque possibile costruire in modo
effettivo un enunciato logicamente equivalente a ϕ della forma (?).
Assumiamo dunque, senza perdita di generalità, che ϕ sia come in (?).
Se Q0 = ∃, ϕ è
∃v α(v )
per una opportuna formula α; altrimenti, per qualche naturale m < h, si
ha che ϕ è
∀v0 . . . ∀vm ∃v α(v0 , . . . , vm , v )
ancora per α opportuna.
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Strutture e verità
Nel primo caso, sia
Lϕ = L ∪ {c}
con c nuova costante: definiamo enunciato di Skolem associato a ϕ,
ed indichiamo Sk (ϕ), l’enunciato
α(c)
di Lϕ . Nel secondo caso, sia
Lϕ = L ∪ {f }
dove f è un nuovo simbolo di operazione (m + 1)-aria: definiamo
enunciato di Skolem associato a ϕ, ed indichiamo Sk (ϕ) l’enunciato di
Lϕ
∀v0 . . . , ∀vm α(v0 , . . . , vm , f (v0 , . . . , vm )).
Lemma 4. ϕ è soddisfacibile se e solo se Sk (ϕ) è soddisfacibile.
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Strutture e verità
Un uso ripetuto del Lemma 4 permette di trasformare l’enunciato ϕ
della forma
(?)
Q0 v0 . . . Qh vh θ(v0 , . . . , vn )
in un altro enunciato ϕ0 in un linguaggio L0 ⊇ L tale che ϕ è
soddisfacibile se e solo se ϕ0 è soddisfacibile e ϕ0 è in forma universale
∀v0 . . . ∀vn θ0 (v0 , . . . , vn )
con n ≤ h e θ0 (v0 , . . . , vn ) formula priva di quantificatori.
(f ) Per completare la dimostrazione del teorema, basterà vedere come
sostituire θ0 (v0 , . . . , vn ) con una formula logicamente equivalente che
sia una congiunzione di disgiunzioni di formule atomiche o negazioni.
Ma questo è possibile per i precedenti passi (a) e (b) e per il seguente.
Lemma 5. Se α, β e γ sono formule, sono logicamente equivalenti:
(i) α ∨ (β ∧ γ), (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ);
(ii) α ∧ (β ∨ γ), (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ).
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Esempio. Sia L = {P, Q}, dove P e Q sono simboli di relazioni di
arietà rispettivamente 2 e 1. Consideriamo in L l’enunciato
ϕ
:
(∃v0 ¬Q(v0 ) ∨ ∀v1 ¬Q(v1 )) → ∀v0 ∀v1 P(v0 , v1 ).
Utilizzando il procedimento del precedente teorema, si ottiene
dapprima con (a)
¬(∃v0 ¬Q(v0 ) ∨ ∀v1 ¬Q(v1 )) ∨ ∀v0 ∀v1 P(v0 , v1 ),
poi da (b)
(¬(∃v0 ¬Q(v0 )) ∧ ¬(∀v1 ¬Q(v1 ))) ∨ ∀v0 ∀v1 P(v0 , v1 ),
(∀v0 ¬¬Q(v0 ) ∧ ∃v1 ¬¬Q(v1 )) ∨ ∀v0 ∀v1 P(v0 , v1 ),
(∀v0 Q(v0 ) ∧ ∃v1 Q(v1 )) ∨ ∀v0 ∀v1 P(v0 , v1 ).
Con (c) si passa a
(∀v0 Q(v0 ) ∧ ∃v1 Q(v1 )) ∨ ∀v2 ∀v3 P(v2 , v3 ),
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da cui con (d):
∃v1 (∀v0 Q(v0 ) ∧ Q(v1 )) ∨ ∀v2 ∀v3 P(v2 , v3 ),
∃v1 ∀v0 (Q(v0 ) ∧ Q(v1 )) ∨ ∀v2 ∀v3 P(v2 , v3 ),
∃v1 (∀v0 (Q(v0 ) ∧ Q(v1 )) ∨ ∀v2 ∀v3 P(v2 , v3 )),
∃v1 ∀v0 ∀v2 ∀v3 ((Q(v0 ) ∧ Q(v1 )) ∨ P(v2 , v3 )).
A questo punto aggiungiamo al linguaggio L una costante c; con il
procedimento di Skolem (e) giungiamo all’enunciato
∀v0 ∀v2 ∀v3 ((Q(v0 ) ∧ Q(c)) ∨ P(v2 , v3 )).
Finalmente con (f ) otteniamo l’enunciato
∀v0 ∀v2 ∀v3 ((Q(v0 ) ∨ P(v2 , v3 )) ∧ (Q(c) ∨ P(v2 , v3 )))
che ha la forma richiesta, ed è soddisfacibile se e solo se ϕ è
soddisfacibile.
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Strutture e verità
Teorema di Herbrand Abbiamo dunque ridotto il problema della
soddisfacibilità da enunciati arbitrari ad enunciati universali (ed anzi
della forma
∀v0 . . . , ∀vn θ(v0 , . . . , vn )
dove θ(v0 , . . . , vn ) è una congiunzione di disgiunzioni di formule
atomiche o negazioni). Cerchiamo adesso di ridurre ulteriormente il
problema da enunciati universali ad enunciati privi di quantificatori.
Non è restrittivo a questo proposito assumere che H(L) 6= ∅, cioè che
L contenga almeno una costante; in caso contrario, si aggiunge a L un
simbolo di costante: la (in)soddisfacibilità degli enunciati
evidentemente si preserva.
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Strutture e verità
Definizione. Siano θ(v0 , . . . , vn ) una formula di L priva di
quantificatori. Si dice istanza di sostituzione di θ ogni enunciato
θ(t0 , . . . , tn ) con t0 , . . . , tn ∈ H(L).
Teorema (di Herbrand). Assumiamo H(L) 6= ∅. Sia θ(v0 , . . . , vn ) una
formula di L priva di quantificatori. Allora l’enunciato
ϕ
:
∀v0 . . . , ∀vn θ(v0 , . . . , vn )
è soddisfacibile se e solo se ogni congiunzione finita di istanze di
sostituzione di θ è soddisfacibile.
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Strutture e verità
Pertanto il problema della soddisfacibilità per gli enunciati universali di
L è (almeno parzialmente) ridotto a quello per enunciati privi di
quantificatori.
Ammettiamo infatti che sia dato un algoritmo capace di decidere, per
ogni enunciato di L privo di quantificatori, se questo sia o no
soddisfacibile. Allora, dato un enunciato universale di L:
ϕ
:
∀v0 . . . ∀vn θ(v0 , . . . , vn ),
con θ(v0 , . . . , vn ) formula priva di quantificatori, o addirittura
congiunzione di disgiunzioni di formule atomiche o negazioni, si
considerano tutte le istanze di sostituzione di θ(v0 , . . . , vn ),
congiungendole in tutti i possibili modi.
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Strutture e verità
• Se H(L) è finito (cioè se L contiene al più un numero finito di
costanti, e non contiene alcun simbolo di operazione), esiste solo un
numero finito di congiunzioni di istanze di sostituzione di θ, e, per
ognuna, è possibile verificare la soddisfacibilità con l’algoritmo a
disposizione per gli enunciati privi di quantificatori; ϕ è soddisfacibile
se e solo se ogni congiunzione di istanze di sostituzione di θ risulta
soddisfacibile, ovvero se e solo se la congiunzione di tutte le istanze di
sostituzione di θ (che è una formula di L) è soddisfacibile.
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Strutture e verità
• Se però H(L) è infinito (cioè L contiene una infinità di costanti,
oppure anche un solo simbolo di operazione), la situazione è molto più
complicata.
Infatti esistono infinite istanze di sostituzioni di θ, e dunque infinite
congiunzioni di tali istanze.
Per ogni congiunzione è possibile ancora verificare la soddisfacibilità;
ma, se ϕ è soddisfacibile, il relativo controllo delle infinite istanze di
sostituzione di θ richiede infiniti passi (se invece ϕ non è soddisfacibile,
esiste una congiunzione finita di istanze di sostituzioni di θ che non è
soddisfacibile, e tale congiunzione si può comunque trovare in un
numero finito di passi).
In conclusione, il procedimento di decisione ora accennato funziona
soltanto quando H(L) è finito. In caso contrario, l’algoritmo permette al
più, se un enunciato ϕ non è soddisfacibile, di accorgersene.
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Deduzione Naturale
Outline
1
Introduzione
2
Linguaggi e formule
3
Strutture e verità
4
Deduzione Naturale
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Deduzione Naturale
Deduzione Naturale
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