Misure di Termologia prof. Chiefari Marzo 2014 Capitolo 7 Misure di Termologia 7.1 Introduzione Le grandezze fisiche che hanno importanza in Termologia sono la temperatura, che si misura con il termometro, e la quantita di calore , che si misura con il calorimetro . Anello di Gravesande (Fig.I ) : una sfera passa a "freddo" attraverso un anello rna non vi passa pili a "caldo". Fig.I· Una barra di rame AB ( Fig.2 ) ha una lunghezza variabile : pili Fig.2 1 e lunga e pili scotta. Pili in generale esistono grandezze fisiche 'IjJ che variano con la temperatura T : • Ie dimensioni geometriche di un corpo ( in generale esse aumentano all'aumentare di T • la pressione di un gas, tenuto a volume costante, aumenta con T • la resistenza elettrica specifica di una sostanza in generale aumenta con T Si puo misurare allora la temperatura, facendo misure di 'IjJ, purche venga definito un procedimento di taratura, ossia venga stabilita una corrispondenza tra 'IjJ e T. Un latto importante : sperimentalmente si nota che la generica grandezza 'IjJ rimane costante durante il cambiamento di stato di una generica sostanza, che costituisca l'ambiente in cui tale grandezza e misurata. Se ne deduce allora che anche T rimane costante durante i cambiamenti di stato. Fissiamo allora l'attenzione su due diversi cambiamenti di stato, cui corrispondono T 1 e T2 • Per valori intermedi di temperatura, potremo scrivere la seguente relazione lineare : 'IjJ(T) - 'IjJ(TI) ossla 7.2 Cella a punto triplo dell'acqua ...--vapore Si usa un recipiente a doppia parete, come in Fig.3, nella cui intercapedine si introduce acqua distil lata. All'interno viene posta una miscela frigorife ra ( per es. acetone e ghiaccio secco ) e vi viene tenuta finche una parte dell'acqua si sia solidifi cata. ......!iiI--- ghiaccio 'B~_acqua Fig.3 In seguito il ghiaccio tended!. a sciogliersi, rna finche tale processo e In corso Ie tre fasi coesistono in equilibrio termico. Un termometro introdotto all'interno del recipiente puo essere COS! tarato a 273.16 K . Da not are che la pressione nell'intercapedine e quella del vapore saturo d'acqua, che risulta ~ 4.59 mm di mercurio. 2 Avendo fissato la temperatura del punto triplo dell'acqua 273.16 K , la temperatura del ghiaccio fondente, a pressione atmosferica, vale 273.15 K ( pari a DOC), mentre quella dell'ebollizione dell'acqua, sempre a pressione atmosferica, vale 373.15 K ( pari a 100°C ). T = 273.15 + 100 1/J(T) - 1/J(273.15K) K 1/J(373.15K) -1/J(273.15K) oppure La dipendenza di 1/J da T e caratteristica della sostanza termometrica. Un caso notevole e quello del gas perfetto ( idealizzazione di un gas reale lontano dalle condizioni critiche ) in cui la variazione di volume ~ V e data da ~V = con a = 7.3 27i.15K-1, V - YO = Voa(T - To) indipendente dal gas usato. Quantita di calore • Un sistema si dice in equilibrio termico quando ogni sua parte e alla stessa temperatura • due sistemi, se coesistono, mantenendo ciascuno una temperatura costante e diversa da quella dell'altro, sono per definizione termicamente isolati, altrimenti si dice che sono in contatto termico Si puo vedere sperimentalmente che due sistemi omogenei di masse ml e m2 e temperature iniziali T1 e T 2 , con T1 :::; T 2 , posti in contatto termico fra di loro rna termicamente isolati da qualunque altro sistema, raggiungono, dopo un certo tempo, una temperatura di equilibrio T* tale che clml(T* - Td = -C2m2(T* - T 2) con T1 :::; T* :::; T 2 • I due membri dell'espressione precedente vengono interpretati come quantita di calore scambiate da due sistemi ( il corpo a temperatura pili alta "cede" calore, l'altro 10 " assorbe" ) . Le grandezze Cl e C2 sono i calori specifici delle due sostanze. La grandezza C=mc prodotto della massa per il calore specifico viene detta Capacita termica. Da notare che per una certa sostanza non esiste un solo calore specifico, rna bisogna anche specificare la trasformazione termodinamica. Per i solidi e per i liquidi di solito la pressione e costante e il calore specifico definito prima e in realta il calore specifico a pressione cost ante. 7.4 Scambi di calore I meccanismi base secondo i quali avvengono gli scambi di calore sono riconducibili all'irrag giamento, alIa conduzione e aHa convezione. 3 7.4.1 E dovuto L'irraggiamento aile onde elettromagnetiche. Vale la legge di Stefan: dW 4 d S = arT dove d W e la potenza emessa dall'elemento di superficie d S, u = 5.735 X 10- 8 in unita S.L, Tela temperatura in Kelvin, E una grandezza adimensionale, che varia Ira 0 e 1 e che dipende dalla natura della superficie che emette. Per superfici speculari E vale 0 ( es. il comune thermos ) ; per superfici nere E vale l. Tra due superfici, affacciate l'una ail'altra, a temperature T1 e T 2 con T 1 S T 2, la quantita di calore scambiata Q e proporzionale a El E2(Ti - Tt), ossia Da notare la dipendenza dalla quarta potenza della temperatura. L'irraggiamento e il meccanismo con cui la Terra riceve energia dal Sole, il quale emette una potenza di circa 3.9 X 10 26 W. 7.4.2 La cond uzione II calore viene trasmesso tramite contatto stretto tra due corpi a temperature differenti. In condizioni di regime, la quantita di calore dQ trasmessa nell'unita di tempo dt Ira due estremi di un corpo che si trovino a temperature diverse T 1 e T 2 , e data da dove 0, detta conducibilita termica, dipende dalla natura del contatto, cresce con la superficie trasversa rispetto alIa direzione di propagazione del calore e diminuisce con la distanza. Per esempio, se consideriamo un parallelepipedo 0 un cilindro omogeneo con Ie basi opposte alle temperature T 1 e T 2 e la superficie laterale isolata termicamente, vale la relazione dove S e la superficie di ognuna delle due basi, d la loro distanza eke la conducibilita termica specijica. 7.4.3 La convezione Si ha quando si verificano scambi di calore all'interno dei fluidi. Una parte del fluido, riscaldandosi, si dilata : la diminuzione di densita ne provoca 10 spostamento verso l'alto. Si ha un rimescolamento continuo del fluido e una propagazione del calore molto pili rapida che per pura conduzione. Cio vale se il riscaldamento avviene dal basso, altrimenti si ha solo conduzione. 4 ------- 7.4.4 ------- Conduzione esterna Si ha quando si verifica uno scambio di calore fra un mezzo ed un altro, ad es. nel raffred damento di un corpo immerso in un fluido ( che puo essere ad es. l'aria , l'acqua, ... ). Lo scambio di calore avviene attraverso la superficie del corpo e cooperano a cio conduzione, convezione ed emissione di energia raggiante. Newton ha trovato ( Legge di Newton del raffreddamento )che ~Q = hS ~t ~T dove ~Q e la quantita di calore scambiata, S e la superficie disperdente, ~t e la durata delI'esperienza e ~T e la differenza tra la temperatura del corpo, nei punti prossimi alIa sua superficie S, e la temperatura delI'ambiente, supposto isotermo, nei punti tanto lontani dal corpo da non risentire sensibilmente delI'introduzione del corpo caldo nelI'ambiente stesso. La legge vale solo se ~T si riduce a poche decine di gradi . La grandezza h e il coefficiente di conducibilta esterna e dipende dalla natura e dalIo stato ( lucido, opaco, ... ) della superficie del corpo, dalIa natura e dalIe condizioni delI'ambiente e dipende moltissimo dalle condizioni di calma 0 di agitazione del fluido circostante. Da notare la somiglianza formale con la legge della conduzione. 7.5 Termometri Si possono effettuare misure di temperatura da 10- 3 K fino a 10 4 K per ognuna delle quali bisogna usare un diverso tipo di termometro. Nella pratica di laboratorio si usera il comune termometro a liquido. 7.5.1 I Termometri a liquido Sono costituiti da un bulbo di vetro, connesso con un capillare anche esso di vetro e conte nente un opportuno liquido. Per effetto di una certa variazione di temperatura, sia il contenitore sia illiquido subis cono una variazione di volume rna la diversita dei coefficienti di dilatazione determina una variazione del livello del liquido nel capillare. Tale variazione di livello viene assunta come misura della variazione della temperatura che l'ha provocata e una scala tarata suI capillare consente la lettura diretta. Soglia e portata Soglia e portata sono legate aIle temperature di solidificazione e di ebollizione del liquido. Inoltre a circa 500°C il vetro comincia a deformarsi. II vetro si comporta come un liquido molto viscoso e quindi la taratura del termometro andrebbe controllata frequentemente. 5 Sensibilita La scnsibilita S del termometro viene definita come S = dh dT dove h c l'altezza del liquido nel capillare e Tela temperatura. Se la sezione del capillare A e costante, dV Adh V V e, se vogliamo una scala lineare, dV V = a6.T da cui a V6.T A in cui Veil volume del liquqido, C a un parametro che tiene conto dei coefficienti di dilatazione del liquido e del vetro. Quindi Adh = a6.T dh -> = V S= aV A Fissato illiquido e il vetro ( ossia fissato a ), per aumentare S bisogna aumentare V ( il che implica una minore prontezza ) 0 diminuire A ( rna e molto difficile mantenere A costante lungo il capillare se A c molto piccolo ). Per il mercurio, 1a legge di dilatazione e lineare entro 4 x 10- 6 usato nei comuni termometri a liquido. : ecco perche esso viene Precisione ed errore di sensibilita L'attrito esistente fra la superficie interna del capillare e il liquido fa sl che non sempre il livello del liquido si fermi scmpre alla stessa quota quando il termometro si porta ad una stessa temperatura: questo determina la precisione del termometro. A questo punto c inutile avere un errore di sensibilita molto pili piccolo dell'errore di precisione. Tipicamente in laboratorio ogni divisione della scala vale 0.1 - 0.2 ae. Prontezza Se un termometro a temperatura iniziale T 1 viene posta in un ambiente a temperatura T2 , esso assorbe 0 cede una quantita di calore, legata alla sua capacita termica C dalla relazione 6.Q = C6.T Per piccoli valori di 6.T, dQ = CdT. Questa quantita di calore non viene scambiata istan taneamente, rna seguendo la legge dQ = 8[T2 - T(t)]dt, dove T(t) c la temperatura del termometro all'istante t e 8 e la conducibilita termica esterna della parcte di vetro del bulbo. CdT = !5[T2 6 - T(t)]dt Ponendo T = C/ 8 e separando Ie variabili dT dt In[T2 T t - T(t)] = - T + costante Da cui T2 At = 0, T(O) = T1 La costante mometro. T t - T(t) = ke--; con k cost ante di integrazione e quindi ha Ie dimensioni di un tempo ed L'andamento di T(t) in funzione del tempo minore e T 0 quanto pili pronto e il termometro. e chiamata tempo caratteristico del ter e esponenziale, tanto pili rapido quanto Se si grafica su scala semilogaritmica si ottiene una retta : vedremo fra breve come fare per determinare la variabile indipendente fra t e In 2- 1 al fine della determinazione di in laboratorio. T;.-Tj.t) T Bisogna osservare pero che ci sono almeno due errori sistematici. II primo e dovuto al fatto che i termometri a liquido sono tarati in condizioni di immersione totale. II secondo e dovuto al fatto che si e supposta costante la temperatura dell'ambiente, anche quando si immerso il termometro : non la stessa cosa immergere il termometro in una pentola d'acqua bollente oppure in una goceia d'olio bollente. Se la capacita termica dell'oggetto di cui si vuole misurare la temperatura e Ca , dopo un certo tempo da quando si e immerso il termometro nell'oggetto in esame, si raggiunge una temperatura di equilibrio T*, tale che e e ossla T* = T2 T1 l+~ +l+~ Co. C Ne segue che la temperatura dell'oggetto varia nel tempo, a partire dal valore iniziale T 2 fino al valore finale T*. Solo se Ca C ~ Ca, 1 + C per cm Se questo non e vero, allora istante per istante vale : 7 ---+ 00 da cui rna C) T * = T + l+gGt T (1 + -C 1+ c a 2 a per CT1 = T 2 + -C a CUI Ta(t) = (1 +~) T* C a Siccome dQ = <5[Ta(t) - T(t)]dt, e sempre uguale a C dT, ~T(t) C a sfruttando la precedente relazione dQ che 1 = <5[T* - T(t)] (1 + ga) dt per cui £ (1 dT _ T* - T(t) - C ~) dt _ dt + Ca - T* dove e la nuova costante di tempo e T(t) = T* t - (T* - Tde--;O Si vede aHora che T( t) tende al valore T* con un andamento esponenziale con costante di tempo T* :S T. Analogamente si puo vedere che t FigA Le cose vanno come se ognuno dei due sistemi ( vedi FigA ) tendesse a mettersi in equilibrio termico con un ipotetico sistema a temperatura T* e capacita termica infinitamente grande. e' e da notare che l'equilibrio e raggiunto pili rapidamente, visto che T* :S T. 8 '( .0 UetermlnaZIOne Sperlmentale aena costante al tem po di un termometro Gli strumenti a disposizione sono : 1. cronometro, al centesimo di secondo 2. termometro, al decimo di DC 3. thermos, contenente ghiaccio fondente a temperatura T 1 ( C 0 DC la temperatura del ghiaccio fondente, quando e costituito da una mescolanza di ghiaccio puro e dalla sua acqua distillata di fusione alla pressionc di una atmosfera normalc, ossia Po = 101.325 N/m2 ) 4. bollitore, posta su un fornellino elettrico, contenente acqua a temperatura T 2 ( e 100 DC la temperatura del vaporc d'acqua puro a contatto con acqua distillata bollente alIa pressione di una atmosfera normale ) L'esperimento idealc potrebbe essere condotto come segue. Si pone il termometro inizial mente nel thermos a temperatura T 1 , poi s'immerge il termometro nel bollitore e contem poraneamente si fa partire il cronometro. Se fosse possibile inquadrare ad es. mediante una cinepresa contemporaneamente termometro e cronometro si avrebbero delle coppie di punti (t, T) che possono essere graficati. In realta bisogna scegliere se lavorarc a tempi oppure temperature prefissate, ossia, fissato un certo tempo t fare una distribuziane statistica delle misure di T oppure, fissata una certa temperatura T, ottenere una distribuziane statistica di t. Il primo metoda e abbastanza sconsigliabile, perche richiede la presenza attiva di due operatori ( uno che guarda il cronomctro, l'altro che guarda il termometro ) e nascono problerni di sincronismo fra i due apcratori. Il secondo metoda puo essere portato avanti da un solo operatorc che guarda il ter mometro e arresta il cronometro, quando la temperatura c salita al valore desiderata. Se questa misura viene ripetuta per almena 20 volte, si puo avere una ragianevole distribuzione statistica di t, ricavarne il valore medio e l'errore della media. Si puo controllare rozzamente se i dati sonG significativi, graficando T in funzione di t e vederc se la curva c grosso modo esponenzialc : se Per t = T, T(T) = 100(1 - ~) = 63 DC e e quindi basta leggere il tempo corrispandente a 63 DC per avere una grossolana stima di T. Se i dati sono ragionevoli, bisogna attendersi che 9 dove il termine a contiene l'effetto di possibili errori sistematici, quali la ritardata 0 anti cipata partenza del cronometro. Bisogna adesso capire fra t e In T~;!J:) chi e la variabile indipendente. Se fissiamo R = T 2 - T(t) T 2 -T1 si puo vedere che se !:J.T2 = !:J.T1 ( come accade, perche si usa un solo termometro ) Se si lavora a T fissata, si puo assumere che !:J.T2 = !:J.T e !:J.ln R = T 2 !:J.T 2 -T Tipicamente!:J.T = 0.2 °C e T2 - T varia fra 70°C ( T = 30°C) e 5°C ( T = 95°C ), sicche 6 mentre X 10- 3 ::; !:J.lnR::; 0.08 !:J.ln R 1 % ::; lIn R I ::; 3 % 7- ( e ~ 2 % a T = 30°C, e ~ 1 % a T = 60°C ). Nelle condizioni di mlsura , e dello stesso ordine di grandezza dell'errore relativo su In R: sorge allora il problema di decidere se e t 0 In R la variabile indipendente e di come combinare l'errore statistico su t con l'errore massimo su In R. Conviene in questo caso considerare In R come variabile indipendente, priva di errore . Effet tuando il fit t = a + bIn R, con b = - 7 , e possibile ricavare la migliore stima dei parametri a e b ( e quindi di 7 ) e la relativa matrice di covarianza, dopo avere controllato il valore del X 2 • 7.7 Possibili errori sistematici nell'uso in laboratorio del termometro a mercurio Fissiamo adesso la nostra attenzione su tre dei possibili errori sistematici, che si possono avere nella lettura di un termometro a mercurio, usato in laboratorio.. 1. II primo e legato al fatto che il termometro viene tarato in condizioni di immersione totale. In laboratorio invece solo il bulbo ed una parte della colonna di liquido sono contenuti nell'ambiente, di cui si vuole misurare la temperatura, mentre il resto del termometro e ad una temperatura pros sima a quella dell'ambiente esterno. Si puo vedere che il termine correttivo e dato da c = ,n(T - t) con 10 • I : differenza fra i coefficienti di dilatazione termica fra il mercurio e il vetro ; dipende dalla temperatura, rna si puo considerare costante ne'uso di laboratorio e pari a 0.00016 se Ie temperature si misurano in gradi Celsius. • n : altezza della colonna sporgente di mercurio, espressa in gradi Celsius. • T : temperatura da misurare • t : temperatura media della colonna sporgente, che si determina con un altro termometro, il cui bulbo e posta in vicinanza della colonna sporgente. Consideriamo un esempio, tratto dal Pancini e supponiamo di avere un termometro, immerso fino al punto della scala corrispondente a 20 °C e indicante una temperatura di 84.76 °C. La colonna sporgente n e data allora da n = 84.76 - 20 = 64.76 ~ 65°C. Supponiamo che con un altro termometro si conosca la temperatura media della colonna sporgente, ad es. 38 0 C. La correzione per la colonna sporgente si ottiene da c = 0.00016 x 65 x (85 - 38) = 0.49 °C e data da 84.76 + 0.49 = 85.25 °C. sistematico e legata al fatto che, quando un e una stima pili corretta della temperatura T 2. Un'altra possibile causa di errore ter mometro e raffreddato rapidamente da un'alta temperatura, i1 vetro del termometro non si contrae immediatamente alIa sua dimensione originale. In questa condizione 10 sperimentatore effettuerebbe una lettura suI termometro pili bassa di quella che si dovrebbe avere a menD che non aspetti per un certo intervallo di tempo, che dipende dalla natura del vetro, finche il termometro non raggiunga una condizione di equilibrio. 3. Un'altra possibile fonte di errore, che si ha quando bisogna leggere della scale graduate, e l'errore di parallasse ( Fig.5 ). • la pOSlZlOne a) ongma una lettura inferiore a quella reale • la posizione c) origina una lettura superiore a quella reale c, -- • la posizione b) e quella corretta Fig.5 11
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