Volantino Scuole MI

Fisica Tecnica
Tempo di risposta di un termometro a
mercurio
Ing. Luciano Pirri - 1998
Vogliamo studiare la risposta dinamica di un termometro al mercurio e cioè la rapidità con la quale
l'indicazione del termometro segue una temperatura da misurare variabile nel tempo.
Scriviamo quindi l'equazione differenziale dell'equipaggio mobile, cioè della colonna di mercurio.
Definiamo:
T = la temperatura da misurare
t = la temperatura del bulbo termometrico all'istante generico
K = coeff. di trasmissibilità termica
S = superficie disperdente
m = massa del mercurio
C = calore specifico del mercurio
La quantità di calore che si trasmette al mercurio nel tempo d è data da:
dQ = K S ( T
dt =
t ) dτ
dQ
dove m C è la capacità termica del mercurio. Sostituendo si ottiene:
mC
m C dt = K S ( T
m C dt
K S dτ
questo calore provoca un aumento di temperatura nel mercurio
t ) dτ
+t=T
dalla quale, raggruppando, si ottiene ancora:
ora definiamo la costante di tempo
λ=
mC
KS
Normalmente è di origine sperimentale data la difficoltà nella quantificazione di K ed S.
Possiamo quindi riscrivere:
λ
dt
dτ
+t=T
che è un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del 1° ordine
Nell'ultima scritta T non varia con il tempo e corrisponde al caso in cui immettiamo il termometro in un
ambiente a temperatura costante del quale vogliamo misurarne il valore.
In termini matematici corrisponde a dire che la la funzione T( ) è a gradino e cioè per <0 T=0 altrimenti
vale T.
Esempio - Misura di una temperatura costante
λ := 3 sec
T := 35 °C
tin := 20 °C
L'analisi ci fornisce la soluzione:
τ
t( τ) := e
(tin
λ
T) + T
di cui tracciamo il grafico per
τ := 0 , .5 .. 5 λ
Osservando la seguente espressione
35
η( k) := 1
t( k λ)
tin
T
T
t( τ )
30
T
possiamo dare la seguente
interpretazione fisica della
costante di tempo :
25
20
0
5
10
15
τ
Prima interpretazione fisica della costante di tempo
Dopo un tempo la temperatura ha raggiunto il
η( 1) = 63.212 % del valore finale
k := 1 .. 5
k=
Dalla tabella a fianco si vede che dopo un tempo pari a 5 volte
la costante il termometro misura la temperatura T con una
precisione maggiore del 99%
η( k) =
kλ =
1
0.632
3
2
0.865
6
3
0.95
9
4
0.982
12
5
0.993
15
La stessa forma dell'equazione differenziale ci consente di dare un'altra utile interpretazione fisica
della costante di tempo .
Come abbiamo visto si tratta di un'equazione lineare del 1° ordine che ora riscriviamo
dt
λ
dτ
questa è l'equazione della retta tangente alla t( ) nell'istante generico
dove il coeff. angolare è dato dalla derivata.
Derivando la t( ) otteniamo quindi m( )
+t=T
τ
1
λ
e
λ
(tin
T)
che all'istante iniziale vale
m0 :=
1
λ
( tin
T)
quindi la retta per l'origine ha equazione Temp( τ) := tin + m0 τ
Questa, dopo un intervallo di tempo pari a
fornisce:
Temp( λ) = 35 °C
Seconda interpretazione fisica della costante di tempo
La costante di tempo può ancora
essere definita come:
il tempo che sarebbe necessario per
raggiungere l'equilibrio termico se la
temperatura variasse con legge
lineare seguendo l'andamento
iniziale.
t( τ )
T
35
30
Temp( τ)
25
20
0
5
10
15
τ
Conclusioni.
Nel caso di segnale a gradino la soluzione analitica è semplice e può essere tranquillamente
affrontata cosi come abbiamo fatto. Le cose si complicano abbastanza se nell'ambiente da misurare
la T varia nel tempo.
In questo caso la possibilità di una soluzione analitica dipende dalla forma della T( ) la cui
complessità può anche presentare difficoltà insormontabili dal punto di vista analitico.
Nei casi concreti inoltre raramente si dispone di una vera funzione T( ), più frequentemente si
dispone di dati sperimentali e quindi la funzione va cercata con opportune interpolazioni.
Ammettendo comunque di essere in possesso della T( ) si procede al calcolo numerico
dell'equazione differenziale. In questo modo si ottiene una soluzione rapida e con la precisione
richiesta per qualunque forma (purché ragionevole) della T( ).
Esempio precedente con integrazione numerica
Vediamo ora come risolvere numericamente l'equazione differenziale per il caso precedente.
Per prima cosa definiamo il 1° elemento del vettore t con il valore iniziale t := tin
0
Te( τ) := T
λ
dt
dτ
cioè costante, quindi l'equazione differenziale la riscriviamo come:
+ t = T( τ)
Calcoliamo un numero di punti
S := Rkadapt( t , τ0 , τfin , Np , D)
Np := 10
Te( τ)
D( τ , t) :=
Isolando la derivata si ha:
t
λ
τ0 := 0
nell'intervallo
τfin := 5 λ
Metodo di Runge-Kutta del 4°.
Nella matrice S è stivato nella 1° colonna
e nella 2° t
t
τ
Definiamo la funzione cercata interpolando linearmente i dati:
0
S=
1
(
t( τ) := linterp S
0
0
20
1
1.5
25.902
2
3
29.482
3
4.5
31.653
4
6
32.97
5
7.5
33.769
t( τ )
6
9
34.253
7
10.5
34.547
( S 1 ) i30
8
12
34.725
T
9
13.5
34.833
10
15
34.899
0
,S
1
)
i := 0 .. Np
,τ
Dal grafico si vede che praticamente la soluzione è esatta, se si
vuole maggior precisione si possono aumentare gli Np.
40
35
25
20
0
5
( )i
τ, S
0
10
15
Esempio con Te variabile nel tempo
1
La pulsazione scelta per l'esempio è
ω :=
λ
a cui corrisponde una frequenza
f :=
ω
ed un periodo
Periodo :=
La funzione è quindi
Te( τ) := T 1 +
e l'equazione differenziale:
D( τ , t) :=
= 0.833
0.4
2π
= 0.133
1
f
= 7.54
Te( τ)
sin( ω τ)
3
t
λ
Estendiamo l'indagine fino a τfin := 4 Periodo e cioè con τ := τ0 , .5 .. τfin ed Np := 40
ponendo
t := tin
0
si ottiene:
Come si vede dal grafico la misura
oscilla con
1
mean( S ) = 33.697
1
max( S ) = 39.198
1
min( S ) = 20
(
S := Rkadapt( t , τ0 , τfin , Np , D)
t( τ) := linterp S
0
,S
1
40
t( τ )
Te( τ )
30
20
0
10
20
)
,τ
30
τ
Inoltre si può verificare che variando la misura del termometro segue la temperatura da
misurare con un ritardo e con una riduzione dell'ampiezza che diminuisce con l'aumentare della
lentezza dell'oscillazione, ovvero con l'aumentare del periodo.
Questa è una considerazione generale:
I sistemi del 1° ordine hanno una banda passante molto stretta e quindi non sono idonei a
misurare rapide variazioni delle grandezze di ingresso.
Ovviamente rapide in relazione alla loro costante di tempo
. . data la forma scelta per la Te si potrebbe anche risolvere facilmente per via analitica. In
questo modo anzi emergerebbero evidenti le riduzioni di ampiezza, gli sfasamenti, ecc.

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