SPAZIO E TEMPO

TIME AND SPACE IN THE INFINITELY SMALL AND
IN THE INFINITELY LARGE
Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
Abstract:
In this paper we focus attention on the behavior of space and time at the
subatomic level and astronomical scale.
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Index:
1. ELENCO DI ORDINI DI GRANDEZZA PER LA LUNGHEZZA ................................................... 3
1.1 OSSERVAZIONI SUGLI ORDINI DI GRANDEZZA PER LA LUNGHEZZA .............. 17
2. COME SI MISURA LA VELOCITA’ .............................................................................................. 18
2.1 COMPOSIZIONE RELATIVISTICA DELLE VELOCITÀ .............................................. 20
2.1.1 ESEMPIO DI COMPOSIZIONE DELLE VELOCITÀ................................................... 22
3. L’ATOMO VISTO A SCALA UMANA .......................................................................................... 23
3.1 VELOCITA’ DELL’ELETTRONE NELL’ATOMO DI IDROGENO .............................. 25
3.2 RAGGIO DELL’ELETTRONE NELL’ATOMO DI IDROGENO .................................... 27
3.3 ENERGIA DELL’ELETTRONE NELL’ATOMO DI IDROGENO .................................. 28
5. OSSERVAZIONI IMPORTANTI..................................................................................................... 30
5.1 LA LEGGE ASTRONOMICA DI BODE E I NUMERI DI FIBONACCI ........................ 33
6. SPAZIO E TEMPO NELLE DIVERSE SCALE DI LUNGHEZZA................................................ 39
7. CONCLUSIONI ................................................................................................................................ 40
8. RIFERIMENTI .................................................................................................................................. 41
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1. ELENCO DI ORDINI DI GRANDEZZA PER LA LUNGHEZZA
TAB. 1
Ordine
10
−35
Prefisso SI
m
Lunghezza dell'oggetto
1,6 × 10
−35
m
Oggetto
Lunghezza di Planck; lunghezze inferiori a
questa non hanno alcun senso fisico,
secondo le attuali teorie della fisica
...
10−24 m 1 yoctometro (ym)
10−21 m 1 zeptometro (zm)
dimensione di un quark
10−18 m 1 attometro (am)
sensibilità del rilevatore LIGO per le onde
gravitazionali
dimensione di un protone
10
−15
m 1 femtometro (fm)
l'elettrone classico
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scala del nucleo atomico
10−14 m 10 fm
raggio d'azione della forza nucleare debole
10−13 m 100 fm
lunghezza d'onda di Compton dell'elettrone
distanza tra i nuclei atomici in una nana
bianca
10−12 m 1 picometro (pm)
lunghezza d'onda dei raggi gamma
5 pm
lunghezza d'onda dei raggi X più corti
25 pm
raggio dell'atomo di idrogeno
31 pm
raggio dell'atomo di elio
10−11 m 10 pm
10−10 m 100 pm
lunghezza d'onda dei raggi X
100 pm
1 Ångström
100 pm (0,1 nm)
raggio covalente dell'atomo di zolfo
126 pm (0,126 nm)
raggio covalente dell'atomo di rutenio
135 pm (0,135 nm)
raggio covalente dell'atomo di tecnezio
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10−9 m
10−8 m
153 pm (0,153 nm)
raggio covalente dell'atomo di argento
154 pm (0,154 nm)
lunghezza di un tipico legame covalente (CC).
155 pm (0,155 nm)
raggio covalente dell'atomo di zirconio
175 pm (0,175 nm)
raggio covalente dell'atomo di tulio
225 pm (0,225 nm)
raggio covalente dell'atomo di cesio
500 pm (0,50 nm)
larghezza dell'elica alfa di una proteina
1 nanometro (nm) 2 nm
10 nm
diametro dell'elica del DNA
20 nm
spessore di un flagello batterico
32 nm
dimensione di un transistor realizzato con le
ultime tecnologie disponibili
40 nm
lunghezza d'onda degli ultravioletti (limite
inferiore)
90 nm
Il virus dell'AIDS (in genere i virus vanno
da 20 nm a 450 nm)
100 nm
il 90% delle particelle del fumo di legno
sono inferiori a questa misura
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10−7 m
100 nm
dimensioni dei cromosomi
100 nm
dimensione massima di una particella che
può passare attraverso una mascherina da
chirurgo
120 nm
dimensione massima di una particella che
può passare attraverso un filtro ULPA
280 nm
lunghezza d'onda degli ultravioletti (limite
superiore)
300 nm
dimensione massima di una particella che
può passare attraverso un filtro HEPA
380-430 nm
lunghezza d'onda della luce viola -- si veda
colore e spettro ottico
430-450 nm
lunghezza d'onda della luce indaco
450-500 nm
lunghezza d'onda della luce blu
500-520 nm
lunghezza d'onda della luce azzurra
520-565 nm
lunghezza d'onda della luce verde
565-590 nm
lunghezza d'onda della luce gialla
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10−6 m
10−5 m
590-625 nm
lunghezza d'onda della luce arancione
625-740 nm
lunghezza d'onda della luce rossa
1-10 µm
diametro tipico di un batterio
1,55 µm
lunghezza d'onda della luce usata nelle fibre
ottiche
6-8 µm
diametro di un globulo rosso umano
6 µm
spora dell'antrace
7 µm
spessore di un filo di ragnatela
7 µm
diametro del nucleo di una tipica cellula
eucariota
10 µm
dimensione tipica di una goccia d'acqua di
nebbia, rugiada o delle nuvole
10 µm
larghezza di una fibra di cotone
10,6 µm
lunghezza d'onda della luce emessa da un
laser al diossido di carbonio
12 µm
larghezza di una fibra di acrilico
1 micrometro,
micron (µm)
10 µm
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10−4 m
100 µm
13 µm
larghezza di una fibra di nylon
14 µm
larghezza di una fibra di poliestere
15 µm
larghezza di una fibra di seta
17 µm
escrementi dell'acaro della polvere
20 µm
larghezza di una fibra di lana
25,4 µm
1/1000 di pollice, comunemente chiamato 1
mil
50 µm
lunghezza tipica dell'Euglena gracilis, un
protista flagellato
80 µm
spessore medio di un capello umano (varia
da 18 a 180 µm)
125 µm
acaro della polvere
200 µm
lunghezza tipica di un Paramecium
caudatum, un protista cigliato
300 µm
diametro del Thiomargarita namibiensis, il
più grosso batterio mai scoperto
500 µm
micro motori MEMS
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10−3 m
−2
10 m
10−1 m
500 µm
diametro di un ovulo umano
500 µm
lunghezza tipica di un Amoeba proteus, un
ameboide protesta
2,54 mm
distanza tra i pin nei vecchi componenti
elettronici DIP (dual in-line package)
1 millimetro (mm) 5 mm
lunghezza media di una formica rossa
7,62 mm
calibro comune delle pallottole delle armi
da guerra
1,5 cm
lunghezza di una grossa zanzara
2,54 cm
1 pollice
3,1 cm
1 attoparsec (10−18 parsec)
4,267 cm
diametro di una pallina da golf
10 cm
lunghezza d'onda delle più alte frequenze
radio UHF, 3 GHz
10 cm
diametro della cervice all'inizio della
seconda fase del travaglio
12 cm
lunghezza d'onda della banda radio 2,45
1 centimetro (cm)
1 decimetro (dm)
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GHz ISM
1m
1 metro
15 cm
altezza di un lillipuziano (da I viaggi di
Gulliver)
30,48 cm
1 piede
50-65 cm
la coda del Pizote
66 cm
dimensioni delle pigne più lunghe
89 cm
altezza media di uno Hobbit adulto
90 cm
lunghezza della lama del fioretto
91 cm
1 iarda
1m
lunghezza d'onda delle più basse frequenze
UHF e più alte frequenze VHF, 300 MHz
1,435 m
scartamento standard dei binari ferroviari
1,7 m
altezza media di una persona adulta
2,77 - 3,44 m
lunghezza d'onda delle radio in
modulazione di frequenza 108 - 87 MHz
3,048 m
altezza del canestro nella pallacanestro
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5,5 m
10 m
altezza dell'animale più alto, la giraffa
1 decametro (dam) 10 m
lunghezza d'onda delle frequenze radio a
onde corte più alte, 30 MHz
11 m
distanza del dischetto del calcio di rigore
dalla linea di porta
21 m
altezza della cascata High Force in
Inghilterra.
23 m
altezza dell'obelisco di Place de la
Concorde, a Parigi.
27,43 m
distanza tra le basi su un campo da baseball
30 m
lunghezza di una balenottera azzurra,
l'animale più grande
40 m
profondità media sotto il letto del mare
dell'Eurotunnel
49 m
larghezza di un campo da football
americano (53 iarde e 1/3)
52 m
altezza delle Cascate del Niagara
55 m
altezza della Torre di Pisa
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100 m
1 ettometro (hm)
60 m
altezza della Piramide di Djoser
70 m
larghezza di un campo di calcio
70 m
lunghezza dell'Arazzo di Bayeux
91,44 m
lunghezza di un campo da football
americano (100 iarde misurate tra le due
linee di meta)
100 m
lunghezza d'onda delle frequenze radio a
onde corte più basse e di quelle a onde
medie più alte, 3 MHz
105 m
lunghezza di un campo di calcio
112,34 m
altezza dell'albero più alto del mondo
137 m
altezza della Grande Piramide di Giza
147 m
altezza originale della Grande Piramide di
Giza
168 m
altezza del punto più alto dello SchleswigHolstein (Germania)
193 m
lunghezza della nave da trasporto UND
Adriyatik
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244 m
altezza dell'edificio del City Gate di Ramat
Gan (Israele)
300 m
altezza della Torre Eiffel
340 m
distanza percorsa dal suono nell'aria in un
secondo; si veda velocità del suono
400-500 m
altezza dei grataceli più alti degli ultimi 70
anni.
541 m
altezza prevista della Freedom Tower sul
luogo dove sorgeva il World Trade Center
553,33 m
altezza della CN Tower
647 m
altezza dell'antenna radio di Varsavia,
crollata nel 1991
1 km
lunghezza d'onda delle più basse frequenze
radio in onde medie, 300 kHz
1609 m
1 miglio internazionale
1852 m
1 miglio nautico
8850 m
altezza della montagna più alta, l'Everest
1,000 m 1 chilometro (km)
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10 000
m
10 m
Fossa di Mindanao
33 km
punto più stretto della Manica, nello stretto
di Dover
111 km
un grado di latitudine della Terra
3 480 km
diametro della Luna
8 851 km
lunghezza della Grande muraglia cinese
10 km = 1
Miriametro (Mm)
100 000
100 km
m
6
10 540 m
1 000 km = 1
megametro (Mm)
107 m
10 000 km
12 756 km
40 075 km
diametro equatoriale della Terra
lunghezza dell'equatore terrestre
108 m
100 000 km
384 000 km = 384 Mm
distanza orbitale tra Terra e Luna
109 m
1 milione di km =
1 390 000 km = 1,39 Gm
1 gigametro (Gm)
1010 m
10 milioni di km
1011 m
100 milioni di km
1012 m
diametro del Sole
150 milioni di km = 150
Gm
1 unità astronomica (UA); distanza media
tra Terra e Sole.
1,4 × 109 km
distanza orbitale di Saturno dal Sole
5,9 Tm
distanza orbitale di Plutone dal Sole
1 miliardo di km =
1 terametro (Tm)
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1013 m
10 Tm
1014 m
100 Tm
1015 m
1 petametro (Pm)
13,8 Tm
distanza della Voyager 1 dal Sole (maggio
2004)
9,46 Pm = 1 anno luce
distanza percorsa dalla luce in un anno
3,2616 anni luce = 30,8568
1 parsec
Pm
1016 m
10 Pm
4,22 anni luce = 39,9 Pm
1017 m
100 Pm
1018 m
1 exametro (Em)
1019 m
10 Em
1020 m
100 Em
10 000 anni luce
52 chiloparsec (1,6 × 10
m = 1,6 Zm)
1021 m
1 zettametro (Zm)
distanza della stella più vicina (Proxima
Centauri)
21
54 kiloparsec (1,66 × 1021
m = 1,66 Zm)
distanza dalla Grande Nube di Magellano
(una galassia nana che orbita attorno alla
Via Lattea)
distanza dalla Piccola Nube di Magellano
(un'altra galassia nana che orbita attorno alla
Via Lattea)
100.000 anni luce ≈ 1021 m Diametro della via Lattea
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1022 m
1023 m
10 Zm
100 Zm
22,3 Zm (2,36 milioni di
anni luce = 725 kiloparsec distanza dalla Galassia di Andromeda
= 22,3 Zm)
50 Zm (1,6 Mpc)
diametro del gruppo locale di galassie
300-600 Zm (10-20
megaparsec)
distanza dall'ammasso della Vergine
200 milioni di anni luce (2
diametro del Superammasso Locale
Ym, 60 megaparsec)
1024 m
1 yottametro (Ym)
lunghezza della Grande Muraglia, la
500 milioni di anni luce (5
seconda più grande superstruttura osservata
Ym, 150 megaparsec)
dell'universo
1025 m
1026 m
10 Ym
1010 anni luce
distanza stimata da alcune quasar, gli
oggetti più lontani osservati nell'universo
1,37 × 1010 anni luce =
1,3 × 1026 m = 130 Ym
distanza che la radiazione cosmica di fondo
ha percorso dal Big Bang
100 Ym
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1.1 OSSERVAZIONI SUGLI ORDINI DI GRANDEZZA PER LA
LUNGHEZZA
Un’interessante osservazione che deriva dall’analisi della TAB. 1 è che l’altezza media
di un uomo rappresenta lo spartiacque ovvero il valore della media di tutte le lunghezze
sia infinitesimali che infinitamente grandi.
Ricorda la celeberrima rappresentazione dell’uomo vitruviano di Leonardo da Vinci
delle proporzioni ideali del corpo umano, che dimostra come esso possa essere
armoniosamente inscritto nelle due figure "perfette" del cerchio e del quadrato.
L’altezza media dell’uomo, che per semplicità poniamo uguale a 1 metro per
semplificare i calcoli successivi, è come lo 0 su una retta reale dove a sinistra dello 0
possiamo immaginare valori più piccoli di 1 metro e sulla destra dello 0 valori più
grandi di un metro (0 = 1m)
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2. COME SI MISURA LA VELOCITA’
La terra gira su se stessa ad una velocità di circa 1700 km/h che è dovuta al moto di
rotazione terrestre. La Terra ruota attorno al proprio asse in quasi 24 ore. Considerando
che il raggio equatoriale è 6378 km, un punto sull'equatore compie un intero giro, pari a
2 π r = 40053 km, in 24 ore e questo corrisponde a 1670 km/h. Ma avvicinandoci ai poli
il raggio compiuto si riduce progressivamente, finché la velocità dei poli, dovuta alla
rotazione terrestre, è nulla. L'Italia, più o meno a metà strada, viaggia a circa 1180
km/h, pari a 0.33 km/s (con Reggio Calabria un po' più veloce di Bolzano).
Si tratta comunque del valore meno cospicuo, visto che la Terra, tutta quanta, ruota
attorno al Sole. In un anno compie una circonferenza (rigorosamente si tratta di un
ellisse) di raggio pari a 150 milioni di km. Fatti i conti si tratta di una velocità più di 60
volte superiore all'altra, mediamente pari 29,8 km/s.
Ed anche questo non è il movimento più consistente. La Terra, trascinata dal Sole,
partecipa del moto dell'intero Sistema Solare intorno alla Galassia. Si stima che la
velocità sia di circa 220 km/s.
Pertanto un uomo sulla Terra, quando sta fermo, è sottoposto ai tre moti sopra
menzionati, che sommandosi vettorialmente possono fargli sfiorare anche i 250 km/s.
A voler essere ancora più generali dovremmo pure aggiungere il moto della Galassia
che si muove a circa 1.000 km/s rispetto al riferimento dato da un’altra galassia
qualsiasi, ad esempio la galassia Sombrero.
Questo significa che la Terra compirebbe uno spostamento nello spazio di 86, 4 milioni
di km al giorno, o più di 31,536 miliardi di km all'anno, circa 7 volte la distanza minima
da Plutone. La nostra Galassia si starebbe muovendo in un punto di Spazio visibile nella
costellazione dell'Idra, e potrebbe col tempo diventare un membro dell'Ammasso della
Vergine.
Secondo la teoria della Relatività ristretta di Einstein, il movimento infatti deve essere
SEMPRE necessariamente specificato in rapporto ad un altro oggetto.
Com'è possibile che non avvertiamo nessuno di questi moti? La ragione è da ricercarsi
in una legge della fisica, detta principio d'inerzia: "un corpo non sottoposto a forze
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permane nel proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché non interviene
una forza esterna ad interromperlo".
La Terra, l'atmosfera e tutte le cose poste in superficie sono animate dallo stesso moto
rettilineo uniforme. Prendendo a termine di paragone un qualunque oggetto fisso
terrestre, essendo animato dello stesso moto della Terra, si muove come noi (se stiamo
fermi), alla medesima velocità, nella medesima direzione. In quanto corpi fisici tutte le
cose sono quindi sensibili alle accelerazioni, ma del tutto indifferenti alle velocità.
Ci accorgiamo quando parte o si ferma un ascensore ma senza guardare fuori del
finestrino non potremo dare neanche l'ordine di grandezza della velocità di un'auto sulla
strada.
Questo è il principio di relatività classico di Galileo secondo cui tutti i sistemi di
riferimento in moto rettilineo uniforme sono equivalenti. Anche il calcolo della velocità
della Terra lo si deve riportare sempre ad un determinato sistema. Quando ad esempio
ho accennato ai moti della Galassia, mi sono riferito, come usualmente si fa, ad un
sistema di riferimento (inerziale) nel quale la radiazione cosmica di fondo risulta
isotropa. Si potrebbe obiettare che in realtà il moto della Terra è combinazione di moti
curvilinei e non rigorosamente rettilinei, ma per brevi intervalli temporali lo
scostamento fra l'arco compiuto e la direzione rettilinea è minimo, non si percepisce a
sensazione. Tuttavia lo scostamento c'è ed è il responsabile di effetti quali la deriva dei
gravi verso oriente, la deflessione del piano di oscillazione dei pendoli di Foucault.
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2.1 COMPOSIZIONE RELATIVISTICA DELLE VELOCITÀ
La luce si propaga a una velocità finita.
Questo è un postulato, quindi indimostrabile, ed è alla base di tutta la teoria della
relatività sia ristretta che generale di Einstein.
Anche gli osservatori in movimento misurano sempre lo stesso valore di c, la velocità
della luce nel vuoto, dove c ≈ 300.000 km/s (c implica di default la velocità della luce
nel vuoto).
Quando però la luce passa attraverso una sostanza trasparente, come l'aria, l'acqua o il
vetro, la sua velocità c si riduce a v=c/n (dove n è il valore dell'indice di rifrazione del
mezzo) ed è sottoposta a rifrazione.
In altre parole, n = 1 nel vuoto e n > 1 nella materia. L'indice di rifrazione dell'aria di
fatto è molto vicino a 1, e in effetti la velocità della luce nell’aria è un po’ meno di c nel
vuoto.
Ricordiamo che un corpo si muove di moto rettilineo ed uniforme se mantiene una
velocità costante in modulo, direzione e verso (la velocità è un vettore).
Inoltre un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento caratterizzato
dalla seguente condizione: se un punto materiale è libero, cioè non sottoposto a forze
oppure sottoposto ad una risultante nulla di forze, allora persevererà nel suo stato di
quiete finché esso non viene perturbato. In altre parole un osservatore S o sistema di
riferimento si dice inerziale se, di un punto materiale isolato misura accelerazione nulla,
qualunque sia l'istante t in cui si effettua tale misura.
È semplice verificare che gli osservatori, che di un punto materiale isolato misurano
accelerazione nulla, sono tutti e solo quelli che si muovono di moto traslatorio,
rettilineo uniforme rispetto all'osservatore S sopra citato.
La composizione delle velocità è un insieme di equazioni che descrivono il legame tra
le velocità di un oggetto in due sistemi di riferimento diversi, l'uno in moto rettilineo
uniforme rispetto all'altro.
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Nella teoria della relatività ristretta esse tengono conto, in particolare, dell'insuperabilità
della velocità della luce e della sua costanza indipendentemente dal sistema di
riferimento inerziale scelto.
Se le velocità in gioco sono molto grandi e si avvicinano a circa un 1/10 della velocità c
della luce nel vuoto, dobbiamo tener conto delle trasformazioni di Lorentz:
Passando da un sistema inerziale S ad un altro sistema inerziale S* con velocità relativa
v rispetto al primo, si ha la seguente formula:
v
w = u −uv
1−
c2
La formula è semplificata perché si considera solo una direzione nel moto delle velocità
u e v in un sistema di riferimento inerziale S e w è la velocità nel nuovo sistema di
riferimento inerziale S*
In questo modo le velocità sono dei scalari (ovvero dei numeri) e non dei vettori.
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2.1.1 ESEMPIO DI COMPOSIZIONE DELLE VELOCITÀ
Sia dato un sistema di riferimento inerziale S, dove due astronauti U e V viaggiano
lungo l'asse x con velocità rispettivamente di
2
u= c
3
e
2
v = − c,
3
cioè opposte e
uguali in modulo.
Qual è la velocità dell'astronauta U visto nel sistema di riferimento S* solidale con
l'astronauta V?
Applicando la formula
precedente si ha:

2 2 
c −  c
12
w= 3 3  = c
 2  2 
13
 c  − c 



1 −  3  3 
c 2che il modulo della nuova velocità w è minore di c, come prevede la
Possiamo notare
relatività ristretta.
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3. L’ATOMO VISTO A SCALA UMANA
Il modello planetario è stato il primo proposto da Rutherford dove quasi tutta la massa
dell'atomo è concentrata in una porzione molto piccola, il nucleo (caricato
positivamente) e gli elettroni gli ruotano attorno così come i pianeti ruotano attorno al
Sole.
L'atomo è quindi largamente composto da spazio vuoto e il nucleo è così concentrato
che gli elettroni gli ruotano attorno a distanze relativamente enormi, aventi un diametro
da 10.000 a 100.000 volte maggiore di quello del nucleo.
L’analogia con il nostro sistema solare è evidente.
Siccome però il modello planetario portava delle incongruenze con le leggi della fisica
classica, ben presto fu abbandonato il concetto di orbita e fu introdotto il concetto di
orbitale.
Nasce così anche la meccanica quantistica.
Non ha più senso infatti parlare di traiettoria di una particella: da ciò discende che non
si può neanche definire con certezza dove un elettrone si trova in un dato momento. Ciò
che si poteva conoscere era la probabilità di trovare l'elettrone in un certo punto dello
spazio in un dato istante di tempo. Un orbitale quindi non è una traiettoria su cui un
elettrone (secondo le idee della fisica classica) poteva muoversi, bensì una porzione di
spazio intorno al nucleo definita da una superficie di equiprobabilità, ossia entro la
quale c'è il 95% della probabilità che un elettrone vi si trovi.
Fu Erwin Schrödinger con la sua equazione di Schrödinger, a ipotizzare la struttura
dell'atomo come costituita da un nucleo centrale carico di energia positiva circondato da
una nuvola di elettroni.
Alla luce delle ultime ricerche, sfruttando sofisticate e potenti apparecchiature
elettroniche, è stato possibile determinare in modo più completo anche la struttura del
nucleo. In particolare si è scoperto che i protoni e i neutroni sono a loro volta formati da
particelle più piccole: i quark.
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L'atomo è composto principalmente da tre tipologie di particelle subatomiche (cioè di
dimensioni minori dell'atomo): i protoni, i neutroni e gli elettroni.
In particolare:
•
•
i protoni (carichi positivamente) e i neutroni (privi di carica) formano il "nucleo"
(carico positivamente); protoni e neutroni sono detti quindi "nucleoni";
gli elettroni (carichi negativamente) sono presenti nello stesso numero dei protoni
e ruotano attorno al nucleo senza seguire un'orbita precisa (l'elettrone si dice
quindi "delocalizzato"), rimanendo confinati all'interno degli orbitali (o "livelli
energetici").
In proporzione, se il nucleo atomico fosse grande quanto una mela, gli elettroni gli
ruoterebbero attorno ad una distanza pari a circa un chilometro; un nucleone (protone o
neutrone) ha massa quasi 1800 volte superiore a quella di un elettrone.
Gli atomi non hanno quindi un contorno ben definito, in quanto la distanza degli
elettroni rispetto al nucleo varia in ogni istante ed è influenzata dalle condizioni
energetiche dell'atomo, in particolare aumenta all'aumentare della temperatura e
diminuisce in seguito alla formazione di un legame chimico.
In proporzione se una mela diventasse della dimensione della Terra, gli atomi nella
mela avrebbero approssimativamente le dimensioni della mela originale.
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3.1 VELOCITA’ DELL’ELETTRONE NELL’ATOMO DI IDROGENO
La velocità dell’elettrone nell’atomo di idrogeno, nel modello di Bohr, è data dalla
seguente formula:
αc
vn =
n
α è la costante di struttura fine adimensionale
n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 livello energetico dove si può trovare l’elettrone
dove
α=
1
137,03599
= 0,0072973
nello stato fondamentale n=1 si ha:
v1 = 2.188 km/s
La scelta dell'atomo di idrogeno è dovuta perché è il più semplice sistema studiabile in 3
dimensioni, poiché possiede un nucleo con un protone e ha un solo elettrone.
A livello energetico n=5 si ha una velocità dell’elettrone attorno al nucleo più piccola e
precisamente di:
v5 =
2188
5
≈ 437 km/s
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Il numero quantico n può assumere tutti i valori interi da 1 fino al valore massimo di
n=7 perché in questo modo vengono sistemati tutti gli elettroni degli elementi della
tavola periodica attualmente conosciuti.
E’ interessante osservare che la velocità dell’elettrone attorno al proprio nucleo è
sempre inferiore o uguale al valore di:
v1 = αc = 2.188 km/s
Questo vale per qualsiasi atomo anche molto più complesso.
Di conseguenza le velocità degli elettroni in un qualsiasi atomo sono sempre inferiori o
uguali a
1
137,03599
0,72973%).
Ovviamente la formula
della velocità della luce, ovvero meno dell’1% (precisamente del
αc
vn =
n
non vale più per atomi che non siano di idrogeno ma
siccome le massime velocità degli elettroni sono proprio nell’atomo di idrogeno, per
tutti gli altri atomi le velocità degli elettroni sono comunque inferiori (già con 2
elettroni attorno al nucleo come per l’atomo di elio).
Osserviamo anche che le leggi della relatività non servono per calcolare queste velocità,
NON SI HA NESSUN AUMENTO DI MASSA DELL’ELETTRONE perché le
velocità sono comunque inferiori al 10% della velocità della luce c, e quindi valgono le
leggi della fisica classica.
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3.2 RAGGIO DELL’ELETTRONE NELL’ATOMO DI IDROGENO
Nel modello di Bohr dell'atomo di idrogeno, il raggio di Bohr (simbolo spesso usato
a0) è il raggio dell'orbita più interna, ed è pari a:
a0 = 5,291×10-11 m (circa 0,53 Angström).
Le altre orbite si trovano su orbite circolari di raggio:
rn = n 2a
0
Quindi per n=2 abbiamo, ad esempio:
r2 = 2,12 Å
Per gli atomi il raggio è compreso tra 0,25 Å e 3 Å e il raggio dipende soprattutto dalla
carica efficace dell'elemento: all'aumentare della stessa, il raggio atomico diminuisce.
La carica si dice "efficace" perché, a causa dell'effetto di schermo degli altri elettroni
degli strati più interni negli atomi con più elettroni (e quindi tutti meno l’idrogeno),
l'elettrone all'ultimo strato non risente totalmente della carica nucleare.
Il raggio atomico più piccolo è l'atomo di elio (con raggio atomico di 0,25 A), mentre
uno degli atomi più grandi è l'atomo di cesio (con raggio atomico di 2,6 A)
Si vede che già per n ≥ 3 il raggio rn calcolato di Bohr con orbite circolari non va già più
bene ma si tratta di una buona approssimazione.
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3.3 ENERGIA DELL’ELETTRONE NELL’ATOMO DI IDROGENO
L’energia dell’elettrone che occupa diversi raggi di orbite circolari è data dalla seguente
formula:
E
En = 0
n2
Dove E0 è l’energia della prima orbita di Bohr e vale:
E0 = 2.18 x10#18J = 13.61 eV
Ad esempio per n=2 si ha:
E2 = E0
1
4
= 3,4 eV
Lo straordinario successo del modello di Bohr è l’aver riprodotto con incredibile
precisione la lunghezza d’onda delle righe di emissione dell’idrogeno. Infatti dalla
formula precedente deriva immediatamente che le energie dei fotoni emessi a seguito
della transizione dell’elettrone da uno stato di numero quantico n1 ad uno di numero
quantico n2 dovranno essere:
 1
1 
− 2 
2
n2 
 n1
Efotone = E0 
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Ad esempio per un elettrone che passa dallo stato quantico n1=1 allo stato quantico
n2=2, ovvero dalla prima orbita “circolare” alla seconda orbita “circolare” viene emesso
un fotone di energia pari a:
Efotone = E0
3
4
= 10,2 eV
Ricordiamo che la luce visibile, dal blu al rosso, ha i seguenti parametri:
λ = 400 nm (blu) - 700 (rosso) nm, lunghezza d’onda
f = 750 THz (blu) - 430 (rosso) THz, frequenza
E = 3,1 eV (blu) - 1,8 (rosso) eV, Energia del fotone
Con h costante di Plank:
(essendo 1 eV = 1,60217653×10-19 J).
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5. OSSERVAZIONI IMPORTANTI
Circa la costante di struttura fine possiamo aggiungere le considerazioni RIF:
Michele Nardelli in “Sistema Musicale Aureo Phi (n/7) e connessioni matematiche tra
numeri primi e “Paesaggio” della Teoria delle Stringhe”, Christian Lange1, Michele
Nardelli e Giuseppe Bini, sul sito xoomer.virgilio.it/stringtheory/Nardlanbin01.pdf,
dove gli Autori mostrano le connessioni tra il numero 432, la costante di struttura fine e
la sezione aurea, ma anche con π.
Vediamo ora l’angolo aureo , dal primo volume “La sezione aurea – il linguaggio
matematico della bellezza” della collana matematica “Il mondo è matematico”, pag.
131:
“… Bravais scoprì che le nuove foglie si sviluppano ruotando di uno stesso angolo,
approssimativamente 137,35°,: Se calcoliamo:
360° * Ф^2 = 360/Ф^2
I 360° corrispondono ad un giro completo per il limite a cui converge la successione
precedente) si ottiene appunto137,35°, chiamato a volte angolo aureo…”
Dividendo infatti 360° per 2,6180307 abbiamo 137,50793, numero vicinissimo a
quello della costante di struttura fine α = 137,03599, con differenza 137,50793137,03599 = 0,47194 e rapporto 137,50793/137,03599 = 1,0034439, molto vicino a
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1,61803398... = 1,0037665
con una differenza di circa 3 millesimi tra il valore reale e il valore stimato di tale
rapporto. Poiché il diametro di un ramo è circolare e anche l’orbita di un elettrone è
anch’essa circolare, e nella formula della costante di struttura fine compare π, è
possibile che tra il valore della costante di struttura fine e l’angolo aureo ci sia qualche
relazione, confermata indirettamente anche dal suddetto lavoro di Nardelli, Lange e
Bini, a pag. 23 e seguenti, anche in relazione al numero 432, somma di 267 e
165 :
“…Vi sono ulteriori connessioni matematiche che vale la pena di andare a descrivere
ed analizzare. L’Ing. Christian Lange ha ottenuto alcuni risultati lavorando sul numero
432, corrispondente alla frequenza del La naturale (ricordiamo che 432 = 24 · 33).
Dividendo 432 per π, si ottiene 137,5 un valore molto vicino a quello della Costante di
Struttura Fine,di importanza fondamentale nella fisica teorica e nella cosmologia, in
quanto ha un ruolo di primo piano nelle teorie delle stringhe e del multiverso.
Inoltre, dividendo 432 per Ф e per Ф^2 si ottengono rispettivamente i numeri 267 e
165. Le somme di tali numeri forniscono nuovamente 432…Si osserva anche che i
numeri 267 e 165 sono dati da somme di numeri di Fibonacci. Infatti:267 = 233 + 34 e
165 = 144 + 21 (233 = 89 + 144; 144 = 55 + 89)…”.
(E anche le formule per ottenere i numeri 267 = 432/Ф e 165=432/Ф^2 sono connessi
alla sezione aurea) Ora però il numero 137,5796 si ottiene da 432/π. Ma 432 è connesso
anche ad alcuni numeri di Fibonacci, dalle relazioni di cui sopra. Quindi anche π, già
presente nella formula della costante di struttura fine, potrebbe essere connesso
all’angolo aureo 137,5° (ma per angolo aureo si intendono anche altri angoli, come
36°, ecc. ; noi in questo lavoro ci riferiremo sempre all’angolo 137,5 , molto prossimo
all’inverso della costante di struttura fine, 137,035…)
Quindi, sarebbe possibile una connessione tra 432, π, Ф, e α = costante di struttura
fine “.
Infine ricordiamo che, come prima detto,
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“La velocità orbitale della Terra RIMANE di 30 km/s all’incirca quella di un elettrone
attorno ad un nucleo ad un certo livello energetico molto basso di un atomo complesso”.
Essendo all’incirca uguale le due velocità orbitali della Terra attorno al Sole e di un
elettrone intorno al nucleo atomico, possiamo ipotizzare una possibile relazione tra le
orbite dei pianeti solari (Terra compresa), e gli orbitali o numeri quantici, con la serie di
Fibonacci e quindi con la sezione aurea.
Per le orbite planetarie, è nota la legge di Bode , che misura le distanze planetari dal
Sole in termini di unità astronomiche (U.A.), con connessione con i numeri di
Fibonacci, idem se si usano milioni d chilometri (Rif. 13, La serie di Fibonacci nel
microcosmo (effetto Hall quantistico, cariche frazionarie, masse dei quark, numeri
quantici, stabilità nucleare) Gruppo “B. Riemann”*Francesco Di Noto, Michele Nardelli )
al quale rimandiamo
Idem per i numeri quantici e gli orbitali elettronici
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5.1 LA LEGGE ASTRONOMICA DI BODE E I NUMERI DI FIBONACCI
In questo lavoro mostriamo la connessione con la legge
astronomica empirica di Bode sulle distanze planetarie dal
Sole con i numeri di Fibonacci.
°°°°°°°
Da “Il libro della Fisica” di Gifford A. Pickover ( ed.Logos)
riportiamo la pag. 128 dedicata alla “Legge delle distanze
planetarie di Bode”, che sarà poi seguita da nostre
osservazioni e tabelle numeriche riguardanti la connessione
con i numeri di Fibonacci ( avevamo gia trattato l’argomento
in Rif.1)
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Nostre osservazioni e tabelle
La serie numerica empirica 0 3 6 12 24 si potrebbe
benissimo completare con 1,5 compreso tra 0 e 3 e 48, 92 e
188 dopo 24, in modo da avere una serie (che poi è una
progressione geometrica con numero fisso 2)
0 1,5 3 6 12 24 48 92 184
Notiamo anzitutto che essa rispecchia grosso modo la
successione di Fibonacci:
TABELLA 1
Serie di
completa
0
1,5
3
6
12
24
48
Bode
più Serie di Fibonacci
0
1 2
3
5
13
21
34
Differenza
Bode – Fibonacci
Prossima a numeri di
Fibonacci
0
0,5 ≈ 0
0
1
-1
3
14 ≈ 13
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92
184
…
≈ 44, 5 media tra
3,5 ≈ 3
34 e 55
89
3
≈ 188,5 media tra 144 e -4,5 ≈ 5
2332
…
…
Una leggera connessione quindi c’è, tra le due serie numeriche:
la prima progressione geometrica con numero fisso 2, la
seconda progressione geometrica con numero fisso 1,618…
non molto lontano da 2.
La correzione apportata da Bode ( aggiungendo 4 alla
progressione iniziale e dividendo per 10), avvicina ancora di
più le due progressioni:
TABELLA 2
Bode
≈ Fibonacci
0
0,55
0,7
0
1
1
1,0
1,6
1
2
Rapporti successivi nella
serie di Bode
(nella serie di Fibonacci è
≈ 1,618
0,7/0,55 = 1,2727
≈ √1,618 = 1,2720
1/0,7 = 1,4285…
1,6/1 =1,6 ≈ 1,618
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2,8
5,2
10,0
19,6
38,8
77,2
3
5
8
21
34
≈ 72 media tra 55 e 89
2,8/ 1,6 =1,75≈ 1,618
5,2/2,8 = 1,857
10,0/5,2= 1,9230
19,6/10=1,96
38,8/19,6=1,97
77,2/19,6=1,98
Come si nota, la vicinanza con i numeri di Fibonacci è più
marcata, ma ora manca il 13 e il 55.
Con i rapporti successivi, essi sono minori di 2, quindi mediamente più vicini a
1,618 = rapporto aureo, e questo spiega la maggiore vicinanza della seconda serie
con i numeri di Fibonacci.
Conclusioni
Esiste quindi una connessione tra la progressione geometrica originale di Bode 0
3 6 12 24 , le sue e le nostre modifiche mostrate in questo lavoro, e la
successione di Fibonacci, in merito alle distanze dei pianeti dal Sole espresse
in Unità Astronomiche (U.A.).
In Rif. 1) avevamo già trovato altre connessioni sull’argomento.
Rif. 1) “La sezione aurea in astronomia”
sul sito www.attuttoportale.it sezione
OLTRE LA BOTANICA LA SEZIONE AUREA -DAGLI ATOMI ALLE
STELLE, Rubrica curata da Francesco Di Noto e Eugenio Amitrano
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http://www.atuttoportale.it/ , dal quale riportiamo la parte iniziale,
con le distanze in milioni di km anziché in U.A., e rispunta anche qui
la serie di Fibonacci :
“ Di seguito sono riportate le distanze medie dal Sole in milioni di km:
Pianeti interni (pianeti terrestri)
Mercurio 58
Venere 108
Terra 150
Marte 228
Fascia degli asteroidi 420
Pianeti esterni (pianeti gioviani, giganti gassosi)
Giove 778
Saturno 1426
Urano 2870
Nettuno 4497
Se dividiamo tutti i numeri per 50 otteniamo la seguente sequenza che risulta essere
molto vicina alla Successione di Fibonacci:
Mercurio: 1,16 ≈ 1;
Venere: 2,16 ≈ 2;
Terra: 3,00 = 3;
Marte: 4,56 ≈ 5;
Asteroidi: 8,40 ≈ 8;
Giove: 15,56 ≈ 13;
Saturno: 28,52 ≈ 27,5 = (21 + 34) / 2;
Urano: 57,40 ≈ 55;
Nettuno: 89,94 = 89 “
Qui però mancano il 21 e il 34, ma sono coinvolti nel numero
28,52 molto vicino alla media 27.5 = (21+34)/2
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6. SPAZIO E TEMPO NELLE DIVERSE SCALE DI LUNGHEZZA
Abbiamo visto che la velocità deve essere sempre necessariamente specificata in
rapporto ad un altro oggetto e inoltre che in base alla composizione delle velocità
qualunque oggetto non può mai superare la velocità della luce c.
Ma immaginiamo di cambiare scala e di passare a dimensioni molto maggiori, anzi
supponiamo di avere le dimensioni di una galassia ovvero di 1021 m e di vivere
nell’universo e non sulla Terra.
Se avessimo queste dimensioni come apparirebbe il nostro sistema solare con la Terra e
gli altri suoi 8 pianeti orbitanti?
Avrebbe approssimativamente le dimensioni di un atomo con il sole che rappresenta il
nucleo e i pianeti gli elettroni e si avrebbe un modello planetario con le leggi della fisica
e relatività di Einstein perfettamente funzionanti.
La velocità orbitale della Terra RIMANE di 30 km/s all’incirca quella di un elettrone
attorno ad un nucleo ad un certo livello energetico molto basso di un atomo complesso.
Non si avrebbe più bisogno di una nuova teoria come quella basata sulla meccanica
quantistica.
Quindi non è solo importante stabilire i parametri di spazio e di tempo relativamente
alla velocità di un oggetto in un certo sistema di riferimento inerziale ma è
fondamentale anche stabilire qual è la scala di dimensioni a cui si fa riferimento.
Se avessimo le dimensioni “mostruose” di una galassia non ci sarebbe nessun bisogno
di scomodare o inventare una nuova teoria come quella meccanica quantistica.
Notiamo anche che le velocità degli oggetti non cambiano se cambiamo di scala.
Questo è fondamentale perché se le velocità rimangono le stesse sono quindi sono
invarianti e costanti indipendentemente dal cambio di scala.
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7. CONCLUSIONI
Osserviamo che insieme alla velocità ecc. alle diverse scale, non cambiano neanche le
relazioni con la sezione aurea e i numeri di Fibonacci, molto presenti sia a scala
microcosmica e nucleare (stringhe, masse di quark, stabilità nucleare, ecc.) sia
macroscopica (livello umano, tipo fiori, pigne, conigli, ecc.) sia anche astronomica
(orbite planetarie con la legge di Bode, bracci a spirale in galassie particolari, dette
appunto “a spirale”).
Abbiamo già visto le possibili connessioni tra sezione aurea e costante di struttura fine.
L’analogia dei sistemi orbitanti attorno ad un nucleo si verificano sia a livello
subatomico che a livello cosmologico.
Tutto è in continuo movimento e in trasformazione nel tempo e le forze che
intervengono sono anch’esse simili nella forma con forze repulsive ed attrattive.
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8. RIFERIMENTI
Tutti sul nostro sito , salvo diversa indicazione.
1) “Teoria matematica dei nodi, fisica quantistica, teoria di
stringa (connessioni con i numeri di Fibonacci, di Lie e i
numeri di partizione) Parte Prima
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
Gruppo “B. Riemann”
2) “Osservazioni sul nuovo “numero
magico” 34 della nucleosintesi stellare”
Gruppo “B.Riemann”
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
(connessione con i numeri di Fibonacci e la stabilità nucleare)
3) “Teoria delle stringhe, effetto entanglement e fotosintesi clorofilliana”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele
4) “I numeri fibonoriali F!(n), 2° parte (numeri primoriali #(n) come loro fattori e
numeri di Fibonacci come esponenti, es. F!(19) “
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
5) “I numeri Fibonoriali e i numeri di Lie”
Gruppo “B. Riemann”*
Michele Nardelli Francesco Di Noto
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6) “MUSICA AUREA E FISICA TEORICA (Da Pitagora al bosone di Higgs)”
Gruppo ” B. Riemann”*
Nardelli Michele, Francesco Di Noto
7) “STUDY ON INFINITY IN MATHEMATICS AND PHYSICS”
Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli, Francesco Di Noto
8) “La matematica dell’evoluzione naturale (Proposta di considerare la sezione
aurea nella simulazione informatica del DNA e nella futura dimostrazione
matematica della teoria evoluzionistica)
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
9)” DALLE TEORIE DI STRINGA AI MATERIALI
SUPERCONDUTTORI TRAMITE LA SEZIONE AUREA”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
10)” WORMHOLES, UNIVERSO E STRINGHE”
Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, Francesco Di Noto
11)” Percorso riepilogativo Teoria dei Numeri →Teorie di stringa → effetti
quantistici →realtà fisica”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
12)” REPULSIVE GRAVITATIONAL INTERACTION BETWEEN MATTER
AND ANTIMATTER”
Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli, Francesco Di Noto
13)” La serie di Fibonacci nel microcosmo (effetto Hall quantistico, cariche
frazionarie , masse dei quark, numeri quantici, stabilità nucleare)”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
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14)” - NOTA AGGIUNTIVA SUL GRUPPO DI LIE E8 Francesco Di Noto, Michele Nardelli
15)” Studi ed osservazioni sul Gruppo di Lie E8”
Gruppo ”B. Riemann”*
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
16)” L’EQUAZIONE PREFERITA DALLA NATURA
E I RELATIVI GRAFICI PARABOLICI “
Gruppo “B. Riemann”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
17)”DAI NUMERI COMPLESSI ALLA REALTA’ FISICA
(in particolare gli ottonioni)”
Gruppo “B. Riemann”
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
18) “FIBONACCI, DIMENSIONI, STRINGHE: NUOVE INTERESSANTI
CONNESSIONI”
Francesco Di Noto e Michele Nardelli
Sul sito:
eprints.bice.rm.cnr.it/640/1/Nardinot02.pdf

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