Effetto Compton

Fisica moderna - Fotoni e onde di materia
Liceo Scientifico Tecnologico
Classe 5 LST B
a.s. 2013/2014
ESERCIZIO TRATTO DA “Fondamenti di fisica”
(D. Halliday, R. Resnick, J. Walker) Vol. Fisica moderna - Modulo Cap. 39 - Argomento Problema:
Spostamento Compton
!
!
!
Sviluppo curato da: Dante Giovannangelo
Docente: prof. Quintino D’Annibale
Testo
Si consideri una collisione tra un fotone X di energia iniziale 50.0 KeV e un elettrone a riposo, in cui il fotone
rimbalza indietro e l’elettrone viene spinto in avanti. (a) Qual’è l’energia del fotone riflesso? (b) Qual’è
l’energia cinetica dell’elettrone?
!!
!
Sviluppo
(a)
L’idea chiave per affrontare il problema sta nel concetto dualistico onda-particella per le interazioni lucemateria proprio come negli urti tra punti materiali nel senso classico.
Fu proprio l’esperimento eseguito da Compton ad evidenziare che l’energia di un raggio x(individuato dalla
frequenza o dalla lunghezza d’onda) dopo essere entrato in contatto con la materia(elettrone), veniva esso
stesso deviato con una conseguente perdita di energia: diminuzione di frequenza ed aumento di lunghezza
d’onda.
Compton ipotizzo quindi il comportamento del raggio X, non come un onda ma come un flusso di fotoni di
energia e che alcuni di questi fotoni siano soggetti a collisioni con gli elettori liberi del bersaglio diffondente.
!
Nel nostro caso osserviamo: Fotone X
Ei (λ ,ν )
e−
x
Fotone X
E f (λ ' ,ν ' )
e−
φ = 180°
!
v
x
Da quanto specificato su possiamo applicare il principio di conservazione dell’energia: ΔE = 0
Ei = E f + K
1) E f = Ei − K
!
In cui Ei è l’energia iniziale del raggio incidente(50 KeV); Ef è l’energia finale del fotone riflesso(che
dobbiamo trovare) e K è l’energia cinetica dell’elettrone in seguito all’urto.
!
!
L’energia cinetica deve però essere espressa con la formula relativista, in quanto l’elettrone assorbe energia
sufficiente per avere una v≈c:
!
!!E
!!2) !E
f
= Ei − mc 2 (γ − 1)
f
= Ei −
mc 2
2
1−
v
c2
+ mc 2
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La 2) sarà l’equazione che utilizzeremo ma abbiamo l’incognita v della velocità dell’elettrone.
Per cui ricorriamo di nuovo al principio di conservazione dell’energia esprimendola in termini fotonici tenendo
conto che:
!
iE = hν
!!iν = c
! λ
Che sono: energia fotonica e definizione di frequenza di onda di luce(onda sinusoidale)
!
!!
!!
Per cui andiamo a “tradurre” la 1) con i seguenti termini:
!
hν = hν '+ mc (γ − 1)
!!
c
c
h = h + mc (γ − 1)
λ
λ'
!!
h h
= + mc(γ − 1)
!!
λ λ'
!
mc
⎛1 1⎞
h⎜ − ⎟ =
− mc !
⎝ λ λ '⎠
v
!!
1−
c
!!
hΔλ
mc
+ mc =
!!
λλ '
v
1−
c
!!
mc
v
= 1−
!
hΔλ
c
+ mc
!
2
2
2
2
2
2
2
I passaggi algebrici non sono stati riportati tutti ma in buona parte.
2
Arrivati all’equazione 3) abbiamo ancora altre incognite che elencherò
successivamente;
Per adesso voglio ricordare alcune costanti:
λλ '
m 2c2
v2
−1 = − 2
c
⎛ hΔλ
⎞
+ mc⎟
⎜⎝
⎠
λλ '
!
• h=6,63*10-34 j*s (costante di Planck)
(velocità della luce)
• c=3*108 m/s
(massa elettrone)
• m=9,1*10-31kg
!!
!!
!
m2c4
3) v = c −
2
⎛ hΔλ
⎞
+ mc⎟
⎜⎝
⎠
λλ '
2
!
!!
!!
!
Per prima incognita abbiamo lo spostamento Compton:
h
h
h
6,63⋅10 −34 j ⋅ s
Δλ =
(1− cos φ ) =
(1− cos180°) = 2
=2
= 4,86 ⋅10 −12 m
−31
8
mc
mc
mc
9,1⋅10 kg ⋅ 3⋅10 m / s
!
Successivamente abbiamo le lunghezze d’onda:
!!
c
hc 6,63⋅10
E = hν = h → λ =
=
i
λ' =
λ
Ei
−34
j ⋅ s ⋅ 3⋅10 8 m / s
= 2, 48 ⋅10 −11 m
−15
50keV = 8,01⋅10 j
Δλ + λ = (4,86 ⋅10 −12 + 2, 48 ⋅10 −11 )m = 2,97 ⋅10 −11 m
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!
Sostituiamo ora i dati ottenuti alla 3): v = c2 −
m2c4
(9,1⋅10 −31 kg)2 (3⋅10 8 m / s)4
8
2
=
(3⋅10
m
/
s)
−
2
2 = 53.994.520m / s
⎛ hΔλ
⎞
⎛ 6,63⋅10 −34 j ⋅ s ⋅ 4,86 ⋅10 −12 m
⎞
−31
8
+ mc⎟
⎜⎝
⎜⎝ 2, 48 ⋅10 −11 m ⋅ 2,97 ⋅10 −11 m + 9,1⋅10 kg ⋅ 3⋅10 m / s ⎟⎠
⎠
λλ '
!!
Infine applichiamo i valori ottenuti alla 1) E f = Ei −
mc 2
2
1−
v
c2
+ mc 2 = 8,01⋅10 −15 j −
9,1⋅10 −31 kg(3⋅10 8 m / s)2
1−
(53.994.520m / s)
(3⋅10 8 m / s)2
2
+ 9,1⋅10 −31 kg(3⋅10 8 m / s)2 = 41,8keV
!
(b)
!
!
Per questo punto basta applicare semplicemente la 1) e sostituire i valori:
!
!E
f
= Ei − K → K = Ei − E f = (50,0 − 41,8)keV = 8,2keV
La natura ondulatoria-corpuscolare della luce nella tesi relativistica dei quanti di luce(fotoni) diventa
praticamente evidente nell’esperimento di Compton.
!
!
Questa tesi è alla base dei futuri concetti di onda come probabilità; di fatti sentiamo parlare per la prima volta
di flusso di fotoni proprio in questo esperimento nel senso che, se tutti i quanti di luce avessero urtato lo
stesso elettrone, tutta l’energia dell’onda si sarebbe trasferita completamente all’elettrone;
siccome abbiamo visto che questo non avviene, solo una parte di essi impatta. Per cui la natura ondulatoria
della luce si presenta come fotone in un certo intervallo di probabilità per quel determinato punto.
!!
!
Giovannangelo Dante
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