Elettrodinamica Un toroide a sezione rettangolare porta due avvolgimenti, uno esterno di N1 spire, altezza h1, raggio interno a1 , raggio esterno b1, ed un avvolgimento interno di N 2 spire, altezza h2 , raggio interno a2 , raggio esterno b2 . Determinare l’espressione di a) coefficiente di autoinduzione dei due avvolgimenti L1 , L2 ; b) coefficiente di mutua induzione M; c) verificare che la disuguaglianza L1L2 ≥ M 2 è soddisfatta; d) a che condizioni potrebbe accadere che L1L2 = M 2 ? Soluzione a) Troviamo dapprima il flusso del campo magnetico prodotto da un avvolgimento (quando percorso da una corrente i) attraverso una spira dell’avvolgimento stesso: µ0 b 1 µ b Φ = ∫∫ B ⋅ da = Ni ∫ hdr = 0 Nih log 2π a r 2π a spira (1 ) Il flusso concatenato con tutto l’avvolgimento è di autoinduzione è Φ = NΦ (1) = µ0 2 b N ih log 2π a e il coefficiente b Φ µ0 2 N h log . Quindi avremo = i 2π a µ µ b b 2 2 L1 = 0 N 1 h1 log 1 L2 = 0 N 2 h2 log 2 2π a2 2π a1 L= b) Troviamo di nuovo il flusso del campo magnetico prodotto dall’avvolgimento 1 (quando percorso da corrente i1) attraverso una spira dell’avvolgimento 2: Φ 12 (1 ) = b2 µ0 µ b 1 B ⋅ d a = N i h2 dr = 0 N 1i1 h2 log 2 ∫∫ 1 2 1 1 ∫ 2π 2π a2 spira 2 a2 r il flusso concatenato con tutto l’avvolgimento 2 è coefficiente di mutua induzione è M = Φ 12 = N 2 Φ 12 (1 ) = b Φ 12 µ 0 N 1 N 2 h2 log 2 = i1 2π a2 µ0 b N 1 N 2 i1 h2 log 2 2π a2 e il c) Moltiplichiamo i coefficienti di autoinduzione e confrontiamo col quadrato del coefficiente di mutua induzione L1 L2 = µ0 2 b µ b 2 N 1 h1 log 1 ⋅ 0 N 2 h2 log 2 , 2π a1 2π a2 µ b b M 2 = 0 N 1 N 2 h2 log 2 . Eliminando i fattori comuni avremo h1 log 1 da un lato e a2 a1 2π b h2 log 2 dall’altro. La prima espressione è sempre maggiore della seconda, come si evince dalla a2 2 geometria del problema,e quindi, la disuguaglianza è soddisfatta. d) Accadrebbe quando le dimensioni geometriche fossero uguali. Onde La corda del mi basso della chitarra ha una densità lineare di massa µ=5.52x10-2 g/cm ed è tesa con una forza T=57.6 N. La lunghezza l della corda compresa tra capotasto e ponte è di 62 cm. E’ noto che la velocità di propagazione di un’onda su una corda è data dalla relazione v= T µ Determinare a) la velocità di propagazione dell’onda sulla corda; b) la lunghezza d’onda λ0 dell’onda stazionaria fondamentale della corda; c) la frequenza fondamentale f0. La corda in vibrazione produce un’onda in aria che si propaga alla velocità va=343.8 m/s e che corrisponde al mi basso. Determinare d) la lunghezza d’onda λa dell’onda prodotta in aria. Nella scala musicale temperata un intervallo di un semitono corrisponde ad un rapporto di frequenze f ' 12 = 2. f Determinare e) a che distanza dal capotasto dev’essere posto il primo tasto affinché il suono prodotto corrisponda al fa, un semitono più alto del mi. Soluzione a) La velocità è v= 57.6 N = 102.2m / s . 5.52 ⋅ 10 −3 kg / m b) L’onda stazionaria fondamentale ha lunghezza d’onda pari a due volte la lunghezza della corda: λ0 = 2l = 1.24m . . c) La frequenza fondamentale è f0 = v λ0 = 102.2 = 82.4 Hz 1.24 d) La lunghezza d’onda dell’onda in aria è λa = v a 343.8 = = 4.2m f0 82.4 e) Il rapporto fra le frequenze è uguale al rapporto inverso tra le lunghezze d’onda sulla corda e quindi tra le lunghezze della corda corrispondente alle due note, mi e fa: f' λ l = = f λ' l' f 1 = l 12 e la distanza dal capotasto è f' 2 1 l − l ' = l 1 − 12 = 0.62 ⋅ 0.0561 = 3.5cm . 2 quindi l' = l Relatività Un sistema binario è composto da due stelle S1 S2 orbitanti una attorno all’altra. Consideriamo la luce emessa dalla stella S1 e osservata sulla Terra a grande distanza d dal sistema. Una qualunque riga spettrale di frequenza f sarà spostata per effetto Doppler dovuto al moto di rivoluzione della stella. Tale effetto dipende dal tempo, poiché la velocità relativa della stella rispetto alla Terra varia continuamente nel tempo. Supposto per semplicità che l’osservatore terrestre giaccia nel piano dell’orbita stellare, che questa sia circolare con velocità v uniforme e la velocita` della Terra non cambi, determinare a) l’espressione della frequenza f’ misurata sulla Terra, in funzione del tempo; b) il valore medio, massimo e minimo della frequenza f’; Supposto di aver misurato le frequenze al punto (b), determinare c) la velocità di rivoluzione della stella; d) il valore della frequenza f nel sistema di riferimento solidale con S1. Soluzione a) Per come sono stati scelti in figura, gli angoli Doppler θ e orbitale ωt sono uguali. La frequenza rilevata sulla Terra è data da f ' = fγ 1 − β cos θ = fγ 1 − β cos ωt . ( ) ( ) ( ) b) Il valor medio è f ' = fγ 1 − β cos ωt = fγ , mentre il massimo e il minimo si ottengono, rispettivamente, per θ = π e θ = 0 : f ' max = fγ 1 + β , f ' min = fγ 1 − β . ( ) ( c) Dal rapporto R tra la frequenza massima e minima, abbiamo v = βc = ) R= R −1 c. R +1 f ' max 1 + β , da cui = f ' min 1 − β d) Si risale alla frequenza di emissione della luce, dal suo valor medio (rispetto all’osservatore terrestre) e dalla velocità: f = f' γ = f ' 1− β 2 = f ' 2 R . R +1 Ottica geometrica Il vetro ‘crown’ ha un indice di rifrazione per il rosso e il violetto pari a, rispettivamente, n R = 1.46, nV = 1.47 . Una lente biconvessa, costruita con tale vetro, ha raggi di curvatura R1 = 10cm , R2 = −15cm . Determinare a) la distanza focale della lente per il rosso f R e per il violetto fV . Un oggetto è posto a distanza o=20 cm dalla lente. Determinare, con il metodo algebrico e geometrico, b) la posizione i dell’immagine e l’ingrandimento G per il rosso e c) per il violetto. (Suggerimento: fare due disegni distinti, uno per il rosso e l’altro per il violetto). Soluzione a) Usando la formula dei fabbricanti di lenti, otteniamo: 1 1 1 1 1 1 = (n R − 1) − = (1.46 − 1) − = 0.46 = 0.07667 fR 6 10 15 R1 R2 1 1 1 1 1 1 = (nV − 1) − = (1.47 − 1) − = 0.47 = 0.07833 fV 6 10 15 R1 R2 da cui f R = 13.04cm , f V = 12.77cm . b) Per l’immagine abbiamo i R = 37.5cm , e l’ingrandimento è e l’ingrandimento è iR 37.5 =− = −1.875 o 20 1 1 1 1 = − = 0.07833 − = 0.02833 , da cui iV fV o 20 GR = − c) Per l’immagine abbiamo iV = 35.3cm , 1 1 1 1 = − = 0.07667 − = 0.02667 , da cui iR fR o 20 GV = − iV 35.3 =− = −1.765 o 20
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