Esercizio 1. Resistori in parallelo Un filo di rame (ρ1 = 1.7 · 10−8 Ωm) di raggio a = 0.25 mm ha un rivestimento di alluminio (ρ2 = 2.8 · 10−8 Ωm) di raggio esterno b = 0.38 mm. Se la corrente nel filo `e i = 2 A, trovare la corrente in ciascun materiale. Qual `e la lunghezza del filo se tale corrente `e mantenuta da una d.d.p. pari a 12 V? b a l Soluzione Il filo centrale e la corona di rivestimento esterno possono essere visti come un sistema di due resistori in parallelo. La resistenza del filo di rame sar`a R1 , quella del rivestimento di alluminio sar` a R2 , con: l l R2 = ρ2 R1 = ρ1 2 ; 2 πa π(b − a2 ) A questo punto avremo che: i1 R1 = R2 i2 → R1 i1 = V = R2 i2 e i1 + i2 = i Risolvendo il sistema si ottiene: i1 = 1.26i2 ; → i1 + i2 = 2 A i1 = 1.12A; i2 = 0.88 A Per il calcolo della lunghezza del filo, consideriamo l’espressione di R1 , per esempio, avremo: V = R1 i1 = i1 ρ1 l πa2 → l= πa2 V = 124 m ρ1 i1 Esercizio 2. Conduzione assiale e radiale Un conduttore cilindrico cavo di lunghezza d = 2 cm ha raggi a = 2 mm e b = 5 mm; esso `e costituito da una sostanza con resistivit` a ρ = 2 Ωm. Una f.e.m. E = 20 V pu`o essere applicata al conduttore in modo che la corrente fluisca parallelamente all’asse del cilindro o radialmente dalla superficie interna a quella esterna. Calcolare nei due casi l’intensit`a di corrente i che percorre il conduttore, la potenza dissipata e la densit`a di corrente sulle superfici terminali. Soluzione Z Ricordiamo che la resistenza `e definita come 0 diverse. Nel primo caso: R1 = l ρ dh, dunque avremo nei due casi due resistenze S ρd = 606.3 Ω π(b2 − a2 ) Nota la resistenza possiamo calcolare subito, corrente, potenza dissipata e densit`a di corrente: i= E = 33 mA; R1 P = R1 i2 = 0.66 W ; j= i = 500 A/m2 π(b2 − a2 ) con la densit` a di corrente j uguale su entrambe le facce. Nel secondo caso: Z b ρ b ρdr = ln = 14.6 Ω R2 = 2πrd 2πd a a Nota la resistenza possiamo calcolare subito, corrente, potenza dissipata e densit`a di corrente: i= E = 1.37 A; R2 P = R1 i2 = 27.4 W ; La densit` a di corrente ora sar` a diversa perch`e diverse sono le due superfici attraversate: ja = i = 5.45 kA/m2 ; 2πad jb = i = 2.17 kA/m2 2πbd Esercizio 3. Potenza fornita al carico Un generatore di resistenza interna r e f.e.m.=V `e collegato ad un carico resistivo R. Calcolare quando la potenza dissipata come energia termica nella resistenza R `e massima e calcolarne il valore. r R V Soluzione Il circuito `e percorso da una corrente: i= V r+R e dunque la potenza trasferita al carico sar`a: Pc = Ri2 = R V2 (r + R)2 Calcoliamone ora la derivata prima rispetto a R e poniamola uguale a 0: dPc r−R = V2 =0 dR (r + R)3 → R=r Si `e dimostrato dunque che il massimo trasferimento di potenza al carico R si ha quando esso presenta una resistenza uguale alla resistenza interna del generatore. In questo caso si dice che il carico `e adattato. In queste condizioni la potenza massima che pu`o essere trasferita al carico vale: Pmax = V2 4r mentre la potenza fornita dal generatore sar`a: Pg = V i = V2 = 2Pmax 2r 2 ϱ1 f.e.m. ri ϱ2 C R L/2 L/2 Esercizio 4. Carica all’interfaccia fra due resistori Nel circuito in figura il generatore `e in grado di fornire una f.e.m= 3 V e ha una resistenza interna ri = 310 mΩ. Il resistore R `e costituito da un conduttore cilindrico di sezione S = 1 mm2 di lunghezza L = 5 m, di cui la prima met` a `e fatta di tungsteno (resistivit`a ρ1 = 5.6 · 10−8 Ωm) e la seconda met` a di piombo (resistivit` a ρ2 = 22 · 10−8 Ωm). Calcolare a regime: PR ; Pgen a) l’efficienza di trasferimento di potenza sul carico R, η = b) l’energia elettrostattica immagazzinata nel condensatore se C = 100 pF; c) la densit` a di carica σ depositata all’interfaccia tra tungsteno e piombo; Soluzione a) R = ρ1 L/2 L/2 + ρ2 = 140mΩ + 550mΩ = 690mΩ S S η= → i= f.e.m. = 3A ri + R Ri2 = 0.69 (f.e.m.)i b) U= 1 1 C∆V 2 = C(Ri)2 = 0.21nJ 2 2 c) Poich`e la sezione `e costante, nei due materiali il campo elettrico vale rispettivamente: E1 = ρ1 j; E 2 = ρ2 j ΦS (E) = (E2 − E1 )S = (ρ2 − ρ1 )jS = (ρ2 − ρ1 )i = Q 0 Si ricava dunque: Q = 0 i(ρ2 − ρ1 ) = 4.35 · 10−18 C; σ= Q = 4.35 · 10−12 C/m2 S Esercizio 5. Resistivit` a variabile Una corrente stazionaria i fluisce attraverso un conduttore cilindrico di lunghezza L e raggio a. La resistivit` a ϕ del conduttore varia linearmente secondo l’espressione ϕ(x) = ϕ1 + (ϕ2 − ϕ1 )x/L. Calcolare la densit` a di carica ρ(x) lungo il conduttore. Soluzione Data una corrente i che fluisce nel conduttore di sezione A = πa, e di conducibilit`a σ = 1/ϕ, la ~ sar`a ~j = i u ~ densit` a di corrente corrispondente ~j = σ E A ˆE . Il campo elettrico E che impone la corrente nel conduttore sar` a dunque: h i ~ = ϕ~j = I ϕ1 + (ϕ2 − ϕ1 ) x u E ˆx πa2 L 3 ricordando che: ~ = ∇·E ρ 0 → ∂E ρ(x) = ∂x 0 → ρ(x) = 0 i πa2 ϕ2 − ϕ1 L Esercizio 6. Scarica di un condensatore Un condensatore di capacit` a C = 100 pF viene caricato fino ad avere una differenza di potenziale tra le armature pari a 2 V. All’istante t = 0 l’interruttore in figura viene chiuso e il condensatore comincia a scaricarsi. Determinare l’istante tQ a cui la carica si `e ridotta al 10% del valore iniziale e l’instante tU in cui l’energia immagazzinata dal condensatore si `e ridotta al 10% del valore iniziale. Qual `e la differenza di potenziale tra le armature agli istanti tQ e tU ? Soluzione La carica sulle armature in funzione del tempo sar`a: Q(t) = Q0 e−t/τ = CV e−t/(Req C) La resistenza equivalente sar` a: Req = R + 3 R = R = 15 Ω 2 2 Ricaviamo dunque tQ : CV = CV e−tQ /(Req C) 10 → tQ = ln(10)Req C ' 3.45 ns L’energia immagazzinata in funzione del tempo `e invece: U (t) = 1 Q2 (t) 1 = CV 2 e−2t/(Req C) 2 C 2 Ricaviamo dunque tU : CV 2 1 = CV 2 e−2tU /(Req C) 20 2 → tU = ln(10) Req C ' 1.725 ns 2 Per quanto riguarda le tensioni: V (tQ ) = V e−tQ /(Req C) ' 0.2 V (la tensione evolve proprio come la carica!) V (tU ) = V e−tU /(Req C) ' 0.633 V Esercizio 7. Carica di un condensatore Si consideri il circuito in figura. Il condensatore `e costituito da una coppia di armature piane parallele di superficie S = 10−3 m2 distanti d = 0.12 mm ed `e riempito con un dielettrico di costante k = 5.7. All’istante t0 = 0 viene chiuso l’interruttore 1, mentre all’istante t1 = 1 µs viene aperto l’interruttore 2. Calcolare la densit`a di carica di polarizzazione presente sulle facce del dielettrico all’istante di tempo t1 e la tensione ai capi del condensatore all’istante t2 = 2 µs. 4 t0 t1 f1=10 V 1 2 R1= R2= 30 kΩ 20 kΩ C Soluzione Prima fase di carica: C = 0 k S ' 420 [pF ]; d Req = R1 R2 = 12 kΩ R1 + R2 → τ1 = Req C ' 5 µs La d.d.p. ai capi del condensatore durante la prima fase di carica sar`a: V1 (t) = f1 (1 − e−t/τ1 ) → V (t1 ) = f1 (1 − e−t1 /τ1 ) ' 1.81 V → Q(t1 ) = CV (t1 ) ' 761 pC Calcoliamo a partire dalla carica libera all’istante t1 la densit`a di carica di polarizzazione: σp (t1 ) = k−1 k − 1 Q(t1 ) σ0 (t1 ) = ' 628 nC/m2 k k S Seconda fase di carica: τ2 = R2 C =' 8.4 µs 2.73 V → 5 V (t2 ) = V (t1 )+[f1 −V (t1 )](1−e−(t2 −t1 )/τ2 ) '
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